Một số phương pháp làm bài trắc nghiệm môn Toán

October 28, 2016

[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
1/ Phương pháp thử
2/ Đặc biệt hóa
3/ Tổng quát hóa
4/ Sử dụng tính chất chung để suy luận kết quả
5/ Phương pháp loại trừ
6/ Sử dụng máy tính cầm tay
1. Phương pháp thử.
Ý tưởng của phương pháp này là từ các kết quả của các phương án, ta thay ngược lại vào
các điều kiện để kiểm tra xem thỏa mãn hết không ?
Ví dụ 1: Phương trình 4x
A.

x  0
x  1


2 x

B.

2

 2x x 1  3 có nghiệm là:
x  1
x  0
C.

x  2
x  2



D.

 x  1
x  1


Việc thay trực tiếp trong trường hợp giải phương trình, nhất là các phương trình phức tạp là khá
hiệu quả. Đáp án là A.
x 2 5 x
 1 có tập nghiệm là
x 7
B. (2;7)
C. [2; 7)
D. [7; )

Ví dụ 2: Bất phương trình
A. (;2]

HD: Đáp án D loại vì không thỏa mãn điều kiện xác định.
Thử ta thấy 2 là nghiệm, do đó đáp án là A hoặc C. Thử x  1 không là nghiệm.
Do đó đáp án là C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3; 0; 0), B(0; 6; 0),C (0; 0;6) và mặt phẳng
(P ) : x  y  z  4  0. Tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng

(P) là

A. H (2; 1; 3)

B. H (2;1;1)


C. H ( 2; 1; 7)


D. H (2; 1; 3)

HD: Trọng tâm G (1;  2;2) . Do GH cùng phương với n  (1;1;1) nên đáp án là A.
Trường hợp đầy đủ hơn có thể dùng cả dữ kiện H thuộc mặt phẳng (P).


October 28, 2016

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d :

[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

x 1 y 1 z 2


. Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng
2
1
1

(Oxy ) là

x  0

A. 
y  1  t

z  0


x  1  2t

B. 
y  1  t

z  0


x  1  2t

C. 
y  1  t

z  0


x  1  2t

D. 
y  1  t

z  0



HD: Việc làm theo cách truyền thống trong trường hợp này khá mất thời gian.
Ta tìm cách làm phù hợp hơn với những kết quả đã cho. Giao điểm của d và (Oxy) là I (3; 3; 0).
Do đó đáp án A sai. Nhận thấy các véc tơ chỉ phương trong các đáp án B, C, D giống nhau nên ta đi xác
định đường thẳng đi qua I là xong. Thử trực tiếp tọa độ x , y ta đi đến đáp án B là đúng.
Ví dụ 5: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn: tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  (1  i)z  2i trong
mặt phẳng phức là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R  8. Chọn khẳng định đúng.
A. Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x  1)2  (y  1)2  4
B. Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x  1)2  (y  1)2  8
C. Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x  1)2  (y  1)2  4
C. Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x  1)2  (y  1)2  8
HD: Đáp án đưa ra tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn khi w thay đổi.

2
 1  i . Do đó đáp án là A hoặc C.
1i
Chọn w  2  2i. Khi đó z  3  i. Do đó đáp án là C.
2x  1
Ví dụ 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng. Chọn đáp án đúng.
1 x
A. 0
B. – 2
C. 1
D. – 5
HD: Đoạn [ 2 ; 3 ] xét làm cho hàm có nghĩa, hàm phân thức bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên đoạn đó. Thử hai giá trị ta đi đến đáp án đúng là D.
Ví dụ 7: ( Câu 16 đề minh họa )
Ta chọn w  2  2i. Khi đó 2  (1  i)z  z 

2

Cho hàm số f (x )  2x .7x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. f (x )  1  x  x 2 log2 7  0.

B. f (x )  1  x ln 2  x 2 ln 7  0

C. f (x )  1  x log7 2  x 2  0

D. f (x )  1  1  x log2 7  0.

HD: Cách làm truyền thống là kiểm tra từng đáp án.
Để ý hàm f (x ) giả thiết là hàm liên tục. Do đó nếu xét bất phương trình f (x )  1 thì nghiệm của bất
phương trình này cũng phải là nghiệm của bất phương trình ở các đáp án (nếu đúng) khi đã bổ sung dấu
bằng. Nhận thấy x  0 là nghiệm bất phương trình f (x )  1 nhưng không là nghiệm bất phương trình
1  x log2 7  0 . Do đó đáp án D là khẳng định sai cần tìm.


[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

October 28, 2016

Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn: z   2  i   10 và z.z  25 .
A. z  3  4i hoặc z  5
C. z  3  4i hoặc z  5

B. z  3  4i hoặc z  5
D. z  4  5i hoặc z  3

HD: Thử trực tiếp, đáp án là A.

2. Đặc biệt hóa
Ý tưởng của phương pháp này là nếu các công thức, tính chất đúng với mọi giá trị của
x  D thì cũng đúng với x 0  D do đó chỉ cần thay x  x 0 vào các kết quả để kiểm chứng.

3

 2

 x  thu gọn M được kết quả là:
 3




Ví dụ 1: Cho M  cos 2 x  cos2   x   cos 2 
A. M 

1
2



B. M  1

C. M 

3
2

D. M  1

HD: Cho x  0 ta suy ra đáp án là C.

Ví dụ 2: ( Đề minh họa )
Cho hai số thực a,b với 1  a  b. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
A. loga b  1  logb a

B. 1  loga b  logb a

C. logb a  loga b  1

D. logb a  1  loga b.

HD: Chọn a  2,b  4 ta đi đến kết luận đáp án D là đúng.

Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức P 

1
2

x y
1

1

A. x 2  3y 2

1

1
2

x y

1

B. x 2  3y 2

1
2

 2y ta thu được kết quả nào dưới đây?
1

1

C. x 2  y 2

1

1

D. x 2  y 2

Hướng dẫn giải
Thay x  y  1 ta được kết quả P  2 . Khi đó, chỉ có phương án C là phù hợp.
Lưu ý: Khi ra đề, để tạo các phương án nhiễu ta nên tính một vài khả năng thử để kết quả trùng
với đáp án.

Ví dụ 4: Cho hàm số y 
x 0  y (x 0 ) 

x 2
. Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M (x 0 ; y0 ) thỏa mãn
x 1

7
cắt hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai
3

đường tiệm cận. Khi đó diện tích tam giác IAB là
A. S IAB  5
B. S IAB  6
C. S IAB  7

D. S IAB  8


October 28, 2016

[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

HD:
Ta biết diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số với hai đường tiệm cận của
đồ thị phân thức bậc nhất luôn không đổi. Do đó ta chọn tiếp điểm là K (0; 2).
Từ đó dễ dàng xác định được diện tích tam giác là 6. Đáp án B là đúng.
Ví dụ 5. Đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số y 

x 2  3x

tại mấy điểm?
x 1

A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Hướng dẫn giải
Thử với m  3 thấy ngay PT hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đáp án là B.
 

Ví dụ 6. Cho a1  log 1 sin 2x ,a 2  1  log2 sin x, a 3  log 1 1  cos 2x  với x  0; . Khi đó, thứ
 4 
2
2
tự các số a1, a 2 , a 3 là:
A. a1  a 2  a 3

B. a 2  a1  a 3

C. a 3  a 2  a1

D. a 3  a1  a 2

Hướng dẫn giải
Cách 1.
a1  log 1 sin 2x  log2
2

1

sin 2x

1
2 sin x
1
a 3  log 1 1  cos 2x   log2
2 sin2 x
2
a2  1  log2 sin x  log2

 
Khi x  0;  thì sin x  cos x suy ra 2 sin2 x  2 sin 2x  a1  a 3 . Dễ thấy a 2  a1
 4 

Vậy a 2  a1  a 3
Cách 2.
 





Vì kết quả đúng với mọi x  0;  nên cũng đúng với x  . Thay x  vào suy ra kết quả.
8
8
 4 
3. Tổng quát hóa.
Ý tưởng của phương pháp này là xây dựng công thức tổng quát cho một số dạng toán, từ
đó áp dụng cho các trường hợp cụ thể.
Theo quan điểm cá nhân thì phương pháp này thường có ý nghĩa với hình học không gian

khi mà mô hình các hình khối khá tương đồng, hay bài toán mang tính mô hình (chẳng hạn bài
toán kinh tế). Và hiểu rộng ra là khái quát một phương pháp giải với dạng toán nào đó.


October 28, 2016

[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

Ví dụ 1: ( Đề minh họa )
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 

tan x  2
tan x  m

đồng biến trên khoảng

  
0;  .
 4 

A. m  0 hoặc 1  m  2

B. m  0

HD: Nhận xét hàm y  tan x đồng biến trên

C. 1  m  2

  
0;  và nhận giá trị trên miền (0;1).

 4 

Đặt t  tan x . Khi đó ycbt tương đương tìm m sao cho hàm y 
y (t ) 

D. m  2.

t 2
đồng biến trên (0;1).
t m

2 m
do đó đáp án đúng là A.
(t  m )2

Như vậy ta có thể khái quát dạng toán này với việc khảo sát sự đồng biến và nghịch biến của một
hàm hợp nào đó.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 
A. m  2

B. m  2

C. m  0 hoặc

log2 x  2
log2 x  m

đồng biến trên [1;2 2 ] .

2 m 2

D. 0  m  2

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  cos 4x  mcos 2x  3 đồng biến trên

(0; ) .
2
A. m   2

B. m   1

D. m  0

D. m  2

Ví dụ 4: Cho hai điểm A(1; 4;2), B(1;2; 4) và đường thẳng  :

x 1 y  2 z

 . Điểm M
1
1
2

thuộc  mà MA2  MB 2 nhỏ nhất có tọa độ là:
A. M (1; 0; 4)
B. M (0; 1; 4)
C. M (1; 0; 4)

D. M (1; 0; 4)

HD: Ta biết điểm M thuộc  thỏa mãn MA2  MB 2 nhỏ nhất là hình chiếu của trung điểm I của
AB lên đường thẳng  . Từ đó đáp án là A.
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(4; 8; 3),C (2;9; 7) và mặt phẳng
(Q ) : x  2y  z  6  0. Điểm M thuộc (Q ) sao cho MA2  MB 2  MC 2 nhỏ nhất là

A. M (1;2;1)
Đáp án là D.

B. M (1; 2; 1)

C. M (1; 2;  1)

D. M (1;2; 1)


[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

October 28, 2016

2 x 4  2x  x 4  x 3
. Giá trị của I là
x 
2x 2  3x  1

Ví dụ 6: Xét I  lim
A. I  0

B. I 

1
2

C. I  1

D. I  2

Đáp án là B.
4. Sử dụng tính chất chung để suy luận kết quả.
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f (x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây

Hàm số thỏa mãn là
A. y | x | x  2

B. y | x 2  2x |

C. y  x | x  2 |

D. y  x 2  2x

HD: Nhìn vào giới giạn của hàm số ta thấy ngay đáp án không là B và D.
Nhìn vào sự xác định của đạo hàm tại điểm 0 ta có đáp án cần tìm là A.
Ví dụ 2: Cho hàm số xác định trên (a;b) và có đạo hàm trên khoảng đó. Mệnh đề nào sau đây
đúng:
A. Nếu x 0 là nghiệm của phương trình f (x 0 )  0 thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số.
B. Nếu x 0 là nghiệm của phương trình f (x 0 )  0 thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số.
C. Nếu x 0 là nghiệm của phương trình f (x 0 )  0 thì x 0 là một điểm cực trị của hàm số.
D. Tất cả đều sai.
Đáp án là D.

October 28, 2016

[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thì như hình vẽ
Khi đó, các hệ số a,b, c, d thỏa mãn
A. a  0, b  0, c  0, d  0
B. a  0, b  0, c  0, d  0
C. a  0, b  0, c  0, d  0
D. a  0, b  0, c  0, d  0

y

O

Hướng dẫn giải
Hình dạng đồ thị suy ra a  0
b
a

Gọi x1, x2 là các điểm cực trị thì x1  x 2  0    0  b  0.
x 1x 2  0 

c
 0 c  0
a

Phương án đúng là A.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng
x  1  mt

d1 : y  t
và d2

z  1  2t


có thể là:
A. Chéo nhau

x  1  t 

: y  2t 

z  3  t 


B. Song song

C. Cắt nhau

D. Cắt nhau hoặc chéo nhau.

HD: Hai đường thẳng này không thể song song.
Chọn được m để cho cắt nhau.
Hai đường thẳng này không thể song song hoặc trùng nhau, có thể chọn m sao cho không cắt
nhau, tức là có thể chéo nhau.
Đáp án là D.

x


[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

October 28, 2016

Ví dụ 5: Cho số phức   0 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1 là
A. Đường thẳng.

B. Parabol

C. Đường tròn

D. Đáp án khác.

Đáp án đúng là C.
Ví dụ 6: Tập nghiệm của bất phương trình 3x  2x  5  0 là
A. 
B. (;2)
C. (2; )
D. Đáp án khác.
Đáp án đúng là D.
5. Phương pháp loại trừ.
Trong nhiều bài toán, việc giải trực tiếp gặp khó khăn hoặc những tính chất được đưa ra ta
chưa biết hoặc chưa thực sự chắc chắn. Khi đó, việc dựa vào những tính chất đã biết để loại trừ
những phương án còn lại cũng là phương án giải quyết tốt.
Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?
A. y  tan x

B. y 

x
x 1

C. y  (x 2  1)2  2x 2  8 D. y 

x
2

x 1

HD:
Loại A và B vì tập xác định không là  .
Loại C vì là hàm số bậc 4.
Đáp án là D.
1
3

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x 3  mx 2  (m  2)x 
đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
A. 3  m  2
B. m  (; 3)  (2; )
C. 3  m  2
D. m  {  3;2}
HD:
1
đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 nên | xCT  xCD | 4
3

y   0 là phương trình bậc 2 ẩn m, nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.

Hàm số bậc 3 có hệ số a  

Do đó đáp án là D.
Ví dụ 3: Trong các hàm sau đây, hàm số nào tồn tại giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó:
A. y  x 3  2x  1

B. y 

x 1
x 2  2x  3

C. y 

2x  1
x 2

D. y 

1  2x
x

1
3


October 28, 2016

[TH.S. NGUYỄN VĂN TUẤN - CHUYÊN BẮC NINH]

HD: Nhận thấy không thể là đáp án A, C, D. Nên đáp án là B.
Ví dụ 4: Hàm số y 
A. m  2 2

2x  3
. Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  2x  m khi và chỉ khi
x 1

B. m  

C. m  1

D. m  2 2

HD:
Hai đồ thị không thể tiếp xúc tại vô hạn giá trị của m được, loại B và C.
Nếu tiếp xúc được thì sẽ tiếp xúc tại hai giá trị của m. Đáp án là A.

Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì hàm số y 

m  1x  2m  2
x m

1;  :
A. m  1

B. m  2

m  1

C. 

nghịch biến trên khoảng

D. 1  m  2

m  2

Hướng dẫn giải
Hàm y 

ax  b
với c  0 thì luôn đơn điệu trên hai khoảng
cx  d




;  d ,  d ;  nên để hàm


c   c


số nghịch biến trên 1;  thì m  1  m  1 nên ta loại đáp án A, C.
Thay với m  3 ta được hàm số y 

4x  8
là hàm đồng biến vậy đáp án đúng là D.
x 3

Ví dụ 6. Cho hàm số y  x 3  3x  1 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. min
y 1
 

B. max
y  19
 

C. Hàm số có GTLN và GTNN trên 0; 3

D. Hàm số đạt GTLN trên 0; 3 khi x  3

 0;3

 0;3

Hướng dẫn giải
Cho x  3 giá trị của hàm số là 19. B và D không thể cùng sai.
Hàm số liên tục trên một đoạn luôn có giá trị min, max.
Mệnh đề sai là A.
6. Sử dụng máy tính cầm tay.