Phương trình hàm sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

ĐỖ ĐỨC DUY

PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ ĐÌNH ĐỊNH

Hà Nội – Năm 2016


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . .

5

1.2

Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn

7

2 Phương trình hàm sai phân bậc nhất
2.1

11

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng
dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1

Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến . .

11

2.1.2

Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng .

13

2.2

Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d . . . . . . . .

16

2.3

Hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến tính . .

19

2.4

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai
3.1

Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn
và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

25
25

Phương trình với hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn
nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba
4.1

50

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất bậc ba 50
1


4.1.1

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất
bậc ba với ba nghiệm đơn . . . . . . . . . . . . .

4.1.2

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất
bậc ba với hai nghiệm đơn . . . . . . . . . . . .

4.1.3

53

Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất
bậc ba với nghiệm bội ba . . . . . . . . . . . . .

4.2

50

57

Phương trình hàm sai phân tuyến tính không thuần nhất
bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Kết luận

71

Tài liệu tham khảo

72

2


Mở đầu
Sai phân là một kiến thức quan trọng trong Toán học, có
ứng dụng cao trong khoa học và các ngành kỹ thuật (Quá
trình sản suất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, nghiên cứu
sinh học . . . ). Trong đó, phương trình hàm sai phân là mảng

kiến thức khó, chưa được đề cập nhiều. Hầu hết kiến thức
được tiếp cận ở các em học sinh trường chuyên. Đây là dạng
bài toán đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi
giải như kiến thức về phương trình hàm và kiến thức về sai
phân.
Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương
trình hàm sai phân, phân loại các dạng phương trình với sự
tổng hợp các phương pháp giải sẽ đóng góp cho việc định
hướng nghiên cứu, tìm hiểu cho học sinh.
Luận văn được chia làm bốn chương với nội dung:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương trình bày các kiến thức cơ bản của Lý thuyết
phương trình hàm, nhằm áp dụng cho các nội dung tiếp theo.
Còn có ví dụ minh họa cho từng đơn vị kiến thức.
Chương 2. Phương trình hàm sai phân bậc nhất.
Chương trình bày nghiên cứu dạng phương trình hàm sinh
bới các phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng,
phép tịnh tiến.
Chương 3. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc
hai.
Chương trình bày phương trình hàm sai phân tuyến tính
3


bậc hai với vế phải là hàm số đối với hàm tuần hoàn, phản
tuần hoàn cộng tính, nhân tính.
Chương 4. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc
ba.
Nội dung xét về phương trình hàm sai phân thuần nhất bậc
ba với các nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba, phương

trình không thuần nhất.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của
TS. Lê Đình Định - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Hà Nội cùng với sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ
động viên của thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy
hướng dẫn, các thầy cô trường Đại học Quốc gia Hà Nội, đã
tận tâm chỉ dạy trong suốt thời gian qua. Đồng thời tác giả
cũng xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT
Yên Viên đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành khóa học
cũng như nghiên cứu luận văn này. Xin cảm ơn gia đình, bạn
bè đã động viên giúp đỡ tác giả.
Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và
kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
sai sót. Tác giả rất mong nhận sự đóng góp từ thầy cô, bạn
bè, đồng nghiệp để hoàn thiện hơn.
Hà Nội, Tháng 09 năm 2016
Tác giả
Đỗ Đức Duy

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.1.1. Hàm số f(x) được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính
chu kỳ a(a>0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M
f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M

(1.1)

Cho f (x) là hàm tuần hoàn trên M. Khi đó T (T > 0) được gọi là
chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần
hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T .
Ví dụ 1.1.1. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f (x) khác hằng số,
tuần hoàn trên R nhưng không có chu kỳ cơ sở.
Lời giải. Xét hàm Dirichle

f (x) =

khi x ∈ Q
khi x ∈
/Q

0
1

Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q+ tùy ý.
Vì trong Q+ không có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ
sở.
Ví dụ 1.1.2. Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ
a
b

∈ Q. Chứng minh rằng F (x) = f (x) + g(x)

và G(x) = f (x)g(x) cũng là những hàm tuần hoàn trên M.
cơ sở lần lượt là a và b với

5


Lời giải. Theo giả thiết ∃m, n ∈ N + , (m, n) = 1 sao cho

a
b

=

m
n.

Đặt

T = na = mb. Khi đó:

F (x + T ) = f (x + nx) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M
G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M
(1.2)
Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M . Vậy F (x), G(x) là những
hàm tuần hoàn trên M.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm số f (x) được gọi là phản tuần hoàn cộng
tính chu kỳ b(b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M
f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M

(1.3)

Nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b0 trên M mà không là hàm
phản tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn b0 trên M thì b0 được gọi
là chu kỳ cơ sở của của hàm phản tuần hoàn f (x) trên M .
Ví dụ 1.1.3. Chứng tỏ rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là
hàm tuần hoàn trên M.
Lời giải. Theo giả thiết, ∃b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và

f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M
Suy ra ∀x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và:

f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M
Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M.
Ví dụ 1.1.4. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b
trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = g(x + b) − g(x)
với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M.

6


Ví dụ 1.1.5. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu
kỳ b trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = g(x + b) − g(x)
với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M .
Lời giải. Thật vậy, ta có:

f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b)
= g(x) − g(x + b)
= −(g(x + b) − g(x))
= −f (x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M. Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn
chu kỳ b trên M.
Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M , chọn

g(x) = − 21 f (x) thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M và
1
1
g(x + b) − g(x) = − f (x + b) − (− f (x))
2
2
1
1
= − (−f (x)) + f (x) = f (x), ∀x ∈ M.
2
2

1.2

Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản
tuần hoàn

Bài toán 1.2.1. Cho các số b, c ∈ R\{0} và d ∈ R. Xác định tất cả các
hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R

Lời giải.
i) Trường hợp c = 1. Khi đó (1.4) có dạng

f (x + b) = f (x) + d
7

(1.4)


d
d
⇔ f (x + b) − (x + b) = f (x) − x, ∀x ∈ R
b
b
hay

d
g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) − x, ∀x ∈ R
b
Vậy

d
f (x) = g(x) + x
b
trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + b) = g(x), ∀x ∈ R
ii) Trường hợp c = 1. Đặt
f (x) = g(x) +

d
1−c

thay vào (1.4) ta được

g(x + b) = cg(x)
Đặt
x

g(x) = |c| b h(x)
trong đó

h(x) nếu c > 0
−h(x) nếu c < 0

h(x + b) =

(1.5)

Vậy

f (x) =

x
d
+ |c| b h(x)
1−c

Bài toán 1.2.2. Cho h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a(a >

0). Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R

Lời giải. Ta có

h(x) =

(x + a) − x
(x + a)h(x + a) xh(x)
h(x) =
−
, ∀x ∈ R
a
a
a

Khi đó viết (1.6) dưới dạng

f (x + a) − f (x) =

(x + a)h(x + a) xh(x)
−
a
a
8

(1.6)


hay

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) −

xh(x)
a

Vậy

xh(x)
a
trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R
f (x) = g(x) +

Bài toán 1.2.3. Cho h(x) là một hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ

a(a > 0). Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + a) − f (x) = h(x), ∀x ∈ R

(1.7)

Lời giải. Do h(x) là hàm phản tuần hoàn nên

h(x + a) = −h(x)
h(x) h(x + a)
h(x) =
−
2
2
h(x + a) −h(x)
=−
−
, ∀x ∈ R
2

2
Khi đó viết (1.7) dưới dạng

f (x + a) − f (x) =

−h(x + a) −h(x)
−
2
2

hay

g(x + a) = g(x), với g(x) = f (x) +

h(x)
2

Vậy

h(x)
2
trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R
f (x) = g(x) −

Bài toán 1.2.4. Cho b = −1 và h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu
kỳ a(a > 0). Xác định tất cả các hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

f (x + a) + bf (x) = h(x), ∀x ∈ R

9

(1.8)


Lời giải. Theo tính tuần hoàn của hàm h(x) ta có các đẳng thức sau

h(x + a) = h(x)
h(x + a)
h(x)
h(x) =
+b
, ∀x ∈ R
b+1
b+1
Do đó (1.8) trở thành

f (x + a) + bf (x) =

h(x + a)
h(x)
+b
b+1
b+1

hay

g(x + a) = −bg(x)
trong đó

h(x)

b+1
Do b = −1 nên −b = 1, phương trình (1.9) có nghiệm
g(x) = f (x) −

x

g(x) = |b| a q(x)
trong đó q(x) là hàm tùy ý thỏa mãn

10

(1.9)


Chương 2
Phương trình hàm sai phân bậc
nhất
2.1

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh
tiến và đồng dạng

Trong phần này, ta sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các
phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng x → ax, phép tịnh
tiến x → x + d và các tổ hợp của chúng.

2.1.1

Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến

Bài toán 2.1.1. Cho b ∈ Z+ , d ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên tập số
thực sao cho

f (x + b) = f (x) + d, ∀x ∈ R
Lời giải
Đặt f (x) = g(x) + db x. Khi đó ta có

d
d
g(x + b) + (x + b) = g(x) + x + d
b
b
suy ra g(x + b) = g(x) hay g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì b
trên R.
Vậy hàm số cần tìm: f (x) = g(x) + db x.
Bài toán 2.1.2. Cho b ∈ R+ , c ∈ R∗ . Xác định hàm số f (x) trên tập
11


số thực sao cho

f (x + b) = cf (x), ∀x ∈ R

(2.1)

Lời giải
x

Đặt f (x) = g(x)c b . Thay vào phương trình (2.1) ta có

g(m + b)c

x+b
b

x

= cg(x)c b

suy ra

g(x + b) = g(x)
hay g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ b.
x

Do đó ta có:f (x) = g(x)c b , ∀x ∈ R
Bài toán 2.1.3. Cho b ∈ R+ , c, d ∈ R∗ , c = 1. Xác định hàm số f (x)
trên tập số nguyên sao cho

f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R
Lời giải
Đặt f (x) = g(x) +

d
1−c .

Khi đó ta có

g(x + b) +

d
d
= c g(x) +
+d
1−c
1−c

hay g(x + b) = cg(x)
Theo bài toán (2.1) ta có
x

Đặt g(x) = h(x)c b . Thay vào phương trình ta có

h(x + b)c

x+b
b

x

= ch(x)c b

suy ra

h(x + b) = h(x)
hay h(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ b.
Do đó ta có:
x

g(x) = h(x)c b , ∀x ∈ R

x
d
f (x) = h(x)c b +
, ∀x ∈ R
1−c
12

(2.2)


2.1.2

Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng

Trong phần này ta xét phương trình hàm dạng f (ax) = cf (x) + d
Bài toán 2.1.4. Cho a ∈ R, a = 1, c ∈ R∗ . Xác định số f (x) trên tập
số nguyên sao cho

f (ax) = cf (x), ∀x ∈ R
Lời giải
Xét các trường hợp
i) Nếu a = - 1 thì ta có f (−x) = cf (x). Khi đó ta có

f (x) = cf (−x) = c2 f (x)
bài toán có nghiệm khi và chỉ khi c2 = 1.
- Nếu c = 1 thì ta có f (x) là hàm chẵn hay f (x) có dạng

f (x) = h(x) + h(−x), với h(x) là hàm tùy ý trên R.
- Nếu c = - 1 thì ta có f (m) là hàm lẻ hay f (x) có dạng

f (x) = h(x) − h(−x), với h(x)là hàm tùy ý trên R.
ii) Nếu a = −1, c > 0
Đặt f (x) = |x|log|a| |c| g(x). Khi đó

|c|g(ax) = cg(x)
hay g(ax) = g(x), do đó

g(x) = αk
với αk tùy ý, và x = as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a
Suy ra f (x) có dạng

f (x) = ak |x|log|a| |c|
với αk tùy ý, và x = as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a
iii) Nếu a = −1, c < 0 thì g(ax) = −g(x). Do đó ta có

g(x) =

αk
−αk

nếu x = ka2s
nếu x = ka2s+1
13

(2.3)


với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R, k không chia hết cho a.
Suy ra f (x) có dạng

f (x) =

αk |x|log|a| |c|
nếu x = ka2s
−αk |x|log|a| |c| nếu x = ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R, k không chia hết cho a.
Bài toán 2.1.5. Cho a ∈ R∗ , a = 1, d ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên
tập số nguyên sao cho

f (ax) = f (x) + d, ∀x ∈ R

(2.4)

Lời giải
Xét các trường hợp
i) Nếu a = −1 thì ta có f (−x) = f (x) + d, suy ra

f (x) = f (−x) + d = f (x) + 2d
hay phương trình có nghiệm khi và chỉ khi d = 0.
Với d = 0 ta có f (−x) = f (x) hay f (x) là hàm chẵn trên R.
Vậy hàm số f (x) có dạng

f (x) = h(x) + h(−x), trong đó h(x) là một hàm tùy ý trên R.
ii) Nếu a = −1
Đặt f (x) = g(x) + dlog|a| |x|. Ta có

g(ax) + dlog|a| |ax| = g(x) + dlog|a| |x| + d
suy ra g(ax) = g(x) hay g(x) có dạng

g(x) = αk
với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N, k ∈ R, k không chia hết cho a.
Vậy hàm số f (x) có dạng

f (x) = αk + dlog|a| |x|
với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N, k ∈ R, k không chia hết cho a.
14


Bài toán 2.1.6. Cho a ∈ R∗ , a, c = 1, c, d ∈ R. Xác định hàm số f (x)
trên tập số nguyên sao cho

f (ax) = cf (x) + d, ∀x ∈ R

(2.5)

Lời giải
Đặt f (x) = g(x) +

d
1−c .

g(ax) +

Ta có

d
d
= c g(x) +
1−c

1−c

+d

hay g(ax) = cg(x). Theo bài toán 2.1.4 ta có
i) Nếu a = - 1 thì phương trình có nghiệm khi c = - 1.
Nếu c = - 1 thì ta có g(m) là hàm lẻ hay g(x) có dạng

g(x) = h(x) − h(−x), với h(x) là hàm tùy ý trên R
Suy ra f (x) có dạng

f (x) = h(x) − h(−x) +

d
với h(x) là hàm tùy ý trên R
1−c

ii) Nếu a = −1, c > 0 thì g(x) có dạng

g(x) = αk |x|log|a| |c|
với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N , k không chia hết cho a.
suy ra f (x) có dạng

f (x) = αk |x|log|a| |c| +

d
1−c

với αk tùy ý, x = kas , s ∈ N , k không chia hết cho a.
iii) Nếu c < 0, c = −1 thì g(x) có dạng

g(x) =

αk |x|log|a| |c|
nếu x = ka2s
−αk |x|log|a| |c| nếu x = ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N , k không chia hết cho a.

15


2.2

Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d
b
1−a

∈
/ R. Đặt f (x) = g((1 − a)x) thì phương
trình hàm dạng f (ax + b) = cf (x) + d tương đương với

Nhận xét 2.2.1. Nếu

g ((1 − a)ax + (1 − a)b) , , ∀x ∈ R
Đặt (1 − a)x = y ta có

g (ay + (1 − a)b) = cg(ay), ∀y ∈ (1 − a)R.
nên trong phần này ta chỉ xét phương trình hàm dạng f (ax + b) =
b

∈ R, a = 1
cf (x) + d với a, b, 1−a
b
Bài toán 2.2.1. Cho a, b, 1−a
∈ R∗ , a = 1. Xác định hàm số f (x) trên

tập số nguyên sao cho

f (ax + b) = cf (x), ∀x ∈ R

(2.6)

Lời giải
Đặt x = y +

b
1−a .

Khi đó ta có

f a(y +

b
b
) + b = cf (y +
)
1−a
1−a

hay

b
b
= cf (y +
)
1−a
1−a
b
Đặt f (y + 1−a
) = g(y), ta được
f ay +

g(ay) = cg(y), ∀y ∈ R
Xét các trường hợp i) Nếu a = −1, c = 1 thì g(y) là hàm chẵn trên R.
Nên hàm f (x) có dạng

f (x) = h(x −

b
b
) + h(−x +
), với h(x) là hàm bất kì trên R
1−a
1−a

ii)Nếu a = −1, c = −1 thì g(x) là hàm lẻ trên R. Nên hàm số f (x) có
dạng

f (x) = h(x −

b
b
) − h(−x +
), với h(x) là hàm bất kì trên R
1−a
1−a
16


iii) Nếu a = −1, c > 0 thì theo bài toán 2.1.4 g(x) có dạng

g(y) = αk |y|log|a| c
với αk tùy ý, y = kas , s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a.
Suy ra f (x) có dạng

f (x) = αk |x −

b log|a| c
|
1−a

b
1−a

= kas , s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a.
iv) Nếu a = −1, c < 0 thì theo bài toán 2.1.4 g(y) có dạng
với αk tùy ý,x −

αk |y|log|a| |c|
nếu y = ka2s

−αk |y|log|a| |c| nếu y = ka2s+1

g(y) =

với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a
Suy ra f (x) có dạng

g(x) =

b log|a| |c|
αk |x − 1−a
|
nếu x −
b log|a| |c|
−αk |x − 1−a |
nếu x −

b
1−a
b
1−a

= ka2s
= ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N, k ∈ R không chia hết cho a.
b
∈ R, a = 1, d ∈ R. Xác định hàm số f (x)
Bài toán 2.2.2. Cho a, b, 1−a

trên tập số nguyên sao cho

f (ax + b) = f (x) + d, ∀x ∈ R
Lời giải
Đặt x = y +

b
1−a .

Khi đó ta có

f a(y +

b
b
) + b = f (y +
)+d
1−a
1−a

hay

b
b
= f (y +
)+d
1−a
1−a
b
Đặt f (y + 1−a

) = g(y), ta được
f ay +

g(ay) = g(y) + d, ∀y ∈ R
17

(2.7)


Xét các trường hợp i) Nếu a = −1 thì g(y) là hàm chẵn trên R với d =
0. Nên hàm f (x) có dạng

b
b
f (x) = h(x − ) + h(−x + ), với h(x) là hàm bất kì trên R
2
2
ii)Nếu a = −1, đặt g(y) = h(n) + dlog|a| |y|. Ta có
h(ay) + dlog|a| |ay| = h(y) + glog|a| |y| + d
suy ra h(ay) = h(y)
do đó

h(y) = αk nếu y = as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, (a, k) = 1
vậy f (x) có dạng

f (x) = αk + dlog|a| |x −
nếu x −

b
1−a

b
|, với αk tùy ý,
1−a

= as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a.

b
Bài toán 2.2.3. Cho a, b, 1−a
∈ R, a, c = 1. Xác định hàm số f (x) trên

tập số nguyên sao cho

f (ax + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R

(2.8)

Lời giải
Đặt f (x) = g(x) +

d
1−c .

Khi đó ta có

g(ax + b) +

d
d
= c(g(x) +

)+d
1−c
1−c

hay g(ax + b) = cg(x). Đặt x = y +

g(a(y +

b
1−a .

Khi đó ta có

b
b
) + b) = cg(y +
)
1−a
1−a

suy ra

b
b
) = cg(y +
)
1−a
1−a
b
Đặt g(y + 1−a

) = h(y). Ta có h(ay) = ch(y). Theo bài toán 2.1.4 ta có
i) Nếu a = −1, c = −1 thì h(y) là hàm lẻ trên R. Nên hàm f (x) có
dạng
b
b
d
f (x) = h(x −
) − h(−x +
)+
,
1−a
1−a
1−c
g(ay +

18


với h(m) là hàm bất kì trên R
ii)Nếu a = −1, c > 0
Đặt h(y) = y log|a| |c| u(y). Khi đó

cu(ay) = cu(y)
Theo bài toán 2.1.4 ta có

f (x) = (x −

b log|a| |c|
d
)

αk +
1−a
1−c

= as k, s ∈ N ∗ , k ∈ R, k không chia hết cho a.
iii) Nếu a, c = −1, c < 0 đặt h(y) = y log|a| |c| u(y). Khi đó
với αk tùy ý,x −

b
1−a

−cu(ay) = cu(y)
f (x) =

b log|a| |c|
(x − 1−a
)
αk +
b log|a| |c|
−(x − 1−a )
αk

d
1−c

nếu x −
nếu x −

b
1−a

b
1−a

= ka2s
= ka2s+1

với αk tùy ý, s ∈ N ∗ , k ∈ R không chia hết cho a.

2.3

Hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến
tính

Bài toán 2.3.1. Xác định hàm số f (x) trên tập số nguyên sao cho

f (x + 1) =

f (x)
f (x) + 1

(2.9)

Lời giải
Nếu tồn tại m0 ∈ R sao cho f (x) = 0 thì dễ thấy f (x) = 0 với mọi

x∈R
Giả sử f (x) = 0 thì (2.9) tương đương với
f (x) + 1
1
1

=
=
+1
f (x + 1)
f (x)
f (x)
1
f (x)

= g(x) = 0, ∀x ∈ R, ta có g(x + 1) = g(x) + 1. Đây là dạng
trong bài toán 2.1.1 với b = 1 và d = 1 suy ra
Đặt

g(x) = x + a, với a ∈ R
19


Vậy hàm f (x) có dạng

1
với a ∈ R.
a+x
Bài toán 2.3.2. Cho r, s ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên tập số nguyên
sao cho
f (x)
, ∀x ∈ R
(2.10)
f (x + 1) =
rf (x) + s
f (x) =

Lời giải
Nếu tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x) = 0 thì dễ thấy f (x) = 0 với mọi

x∈R
Giả sử f (x) = 0 thì (2.10) tương đương với
1
rf (x) + s
s
=
=
+r
f (x + 1)
f (x)
f (x)
Đặt

1
f (x)

= g(x) = 0, ∀x ∈ R, ta có
g(x + 1) = g(x) + 1

Đây là dạng trong bài toán 2.1.3 với b = 1 suy ra
r
, với a ∈ R
g(x) = asx +
1−s
Vậy hàm f (x) có dạng
1−s

1
=
với a ∈ R.
f (x) =
g(x) a(1 − s)sx + r
Bài toán 2.3.3. Cho p, q, r, s ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên tập số
nguyên sao cho

f (x + 1) =

pf (x) + q
, ∀x ∈ R
rf (x) + s

Đặt

f (x) =

g(m)
h(x)

thì ta có
g(x)
p h(x)
+q
g(x + 1)
= g(x)
h(x + 1) r
h(x) + s

=

pg(x) + qh(x)
rg(x) + sh(x)
20


Ta tìm hàm g(x) và h(x) thỏa mãn

g(x + 1) = pg(x) + qh(x)
h(x + 1) = rg(x) + sh(x)
từ đó suy ra

g(x + 2) = pg(x + 1) + qh(x + 1)
= pg(x + 1) + q[rg(x) + sh(x)]
= pg(x + 1) + qrg(x) + s[g(x + 1) − pg(x)]
= (p + s)g(x + 1) + (qr − sp)g(x)
hay g(x + 2) − (p + s)g(x + 1) − (qr − sp)g(x).
Đây là phương trình sai phân bậc 2. Giải phương trình này ta tìm được

g(x), h(x). Từ đó ta tìm được hàm số f (x).
Bài toán 2.3.4. Cho b ∈ R∗ , p, q, r, s ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên
tập số nguyên sao cho

f (x + b) =

pf (x) + q
, ∀x ∈ R
rf (x) + s

Lời giải
Đặt

f (x) =

g(x)
h(x)

thì ta có
g(x)
p h(x)
+q
g(x + b)
=
h(x + b) r g(x) + s
h(x)

=

pg(x) + qh(x)
rg(x) + sh(x)

Ta tìm hàm g(x) và h(x) thỏa mãn

g(x + b) = pg(x) + qh(x)
h(x + b) = rg(x) + sh(x)

21

từ đó suy ra

g(x + 2b) = pg(x + b) + qh(x + b)
= pg(x + b) + q[rg(x) + sh(x)]
= pg(x + b) + qrg(x) + s[g(x + b) − pg(x)]
= (p + s)g(x + b) + (qr − sp)g(x)
hay g(x + 2b) − (p + s)g(x + b) − (qr − sp)g(x).
Đây là phương trình sai phân bậc 2b. Giải phương trình này ta tìm được

g(x), h(x). Từ đó ta tìm được hàm số f (x).

2.4

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 2.4.1. Tìm tất cả các hàm f (x) trên tập số thực cho

f (x + 3) = f (x) + 1, ∀x ∈ R
Lời giải
Nhận thấy b = 3, d = 1
Đặt f (x) = g(x) + 31 x

⇒ g(x + 3) + 13 (x + 3) = g(x) + 13 x + 1
⇒ g(x + 3) = g(x)
Vậy g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính với chu kì b = 3
nên f (x) = g(x) + 31 x.
Ví dụ 2.4.2. Tìm tất cả các hàm f (x) trên tập số thực sao cho

f (x + 6) = −f (x) + 4, ∀x ∈ R
Lời giải

Nhận thấy b = 6, c = −1, d = 4
Đặt f (x) = g(x) + 2. Khi đó ta có

g(x + 6) + 2 = −[g(x) + 2] + 4
⇔ g(x + 6) = −g(x)
nên f (x) = g(x) + 2 với g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 2.
22


Ví dụ 2.4.3. Tìm tất cả các hàm f (x) thỏa mãn

f (3x) = 5f (x), ∀x ∈ R
Lời giải
Ta thấy a = 3, c = 5 > 0
Đặt f (x) = |x|log3 5 g(x). Khi đó

⇒ |3x|log3 5 g(3x) = 5|x|log3 5 g(x)
⇔ g(3x) = g(x)
⇒ g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính có chu kì 3.
⇒ g(x) = αk với αk tùy ý.
Vậy f (x) = αk .|x|log3 5 .
Ví dụ 2.4.4. Tìm tất cả các hàm f (x) thỏa mãn

f (2x + 3) = 5f (x) − 9, ∀x ∈ R
Lời giải
Ta thấy a = 2, b = 3, c = 5, d = −9
Đặt f (x) = g(x) + 49 . Khi đó

⇔ g(2x + 3) +

9
9
= 5 g(x) +
4
4

−9

⇔ g(2x + 3) = 5g(x)
Đặt x = y − 3 ta được

g(2y − 3) = 5g(y − 3)
⇒ h(2y) = 5h(y) với h(y) = g(y − 3)
Theo bài toán 2.1.4 ta được h(y) = αk .|y|log2 5

⇒ g(y − 3) = αk .|y|log2 5
⇒ f (x) = αk .|x + 3|log2 5 +
23

9
4


2.5

Bài tập

Bài toán 2.5.1. Xác định hàm số f (x) trên tập số thực thỏa mãn điều
kiện

f (x + 2) = 3f (x), ∀x ∈ R, f (0) = 1 và f (1) = 3
Bài toán 2.5.2. Xác định hàm số f (x) trên tập số nguyên thỏa mãn
điều kiện

f (3x) = 2f (x) + 5, ∀x ∈ R, f (0) = 1 và f (1) = 3
Bài toán 2.5.3. Xác định dãy số {um , m ∈ Z} sao cho u0 = 32 , u1 = 2

um+2 =

um
, ∀m ∈ Z
um + 1

Bài toán 2.5.4. Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện

un+1 =

un + 4
, u0 = 0
un + 2

Bài toán 2.5.5. Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện

un+1 = aun + b, a, b ∈ R
n

uk .

Tính tổng Sn =
k=−n

Bài toán 2.5.6. Cho hai dãy số {un } và {vn } được xác định như sau
√
u m+n
=
um un , ∀m, n ∈ Z
2
u1 = 5
và

vn+1 = vn + b, b ∈ R
v1 = 3
n

Tính tổng Sn =

uk vk
k=−n

24