DE THI CASIO TOAN 9 HA TINH (2016 2017)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH VỀ GIẢI TOÁN
TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: TOÁN 9

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

I. HƯỚNG DẪN CHUNG
- Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và đủ các bước đều cho điểm tương ứng;
- Ban Giám khảo có thể thống nhất phân chia các ý để cho điểm đến 0,25;
- Điểm toàn bài không quy tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1. (6.0 điểm).
a. Tìm chữ số thập phân thứ 2014 2015 sau dấu phẩy trong phép chia

2017
2016

b. Viết số 2016 thành tổng của các số nguyên dương liên tiếp.
Câu
1a

Sơ lược cách giải

2017
= 1, 00049(603174) , chu kỳ tuần hoàn là 6. Số thập phân thứ 20142015 sau dấu phẩy
2016
tương ứng với số thập phân thứ 20142015 – 5 trong các bộ số tuần hoàn.
Ta có 2014 ≡ −2(mod 6) ⇒ 20145 ≡ −32 ≡ −2(mod 6)

(

20142015 = (20145 ) 403 ≡ ( −2)5

1b

Điểm

)

80

(

( −2)3 ≡ ( −2) 5

)

16

(

)

3

3

( −2)3 ≡ ( −2)5 ( −2) 4 ≡ ( −8)(4) ≡ 4(mod 6)

suy ra 20142015 – 5 chia 6 dư 5. Do đó số cần tìm là 7.
( n + 1) + (n + 2) + ...( n + k ) = 2016 ⇔ (2n + k + 1) k = 4032 = 2 6.33.7.
Ta thấy 2n + k + 1 > k ; 2n + k + 1 − k = 2n + 1 là số lẻ nên chỉ có thể có 5 trường hợp sau
k = 3; 2n + k + 1 = 1344 ⇒ n = 670
k = 7; 2n + k + 1 = 576 ⇒ n = 284

3

k = 9; 2n + k + 1 = 448 ⇒ n = 219
k = 21; 2n + k + 1 = 192 ⇒ n = 85
k = 63; 2n + k + 1 = 64 ⇒ n = 0
Do đó ta có: 2016 = 671+672+673 = 285+...+291=....=1+2+3+....+63
Bài 2. (4.0 điểm). Theo kết quả điều tra dân số thì dân số trung bình Việt Nam qua một số năm như
sau (đơn vị tính 1000 người)
Năm
1976
1980
1990
2000
2010
2015
Số dân
49160
53722
66016,7
77635
88434,6
91944
a. Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm qua các giai đoạn 1976-1980; 1980-1990;
1990-2000; 2000-2010; 2010-2015, giả sử rằng tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi

trong mỗi giai đoạn. (Kết quả tính chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
b. Nếu cứ duy trì tỉ lệ % tăng dân số hàng năm như giai đoạn 2010 – 2015 thì đến năm 2020
dân số của Việt Nam là bao nhiêu?
c. Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2015, mỗi năm phấn
đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ tăng dân số của năm trước đó (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ
tăng dân số là a% thì năm sau tỉ lệ là (a-x)%). Tìm x để đến năm 2020 dân số của Việt Nam là 94784
1


ngàn người. Nêu quy trình bấm phím để tìm x. (Kết quả x lấy đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy
và tỉ lệ tăng dân số của năm 2015 lấy kết quả ở câu a).
Câu
2a

2b
2c

Sơ lược cách giải
Gọi x là tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm của giai đoạn 1976-1980.
Ta có dân số năm 1980 là 49160(1+x)4 = 53722 suy ra x = 2,24%
Tương tự tỉ lệ của giai đoạn 1980-1990 là 2,08%; giai đoạn 1990-2000 là 1,63%;
Giai đoạn 2000-2010 là 1,31%; giai đoạn 2010-2015 là 0,78%
Nếu mức tăng dân số hàng năm là 096% thì đến năm 2020 dân số của Việt Nam là
91944(1+0,0078)5 = 95586,19 ngàn người
Năm 2015 dân số là 91944 ngàn, tỉ lệ tăng của năm 2015 là 0,78%
Năm 2016 tỉ lệ tăng dân số là 0,78-x, dân số năm 2016 là 91944(1,78-x)
Năm 2017 tỉ lệ tăng dân số là 0,78-2x, dân số năm 2017 là 91944(1,78-x)(1,78-2x)
..
Năm 2020 tỉ lệ tăng dân số là 0,78-5x, dân số năm 2017 là
91944(1,78-x)(1,78-2x)(1,78-3x)(1,78-4x)(1,78-5x) = 94784

Dùng lệnh shift solve ta có x = 0,24%

Điểm
1

1
2

u1 = 2016

un
Bài 3. (6.0 điểm). Cho dãy số 
un +1 = 2u + 1 , n ∈ ¥ , n ≥ 1
n

a. Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un và tính u2 , u3 ,....u10 (nói rõ trên máy tính lại nào)?
Kết quả lấy 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
b. Lập công thức tính un theo n
c. Tìm n biết [ un ] =1, trong đó ký hiệu [ un ] là phần nguyên của un

Câu
2a

Sơ lược cách giải
Điểm
Quy trình bấm phím trên CASIO fx – 570VN PLUS
2
2016 → A; ( A /(2 A + 1) ) → A ; nhấn phím bằng 1 lần để tính u2 ; 2 lần để tính u3 ……; n – 1 lần
để tính un .

u2 = 0, 49988; u3 = 0, 24997; u 4 = 0,16665; u5 = 0,12499; u6 = 0,10000;
2b

2c

u7 = 0, 08333; u8 = 0, 07143; u9 = 0, 06250; u10 = 0, 05555;
Từ công thức xác định dãy ta có:
1
1
1
1
1
1
= +2;
=
+ 2 ; …. = + 2 ;
un +1 un
un un −1
u2 u1
1
1
4032n + 1
2016
2016
= + 2n =
⇒ un =
=
suy ra
un +1 u1
2016

4032(n − 1) + 1 4032n − 4031
2016
1≤
< 2 ⇔ 5039 < 4032n ≤ 6047 , suy ra không tồn tại n
4032n − 4031

2

2

Bài 4. (8.0 điểm).
a. Tìm các số tự nhiên n biết: n + S (n) = 2016, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.
b. Cho số nguyên dương n. Biết rằng n ! có đúng 2014 chữ số 0 ở vị trí cuối cùng. Tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của n ( n ! = 1.2....n )
c. Cho các số thực x, y thỏa mãn 2( x 2 + 1 − x)( y 2 + 1 − y ) = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

F = x+ y

2


Câu
4a

4b

4c

Sơ lược cách giải
Nếu n là số tự nhiên có ít hơn 4 chữ số

Khi đó: n + S ( n) ≤ 999 + 9.3 = 1026 < 2016 (vô lý)
Lại có n + S ( n) ≥ n suy ra n có ít hơn 5 chữ số
Vậy n là số tự nhiên có 4 chữ số
Ta có: 1≤ S (n) ≤ 36
Do đó: n + S (n) = 2016 ⇔ 1980 ≤ n ≤ 2015
Suy ra n =19ab hoặc n = 20ab

3

a = 8
Với n =19ab , n + S (n) = 1910 + 11a + 2b ⇔ 2016 =1910 + 11a + 2b ⇔ 11a + 2b = 106 ⇔ 
b = 9
a = 0
Với n = 20ab , n + S (n ) = 2002 + 11a + 2 b ⇔ 2016 = 2002 + 11a + 2b ⇔ 11a + 2b = 14 ⇔ 
b = 7
KL: n = 1989; n = 2007
Ta có n ! = 52014.22014.m; với m không chia hết cho 10
Số mũ của 2 lớn hơn số mũ của 5 nên số mũ cao nhât của 10 bằng số mũ cao nhất của 5 trong n!
Số mũ cao nhất của 5 trong phân tích ra thừa số của n! là
n  n 
n
S n =   +  2  + ... +  k  với 5k ≤ n < 5k +1 . Bằng cách thứ ta có 8070 ≤ n ≤ 8074
 5  5 
5 
1
1 − a2
1 − b2
, y=
x 2 + 1 − x = a ; y 2 + 1 − y = b ; Ta có a, b > 0; ab = ; x =
2

2a
2b
11 1
2
 1
x + y =  + − a − b ÷ = ( a + b ) ≥ ab =
;
2 a b
2
 2
có “=” khi a = b =

Điểm

3

2

2
2
. Vậy giá trị nhỏ nhất là
.
2
2

Bài 5. (6.0 điểm) (lấy 4 chữ số sau dấu phẩy)
2
·
a. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Biết góc MON
= 900 và S MONC = 10cm .Tìm chu vi hình vuông

b. Cho tam giác ABC có AB = 4,1cm; BC = 5,2 cm; CA = 6,3cm. Đường phân giác trong góc A,
đường phân giác trong góc B, đường phân giác trong góc C lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N,
S ∆MNP
P. Tính tỉ số
.
S ∆ABC
Câu
4a

Sơ lược cách giải
Sử dụng phép đối xứng tâm ta có S ABCD = 4.S MONC = 40
suy ra cạnh hình vuông là 2 10
suy ra chu vi hình vuông là 8 10 = 25, 2982cm

4b

Chứng minh công thức

S MNP
S ∆MNP
2abc
=
= 0, 2415
ta có
S ABC (a + b)(b + c )(c + a )
S ∆ABC

HẾT

3

Điểm
3

3