Cấu trúc của nhóm các phép biến đổi đẳng cự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bùi Thị Khánh Linh

CẤU TRÚC CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bùi Thị Khánh Linh

CẤU TRÚC CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Phạm Thanh Tâm

Hà Nội – Năm 2017

Mục lục

1 Các phép biến đổi Euclid

2

1.1

Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Phép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.4

Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Ánh xạ và các phép biến hình . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Sử dụng phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến .

15

1.3

1.4

2 Đại số của các phép đẳng cự
2.1

28

Các tính chất đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.1

Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2

Sự hợp thành của các phép biến hình . . . . . .

30

2.1.3

Các phép biến hình bằng nhau . . . . . . . . . .

31

2.1.4

Bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.5

Kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

2.3

Bùi Thị Khánh Linh

Nhóm các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1

Nhóm các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.2

Phép đẳng cự thuận và ngược . . . . . . . . . .

36

Tích của các phép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . .

42

3 Tích của các phép đẳng cự thuận

49

3.1

Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2

Điểm cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.3

Tích của hai phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4

Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay . . . . .

54

3.5

Tích của hai phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

KẾT LUẬN

62

TÀI LIỆU THAM KHẢO

65

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

Các từ viết tắt
- SAS: cạnh - góc - cạnh.
- SSS: cạnh - cạnh - cạnh.

1


Chương 1
Các phép biến đổi Euclid
1.1

Bài toán mở đầu

Bài toán cắt bánh: Hai đứa trẻ muốn chia một mẩu của cái bánh
có một hình không thông thường, như biểu diễn trong hình dưới, với
BCDE là một hình vuông, đường cong AE là một vòng cung tâm C,
và các điểm A, B và E thẳng hàng. Là những đứa trẻ, chúng không
muốn nhận những mẩu bánh không giống nhau. Nói cách khác, chúng
muốn cắt bánh thành 2 mẩu bằng nhau. Điều này có thể làm như thế
nào?

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

Nếu chiếc bánh bao gồm các
không gian vuông trên BCDE,
sao cho nó là hình có biểu diễn
như hình bên phải, công việc đã
trở nên rất đơn giản. Cái bánh có
thể được cắt xuống giữa dọc theo
đường l.
Bánh trong hình này có tính
phản xạ đối xứng qua l : nếu bạn
giữ một cái gương thẳng đứng
với trang sách với một cạnh của
gương dọc theo l, sự phản xạ của
một nửa hình sẽ trùng khớp với
nửa kia (loại đối xứng này sẽ
được định nghĩa chính xác hơn
sau này).
Khi chúng ta muốn chia những cái bánh thành các mẩu bằng nhau,
chúng ta có xu hướng tìm kiếm sự phản xạ đối xứng và thường bỏ qua
các khả năng khác. Điều này có thể lí giải tại sao nhiều người cố gắng
chia bánh bằng cách cắt nó thành hai mẩu và sau đó chia mỗi mẩu
bánh dọc theo 1 trục có sự phản xạ đối xứng, như trong hình phía
trên.
Mặc dầu nó có thể được cắt thành hai mẩu, mỗi một mẩu có sự

phản xạ đối xứng, nhưng bản thân cái bánh lại không có sự phản xạ
đối xứng. Điều này không có nghĩa rằng không có giải pháp cho bài

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

toán ban đầu.
1
của 1 cái bánh tròn, biểu diễn như hình
4
dưới. Một vòng quay quanh tâm C một góc 450 biểu diễn cách cắt
Cái bánh có lẽ đã là

một chiếc bánh thành 2 phần bằng nhau.

1.2
1.2.1

Định nghĩa
Góc định hướng

Bài toán cái bánh đã được giải quyết bằng cách sử dụng một phép
quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 450 . Một phép quay theo ngược
chiều kim đồng hồ cũng đã dẫn đến một cách giải quyết. Cách thông
thường để phân biệt phép quay cùng chiều kim đồng hồ và phép quay
ngược chiều kim đồng hồ là sử dụng góc định hướng hoặc góc làm

dấu.
Các góc đó được đo theo hướng ngược chiều kim đồng hồ được xem
là dương, trong khi đó các góc được đo theo hướng chiều kim đồng hồ
là âm, như biểu diễn trong hình dưới. Đối với một góc định hướng, kí
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

−→
−−→
hiệu ∠ABC được hiểu như là một góc từ tia BA đến tia BC.

1.2.2

Phép quay

Cho O là một điểm và α là một góc định hướng. Phép quay quanh
O qua góc α, được kí hiệu bởi RO,α , mỗi một ánh xạ điểm P trong
phẳng, với P = O, thành điểm P’ khác, trong đó:
|OP | = |OP | và ∠P OP = α.
Điểm O, điểm mà được gọi là tâm phép quay, được ánh xạ lên chính
nó. Vì vậy, nó không di động, nó được gọi là một điểm cố định hoặc
một đường thẳng bất biến dưới RO,α .

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

Bùi Thị Khánh Linh

Phép đối xứng

Cho l là một đường thẳng trong
mặt phẳng. Phép đối xứng qua
l, được kí hiệu là Rl ánh xạ một
điểm P không nằm trên l đến
điểm P’ sao cho l là đường trung
trực của PP’.
Dưới phép đối xứng Rl , mọi
điểm trên l được ánh xạ lên chính
nó, vì vậy mọi điểm trên l là một
điểm cố định.
1.2.4

Phép tịnh tiến

Cho AB là một đoạn thẳng có hướng. Một phép tịnh tiến bởi AB,
được kí hiệu bởi TAB , ánh xạ mỗi điểm P thành điểm P’ sao cho đoạn
thẳng có hướng P P = AB, song song với TAB , và cùng hướng với
TAB .

6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3
1.3.1

Bùi Thị Khánh Linh

Ánh xạ và các phép biến hình
Định nghĩa

ÁNH XẠ.

Chúng ta sử dụng từ ánh xạ hoặc hàm số để mô tả một sự kết hợp
giữa hai tập X và Y có tính chất rằng mỗi điểm của X được liên kết
với một và chỉ một điểm của Y.

Nếu một điểm X của X được liên kết với điểm Y của Y, chúng ta
nói rằng Y là ảnh của X dưới ánh xạ và điểm X đó là tạo ảnh của Y.
Có 2 điều nên được đề cập đến trong mối quan hệ giữa ảnh và tạo
ảnh. Đầu tiên là vì định nghĩa của một ánh xạ forbids, rằng một điểm
X của X có nhiều hơn một ảnh trong Y. Tuy nhiên, hoàn toàn có thể
chấp nhận rằng một điểm Y của Y có nhiều hơn một tạo ảnh trong
X - có nhiều điểm khác nhau của X có thể có ảnh giống nhau trong
Y. Nói cách khác, chúng ta nói rằng ánh xạ đó có thể là nhiều - một.
Thuật ngữ như vậy, mặc dù là ít phổ biến nhưng để thuận tiện nó
là cần thiết bởi vì định nghĩa ánh xạ cho phép chúng ta nói như vậy.
Một ánh xạ của một tập X đến một tập Y được gọi là 1-1 hoặc đơn
7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

ánh nếu không có điểm nào của Y có nhiều hơn một tạo ảnh trong X
hoặc tương đương, nếu các điểm khác nhau của X có ảnh khác nhau
trong Y.

Điều thứ hai cần chú ý là vì mặc dù định nghĩa của một ánh xạ
từ X đến Y nói rằng mọi điểm của X phải có một ảnh trong Y, nó
không nói rằng mọi điểm của Y phải có một tạo ảnh trong X. Khi
mọi điểm của Y có một tạo ảnh trong X chúng ta nói rằng ánh xạ đó
là ánh xạ lên Y hoặc rằng nó là một toàn ánh. Khi X và Y là các tập
giống nhau, đôi khi nó xuất hiện một điểm là ảnh của tất cả chúng.
Điểm như vậy được gọi là một điểm cố định hoặc một điểm bất biến
của ánh xạ. Nếu tất cả các điểm trong X là các điểm cố định, ánh xạ
được gọi là ánh xạ đồng nhất, hoặc đơn giản là đồng nhất, và nó được
kí hiệu bởi I.
PHÉP BIẾN HÌNH.

Một ánh xạ vừa 1-1 cả hai vế và lên được gọi là một song ánh và nếu
X và Y là các tập giống nhau, thì song ánh được gọi là một phép biến
hình. Nói cách khác, khi chúng ta sử dụng từ phép biến hình chúng
ta hiểu rằng một ánh xạ với các tính chất sau:
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

Ánh xạ từ một tập đến một tập giống nó.
Ánh xạ 1-1.
Ánh xạ lên.
Dễ dàng thấy rằng phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến có
cả 3 tính chất và vì vậy tất cả 3 phép đó là các phép biến hình.
PHÉP BIẾN HÌNH NGƯỢC.

Ngược của một ánh xạ T từ X đến Y là một ánh xạ S khác từ Y đến
X sao cho đối với mọi điểm x trong X điểm T(x) được ánh xạ trở lại
x bởi S. Nói cách khác, nếu T(x) = y thì S(y) = x. Một ánh xạ đó
không là 1-1 có thể không có nghịch đảo. Tuy nhiên trong hình học,
một phép biến hình phải là 1-1 và lên, và vì vậy mọi phép biến hình
tự động có một phép ngược (phép đảo ngược) và ánh xạ ngược bản
thân nó là phép biến hình.
Có 3 ánh xạ cơ bản: phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến.
Đơn giản nhìn thấy rằng chúng là các phép biến hình có phép đảo
ngược là các phép biến hình kiểu giống chúng.
Định lý 1.1. (Phép biến hình đảo ngược)
(1) Ngược của phép quay RO,α là phép quay RO,−α .
(2) Ngược của phép đối xứng Rl là phép đối xứng Rl .
(3) Ngược của phép tịnh tiến TAB là phép tịnh tiến TBA .

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

Bùi Thị Khánh Linh

Các phép đẳng cự

PHÉP ĐẲNG CỰ.

Một phép biến hình bảo tồn khoảng cách được gọi là một phép đẳng
cự.
Định lý 1.2. Phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến là các phép
đẳng cự.

Chứng minh. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng một phép quay RO,α đúng là
một phép đẳng cự (chứng minh rằng phép đối xứng, phép tịnh tiến
cũng là các phép đẳng cự là tương tự).
Xét hình trên, là 1 trường hợp điển hình.
Vì ∠P OP = α = ∠QOQ .
Chúng ta phải có ∠P OQ = α = ∠QOP = ∠P OQ .
Vì OP = OP và OQ = OQ ,
khi đó theo định lí SAS, chúng ta có
OP Q = OP Q ,
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

vì vậy
PQ = P Q .

TÍCH CỦA CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ.

Điều gì xảy ra nếu một phép đẳng cự T được đặt vào trong phẳng
và theo sau bởi một phép đẳng cự S khác? Khi một phép biến hình
T được theo sau bởi phép biến hình S khác, tổ hợp kết quả được gọi
là tích của hai phép biến hình và được viết S ◦ T . Chú ý rằng phép
biến hình đầu tiên ở bên phải, trong khi phép biến hình thứ hai ở bên
trái. (Đây là kí hiệu quy ước trong hình học. Nó là một quy ước chung
trong nguyên văn Đại số để viết phép biến hình đầu tiên ở bên trái.)
Giả sử rằng chúng ta bắt đầu với các điểm P, Q tại khoảng cách
d từ mỗi điểm. Khi T được đặt vào, chúng được ánh xạ thành P’, Q’
và dist(P’, Q’) = dist(P, Q) = d. Khi S được đặt vào P’, Q’, chúng
được ánh xạ thành P”, Q’ ’ và khoảng cách được bảo toàn, nghĩa là,
S ◦ T bản thân nó là một phép đẳng cự.
Vì vậy chúng ta có thể tạo ra các phép đẳng cự mới bằng tích của
các phép đẳng cự đã biết, nó dường như là một sự thay thế không có
giới hạn của các phép đẳng cự khác nhau. Ví dụ, chúng ta có thể tạo
ra một phép đẳng cự mới bằng cách thực hiện một phép quay đầu
tiên, sau đó đối xứng qua một vài đường thẳng, sau đó đối xứng qua
đường thẳng khác, sau đó tịnh tiến. Sau này chúng ta thấy rằng chúng
ta thực sự không thể nhận quá nhiều cái mới và chính xác, chỉ có 4

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

loại phép đẳng cự trong phẳng. Thêm vào phép quay, phép đối xứng,

phép tịnh tiến, loại khác chỉ là một phép đối xứng lướt.

Một phép đối xứng lướt Gl,AB đơn giản là một phép tịnh tiến TAB
−→
được theo sau bởi một phép đối xứng Rl qua một đường thẳng l//AB.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng đây chỉ là một phép đẳng cự thêm sau
này.
Rõ ràng rằng tất cả các phép đẳng cự có đảo ngược và bản thân
chúng cũng phải là các phép đẳng cự. Khá không rõ ràng để khẳng
định rằng một phép đẳng cự biến đường thẳng thành đường thẳng.
Định lý 1.3. (Các phép đẳng cự bảo toàn đường thẳng)
(1) Cho P, Q và R là 3 điểm và cho P’, Q’ và R’ là ảnh của chúng
dưới một phép đẳng cự. Các điểm P, Q và R là thẳng hàng với Q nằm
giữa P và R, nếu và chỉ nếu các điểm P’, Q’, R’ là thẳng hàng, với
Q’ nằm giữa P’ và R’.
(2) Cho l là một đường thẳng và cho l’ là ảnh của l dưới một phép
đẳng cự. Khi đó l’ là một đường thẳng.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

Chứng minh. Ở đây chúng ta viết |AB| đối với dist(A, B ).
(1) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu Q nằm giữa P và R thì Q’ phải
nằm giữa P’ và R’ (chứng minh phần đảo có thể thu được bằng cách
hoán đổi P, Q và R với P’, Q’ và R’ ).
Nếu Q là nằm giữa P và R thì
|P Q| + |QR| = |P R|.

Vì một phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách, chúng ta phải có
|P Q | = |P Q| , |Q R | = |QR| , |P R | = |P R|.
Khi đó: |P Q | + |Q R | = |P R |,
và bất đẳng thức tam giác chỉ ra rằng P’, Q’ và R’ thẳng hàng với
Q’ nằm giữa P’ và R’.

(2) Cho P và Q là hai điểm trên l, cho P’ và Q’ là ảnh của chúng
dưới một phép đẳng cự. Cho m là đường thẳng đi qua P’ và Q’. Chúng
ta sẽ chỉ ra rằng m là ảnh của l dưới một phép đẳng cự. Chúng ta
phải kiểm tra 2 điều:
(a) Mọi điểm R trên l có ảnh của nó R’ trên m.
(b) Mọi điểm S’ trên m có tạo ảnh của nó S trên l.
Điều tiếp theo từ mệnh đề (1) ở trên phát biểu rằng nếu R là một
điểm trên l khác P hoặc Q thì P’, Q’ và R’ phải thẳng hàng, vì vậy
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

R’ là một điểm trên m. Ngược lại, nếu S’ trên m thì P’, Q’ và S’ phải
thẳng hàng, và một lần nữa điều đó đến từ phát biểu (1) rằng P, Q
và S trên l.
Định lí tiếp theo nói với chúng ta rằng một phép đẳng cự bảo toàn
hình dạng và kích thước của các hình hình học.
Định lý 1.4. Dưới một phép đẳng cự.
(1) Ảnh của một tam giác là một tam giác bằng nó.
(2) Ảnh của một góc là một góc bằng nó.
(3) Ảnh của một đa giác là một đa giác bằng nó.

(4) Ảnh của một đường tròn là một đường tròn bằng nó.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề (1) và xem chứng
minh các mệnh đề còn lại như bài tập. Cho P, Q và R là các đỉnh của
một tam giác. Điều tiếp theo đến từ định lí 1.3 rằng ảnh của chúng
P’, Q’ và R’ là các đỉnh của một tam giác và các cạnh P’Q’, Q’R’ và
R’P’ là ảnh của các cạnh PQ, QR và RP.
Vì phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách, bây giờ tính bằng nhau
đến từ tính chất bằng nhau của SSS.
Nhắc lại rằng khái niệm bằng nhau được định nghĩa theo các cách
khác nhau đối với các hình khác nhau. Ví dụ, 2 tam giác bằng nhau
nếu 3 góc và 3 cạnh tương ứng của một tam giác có cùng độ lớn như 3
góc và 3 cạnh tương ứng của một tam giác khác, trong khi hai đường
tròn được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng bán kính. Định lí 1.4
chỉ ra rằng khái niệm của một phép đẳng cự bao trùm và tổng quát
hơn khái niệm bằng nhau.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Bùi Thị Khánh Linh

Sử dụng phép quay, phép đối xứng và phép
tịnh tiến

Ví dụ 1.4.1. Cắt mỗi hình dưới đây thành hai mẩu bằng nhau, sử
dụng một lần cắt duy nhất.

Lời giải.
Sau khi cắt chúng ta phải kết thúc với hai mẩu bằng nhau. Điều
này nghĩa là một trong các mẩu phải đạt được từ mẩu kia bằng một
phép đẳng cự - hoặc một phép quay, một phép đối xứng, một phép
tịnh tiến hoặc một vài tổ hợp. Một hướng thâm nhập bài toán là sử
dụng phương pháp "tạo vết và khớp": vết của hình trên giấy vẽ và đặt
vết của hình vẽ trên một bản gốc ở các vị trí khác nhau cho đến khi
hai hình trùng khớp tạo lập đường bao của hai hình bằng nhau (tương
tự như đã thực hiện với bài toán cắt bánh). Khi điều này được hoàn
thành, bạn có thể thấy rằng lời giải đối với đa giác ABCDEFGH thu
được bằng sử dụng phép quay RO,90o , với O là trung điểm cạnh EF.
Lời giải đối với PQRSTUVW có thể thu được thông qua phép tịnh
tiến TU M , trong đó M là trung điểm của TU.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

Lưu ý điều thú vị rằng một sự thay đổi nhỏ trong
bài toán có thể dẫn đến lời giải khác. Ví dụ, xét
bài toán cắt đa giác trong hình bên phải thành hai
nửa bằng nhau. Nó giống đa giác ABCDEFGH từ
bài toán trước nhưng nó được giải quyết bởi một
phép đối xứng lướt, không phải một phép quay.
Vấn đề nan giải của vi dụ này có thể trở nên khá phức tạp và
phương pháp "tạo vết và khớp" không phải luôn luôn là hướng để giải
quyết. Ở đây là một ví dụ phức tạp hơn.

Ví dụ 1.4.2. Cắt đa giác trong hình dưới thành 2 mẩu bằng nhau, sử
dụng 1 lần cắt duy nhất. Miền bóng mờ là một cái lỗ và cắt qua lỗ vẫn
tính như là một lần cắt.

Lời giải.
Một hướng để tiếp cận bài toán này là chia khối hình thành các
hình vuông bằng nhau được gợi ý bởi hình dạng của cái lỗ như trong
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

hình (1) trong hình dưới, sau đó cố gắng để xây dựng dần dần các
mẩu bằng nhau bằng cách nhuộm màu các ô vuông. Một trình tự có
thể xảy ra của các kết quả được minh họa bởi hình (2) đến hình (7)
như trong hình dưới.

Đây là lời giải thích của mỗi bước.
(2) Chúng ta phải tưởng tượng rằng các hình vuông dọc theo cạnh
bên trái tất cả thuộc về một phần giống nhau, vì vậy chúng ta tô
chúng màu xám sáng.
(3) Phải có 1 tập các ô vuông trong phần khác khớp với các ô màu
xám sáng, có lẽ là 5 ô vuông dọc theo cạnh phải. Tô chúng màu xám
tối.
(4) Một ít sự khảo sát bảo đảm với chúng ta rằng các ô vuông dọc
trên không thể là màu xám tối, vì chúng ta sẽ không thể tìm thấy các
17

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

ô vuông xám sáng phù hợp, vì vậy chúng phải là các xám sáng.
(5) Chúng ta có thể nghĩ rằng các ô vuông xám sáng trong hình (4)
nên được kết hợp bởi các ô xám tối tại x và x. Tuy nhiên, điều này
khiến y như một ô vuông xám sáng và khi đó chúng ta không thể tìm
thấy một sự kết hợp đối với ô vuông xám sáng tại y. Như vậy, các ô
vuông xám tối phải được thêm như trong hình (5).
(6) Điều này bắt buộc ô vuông tại z là xám sáng, điều mà luôn
luôn bắt buộc sự tương ứng ô xám tối.
(7) Tiếp tục theo cách này, cuối cùng chúng ta đi đến lời giải.
Ví dụ 1.4.3. Cho hình vuông ABCD, một đường thẳng l và một điểm
P, tìm tất cả các điểm X và Y với X ở trên một cạnh của ABCD, Y
trên l và P là trung điểm của đoạn thẳng XY.

Lời giải.
Chúng ta sẽ đưa một phép xấp xỉ thử và sai lầm. Cho điểm Y có vị
trí trên l và tìm điểm Y’ tương ứng sao cho YY’ có P là trung điểm
của nó. Nếu Y’ xảy ra để nằm trên một cạnh của hình vuông, chúng
ta đã tìm được một nghiệm. Nó có nhiều khả năng rằng Y’ không
nằm trên một cạnh của hình vuông, vì vậy chúng ta sẽ thử một vài
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

vị trí đối với Y và quan sát điều gì xảy ra đối với Y’ như trong hình
dưới đây.

Lưu ý rằng mỗi Y’ thu được từ sự tương ứng Y bởi một phép quay
180o quanh P. Như vậy, chúng ta có thể có lời giải với việc sử dụng
RP,180o đối với đường thẳng l. Các điểm X, chúng là bất kì, là các điểm
trong đó ảnh l’ cắt hình vuông ABCD, như trong hình dưới.

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

Ví dụ 1.4.4. Cho 2 đường tròn E và F phân biệt bởi một đường thẳng
l. Tìm tất cả các hình vuông ABCD với đỉnh A trên E, đỉnh đối diện
C trên F và các đỉnh còn lại trên l.

Lời giải.
Sử dụng phép xấp xỉ thử
và sai lầm lần nữa, cho một
điểm C được đặt trên đường
tròn F và tìm điểm C’ tương
ứng sao cho C và C’ là đỉnh
đối diện của một hình vuông
mà hai đỉnh khác trên l, quan
sát rằng l là đường trung trực
của đường chéo CC’ của hình

vuông. Bởi vì C chiếm các vị
trí khác nhau trong F, do đó C’ phải là một điểm trên đường tròn F’
thu được bởi phép đối xứng f qua đường thẳng l, như trong hình trên.
Như vậy, chúng ta thu đươc lời giải bởi phép đặt Rl đối với đường
tròn F và các điểm trong đó ảnh F’ giao với E cho chúng ta điểm hoặc
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bùi Thị Khánh Linh

các điểm A của hình vuông muốn có. Tìm được A, chúng ta bây giờ
có thể dựng hình vuông để hoàn chỉnh lời giải, như trong hình dưới.

Ví dụ 1.4.5. Một đường cao tốc được giới hạn bởi hai đường thẳng
song song l và m. Một con ngựa và người cưỡi ngựa tại điểm R muốn
trở lại cái trại tại điểm C nằm ở phía khác của đường cao tốc và người
cưỡi ngựa muốn đi qua đường cao tốc theo phương vuông góc. Đường
nào ngắn nhất để đáp ứng cả hai mong muốn?

21