Tổng hợp dạng đề thi và đề ôn học kì môn toán lớp 11

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

2 − x − x2
x →1
x −1

1) lim

2) lim

x→ − ∞

2 x 4 − 3 x + 12

3) lim
+
x →3

7x −1
x −3

4) lim

x →3

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x2 − 5x + 6

khi x > 3
f (x) =  x − 3
2 x + 1
khi x ≤ 3

x +1 − 2
9 − x2

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 = 0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3
b) y =
a) y = x x 2 + 1
(2 x + 5)2
x −1
2) Cho hàm số y =
.
x +1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y =

x −2
.
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.
Bài 5a. Tính

lim

x3 + 8

x→ − 2

x 2 + 11x + 18

.

1 3
x − 2 x 2 − 6 x − 8 . Giải bất phương trình y / ≤ 0 .
3
2. Theo chương trình nâng cao.

Bài 6a. Cho y =

Bài 5b. Tính

lim

x − 2x −1

.
− 12 x + 11
x 2 − 3x + 3
Bài 6b. Cho y =
. Giải bất phương trình y / > 0 .
x −1
x →1 x 2

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
I . Phần chung cho cả hai ban.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x→ − ∞

x 2 − x − 1 + 3x
2x + 7

2) lim (−2 x 3 − 5 x + 1)
x→ + ∞

3) lim+
x→ 5

2 x − 11
5− x

4) lim

x→ 0

Bài 2 .

x3 + 1 − 1
x2 + x

.

 x3 − 1

1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) =  x − 1 khi x ≠ 1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
2m + 1 khi x = 1

2) Chứng minh rằng phương trình: (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y =

2 − 2x + x2
x2 −1

b) y = 1 + 2 tan x .

2) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vuông góc với d: x + 2 y − 3 = 0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC
1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn .
1
2
n −1
Bài 5a. Tính lim(
+
+ .... +
).
2
2
n +1 n +1
n2 + 1
Bài 6a. Cho y = sin 2 x − 2 cos x . Giải phương trình y / = 0 .
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho y = 2 x − x 2 . Chứng minh rằng: y3 .y / / + 1 = 0 .

Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x ) =

64
x3

−

60
− 3 x + 16 . Giải phương trình f ′ ( x ) = 0 .
x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim (− x 3 + x 2 − x + 1)

2) lim

x →−1

x →−∞

4) lim

3

2

3

2

2 x − 5x − 2 x − 3

x →3 4 x

−

3x + 2
x +1

− 13 x + 4 x − 3

 3 3x + 2 − 2

Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 2
ax + 1

4

x →2

x +2 −2
x +7 −3

4 −5
n

5) lim

3) lim

n

2 n + 3.5n

khi x >2
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.
khi x ≤ 2

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5).
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
5x − 3
2) y = ( x + 1) x 2 + x + 1
1) y =
2
x + x +1

3) y = 1 + 2 tan x

4) y = sin(sin x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC)
vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC).
1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC.
3) Chứng minh: ∆BHK vuông .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
x 2 − 3x + 2
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
x +1
tuyến đó song song với đường thẳng d: y = −5 x − 2 .

Bài 6. Cho hàm số f ( x ) =

Bài 7. Cho hàm số y = cos2 2 x .
1) Tính y′′ , y′′′ .
2) Tính giá trị của biểu thức:

A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014

Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim (−5 x 3 + 2 x 2 − 3)
x →−∞
( x + 3)3 − 27
x →0
x

2) lim +
x →−1

3x + 2
x +1

3) lim

x →2

2− x
x + 7 −3

 3n − 4 n + 1 
5) lim 

 2.4n + 2n 



4) lim

 x −1

khi x > 1
Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x ≤ 1

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y =

2x2 − 6x + 5
2x + 4

2) y =

x2 − 2x + 3
2x + 1

3) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

4) y = sin(cos x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ (SAD )
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 :
1) Tại điểm M ( –1; –2)
1
2) Vuông góc với đường thẳng d: y = − x + 2 .
9
Bài 7. Cho hàm số: y =

x2 + 2x + 2
. Chứng minh rằng: 2 y.y′′ − 1 = y′2 .
2

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

1


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5
A. PHẦN CHUNG:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2n3 − 2n + 3
1 − 4n

x +3 −2

b) lim

3

x2 −1

x →1

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x2 + 3x + 2

khi x ≠ −2
f (x) =  x + 2
3
khi x = −2
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2sin x + cos x − tan x

b) y = sin(3 x + 1)

c) y = cos(2 x + 1)

d) y = 1 + 2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600 và SA = SB = SD = a.
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 (1)
a) Tính f '(−5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao

sin 3 x
cos3 x 
Bài 5b: Cho f ( x ) =
+ cos x − 3  sin x +
.
3
3 

Giải phương trình f '( x ) = 0 .
Bài 6b: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 2 x + 3 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 22 x + 2011
1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng ∆: y = − x + 2011
4
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

1

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 6
A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
3x 2 − 4 x + 1
x2 − 9
a) lim
b) lim
x→1
x→−3 x + 3
x −1

x −2
c) lim
x→2 x + 7 − 3

d)

lim
x→−∞

x 2 + 2 − 3x
2x + 1

 x2 − x − 2


khi x ≠ 2
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) =  x − 2
.
 m
khi x = 2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

3

b) y = ( x − 1)( x + 2)

c) y =

1

2

d) y = x + 2 x

( x 2 + 1)2

 2x2 + 1 
e) y = 


 x2 − 3 



4

B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường
cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 7
I. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →+∞

(

x2 + 5 − x

)

b) lim

x →−3

x +3
x2 − 9

 2x + 1
1
khi x ≠ −
 2
2
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 3 x + 1
1
A
khi x = −


2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −
2
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]: x 3 + 5 x − 3 = 0 .
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ( x + 1)(2 x − 3)

b) y = 1 + cos2

x
2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD = 600 , đường
cao SO = a.
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y = 2 x 3 − 7 x + 1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC), SA= a. M
là một điểm trên cạnh AB, ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK ⊥ SH. Tính SK và AH theo a và ϕ .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y = 1 − x +

x2
x2 x3
và (C): y = 1 − x +
− .
2
2
6

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC
a 5
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
2
a) Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).

= SD =

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014

Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 8
A. PHẦN BẮT BUỘC
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →+∞

2 x 2 − 3x + 4
−4 x 2 + 2 x + 1

b) lim

x →1

x 2 − 3x + 2

c) lim

x2 −1

x →2

x2 + 5 − 3
x−2

x +1
khi x ≤ 1

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) = 
. Định a để hàm số liên tục tại x = 1
2
4 − ax khi x > 1
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình 2 x 3 − 6 x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên [–2; 2].
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x + 5
a) y =
b) y = sin x.cos3 x
2x + 1
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SBC) vuông
góc với đáy, SB = a.
a) Gọi I là trung điểm SC. Chứng minh rằng: (BID) ⊥ (SCD).
b) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
c) Tính góc của mp(SAD) và mp(SCD).
B. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
1
Câu 6a: Cho hyperbol (H): y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (H):
x
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1 .

1
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = − x .
4
Câu 7a: Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,
A′B′C′, ACC′. Chứng minh rằng:
a) (IJK) // (BB′C′C)
b) (A′JK) // (AIB′)
2. Theo chương trình nâng cao

Câu 6b: Giải và biện luận phương trình f ′( x ) = 0 , biết f ( x ) = sin 2 x + 2(1 − 2m) cos x − 2mx .
Câu 7b: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, AD // BC, AB = a, BC = a,

ADC = 450 . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với đáy, SA = a 2 .
a) Tính góc giữa BC và mp(SAB)
b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 9
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a) lim

n 4 + 2n + 2
n2 + 1
3

b) lim
x →2

x3 − 8
x−2

c) lim
x →−1

+

3x + 2
.
x +1

2

2) Cho y = f ( x ) = x − 3 x + 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 x2 − x − 2

3) Cho f ( x ) =  x − 2
 5a − 3 x


khi x ≠ 2

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.

khi x = 2

Bài 2: Cho y = x 2 − 1 . Giải bất phương trình:

y′ .y < 2 x 2 − 1 .

Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB = AOC = 600 , BOC = 90 0 .
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.
Bài 4: Cho y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến
song song với d: y = 9x + 2011.
Bài 5: Cho f ( x ) =

x2 − 1
. Tính f ( n ) ( x ) , với n ≥ 2.
x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 10
A. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
x +3

a) lim
Câu 2:

x →−3 x 2

+ 2x − 3

( x + 1)3 − 1
x →0
x

b) lim

c) lim

x →−2

x2 + 5 − 3
x+2

a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x − 7 = 0
x+3

b) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 1 , x ≠ −1 trên tập xác định .
2
, x = −1
Câu 3:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y = x 3 tại điểm có hoành độ x0 = −1 .
b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: • y = x 1 + x 2
• y = (2 − x 2 ) cos x + 2 x sin x

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC = a,
ADC = 450 , SA = a 2 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
 1
1 
Câu 5a: a) Tính lim 
−

+
2
x →2  x − 4 x − 2 

8
. Chứng minh: f ′(−2) = f ′(2)
x
Câu 6a: Cho y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Giải bất phương trình: y′ < 3 .

b) Cho hàm số f ( x ) =

Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy
biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của

4, 04

b) Tính vi phân của hàm số y = x.cot 2 x
Câu 6b: Tính

lim

x →3+

x 2 − 3x + 1
x −3

Câu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 11
II. Phần bắt buộc
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
1 − 2x
x →+∞ x 2 + 2 x − 3

a) lim

b) lim
x →2

x3 + 3x2 − 9x − 2
x3 − x − 6

c) lim ( x 2 − x + 3 + x )
x →−∞

2) Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
x



a) y =  + 3 x  ( x − 1)


b) y = x + sin x

c) y =

x2 − 2x
x −1

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = tan x

3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6 .
1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần tự chọn
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x −

1
tại giao điểm của nó với trục hoành .
x

60 64
−
+ 5 . Giải phương trình f ′( x ) = 0 .
x x3
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .

Câu 5a: Cho hàm số f ( x ) = 3 x +

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin 2 x.cos 2 x .
Câu 5b: Cho y =

x3 x2
+
− 2 x . Với giá trị nào của x thì y′ ( x ) = −2 .
3
2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và
tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 12
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

3n+1 − 4n
4n−1 + 3

b) lim

x →3

x +1 − 2
x2 − 9

Bài 2: Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm thuộc

( −2; 2 ) .

Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x = −3
 x2 − 9

khi x ≠ −3
f (x) =  x + 3
1
khi x = − 3
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (2 x + 1) 2 x − x 2

b) y = x 2 .cos x

x +1
có đồ thị (H).
x −1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3).

Bài 5: Cho hàm số y =

1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + 5 .
8
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD).
Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 13
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →1

2 x 2 + 3x − 5
x2 − 1

b) lim

x →1+

x3 + x + 1
x −1

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
 x3 − x 2 + 2 x − 2

f (x) = 
3x + a
3 x + a
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
2
3
1
a) y = + 3 x + 1 −
+
x
x2 x4

khi x ≠ 1
khi x = 1

b) y =

cos x
x
+
x
sin x

Bài 5: Cho đường cong (C): y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
1
b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = − x + 1 .

3
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB =

a 3
, SO ⊥ ( ABCD ) ,
3

SB = a .
a) Chứng minh: ∆SAC vuông và SC vuông góc với BD.
b) Chứng minh: (SAD ) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD ).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 14
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →−∞

(

x2 − x + 3 − 2x

)

b) lim

(

x →+∞

4x2 + x + 1 − 2x

)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
 x2 − 1

f ( x ) =  x + 1 khi x < −1
mx + 2 khi x ≥ −1
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x − 2
a) y =
2x + 5

b) y = ( x 2 − 3 x + 1).sin x

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

1
:
x

1
.
2
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4 x + 3 .

a) Tại điểm có tung độ bằng

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA =

3
a . Gọi I là trung điểm BC.
2

a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI HỌC KỲ 2 MÔN TOÁN LỚP 11
A. Cấu trúc đề ra

I. Đại số và Giải tích
Câu 1: Tính giới hạn của dãy số và hàm số (2 điểm)
Cầu 2: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định. (1 điểm)
Câu 3: Dùng các qui tắc, tính chất để tính đạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức đạo
hàm. (3 điểm)
Câu 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm (1 điểm)
II. Hình học
Cầu 5: Quan hệ vuông góc trong không gian (3 điểm)
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
- Tính được các góc, khoảng cách.
B. Bài tập ôn tập
I. Đại số và giải tích
Bài 1: Tính các giới hạn sau:

x  x3
x 1 (2 x  1)( x 4  3)

5x2  2 x
x 
x2  1

a) lim

b) lim

5x  1
x3  2 x
f) lim

5
2
x  x  2 x  1
x2 x  2
Bài 2 Tính các giới hạn sau

e) lim

x2  4x  3
a) lim
x 3
x3

e) lim
x2

4  x2
x7 3

x 0

d ) lim

5x  1
x2

h) lim

g) lim
x2

2 x 2  3x  1
b) lim
x 1
x2 1

f) lim

5x2  2 x
x 
x2  1

x4  x2  1
x  2 x 4  x 2  3

c) lim

x 3

x2  x  3
x3

x3  x 2  x  1
x2  2x  3
c) lim
d) lim 2
x 1
x 1 2 x  x  1
x 1

x  1  x2  x  1
x

x x2
4x 1  3

g) lim
x2

4 x3  3x 2  1
x 
x3  x  3

h) lim

Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
 x3  5 x  1
a) lim 3
x  2 x  3 x 2  1

3 x 3  2
b) lim
x  2 x  1

5 x3  x 2  1
c) lim
x 
3x 2  x

x5  2 x3  4 x

5x2 1
e) lim 3
x  1  3 x 2  2 x 3
x  2 x  3 x 2  1
Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

f) lim

d) lim

a) lim ( 2 x 3  x 2  3 x  1)
x 

d) lim

x 

x 2  3x  2

x 

b) lim (  x 4  x 3  5 x  3)
x 

e) lim

x 



3x 2  x  2 x



x2  2x  4x2  1
2  5x
4x2  x  2

c) lim

x 

f) lim

x 



2x2  x  x



Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1


a) lim
x 3

x 1
x3

b) lim
x4

1 x

 x  4

c) lim

2

x 3

2x 1
x3

d) lim
x 2

2 x x
2 x  1
e) lim 2
x 0
x2
x x

f) lim

x 1

3x  1
x 1

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a/ lim
x 3

x2  9
x3

b/ lim
x 1

x3
2
x 3 x  2 x  3

x 2  3x  2
x 1

c) lim

x2  9
g) lim
x 3
x 1  2

2 x

f) lim
x2
x7 3

d) lim
x 1

2x 1  3
h) lim
x4
x 2

x3  1
x2 1

i) lim

x 1

e) lim
x 1

x  2 1
x5 2

x2  2x  3
2x2  x 1

x 2  3x  2
k) lim

x2
2 x

Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1 1

 1
a) lim 
x 0 x  x  1


2x  3
x2 1

b) lim  x  1
x 1

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) lim

x 



x2  1  x



b) lim

x 



x2  2x  x2  1

c) lim x 2  9.
x 3



c) lim

x 



2x 1
x3

4x2  x  2x



d/ lim x3  8
x2



d) lim

x 





x
2  x2

x2  x  x2  1

Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2  4

a) f (x)   x  2
 4


khi x  -2

 x2  4x  3

b) f ( x)   x  3

5


tại x0 = -2

khi x  -2

 2 x 2  3x  5

c) f ( x)  
x 1

7

 x2  2

e/ f ( x)   x  2
2 2


khi x  1

 2  x 1

d) f ( x)   3  x

3


tại x0 = 1

khi x  1
khi x  2

 x2

f) f ( x)   x  1  1
 3x  4


tại x0 = 2

khi x  2

khi x  3

tại x0 = 3

khi x  3

khi x  3

tại x0 = 3

khi x  3
khi x  2

tại x0 = 2

khi x  2

Bài 10: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 x 2  3x  2


a) f ( x)   x  2

1

 x2  x  2

c) f  x    x  2
 5 x


 1 x
2

b) f ( x)    x  2 
 3


khi x  2
khi x  2

khi x  2
khi x  2

x
khi x  0


2
d) f  x   
x

khi 0  x  1
 x 2  2 x  1 khi x  1


khi x  2
khi x  2

Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y 

x3 x2
  x5
3
2

2) y  2 x 5 

x
3
2

3) y 

2 4
5
6
 2 3 4
x x
x 7x

4) y  5 x 2 (3x  1)

5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)

6) y  ( x 2  5) 3

7) y  ( x 2  1)(5  3x 2 )

8) y  x ( 2 x  1)(3x  2)

9) y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3

2




2

10) y    3 x 
x

13) y  3 x  x
4

16) y 





x 1

2

1
2
2 x  3x  5



25) y  x  x



14) y   2 x  1  x  2  3 x  7 

2x2  5
15) y 
x2

17) y 

3

x3  2 x
x2  x  1

18) y 

20) y  x  1  x  2

x 2  2x  3
2x  1
2

12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

2

19) y  x 2  6 x  7
22) y 

11) y  2 x 3

23) y 

 x  2x
3

26) y =

 x2  7x  5
x 2  3x

21) y  ( x  1) x 2  x  1

1 x
1 x





24) y  2 x 2  3 x  1

3


x 
27) y   2 x 2  3 x 

x  2 


2

x (x - x +1)

3

Bài 12: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
4) y  (1  cot x ) 2

1) y = 5sinx – 3cosx

2) y = cos (x3)

3) y = x.cotx

5) y  cos x. sin 2 x

1
6) y  cos x  cos3 x
3

7) y  sin 4


9) y  cot 3 (2x  )
4

10) y  sin 2 (cos3x)

11) y  cot 3 1  x 2

12) y  3 sin 2 x. sin 3x

13) y  2  tan 2 x

14) y  

15) y  sin(2sin x)

16) y = sin 4 p - 3x

19) y  sin x  x

20) y  1  2 tan x

17) y 

1
(1  sin 2 2 x ) 2

cos x
4
 cot x
3
3sin x 3

18) y  x sin x

1  tan x

x

x
2

8) y 

sin x

sin x  cos x
sin x  cos x

Bài 13: Cho hàm số y= x3 -3x+1,Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm x=2;
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x3  5 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
7
II. Hình học:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi
H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt ( SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với mặt
phẳng (SAC).
b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong
một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI

3


Bài 2: Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S khác O
Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC);
b) Mặt phẳng (SOI) vuông góc với mặt phẳng (SAB);
c) Mặt phẳng (SOI) vuông góc với mặt phẳng (SOJ).
Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA = SC và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm
của cạnh AC. Chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác
BCD; DK là đường cao của tam giác ACD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC);
b) Gọi O và H lần lượt là trực trâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng
(ADC).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân tại S và mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng:
a) BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Bài 6: Hình chóp S.ABCD có dáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a, góc BAD  600 . Đường cao SO vuông góc
3a
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
4
a) Chứng minh (SOS) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO =

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
c) Gọi (  ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp với mp
(  ). Tính diện tích thiết diện này.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA (ABCD) tan của góc hợp bởi cạnh
bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng

3 2
.
4

a) Chứng minh tam giác SBC vuông
Chứng minh BD  SC và (SCD)(SAD)
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
SA= a 2 ,K là trung điểm của SC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Dựng thiết diện AMKN cắt bởi mặt phẳng (P) song song với BD?( M  SB; N  SD ) tính diện tích thiết diện
theo a.
c) G là trọng tâm tam giác ADC chứng minh NG song song với mặt phẳng (SAB)

d) Tìm giao điểm của NG với mặt phẳng (SAK).

4


Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy băng 3a, cạnh bên bằng

2a 3
.
3

a) Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy của hình chóp
b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SB với mặt đáy của hình chóp.
c) Tính tan của góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).

5


MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
MÔN TOÁN - LỚP 11
Thời gian 90’

ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a. lim

2n3  3n  1

b. lim

n3  2 n 2  1

x 0

x 1 1
x

Câu 2: Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
 x2  x

f ( x )   x  1 .......khi x  1
mx  2m2 ...khi x  1


Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. y  x 2 .cos x

b. y  ( x  2) x 2  1

c. y 

x2  2
2x 1

d. y  2sin 3x  4cos2 x

Câu 4: Cho hàm số y  f ( x )  x 3  3 x 2  9 x  5 .
a. Giải bất phương trình: y  0 .
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.
Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC)

tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a. Chứng minh rằng AI  (MBC).
b. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).

6


ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a. lim

x 3 x 2

x 3

b. lim

 2 x  15

x 1

x 3 2
x 1

Câu 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
 x2  x  2

f (x)   x  1
a  1

khi x  1
khi x  1

Câu 3:
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. y  ( x 2  x )(5  3 x 2 )

b. y  sin x  2 x

c. y  3cos  x  1  2sin 2 x
Câu 4: Cho hàm số y  x 2 ( x  1) có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d: y  5 x .
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA  (ABCD).
a. Chứng minh BD  SC.
b. Chứng minh (SAB)  (SBC).
c. Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

--------------------Hết-------------------

7