Đề cương ôn tập môn Giải tích lớp 12 học kì II

Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

CHƯƠNG III
III
CHƯƠNG
NGUYÊNN HÀ
HÀM
M,, TÍCH
TÍCH PHÂ
PHÂNN VÀ
VÀ ỨỨNNGG DỤ
DỤNNGG
NGUYÊ

I. NGUYÊ
NGUYÊN
N HÀ
HÀM
M
I.
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
, F '( x ) = f ( x )
∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C
, C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất

•
•
)dx==∫ f ( x )dx
+ C± ∫ g( x )dx
∫ [ f ( x ) ± ∫g(f x'()x]dx
•
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k ≠ 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Trang 78


Nguyên hàm – Tích phân
•
•

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

∫ 0dx = C

∫x

α

dx =

•
•
•

∫αdx+1 = x + C

x
+ C,
α +1

x
∫ a dx =

•

(α ≠ −1)

∫ cos xdx = sin x + C

•

1
∫ xedx
x = ln xx + C
∫ dx = e + C

∫ sin xdx = − cos x + C

•

∫
•

1

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C (a ≠ 0)

•

∫a

mx + n

.

dx =

mx + n

ax + b

•

dx = tan x + C

dx =

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a

1

1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

•

∫

1
cos2 (ax + b)

dx =

1
tan(ax + b) + C
a

.
∫

1 (ax + b)α +1
(
ax
+
b
)
dx
=
+C
∫

a α +1
α

.

∫e

1 a
.
+C
m ln a

cos2 x
1

1

•

1

∫ sin2 x dx = − cot x + C

•

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ≠ 0)

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

1

1
dx = − cot(ax + b) + C
a
sin (ax + b)
2

.

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu và có đạo hàm liên ∫ f (u)udu==u(Fx()u) + C
tục thì:
∫ f [ u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C
nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫ udv = uv − ∫ vdu

b) Phương pháp tính

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
Trang 79


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
4
22 x −+13 1
f (fx(f)x(=)x=
)x=
–3 x +
2
x2 x

b) §

a)

d) §
f) §
2 x
g) §
tan
f f((xx))==2cos
sin 2 x
2
i) §
f ( x ) = 2sincos
3x12cos
2
x

x
k) §

f (x) =
xx +1− 2x ) x 
x2 x3.cos
n) §
o) § p) §
f ( xf)(=xsin
–e 1
x)e= (ee
f ( x ) = e  2 +
÷
÷
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của
cos2 x 

hàm số f(x) thoả điều kiện
cho trước:
ff((xx))== 3x−3 5cos
FF((1)
π ) == 32
− 4 x +x;5;

e)

F ((1)
−2)= =−20

l) §

a)
c)

i) k)
Bài 3. Tìm nguyên hàm

e)

x 3 + 3 x23 x+ 3x − 7 F  π  = π
f ( xf )( x=) == sin ;
;  F÷(0) = 8
2 4
( x +21)2

f (x) =

x x 23 x

m) §

b)
x32−+51x 2
ff((xx))==
; ;
xx

3
FF(1)
(e)== 1

2

f)
g)

h)

422
§ f ( x ) = x + (31xx2 +− 1)
f (x) =
− x

h) §

d)
3
1
) =xx −x1 ;+
;
f (xx)=
x
x2

c) §

3x 4 − 2 x 3 + 5  π 
f ( xf)(=x )sin
= 2 x.cos x; F;' F (1)÷ = 0
2
3

x2

F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
f ( x ) = x cos x; F(π )= 0
a)
b)
f
( x ) = x sin x; F  F ÷
=3
c)
d) f(x) = (x + f ( x ) = ln x;
 2 (2) = −2
4).ex ; F(2) = 5
e) f(x) = sin( ) ; F() = -2
f)
2 x 2π+2−π5πx + 2
f(x) = ; F(4) = 1
2x 3
− 36
g) f(x) = 2xlnx
; F(1) = -1 1
− 4e − x
2
h) f(x) = 3x - ; F(1) = 4e
x
i) Tính đạo hàm của hàm số : y = ,
x2
1
(ln x − )
từ đó suy ra 1 nguyên hàm G(x)

2
2
của f(x) = x(2 –lnx), biết G(1) = 2
Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
 F ( x ) =
F (tan
x ) 4= x(4+x3−x 5)
− e5x


b)
) = 5(4xx+−41)tan
e x3 x + 3
 f ( x )=f (4xtan
c) và tìm một  F ( x ) = ( x + 3).e x

x
nguyên hàm G(x) của f(x) biết G(2) = 5
 f ( x ) = ( x + 4).e
∫ f ( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
bằng phương pháp đổi biến số
t = u(gx [)u⇒
dt
=
u
'(
x
)
dx

( x )] .u '( x )
• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x)
= thì ta đặt .

dx
∫∫ fg((xt)dt
Trang 80

Khi đó:
=,
dễ dàng tìm được.

trong đó


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

Chú ý: Sau khi tính theo t, ta phải ∫ g(t )dt thay lại t = u(x).

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp
f(x) có chứa

sau:

Cách đổi biến
π
π
x = a sin t ,

− ≤t≤
2
2

a2 − x 2

x = a cos t,

0≤t ≤π

hoặc
a2 + x 2

x = a tan t,

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

a) §

b) §
c) §

x = a cot t,

−2xdx
1)dx
∫∫(55x−dx
5
(3 − 2 x )

π
π
2
2

−

0
d) §

e) §

2
f) ∫ ((2x 3x 2+x+5)1)4 7xxdx
dx

∫

§
2
x32xdx
+ 1.xdx
dx2
3x )
x5(1
+
+ 2x

∫∫
m) §
n) §

o) §
p) §

g) §
i) §
k) §

h) §
l) §

4

cos
cos x x

2
+1
exxxdx

∫∫∫x.ee
xx

dx
dx
e −3

q) §

r) §

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):

∫∫

a)

1 −dx
x 2 .dx
(1(1+−xx22))33

3

c) §

d) §

22
xdx
dx

x + 1.dx
2
x 1+−xx+2 1

e) §

g) §

h) §
i) §

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

u
dv

x

dx

P(x)
x

e dx

∫ P( x ).cos xdx

∫ P( x ).sin xdx

∫ P( x ).ln xdx

P(x)
cos xdx

P(x)

sin xdx

lnx
P(x)

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

a) §

b) §

2

cos
xdxxdx
5)sin
∫ ( x∫ x+.sin
Trang 81

elntan3dxxx
dx
∫∫∫ exx2 +dx
cos x1

b)

f) §

∫ x∫∫

dx

sin
tan
xxdxxdx
x cos
∫ sin
∫∫ 5 2 dx

s) §

∫ P( x).e

x2 + 5

2

dx

2

∫ x∫ ∫ 1 − x2 .dx
14+−xx 2


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

c) §

d) §

2
sin
x +23)xdx
cos xdx
∫ ( x ∫+x2cos

g) §

h) §

∫∫x

e dx

l) §

1)dx
∫ xlnxln +xdx
∫ ln(

o) §

cos 2xdx
xdx
∫∫xx tan

2

m) §
n) §
p) §
q) §
s) §

f) §

3.exdx
xx2dx
xln

i) §
k) §

e) §

2

r) §

22

x 2

xx.2
lg+xdx
xdx)dx
∫ x ∫ln(1

VẤN ĐỀ 4 : Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
f (x) =
Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

P( x ) . f(x) là hàm hữu tỉ:
Q( x )
– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân
tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
1
A
B
Chẳng hạn:
=
+
( x − a)(A
x − b) Bx
x −+aC x − b
1
=
+
, với ∆ = b2 − 4ac < 0
2
2
x
−
m
( x − m )(ax + bx + c)

ax + bx + c
1
( x − a)2 ( x − b)2

=

A
B
C
D
+
+
+
x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2

Bài 1.

Tính

các

nguyên hàm sau:
a)
c)
d)

x 2 dx
+1
dx
∫ ( x∫ +x1)(2

x 2( x−+1x1)− 3)

b)
e)

f)
g)
k)

h)

i)

l)
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
d)

e)

g)

x x −−76x 2x+−
+1049

xx3

dx
dx
dx
∫∫∫(2xx+221)(2

3xxx+−+221)
x∫ ∫−−3dx
2 3
x1
( x+ x+ 1)

a)

b)

cosdx
2x

f)
h)

l)

dx
dxdx

∫∫ 22 ∫

dx
∫ 1 +∫ 2sin
∫ cos
sin
x xcos
x+ 1x
433

1sin
− sinxdx
xx
cos
∫∫∫ cos x dxdx

Trang 82

m)

c)

2

4

cos
2 xtan
sin 35xxdx
x+
)dx
∫ (tan∫∫sin