Trắc nghiệm Chuyên đề cực trị số phức có giải chi tiết

,

,

,

,

1. Cho số phức z thỏa mãn

và

2. Cho số phức

3. Cho số phức

thỏa mãn

thỏa mãn

:

thì

,


Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.n
A.

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

 Cách 1:
Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1

 Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 





 t 2   1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2 Re( z)  Re( z) 

t2  2
2

 z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  t 2  3

 Xét hàm số: f  t   t  t 2  3 , t  0; 2  . Xét 2 TH:
 Maxf  t  

13 3
13
; Minf  t   3  M .n 
4
4

 Cách 2:
 z  r  cos x  i sin x   a  bi
 z.z  z 2  1
 Do z  1  
r  a 2  b 2  1

 P  2  2cos x  2cos x  1 , đặt t  cos x   1;1  f  t   2  2t  2t  1
 TH1: t   1; 
 2
1

maxf  t   f 1  3

f 't  
20
1
2  2t
minf  t   f    3
2

1

 TH1: t   ;1
2 
1

f 't  

7
 7  13
 2  0  t    maxf  t   f    
8
2  2t
 8 4
1

 Maxf  t  

13 3
13
; Minf  t   3  M .n 
4
4

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính module số phức w  M  mi .
2

2

A. w  2 314

B. w  1258

D. w  2 309

C. w  3 137

 Cách 1:
 P  4x  2 y  3  y 

P  4x  3
2

 z  3  4i  5   x  3   y  4 
2

 P  4x  3

 5   x  3  
 4  5  f  x
2


2

2

2

 f '  x   8  x  3  8  P  4 x  11  0  x  0,2P  1,6  y  0,1P  1,7
 P  33
 P  13

 Thay vào f  x  ta được:  0, 2 P  1,6  3   0,1P  1,7  4   5  0  
2

2

 Cách 2:
 z  3  4i  5   x  3   y  4   5 :  C 
2

2

 () : 4 x  2 y  3  P  0
 Tìm P sao cho đường thẳng  v| đường tròn  C  có điểm chung
 d  I ;    R  23  P  10  13  P  33

 Vậy MaxP  33 ; MinP  13
 w  33  13i  w  1258
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2 z  1
.
A. Pmax  2 5

B. Pmax  2 10

 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:
 P  z 1  2 z 1 

1

2

 22

 z  1

C. Pmax  3 5
2

 z 1

2

  10  z  1  2
2

D. Pmax  3 2

5

Bài 4: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính
module số phức w  m   x  y  i .
A. w  2 3

C. w  5

B. w  3 2

 Cách 1:
 z  2  4i  z  2i  x  y  4
 z  x y 
2

2

 x  y
2

2



42
2 2
2

D. w  2 6


x  y  4 x  2

 w  2 2  4i  w  2 6
x  y
y  2

 min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x  y 

2

2

 x  y

2

2

Dấu “=” xảy ra khi x  y
 Cách 2:
 z  2  4i  z  2i  y  4  x
 z  x2  y 2  x2   4  x   2  x  2  8  2 2
2

2

x  y  4 x  2

 w  2 2  4i  w  2 6
x  2
y  2

 min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 

Bài 5: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i  1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A. min z  2

C. min z  0

B. min z  1

 Cách 1:
 z  i  1  z  2i  x  y  1
 x2  y 2 

 x  y

2

2



1
2

1
1

2
2

 z  x2  y 2 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2 

 x  y

2

2

 Cách 2:
 z  i  1  z  2i  y  x  1
2

 z  x 2  y 2  x 2   x  1  2  x    

2 2
2
2

2

 Vậy min z 

1
2

1

1

1

1

D. min z 

1
2


Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức P  z 3  3z  z  z  z . Tính M  m
A.

7
4

B.

13
4

C.

3
4

D.

15
4

Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
 Cách 1:

 Ta có z  1  z.z  1
2







 Đặt t  z  z  0;2  t 2  z  z z  z  z 2  2 z.z  z  2  z 2  z
2

2

2

 z 3  3z  z  z z 2  3  z  t 2  1  t 2  1
2

 1 3 3
 P  t  t 1 t    
 2 4 4
3
 Vậy minP  ; maxP  3 khi t  2
4
15
 M n
4
2

 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
 P  z  3z  z  z  z 
3

2

 P  z  z 1 z  z 

z 3  3z  z
z

2



 z  z  z2  3  z  z  z  z  z



2

1  z  z

3
. Đến đ}y c{c bạn tự tìm max nhé
4

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn

3  3 2i

1  2 2i

z  1  2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M.m
A) M.n  25

B) M.n  20

C) M.n  24

D) M.n  30

 Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r . Tính Min, Max của
z  z3 . Ta có Max 

z2
z
r
r
 z3 
; Min 
 2  z3
z1
z1
z1
z1

 Áp dụng Công thức trên với z1 
Max  6; Min  4

3  3 2i
1  2 2i

; z2  1  2i , z3  3  3i; r  3 ta được


Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m
A) M.n  7

B) M.n  5

2) Cho số phức z thỏa mãn

C) M.n  2

D) M.n  4

1  2i
z  2  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
1 i

và giá trị nhỏ nhất của z  i . Tính M.m
A) M.n  1
5

B) M.n  1

C) M.n  1

3

10

z
 i 4 n1  i 4 n với n
i2

3) Cho số phức z thỏa mãn

D) M.n  1
4

. Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính M.m
A) M.n  20

B) M.n  15

C) M.n  24

D) M.n  30

Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z , khi đó
M.n bằng:

B. 2 3

A. 2

C.

2 3
3

3

 Giải:
 Dạng Tổng quát: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi
 Ta có: Min z 

k 2  4 z2

2

2 z1

và Max z 

k
2 z1

 Chứng minh công thức:
 Ta có: k  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  2 z1z  z 

Max z 

k
. Suy ra
2 z1

k
2 z1

 Mặc khác:
 z1z  z2  z1z  z2  k 

 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2



 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

k


 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

k  1.



 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

 1.

 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

1  1   ax  by  c    ay  bx  d    ax  by  c    ay  bx  d  
4  a  b  x  y   4  c  d 
2

2

2

2

2

2

2

2

2





4 a2  b2

2

2

k 2  4 c 2  d2

 Suy ra z  x 2  y 2 

2





k 2  4 z2

2

2 z1



42  4
m

 3


2
 ADCT trên ta có: z1  1; z2  1; k  4  
M  4  2


2

Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn iz 

2
2
 iz 
 4 . Gọi m  min z và
1 i
i 1

M  max z , khi đó M.n bằng:
B. 2 2

A. 2

 ADCT Câu 12 ta có: z1  i ; z2 

C. 2 3

m  2
2
;k  4  
1 i
 M  2

Bài 10: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 
2

2

1
3

i . Tính giá trị nhỏ nhất của
2 2

2

biểu thức P  z1  z2  z3 .
A. Pmin  1

C. Pmin  3

1
3

D. Pmin  2

B. Pmin 

 Giải:

2

2

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 3 z1 . z2 . z3
 Mặc Khác: z1 z2 z3 

D. 1

2

1
3

i  z1 z2 z3  1  z1 z2 z3  1
2 2


 Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  z3  1

z3
1
z  1  2i

Bài 11: Cho số phức z  x  yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn

2
2

và biểu thức P  z 2  z  i  z 2  z   z  1  i   z  1  i  . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ




nhất của P lần lượt là:
A. 0 và 1

C. 3 và 0

B. 3 và 1

D. 2 và 0

 Giải:



z3
 1  z  3  z  1  2i  x  y  1
z  1  2i
2

 x y
1
 P  16 x y  8 xy , Đặt t  xy  0  t  
 
4
 2 
2

2

 1
 P  16t 2  8t , t  0;   MaxP  0; MinP  1
 4
Bài 12: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  1  z  1  z2  1  z3 .

A. Pmin  1

C. Pmin  3

B. Pmin  4

D. Pmin  2

 Giải:
 Ta có: z  1   z  1





 P  1  z  1  z2  1  z3  1  z  z 1  z2  1  z3  1  z  z 1  z2  1  z3  2

Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn
1
2
3

B. max z 
4

A. max z 

6z  i
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2  3iz
C. max z 

1
3

D. max z  1


 Giải:
2
2
6z  i
 1  6 z  i  2  3iz  6 z  i  2  3iz
2  3iz

 6 z  i   6 z  i    2  3iz   2  3iz    6 z  i   6 z  i    2  3iz   2  3iz 
 z.z 

2
1
1
1

 z   z
9
9
3

Bài 14: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Gọi M  max z  1  i , m  min z  1  i .
Tính giá trị của biểu thức  M 2  n2  .
A. M 2  m 2  28

C. M 2  m 2  26

B. M 2  m 2  24

D. M 2  m 2  20

 Giải:
 z  2  3i  1   x  2    y  3   1 (1)
2

2

 Đặt P  z  1  i   x  1   y  1  P 2 (2) với P  0
2

 Lấy (1)-(2) ta được: y 

2

P 2  10  6 x
. Thay vào (1) :

4
2

 P 2  10  6 x

  x  2  
 3   1  52 x 2  40  12 P 2 x  P 4  4 P 2  52  0 (*)
4





2

 



 Để PT (*) có nghiệm thì:



  40  12 P 2



2





 4.52. P 4  4 P 2  52  0  14  2 13  P  14  2 13

 Vậy M  14  2 13 , m  14  2 13  M 2  m2  28
Bài 15: Cho số thức z 

*

thỏa mãn z 3 

1
1
 2 và M  max z  . Khẳng định nào sau
3
z
z

đ}y đúng?
A. 1  M  2
B. 1  M 
 Giải:

5
2

C. 2  M 

7

2

3
2
D. M  M  M  3


3

3




1
1
1
1 
1
1
  z    z3  3  3  z    z3  3   z    3  z  
z
z
z
z
z
z 




3

3





1
1
1
1
1
 z  3   z    3 z     z    3 z    2
z
z
z
z
z




3

3

3



1

1
1
1
 Mặt khác:  z    3  z    z 
3 z
z
z
z
z


3

1
1
1
z
 3 z   2 , đặt t  z   0 , ta được:
z
z
z

 Suy ra:

 t 3  3t  2  0   t  2  t  1  0  t  2  z 
2

1

2 M 2
z

Bài 16: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tính giá trị lớn
nhất của biểu thức P  z1  z2 .
A. Pmax  5  3 5

C. Pmax  4 6

B. Pmax  2 26

D. Pmax  34  3 2

 Giải:
 Ta có: z1  z2  8  6i  z1  z2  10
2

2



2

 z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

2

  52  z

1

2

 z2

2

z


 z2

1

2



2

 z1  z2  2.52  2 26

Bài 17: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của

1
1
1


.

z1  z2 z1  z3 z2  z1 z2  z3 z3  z1 z3  z2

biểu thức P 

A. Pmin 

3
4

1
2
5

2

C. Pmin 

B. Pmin  1

D. Pmin

 Giải:











 z1  z2  z2  z3  z3  z1   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1
2

2

2






 9   z1  z2  z3  z1  z2  z3
 9  z1  z2  z3



2

 Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
P

9
9
9



2
2
2
z1  z2 z1  z3  z2  z1 z2  z3  z2  z1 z2  z3
z1  z2  z2  z3  z3  z1
9  z1  z2  z3

 Do đó: P 

2
9
 1 (do z1  z2  z3  0 )
9

Bài 18: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
A. Pmax  1
B. Pmax 

1
2

C. Pmax 

2z  i
:
2  iz

3
4

D. Pmax  2

Bài 19: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z  2  2i  5 . Kí hiệu z1 , z2 là
hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính
giá trị của biểu thức P  z2  2 z1 .
A. P  2 6

C. P  33

B. P  3 2

D. P  8

 Giải:
 3  z  i  z 1 z  2
 x 2   y  12  9
 z1  2i
o Dấu “=” xảy ra khi: 
2
2
 x  y  4

 z  2 2  z  2  2i  5  z  5  2 2
2
2

45 2 45 2 
 x  2    y  2   25
o Dấu “=” xảy ra khi: 
 z2 


i


2
2
2
2
x

y

33

20
2





 P

45 2 45 2 

 i  4i  33


2
2




2


Bài 20: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 v| thỏa mãn z  1  i  2 z  z  5  3i sao
cho biểu thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A. ( z ) 

8 7
2

C. ( z ) 

4 6
2

B. ( z ) 

8 2
2

D. ( z ) 

12  2
2

 Giải:
 z  1  i  2 z  z  5  3i  y   x  2 

2

2

 P

2
2
2

3 7
7
 x  2   y  2  y   y  2   y  2   4  4




3
4 6 3
y  2
z
 i
 Dấu “=” xảy ra khi: 
2
2
 y   x  2 2


Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 3  z  2 .

11
2

A. Pmax 

B. Pmax  2 3

C. Pmax 

13
2

D. Pmax  3 5

Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z 3  1  z 2  z  1 . Tính M  m .
A. 2

B.7

Bài 23: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
P

z1
z1



A. 2

z2
z2

C.6
z1  z2
z1  z2



D. 5

1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2

.

B.0,75

C.0,5

Bài 24: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 
trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 .

D. 1

2
và z1  z2  z3  0 . Tính giá
2

A. Pmax 

7 2
3

C. Pmax 

3 6
2

B. Pmax 

4 5
5

D. Pmax 

10 2
3

 Giải:
2

2

2

2

2

2

2

 z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 

3
2

 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 

1  2

2

 22

 z

1

2

2

 z2  z2  z3  z3  z1

2

  3 26

Bài 25: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2
2
nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  1  1  z . Tính M  n

A. 12

C. 15

B. 20

D. 18

2
Bài 26: Cho bốn số phức a , b , c , z thỏa mãn az  bz  c  0 và a  b  c  0 . Gọi

M  max z , m  min z . Tính môđun của số phức w  M  mi .

A. w  2

C. w  3

B. w  2

D. w  1

Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  2  i . Tính môđun của số phức w  M  mi .
A. w  2 6

C. w  3 5

B. w  4 2

D. w  4

 Giải:
 z  1  2   x  1  y 2  2
2

 P  x2   y  1 
2

vecto

 2  x   1  y  
2

2

 x  2  x   y  1  1  y 
2

2

2 2

 P  x 2   y  1 

 2  x   1  y 

2

2

2

bunhiacopxki

2
2.2  x  1  y 2  2   4





 w  4  2 2i  2 6
Bài 28: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2 
3

3 4
 i , z1  z2  3 và biểu thức
5 5

3

P  4 z1  4 z2  3 z1  3 z2  5 đạt giá trị nhỏ nhất , khi đó gi{ trị của z1  z2 bằng:

A. 1

C. 1

B. 2

D.

3

 Giải:
 Ta có: z1  z2  1; 3  z1  z2  z1  z2
2



2

2

 z1  z2  z1  z2  2 z1  z2



3

 P  4 z1  z2

3

  3 z

1

2

2 z

2

1





2

 z2

 z2  5  z1  z2



3

z



1

 z2



2



2

 3  z1  z2  2



 3 z1  z2  5

t  1
 Xét hàm số: f  t   t 3  3t  5, t   3; 2  ; f '  t   3t 2  3  0  
 L


t  1

 Do đó minf  t   f

 3   5  minP  5

 Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  3
Bài 29: Cho số phức z thỏa mãn z 

2
2
3
 3 2 . Gọi M  max z và m  min z , tính
z

môđun của số phức w  M  mi .
A. w  4 22

C. w  5 10

B. w  7 56

D. w  3 62

 Giải:

3
z 3 2 
z
4



z2  3
z

2

2

 18 

z

2



 3 z2  3
z

2

  18  z  3  z  z   6 z

2

z 6 z 9
z

2

2

 18  12  3 15  z  12  3 15

2

4

z

2

2

9

 18


Do đó: w  3 62
Bài 30: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z  2  2i .
A. Pmin 

1
2

C. Pmin  2

B. Pmin  1

D. Pmin 

3
2

 Giải:
z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1
 z  1  2i  0  z  1  2i  w  1

 z  1  2i  z  3i  1  b   1

2

1
Với b    P 
2

a  2

2



9 3
 . Vậy min P  1
4 2

Bài 31: Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của của biểu thức P 

A.

zi
. Tính giá trị của biểu thức M.n :
z

1
4

C. 1

B. 2

D.

3
4

Bài 32: Cho số phức z thỏa mãn z 2  4  2 z . Gọi M  max z và m  min z , tính
môđun của số phức w  M  mi .
A. w  2 3
B. w 

6
3

C. w  14
D. w 

2
3

Bài 33: Cho số phức z  x  yi ,  x , y 
2

2

 là số phức thỏa mãn hai điều kiện

z  2  z  2  26 và biểu thức P  z 

3
2



3
2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của

biểu thức (x.y)
9
4
16
B. xy 
9

9
2
17

D. xy 
2

A. xy 

C. xy 

Bài 34: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 
biểu thức P 

1
15

i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
4

1
1
1
6



.
z1 z2 z3 z1  z2  z3

A. Pmin  6

C. Pmin  5

B. Pmin  4

D. Pmin  3

Bài 35: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  z1  1  z2  1  z1 z2  1 . Khẳng định n|o sau đ}y sai?
A.

7
m3
4

B. 1  m 

C. 3  m 

11
5

D.

7
2

1
5
m
4
2

Bài 36: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất
2

 z1  z2
  z1  z2

của biểu thức P  
 2017 2  z z    2017 2  z z 

1 2 

1 2 

1
2017
2
B.
2017

A.

2

2
2017 2
1
D.
2017 2

C.

Đặt z1  2017  cos 2x  i sin 2x  và z2  2017  cos 2 y  i sin 2 y 


Ta có:

cos  x  y 
z1  z2
cos 2 x  i sin 2 x  cos 2 y  i sin 2 y


2
2017  z1 z2 2017  1  cos(2 x  2 y)  i sin(2 x  2 y)   2017 cos  x  y 

Tương tự:
Suy ra

P

sin  y  x 
z1  z2

2
2017  z1 z2 2017 sin  y  x 

cos 2  x  y 

2017 cos  x  y 
2

2



sin 2  x  y 
2

2017 sin

2

 y  x



1
1
cos 2  x  y   sin 2  x  y   
2 

2017
2017 2

Bài 37: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  1008 1  z  1  z 2  ...  1  z 2016  1  z 2017

A. 2017

C. 2018

B. 1008

D. 2016

Bài 38: Xét các số phức thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1  i . Tính M  m .

A.

13  73

B. 5 2  73

C.

5 2  2 73
2

D.

5 2  73
2

Cách 1:
Ta có: z  2  i  z  4  7 i  6 2 
Áp dụng BĐT Mincopxki: VT1 

 x  2    y  1
2

2



 4  x   7  y 
2

 x  2  4  x   y  1  7  y
2

2

2

 6 2  1

 6 2  VP1

y  x  3

Dấu “=” xảy ra khi  x  2  7  y    4  x  y  1  

 2; 4 
 x  


3  25 5 2
5 2


m
Suy ra z  1  i  2 x  6 x  17  2  x   
2
2
2
2

2

2


Mặc khác xét: f  x   2 x 2  6 x  17 , x  2; 4   maxf  x   f  4   73  M
Vậy M  m 

5 2  2 73
2

Cách 2:

 x  2    y  1
2

Ta có: z  2  i  z  4  7 i  6 2 

2

 x  4   y  7 
2



2

6 2

Xét c{c điểm N  x; y  , A  2;1 , B  4; 7  , khi đó ta được:

NA  NB  6 2  AB suy ra N, A, B thẳng hàng (N nằm giữa A v| B). Phương trình
đường thẳng AB: x  y  3  0
Theo đề: z  1  i 

 x  1   b  1
2

2

, xét điểm I  1; 1  IN 

 x  1   b  1
2

2

, khi

đó:







min IA; IB; d I ; AB  IN  max IA; IB; d I ; AB




5 2
m  IN min  d I ; AB 

2
 M  IN  IB  73
max


Bài tập tự luyện:
1) Xét các số phức thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m .
A.

5  5 13
5

C.

5  5 13

B.

2  13

D.

2  2 13

2) Xét các số phức thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2i . Tính M  m .
C.

5  5 10
5

E.

10  5


2  13

D.

F. 2 10  5

3) Xét các số phức thỏa mãn z  2  i  z  2  3i  2 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m .
E.

5 13  4 5

5

F.

13  5

13  2

G.

H. 2 15  2

Bài 39: Xét các số phức thỏa mãn z  4  3i  z  8  5i  2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
z  2  4i .

1
2
5
B.
2
 Giải:

A.

C. 2
D. 1

Ta có: z  4  3i  z  8  5i  2 37 

 x  4    y  3

2

2

 x  8    y  5
2



2

 2 38

 1

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
2 38 

1

2



2
2
2
2
 12  x  4    y  3    x  8    y  5    2




Suy ra z  2  4i 

 x  2   y  4
2

2

 x  2   y  4
2

2

 37

1

Bài 40: Cho số phức z thỏa mãn z.z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2

nhỏ nhất của biểu thức P  2 z  z  1  z  1 . Hỏi M 2  n2 gần nhất với giá trị nào sau
đ}y?
A. 327

B. 328

C. 339

D. 382

2

 Cách 1: z.z  z  1
 Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 





 t 2  z  1  z  1  2  z  z  z  z  t 2  2
2





 



2





 2 z  z  1  2 z  z  1 2 z  z  1  2 z  z  3 z  z  2  P  2t 4  5t 2  t  4

 Xét hàm số: f  t   2t 4  5t 2  t  4, t  0; 2  .
 Suy ra minP  2 ; maxP  18  M 2  n2  328
Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  2  z  3  12 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  4 . Tính môđun M  mi .
A.

C. 2 10

10

B. 3 10

D. 4 10

 Giải:
Đặt w  z  4  3w  6  w  3  w  2  w  1  12  w  2  4
Qũy tích điểm biểu diễn số phức w là hình tròn, tâm I  2; 0  bán kính R  4


 R  OI  2
w
  min
 M  mi  2 10
w

R

OI

6


 max
Bài 42: Cho các số phức z , z1 , z2 thỏa mãn

2 z1  2 z2  z1  z2  6 2. Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P  z  z  z1  z  z2 .
A. 6 2  3

C. 3 2  3

B. 6 2  2

D. 3 2  2

 Giải:
Chọn A, B, M lần lượt l| điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z ,
dựa v|o điều kiện OAB là tam giác vuông cân tại O có
độ dài AB  6 2 . Dựng tam gi{c đều ABC ở phía mặt
phẳng không chứa O.
Áp dụng hệ quả BĐT Ptoleme: P  OM  MA  MB  OM  MC  OC
Đẳng thức xảy ra khi O, M, C thẳng hàng  OC 

AB AB 3

3 6 3 2
2
2

Bài 43: Cho số phức z thỏa mãn z  i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của M  z  2  z  2  2i
13 5
5

A. 6

C.

B. 7

D. 4 3

 Giải:
Ta có: P  1.
Mặt khác:

 x  2

2

 x  2   y  2
2

 y 2  1.

2

bunhiacopxki



2 x 2   y  1  5
2

x2   y  1  2  x 2   y  1  5  9  P  2 9  6
2

2

2

2

Bài 44: Cho số phức z1 thỏa mãn z1  2  z1  i  1 và số phức z2 thỏa mãn

z2  4  i  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 .
A. 2 5

C.

2 5
5

3 5
5

D.

5

B.

 Giải:
z1  2  z1  i  1   d  : 2 x  y  1  0
2

2

z2  4  i  5   C  :  x  4    y  1  5  Tâm I  4; 1 , bán kính R  5
2

z1  z2

min

 d  I; d  R 

2

4.2  1.1  1
5

 5

Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z 

3 5
5

5

 3 3 . Gọi M  max z và m  min z , tính
z

môđun của số phức w  M  mi .
C. w  37

C. w  5 10

D. w  7 56

D. w  3 62

 Giải:


Dạng: Cho số phức z thỏa mãn z 

Min z 

k  k 2  4 z1
2

, Max z 

z1
 k suy ra:
z

k  k 2  4 z1
2

Chứng minh:
k  k 2  4 z1
k  k 2  4 z1
z1
z1
2
z
k z 
 z  k. z  z1  0 
 z
z
2
2
z

Áp dụng CT trên ta có: Min z 

47  3 3
3 3  47
 w  37
, Max z 
2
2

Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z 

2
2

3
 3 2 . Gọi M  max z và m  min z , tính
z

môđun của số phức w  M  mi .
A. w  4 22

C. w  5 10

B. w  7 56

D. w  3 62

2) Cho số phức z thỏa mãn z 

4i
 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
z

giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  n  ?
A. 2
B.

C. 2 5

13

D.

5

Bài 46: Cho số phức z thỏa mãn 2z  1  3i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T  z  1  3 z  1  2i .

A. 4 2

C. 4 2  6 5

B. 8 2

D. 2 2  3 5

 Giải:
Đặt w  2z  1  3i  w  2  a2  b2  2


2T  2 z  2  3 2 z  2  4i  w  3i  3  3 w  1  i



 a  3   b  3
2

2

3

 a  1   b  1 
2

2

 20  6 a  6b  3 3  4  2 a  2b  với a 2  b 2  2


1  3  20  6a  6b  3  4  2a  2b   8

 1

2 , Suy ra T  4 2

Chú ý: Ở dòng  1 ta có thể xét hàm với ẩn t  a  b
Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  2  i và P  z  3  i  z  4  i đạt giá trị nhỏ
nhất, tính môđun của z.
A.

34

C. 3 2

B.

5

D.

10

 Giải:
z 1  z  2 i  x  y  2

P  z3i  z4i 

 x  3   y  1
2

2



 x  4    y  1
2

2

 2 . x 2  4 x  5  2 x 2  14 x  25 với y  2  x

Xét hàm số f  x   2 . x 2  4 x  5  2 x 2  14 x  25
f '  x   0  x  3 . Dựa vào bản biến thiên ta thấy minf  x   f  3  đạt được khi z  3  i

Suy ra z  10
Bài 48: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i và P  z  2i  z  1  2i đạt giá trị lớn
nhất. Giả xử z  a  bi khi đó tính gi{ trị của biểu thức T  a  b .
A. 1
B.

1
25

C. 5

D.

1
50


C.
 Giải:
z  2  2i  z  2i  x  2 y  1

P  z  2 i  z  1  2i  x 2   y  2  
2

 x  1    y  2 
2

2

 5y 2  8 y  5  5 y 2  12 y  8 với x  2 y  1
Xét hàm số f  y   5 y 2  8 y  5  5 y 2  12 y  8
f ' y  0  y 
z

26
. Dựa vào bản biến thiên ta thấy maxf  y  
25

 26 
f   đạt được khi
 25 

27 26
1
 i , Suy ra T 
25 25
25

Bài 49: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  z2  3i  2 . Gọi z là số phức thỏa
mãn z  z1  z  z2  2 . Môđun nhỏ nhất của số phức z là:
A. 1
B.

5

C.

3 2
2

D.

17

Bài 50: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2i  1, z2  4i  2 . Gọi z là số phức thỏa
mãn z  z1  z  z2  3 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức z  1  i . Tính M 2  m 2  ?

2 5

A. 7

C.

B. 6

D. 1  5

Bài 51: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  i  2, z2  2  i  1 , z1  z2  1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  z1  z  z2 .
A. 1

C. 2


B. 0

D.

3

Bài 52: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  6 và và z1  z2  6 2 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  2  z  z1  z  z2   z  z  z1   z  z  z2  .
A. 36

C. 36 2

B. 50

D. 50 2

Bài 53: Cho hai số phức z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i
thỏa mãn z1  z2 

8
. Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là:
5

A. 36

C. 36 2

B. 50

D. 50 2

Bài 54: Cho số phức z thỏa mãn z 2  4  z  z  2i  . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  i .
A. 1
1
2
 Giải:

B.

C.

3
4

D. 2

 z  2i  0
z 2  4  z  z  2i    z  2i  z  2i   z  z  2i   
 z  2i  z  b  1
Với z  2i  0  z  2i  z  i  1
Với b  q  z  i  x 2  4  2 . Vậy z  i min  1
Bài 54: Cho số phức z thỏa mãn z 2  6 z  25  2 z  3  4i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
A. 3

C.

3

B. 5

D.

2

 Giải: