“Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian”.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... 2
PHẦN I: MỞ ĐẦU ........................................................................................ 3
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 3
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 3
3. Đối tƣợng nghiên cứu............................................................................ 3
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................... 3
5. Phạm vi nghiên cứu............................................................................... 4
6. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 4
PHẦN II: NỘI DUNG ................................................................................... 5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ..................................................................... 5
1.1 Khái niệm về tƣ duy ........................................................................... 5
1.2 Đặc điểm của tƣ duy ........................................................................... 5
1.3 Thao tác tƣ duy phân tích - tổng hợp ................................................... 8
1.4 Những khó khăn thƣờng gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng
cách trong HHKG .................................................................................. 11
Chƣơng 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN................................................................................ 13
2.1 Kiến thức cơ bản .............................................................................. 13
2.2 Các dạng bài tập về khoảng cách ....................................................... 15
Chƣơng 3: VẬN DỤNG THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP
ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN...................................................................... 24
KẾT LUẬN ................................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 44


Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện đề tài, em đã nhận đƣợc nhiều sự quan tâm
giúp đỡ từ quý thầy cô giáo cũng nhƣ ngƣời thân và bạn bè để hoàn thành đề tài:

“Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán
về khoảng cách trong hình học không gian”.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – Th.s Ngô Thị Bích Thủy
đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu và định hƣớng trong suốt quá trình thực
hiện đề tài. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong khoa
Toán, trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Đà Nẵng tạo mọi điều kiện để hoàn
thành luận văn.

2


Khóa luận tốt nghiệp
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong môn Toán ở trƣờng trung học phổ thông, phần hình học không gian
giữ một vai trò, vị trí vô cùng quan trọng; ngoài việc cung cấp các kiến thức kỹ năng giải toán, hình học không gian còn góp phần rèn luyện cho học sinh
những đức tính: cẩn thận, chính xác, sáng tạo và óc thẩm mỹ cao.
Hình học không gian là mảng kiến thức khó, mang tính trừu tƣợng; đặc
biệt là bài toán về khoảng cách. Trong quá trình giải toán, việc rèn cho học sinh
phân tích giả thiết bài toán để tìm ra mối liên hệ giữa các kiến thức đã học nhằm
chỉ ra đƣợc vấn đề cần chứng minh còn hạn chế. Nhiều em bộc lộ tính yếu kém
về năng lực giải toán. Một số giáo viên đƣa sẵn thuật toán, học sinh thuộc – hiểu
và áp dụng vào bài tập; các em không nắm đƣợc tại sao ta có thuật toán đó?
Toán học gắn liền với tƣ duy; các thao tác tƣ duy là phần không thể thiếu
trong việc tìm ra lời giải bài toán. Thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp có vai
trò hết sức cần thiết cho các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán nhƣ:
giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trƣờng hợp riêng lẻ
nằm trong một khái niệm, một định lý,...
Với những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Vận dụng thao tác tư
duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong

hình học không gian” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu:
Vận dụng thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp để giúp học sinh tìm ra lời
giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
3. Đối tƣợng nghiên cứu:
Tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
3


Khóa luận tốt nghiệp
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu liên quan đến
các dạng bài tập, đề thi.
- Phƣơng pháp quan sát, điều tra: học hỏi các thầy, cô giáo.
5. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức trọng tâm trong sách giáo khoa
hình học lớp 11, 12 (cơ bản và nâng cao), sách giáo viên và các sách tham khảo
liên quan.
6. Cấu trúc khóa luận:
Khóa luận gồm 3 chƣơng sau:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận.
Chƣơng 2: Các dạng bài toán về khoảng cách trong hình học không
gian.
Chƣơng 3: Vận dụng thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời
giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
Các chữ viết tắt sử dụng trong đề tài:
HHKG: hình học không gian.
THPT: trung học phổ thông.
SGK: sách giáo khoa.
NC: nâng cao.

CB: cơ bản.

4


Khóa luận tốt nghiệp
PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Khái niệm về tƣ duy:
“Tƣ duy là một quá trình phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối
quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực
khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết”. Nhƣ vậy, tƣ duy về bản chất là một quá
trình cá nhân thực hiện nhờ các thao tác tƣ duy nhất định để giải quyết vấn đề
hay nhiệm vụ đƣợc đặt ra. Các thao tác tƣ duy đƣợc nói đến ở đây là thao tác:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa. Đó là những thao
tác cơ bản.
Tƣ duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về
chất so với cảm giác, tri giác. Hay nói cách khác, tƣ duy là sự nhận thức lý tính
phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối quan hệ và liên hệ có
tính quy luật của sự vật, hiện tƣợng.
Ví dụ: Nhờ tuy duy mà ta biết đƣợc hình chóp đều có đáy tứ giác thì đƣờng
cao là đƣờng nối từ đỉnh đến giao điểm của hai đƣờng chéo (đáy là một hình
vuông).
Mặc dù tƣ duy phản ánh đƣợc những thuộc tính bản chất bên trong của sự
vật hiện tƣợng nhƣng tƣ duy không phải bao giờ cũng dẫn tới cái đúng mà nó
còn phụ thuộc vào chiến thuật và phƣơng pháp tƣ duy.
1.2 Đặc điểm của tƣ duy:
Tƣ duy có nhiều đặc điểm đặc trƣng nhƣ: tính có vấn đề của tƣ duy, tính
gián tiếp của tƣ duy, tính trừu tƣợng hóa - khái quát hóa, tƣ duy quan hệ chặt
chẽ với ngôn ngữ, tƣ duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Đối với con

ngƣời, tƣ duy đóng vai trò vô cùng quan trọng vì tƣ duy giúp ích rất nhiều cho
việc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bản
chất của sự vật, hiện tƣợng và tìm ra các mối quan hệ có tính quy luật giữa
chúng với nhau. Tƣ duy giúp ta vận dụng những những kiến thức đã tích lũy
5


Khóa luận tốt nghiệp
đƣợc để giải quyết những vấn đề liên quan, nhờ đó tiết kiệm đƣợc công sức. Tƣ
duy có phƣơng tiện là ngôn ngữ và có sản phẩm là những khái niệm, những
phán đoán, những suy luận đƣợc biểu đạt bằng từ ngữ, kí hiệu, công thức.
1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy:
Trong thực tế tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhƣng
không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tƣ duy.
Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn kiến thức,
phƣơng pháp cũ không giải quyết đƣợc mà cần đến những phƣơng pháp, tri thức
mới để giải quyết vấn đề, tức là phải tƣ duy. Nhƣng không phải bất cứ hoàn
cảnh nào có vấn đề nào cũng xuất hiện tƣ duy ở bản thân. Vậy để kích thích
đƣợc tƣ duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải đƣợc cá nhân nhận thức đầy đủ và có
nhu cầu chuyển thành nhiệm vụ của tƣ duy để giải quyết vấn đề đó (nghĩa là cá
nhân phải xác định đƣợc cái gì đã biết, đã cho, cái gì chƣa biết, cần phải tìm).
Ví dụ: Khi dạy bài “Khoảng cách” trong chƣơng trình toán hình học
11NC, giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm bài toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Tìm khoảng cách từ B đến mặt
bên (SCD)”

S

K
A

B

D
C

Theo định nghĩa đã học thì học sinh sẽ tìm hình chiếu vuông góc H của
điểm B lên mặt (SCD), nhƣng theo cách này việc tìm điểm H là rất khó  Xuất
hiện hoàn cảnh có vấn đề.

6


Khóa luận tốt nghiệp
Nhƣ vậy, các em phải tìm hiểu kiến thức mới để tìm ra lời giải thông
qua định nghĩa 2 tiếp theo trong bài (tìm khoảng cách từ A đến (SCD) vì
AB / /(SCD) ).

1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy:
Tƣ duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh
nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…Tính gián tiếp của tƣ duy giúp con ngƣời nhận
thức thế giới khách quan sâu sắc, đầy đủ, đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết
của con ngƣời, của chủ thể tƣ duy.
Ví dụ: Bằng các phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, giáo viên
có thể minh họa và hƣớng dẫn cho học sinh thấy rõ: đƣờng cao của một khối đa
diện là đƣờng nào?...
1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa và khái quát của tƣ duy:
a) Tính trừu tƣợng hóa:
Là khả năng con ngƣời dùng trí óc để gạt bỏ những liên hệ, những
mặt, những thuộc tính không cần thiết mà chỉ giữ lại yếu tố nào là cần thiết để

tƣ duy.
b) Tính khái quát hóa:
Là khả năng con ngƣời hợp nhất nhiều đối tƣợng khác nhau nhƣng
có chung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm.
Ví dụ: Khi hƣớng dẫn học sinh làm các bài tập về khoảng cách của một
điểm tới một mặt phẳng, ta có thể gợi ý cho học sinh tìm hiểu phƣơng pháp tính
cho trƣờng hợp này có thể áp dụng cho các trƣờng hợp tính khoảng cách khác
hay không.
1.2.4 Tƣ duy gắn liền với ngôn ngữ:
Tƣ duy của động vật bao giờ cũng dừng lại ở tƣ duy hành động trực
giác mà không vƣợt quá giới hạn đó. Còn ở con ngƣời, tƣ duy mang tính gián
tiếp, trừu tƣợng hóa và khái quát hóa. Mối liên hệ giữa tƣ duy và ngôn ngữ là
mối liên hệ biện chứng; là mối liên hệ giữa nội dung và hình thức. Trong đó,
7


Khóa luận tốt nghiệp
ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tƣ duy. Nhờ đó, ngƣời khác và chủ
thể tƣ duy tiếp cận kết quả tƣ duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác, ngôn
ngữ là phƣơng tiện tƣ duy.
1.2.5 Tƣ duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
Tƣ duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính.
Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tƣ duy liên hệ với thế giới bên ngoài; nhận
thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tƣ duy và cuối cùng toàn bộ sản phẩm của
tƣ duy đƣợc kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn.
Trong học tập Toán, đặc điểm này thể hiện để tìm hiểu nội dung hay
chứng minh một bài toán. Trƣớc hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay
giả thiết (thử hƣớng này, hƣớng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng hoạt động
tƣ duy đi đến kết quả.
Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông, AB  a ,

SA  2a . Hãy xác định đƣờng cao của hình chóp S.ABCD.

Với những dữ kiện của bài toán: đáy là hình vuông, các cạnh bên đều
bằng nhau, các mặt của hình chóp là tam giác cân  Ta có thể đoán đƣợc
đƣờng cao của hình chóp hạ từ đỉnh S sẽ đi qua giao điểm của hai đƣờng chéo
nằm ở mặt đáy.
1.3 Thao tác tƣ duy phân tích - tổng hợp:
1.3.1 Mô tả:
Trong một đối tƣợng chứa nhiều thành phần, bộ phận, trong đó mỗi bộ
phận có một mối quan hệ khác nhau. Để nhận thức đƣợc toàn diện bộ phận đó,
ta tiến hành nhận thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức đƣợc tƣơng đối
hoàn thiện hơn, quá trình đó gọi là phân tích. Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả
đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chỉnh thể. Đây là hai thao tác cơ bản
nhất của mọi quá trình tƣ duy.
Có thể nói phân tích - tổng hợp là một cặp thao tác tƣ duy cơ bản và
quan trọng nhất. Nó đƣợc thực hiện trong tất cả các quá trình tƣ duy của học
8


Khóa luận tốt nghiệp
sinh. Với đặc trƣng là phân chia đối tƣợng nhận thức thành các bộ phận, các
thành phần khác nhau sau đó hợp nhất các thành phần đã đƣợc tách rời nhờ sự
phân tích thành một chỉnh thể. Trong môn Toán, thao tác phân tích – tổng hợp
thƣờng đƣợc sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào,
phân tích cách diễn đạt các mối quan hệ của bài toán, phân tích thuật ngữ, phân
tích cách hỏi, câu hỏi, yêu cầu của bài toán, những tình huống,... tổng hợp các
yếu tố, điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đƣa ra điều kiện mới, kết luận
mới, tổng hợp các bƣớc giải bộ phận để liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện,
tổng hợp các bài toán tƣơng tự theo một tiêu chí nhất định thành một mẫu bài
toán, tổng hợp các cách giải tạo thành phƣơng pháp giải chung,...

Đây là hai thao tác trái ngƣợc nhau, nhƣng lại liên hệ chặc chẽ với
nhau trong một thể thống nhất.
1.3.2 Tác dụng trong dạy học toán:
Thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết cho các
em học sinh trong quá trình học tập môn Toán nhƣ:
- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trƣờng
hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý,...
- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết
chính xác, đầy đủ một khái niệm,...
Đây là thao tác cơ bản luôn đƣợc sử dụng để tiến hành những thao tác
khác.
1.3.3 Một vài biện pháp thực hiện:
* Khi dạy khái niệm, định nghĩa, tập cho học sinh phân tích các thuộc
tính bản chất để từ đó tổng hợp lại nhận biết và phân biệt với khái niệm khác
hay để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau.

9


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 1: Định nghĩa “Khoảng cách từ một đến một mặt phẳng” đƣợc
phân tích thành:
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: d (M ; H ) , H  ( P)
sao cho MH  ( P) . Kí hiệu: d (M ;( P)) .
Ví dụ 2: Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai định
nghĩa “ Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song” và “ Khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song ”
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với
đường thẳng a là: d ( A;( P)) với A  a . Kí hiệu: d (a;( P)) .
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là: d ( B;(Q))

với B  ( P) . Kí hiệu: d (( P);(Q)) .
* Khi dạy định lý phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết
luận; phân tích để thấy các bƣớc, các ý trong khi chứng minh và phân biệt sự
giống nhau và khác nhau giữa các định lý gần gũi nhau.
Ví dụ 3: Định lí về đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Phân tích giả thiết, kết luận:
d

+ Giả thiết:
 a, b  ( P) .
a

 a b.
 d  a, d  b .

P

b

+ Kết luận:
 d  ( P) .

10


Khóa luận tốt nghiệp
* Khi dạy học sinh giải bài tập toán cần phải:
+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem xét bài toán đã cho thuộc
loại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm...
+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích

đƣợc một số ý thì tổng hợp lại để xem ta thu đƣợc điều gì bổ ích không, còn
thiếu yếu tố nào nữa?
+ Tách bài toán đã cho (thƣờng là khó hơn) thành nhiều bài toán thành
phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, và cuối cùng tổng hợp lại để có
kết quả.
1.4 Những khó khăn thƣờng gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng
cách trong HHKG:
HHKG là một phần kiến thức trong chƣơng trình toán THPT tƣơng đối
khó nên nhiều học sinh chƣa quen với tính tƣ duy trừu tƣợng của nó, học sinh
khó khăn ngay từ bƣớc đầu tiếp cận ở lớp 11 và dễ dẫn đến sự mất hứng thú đối
với HHKG.
Qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi làm các bài tập về khoảng cách
trong HHKG còn lúng túng, không phân dạng đƣợc các bài toán và chƣa định
hƣớng đƣợc cách giải,... Học sinh thƣờng hay gặp phải những khó khăn sau:
+ Vẽ hình chƣa đúng hoặc vẽ khó nhìn, khó hình dung.
+ Quen với hình học phẳng, óc tƣởng tƣợng không gian chƣa tốt, chƣa
vận dụng đƣợc các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian.
+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng
thuật toán giải còn khó khăn.

11


Khóa luận tốt nghiệp
+ Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chƣa khoa
học, còn lủng củng, suy luận chƣa logic.
+ Không phân dạng đƣợc các bài toán về khoảng cách.
+ Không biết đƣa các bài tập về khoảng cách từ các trƣờng hợp phức
tạp về đơn giản hơn.

12


Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN
2.1 Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng là khoảng
cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên đƣờng thẳng. Khoảng cách từ điểm
A đến đƣờng thẳng () đƣợc kí hiệu là d ( A,()) .
A

△
H
Định nghĩa 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng
cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng (P) đƣợc kí hiệu là d ( A,( P)) .
A

H
P
Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song là

khoảng cách từ một điểm bất kì của đƣờng thẳng đến mặt phẳng. Khoảng cách
giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) đƣợc kí hiệu là: d (a,( P)) .
B
A

P

H

K

13


Khóa luận tốt nghiệp
Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Khoảng cách
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) đƣợc kí hiệu là: d (( P),(Q))
A

B

Q

H

K

P

Định nghĩa 5:
- Đƣờng thẳng vuông góc với hai đƣờng thẳng chéo nhau gọi là đƣờng
vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- Nếu đƣờng vuông góc chung cắt hai đƣờng thẳng chéo nhau tại A và
B thì đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đƣờng thẳng đó.

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b đƣợc kí hiệu là:

d (a, b) .

c

a

A
B
b

Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau bằng khoảng cách một
trong hai đƣờng thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đƣờng thẳng
còn lại.
14


Khóa luận tốt nghiệp
A

a P

c
a’
Q

B

b

- Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng đó.
a

Q

b
P
Tính chất: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA  OB, OB  OC,
OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đƣờng cao

OH đƣợc tính bằng công thức:

1
OH

2



1
2

OA



1

2

OB



1
OC2

.

Chú ý: Khoảng cách giữa hai yếu tố điểm, đƣờng thẳng, mặt phẳng là
khoảng cách bé nhất giữa hai điểm thuộc hai yếu tố đó.
2.2 Các dạng bài toán về khoảng cách:
2.2.1 Khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng, mặt phẳng:
2.2.1.1 Khoảng cách từ điểm A đến đƣờng thẳng  :
Phương pháp: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến đƣờng thẳng  ta
thƣờng sử dụng hai cách sau:

15


Khóa luận tốt nghiệp
a. Cách 1: Xác định mặt phẳng chứa điểm A và đƣờng thẳng  , sau đó
hạ AH   thì d ( A, )  AH .
b. Cách 2: Nếu có (P) qua A và vuông góc với  , (P) cắt  tại H thì

d ( A, )  AH .
Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên
đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm O sao cho

AO  4cm . Tính khoảng cách từ điểm A và điểm O đến đƣờng thẳng BC.

O

Giải:

A

C
B

H

Dựng AH là đƣờng cao của tam giác ABC thì: d ( A, BC)  AH
Theo công thức Hêrông, diện tích S của tam giác ABC là:

S  10.5.3.2  10 3 (cm2)  AH 

2S 20 3

 4 3 (cm)
BC
5

 AH  BC
 BC  (OAH )  BC  OH  d (O, BC )  OH .
Vì: 
OA  BC

Trong tam giác AOH vuông tại A: OH 2 OA 2 AH 2  16 48  64

Vậy OH  8 (cm).
2.2.1.2 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):
a. Cách 1: (Sử dụng định nghĩa)
16


Khóa luận tốt nghiệp
Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta làm theo các bƣớc
sau:
Bước 1: Dựng H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P).
Bước 2: Kết luận: d  A,  P    AH .
A

H

P
b. Cách 2: (Sử dụng các định lí, tính chất về quan hệ vuông góc)
Ta thƣờng gặp hai trƣờng hợp sau:
+ Trường hợp 1: Giả sử A  (Q) , (Q)  (P)   và trên (P) tồn tại S
sao cho SA  (Q) .
P

Bước 1: Kẻ AH  () , kẻ AK  SH .
  AH

Bước 2: Ta có: 

  SA

   (SHA)

   AK .
 AK  

Do 

 AK  SH

S

K
H

A

Q

 AK  ( P).

Bước 3: Vậy d ( A;( P))  AK.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, SA  a và SA  ( ABC ) , biết BC  a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC).
17


Khóa luận tốt nghiệp
Giải:

S

Trong (ABC), kẻ AH  BC tại H.
 H là trung điểm của BC.

Trong (SAH), kẻ AK  BC tại K.
 BC  AH

Do 

 BC  SA
 AK  BC

Vì: 

 AK  SH

K
A

 BC  (SAH )  BC  AK .

C
H

B

 AK  (SBC )  d ( A;(SBC ))  AK .

Ta có: AH  BC  a ; SA  a.
2

2

a.

SA. AH
Trong SAH vuông tại A, ta có: AK 

SA2  AH 2

Vậy: d ( A;(SBC ))  AK 

a
2

a2 

a2
4



a 5
.
5

a 5
.
5

+ Trường hợp 2: A  (Q) sao cho (Q)  ( P) .
Bước 1: Tìm giao tuyến (Q) ( P)   .

Q

A

Bước 2: Kẻ AH  () . Khi đó AH  ( P).
Bước 3: Kết luận: AH  d ( A,( P)).

P
H

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AC
. Biết SH  ( ABCD) . Tính
AB  a , AD a 3 . Gọi H  AC sao cho AH 
4

khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

18


Khóa luận tốt nghiệp
Giải:
Kẻ BK  AC tại K.
 BK  AC

Khi đó: 

 BK  SH

S

 BK  (SAC ) .

 d (B,(SAC))  BK .
A

Trong ABC vuông tại B, ta có:

B
H

BK 

AB.AC
a.a 3
a 3


2
AB2  BC 2
a 2  3a 2

Vậy d (B,(SAC )) 

D

K
C

a 3
.
2

Chú ý:
+ Nếu AB  (P)  O . Khi đó:

d ( A,( P)) OA

.
d ( B,( P)) OB

A
B

O
P

+ Nếu AB / /( P) . Khi đó: d ( A,( P))  d ( B,( P)) .
A

B

P
19

Khóa luận tốt nghiệp
+ Nếu AB  ( P) tại trung điểm của AB. Khi đó: d ( A,( P))  d ( B,( P)) .
A

P

c. Cách 3: (Ứng dụng thể tích)

B

1
3V
Thể tích của khối chóp V  S .h  h 
(trong đó S là diện tích
3
S
đáy và h là chiều cao của khối chóp).
Ta có thể dùng công thức này để tính khoảng cách từ đỉnh của hình
chóp đến mặt đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA  3a và SA  ( ABC ) , ABC có
AB  BC  2a, ABC  1200. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

S

A

Giải:

C
B

2
1
1
Ta có: SABC  .BA.BC.sin B  . 2a  .sin1200  3a 2
2
2

1
1
 VS . ABC  .SA.SABC  .3a. 3a 2  3a3
3
3

Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:

AC 2  AB2  CB2  2BA.BC.cos B  12a2  AC  2 3a.
20


Khóa luận tốt nghiệp
Áp dụng Pitago trong tam giác vuông:
SB2  SA2  BA2  13a 2  SB  13a
SC 2  SA2  AC 2  21a 2  SC  21a

Ta có: cos BSC 

SB2  SC 2  BC 2
15
4


 sin BSC 
2SB.SC
273
91

1
 SSBC  SB.SC.sin BSC  2 3a 2 .
2
Vậy khoảng cách cần tìm là: d  A,  SBC   

3VS . ABC 1
 a.
SSBC
2

2.2.2 Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng chéo nhau:
Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau d1 và
d2, ta thƣờng gặp hai trƣờng hợp sau:
a. Trường hợp 1: d1  d2 .
Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa d2 và vuông góc với d1.
d1
Bước 2: Tìm giao điểm d1  ( P)  O
d2

Bước 3: Trong (P) kẻ OH  d2 .
OH  d1
Bước 4: Do 
nên
OH  d2

OH  d (d1, d2 ) .

O
P

H

Ví dụ: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a,

AD  a 3, SA  ( ABCD), SA  a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
AD và SB.
Giải:
Kẻ AH  SB tại H.

21


Khóa luận tốt nghiệp
 AD  AB

Do 

 AD  SA

Vì

 AH  SB

 AH  AD

Ta có: AH 

 AD  (SAB)  AD  AH .

S

nên d ( AD, SB)  AH .
SA. AB
a 3.a
a 3 H
.


2
SA2  AB2
3a 2  a 2

Vậy d ( AD, SB ) 

a 3
.
2

A

B

D

C

b. Trường hợp 2: Hai đƣờng thẳng chéo nhau và không vuông góc với
nhau.
Bước 1: Chọn (P) chứa d2 và ( P) / / d1 .
Bước 2: Khi đó: d (d1, d2 )  d (d1,(P))  d (M ,(P)) , (M  d1 tùy ý)
M

H

d1

d2

P
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA  ( ABCD), SA  a 3 . Tính d ( AB, SC) .

Giải:
Kẻ AH  SD tại H.
CD  AD
 CD  (SAD)  CD  AH .
Do 
CD  SA

22


Khóa luận tốt nghiệp
 AH  CD

Vì 

 AH  SD

 AH  (SCD)

S

 d ( A,(SCD))  AH .
 AH 

SA.AD
a 3.a
a 3


2
2
2
2
2
SA  AD
3a  a

 AB / /CD
Ta có: 
 AB / /(SCD)
CD  (SCD)

 AB / /CD

Vì 

H

 SC  ( SCD)

B

A

D

C

nên d ( AB, SC )  d ( AB,(SCD))  d ( A,(SCD)) 

a 3
.
2

23


Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 3: VẬN DỤNG THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP
ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Phân tích bài toán là xem xét, khai thác các đặc điểm, khía cạnh của bài

toán để tìm hƣớng giải quyết. Để học sinh có thể làm tốt bƣớc phân tích này,
ngƣời giáo viên cần rèn kĩ năng phân tích – tổng hợp thông qua các bài toán về
khoảng cách sau:
3.1 Bài toán 1: Cho hình chóp S. ABC có SA  a 3 , SA   ABC  , tam
giác ABC vuông tại B và AB  a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SBC).

S

H
A

C
B

Phân tích bài toán:
Cần chỉ ra rằng, khi tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC) thực chất là
tìm cho đƣợc mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Vận
dụng thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta sẽ dựng
đƣợc khoảng cách.
Chính vì hƣớng tiếp cận theo thuật toán này, học sinh chủ động tìm ra
đƣợc  SBC    SAB (do BC   SAB ). Dựng đƣờng thẳng AH vuông góc với
SB (với H  SB ) nên AH   SBC  . Vậy d  A,  SBC    AH . Tính độ dài đoạn
AH là giải xong bài toán.

24


Khóa luận tốt nghiệp
Bài giải:

Vì SA  ( ABC)  SA  BC.
Ta có:

BC  AB 
  BC  (SAB) .
BC  SA 

Kẻ AH  SB (với H  SB )
Mà BC  (SAB)  BC  AH .
Do

AH  BC 
  AH  (SBC )  d ( A,(SBC ))  AH .
AH  SB 

Do SA   ABC   SA  AB nên SAB vuông tại A.
Khi đó:

1
1
1
1
1
4
3a


.
 2  2  2  AH 
2

2
2
2
AH
SA
AB
3a
a
3a

Vậy d  A,  SBC   

3a
.
2

3.2 Bài toán 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, mặt bên (SAB) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD  .
Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(SCD).

S
K
A

D

H

B

E

C
25