Giáo trình Toán sơ cấp (Tái bản) Phần 1

TRUÔNG L>/EFHỌC s ư PHẠM HÀ NỘI
TRUNG TÀM GIAO DỤC TỪ XA
VŨ TUÂN - NGUYÊN VÀN DOANH

G

I

Á

O

T

R

Ì

N

H

NHÀ XUẢT BÁN ĐẠI HỌC s ư PHẠM


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




TRƯỜNG Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M HÀ N Ộ I

TRUNG T Â M G I Á O DỤC TỪ XA
GS.TS VŨ TUẤN - TS NGUYÊN VĂN DOANH

GIÁO TRÌNH

TOÁN Sơ CẤP

Dành cho học viên ngành Giáo dục tiểu học
Hệ đào tạo Tại chức và Từ xa
ì
(TÁI BẢN)

NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




G I Ớ I THIỆU CHƯƠNG TRÌNH
Giáo trình Toán sơ cấp gồm hai phần:
Đại sỏ sơ cấp và Hình học sơ cấp
Phân Đại số sơ cấp, ứng với hai đơn vị học trình (15 X 2 = 30
tiết học), bao gồm ba chương:
Chương ỉ: Phương trình.
Chương li: Hệ phương trình.

Chương UI: Bất đẳng thức, bất phương trình.
Phần này được viết theo chương trình nêu trên, nhằm cung cấp
cho sinh viên một cách hệ thống kiến thức về phương trình, hệ
phương n inh, bất phương trình đại số.
Phần Hình học sơ cấp cũng ứng với hai đơn vị học trình và bao
gồm hai chương:
Chương ì: Phương pháp tiên đề
Chương li: Đường, mật, khối trong không gian ơcơlít.
Phần hình học sơ cấp giúp sinh viên nhận rõ cách giảng dạy,
hình học ở trường phổ thông là giảng dạy theo phương pháp tiên đề
và nhìn nhận rõ các khái niệm hình học được dạy ở trường tiêu học:
Đa giác, khối, diện tích và đo diện tích cắt ghép hình, dựng hình,...
Cùng với các giáo trình khác, Toán sơ cáp sẽ góp phần giúp
sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học nhìn lại một cách tổng quát, bản
chất nội dung chương trình, các vấn đề, các b ài toán... giảng dạy ỏ
Tiểu học.
Để học tốt, nắm chắc giáo trình, bạn đọc cần ôn tập các vấn đề
về câu trúc đại số (nhóm, vành, trường...), các tập hợp số (vành số
nguyên z, trường, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R và trường số
phức C) đã được học trong Toán cao cấp ỉ và Lí thuyết số.
San khi học kỹ lí thuyết, bạn đọc cơn làm hết các b ài tập (sau
mỗi tiết §) để củng cố tí thuyết và rèn luyện kĩ năng %iải toán.
Chúng tôi mong bạn đọc góp ý, sửa chữa những thiếu sót chắc
khó tránh khỏi để xây dựng giáo trình ngày một tốt hơn.
Các tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN


3

PHẦN ì: Đ Ạ I SỐ s ơ C Ấ P
CHƯƠNG ì
PHƯƠNG TRÌNH
ì. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
§1. Các khái niệm cơ bản
1. Biểu thức toán học
a. Biểu thức toán học. (hav biểu thức) là một cách ký hiệu chí
rõ các phép toán và thứ lự thực hiện các phép toán đó trên các số và
các chữ thay số thuộc trường sô K (K có thể là Q, R hay C).
Vi dụ.
( 5 m + l)x-7
2m - X
f ( x ) =

g(x) = Vx +2X+99
h(t) = sin(cot + q>)
,
5x-(3m + I)y
u(x,y)=
,
_
2mx - ly
v(x.v) = e\siny
b. Có thê phân chia các chữ có mạt trong biêu thức toán học
thành hai loại.
Tham số (thông sô) là những chữ biểu thị những số xác định.
Đối sốìà những chữ có thể nhạn những giá trị bàng số khác nhau.
Chảng hạn, trong biểu thức h(t) trên đây thì t là đối số. co, ọ là
tham số. còn trong u(x,y) thì X, y là đôi sỏ. m là tham số.

c. Trong biêu thức một đối số f(x). sau khi thay X bơi Xo và thực
hiện tất cả các phép toán trong biểu thức f(x) thì có thể xảy ra một
trong hai khả năng:
+ Mọi phép toán đều thực hiện được và ta tính được số xác định
f(x„). Ta gọi f(x„) là giá trị của f(x) tại x„.
2

4 a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Số hó




+ Có ít nhất một trong các phép toán ghi trong biểu thức không
thực hiện được.
+ Ở trường hợp đầu ta nói f(x) xác định tại Xo và ở trường hợp
thứ hai ta nói f(x) không xác định tại XoVí dụ.
5x - 7
Biểu thức f(x) = —
không xác đinh tai X = 2 và xác đinh
2-X
với mọi X * 2. Ta nói tập xác định của f(x) là R \ {2Ị.
Biêu thức /(x) = — 5 In X không xác định nếu X < 0 và xác
định với mọi X > 0. Ta nói tập xác định của /(x) là (0, +oo) hay R ).
Chít ý: Đôi với các biểu thức toán học nhiều đối số, ta có các khái
niệm tương tự.
d. Ta gọi các phép toán cộng. trừ, nhân, chia và phép lũy thừa
với số mũ hữu tỉ là các phép toán đại số. Các phép toán khác với
năm phép toán trên gọi là phép toán siêu việt.
Biểu thức toán học chỉ gồm các phép toán đại số đối với các đối

số gọi là biểu thức đại số. Biểu thức có chứa các phép toán siêu việt
đối với các đối số gọi là biểu thức siêu việt.
Ví dụ.
. . (asinbx-bcosbx)e
2 ,
oc(x) =
r-^Ỷ
; P(x.y) = ln(x + y )
a +b
là những biêu thức siêu việt.
,
X - 2 ( m - l ) x + m-3
»
f(x) =
và ọ(x,y,z) =
+y
là những biêu thức đại sô.
2. Phương trình một ẩn sỏ
a. Cho hai biểu thức f(x) và g(x) cùng xác định trên tập hợp D c K
(D * 0 ) và lấy giá trị trong K.
Bài toán tìm tất cả các số Xo € D sao cho
f(x„) = g(x„)
(a)
được gọi là giải phương trình một ẩn số:
f(x) = g(x)
(b)
+

ax

2

2

2

:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

5



Đối số X gọi làẩn số.
Mỗi số Xo thoa mãn đẳng thức (a) được gọi là một nghiệm
của phương trình (b).
Ta ký hiệu:
s = {Xo 6 D : f(x„) = g(x„)|
là tập nghiệm của phương trình (b).
Khi đó ta nói phương trình (b) là:
- Vô nghiệm nếu s = 0 ;
- Có nghiệm duy nhất nếu s chi gồm một phần tử;
- Có vô số nghiêm nếu s có vô số phần tử.
b. Phương trình f(x) = g(x) được gọi là:
- Phương trình đợi íốnếu f(x) và g(x) là những biểu thức đại số;
- Phương trình siêu việt nếu ít nhất một trong chúng là biểu
thức siêu việt.
Ví dụ. Các phương trình
3x - Ì = Ì - 5x

3x - 5x + 2 = 0
2

N/X + 2 - N / X + 2
2

3x - 1
7x-54 _ x - 2
3 - x ~3x + l
là những phương trình đại số. Còn các phương trình:
5 * - 7.5" = 12
3 \og\ X - 51og x = 3x - Ì
2

2

sin2x - 5cosx = 6
là những phương trình siêu việt.

t

§2. Các phép biến đổi tương dương
1. Phương trình tương dương
Giả sử f), f , gi, g là những biểu thức toán học của cùng một ẩn
số X trên trường số K và cùng xác định trên tập D.
2

2

6 a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

Số hó




Định nghĩa. Hai phương trình
í ( x ) = g,(x)
(1)
và
f (x) = g (x)
(2)
gọi là tương đương với nhau trên trường số K nếu tập nghiệm của
chúng trùng nhau.
Nói cách khác, hai phương trình (1) và (2) tương đương nhau
nếu mỗi nghiệm của (Ì) cũng là nghiệm của (2) và ngược lại.
Nếu ký hiệu tập nghiệm của (1) là S| và tập nghiệm của (2) là
Sj thì:
2

2

((!)<=> (2) ) » ( S , = Sĩ)
Định nghĩa. Phương trình (2) được gọi là hệ quả của phương
trình (1) trên trường số K nếu mỗi nghiệm của (1) đều là nghiệm
của (2), tức là:
(D=>(2)»S,cS
Chú ý. Mọi phương trình vô nghiệm trên K theo định nghĩa đều
là tương đương với nhau vì cùng có tập nghiệm là 0 .
Vi dụ.
Ì) Hai phương trình

2

Ì Ì
X = —+ X 3
sin X ì
cos
X Ì
3+
+ X
X
3
cùng xác định trên R* = R \ {0} và tương đương với nhau vì có
chung nghiệm duy nhất X = 3.
2) Hai phương trình
3

2

X - Ì=0
2

Ì

Ì
= !+•
x-1
x-1
không tương đương vì phương trình thứ nhất có hai nghiêm
X = ± Ì trong khi phương trình thứ hai chỉ có một nghiệm X = - 1.
Phương trình thứ hai không xác định tại X = Ì.

x +
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN


7


2. Phép biến đổi tương đương
a. Định nghĩa. Một phép biến đổi thực hiện trên một phương
trình để được một phương trình tương đương gọi là phép b iến đôi
tương dương.
Một phép biến đổi thực hiện trên một phương trình để được một
phương trình hệ quả gọi là phép b iến đổi hệ quả.
b. Các định lý về phép b iến đổi tương đương
Giả sử f(x) và g(x) là những biểu thức một ấn trên trường K,
cùng xác định trên tập D.
Định lý ỉ.
Nếu biểu thức h(x) có nghĩa trên D thì hai phương trình
f(x) = g(x)
(3)
và f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
(4)
tương đương với nhau.
Chửng minh.
Giả sử Xo e D. Thế thì vì h(x ) e K cho nên
f(x„) = g(x„) » f(x„) + h(x„) = g(x„) + h(x„).
Điều đó có nghĩa là x„ là nghiệm của (3) khi và chí khi nó là
nghiệm của (4).

Vậy (3) và (4) tương đương với nhau.
Hệ quá:
f(x) + h(x) = g(x)
o f(x) = g(x) - h(x)
Nói cách khác, chuyển vế và đổi dấu một biểu thức của một
phương trình ta được một phương trình tương đương.
Chú ý: Điều kiện h(x) có nghĩa trẽn tập D chỉ là điều kiện đủ để
(3) và (4) tương đương chứ không phải là điều kiện ắt có.
Ví dụ. Trên trường số c có hai phương trình
X =Ì
0

4

và X = Ì -

3x + 5
3x + 5
là tương đương vì cùng có tập nghiệm (± Ì, ± i Ị , mặc dù tập xác định
2
5
của chúng khác nhau. Biểu thức
— không xác định tại X = -—.
3x + 5
3
8 a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Số hó

Định lý 2.
Nếu h(x) có nghĩa và khác 0 trên D thì hai phương trình:
f(x) = g(x)
(5)
và f(x) h ũ ) = g(x) h(x)
(6)
tương đương với nhau.
Chứng minh.
Giả sử Xo e D. Thế thì vì h(x„) E K và h(x ) * cho nên:
f(x„) = g(x„) <=> f(x„) h(x„) = g(x„) h(x„).
Điều đó chứng tỏ rằng nêu Xo là nghiệm của (5) thì nó cũng là
nghiệm của (6) và ngược lại.
Hệ quả:
Nếu nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác
không thì được một phương trình tương đương.
Vi dụ.
Ì) Hai phương trình
X - 5x + 6 = 3x - Ì
và
(x - 5x + 6) (x + X + 1) = (3x - 1) (X + X + 1)
là hai phương trình tương đương trên R vì h(x) = X + X + Ì có
nghĩa và khác 0 với mọi X e R.
Hai phương trình này có cùng nghiệm là X = Ì và X = 7.
2) Hai phương trình:
0

2

2

2

2

2

X -Ì Ì - X_ l-2x
2
~~2
3~~
3
7x + 2 x - 19 = 0
tương đương với nhau vì phương trình sau do phương trình trước
nhân với 6 và rút gọn.
Chú ý:
Điều kiện h(x) có nghĩa và khác không trên D chỉ là điều kiện
đủ để hai phương trình
f(x) = g(x)
(5)
và
f(x) h(x) = g(x) h(x)
(6)
tương đương chứ không phải là điều kiện ắt có. Nói cách khác (5) và
(6) tương đương thì chưa chắc h(x) đã có nghĩa và khác không trên D.
2

:

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

9



Thật vậy, chẳng hạn
X- + X + 11 = 8 - 3x
8-3x
=—
5-x
5-x
tương đương nhau vì cùng có các nghiệm là X = - Ì, X = - 3 mặc
dù phương trình thứ hai do phương trình đầu nhân với một biểu thức
không xác định tại X = 5 là
và

X- + X + 11

3. Phép biến đổi hằng đẳng
a. Định nghĩa.
1. Cho hai biểu thức f(x) và g(x) cùng xác định trên tập D. Ta
nói f(x) và g(x) hằng đẳng với nhau và ký hiệu:
f(x) = g(x)
nếu ta có f(x„) = g(x„) với mọi Xo e D.
2. Phép thay thế một biểu thức bởi một biểu thức hằng đẳng với
nó được gọi là phép biến đổi hằng đẳng.
b. Định lý 3. Mọi phép biến đổi hằng đẳng (mà không làm thay
đổi tập xác định của phương trình) đều là phép biến đổi tương

đương.
Ví dụ. (X - 2) (X + 2x + 1) = 3(1 - 2x + X )
<=>
(x - 2) (x + Ì) = 3(x - Ì) .
4. Giải phương trình
Về thực chất giải phương trình là thực hiện liên tiếp các phép
biến đổi tương đương từ phương trình đầu cho đến phương trình đơn
giản có thể thấy ngay nghiệm của nó.
Nếu trong quá trình biến đổi có lúc thực hiện phép biến đổi hệ
quả thì trong kết quả có thể có những nghiệm ngoại lai. Để loại
chúng ta thực hiện phép thừ vào phương trình đầu.
Ví dụ. Giải phương trình
2

2

2

2

^4-3x-x = x - l
(7)
Lời giải. Bình phương hai vế phương trình trên ta được:
2

Số hóa10bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

(8)
(9)

4 - 3x - X = X - 2x + Ì
<=> 2x + X - 3 = 0
2

2

2

3
Phương trình (9) có hai nghiệm là X, = Ì, x = - —
2

3

Phương trình (7) chỉ có một nghiệm là X, = Ì vì với x = -— thì vê
2

phải của (7) là một số âm: 1, trong khi vế trái là mót số dương.
2
Tóm tắt
(1) f|(x) =g|(x) có tập nghiệm là Sị.
(2) f (x) =g (x) có tập nghiệm là 5>2.
Định nghĩa.
( ( 1 ) 0 ( 2 ) ) <=>(S, = S2).
((!)=> (2)) <=> (S, c & ) .
Định lý.
Giả sử f, g, h cùng xác định trên D.

f(x) = g(x) o f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
f(x) = g(x) <=> f(x) h(x) = g(x) h(x).
(h(x) * 0 trên D).
Bài tập
2

2

1. Tim tập xác định của các phương trình sán:

V2x + 1
c) Vx + 1 + yỊx(x -1) =
d) ^ - i = V 5 - X
x-2

2

— trên R

trên R

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN


Ì!


Ì — 3x
X-X
4 V ĩ ; = ; , , 'rên R.

e )

2. Các phương trình sau dãy có tương đương hay không?
a) 2x - 3x = 2 và 2x + 3 = 2 trên N
b) 2x - 3x = 2 và 2x + 3 = 2 trên Q
c) X - 2 = 0
và x - 4 = 0 trênQ
d)x -2 = 0
Vã
2

2

2

4

2

, X -4
e)
—=]

và X - 2 = Ì

trẽn R

22
í) X - — = 0 và x - 2 x = 0 trẻnR

X
g) lgxvà 21gx = 2
trênR
„2 =. 2
h) log^x = 5
và 21ogJ xi = 5 trên R.
3. Cho hai phương trình trên R
f(x) = g(x)
(10)
f (x) = g (x)
(li)
Phương trình nào là hệ quả của phương trình kia? Tại sao?
4.'Các phương trình f(x) = g(x) và f (x) = g\\) có tương đương trên
R hay không? Tại sao?
3

3

2

2

2

3

5. Các phương trình f(x) = g(x) và a = a "° trong đó a > 0. a * ì có
tương đương trẽn R hay không?
6. Trong hai phương trình trên R
f(x) = g(x)

(12)
log f(x) = log g(x) trong đó 0 < a * Ì. (13)
phương trình nào là hệ quả của phương trình kia?
7. Cho phương trình vô nghiệm:
f(x) = 0
Với điều kiện nào thì (14) tương đương với phương trình f(x)
(p(x) = 0, trong đó q>(x) là một biếu thức đại số?
f(x)

a

s

a

( 1 4 )

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




l i . CÁC PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN s ổ THƯỜNG GẶP
§1. Phương trình bậc nhất
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất trên trường số K là phương trình có dạng
(chính tác):
ax + b = 0
(a. b e K. a*0)

(1)
2. Biện luận
1) a * 0. Phương trình có nghiệm duy nhất:
b
X = - —.
a
2)a = 0.
* Nêu b * 0. phương trình vô nghiệm vì Vx 6 K : Ox = 0 * - b
* Nếu b = 0, phương trình có dạng Ox = 0. Phương trình đúng với
mọi X G K.
Bảng tóm tất
ax + b = 0
k
a*0
Có nghiêm duy nhất: X - - —
a
Vô nghiệm
b*0
a= 0 < ^
Nghiệm đúng với mọi X e K (vô định)
Ví dụ ỉ. Giải và biện luận phương trình
m x + 2 = 4x + m(3m + 5).
(2)
Lời giải. (2) <=> (m - 4)x = 3m + 5m - 2
Ta xét các trường hợp sau:
Ì") m * ± 2 <=> m - 4 * 0. Phương trình có nghiệm duy nhất
2

2

2

2

3m + 5 m - 2
3m-l
X=
:
=
m -4
m-2
2") m = 2 phương trình có dạng o.x = 20. Vô nghiệm
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

13



3") m = -2 phương trình có dạng o.x = 0. Phương trình
nghiệm đúng với V X e R.
Ví dụ 2.
Giải và biện luận theo a và b phương trình sau đây:
.
3x + 2ab _ Ị
ax + b
=(i)
3
2

Lời giải. (3) <=> 6(a - l)x = 4ab - 6b + 3
Ta xét các trường hợp:
Ì") a * 1. Phương trình <=> 6(a - 1) * 0 => Phương trình có
nghiệm duy nhất là:
_ 4ab - 6b + 3
6(a-l)
2") a = 1. Phương trình có dạng: o.x = -2b + 3
*Nếu b * — thì phương trình vô nghiệm.
*Nếu b = — thì phương trình có dạng o.x = 0.
Phương trình nghiệm đúng với Vx e R.
Ví dụ. Ở một nhà trẻ các cháu được chia thành các nhóm. mỗi
nhóm có một cô phụ trách. Nếu mỗi nhóm có 6 cháu thì 4 cháu chưa
có ai phụ trách. Nếu mỗi nhóm có 8 cháu thì thùa một cô. Hỏi có bao
nhiêu cháu, bao nhiêu cô phụ trách?
Lời giải.
Gọi X là số cô phụ trách. Thế thì sô cháu của nhà trẻ này là
6x + 4 hoặc 8(x - 1).
Điều kiện: X là số nguyên dương.
Ta có phương trình:
6x4 = 8 ( x - 1)
<=> 2x = 12 <=> X = 6.
Đáp số. Số cô: 6
Số cháu: 40

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
14

§2. Phương trình bậc hai
1. Định nghĩa và cách giải
a. Định nghĩa.
Phương trình bậc hai đối vớiẩn X trên trường số K là phương
trình có dạng chính tắc:
ax + bx + c = 0 (a*0) (1)
a, b, c e K.
Biểu thức ax + bx + c gọi là tam thức bậc hai đối với X.
Dưới đây ta xét phương trình bậc hai trên trường số thực R.
b. Cách giải.
Ta biến đổi tam thức bậc haiở vế trái của (1) như sau:
2

2

2ù/2bc
ax + bx + c = a(x + —X + - )
a
a
r 2 „ b b b c,
= a[x + 2 . — x + — Y ~ — Y + —]
2a
4a
4a
a
b .2 b -4ac
= a[(x + ^ )
—ị—]
2a
4a

Do đó
b,2 b -4ac
2a 4a
Biểu thức A = b - 4ac được gọi là biệt thức của phương trình.
Có ba trường hợp:
Ì") A > 0. Khi đó
2

2

2

n

2

2

2

b

X + — = ±-—
2a
2a
Phương trình có hai nghiêm thúc phân biẽt là: X, 2 = k^^/Ă

2a

2") A = 0. Phương trình (1) tương đương với phương trình:

b,b

(x + — ) = 0
2a

<=> X, = x = - — .
2a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

2


15


Vậy phương trình có nghiệm thực kép.
3") A < 0. Phương trình (Ì) không có nghiệm thực.
Tuy nhiên trẽn trường sô phức thì A < 0 ta có.
JÃ = ±iẶÃ\
Do đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là:
V—

-b + i j A |
-b-iJ|A|
y.— và Y _ —
-—
Bảng tóm tát
ax + bx + c = 0
(A = b - 4ac)

2

2

, , -,
, ...
-b±VÃ
hai nghiêm phân biêt X| 2 =
2a
mót nghiêm kép: X = - —
2a
Không nghiệm thực

1") A > 0

a

2") A = 0
3") A < 0

hai nghiêm phức liên hóp x

n

=

-b±iJÃj
—
2a

2. Định lý Viet (Viète)
Định lý. Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a * 0) có
hai nghiệm là X| và x thì
2

2

s = X| + x = -— và p = X|X, = a
a
Định lý. Nếu X| + x = s và x,x = p thì hai số X|. x là nghiệm
của phương trình bậc hai:
X - Sx + p = 0
(Bạn đọc tự chứng minh hai định lý trên).
Ví dụ Ị.
Xác định m để phương trình
3x + 4 ( m - l ) x + m - 4 m + Ì = 0
(2)
2

2

2

2

2

2

2

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




có hai nghiệm phàn biệt thoa mãn hệ thức:
X,

X, + X,

X,

(3)

Lời giải. Trước hết tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm
phân biệt X|. Xi khác không.
Ta có:
A' = 4(m - Ì ) - 3(nr - 4m + Ì) = m + 4m + Ì > 0
2

2

m< -2 - Vã
<=>
in > -1 + SỈ3

(4)

ị
Mạt khác p = x,x = - (rrr - 4m + Ì) * 0
2

<=> m * 2 ± Vỉ.
Biến đổi hệ thức (3):
Ì
X, + X,
I

(5)

<=>

x,+x

x,+x. = 0

:

Ì
<=> (X, + x ) () =0
x,x
2
The công thức Viet ta có:
2

2

Ì

=0
2

4(m-l)T 3
m - 4m +1

m =]

2(m-l)(m- - 4 m - 5 ) <=>
;
=0
3(m -4m + l l )

<=>

m = -l
m=5

2

Kết hợp với các điều kiện (4) và (5) ta phải loại m = - Ì, do đó với
m = Ì, m = 5 thì hệ thức (3) được thoa mãn.
Ví dụ 2.
Cho f(x) = 2x + 2(m + Ì)x + m + 4m + 3
Ký hiệu X|, x là nghiệm của f(x). Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biêu thức
A = |x,x - 2x, - 2x | (6)
2

2

2

2

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

17



Lời giải. Điều kiện đế tam thức bậc hai f(x) có nghiệm là
À'= (m+ ÌÝ - 2(m + 4m + 3)>0
<=> ( m + l ) ( - m - 5 ) > 0 < = > - 5 < m < - 1 .
(7)
Với điều kiện đó, ta có:
, ,
m + 4m + 3
Xi + X, = - m - Ì và X|X =
—
2

2

2

Do đó.
A=

m + 4m + 3

m +8 + 7
2

2m + 2

Ta có nr+8m +7 = (m +1) (m +7) cho nên với điều kiện (7) thì
m + 8m +7< 0. Từ đó suy ra:
.
-m -8m-7
9 - ( m + 4)
9
/\ —
—
—
2
2
2
và A = - khi và chi khi m + 4 = 0 <=> m = - 4.
2
2

2

2

Vậy giá trị lớn nhất A là —
Ví dụ 3.

Cho phương trình bạc hai:
X - (2sina - l)x + ósirra - sina - 1 = 0
trong đó a là tham số.
a) Xác định a để phương trình có nghiệm.
2

(8).

b) Tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức xf + \ị

(trong

đó Xi, x là nghiệm của phương trình (8)) khi a thay đổi.
Lời giải.
2

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A > 0 tức là
(2sina - Ì) + 4(6sin a - sina - 1) > 0
<=> - 20sirra + 5 > 0
2

<=>

2

Ì
Ì
— < sina < —
2
2

18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




ì .«
t ,_
— + k27i6
6

hay

I -._
771 . „_
— + k2n < a < — + kin
b) Với 6điều kiện đó: 6
s = X, + x = 2sina - Ì
p = X|X = 6sin a - sinoc - Ì
5 7 1

2

2

2

=> y = + \ = (X| + x ) - 2x,x

2

2

2

2

2

= (2sina - Ì) - 2(6sin a - sincc - 1)
= - 8sin a - 2sina + 3
2

2

2

.,ÌK
Đặt t = sina(-— < t < —) ta có:
2
2
y = f(t) = - 8t - 2t + 3
• Vì hệ số của t là âm nên f(t) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của
2

2

parabol (9) là điểm (-—»—] tức là:
-ri-lì-25

Mặt khác, f í - — ì = 2, f í - I - 0 cho nõn:
y = 0 đạt được khi sincc = — tức là khi
min

a = — + k2n
6
a = — + kin
6
Định lý.
Điều kiệnắt có và đủ để phương trình f(x) = ax + bx + c = 0
(a * 0) có một nghiệm X| = Ì là a + b + c = 0.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN


19


Lúc đó Xi = —
a
Clúoig minh. Vì 1(1) = a + b + c cho nên:
f(I) = 0 <=> a + b + c = 0.
c
,
c
Theo Viet X|X, = - nên nêu X, = Ì thi x = —.
a
a
Định lý.

Điều kiện át có và đủ đế phương trình ax + bx + c = 0 có một
c
nghiệm bằng - Ì là a - b + c = 0. Khi đó x = -— .
a
Bạn đọc tự chứng minh.
:

2

2

Báng tóm tắt
Xi x->: nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0
b
c
XI + X =
;
X|X-> = a
a
X, = 1
<=>a + b + c = 0
<=>a-b + c = 0
X, = -1
Vi dụ.
Giải và biện luận phương trình
(Ì - 2m + m )x + m(2 - m)x - Ì = 0
Lời giải. Ta xét hai trường hợp
:

2

2

2

• a = Ì - 2m + m = (m - Ì) * 0 <=> m * Ì
Khi đó, vì a + b + c = Ì - 2m + m + 2m - m - Ì = 0 cho nên
2

2

2

2

phương trình có hai nghiệm X| = Ì và Xi =

—
l-2m + m
• a = Ì - 2m + m =0 o m = Ì thì phương trình trờ thành
X - Ì = 0 khi đó X = Ì.
3

2

Đáp số: m * Ì: ị ị

X, =
m = 1:

(m-l)

J

X=Ì

20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN




3. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai trên trường số thực R
f(x) = a.v + bx + c
A = b - 4ac
1) Nếu A < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi X e R.
2) Nếu A - 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi X e R mà
b
X * -2a
2

3) Nêu'A > 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi X ở trong khoảng
hai nghiệm, còn vói các X nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x)
cùng dấu với a.
Chứng minh. Ta có:
.

f(x) = a

b ,2
2a

Á
4a

Ì") Nếu A < 0 thì (x + ~ Ý ~ ~ > 0 với Vx e R, do đó
2a
4a
b , A
Vx 6 R. af(x) = a
> 0, tức là f(x) cùng dấu a với
2a
4aVx 6 R.
2

b
h
2") Nêu A = 0 thì f(x) = 0 khi X = - — và với mọi X * -—
2a
2a
(x + y - ) > 0 = > a f ( x ) =a (x + y - ) > 0 tức là f(x) cùng đấu a.
2

2

ta có

:

3") Nếu A > 0 tam thức có hai nghiệm phân biệt X| X
(X| < X,) và f(x) = a(x - X|) (x - x )
Lập báng xét dấu:
X
-co
X,
2

X,

0

X - Xi
X - X,
f(x) = a ( x - x , ) ( x - x )
2

cùng dấu a 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

+ 00
+

trái dấu a 0

cùng dấu i

21

Từ đó:
f(x) cùng dấu a với mọi X 6 (-oe, X|) u (x , +00).
f(x) trái dấu a với mọi X e (X,, x ).
Từ định lý trên ta suy ra ngay định lý đảo sau đây:
Định lý đảo:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a * 0) và số thực a.
Ì") Nếu af(a) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt X| < x và
X] < a < x .
2") Nếu af(a) > 0 thì f(x) có thể có hay không có nghiệm.
Trong trường hợp f(x) có hai nghiệm X|, Xi (X| < x ) thì a < X| hoặc
a >x.
Bảng tóm tắt
2

2

2

2

2

2

2

Định lý thuận
f(x) = ax + bx + c (a * 0)

A = b -• 4ac
=> Vx e R,
2

2

1") A < 0
2°) A = 0

=> Vx e R, X *

3") A > 0

=> <

VxeR,

af(x) > 0
af(x) > 0

la
X < X,

X>x

af(x) > 0

2

Vx e R,x, < X < x

af(x)<0

2

Định lý đảo
f(x) = ax + bx + c (a * 0), a là số thực
A = b - 4ac
2

2

f ( x ) có 2 nghiệm x,,x

1") a f ( a ) < 0
- í :

Số hó
22a bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN

X, < a < x

2

2




(X < X

2°) af(a) > 0 và A > 0
oe > x

2

Ví dụ ỉ. Xét dấu các tam thức sau
a) f(x) = -3x + 2x - 5
b) f(x) = 5x + 6x + Ì
Lời giải.
a) Vì a = - 3 < 0 và à' = Ì - 15 = - 14 < 0 cho nên f(x) < 0 với
Vx e R.
b) Vì a = 5 > 0 và a - b + c = 0, c = Ì cho nên tam thức có hai
nghiệm
2

2

làx, = - Ì vàx = - . Do đó f(x) > 0 với Vx e (-oo,-l)u
5
2

--,+00

f(x)<0 với Vx e - Ì ,
Ví dụ 2.
Tìm các giá trị của m sao cho tam thức
f(x) = mx + (m - Ì )x + m - Ì
luôn âm với mọi X e R.
Lời giải.
Phải có

a = m < 0 và
A = ( m - l ) - 4 m ( m - 1) = (1 - m ) (3m + 1)<0
2

2

<=>

m < - - hoác m > Ì
3

Vậy nếu m < - - thì f(x) < 0 với Vx e R.
Ví dụ 3.
Cho tam giác ABC bất kỳ. Chứng minh rằng với mọi X 6 R ta
đều có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN


23