Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Thế Vinh

HÀ NỘI, 2017

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.1.1. Tập lồi và nón pháp tuyến của một tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Siêu phẳng và nửa không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Phép chiếu metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
8
8

1.2. Định lý điểm bất động Banach, Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Ánh xạ hemi-liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Bất đẳng thức biến phân và sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1. Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.4. Phương pháp chiếu gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
14
17
22

Chương 2. Phương pháp extragradient giải bài toán bất đẳng thức biến
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Giới thiệu phương pháp và minh họa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Sự hội tụ của phương pháp extragradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Kết quả hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Kết quả hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. Các dạng cải tiến của phương pháp extragradient . . . . . . .
3.1. Phương pháp subgradient extragradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Giới thiệu phương pháp và minh họa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Sự hội tụ của thuật toán subgradient extragradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
34

37
37
38
39

3.2. Phương pháp Popov subgradient extragradient. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Phương pháp chiếu gradient đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48
52

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thế Vinh đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng
xin chân thành cảm ơn hai Thầy phản biện, TS Lê Anh Dũng và TS Dương Việt
Thông đã cho tác giả nhiều nhận xét quý báu và xác đáng.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau Đại học, các thầy
cô giáo giảng dạy lớp Cao học K25 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và khả năng có hạn, chắc chắn bản luận văn không tránh khỏi
thiếu sót, tác giả mong nhận được sự góp ý sửa chữa của Quý Thầy Cô để có thể
nâng cao chất lượng của luận văn này.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả
Lê Thị Huệ

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thế Vinh, luận văn
thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương pháp giải bài
toán bất đẳng thức biến phân" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của
bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả
Lê Thị Huệ


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1966, Hartman và Stampacchia [7] đã công bố những nghiên cứu đầu
tiên của mình về bài toán bất đẳng thức biến phân, liên quan đến việc giải các
bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên trong lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng. Năm 1980, trong cuốn sách "An Introduction to
Variational Inequalities and Their Applications", Kinderlehrer và Stampacchia
[11] đã nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn
chiều và ứng dụng của nó. Năm 1984, trong cuốn sách "Variational and Quasivariational Inequalities " của Baiocchi và Capelo [3] đã áp dụng bất đẳng thức
biến phân và tựa biến phân để giải các bài toán biên tự do.
Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã được mở rộng và phát triển
cho nhiều dạng khác nhau như bất đẳng thức biến phân véctơ, bất đẳng thức tựa
biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng. Bài
toán này đã thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trên thế
giới vì nó là mô hình hợp nhất của nhiều bài toán quan trọng trong lý thuyết và
thực tiễn như tối ưu hóa, bài toán bù, lí tuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng
mạng giao thông,. . .

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết bài toán bất
đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Để hiểu sâu sắc
hơn về vấn đề này, em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là "Một số phương
pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân."

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
Đặc biệt đi sâu vào việc tìm hiểu, giới thiệu và trình bày các kết quả hội tụ
của phương pháp chiếu gradient (phương pháp chiếu đạo hàm), phương pháp
extragradient (phương pháp đạo hàm tăng cường) và các dạng cải tiến của nó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp chiếu gradient.

1


• Nghiên cứu sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của phương pháp extragradient
và phương pháp subgradient extragradient.
• Nghiên cứu sự hội tụ yếu của phương pháp gradient đối xứng và phương
pháp Popov subgradient extragradient.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức biến phân.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm và các thuật toán giải bài toán bất
đẳng thức biến phân.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan tài liệu, phân tích, tổng hợp, hệ thống lại các kết quả
lý thuyết về sự tồn tại nghiệm và phương pháp giải bất đẳng thức biến phân.

6. Đóng góp của luận văn
• Luận văn đã trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số phương pháp
giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
• Luận văn trình bày các thuật toán quan trọng được sử dụng nhiều để giải
bài toán bất đẳng thức biến phân trong vòng 50 năm trở lại đây như thuật
toán chiếu gradient, thuật toán extragradient, thuật toán subgradient extragradient, thuật toán Popov subgradient extragradient và thuật toán chiếu
gradient đối xứng cùng với các kết quả hội tụ của chúng.
• Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai quan tâm đến các
phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân để áp dụng vào các lĩnh
vực liên quan như điểm bất động, tối ưu, phương trình đạo hàm riêng,...

7. Tổng quan và bố cục của luận văn
Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán
Tìm x ∈ K sao cho F (x) , y − x ≥ 0 với mọi y ∈ K,

(VIP(K, F ))

trong đó K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và F :
K → H là ánh xạ đơn trị.
2


Lý thuyết bài toán bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trong
nhiều lĩnh vực như quy hoạch toán học, nghiên cứu mạng giao thông, lý thuyết
trò chơi,... và đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong vòng 50
năm trở lại đây (xem Ansari [2], Giannessi [6], Kinderlehrer và Stampacchia
[11], Konnov [12]). Nhờ vào tính chất của phép chiếu, ta biết rằng bài toán
VIP(K, F ) tương đương với bài toán điểm bất động sau:
Tìm x¯ sao cho x = PK (x − λF (x)) ,

(1)

trong đó λ > 0.
Vấn đề quan tâm trước hết là sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân. Khi K compact và F liên tục, sự tồn tại nghiệm của bài toán VIP(K, F )
là hệ quả của định lý điểm bất động Schauder. Nếu K compact và F là giả
đơn điệu và hemi-liên tục thì sự tồn tại nghiệm của VIP(K, F ) được thiết lập
bằng kỹ thuật KKM. Một trong những vấn đề thú vị và quan trọng nhất trong
lý thuyết bất đẳng thức biến phân là nghiên cứu các thuật toán lặp hữu hiệu để
tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán. Nhiều thuật toán lặp đã được đề xuất để giải
bất đẳng thức biến phân ở cả không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều, chẳng
hạn xem trong [2, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 18] và các tài liệu tham khảo liên quan.
Trong các phương pháp lặp giải bài toán VIP(K, F ) thì phương pháp đơn giản
nhất là phương pháp chiếu gradient được bắt nguồn từ phương trình điểm bất
động (1):
x0 ∈ K,
xm+1 = PK (xm − γF (xm )), m ≥ 0,
trong đó PK là phép chiếu metric của H lên K, γ là số thực dương. Sự hội tụ
của phương pháp này đòi hỏi F là ánh xạ đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu mạnh
ngược) và liên tục Lipschitz. Để giảm nhẹ tính đơn điệu mạnh, Korpelevich
[13] đề xuất phương pháp extragradient, trong đó tại mỗi bước lặp thuật toán
đòi hỏi thêm một phép chiếu lên tập chấp nhận được. Với điều kiện F đơn điệu
và liên tục Lipschitz, thuật toán extragradient cho sự hội tụ yếu trong không
gian Hilbert. Nhiều nhà nghiên cứu đã đề xuất các cải tiến của phương pháp
extragradient như Popov [19] (1980), Khobotov [10] (1987), Iusem-Svaiter [8]
(1997), Malitsky và Semenov [14] (2014), Solodov-Svaiter [21] (1999), Censor
và cộng sự [5] (2011), Malitsky [15] (2015), Maingé [17] (2016), Maingé và
Gobinddass [18] (2016). Mục đích của luận văn này nhằm trình bày tổng quan
các kết quả quan trọng liên quan đến thuật toán chiếu gradient và extragradient.

Ngoài phần mở đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3
chương.
Chương 1: nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, giới thiệu bài
3


toán bất đẳng thức biến phân và các ứng dụng, đồng thời trình bày sự tồn tại
nghiệm của bài toán và phương pháp chiếu gradient.
Chương 2: trình bày phương pháp extragradient, phân tích sự hội tụ yếu và
hội tụ mạnh của phương pháp này.
Chương 3: trình bày các dạng cải tiến của phương pháp extragradient, cụ
thể trình bày về phương pháp subgradient extragradient, phương pháp Popov
subgradient extragradient, phương pháp chiếu gradient đối xứng, đồng thời xét
đến sự hội tụ của các phương pháp trong không gian Hilbert.

4


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả bổ trợ
cần thiết được sử dụng ở các chương sau. Các kết quả chủ yếu tham khảo trong
[1, 2].

1.1. Các khái niệm
1.1.1. Tập lồi và nón pháp tuyến của một tập lồi
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian Hilbert thực, tập hợp C ⊂ H được
gọi là tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Ví dụ 1.1. Hình cầu đóng B (x, r) = {a ∈ H : a − x ≤ r} là tập lồi.

Mệnh đề 1.1. Nếu A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H thì các
tập hợp sau là tập lồi:
A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B} ,
αA + βB := {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ,
A × B := {x | x = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .
Định nghĩa 1.2. Cho C ⊂ H là một tập lồi, khác rỗng và x0 ∈ C. Nón pháp
tuyến của C tại x0 là tập hợp được ký hiệu và xác định như sau:
NC (x0 ) := d ∈ H : d, y − x0 ≤ 0 ∀y ∈ C .
Định nghĩa 1.3. Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Nón đối ngẫu của
C, kí hiệu là C ∗ , là tập hợp được xác định
C ∗ = {y ∈ H : y, x ≥ 0 ∀x ∈ C} .
Về mặt hình học, C ∗ là tập hợp bao gồm tất cả các véctơ y ∈ H tạo thành
một góc không tù với mọi véctơ x ∈ C.

5


Hình 1.1: Một tập lồi và nón pháp tuyến tại một điểm của nó.

Hình 1.2: Một tập lồi và nón đối ngẫu của nó

1.1.2. Siêu phẳng và nửa không gian
Định nghĩa 1.4. Cho một véctơ khác không a ∈ H và λ ∈ R, tập hợp
H = {x ∈ H : a, x = λ}
được gọi là một siêu phẳng trong H. Véctơ a được gọi là véctơ pháp tuyến của
siêu phẳng H.
Ví dụ 1.2. Trong R3 siêu phẳng là mặt phẳng, trong R2 siêu phẳng là đường
thẳng.

Hình 1.3: Một siêu phẳng và véctơ pháp tuyến của nó.

6


Định nghĩa 1.5. Cho a ∈ H là một vectơ khác không và λ ∈ R.
a) H ++ = {x ∈ H : a, x > λ} được gọi là nửa không gian mở trên.
b) H −− = {x ∈ H : a, x < λ} được gọi là nửa không gian mở dưới.
c) H + = {x ∈ H : a, x ≥ λ} được gọi là nửa không gian đóng trên.
d) H − = {x ∈ H : a, x ≤ λ} được gọi là nửa không gian đóng dưới.

Hình 1.4: Nửa không gian đóng.

Nhận xét 1.1. a) Một siêu phẳng sẽ chia không gian thành hai nửa không gian.
b) Các nửa không gian là các tập lồi.
Định nghĩa 1.6. Cho S ⊂ H khác rỗng và x nằm trên biên của S. Siêu phẳng
H = {x ∈ H : a, x − x = 0, a = 0, a ∈ H}
được gọi là siêu phẳng tựa của S tại x nếu
S ⊆ H + , tức là a, x − x ≥ 0 ∀x ∈ S,
hoặc
S ⊆ H − , tức là a, x − x ≤ 0 ∀x ∈ S.
Nhận xét 1.2. Định nghĩa 1.6 có thể phát biểu tương đương như sau: Siêu phẳng
H = {x ∈ H : a, x − x = 0}
là siêu phẳng tựa của S tại x nằm trên biên của S nếu
a, x = inf { a, x : x ∈ S} ,
hoặc
a, x = sup { a, x : x ∈ S} .
Nhận xét 1.3. Mỗi điểm biên của một tập lồi đều có một siêu phẳng tựa đi qua.
7

1.1.3. Phép chiếu metric
Cho H là không gian Hilbert thực và K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của
H. Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất một điểm trong K, ký hiệu là PK (x) sao
cho
x − PK (x) = inf { x − y : y ∈ K} .
Ánh xạ PK : H → K
x → PK (x)
được gọi là phép chiếu metric của H lên K.
Mệnh đề 1.2. Phép chiếu metric PK có các tính chất sau:
a) x − PK (x) , y − PK (x) ≤ 0 ∀x ∈ H và y ∈ K;
b) PK (x) − PK (y) ≤ x − y
c) x − y, PK (x) − PK (y) ≥
đồng bức);
d) x − y

2

≥ x − PK (x)

2

∀x, y ∈ H (tính không giãn);
PK (x) − PK (y)

+ y − PK (x)

2

2

∀x, y ∈ H (tính

∀x ∈ H và y ∈ K.

Hình 1.5: Tính không giãn của phép chiếu metric.

1.1.4. Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.7. Cho không gian Hilbert thực H.
a) Dãy xk ⊂ H được gọi là hội tụ yếu tới điểm x ∈ H nếu ∀y ∈ H dãy
y, xk hội tụ tới y, x . Ta gọi x là giới hạn yếu của dãy xk và viết
xk
x. Nếu dãy con {xnk } ⊆ xk hội tụ yếu tới x thì x được gọi là điểm
tụ yếu của dãy xk .
8


b) Ta nói xk hội tụ mạnh tới x nếu lim xk − x = 0.
k→∞

Mệnh đề 1.3. Dãy hội tụ yếu có các tính chất sau:
a) Nếu dãy xk ⊂ H hội tụ yếu thì nó có đúng một giới hạn yếu,
b) Nếu dãy xk ⊂ H hội tụ yếu thì nó bị chặn,
c) Nếu dãy xk ⊂ H bị chặn thì nó chứa một dãy con hội tụ yếu,
d) Nếu dãy xk
xk
x,

⊂ H bị chặn và có đúng một điểm tụ yếu x ∈ H thì

e) Nếu dãy xk hội tụ mạnh tới x ∈ H thì nó hội tụ yếu tới x ∈ H,

f) Nếu dãy xk hội tụ yếu trong không gian Hilbert H hữu hạn chiều thì
nó cũng hội tụ mạnh.
Chiều ngược lại của e) không đúng. Ta xét phản ví dụ sau:
Ví dụ 1.3. Cho H =

2

và xk ⊂ H sao cho:

xk = (0, 0, 0, · · · , 1, 0, · · · )

∀k ∈ N.

↑
Vị trí thứ k
1 2
k
Với mọi y = y , y , · · · , y , · · · ∈ H∗ = 2 , ta có:
xk , y = y k → 0 khi k → ∞.
Do đó xk
0 khi k → ∞. Tuy nhiên xk không hội tụ mạnh vì xk = 1
với mọi k ∈ N.

1.2. Định lý điểm bất động Banach, Brouwer
Định lí 1.1. (Banach, 1922) Cho X là một không gian metric đầy đủ và T :
X → X là một ánh xạ co. Khi đó T có một điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X.
Hơn nữa, với mọi x ∈ X, T k x → x∗ khi k → ∞.
Định lý Banach đúng với mọi không gian metric đầy đủ do đó trong trường
hợp đặc biệt nó đúng cho tất cả các tập con đóng của một không gian Hilbert.
Định lý Banach có những ưu điểm nổi bật: ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tính

duy nhất, phương pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tại
mỗi bước lặp. Tuy nhiên, điều kiện co là khá ngặt. Việc nghiên cứu về điểm bất
động của ánh xạ không giãn sẽ phức tạp hơn nhiều so với ánh xạ co. Nó đòi hỏi
phải có những công cụ đặc biệt. Dưới đây, chúng tôi xin trình bày một số định
lý điểm bất động cổ điển.
9


Định lí 1.2. (Brouwer, 1912) Cho C là một tập con lồi, compact, khác rỗng của
một không gian Hilbert hữu hạn chiều H và T : C → C là một ánh xạ liên tục.
Khi đó T có một điểm bất động.
Định lý điểm bất động Brouwer tương đương với nguyên lý ánh xạ KKM sau
đây.
Định lí 1.3. Cho C là một tập hợp trong không gian véctơ tôpô tách X và F :
C → 2X là ánh xạ đa trị thỏa mãn:
a) F (x) đóng với mọi x ∈ C,
b) F là ánh xạ KKM, tức là với mọi tập hợp hữu hạn x1 , x2 , x3 , · · · , xk ⊂
C ta có
k

co

1

2

3

k

x ,x ,x ,··· ,x

F xi

⊂
i=1

Khi đó ki=1 F xi = ∅ với mọi x1 , x2 , x3 , · · · , xk ⊂ C. Ngoài ra nếu tồn
F (x) = ∅.
tại x0 ∈ C sao cho F x0 compact thì
x∈C

Định lý điểm Brouwer được mở rộng cho trường hợp không gian vô hạn
chiều như sau.
Định lí 1.4. (Schauder, 1930) Cho C là một tập con lồi, compact khác rỗng của
một không gian Banach và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Khi đó T có một
điểm bất động.
Đối với các ánh xạ không giãn trong một không gian Hilbert H, tính compact
của C ⊂ H trong định lý Schauder có thể thay thế bởi tính bị chặn của C.
Định lí 1.5. (Browder–G¨ohde–Kirk, 1965) Cho C là một tập con lồi, đóng, bị
chặn, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → C là một ánh xạ
không giãn. Khi đó T có một điểm bất động.
Khác với định lý Banach, các định lý Browder–G¨ohde–Kirk, Schauder và
Brouwer chỉ cho ta sự tồn tại của điểm bất động.

1.3. Tính đơn điệu
Định nghĩa 1.8. Giả sử K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Toán tử F : K → H được gọi là
10

a) đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại δ > 0 sao cho
F (x) − F (y) , x − y ≥ δ x − y

2

∀x, y ∈ K.

b) đơn điệu trên K nếu
F (x) − F (y) , x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ K.
c) đơn điệu chặt trên K nếu
F (x) − F (y) , x − y > 0 ∀x, y ∈ K, x = y.
d) giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ K
F (x) , y − x ≥ 0 ⇒ F (y) , y − x ≥ δ y − x

2

.

e) giả đơn điệu trên K nếu với mọi x, y ∈ K
F (x) , y − x ≥ 0 ⇒ F (y) , y − x ≥ 0.
Ví dụ 1.4. a) Hàm F (x) = x, ∀x ∈ R là đơn điệu mạnh với δ = 21 .
b) Hàm F (x) = x3 , ∀x ∈ R là đơn điệu chặt.
c) Hàm F (x) = c, ∀x ∈ R là đơn điệu.
Theo định nghĩa trên các kéo theo (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (a) ⇒ (d), (c) ⇒
(e), (d) ⇒ (e) là hiển nhiên. Chú ý một toán tử giả đơn điệu mạnh có thể không
đơn điệu.
Ví dụ 1.5. Cho 0 < r < R, đặt K = B (r) : {x ∈ H : x ≤ r} và F được
cho bởi
F (x) , y − x := K (x) , y − x + (R − x ) G (x) , y − x ,

trong đó K và G thỏa mãn các điều kiện sau:
a) K (x) , y − x ≤ 0, ∀x, y ∈ K và G là β− đơn điệu mạnh trên K,
b) ∃y 0 ∈ K sao cho
K (0) , y 0 + K y 0 , −y 0 = 0,
R G (0) , y 0 + R − y 0

11

G y 0 , −y 0 > 0.


Giả sử F (x) , y − x ≥ 0, do K (x) , y − x ≤ 0 nên ta có:
G (x) , y − x ≥ 0.
Suy ra G (y) , x − y ≤ −β y − x 2 (do G đơn điệu mạnh).
Theo định nghĩa của F (x) , y − x ta có: ∀x, y ∈ K,
F (y) , x − y = K (y) , x − y + (R − y ) G (y) , x − y
≤ − (R − r) β y − x

2

.

Suy ra F giả đơn điệu mạnh trên K. Hơn nữa, theo (ii) ta có:
F (0) , y 0 + F y 0 , −y 0 = K (0) , y 0 + R G (0) , y 0 +
+ K y 0 , −y 0 + R − y 0

G y 0 , −y 0 > 0.

Do đó F không đơn điệu.

1.4. Ánh xạ hemi-liên tục
Định nghĩa 1.9. Giả sử K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H và F : K → H là một ánh xạ. Khi đó F được gọi là hemi-liên
tục nếu với mọi x, y ∈ K và z ∈ H, hàm
λ → z, F (λx + (1 − λ) y)
từ [0, 1] vào R là hàm liên tục.
Ví dụ 1.6. Cho K = H = R2 và ánh xạ F : K → H xác định bởi F (x, y) =
(f1 (x, y) , 0) trong đó


 0, nếu x = 0 hoặc y ≤ 0,
y
f1 (x, y) =
nếu 0 < y ≤ x2 ,
x2 ,

 x2
nếu 0 < x2 ≤ y.
y ,
Dễ thấy f1 (x, y) liên tục khắp nơi trừ gốc tọa độ, tại đó nó liên tục theo bất
kỳ đường thẳng nào đi qua gốc tọa độ. Do đó F hemi-liên tục nhưng không liên
tục tại gốc tọa độ. Hơn nữa dễ thấy F là giả đơn điệu nhưng không đơn điệu. Để
thấy F không đơn điệu ta lấy u = (1, 2) và v = (2, 1) khi đó F (1, 2) = 12 , 0 ,
F (2, 1) = 14 , 0 và
F (1, 2)−F (2, 1) =

1
, 0 , (1, 2)−(2, 1) = (−1, 1) , (2, 1)−(1, 2) = (1, −1) .
4
12

Do đó
1
> 0,
2
1
F (2, 1) , (2, 1) − (1, 2) = > 0,
4

F (1, 2) , (2, 1) − (1, 2) =

F (1, 2) − F (2, 1) , (1, 2) − (2, 1) =

−1
< 0.
4

Suy ra F giả đơn điệu nhưng không đơn điệu.

1.5. Bất đẳng thức biến phân và sự tồn tại nghiệm
1.5.1. Mô tả bài toán
Cho K là một tập con khác rỗng của H và ánh xạ F : K → H. Bài toán tìm
x ∈ K sao cho
F (x) , y − x ≥ 0 ∀y ∈ K
(1.1)
được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân và được ký hiệu là VIP(K, F ).
Về mặt hình học, véctơ x là nghiệm của VIP(K, F ) nếu và chỉ nếu F (x) tạo
thành một góc không tù với véctơ y − x với mọi y ∈ K.
Tập hợp các nghiệm của VIP(K, F ) được kí hiệu là Sol(K, F).

Ví dụ 1.7. Trong R, xét tập K = [1; 5] ⊂ R và ánh xạ F : [1; 5] → R được xác
định bởi:
F (y) = y − 1 ∀y ∈ [1; 5] .
Khi đó, VIP(K, F ) là bài toán tìm x ∈ [1; 5] sao cho
x − 1, y − x ≥ 0 ∀y ∈ [1; 5] .

(1.2)

Ta chứng tỏ rằng: Sol(K, F) = {1}. Thật vậy, hiển nhiên x = 1 là một
nghiệm. Nếu 0 < x < 1 thì (1.2) chỉ thỏa mãn với y ≤ x. Ngược lại, nếu x > 1
thì (1.2) chỉ thỏa mãn với y ≥ x. Điều đó chứng tỏ x = 1 là nghiệm duy nhất.
Sau đây chúng ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa VIP(K, F ) và nón pháp tuyến
của một tập lồi.
Mệnh đề 1.4. Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và cho ánh xạ
F : K → H. Khi đó x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VIP(K, F ) khi và
chỉ khi −F (x) ∈ NK (x), trong đó NK (x) là nón pháp tuyến của K tại x.
Nói cách khác, x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VIP(K, F ) khi và
chỉ khi:
0 ∈ F (x) + NK (x).
13


Mệnh đề 1.5. Cho ánh xạ F : H → H. Véctơ x ∈ H là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân VIP(K, F ) khi và chỉ khi F (x) = 0.
Chứng minh. Giả sử F (x) = 0 khi đó
F (x) , y − x = 0 ∀y ∈ K.
Suy ra x ∈ Sol(K, F).
Ngược lại, giả sử x ∈ Sol(K, F). Khi đó
F (x) , y − x ≥ 0 ∀y ∈ K.
Thay y = x − F (x) vào bất đẳng thức trên ta có:

F (x) , x − F (x) − x = F (x) , −F (x) ≥ 0.
Do đó − F (x)

2

≥ 0. Suy ra F (x) = 0.

1.5.2. Các bài toán liên quan
Bất đẳng thức biến phân có liên hệ mật thiết với nhiều bài toán khác như: bài
toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động,...
Bài toán bù phi tuyến

Định nghĩa 1.10. Cho K là một nón lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H.
Bài toán bù phi tuyến (nonlinear complementarity problem) là bài toán sau đây:
Tìm x ∈ K sao cho F (x) ∈ K ∗ và F (x), x = 0.
trong đó K ∗ là nón đối ngẫu của K. Ký hiệu bài toán là NCP(K, F ).
Mệnh đề 1.6. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì bài toán NCP(K, F )
tương đương với bài toán VIP(K, F ) theo nghĩa tập nghiệm của các bài toán
này trùng nhau.
Chứng minh. Giả sử x ∈ K là nghiệm của bài toán VIP(K, F ). Theo định nghĩa
ta có:
F (x) , y − x ≥ 0 ∀y ∈ K.
(1.3)
Do K là nón lồi đóng nên với mọi x ∈ K ta có x + x ∈ K. Thay y trong bất
đẳng thức (1.3) bởi x + x ta được
F (x) , x ≥ 0 ∀x ∈ K.

14

(1.4)

Suy ra F (x) ∈ K ∗ .
Mặt khác, cũng vì K là nón và x ∈ K nên 2x ∈ K. Thay y trong bất đẳng
thức (1.3) bởi 2x ta được
(1.5)
F (x) , x ≥ 0.
Thay y trong bất đẳng thức (1.3) bởi 0 ta được
F (x) , −x ≥ 0.

(1.6)

Từ (1.5) và (1.6) ta kết luận: F (x) , x = 0, hay x là nghiệm của bài toán
NCP(K, F ).
Ngược lại, giả sử x ∈ K là nghiệm của bài toán NCP(K, F ). Theo định nghĩa
ta có:
F (x) ∈ K ∗ và F (x), x = 0.
Vì F (x) ∈ K ∗ nên F (x) , y ≥ 0 với mọi y ∈ K. Do đó
F (x) , y − x = F (x) , y − F (x), x ≥ 0 ∀y ∈ K.
Hay x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ).
Bài toán tối ưu

Cho K ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : K → R là một ánh xạ khả vi.
Bài toán tối ưu được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ K sao cho f (x) = min {f (x) : x ∈ K} .

(1.7)

Mệnh đề 1.7. Nếu x ∈ K là nghiệm của bài toán tối ưu (1.7) thì x là nghiệm
của bài toán VIP(K, F ) với F = ∇f (đạo hàm của f ).

Chứng minh. Với y ∈ K bất kỳ, do K lồi nên x + λ (y − x) ∈ K với λ ∈ [0; 1].
Xét hàm ϕ: [0; 1] → R xác định bởi
ϕ (λ) = f (x + λ (y − x)) ∀λ ∈ [0; 1] .
Vì ϕ (λ) đạt cực tiểu tại λ = 0 nên ϕ (0) ≥ 0, tức là
F (x), y − x = ∇f (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K.
Do đó x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) với F = ∇f .
Mệnh đề 1.8. Cho K ∈ H là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : K → R là hàm
giả lồi. Nếu x ∈ K là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) với F (x) = ∇f (x) thì x
cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.7).
15


Chứng minh. Giả sử rằng x ∈ K là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) nhưng
không là nghiệm của bài toán tối ưu (1.7). Khi đó tồn tại vectơ y ∈ K sao cho
f (y) < f (x). Do tính giả lồi của f , ta có
∇f (x), y − x < 0,
mâu thuẫn với giả thiết x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ).
Bài toán điểm bất động

Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ T : K → K. Bài toán
điểm bất động được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ K sao cho T (x) = x.

(1.8)

Tập hợp tất cả các điểm bất động của ánh xạ T được ký hiệu là F ix(T ).
Mối quan hệ giữa bài toán VIP(K, F ) với bài toán điểm bất động (1.8) được
mô tả bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.9. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi
F (x) = x − T (x) ∀x ∈ K.

Khi đó bài toán VIP(K, F ) tương đương với bài toán điểm bất động (1.8), theo
nghĩa tập nghiệm của các bài toán này trùng nhau.
Chứng minh. Giả sử F (x) = x − T (x) với mọi x ∈ K và x ∈ K là nghiệm của
bài toán VIP(K, F ), tức là
F (x), x − x ≥ 0 ∀x ∈ K.
Do F (x) = x − T (x) nên
x − T (x), x − x ≥ 0 ∀x ∈ K.
Do T (x) ∈ K nên thay x ở trên bởi T (x) ta được
x − T (x), T (x) − x ≥ 0.
Hay
− x − T (x)

2

≥ 0.

Suy ra
x = T (x).
Ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài toán điểm bất động (1.8). Khi đó
x = T (x).
16


Suy ra
F (x) = x − T (x) = 0
Hay
F (x), x − x = 0.
Suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.10. Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó x ∈ K
là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) khi và chỉ khi với mọi γ > 0, x là điểm bất

động của ánh xạ PK (I − γF ): K → K, tức là
PK (x − γF (x)) = x
trong đó PK (x − γF (x)) là hình chiếu của x − γF (x) trên K, I là ánh xạ đồng
nhất trên H.
Chứng minh. Giả sử x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ). Theo định nghĩa ta
có:
F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K.
Nhân bất đẳng thức trên với −γ < 0 rồi cộng cả hai vế với x, y − x ta được
x, y − x ≥ x − γF (x), y − x

∀y ∈ K.

Suy ra x = PK (x − γF (x)).
Ngược lại, giả sử x = PK (x − γF (x)) với mọi γ > 0, theo tính chất của
phép chiếu metric ta có
x, y − x ≥ x − γF (x), y − x

∀y ∈ K.

Suy ra
F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K.
Do đó, x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ).
1.5.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Định lí 1.6. Cho K là một tập lồi, compact, khác rỗng trong H và F : K → H
là ánh xạ liên tục. Khi đó, bài toán VIP(K, F ) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh. Vì PK và I − γF là các ánh xạ liên tục với mọi γ > 0 nên
PK ◦ (I − γF ) cũng là một ánh xạ liên tục xác định trên một tập lồi, compact,
khác rỗng K. Theo định lý điểm bất động Brouwer PK ◦ (I − γF ) có một điểm
bất động. Theo Mệnh đề 1.10, bài toán VIP(K, F ) có ít nhất một nghiệm.
17

Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lý về điểm bất động Brouwer
không áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bài toán VIP(K, F ) có thể
được thiết lập theo cách khác. Ký hiệu B (0, r) là hình cầu đóng tâm 0 bán kính
r > 0 trong không gian Hilbert H và đặt
K r = K ∩ B (0, r) .
Khi đó, K r bị chặn. Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định trên K r , ký
hiệu là VIP(K r , F ) là bài toán
Tìm xr ∈ K r sao cho F (xr ), y − xr ≥ 0 ∀y ∈ K r .
Nếu K r = ∅ và K là tập con lồi đóng trong H thì K r lồi, compact, khác
rỗng. Hơn nữa, nếu F : K → H là ánh xạ liên tục thì theo Định lý 1.6, bài toán
VIP(K r , F ) luôn có nghiệm.
Định lí 1.7. Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và F : K → H là ánh
xạ liên tục. Khi đó, bài toán VIP(K, F ) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại r > 0
và xr là nghiệm của bài toán VIP(K r , F ) sao cho xr < r.
Chứng minh. Giả sử x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ). Khi đó lấy r > 0 sao
cho x < r thì x là nghiệm của bài toán VIP(K r , F ).
Ngược lại, giả sử tồn tại r > 0 và xr là nghiệm của bài toán VIP(K r , F ) sao
cho xr < r. Lấy y ∈ K tùy ý. Vì xr < r nên có thể chọn λ > 0 đủ nhỏ sao
cho
ω = xr + λ(y − xr ) ∈ K r .
Do đó
0 ≤ F (xr ), ω − xr = λ F (xr ), y − xr .
Vì y ∈ K tùy ý nên xr là nghiệm của bài toán VIP(K, F ).
Định lí 1.8. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : K → H là
ánh xạ liên tục thỏa mãn
F (x) − F (x0 ), x − x0
→ ∞ khi x → ∞, x ∈ K, x0 ∈ K.
0

x−x
Khi đó, bài toán VIP(K, F ) luôn có nghiệm.
Chứng minh. Chọn s > F (x0 ) và r > x0 sao cho
F (x) − F (x0 ), x − x0 ≥ s x − x0

18

∀ x ≥ r, x ∈ K.

(1.9)


Khi đó
F (x), x − x0 ≥ s x − x0 + F (x0 ), x − x0
≥ s x − x0 − F (x0 ) x − x0
≥ s − F (x0 )
x − x0 > 0 với x = r.

(1.10)

Giả sử xr ∈ K r là nghiệm của bài toán VIP(K r , F ). Khi đó
F (xr ), xr − x0 = − F (xr ), x0 − xr ≤ 0.
Từ (1.10) suy ra xr = r. Do đó xr < r. Theo Định lý 1.7 ta có điều phải
chứng minh.
Định lí 1.9. Cho K là một tập khác rỗng trong H và F : K → H đơn điệu chặt.
Khi đó, nghiệm của bài toán VIP(K, F ) nếu tồn tại là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử x1 và x2 , x1 = x2 lần lượt là hai nghiệm của bài toán
VIP(K, F ). Khi đó
F (x1 ), y − x1 ≥ 0 ∀y ∈ K,

(1.11)

F (x2 ), y − x2 ≥ 0 ∀y ∈ K.

(1.12)

Thay y = x2 trong (1.11) và y = x1 trong (1.12) rồi cộng hai vế của hai bất
đẳng thức mới ta được:
F (x1 ) − F (x2 ), x2 − x1 ≥ 0
Hay
F (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 ≤ 0.
Điều này trái với định nghĩa về hàm đơn điệu chặt. Do đó x1 = x2 .
Nhận xét 1.4. Tính đơn điệu chặt không đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán
VIP(K, F ). Ví dụ, xét K = {x ∈ R : x ≥ 0} và F (x) = −e−x − 1. Khi đó F
đơn điệu chặt nhưng không tồn tại x ∈ K thỏa mãn F (x) ≥ 0. Do đó không
tồn tại x ∈ K sao cho bài toán VIP(K, F ) được thỏa mãn.
Định lí 1.10. Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong H và ánh xạ liên
tục F : K → H. Nếu F đơn điệu mạnh thì bài toán VIP(K, F ) tồn tại duy nhất
một nghiệm.
Chứng minh. Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh nên với x0 ∈ K, tồn tại σ > 0 sao
cho
F (x) − F (x0 ), x − x0
≥ σ x − x0
∀x ∈ K.
0
x−x
19


Điều này kéo theo rằng F thỏa mãn điều kiện bức (1.9). Theo Định lý 1.8 thì

bài toán VIP(K, F ) có nghiệm. Vì F đơn điệu mạnh nên F đơn điệu chặt, theo
định lý (1.9), bài toán VIP(K, F ) có nghiệm duy nhất.
Năm 1962, Minty đã bổ sung thêm tính chất nghiệm của bài toán VIP(K, F )
dưới dạng nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Minty (MVIP(K, F ))
như sau:
Tìm x ∈ K sao cho F (y), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K,
trong đó F : K → H và K là tập con khác rỗng của H.
Trong bài toán MVIP(K, F ) điều quan trọng là bất đẳng thức phải được thỏa
mãn tại F (y) với mọi y ∈ K còn trong bài toán VIP(K, F ), bất đẳng thức chỉ
cần đúng cho điểm F (x) với x ∈ K là nghiệm của bài toán.
Bổ đề 1.1. (Bổ đề Minty) Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và
F : K → H là một ánh xạ. Khi đó các khẳng định sau là đúng
a) Nếu F hemi-liên tục thì mỗi nghiệm của bài toán MVIP(K, F ) cũng là
nghiệm của bài toán VIP(K, F ).
b) Nếu F giả đơn điệu thì mỗi nghiệm của bài toán VIP(K, F ) cũng là
nghiệm của bài toán MVIP(K, F ).
Chứng minh. (a) Cho x ∈ K là một nghiệm của bài toán MVIP(K, F ). Khi đó,
với y ∈ K bất kỳ và λ ∈ [0, 1] ta có zλ = x + λ (y − x) ∈ K. Do đó
F (zλ ) , zλ − x ≥ 0 ∀λ ∈ [0, 1] .
Suy ra
F (x + λ (y − x)) , y − x ≥ 0 ∀λ ∈ [0, 1] .
Do F hemi-liên tục, ta có
F (x) , y − x ≥ 0 ∀y ∈ K.
Vì vậy, x ∈ K là một nghiệm của bài toán VIP(K, F ).
(b) Rõ ràng mỗi nghiệm của bài toán VIP(K, F ) là một nghiệm của bài toán
MVIP(K, F ) bởi tính giả đơn điệu của F .
Bổ đề 1.2. Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : K → H
là một ánh xạ hemi-liên tục và giả đơn điệu. Khi đó tập nghiệm của bài toán
VIP(K, F ) lồi và đóng.

20