Định thức của ma trận
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (187.57 KB, 17 trang )
10/13/2010
Định thức của ma trận
1
I. Định nghĩa định thức
---------------------------------------------------------------------
( )
Cho A = aij n×n là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi
det(A) = aij
n ×n
=A
Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và
cột thứ j của ma trận A;
Định nghĩa bù đại số của phần tử aij
Bù đại số của phần tử aij là đại lượng
Aij = (−1)i + j M ij
2
1
10/13/2010
Định nghĩa định thức bằng qui nạp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A = [a11 ] → A = a11
a) k =1:
a
a
A = 11 12 → A = a11a22 − a12 a21 = a11 A11 + a12 A12
a21 a22
b) k =2:
a11 a12
c) k =3: A = a21 a22
a31 a32
a13
a23 → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a33
...............
d) k =n:
a
⋯ a1n
a
A = 11 12
→ A = a11 A11 + a12 A12 + ⋯ + a1n A1n
*
3
Ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2 − 3
A= 2 3 0
3 2 4
Tính det (A), với
Giải
A = 1 ⋅ A11 + 2 ⋅ A12 + (−3) ⋅ A13
1+1
A11 = (−1)
A = 1 ⋅ (−1)1+1
1 2 −3
3 0
2 3 0 = (−1)1+1
= 12
2 4
3 2 4
3 0
2 4
+ 2 ⋅ (−1)1+ 2
A = 12 − 16 + 15 = 11
2 0
3 4
+ (−3) ⋅ (−1)1+3
2 3
3 2
4
2
10/13/2010
II. Tính chất của định thức
--------------------------------------------------------------------1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột
tùy ý nào đó
a1 j
A=
* a2 j *
= a1 j A1 j + a2 j A2 j +⋯+ anj Anj
⋯
anj
5
Ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
A= 5
4
Tính định thức det (A), với
− 1 3
2 2
0 0
Giải.
Khai triển theo hàng thứ 3
3 −1 3
A=5
4
2
0
2 = 4 ⋅ ( −1)
0
3 −1 3
3+1
5
4
2
0
−1 3
2 = 4 ⋅ (−1)3+1
= −32
2 2
0
6
3
10/13/2010
Ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức det (A), với
2 −3 3
3 0 1
A=
−2 0 3
4 0 −1
2
4
2
5
7
Ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Khai triển theo cột thứ hai
A=
2
−3
3
2
3
0
1
4
−2
0
3
2
4
0
−1 5
3
1
= (−3) ⋅ A12 + 0 ⋅ A22 + 0 ⋅ A32 + 0 ⋅ A42 = −3 A12
4
A = 3 −2 3 2 = ⋯ = 171
4 −1 5
8
4
10/13/2010
Định thức của ma trận tam giaùc
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên
đường chéo.
Ví dụ
2
−1 3 0 4
0 −3 6 7 1
A=0
0
5 2 8 = 2 ⋅ (−3) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅1 = −120
0
0
0 4 9
0
0
0 0 1
9
II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
1.Nếu
h →α h
i
i
A
→B
thì
hi →hi + β h j
2.Nếu A
→ B thì
3. Nếu
h ↔h
i
j
A →
B thì
| B |= α | A |
| B |=| A |
| B |= − | A |
10
5
10/13/2010
Ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức
1
2
A =
3
− 2
−1
3 5 0
2 6 − 2
1 3 1
1 2
11
Ví dụ
Giải
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
− 1 h2 → h2 − 2h1
2 3 5 0 h3 → h3 − 3h1
| A |=
3 2 6 −2
h4 → h4 + 2h1
−2 1 3 1
1
1 2
1
1
2 −1
0
1
1
0 −1 0 1
0 3 7 −1
1
Khai triển theo cột đầu tiên
| A|
1
1
2
2
1+1
1 ⋅ (−1)
1
2
−1 0 1
3 7 −1
−1 1
= −19
| A |= − 1 0 1 = 1 ⋅ (−1)1+ 2
− 4 − 15
− 4 0 − 15
12
6
10/13/2010
II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp
Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1.
Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
13
Ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức
3
2
A =
−3
4
−1
1
3 −2 0
1 4 − 2
1 3
1
2
14
7
10/13/2010
Ví dụ
Giải
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| A |=
−1
3
2
2
3 −2
−3 1
4 1
1
3
h
→
h
+
2
h
3
1 2
0 3
2
−1 1
3
−2 0
− 2 h4 → h4 − h1 3 5
1
1 −1
4
3
2
4
2
| A|
Khai triển theo cột số 4
1 ⋅ (−1)
2 3 −2
| A |= 5 8
5 5
0
0
1+ 4
= (−2) ⋅ (−1)1+3
0
0
3
3 5
1 −1
−2
2
4
5 8
= 30
5 5
15
II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
det (AT) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B)
≠ det(A) + det(B).
16
8
10/13/2010
Hạng của ma trận
17
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa hạng của ma trận
Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang
E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác
không của ma trận bậc thang
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E
18
9
10/13/2010
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
1 2 1 1
A = 2 4 2 2
3 6 3 4
Giải.
1 2 1 1
1 2 1 1
h2 →h2 − 2 h1
→ 0 0 0 0
A = 2 4 2 2
h3 →h3 −3h1
3 6 3 4
0 0 0 1
1 2 1 1
h2 ↔ h3
0 0 0 1
→
⇒ r (A ) = 2
0 0 0 0
19
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của hạng ma trận
1. r (A) = 0
A=0
2. A = (aij)m n
r(A)
x
3. Nếu A
2 2 2
A = 2 2 2
2 2 2
BĐSC
≤ min{m, n}
B, thì r (B) = r (A)
2 2 2
→ 0 0 0
0 0 0
→ r (A ) = 1.
20
10
10/13/2010
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận sau
1 2 3 3
A = 2 4 6 9
2 6 7 6
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
2 3 1 4
A= 3 4 2 9
− 2 0 −1 −3
21
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =3
2
1 1 1
A= 2 3 4
1
3 2 m m + 1
2 1 1
1
2
1 1 1
A= 2 3 4
1 → 0 1
2
−3
3 2 m m + 1 0 −1 m − 3 m − 5
1
2
1 1
→ 0 1
2
−3
0 0 m −1 m − 8
r(A) = 3 với mọi giá trị m.
22
11
10/13/2010
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =2
1 m m
A = m 1 m
m m 1
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3.
1
1 1 1
A= 2 3 1
4
3 3 m m + 1
23
Bài tập
24
12
10/13/2010
Bài tập 1
Tính det(A), nếu
2
3
A=
4
−3
1 −1
2
1
1
0
3
2
3
−2
1
2
25
Bài tập 2
Tính det(A), với
4 1
3 −2
A=
−2 1
5 1
1 0
4 1
3 1
2 3
26
13
10/13/2010
Bài tập 3
2
f ( x) =
1
x
3
3 −2
x2 + 3
1
3
6
x3 + 2 x 1
2x + 1 9
5
3
Khẳng định nào sau đây đúng?
a) Bậc của f(x) là 5.
b) Bậc của f(x) là 4.
c) Bậc của f(x) là 3.
d) Các câu khác đều sai.
27
Bài tập 4
Tính định thức của ma trận sau
0 1+ i
1
1
A= 0
i
1 − i −i 1
28
14
10/13/2010
Bài tập 5
Giải phương trình, với a, b, c là các số thực.
x2
x3
1 a a2
a3
1 b b2
b3
c2
c3
1 x
1 c
=0
29
Bài tập 6
Giải phương trình trong R
2
x
2 3
x −2 3 4
0
0
0
0
7 6
5 3
=0
30
15
10/13/2010
Bài tập 7
Đưa về ma trận bậc thang, tìm hạng của ma trận
1 1 −1 0
A= 3 4 2 1
−2 0 −1 −3
31
Bài tập 8
Tìm tất cả các giá trị m sao cho r(A) = 2
m 1 1
A=1 m 1
1 1 m
32
16
10/13/2010
Bài tập 9
Biện luận theo m hạng của ma trận A
1 m −1 2
A = 2 −1 m 5
1 10 −6 m
33
17
