Bài Giảng Định Thức Và Hệ Phương Trình Đại Số Tuyến Tính

CHƯƠNG 2
ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
-----


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
1. Định nghĩa định thức cấp n:
Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của A
là một số thực bằng

n

∑ ( −1)

Ký hiệu định thức:

1+ j

j =1

a1 j M1 j

a11 a12
a21 a22
∆ = det A = aij =
M M
an1 an 2

L
L

O
L

a1n
a2 n
M
ann

Định thức con M1j là định thức của ma trận có được từ A bằng cách
xóa đi dòng 1 và cột j
Ví dụ:

 1 2 3


A =  4 5 6
7 8 9 

M13

4 5
=
7 8


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT

Định nghĩa 2: Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là
A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j
bằng công thức:

A1 j = ( −1)

1+ j

M1 j

Khi đó định thức của ma trận vuông cấp n của A là:
n

∆ = ∑ a1 j A1 j
j =1


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Định lý 1 (Định lý Laplace)
Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được
định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức:
a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i)
n

∆ = det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij
j =1

b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j)
n

∆ = det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = ∑ aij Aij
Trong đó Aij là phần phụ đại số:

Aij = ( −1)

i+ j

i =1

M ij


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
• Công thức tính định thức MT cấp 2 và 3
a) Định thức MT cấp 2:

∆ = det A =

a b
c d

b) Định thức MT cấp 3:

a11

a12

a13

∆ = det A = a21 a22
a31 a32

a23

a33

a b 
A=

c
d



= ad − bc
 a11 a12
A =  a21 a22
 a31 a32
a11 a12
a21 a22 =
a31 a32

a13 
a23 
a33 

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Ví dụ: Tính định thức của ma trận

 0 −a −b − d 
 a 0 −c −e 


A=
b c
0
0


0
0
d e
Để giảm chi phí tính toán khi áp dụng định lý Laplace thường ta
sẽ chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không nhất.
Khai triển theo dòng 3.

∆ = det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT

A31 = ( −1)

3+1

M 31 = e [ be − cd ]

− a −b − d
3+1 −b − d
M 31 = 0 −c −e = ( −1) e
=
−c −e

e
0
0
= e ( −b ) ( −e ) − ( −c ) ( − d )  = e [ be − cd ]


A32 = ( −1)
M 32

3+ 2

0
= a
d

M 32 = −d [ be − cd ]

−b − d
−b − d
3+1
−c −e = ( −1) d
=
−c −e
0
0

= d ( −b ) ( −e ) − ( −c ) ( − d )  = d [ be − cd ]
• Vậy ∆ = be ( be − cd ) − cd ( be − cd ) = ( be − cd )

2

 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT

1 2 −1
det B = 3 −2 1 = [ 1.( −2).1 + 2.1.2 + 3.1.( −1) ]
2 1 1
− [ 2.( −2)( −1) + 3.2.1 + 1.1.1] = −12.


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 1:

det A = det AT

Nhận xét: Tính chất 1 chứng tỏ rằng một kết luận đúng với dòng thì
nó cũng đúng với cột. Do đó các tính chất sau đây ta chỉ phát biểu
cho dòng


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 2: Khi hoán vị hai dòng, định thức sẽ thay đổi dấu. Gọi A’
là ma trận có được bằng cách hoán vị 2 dòng khác
nhau của A thì

det A′ = − det A

Tính chất 3: Nếu hai dòng của ma trận có các phần tử tương ứng
(Hệ quả t/c 2) bằng nhau thì det(A)=0


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 4:

Nếu nhân một dòng của ma trận A với một số α
khác 0 thì det(A) tăng lên α lần.

Tính chất 5:

Nếu các phần tử ở dòng i của ma trận A có dạng
aij=bj+cj thì

det A = det B + det C
trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các
phần tử lần lượt là bj và cj.
Chú ý:

Từ t/c 4 và 5 ta có thể phát biểu tổng quát như sau:
Nếu dòng i của ma trận A có dạng:

aij = λb j + µ c j
Thì:

det A = λ det B + µ det C

trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các
phần tử lần lượt là bj và cj.


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 6: Nếu ma trận A có một dòng là dòng 0 thì det(A)=0
Tính chất này dễ dàng suy ra được từ t/c 6 và chú ý ở trên.
Tính chất 7:
(Hệ quả của
t/c 3 và 4)

Tính chất 8:
(Hệ quả của
t/c 6 và 7)

Nếu hai dòng của ma trận A có các hệ số tương ứng tỉ lệ
nhau thì det(A)=0.

Nếu ma trận A có một dòng là tổ hợp tuyến tính
của hai dòng khác thì det(A)=0


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 9: Định thức không thay đổi khi cộng vào một dòng tổ

hợp tuyến tính của các dòng khác.
Như vậy: Nếu A’ có được từ A qua phép biến đổi sơ
cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A)

Tính chất 10:
Nếu A’ có được từ A qua hữu hạn các phép biến đổi
(Tổng quát hóa sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A)
t/c 9)
Nhắc lại:

Vì det(A)=det(AT) nên các t/c từ (2) đến (9) vẫn đúng
khi ta thay chữ “dòng” bằng chữ “cột”


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
3. Định thức của tích ma trận. Điều kiện cần và đủ để
ma trận vuông khả nghịch.
• Định thức của tích ma trận:
Định lý:

Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, ta có

det ( AB ) = det A det B
Hệ quả:
i)
ii)

Cho A, A1, A2,…, Ak là các ma trận vuông cấp n, ta có

det ( A1A 2 ...A k ) = det A1 det A 2 K det A k

( ) = ( det A )

det A

m

iii) Nếu A khả nghịch thì

m

det ( A

∀m ∈ N
−1

)

1
=
det ( A )


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
•

Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch:
Định lý: Để ma trận vuông cấp n A khả nghịch, điểu kiện
cần và đủ là định thức của A khác không.
A khả nghịch khi và chỉ khi

det ( A ) ≠ 0

Chứng minh:
Điều kiện cần: A khả nghịch => det

( A) ≠ 0

Do A khả nghịch => tồn tại B sao cho AB=I

⇒ det ( AB ) = det ( I ) ⇔ det ( A ) det ( B ) = det ( I ) = 1
⇒ det ( A ) ≠ 0

⇔ det ( A ) ≠ 0 ∧ det ( B ) ≠ 0


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Điều kiện đủ:

det ( A ) ≠ 0

A khả nghịch

Ta cần chứng minh: tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=I
Nghĩa là ta sẽ tìm ma trận B sao cho AB=BA=I
B sẽ được tìm thông qua ma trận liên hợp của A có dạng như sau:

 A11
A
AV =  12

 M

 A1n

A21
A22
M
A2 n

trong đó các Aij là phần phụ đại số.

L
L
O
L

An1 

An 2 
M

Ann 


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Bây giờ ta sẽ xét tích AAV

 a11 a12
a
21 a22

V

C = AA =
 M M

 an1 an 2
Phần tử bất kỳ của C:

Trường hợp i=j, ta có

a1n   A11


a2 n   A12
M  M

ann   A1n

L
L
O
L

A21
A22
M
A2 n

L
L

O
L

n

cij = ∑ aik A jk
k =1
n

cii = ∑ aik Aik
k =1

vế phải của (*) chính là công thức khai triển định thức theo dòng i.

An1 

An 2 
M

Ann 


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Trường hợp i≠j, ta sẽ cm cij=0.
Gọi D là ma trận có được từ A bằng cách thay các phần tử dòng j
bằng các phần tử dòng i. Vậy D là ma trận có 2 dòng i và j giống nhau

a11



L

 dong i { ai1
D=
L

 dong j { ai1

M


a12 L a1n 

L L
M

ai 2 L ain 

L L
M

ai 2 L ain 

M M M



 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Theo tính chất thứ 3 thì định thức của D bằng 0
Áp dụng công thức khai triển theo dòng j của định thức D:

n

det ( D ) = ∑ d jk D jk
Mà.

d jk = dik = aik
∀k

 D jk = A jk
n

Vậy:

k =1

0 = det ( D ) = ∑ aik A jk = cij
k =1


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
Cuối cùng ta được:

∆
0
C = AAV = 
M

0

0
∆
M
0

L
L
O
L

0
0 
M

∆

Vậy ta chọn B như sau:

1 V
B= A
∆
Hay nói cách khác: A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A là:

A

−1

Định lý được chứng minh:

1 V

= A
∆


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
• Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận liên hợp
Giả sử rằng A khả nghịch (det(A)≠0).
Lập ma trận liên hiệp của A ký hiệu là AV bằng cách: thay các
phần tử của A bằng các phần phụ đại số tương ứng, sau đó ta
chuyển vị ma trận vừa tìm được. Khi đo AV có dạng như sau:

 A11
A
12
V

A =
 M

 A1n

A21 L
A22 L
M O
A2 n L

Ma trận khả nghịch của A là:

1 V
A = A

∆
−1

An1 

An 2 
M

Ann 


 Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT
4. Các phương pháp tính định thức.
1.

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) loại (III) để triệt tiêu tất
cả các phần tử trên dòng (cột) trừ một phần tử của dòng (cột) đó

2.

Dẫn về định thức ma trận tam giác: khi đó định thức được tính theo
công thức
n

det ( A ) = ∏ aii = a11a22 K ann
i =1

trong đó các aii là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận
tam giác A.