chuyên đề lượng giác ôn thi đại học

HỘI TOÁN BẮC NAM

THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

BUÔN MA THUỘT, 12/2016


Chuyên đề lượng giác

MỞ ĐẦU
Lượng giác đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương
trình toán phổ thông và được ứng dụng khá nhiều trong thực tế,
đặc biệt là trong lĩnh vực nghiên cứu thiên văn. Đây sẽ là một trong
những vấn đề quan trọng trong kì thi THPT quốc gia 2018, khi chương
trình 10 và 11 được đưa vào trong đề thi.
Trong chủ đề tháng 12/2016 của Hội Toán Bắc Nam tôi xin trình bày
một số vấn đề về lượng giác.
Chủ đề lượng giác được chia làm ba phần:
Phần 1: Cơ sở lí thuyết như cung liên kết, công thức lượng giác, hằng
đẳng thức lượng giác, hàm số lượng giác.
Phần 2: Các dạng phương trình lượng giác thường gặp.
Phần 3: Một số bài toán lượng giác điển hình có liên quan.
Chuyên đề chủ yếu xoay quanh các bài toán THPT, hi vọng sẽ giúp
ích được phần nào cho bạn đọc, đặc biệt là các bạn học sinh THPT.
Sẽ không tránh khỏi thiếu sót khi biên tập, rất mong nhận được sự
đóng góp từ quý bạn đọc để chuyên đề ngày một hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp, quý bạn đọc vui lòng gửi về địa chỉ
email: hoặc gửi trực tiếp cho Hội
Toán Bắc Nam.

Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 12 năm 2016

Phạm Thị Thu Hiền

2

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Mục lục

Mở đầu

2

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2

1.1 Cung liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Hằng đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

5

2.1 Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . .

8

2.3 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx . . . . . . . . .

9

2.4 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Phương trình không mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC

19

3.1 GTLN-GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 ĐÁNH GIÁ HAI VẾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

1

. . . 26


Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1

Cung liên kết

Cung đối:
cos ♣✁xq ✏ cos x; sin ♣✁xq ✏ ✁ sin x;
tan ♣✁xq ✏ ✁ tan x; cot ♣✁xq ✏ ✁ cot x.
Cung bù:
cos ♣π ✁ xq ✏ ✁ cos x; sin ♣π ✁ xq ✏ sin x;
tan ♣π ✁ xq ✏ ✁ tan x; cot ♣π ✁ xq ✏ ✁ cot x.
Cung phụ:
✁π

✠

✁π

✁ x ✏ sin x; sin 2

2
✁π
π
tan♣ ✁ xq ✏ cot x; cot
2
2
Cung hơn kém nhau π:
cos

✠

✁ x ✏ cos x;
✠
✁ x ✏ tan x.

cos ♣π   xq ✏ ✁ cos x; sin ♣π   xq ✏ ✁ sin x;
tan ♣π   xq ✏ tan x; cot ♣π   xq ✏ cot x.
1.2

Công thức lượng giác

1. Công thức cộng
cos ♣a   bq ✏ cos a cos b ✁ sin a sin b
2


Chuyên đề lượng giác

sin♣a   bq ✏ sin a cos b   cos a sin b
tan♣a   bq ✏

cot♣a   bq ✏

tan a   tan b
1 ✁ tan a tan b
cot a cot b ✁ 1
cot a   cot b

2. Công thức nhân đôi
sin 2a ✏ 2 sin a. cos a
cos 2a ✏ cos2 a ✁ sin2 a

✏ 2cos2a ✁ 1
✏ 1 ✁ 2sin2a
tan 2a ✏

2 tan a
1 ✁ tan2 a

3. Công thức nhân ba
sin 3a ✏ 3 sin a ✁ 4sin3 a
cos 3a ✏ 4cos3 a ✁ 3 cos a
4. Công thức hạ bậc
1 ✁ cos 2a
1   cos 2a
; cos2 a ✏
2
2
3 sin a ✁ sin 3a
3 cos a   cos 3a
; cos3 a ✏

4
4

sin2 a ✏
sin3 a ✏

5. Công thức tổng thành tích
a b
a✁b
cos
2
2
a b
a✁b
cos a ✁ cos b ✏ ✁2 sin
sin
2
2
a b
a✁b
sin a   sin b ✏ 2 sin
cos
2
2
a b
a✁b
sin a ✁ sin b ✏ 2 cos
sin
2
2

cos a   cos b ✏ 2 cos

Phạm Thị Thu Hiền

3

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

6. Công thức tích thành tổng
1
rcos♣a   bq   cos♣a ✁ bqs
2
✁1 rcos♣a   bq ✁ cos♣a ✁ bqs
sin a sin b ✏
2
1
sin a cos b ✏ rsin♣a   bq   sin♣a ✁ bqs
2
cos a cos b ✏

1.3

Hằng đẳng thức thường dùng

1
3
sin2 a   cos2 a ✏ 1; sin4 a   cos4 a ✏ 1 ✁ sin2 2a ; sin6 a   cos6 a ✏ 1 ✁ sin2 2a

2
4
1
1
2
2
;
1+cot
a
✏
1   tan2 a ✏
2 ; 1 ✟ sin 2a ✏ ♣sin a ✟ cos aq
2
cos a
sin a
1.4

Hàm số lượng giác

Hàm số

Tập xác định

Tập giá trị

Tính chẵn lẻ

Chu kỳ

y

✏ sin x

D=R

T=[-1,1]

hàm lẻ

T0

✏ 2π

y

✏ cos x

D=R

T=[-1,1]

hàm chẵn

T0

✏ 2π

y

✏ tan x

T=R

hàm lẻ

T0

✏π

y

✏ cot x

T=R

hàm lẻ

T0

✏π

R③

✦π

✮

  kπ, k € Z
2

R③ tkπ, k

€ Z✉

Bảng 1.1: *

Phạm Thị Thu Hiền

4

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2.1

Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình sin x ✏ a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm

↕ 1 : Phương trình có nghiệm là x ✏ α   k2π và x ✏
π ✁ α   k2π với sin α ✏ a

• Nếu |a|

Các trường hợp đặc biệt:

sin x ✏ 0 ô x ✏ kπ ♣k € Zq
π
sin x ✏ 1 ô x ✏   k2π ♣k € Zq
2
π
sin x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁   k2π ♣k € Zq
2
π
2
sin x ✏ ✟1 ô sin x ✏ 1 ô cos2 x ✏ 0 ô cos x ✏ 0 ô x ✏   kπ ♣k
2
Zq

€

2. Phương trình cos x ✏ a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm

↕ 1 : Phương trình có nghiệm là x ✏ α   k2π và x ✏
✁α   k2π với cos α ✏ a

• Nếu |a|

Các trường hợp đặc biệt:
π
cos x ✏ 0 ô x ✏   kπ ♣k € Zq
2
cos x ✏ 1 ô x ✏ k2π ♣k € Zq
cos x ✏ ✁1 ô x ✏ π   k2π ♣k

€ Zq
5


Chuyên đề lượng giác

cos x ✏ ✟1 ô cos2 x ✏ 1 ô sin2 x ✏ 0 ô sin x ✏ 0 ô x ✏ kπ ♣k

€ Zq

3. Phương trình tan x ✏ a

Điều kiện cos x ✘ 0 hay x ✘

π
  kπ, k € Z
2
Nghiệm của phương trình x ✏ α   kπ, k € Z với tan α ✏ a

Các trường hợp đặc biệt:
tan x ✏ 0 ô x ✏ kπ ♣k

€ Zq tan x ✏ ✟1 ô x ✏ π4   kπ♣k € Zq

4. Phương trình cot x ✏ a

Điều kiện sin x ✘ 0 hay x ✘ kπ, k

€Z
Nghiệm của phương trình x ✏ α   kπ, k € Z với cot α ✏ a

Các trường hợp đặc biệt:
π
cot x ✏ 0 ô x ✏   kπ ♣k
2

€ Zq cot x ✏ ✟1 ô x ✏ π4   kπ♣k € Zq

BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. sin x ✏ sin
2. sin x ✏

π
5

1
2

3. sin 2x ✏
✁

5
4

4. 2 sin x  
✁

5. 2 sin x  
 

π✠ ❄
  3✏0
4
π✠ ❄
  3✏0
4
✟

6. 2 sin 900 ✁ 2x
7. sin x ✏
 

1
3

8. 4sin2 x   400

✟

 1✏0

✁1✏0

9. sin 3x ✁ cos 2x ✏ 0
10. sin 4x   cos 5x ✏ 0
Phạm Thị Thu Hiền

6

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

Bài 2: Giải các phương trình sau
1. cos x ✏

1
2

2. cos♣3x   1q ✏ cos♣x ✁ 2q
3. sin♣x ✁ 1200 q   cos 2x ✏ 0
4. cos 3x   cos 4x ✏ 0
5. cos 2x   sin 3x ✏ 0
6. 3 cos♣2x   1q ✁ 4 ✏ 0
7. cos♣2x   1q ✁ cos♣x  
8. 3 cos♣x ✁

π
q✏0
3

π
q 1✏0
4

9. 2 cos2 x   cos x ✏ 0
10. cos 2x   cos 4x   cos 6x ✏ 0
Bài 3: Giải các phương trình sau

1. tan 7x ✁ cot 9x ✏ 0
2. tan2 ♣x ✁

π
q✏3
4

3. tan 3x   cot x ✏ 0
4. 3 tan♣2x ✁
5. ⑤cos x⑤ ✏

π
q✁5✏0
4

1
2

6. cos 3x. tan 5x ✏ sin 7x
7. tan 5x. tan 2x ✏ 1
8. ⑤sin x⑤   cos 3x ✏ 0
9. cot♣2x ✁

π
π
q
✏
cot♣x   q
4
3

Phạm Thị Thu Hiền

7

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

10. cot♣3x   100 q ✏

❄

3
❄3
2
11. cos♣x   450 q ✏ ✁
2
π
12. sin2 ♣x ✁ q ✏ cos2 x
4
Bài 4: Giải các phương trình sau
1.

❄

3 tan♣x ✁ 500 q ✁ 1 ✏ 0 với x € r✁1800 , 2700 s

2. cot♣x ✁

❄
π
π
q
 
3 ✏ 0, x € r✁ ; 2π s
3
2

3. sin2 x   cos2 3x ✏ 1
4. cos 2x   cos 4x   cos 6x ✏ 0
5. cos x   cos 2x   cos 3x   cos 4x ✏ 0
6. cos x. cos 7x ✏ cos 3x. cos 5x
7. sin2 x   sin2 2x ✏ sin2 3x   sin2 4x
8. cos 5x. sin 4x ✏ cos 3x. sin 2x
9. cos2 x   cos2 2x   cos2 3x ✏
10. sin♣cos♣x ✁
2.2

3
2

π
1
qq
✏
4
2

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng
asin2 x   b sin x   c ✏ 0
Đặt t ✏ sin x điều kiên ✁1 ↕ t ↕ 1.
acos2 x   b cos x   c ✏ 0
Đặt t ✏ cos x điều kiên ✁1 ↕ t ↕ 1.
atan2 x   b tan x   c ✏ 0
Phạm Thị Thu Hiền

8

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

Điều kiện x ✘

π
2

  kπ, k € Z. Đặt t ✏ tan x.
acot2 x   b cot x   c ✏ 0

Điều kiện x ✘ kπ, k

€ Z. Đặt t ✏ cot x.
Nếu đặt t ✏ sin2 x hoặc t ✏ ⑤sin x⑤ thì điều kiện 0 ↕ t ↕ 1 Bài tập
1. 3 cos 2x ✁ 5 cos x   2 ✏ 0

2. 3 tan 2x ✁ 2 tan x   3 ✏ 0
3. 2sin2

x
2

2

4. 2cos

✁

 

❄

x 

2 sin

x
2

✁2✏0

✁
π✠
π✠
  5 sin x   3 ✁ 4 ✏ 0
3

5. sin4 x   cos4 x ✏ cos 2x

❄

 

6. 2 2cos2 3x ✁ 2  
7. cos4

x
2

❄

✟

2 cos 3x   1 ✏ 0

  sin4 x2   2 sin x ✏ 1

8. 2 tan x   3 cot x ✏ 4
9. 2 tan x   cot x ✏ 2 sin 2x  

1
sin 2x

10. 4sin5 x cos x ✁ 4cos5 x sin x ✏ cos2 4x   1
11. sin 3x   cos 2x ✏ 1   2 sin x cos 2x
12. cos 4x ✏ cos2 3x ✁ cos2 x   1

2.3

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Dạng
a sin x   b cos x ✏ c♣1q
Phương pháp:
Chia cả 2 vế phương trình cho
Phạm Thị Thu Hiền

9

❄

a2   b2 ta được:
Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

♣1q ô ❄

b
c
❄
❄
s
inx
+
cos

x
✏
a2   b 2
a2   b 2
a2   b2
a
b
❄
Đặt sin α ✏ ❄ 2
,
cos
α
✏
, ♣α € r0, 2π sq
a   b2
a2   b 2
c
(1) trở thành sin α. s inx   cos α. cos x ✏ ❄ 2
a   b2
c
ô cos ♣x ✁ αq ✏ ❄ 2 2 ✏ cos β (2)
a  b
Điều
kiện✞ để phương trình (2) có nghiệm là:
✞
✞
✞
2
2
2

✞❄ c
✞
✞ a2   b2 ✞ ↕ 1 ô a   b ➙ c .
♣2q ô x ✏ α ✟ β   k2π ♣k € Zq
a

Bài tập
Giải các phương trình sau

1.

❄

3 sin x ✁ cos x  

❄

2✏0

2. 3 sin 2x   2 cos 2x ✏ 3
3. 4 cos 3x ✁ 3 sin 3x   5 ✏ 0
4. 2 sin 3x  

❄

3 cos 7x   sin 7x ✏ 0

5. cos 5x ✁ sin 3x ✏

❄

3 ♣cos 3x ✁ sin 5xq

6. 3 sin x ✁ 1 ✏ 4sin3 x  
7. cos x  

❄

3 sin x ✏

❄

3 cos 3x

3
2

8. ♣2 sin x ✁ cos xq ♣1   cos xq ✏ sin2 x
9. sin x cos x ✁ sin2 x ✏ cos 2x
10.

❄

✁

3 sin x   cos x   2 cos x ✁

Phạm Thị Thu Hiền

10

π✠
✏2
3

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

2.4

Phương trình thuần nhất

1. Phương trình thuần nhất bậc 2
Dạng:
asin2 x   b sin x. cos x   ccos2 x =d ♣1q
Phương pháp: Xét cos x ✏ 0 ô x ✏

π
  kπ, k
2
Xét cos x ✘ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2 x

€ Zcó thỏa mãn không?

Ví dụ 2.1. Giải phương trình
2sin2 x ✁ 5 sin x. cos x ✁ cos2 x ✏ ✁2(1)
Giải
Ta thấy cos x ✏ 0 ô x ✏

π
  kπ, k € Z không thỏa mãn (1)
2
Xét cos x ✘ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2 x:
2

2
x 5 sin x
✁
✁
1
✏
✁
ô 2sin
cos2 x
cos x
cos2 x
ô 2tan2x ✁ 5 tan x ✁ 1 ✏ ✁2♣1   tan2xq
ô 4tan2x ✁ 5 tan x   1 ✏ 0
✔
✔
π
x ✏   kπ
tan
x
✏
1
✖
4

ô ✖✕
k€Z
1 ô✕
1
tan x ✏
x ✏ arctan   kπ
4
4
Ví dụ 2.2. Giải phương trình
1
sin2 x   sin 2x ✁ 2cos2 x ✏
2
Giải
1
sin2 x   sin 2x ✁ 2cos2 x ✏
2

ô sin2x   2 sin x. cos x ✁ 2cos2x ✏ 12 ♣1q
π
Ta thấy cos x ✏ 0 ô x ✏   kπ, k € Z không thỏa mãn (1)
2
Xét cos x ✘ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2 x:

Phạm Thị Thu Hiền

11

Facebook: Hội toán Bắc Nam

Chuyên đề lượng giác

 

✟

♣1q ô tan2x   2 tan x ✁ 2 ✏ 12 1   tan2x

ô 12 tan2x   2 tan x ✁ 52 ✏ 0
ô tan2x   4 tan x ✁ 5 ✏ 0
✔
✔
π
  kπ
x
✏
tan
x
✏
1
✖
✖
4
ô✕
ô✕
tan x ✏ ✁5
x ✏ arctan♣✁5q   kπ

Ví dụ 2.3. Giải phương trình
1

sin x   cos x ✏
(1)
sin x
Giải
Điều kiện sin x ✘ 0 ô x ✘ kπ
sin x cos x
1
♣1q ô sin
 
✏
x sin x
sin2 x

ô 1   cot x ✏ 1   cot2x
✔
✔
π
x ✏   kπ
cot
x
✏
0
ô ✖✕
ô ✖✕ π2
cot x ✏ 1
x ✏   kπ
4

2. Phương trình thuần nhất bậc 3
Dạng:

asin3 x   bsin2 x. cos x   c sin xcos2 x +dcos3 x=... ♣1q
Phương pháp: Xét cos x ✏ 0 ô x ✏

π
  kπ, k
2
Xét cos x ✘ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos3 x

€ Zcó thỏa mãn không?

Ví dụ 2.4. Giải phương trình
cos3 x ✁ 3cos2 x sin x   2sin3 x ✏ 0♣1q
Giải
Xét cos x ✏ 0 ô x ✏

π
  kπ, k € Zcó thỏa mãn không?
2
Xét cos x ✘ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos3 x
Phạm Thị Thu Hiền

12

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

♣1q ô 1 ✁ 3 tan x   2tan3x ✏ 0
ô 2tan3x ✁ 3 tan x   1 ✏ 0

 
✟
ô ♣tan x ✁ 1q 2tan2x   2 tan x ✁ 1 ✏ 0
✔
✔
π
x
✏
  kπ
tan x ✏ 1
✖
4
✖
❄✡
✂
❄ ✖✖
✖
3
✁
1
 
  kπ
ô ✖✖✖ tan x ✏ ✁1  2 3 ô ✖✖✖ x ✏ arctan
2
❄ ✖
❄✡
✂
✕
✁
1✁ 3

✕
✁
1✁ 3
tan x ✏
x ✏ arctan
  kπ
2
2
Ví dụ 2.5. Giải phương trình
6 sin x ✁ 2cos3 x ✏ 5 sin 2x cos x♣1q
Giải
Xét cos x ✏ 0 ô x ✏

π
  kπ, k € Zcó thỏa mãn không?
2
Xét cos x ✘ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos3 x
sin x
10 sin x
♣1q ô 6cos
✁
2
✏
3x
cos x
✂

ô 6 tan x cos12x
 

✡

✁ 2 ✏ 10 tan x
✟

ô 6 tan x 1   tan2x ✁ 2 ✏ 10 tan x
ô 6tan3x ✁ 4 tan x ✁ 2 ✏ 0
ô ♣tan x ✁ 1q♣6tan2x   6 tan x   2q ✏ 0
✔
tan x ✁ 1 ✏ 0
ô ✖✕ 2
6tan x   6 tan x   2 ✏ 0♣V N q
ô tan x ✏ 1 ô x ✏ π4   kπ
Bài tập
Giải các phương trình sau

Phạm Thị Thu Hiền

13

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

1. 2 sin 2x ✁ 3cos2 x   5 sin x cos x ✁ 2 ✏ 0
2. 2sin2 x   sin x cos x ✁ 3cos2 x ✏ 0
 

❄

✟

3. 3sin2 x   4 sin 2x   8 3 ✁ 9 cos2 x ✏ 0
4.

❄

3cos3 x ✁ 5sin3 x   7 sin x ✁

5. 6 sin x ✁ 2cos3 x ✏

❄8

3

cos x ✏ 0

5 sin 4x cos x
2 cos 2x

6. 3sin2 x ✁ 2 sin 2x   cos2 x ✏ 0
7. 4 cos3 x   2 sin3 x ✁ 3 sin x ✏ 0
8. 3 cos3 x   4 sin3 x ✁ 3 sin x ✁ sin2 x. cos x ✏ 0
9. 3♣cos3 x ✁ sin3 xq ✏ ♣4   sin 2xq cos x
10. 4♣cos3 x   sin3 xq ✏ sin x   3 cos x
2.5

Phương trình đối xứng

Dạng 1: a ♣sin x   cos xq   b. sin x. cos x   c ✏ 0
✁
❄
❄
π✠
; ⑤t⑤ ↕ 2
Đặt t ✏ sin x   cos x ✏ 2. sin x  
4
2
ñ t2 ✏ 1   2 sin x. cos x ñ sin x. cos x ✏ t ✁2 1
Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai theo t.
Giải phương trình này tìm t thỏa điều kiện ⑤t⑤ ↕

❄

2 từ đó suy ra x.

Pt a ♣sin x ✁ cos xq   b. sin x. cos x   c ✏ 0 tương tự.
Dạng 2: a ⑤sin x   cos x⑤   b. sin x. cos x   c ✏ 0
❄ ✞✞ ✁ π ✠✞✞
❄
t ✏ ⑤sin x   cos x⑤ ✏ 2. ✞sin x  
✞;0 ↕ t ↕ 2
4
2
ñ sin x. cos x ✏ t ✁2 1
Pt a ⑤sin x ✁ cos x⑤   b. sin x. cos x   c ✏ 0 tương tự.
Dạng 3 : Phương trình đối xứng theo tan và cot.
π
Đặt t ✏ tan x   cot x; x ✘ k , ⑤t⑤ ➙ 2

2
Phạm Thị Thu Hiền

14

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

Ví dụ 2.6. Giải phương trình
3 ♣sin x   cos xq   2. sin 2x   3 ✏ 0
Giải
3 ♣sin x   cos xq   2. sin 2x   3 ✏ 0

ô 3 ♣sin x   cos xq   4. sin x. cos x   3 ✏ 0
Đặt t ✏ sin x   cos x; ⑤t⑤ ↕
t2 ✁ 1
ñ sin x. cos x ✏ 2
ñ 3t   2t2 ✁ 2   3 ✏ 0

❄

2

ô ✔2t2   3t   1 ✏✔0
sin x   cos x ✏ ✁1 ♣1q
t ✏ ✁1
✖
✖

ô✕
1
1 ô✕
sin x   cos x ✏ ✁ ♣2q
t✏✁
2
❄ 2 ✁ π✠
♣1q ô 2 cos x ✁ 4 ✏ ✁1
❄ ✁ π✠ 1
♣2q ô 2 cos x ✁ 4 ✏ ✁ 2
✁
π ✠ ✁1
✁
ô cos x ✁ 4 ✏ ❄
π✠
✁❄1
2
ô
cos
x
✁
✏
✁
4
2 2
π✠
ô cos x ✁ 4 ✏ cos 3π4
π
✁1
ô

x ✁ ✏ ✟ arccos ❄   k2π
4
2 2
ô x ✁ π4 ✏ ✟ 3π4   k2π
Ví dụ 2.7. Giải phương trình

6 ♣cos x ✁ sin xq   sin x cos x ✏ ✁6 (1)
Giải
Đặt t ✏ cos x ✁ sin x; ⑤t⑤ ↕

❄

2

ñ sin x. cos x ✏ 1✁2t thay vào (1)
1 ✁ t2
6t  
✏ ✁6
2
ô 12t   1 ✁ t2 ✏ ✁12
✔
t ✏ ✁1 ♣N q
ô t2 ✁ 12t ✁ 13 ✏ 0 ô ✖✕
t ✏ 13 ♣Lq
2

Phạm Thị Thu Hiền

15

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

t ✏ ✁1 ô
✁

❄

✁

2 cos x  

π✠
✏ ✁1
4

π✠
ô cos x   4 ✏ ✁ ❄1
2
✔
3π
π
  k2π
x  ✏
✖
4
4
ô ✕ π 3π

x   ✏ ✁   k2π
4
4
Bài tập:

✔

  k2π
ô✕
x ✏ π   k2π
x✏
✖

π
2

Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 2 ♣sin x   cos xq   sin 2x   1 ✏ 0

2. sin x cos x ✏ 6 ♣sin x ✁ cos x ✁ 1q
❄ ✁ π✠
3. sin 2x   2 sin x ✁
✏1
4
❄
4. tan x ✁ 2 2 sin x ✏ 1
5. sin3 x   cos3 x ✏ 1

6. cos3 x ✁ sin3 x ✏ cos 2x

7. sin3 x   cos3 x   2 ♣sin x   cos xq ✁ 3 sin 2x ✏ 0
✁
π✠
8. 2 sin x  
✏ tan x   cot x
4
9. ♣sin x   cos xq4 ✁ 3 sin 2x ✁ 1 ✏ 0
1
1
10. sin x   cos x   2   tan x   cot x  
 
sin x cos x
1
1
11. sin x   cos x   2   tan x   cot x  
 
sin✟x cos x
 
4
2
12. 9♣tan x   cot xq ✏ 48 tan x   cot2 x   96
13. 3 ♣tan x ✁ cot xq   tan2 x   cot2 x ✏ 6
1
1
14. sin x   cos x   2   tan x   cot x  
 
sin
 
✟ x cos x
4

2
2
15. 3♣tan x   cot xq ✁ 8 tan x   cot x ✏ 21
2.6

✏0
✏0
✏0

Phương trình không mẫu mực

A. Phương pháp đưa về phương trình tích
Mình hay nói vui là phương pháp chia để trị.

Phạm Thị Thu Hiền

16

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

Dạng:

✔

A.B

✏ 0 ô ✖✕

A✏0
B

✏0

Ví dụ 2.8. Giải phương trình
2 sin x♣1   cos 2xq   sin 2x ✏ 1   2 cos x
Giải
2 sin x♣1   cos 2xq   sin 2x ✏ 1   2 cos x

ô 2 sin x♣1   2 cos2 x ✁ 1q   2 sin x cos x ✏ 1   2 cos x
ô 4 sin x cos2 x   2 sin x cos x ✏ 1   2 cos x
ô sin 2x♣1   2 cos xq ✏ 1   2 cos x
ô ✔♣1   2 cos xq♣sin 2x ✁ 1q ✏ 0
1   2 cos x ✏ 0
ô ✖✕
sin 2x ✁ 1 ✏ 0
Bài tập
Giải các phương trình lượng giác sau

1. ♣2 cos x ✁ 1q♣2 sin x   cos xq ✏ sin 2x ✁ sin x
2. 2 cos3 x   cos 2x   sin x ✏ 0
3. 2 sin x   cos 3x   sin 2x ✏ 1   sin 4x
4. ♣1 ✁ cot xq sin3 x   ♣cos x ✁ sin xq cos2 x ✏ cos x   sin x
5. ♣1 ✁ cos xq cot x   cos 2x   sin x ✏ sin 2x
6. 1   sin x   2 cos x ✏ ♣1   cos xq cot x
7. ♣2 sin x   1q♣3 cos 4x   2 sin x ✁ 4q   4 cos2 x ✏ 3
8. cos 3x   cos 2x ✁ cos x ✁ 1 ✏ 0
9. sin 3x ✏ cos x. cos 2x♣tan2 x   tan 2xq

Phạm Thị Thu Hiền

17

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

10. 8 sin♣x  

π
q   tan x   cot x ✏ 4 cot 2x
6

11. 5 sin x ✁ 2 ✏ 3♣1 ✁ sin xq.tan2 x
12. cos 10x ✁ cos 8x ✁ cos 6x   1 ✏ 0
B.Nhóm phương trình lượng giác có cung phức tạp
✂

✡

  ✂ 3π ✡ ✏ 4 sin 7π4 ✁ x .
sin x ✁
2
✁
π✠
♣1   s inx   cos2xq sin x   4
1
❄

2.
✏
cos x.
1   t anx
2
sin x
3π
✏2
3. tan♣ ✁ xq  
2
1   cos x

1
1.
sin x

1

❄

4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

π
2

π
sin♣2x ✁ q ✏ sin♣x ✁ q  
4
4
2
π
π
1
2 sin♣x   q ✁ sin♣2x ✁ q ✏
3
6
2
x
x π
sin2 ♣ ✁ q. tan2 x ✁ cos2 ✏ 0
2 4
2
❄
5x π
3x
x π
sin♣ ✁ q ✁ cos♣ ✁ q ✏ 2. cos
2
4
2 4
2
x π
1   sin x   cos x ✏ 2 cos♣ ✁ q
2 4
❄

π
1   tan x ✏ 2 2. sin♣x   q
4
π
π
sin x   sin♣x   q   sin 4x ✏ sin♣2x ✁ q
3
3

Phạm Thị Thu Hiền

18

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chương 3

MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC

3.1

GTLN-GTNN

Những điểm cần chú ý:
1. Phương trình a sin x   b cos x ✏ c có nghiệm ô a2   b2
2. BĐT Bunhiacopxki ⑤a.x   b.y ⑤ ↕

❛

♣a2   b2q ♣x2   y2q

Ví dụ 3.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

✏ cos2 x ✁ cos x   3
Đặt t ✏ cos x,
y ✏ t2 ✁ t   3
y

BBT
t ✁1

1
2

 5

1
3

y

11
4

✏ 5 khi t ✏ ✁1 ô cos x ✏ ✁1 ô x ✏ π   k2π
11
1
1
π

khi t ✏ ô cos x ✏ ô x ✏ ✟   k2π
M iny ✏
4
2
2
3
Ví dụ❄3.2. Tìm GTLN-GTNN của hàm số
3 cos x
y✏
(1)
2   sin x

M axy

Giải

TXĐ: D

✏R
19

➙ c2


Chuyên đề lượng giác

(1)ô 2y   y sin x ✏

❄

❄

3 cos x

3 cos x ✁ y sin x ✏ 2y(2)

Phương trình (2) có nghiệm

ô 3   ♣✁yq2 ➙ ♣2yq2
ô 3   y2 ➙ 4y2
ô 3 ➙ 3y2
ô y2 ↕ 1
ô ✁1 ↕ y ↕ 1
Vậy M axy ✏ 1
M iny ✏ ✁1
Bài tập:

Bài 1 Tìm GTLN-GTNN của mỗi hàm số sau:

1. y

✏ cos 2x   4 sin x   1

2. y

✏ ♣4   cos xq♣4   sin xq

✏ sin x   cos x ✁ sin 2x ✁ 2
cos x ✁ sin x   1
4. y ✏

sin x   2 cos x ✁ 4
cos 3x   sin 3x   1
5. y ✏
cos 3x   2
1 ✁ 3 sin x   2 cos x
6. y ✏
2   sin x   cos x
sin x cos x   cos2 x
7. y ✏
sin x cos x   1
3. y

8. y
9. y

✏ 5   12 cos x s sin x
✏

❝

✁

3 ✁ cos 2x ✁

Phạm Thị Thu Hiền

π✠
 2
4

20

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

3.2

NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Những điểm cần lưu ý
1. sin ♣A   B q ✏ sin C
2. cos ♣A   B q ✏ ✁ cos C
A B
2
A B
4. cos
2

3. sin

✏ cos C2
✏ sin C2

5. Định lí côsin

✏ b2   c2 ✁ 2bc. cos A
b 2   c 2 ✁ a2
ñ cos A ✏

a2

2bc

6. Định lí sin:

a
sin A

✏ sinb B ✏ sinc C ✏ 2R

Ví dụ 3.3. Tam giác ABC có tính chất gì nếu:

sin A
sin B. sin C

✏ 2(1)

♣1q ô sin A ✏ 2 sin B. sin C
ô sin ♣B   C q ✏ 2 sin B. cos C
ô sin B. cos C   cos B sin C ✏ 2 sin B. cos C
ô sin B. cos C ✁ cos B sin C ✏ 0
ô sin ♣B ✁ C q ✏ 0
ô B ✁ C ✏ kπ
Vì B, C là 2 góc của tam giác nên k ✏ 0 ô B ✏ C. Vậy tam giác ABC
cân ở A.
Ví dụ 3.4. Chứng minh rằng nếu cos A. cos B. cos C

✏

ABC đều.
Chứng minh

Phạm Thị Thu Hiền

21

Facebook: Hội toán Bắc Nam

1
thì tam giác
8


Chuyên đề lượng giác

♣1q ô 8 cos A. cos B. cos C ✏ 1
ô 8 cos A. 12 rcos ♣B   C q   cos ♣B ✁ C qs ✏ 1
ô 4 cos A. r✁ cos A   cos ♣B ✁ C qs ✏ 1
ô ✁4cos2A   4 cos A. cos ♣B ✁ C q ✏ 1
ô 4cos2A ✁ 4 cos A. cos ♣B ✁ C q   1 ✏ 0
ô 4cos2A ✁ 4 cos A. cos ♣B ✁ C q   cos2 ♣B ✁ C q   sin2 ♣B ✁ C q ✏ 0
ô r2 cos A ✁ cos ♣B ✁ C qs2   sin2 ♣B ✁ C q ✏ 0
✩
✬
✫ 2 cos A ✁ cos ♣B ✁ C q ✏ 0
ô✬
✪ sin ♣B ✁ C q ✏ 0
✩

✩
✩
1
✬
✬
✬
✫ cos A ✏
✫ 2 cos A ✏ 1
✫ 2 cos A ✏ cos ♣B ✁ C q
2
ô✬
ô✬
ô✬
✪B ✏ C
✪B ✏ C
✪ B ✁ C ✏ kπ
✩
✩
π
π
✬
✬
✫ A ✏ ✟   k2π
✫A ✏
3
3 ôA✏B✏C✏ π
ô✬
ô✬
3
✪B ✏ C

✪B ✏ C
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Bài tập
Bài 1: Chứng mình tam giác ABC vuông biết:
a) cos2 A   cos2 B   cos2 C

✏1

B
C
A
B
C
A
cos cos ✁ sin sin sin
2
2
2
2
2
2
sin A   cos B
c)
✏ tan A
sin B   cos A
sin B   sin C
d)
✏ sin A
cos B   cos C
b c

e) cos B   cos C ✏
a
B
a c
f ) cot ✏
2
b
b) cos

g) sin 2A   sin 2B
Phạm Thị Thu Hiền

✏ 12

✏ 4 sin A. sin B
22

Facebook: Hội toán Bắc Nam


Chuyên đề lượng giác

Bài 2:Chứng mình tam giác ABC cân biết:
sin C
✏ 2 cos A
sin B
sin A   sin B   sin C
b)
sin A   sin B ✁ sin C
a)

✏ cot A2 cot C2

c) tan A   tan B

✏ 2 cot C2
b✁c
B✁C
d)
✏
tan
b c
2
A B
e) a tan A   b tan B ✏ ♣a   bq tan
2
1   cos B
2a   c
❄
f)
✏
sin B
4a2 ✁ c2
Bài 3:Chứng mình tam giác ABC đều biết:
a) cot A   cot B   cot C

✏ tan A2   tan B2   tan C2

b) cos A   cos B   cos C

✏ sin A2   sin B2   sin C2

c) sin2 A   sin2 B   sin2 C

✏ 49

d) sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

✩
✬
✫ sin A

✏ 81

  sin C ✏ 2 sin B
e)
A
B
2
✬
✪ tan   tan
❄

✏
2
2
3

3.3

ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

Những điểm cần lưu ý
2
2
i) ✁✩1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕
✩cos x ↕ 1; 0 ↕ sin x ↕ 1; 0 ↕ cos x ↕ 1

✫A ✏ 0
➙ 0; B ➙ 0 ✬
ii)
ô✬
✬
✪A   B ✏ 0
✪B ✏ 0
✩
✬
✫A ✏ 0
2
2
iii) A   B ✏ 0 ô
✬
✪B ✏ 0

✬
✫A

Phạm Thị Thu Hiền

23

Facebook: Hội toán Bắc Nam