Một số tính chất động lực học của c0 nửa nhóm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA: TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Lê Khánh Ly

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC
CỦA C0 - NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Trọng Tiến

Hà Nội - 2016


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Phạm Trọng Tiến, người đã tận tình
giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều
kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của
các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện tốt hơn.

Hà Nội, tháng 8 năm 2016
Lê Khánh Ly

1


Mục lục
Mở đầu

3

1 LÝ THUYẾT NỬA NHÓM CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

4

1.1

Khái niệm và tính chất cơ bản của C0 -nửa nhóm . . . . . . . . . .

4

1.2

Toán tử sinh của C0 -nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0 -NỬA NHÓM 16
2.1

Tính siêu lặp và tính hỗn loạn của C0 -nửa nhóm . . . . . . . . . . 16

2.2

Rời rạc hóa của C0 -nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Tiêu chuẩn siêu lặp và hỗn loạn của C0 -nửa nhóm . . . . . . . . . 31

3 MỘT VÀI VÍ DỤ CỦA C0 -NỬA NHÓM

37

3.1

Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2

Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3

Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

44

2


Mở đầu
Động lực học của C0 -nửa nhóm là một hướng nghiên cứu có tính thời sự,
được phát triển trong những năm cuối thế kỉ XX, bắt đầu từ công trình của W.
Desch, W. Schappacher và G. F. Webb [4] và có nhiều ứng dụng trong nghiên
cứu dáng điệu nghiệm của phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân
thường. Luận văn này đề cập tới một số tính chất động lực học của C0 -nửa
nhóm.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm ba chương.
Chương 1: Lý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính. Chương này
trình bày những kiến thức cơ bản, các định lý và tính chất về C0 -nửa nhóm,
toán tử sinh của C0 -nửa nhóm. Ngoài ra, chúng ta sẽ đưa ra điều kiện cần và
đủ theo hàm trọng v để nửa nhóm tịnh tiến trên không gian có trọng Lpv (R+ ) là
một C0 -nửa nhóm.
Chương 2: Một số tính chất động lực học của C0 -nửa nhóm. Đây là
phần chính của luận văn, trình bày những kiến thức cơ bản về tính chất động
lực học của C0 -nửa nhóm trên không gian Banach khả ly. Đó là tính siêu lặp,
truyền ứng tôpô, tính trộn, tính trộn yếu và tính hỗn loạn cho C0 -nửa nhóm.
Chúng ta còn chỉ ra điều kiện cần và đủ của v để nửa nhóm tịnh tiến trên không
gian Lpv (R+ ) có các tính chất động lực học nêu trên.
Chương 3: Ứng dụng của C0 -nửa nhóm. Trong chương này, ta sẽ trình
bày một số ứng dụng của C0 -nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (PDEs) hoặc hệ phương trình vi phân
tuyến tính vô hạn (ODEs).
Nội dung chính của luận văn được tham khảo trong Chương 7 của tài liệu

tham khảo [7].

3


Chương 1
LÝ THUYẾT NỬA NHÓM CỦA
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về nửa nhóm
liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm, toán tử sinh của C0 -nửa nhóm và nửa nhóm
liên tục đều. Nội dung của chương này được tham khảo theo tài liệu [6].

1.1

Khái niệm và tính chất cơ bản của C0-nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.1. Một họ (Tt )t≥0 các toán tử tuyến tính liên tục của không
gian Banach X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) T0 = I ;
(2) Ts+t = Ts Tt với mọi s, t ≥ 0;
(3) lim Ts x = Tt x với mọi x ∈ X và t ≥ 0.
s→t

Điều kiện (3) còn thể hiện tính liên tục theo từng điểm của nửa nhóm. Định
lý Banach - Steinhaus chỉ ra rằng họ (Tt )t≥0 là đồng liên tục địa phương, tức là
với mọi b > 0 ta có
sup

Tt

< ∞,

t∈[0,b]

hoặc tương đương, tồn tại M > 0 sao cho
Tt x

≤M

x

với mọi t ∈ [0, b] ; x ∈ X.

4

(1.1)


Bổ đề 1.1.1. Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm ánh xạ từ
tập compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(1) F liên tục với tôpô toán tử mạnh tức là các ánh xạ K

t −→ Ft x ∈ X liên

tục với mọi x ∈ X ;
(2) F bị chặn đều trên K , tức là
K

≤ M với mọi t ∈ K và các ánh xạ

Ft

t −→ Ft x ∈ X liên tục với mọi x ∈ X0 , trong đó X0 là tập con trù mật

trong X ;
(3) F liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên các tập con compact của X , tức là
ánh xạ K × C

(t, x) −→ Ft x ∈ X là liên tục đều với mọi tập compact

C ⊂ X.

Chứng minh. (3) =⇒ (1). Hiển nhiên do tập một điểm {x} là tập compact trong
X.
(1) =⇒ (2). Do ánh xạ t −→ Ft x liên tục trên tập compact K nên với

mỗi x cố định thuộc X ánh xạ này bị chặn trên tập K , tức là { Ft x : t ∈ K} bị
chặn với mỗi x ∈ X . Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, tập { Ft : t ∈ K} là bị
chặn, tức là hàm F bị chặn đều trên K .
(2) =⇒ (3). Giả sử

Ft

≤ M với mọi t ∈ K và ε > 0 cố định cho trước.

Do C là tập compact trong X và do X0 = X nên tồn tại một bộ số hữu hạn
x1 , x2 , ..., xn ∈ X0 sao cho
n

C⊂

xi +
i=1

Chọn δ > 0 sao cho

ε
U , U là hình cầu đơn vị của X.
4M

Ft xi − Fs xi

ε
(i = 1, n) với mọi t, s ∈ K thỏa mãn
4

<

|t − s| < δ .

Với mọi x, y ∈ C ; t, s ∈ K thỏa mãn
Ft x − Fs y

x−y

≤

<

Ft (x − xi ) + (Ft − Fs )xi
ε
ε
ε
ε
+ +M
+M
4M
4
4M
4M

ε
, |t − s| < δ ta có
4M
+

Fs (xi − x)

< ε,
ε
.
4M
Vậy ánh xạ (t, x) −→ Ft x liên tục đều với mọi t ∈ K và x ∈ C .

trong đó, ta chọn i ∈ {1, 2, ..., n} sao cho
Vậy ta có điều phải chứng minh.

5

x − xi

<

+

Fs (x − y)


Định lý 1.1.1. Đối với nửa nhóm (Tt )t≥0 trên không gian Banach X các mệnh
đề sau là tương đương:
(1) (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm;
(2) lim+ Tt x = x với mọi x ∈ X ;
t→0

(3) Tồn tại δ > 0, M ≥ 1 và tồn tại tập con X0 trù mật trong X sao cho
(i)

≤ M với mọi t ∈ [0, δ];

Tt

(ii) lim+ Tt x = x với mọi x ∈ X0 .
t→0

Chứng minh. (1) =⇒ (3(ii)). Do (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm nên theo định nghĩa ta
có
lim Tt x = x với mọi x ∈ X.

t→0+

Ta lấy X0 = X khi đó lim+ Tt x = x với mọi x ∈ X0 .
t→0

Do đó, tồn tại một tập con X0 trù mật trong X sao cho lim+ Tt x = x với mọi
t→0

x ∈ X0 .
(1) =⇒ (3(i)). Giả sử δ > 0, x ∈ X cố định. Ánh xạ t −→ Ft x liên tục trên

đoạn [0, δ] nên tập { Tt x : t ∈ [0, δ]} bị chặn. Theo nguyên lý Banach-Steinhaus,
tồn tại số M ≥ 1 sao cho

Tt

≤ M với mọi t ∈ [0, δ].

(3) =⇒ (2). Đặt K = {tn ; n ∈ N}∪{0}, {tn } ⊂ [0, +∞), tn → 0 khi n → +∞.

Khi đó, K là tập compact.
Do giả thiết (3) ta có T (·)|K bị chặn và T (·)|K x liên tục với mọi x ∈ X0 .
Áp dụng bổ đề 1.1.1 ta suy ra lim Ttn x = x với mọi x ∈ X .
n→+∞

Vậy Tt liên tục tại 0 với mọi x ∈ X .
(2) =⇒ (1). Giả sử t0 > 0, x ∈ X . Khi đó ta có
lim

h→0+

Tt0 +h x − Tt0 x

≤

Tt0

≤

Tt0 +h

lim

h→0+

Th x − x

= 0.

Vậy Tt liên tục bên phải tại t0 .
Với h < 0, ta có
Tt0 +h x − Tt0 x

x − T−h x

.

Theo giả thiết (2) tồn tại M , tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t ∈ [0, δ] thì Tt

≤M

1
1
vì nếu không như vậy với mọi δn = , tồn tại tn ∈ 0,
n
n

≥ n.

6

sao cho

Ttn


Suy ra

không bị chặn khi n → +∞. Theo nguyên lý Banach-Steinhaus,

Ttn

tồn tại x ∈ X sao cho

không bị chặn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Ttn x

lim Ttn x = x với mọi x ∈ X .

n→+∞

Giả sử n0 =

t0
t
, khi đó n0 ≤ 0 ≤ n0 +1. Với mọi t ∈ [0, t0 ] ta có t ≤ t0 ≤ (n0 +1)δ .
δ
δ

Do vậy, ta có
Tt

=

T(n0 +1)

≤

t
n0 +1

T

t
n0 +1

n0 +1

≤ M n0 +1 .

Suy ra
Tt0 +h x − Tt0 x

x − T−h x → 0 khi h → 0− .

≤ M n0 +1

Vậy Tt liên tục bên trái tại t0 . Do đó liên tục tại t0 .
Vậy (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm. Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.1.1. Từ tính đồng liên tục địa phương (xem (1.1)) ta thấy Ttn xn → 0
khi (tn )n bị chặn và xn → 0. Điều này sẽ được sử dụng nhiều lần cho phần tiếp
theo.
Hơn nữa, ta có thể thiết lập một hàm số mũ bị chặn của toán tử định chuẩn
của nửa nhóm.
Mệnh đề 1.1.1. Nếu (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm thì tồn tại M ≥ 1 và w ∈ R
sao cho

Tt

≤ M ewt với mọi t ≥ 0.

Chứng minh. Chọn M = sup

Tt

< ∞ khi đó M ≥ 1.

t∈[0,1]

Lấy t = n + s ≥ 0 tùy ý với n ∈ N0 và s ∈ [0, 1). Khi đó, ta có
Tt

=

Tn+s

=

T1

n

=

Tn Ts

Ts

≤ M n+1

= M en log M ≤ M ewt ,

với w = log M .
Vậy

Tt

≤ M ewt với mọi t ≥ 0. Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.1.1. (Nửa nhóm tịnh tiến)
Cho 1 ≤ p < ∞ và v : R+ −→ R là một hàm khả tích địa phương dương, tức
b

υ(x)dx < ∞ với mọi b > 0.

là v là đo được với
0

7


Xét không gian các hàm khả tích bậc p được định nghĩa
X = Lpv (R+ ) = { f : R+ −→ K : f là đo được và

trong đó,

|f (x)|p v(x)dx

f =

f < ∞ },

1/p

∞

.

0

Nửa nhóm tịnh tiến được cho bởi Tt f (x) = f (x + t), t, x ≥ 0.
Ta có Tt là toán tử tuyến tính. Ta chứng minh (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên
không gian Lpv (R+ ) khi và chỉ khi tồn tại M ≥ 1 và w ∈ R sao cho với mọi t ≥ 0,
v(x) ≤ M ewt v(x + t) với hầu hết x ≥ 0.

(1.2)

Giả sử (1.2) được thỏa mãn. Ta chứng minh Tt là liên tục với mọi t ≥ 0.
Thật vậy, với f ∈ X , ta có
∞

Tt f

p

∞
p

|f (x + t)| v(x)dx ≤ M e

=
0

|f (x + t)|p v(x + t)dx
0

∞

≤ M ewt

wt

|f (x)|p v(x)dx = M ewt

f

p

.

0

Suy ra,

Tt f

1

t

≤ M p ew p

f .

Vậy Tt là liên tục với mọi t ≥ 0 và họ toán tử tịnh tiến là đồng liên tục địa
phương trên X .
Với mọi t, s, x ≥ 0, f ∈ X , ta có
+) Tt+s f (x) = f (x + t + s),
(Tt Ts f )x = [Tt (Ts f )] x = Tt f (x + s) = f (x + t + s).

Suy ra Tt+s = Tt Ts .
+) T0 f (x) = f (x + 0) = f (x).
Suy ra T0 = I.
Với X0 là tập các hàm liên tục có giá compact, ta chứng minh
lim

t→0+

Tt f − f

Lpv (R+ )

= 0 với mọi f ∈ X0 .

Thật vậy, giả sử f là một hàm liên tục có giá compact. Khi đó, f là liên tục đều.
Ta có
lim

t→0+

Tt f − f

∞=

lim sup |f (s + t) − f (s)| = 0.

t→0+ s∈R+

Mặt khác,

Tt f − f

Lpv (R+ )

≤c

Tt f − f
8

∞→

0 khi t → 0+ .


Suy ra
lim

t→0+

Tt f − f

Lpv (R+ )

= 0.

Do X0 trù mật trong X , theo Định lý 1.1.1, vậy (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm.
Ngược lại, giả sử nửa nhóm tịnh tiến (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên X . Gọi
M và w như trong Mệnh đề 1.1.1. Ta sẽ chứng minh được với mọi t ≥ 0,
v(x) ≤ 2M p epwt v(x + t), với hầu hết x ∈ [0, +∞) .

Bằng phản chứng, nếu điều này không đúng. Giả sử tồn tại t0 > 0 sao cho
B := x ≥ 0; v(x) > 2M p epwt0 v(x + t0 )

có độ đo Lebesgue λ(B) > 0. Cho b > 0 sao cho λ(B ∩ [0, b]) > 0 và xác định
f (x) =

1
v(x)1/p

nếu x ∈ t0 + (B ∩ [0, b]),
nếu ngược lại.

0

Vì

f

p

=

∞
|f (x)|p v(x)dx
0

=

t0 +B∩[0,b]

dx = λ(B ∩ [0, b]) > 0 và f là đo được nên

f ∈ X.

Mặt khác
Tt0 f (x)

p

=

f (x + t0 )

p

|f (x + t0 )|p v(x)dx

=
B∩[0,b]

≥ 2M p epwt0

|f (x + t0 )|p v(x + t0 )dx = 2M p epwt0

f

p

.

B∩[0,b]

Điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn của M và w trong Mệnh đề 1.1.1. Vậy (1.2)
là đúng.
Bây giờ, để tránh một số vấn đề kĩ thuật, ta sẽ yêu cầu trong phần tiếp theo v
là trọng thỏa mãn (1.2) với hầu hết x ≥ 0. Tương đương, với M ≥ 1 và w ∈ R
sao cho
v(x) ≤ M ew(y−x) v(y) khi y ≥ x ≥ 0.

(1.3)

Trong trường hợp này v được gọi là hàm trọng số chấp nhận được.
Định nghĩa 1.1.2. (Nửa nhóm liên tục đều) Nửa nhóm (Tt )t≥0 gọi là nửa
nhóm liên tục đều trong L(X) nếu ánh xạ R+

t → Tt ∈ L(X) liên tục đối với

tôpô chuẩn (tôpô đều) trong L(X), tức là
lim

h→0

Tt+h − Tt

= 0 với mọi t ≥ 0.
9

(1.4)

Rõ ràng nửa nhóm liên tục đều là C0 -nửa nhóm. Điều kiện (1.4) trong định
nghĩa tương đương với điều kiện sau
Th − I

lim

h→0+

(1.5)

=0

Ta chứng minh (1.5) suy ra (1.4), còn từ (1.4) suy ra (1.5) là hiển nhiên.
Với t0 > 0 và h ≥ 0, ta có
Tt0 +h − Tt0

≤

Th − I → 0

Tt0

khi h → 0+

Vậy ánh xạ t −→ Tt liên tục bên phải tại t0 > 0.
Với t0 > 0 và h < 0, ta có
Tt0 +h − Tt0

do

≤

I − T−h → 0

Tt0 +h

khi h → 0−

bị chặn trên đoạn [0, t0 ].

Tt0 +h

Vậy ánh xạ t −→ Tt liên tục bên trái tại t0 > 0.
Do đó, Tt liên tục tại t0 .

Toán tử sinh của C0-nửa nhóm

1.2

Trong phần này, ta sẽ tập hợp lại một số tính chất của C0 -nửa nhóm. Ta sẽ
xác định một C0 -nửa nhóm sinh bởi toán tử A trên không gian Banach X như
sau. ∞
Từ
n=0

tn
n!

A

n

< ∞ với mọi t ≥ 0,
∞
tA

Tt = e

=
n=0

tn n
A ,
n!

t ≥ 0,

xác định toán tử trên X và dễ dàng thấy rằng (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Thật
vậy, xét chuỗi

∞

n=0
∞

Chuỗi số
∞

số
n=0

tn

n=0
An

n!

(tA)n
n!

hội tụ vì

tn n
A ,
n!

t ≥ 0.

(tA)n
n!

≤

tn

An
n!

với mọi t ≥ 0 và chuỗi

∞

hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert. Do đó chuỗi
n=0

trong L(X).

10

tn n
A hội tụ
n!


Mặt khác, T (0) = I (Quy ước 00 = I ).
Áp dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi lũy thừa, ta có
∞

∞

an x

∞

n

bn x

n=0

n

cn x n ,

=

n=0

n=0

với cn = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + ... + an b0 , ta có
∞
tA sA

Tt Ts = e e

=
n=0

tn An
n!

∞

n=0

sn A n
=
n!

∞

cn An ,
n=0

trong đó
cn =

tn s0
t0 sn t1 sn−1
+
+ ... +
0! n! 1! (n − 1)!
n! 0!

1
=
n!
=

Vậy

∞

Tt Ts =
n=0

∞

n!

tk sn−k
k!(n − k)!

k=0

1
(t + s)n .
n!
(t + s)n An
=
n!

Ta có

∞

n=1

∞

Tt − I =
n=1

[(t + s)A]n
= Tt+s .
n!

(tA)n
.
n!

Suy ra
∞

Tt − I

=
n=1

Suy ra lim+
t→0

Tt − I

(tA)n
n!

∞

≤

tn

n=1

A
n!

n

= et

A

− 1 → 0 khi t → 0+ .

= 0.

Vậy (Tt )t≥0 là nửa nhóm liên tục đều.

Tt x − x
.
t→0
t

Hơn nữa, với mọi x ∈ X , Ax = lim

Định nghĩa 1.2.1. Cho (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm tùy ý trên không gian
Banach X . Đặt
Tt x − x
với x ∈ D(A)
t→0
t

Ax := lim

trong đó
Tt x − x
tồn tại }
t→0

t

D(A) = { x ∈ X : lim

Lúc đó, A hay (A, D(A)) được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm.
11


Định lý 1.2.1. Đối với toán tử sinh A của C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 ta có các tính
chất sau:
(1) A : D(A) ⊂ X −→ X là toán tử tuyến tính;
(2) Nếu x ∈ D(A) thì Tt x ∈ D(A) và
d
Tt x = Tt Ax = ATt x, với mọi t ≥ 0;
dt
t

(3) Với mọi t ≥ 0 và x ∈ X , ta có

Ts xds ∈ D(A);
0

(4) Với mọi t ≥ 0 ta có

Tt x − x =

t





A
t





nếu x ∈ X;

Ts xds
0

nếu x ∈ D(A).

Ts Axds
0

Chứng minh. (1). Do Tt là toán tử tuyến tính và từ tính chất của giới hạn ta có
A là toán tử tuyến tính.
(2). Lấy x ∈ D(A). Theo định nghĩa của toán tử sinh, ta có
1
Th x − x
(Tt+h x − Tt x) = Tt lim
= Tt Ax.
h
h→0 h
h→0
lim

1
(Tt+h x − Tt x). Vậy Tt x ∈ D(A) và ATt x = Tt Ax.
h→0 h
(3), (4). Với x ∈ X và t > 0 ta có

Suy ra tồn tại giới hạn lim

1
h

t

t

Ts xds −

Th
0

Ts xds
0

=

1
h

1
=
h

1
=
h

t

Ts+h xds −
0
t+h
h
h
0

1
= Tt
h

1
h

1
Ts xds −
h

1
Tt+s xds −
h
h

0

t

Ts xds
0
t

Ts xds
0
h

Ts xds
0

1
Ts xds −
h

t

Ts xds ∈ D(A) và

Vậy
0

t

Tt x − x = A

Ts xds.

0

12

h

Ts xds → Tt x − x khi h → 0.
0


Nếu x ∈ D(A) thì hàm s −→ Ts

Th x − x
hội tụ đều trên đoạn [0, t] đến hàm
h

s −→ Ts Ax khi h → 0. Do đó, ta có
1
lim (Th − I)
h→0 h

t

t

Ts xds = lim

h→0

0

0

Th − I
Ts
xds =
h

t

Ts Axds, với mọi x ∈ D(A).
0

t

Vậy Tt x − x =

Ts Axds với mọi x ∈ D(A).
0

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.2.2. Toán tử sinh của C0 -nửa nhóm là toán tử đóng xác định trù mật
và xác định nửa nhóm một cách duy nhất.
Chứng minh. Giả sử (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X . Gọi A
là toán tử sinh của nửa nhóm này.
Ta chứng minh A là toán tử đóng.
Lấy dãy {xn } ⊂ D(A) sao cho lim xn = x ; lim Axn = y tồn tại.
n→∞

n→∞

Ta cần chứng minh x ∈ D(A) và Ax = y .
Theo ý (4) của Định lý 1.2.1 ta có
t

Tt xn − xn =

Ts Axn ds, với t > 0.
0

Do tính hội tụ đều của Ts Axn trên đoạn [0, t]. Cho n → +∞, ta có
t

Tt x − x =

Ts yds, với t > 0.
0

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với

1
và lấy giới hạn khi t → 0 ta được
t

Tt x − x
1
lim
= lim
t→0 t
t→0

t

t

Ts yds = y.
0

Suy ra x ∈ D(A) và Ax = y.
Vậy A là toán tử đóng.
Ta chứng minh miền xác định của A là trù mật.
1
Từ ý (3) của Định lý 1.2.1 ta có
t

Và do
1
lim
t→0 t

t

Ts xds ∈ D(A) với mọi x ∈ X .
0

t

Ts xds = x,
0

13

∀x ∈ X.


Vậy D(A) là trù mật trong X , D(A) = X.
Ta chứng minh toán tử sinh xác định nửa nhóm một cách duy nhất.
Giả sử (St )t≥0 là C0 -nửa nhóm khác có cùng toán tử sinh với C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 .
Ta chứng minh St ≡ Tt với mọi t ≥ 0.
Thật vậy, với mọi x ∈ D(A), t ≥ 0, xét ánh xạ
s → ηx (s) = Tt−s Ss x,

Với s cố định, tập {

0 ≤ s ≤ t.

Ss+h x − Ss x
: h ∈ (0, 1] } ∪ { ASs x } là tập compact trong X .
h

Ta có
1
1
1
(ηx (s + h) − ηx (s)) = Tt−s−h (Ss+h x − Ss x) + (Tt−s−h − Tt−s ) Ss x.
h
h
h

Do vậy
d

ηx (s) = Tt−s ASs x − ATt−s Ss x = 0,
ds

∀x ∈ D(A).

Suy ra ηx (s) là một hằng số.
Do ηx (0) = Tt x và ηx (t) = St x nên Tt x = St x với mọi x ∈ D(A).
Vì D(A) = X . Suy ra Tt ≡ St với mọi t ≥ 0. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Một tính chất quan trọng được cung cấp bởi định lý ánh xạ phổ điểm của
nửa nhóm đó là nếu X là không gian Banach phức thì
Ax = λx =⇒ Tt x = eλt x với mọi x ∈ X, λ ∈ C, t ≥ 0.

(1.6)

Giống như ví dụ trên, toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm tịnh tiến trên
X = Lpv (R+ ) với 1 ≤ p < ∞ được biểu diễn bởi
D(A) = f ∈ X : f là tuyệt đối liên tục và f ∈ X , Af = f .

Chúng ta nhắc lại, một hàm số F (x) được gọi là tuyệt đối liên tục trên đoạn
[a, b] nếu với mọi ε > 0 cho trước đều có δ > 0 để cho với mọi hệ khoảng
(a1 , b1 ), ..., (an , bn ) rời nhau:
n

n

(bi − ai ) < δ ⇒
i=1

|F (bi ) − F (ai )| < ε.
i=1

Một hàm số F (x) là tuyệt đối liên tục khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn thành
tích phân bất định của một hàm số khả tích.
14


Mệnh đề 1.2.1. Cho (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Các
khẳng định sau là tương đương:
(1) Nửa nhóm là liên tục đều;
(2) Toán tử sinh A của nửa nhóm định nghĩa trên toàn miền;
(3) Tồn tại một toán tử sinh A trên X sao cho Tt = etA , với t ≥ 0.
Cuối cùng, ta đưa ra khái niệm toán tử sinh của lý thuyết nửa nhóm cho
phương trình vi phân tuyến tính.
Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu

 d u(t) = Au(t)
với t ≥ 0,
dt
 u(0) = x.
trong đó, t là biến biểu thị thời gian, u(.) là hàm với giá trị trong không gian
Banach, A : D(A) ⊂ X −→ X là toán tử tuyến tính và x ∈ X là giá trị ban đầu
cho trước.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm u : R+ −→ X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán
Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu nếu u là hàm khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A)
với mọi t ≥ 0 và u(t) là nghiệm đúng của bài toán.
Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 . Khi đó, theo Định
lý 1.2.1 ta có

 d T x = AT x
t

dt
 T0 x = x.

t

với mọi t ≥ 0,

với mọi x ∈ D(A) hàm u(t, x) := Tt x là nghiệm cổ điển duy nhất của bài toán
Cauchy trừu tượng.

15


Chương 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG
LỰC HỌC CỦA C0-NỬA NHÓM
Bây giờ, chúng ta bắt đầu nghiên cứu một số tính chất động lực học của
C0 -nửa nhóm. Đó là các tính chất về siêu lặp, truyền ứng tôpô, trộn, trộn yếu

và hỗn loạn cho C0 -nửa nhóm. Trong chương này, ta coi X là một không gian
Banach khả ly.

2.1

Tính siêu lặp và tính hỗn loạn của C0-nửa nhóm

Định nghĩa 2.1.1. Cho (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm trong không gian Banach
X.

(1) Với mọi x ∈ X , ta kí hiệu
orb(x, (Tt )) = {Tt x; t ≥ 0}

là quỹ đạo của x theo (Tt )t≥0 .
(2) Nửa nhóm được gọi là siêu lặp nếu tồn tại x ∈ X sao cho quỹ đạo của nó
theo (Tt )t≥0 trù mật trong X . Trong trường hợp này, x được gọi là vectơ
siêu lặp của (Tt )t≥0 .
Định nghĩa 2.1.2. Một C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 trên không gian Banach X được
gọi là truyền ứng tôpô nếu với mọi cặp U, V mở, không rỗng của X , luôn tồn tại
t ≥ 0 sao cho Tt (U ) ∩ V = ∅.

Sử dụng X là khả ly, ta dễ dàng suy ra siêu lặp của C0 -nửa nhóm tương
đương với siêu lặp của (Ttn )n với một dãy số nguyên dương (tn )n nào đó với
16


tn → ∞. Hơn nữa, ta có thể chứng minh tính siêu lặp và truyền ứng tôpô của
C0 -nửa nhóm có khái niệm tương đương.

Định nghĩa 2.1.3. Cho (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach
X.

(1) Nửa nhóm được gọi là trộn nếu với mọi cặp U, V mở, không rỗng của X ,
tồn tại t0 ≥ 0 sao cho Tt (U ) ∩ V = ∅ với mọi t ≥ t0 .
(2) Nửa nhóm được gọi là trộn yếu nếu (Tt ⊕ Tt )t≥0 là truyền ứng tôpô trên
X ⊕ X.

Một điểm cần chú ý, với mọi C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 và (St )t≥0 trên các không
gian Banach X và Y tương ứng, (Tt ⊕ St )t≥0 là C0 -nửa nhóm trên X ⊕ Y . Giống
như trong trường hợp rời rạc, tổng trực tiếp của một nửa nhóm trộn và một nửa

nhóm siêu lặp là siêu lặp.
Định nghĩa 2.1.4. Cho (Tt )t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach
X.

(1) Một điểm x ∈ X được gọi là điểm tuần hoàn của (Tt )t≥0 nếu tồn tại t > 0
sao cho Tt x = x. Tập điểm tuần hoàn của (Tt )t≥0 được kí hiệu là Per((Tt )).
(2) Nửa nhóm được gọi là hỗn loạn nếu nó là siêu lặp và tập điểm tuần hoàn
là trù mật trong X .
Ví dụ 2.1.1. Ta xét nửa nhóm tịnh tiến trong không gian X = Lpv (R+ ) trong đó
1 ≤ p < ∞ và v: R+ −→ R là hàm trọng số chấp nhận được. Các khẳng định sau

là tương đương:
(1) Nửa nhóm tịnh tiến là siêu lặp;
(2) Nửa nhóm tịnh tiến là trộn yếu;
(3) lim inf v(x) = 0.
x→∞

Chứng minh. Ta chỉ ra (1) =⇒ (3). Giả sử v bị chặn tách rời khỏi 0, tức là tồn
tại c > 0 sao cho v(x) ≥ c, với mọi x ∈ [0, +∞). Từ (1.3), v bị chặn trên [0, 1], tồn

17


tại C > 0 sao cho v(x) ≤ C p v(x + t) với mọi x ∈ [0, 1] , t ≥ 0. Cho hàm g được xác
định bởi
g(x) =

v(x)−1/p

nếu x ∈ [0, 1] ;

nếu x ∈ (1, +∞) .

0

f < (2C)−1 và với mọi t ≥ 0, ta có

Với mọi hàm f ∈ X có

Tt f − g

 p1

1

|f (x + t) − g(x)|p v(x)dx

≥
0



 p1

1



|g(x)|p v(x)dx − 

≥

0



|f (x + t)|p v(x)dx
0

 p1

1

≥

 p1

1

| (v(x))

−1
p



 p1

1

|f (x + t)|p v(x)dx

|p v(x)dx − 
0

0



 p1

1

|f (x + t)|p v(x + t)dx ≥ 1 − C

≥1−C

1
f > .
2

0

Do đó (Tt )t≥0 không thể là siêu lặp. Vậy lim inf v(x) = 0.
x→∞

Tiếp theo ta sẽ chứng minh (3) =⇒ (1). Giả sử (3) thỏa mãn ta sẽ chỉ ra rằng
(Tt )t≥0 là truyền ứng tôpô.

Gọi X0 là tập con trù mật của hàm liên tục có giá compact. Ta cần chứng minh
với mọi f1 , f2 ∈ X0 và ε > 0, tồn tại t ≥ 0 và g ∈ X sao cho
f1 − g

< ε và Tt g = f2 .

Lấy t0 = max (supp(f1 ) ∪ supp(f2 )).
Với mọi t > t0 , ta đặt
gt (x) =

f1 (x)

nếu x < t;

f2 (x − t)

nếu x ≥ t.

Dễ thấy Tt gt = f2 . Từ giả thiết (3), tồn tại t ≥ t0 sao cho
M 2 ewt0

f2

p

v(t0 + t) < v(0)ε,

18


trong đó M và w là tham số của v (theo (1.3)).
Do đó,
∞

f 1 − gt

p

∞

|f2 (x − t)|p v(x)dx =

=
t

|f2 (x)|p v(x + t)dx
0

∞

|f2 (x)|p ew(t0 −x) dx

≤ M v(t0 + t)
0

∞

v(t0 + t)
≤ M 2 ewt0
v(0)

|f2 (x)|p ewx v(x)e−wx dx
0

v(t0 + t)
= M 2 ewt0
v(0)

f2

p

< ε.

Lặp lại kỹ thuật trên, ta có thể chứng minh (2) ⇔ (3).
Ví dụ 2.1.2. Trên không gian X = Lpv (R+ ) trong đó 1 ≤ p < ∞ và v: R+ −→ R
là hàm trọng số chấp nhận được. Các khẳng định sau là tương đương:
(1) Nửa nhóm tịnh tiến là trộn;
(2) lim v(x) = 0.
x→∞

Chứng minh. Giả sử (2) là sai. Tức là, tồn tại một dãy (tn )n với tn → ∞ sao cho
(v(tn ))n bị chặn tách rời khỏi 0.

∞

Từ điều kiện (1.3) kéo theo v bị chặn tách rời khỏi 0 trên

[tn , tn + 1].
n=1

Nhưng tồn tại C > 0 sao cho
v(x) ≤ C p v(x + tn ) với mọi x ∈ [0, 1] , n ≥ 1.

Ta sẽ chứng minh dãy toán tử (Ttn )n không là siêu lặp như trong Ví dụ 2.1.1.
Cho hàm g được xác định bởi
g(x) =

v(x)−1/p

nếu x ∈ [tn , tn + 1] ;

0

nếu x ∈
/ [tn , tn + 1] .

19


Với mọi hàm f ∈ X có

Ttn f − g

< (2C)−1 và với mọi n ≥ 1, ta có

f

 p1

1

|f (x + tn ) − g(x)|p v(x)dx

≥
0



 p1

1



|g(x)|p v(x)dx − 

≥
0



 p1

1

|f (x + tn )|p v(x)dx
0

 p1

1

| (v(x))

≥

−1
p



|p v(x)dx − 

0

 p1

1

|f (x + tn )|p v(x)dx
0



 p1

1

|f (x + tn )|p v(x + tn )dx ≥ 1 − C

≥1−C

f

1
> .
2

0

Điều này chỉ ra dãy của dãy toán tử (Ttn )n không pải là siêu lặp, mâu thuẫn với
(1).
(2) =⇒ (1). Ta chứng minh (Tt )t≥0 là trộn. Lấy X0 là tập con trù mật trong X ,

ta sẽ chứng minh với mọi f1 , f2 ∈ X0 và ε > 0, tồn tại T ≥ 0 sao cho với mọi
t ≥ T tồn tại g ∈ X thì
f1 − g

< ε và Tt g = f2 .

Lấy t0 = max (supp(f1 ) ∪ supp(f2 )).
Với mọi t > t0 , ta đặt
g(x) =

f1 (x)

nếu x < t;

f2 (x − t)

nếu x ≥ t.

Dễ thấy Tt g = f2 .
Từ lim v(x) = 0, tồn tại T > 0 sao cho
x→∞

M 2 ewt0

f2

p

v(t0 + t) < v(0)ε, với mọi t ≥ T,

trong đó M và w là tham số của v (theo (1.3)).

20


Do đó
∞

f 1 − gt

p

∞

|f2 (x)|p v(x + t)dx

|f2 (x − t)|p v(x)dx =

=
t

0
∞

|f2 (x)|p ew(t0 −x) dx

≤ M v(t0 + t)
0

∞

v(t0 + t)
≤ M 2 ewt0
v(0)

|f2 (x)|p ewx v(x)e−wx dx
0

v(t0 + t)
= M 2 ewt0
v(0)

p

f2

< ε.

Vậy (Tt )t≥0 là trộn.
Ví dụ 2.1.3. Cho X = C0 (R+ ) là không gian các hàm liên tục f : R+ −→ K với
lim f (x) = 0 được trang bị chuẩn

x→∞

f = sup |f (x)|.
x∈R+

Cho hằng số w > 0, ta xét họ các toán tử được xác định bởi
(Tt f )(x) = ewt f (x + t)

với x ∈ R+ .

Khi đó,
(1) (Tt )t≥0 xác định C0 -nửa nhóm trên X.
(2) C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 là trộn và hỗn loạn.
Chứng minh. (1). Ta chứng minh (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm.
Dễ thấy, Tt là toán tử tuyến tính. Và
Tt f

= sup

Tt f (x)

≤ sup ewt |f (x)| = ewt

x∈R+

f

x∈R+

Suy ra, Tt liên tục với mọi t ≥ 0.
Với mọi t, s, x ≥ 0; f ∈ X ta có
+) (T0 f )x = ew0 f (x + 0) = f (x). Suy ra T0 = I.
+) (Tt+s f )x = ew(t+s) f (x + t + s).
(Tt Ts f )x = Tt [(Ts f )x] = Tt ews f (x + s) = ew(t+s) f (x + t + s).

Suy ra Tt+s = Tt Ts .
21


Vì lim f (x) = 0 nên f (x) bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho |f (x)| ≤ M với
x→∞

mọi x ≥ 0.
Mặt khác, f (x) liên tục trên [0, +∞), lim f (x) = 0 nên f (x) liên tục đều trên
x→0

[0, +∞).

Lấy ε > 0 bất kỳ. Tồn tại δ1 = δ1 (ε) > 0 sao cho
ε
sup |f (x + t) − f (x)| < , với mọi 0 < t < δ1 .
2
x∈R+

Hơn nữa,
Tt f − f

= sup |ewt f (x + t) − f (x)|
x∈R+

= sup |(ewt − 1)f (x + t) + f (x + t) − f (x)|
x∈R+

≤ sup |ewt − 1||f (x + t)| + sup |f (x + t) − f (x)|
x∈R+

x∈R+

≤ M |ewt − 1| + sup |f (x + t) − f (x)|
x∈R+

ε
< M |ewt − 1| + , với mọi t ∈ (0, δ1 ).
2

Do ewt → 1, t → 0 nên tồn tại 0 < δ0 < δ1 sao cho
|ewt − 1| <

Suy ra, với mọi t ∈ (0, δ0 ) thì

ε
, với mọi t ∈ (0, δ0 ).
2M

Tt f − f < ε.

Vậy (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm.
(2). Lấy X0 là không gian con trù mật của X gồm các hàm liên tục có giá
compact. Cố định f1 ∈ X0 , f2 ∈ X và ε > 0 bất kỳ.
Với mọi t > t0 , trong đó t0 = max supp(f1 ), ta xác định gt ∈ X bởi


nếu x ≤ t0 ;

 f1 (x)
gt (x) =

Dễ thấy Tt gt = f2 và

e−wt f (0) x−t0

nếu t0 < x < t;

2
t−t0


e−wt f2 (x − t)

f1 − gt

= e−wt

nếu x ≥ t.
f2

< ε với mọi t > t0 đủ lớn.

Giống như Ví dụ 2.1.1, điều này mang lại tính trộn cho nửa nhóm.
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra nửa nhóm là hỗn loạn.
Ta sẽ chứng minh với mọi f ∈ X0 , ε > 0 tồn tại điểm tuần hoàn h ∈ X với
22


f −h

< ε.

Thật vậy, với mọi t > t0 , trong đó t0 = max supp(f ), ta xác định hàm ht ∈ X bởi
ht (x) =

e−wkt f (x − kt)

nếu kt ≤ x ≤ kt + t0 , k ∈ N0 ;

0
e−w(k+1)t f (0) x−kt−t
t−t0

nếu kt + t0 < x < (k + 1)t, k ∈ N0 .

Dễ thấy Tt ht = ht . Suy ra ht là điểm tuần hoàn.
Mặt khác,

f − ht

= sup |ht (x)| ≤ max e−wkt
k≥1

x≥t0

f

< ε với mọi t > t0 đủ lớn.

Vậy nửa nhóm này là trộn và hỗn loạn.
Định nghĩa 2.1.5. Cho (Tt )t≥0 và (St )t≥0 là C0 -nửa nhóm trên không gian
Banach khả ly X và Y .
(1) (Tt )t≥0 được gọi là tựa liên hợp với (St )t≥0 nếu tồn tại ánh xạ liên tục
φ : Y −→ X với ảnh trù mật sao cho Tt ◦ φ = φ ◦ St với mọi t ≥ 0.

Nếu φ là phép đồng phôi thì (Tt )t≥0 và (St )t≥0 được gọi là liên hợp.
(2) Tính chất P của C0 -nửa nhóm được gọi là bảo toàn dưới tính (tựa) liên hợp
nếu thỏa mãn điều kiện sau: Nếu C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 có tính chất P thì
mọi C0 -nửa nhóm (St )t≥0 (tựa) liên hợp với (Tt )t≥0 cũng có tính chất P .
Mệnh đề 2.1.1. Tính siêu lặp, trộn, trộn yếu và hỗn loạn của C0 -nửa nhóm là
bảo toàn dưới tính tựa liên hợp.
Cho X là không gian Banach khả ly thực. Khi đó, không gian phức hóa X
của X được định nghĩa
X = {x + iy; x, y ∈ X} ,

sẽ được xác định với X ⊕ X . Phép nhân vô hướng phức được định nghĩa như sau
(a + ib)(x + iy) = (ax − by) + i(ay + bx), khi đó X trở thành không gian Banach

khả ly phức.
Hơn nữa, cho T : X −→ X là một toán tử thực trên X. Khi đó, toán tử phức

hóa T : X −→ X được xác định bởi
T (x + iy) = T x + iT y.
T là một toán tử phức trên không gian X .

Nếu X là không gian Banach thực và X là không gian phức hóa của X thì họ
23


(Tt )t≥0 phức hóa của C0 -nửa nhóm (Tt )t≥0 trong X là một C0 -nửa nhóm trên X .

Từ (Tt )t≥0 là tựa liên hợp với (Tt )t≥0 qua ánh xạ chiếu từ X lên X . Nên ta có
kết quả sau:
Hệ quả 2.1.1. Nếu họ phức (Tt )t≥0 là siêu lặp (hoặc trộn yếu, trộn, hỗn loạn)
thì (Tt )t≥0 cũng vậy.
Cho A là một toán tử xác định trên không gian Banach X có toán tử liên
hợp A∗ : X ∗ −→ X ∗ . Ta gọi λ ∈ K là một giá trị riêng của A∗ nếu tồn tại x∗ ∈ X ∗ ,
x∗ = 0 sao cho Ax, x∗ = λ x, x∗ với mọi x ∈ X .

Bổ đề 2.1.1. Cho (Tt )t≥0 là C0 -nửa nhóm siêu lặp với toán tử sinh (A, D(A)).
(1) Với mọi t > 0, liên hợp Tt∗ không có giá trị riêng khi và chỉ khi với mọi
toán tử Tt − λI , λ ∈ K, có ảnh trù mật. Hơn nữa, A∗ không có giá trị riêng.
(2) Nếu X là một không gian Banach thực thì với mọi t > 0, liên hợp Tt∗ không
có giá trị riêng khi và chỉ khi với mọi toán tử Tt − λI , λ ∈ C, có ảnh trù
mật.
Chứng minh. (a). Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử orb(x, (Tt )) là trù mật trong X với x ∈ X nào đó và tồn tại t > 0, λ ∈ K
và x∗ ∈ X ∗ \ {0} sao cho Tt∗ x∗ = λx∗ . Ta sẽ có hai trường hợp:
Trường hợp 1: |λ| < 1.
Cố định y ∈ X sao cho y, x∗ = 1. Khi đó, tồn tại dãy (tn )n → ∞ sao cho
lim Ttn x = y .

n→∞

Đặt tn = mn t + sn với mn ∈ N0 và sn ∈ [0, t), n ∈ N. Khi đó, dãy (Tsn x)n bị chặn
trong X , nên ta có
1 = lim Ttn x, x∗ = lim Tsn x, (Tt∗ )mn x∗
n→∞

n→∞

mn

= lim λ
n→∞

∗

Tsn x, x

= 0.

Điều này là mâu thuẫn.
Trường hợp 2: |λ| ≥ 1.
Lấy r > 0 sao cho | Tr x, x∗ | > 1. Mặt khác, bởi tính đồng liên tục của (Ts )s∈[0,t] ,
tồn tại ε > 0 sao cho | Ts y, x∗ | < 1 với mọi s ∈ [0, t] và y ∈ X sao cho
24

y < ε.