Bài 04 Hướng Dẫn Giải Bài Tập Tự Luyện Phương Trình mat Phẳng

Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chun đ 02. Hình h c gi i tích khơng gian

BÀI GI NG 04.
PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)

Bài 1: Trong không gian h t a ñ Oxyz cho hai ñi m A = (1, 2, 3); B = (3, 4, 1).
a. Vi(t phương trình m-t ph.ng (P) là m-t ph.ng trung tr3c c4a AB.
b. Vi(t phương trình m-t ph.ng (Q) qua A, vng góc v:i (P) và vng góc v:i mp(yOz).
c. Vi(t phương trình m-t ph.ng (R) qua A và song song v:i (P).
Gi i:
a. Ta có:
G i I là trung ñi m c4a AB. Khi ñó I có t a ñ I = (2, 3, 1).
M-t ph.ng (P) là m-t ph.ng trung tr3c c4a AB khi đó:
qua I = (2,3,1)
(P) : 
⇔ ( P) : 2( x − 2) + 2( y − 3) − 4( z − 1) = 0 ⇔ ( P) : x + y − 2 z − 6 = 0
vtpt AB = (2, 2, −4)
b. Ta có:
M-t ph.ng (yOz) nhCn n1 = (1, 0, 0) làm m t vectơ pháp tuy(n.
M-t ph.ng (Q) vng góc v:i (yOz) nhCn n1 = (1, 0, 0) làm m t vectơ chF phương .
M-t ph.ng (Q) vng góc v:i m-t ph.ng (P) ⇒ nhCn AB = (2, 2, 4) làm m t vectơ chF phương.
ThGy rHng : n1 , AB không cùng phương. VCy:

qua A = (1, 2,3)
qua A = (1, 2,3)
(Q) : 
⇔ (Q ) : 
hai vtcp n1 = (1, 0, 0) & AB = (2, 2, 4)

vtpt nQ =  n1 , AB  = (0, −4, 2) / /(0, 2. − 1)
VCy phương trình tLng quát c4a mp(Q) là: 2y – z – 1 = 0.
c. Ta có:
M-t ph.ng (R) qua A và song song v:i (P) ⇒ (R) nhCn AB làm vectơ pháp tuy(n.
VCy phương trình m-t ph.ng (R) qua A(1, 2, 3) là:
( R ) : 2( x − 1) + 2( y − 2) − 4( z − 3) = 0 ⇔ ( R ) : x + y − 2 z + 6 = 0

Bài 2: Trong không gian v:i h t a ñ Oxyz, cho hai ñi m A(2; 0; 1), B(0; 2; 3) và m-t ph.ng
(P): 2x – y –z + 4 = 0. Tìm t a đ đi m M thu c (P) sao cho MA = MB = 3.
Gi i:
2 x − y − z + 4 = 0

G i M(x; y; z) ta có: M ∈ ( P ) và MA = MB = MC = 3 ⇔ ( x − 2) 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 9
 x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 3) 2 = 9


Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 1


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chun đ 02. Hình h c gi i tích khơng gian

−6

x = 7

2 x − y − z + 4 = 0
x = 2 y − 2
x = 0 
4




⇔ x + y − z + 2 = 0
⇔ z = 3y
⇔ y =1 ∨ y =
7
( x − 2) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9
7 y 2 − 11 y + 4 = 0
z = 3 



12

z = 7

 6 4 12 
VCy có: M(0;1;3) ho-c M  − ; ; 
 7 7 7

x
y −1 z
=
= và m-t ph.ng (P): 2 x − y + 2 z − 2 = 0 .

−2
1
1
Vi(t phương trình m-t ph.ng chTa d và vng góc v:i (P)
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho đưRng th.ng d:

Gi i:
d có vectơ chF phương a = (−2;1;1) , (P) có vectơ pháp tuy(n n = (2; −1; 2)
G i (Q) là m-t ph.ng chTa d và vng góc v:i (P). Ta có A(0; 1; 0) ∈ d nên (Q) ñi qua A và  a, n  là
vectơ pháp tuy(n c4a (Q).
Ta có:  a, n  = 3(1; 2; 0).
Phương trình m-t ph.ng (Q) là: x + 2y – 2 = 0.

Bài 4: Trong không gian h t a ñ Oxyz , cho tT di n ABCD có các đFnh A(1; 2; 1), B( 2; 1; 3), C(2; 1;1)
và D(0; 3;1). Vi(t phương trình m-t ph.ng (P) ñi qua A, B sao cho khoWng cách tX C ñ(n (P) bHng khoWng
cách tX (D) ñ(n (P).

Gi i:
M-t ph.ng (P) thYa mãn yêu c[u bài toán trong hai trưRng h\p sau:
Trư:ng h;p 1: (P) qua A, B và song song v:i CD.
Vectơ pháp tuy(n c4a (P): n =  AB, CD 
AB = (−3; −1; 2), CD = ( −2; 4; 0) ⇒ n = (8; −4; −14).
Phương trình (P): 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0 .

Trư:ng h;p 2: (P) qua A , B và c_t CD. Suy ra (P) c_t CD tai trung ñi m I c4a CD.
I(1; 1; 1) ⇒ AI = (0; −1;0) ; vectơ pháp tuy(n c4a (P): n =  AB, AI  = (2;0;3).
Phương trình (P): 2 x + 3 z − 5 = 0
VCy (P): 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0 ho-c (P): 2 x + 3 z − 5 = 0 .

Bài 5: Trong không gian h t a ñ Oxyz , cho các ñi m A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và m-t ph.ng

(P): x + y + z − 20 = 0 . Xác ñcnh t a ñ ñi m D thu c ñưRng th.ng AB sao cho ñưRng th.ng CD song song
v:i m-t ph.ng (P).

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 2


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chun đ 02. Hình h c gi i tích khơng gian

Gi i:

x = 2 − t

AB = (−1;1; 2) , phương trình AB:  y = 1 + t
 z = 2t

D thu c ñưRng th.ng AB ⇒ D(2 − t ;1 + t ; 2t ) ⇒ CD = (1 − t ; t ; 2t )
Vectơ pháp tuy(n c4a m-t ph.ng (P): n = (1;1;1) .
C không thu c m-t ph.ng (P).

1
5 1

CD // (P) ⇔ n.CD = 0 ⇔ 1.(1 − t ) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ t = − . VCy D  ; ; −1 .
2

2 2

Bài 6: Trong không gian h

t a ñ Oxyz , cho các m-t ph.ng ( P1 ) : x + 2 y + 3 z + 4 = 0

và

( P2 ) : 3x + 2 y − z + 1 = 0 . Vi(t phương trình m-t ph.ng (P) đi qua A(1; 1; 1), vng góc v:i hai m-t ph.ng
(P1) và (P2).

Gi i:
• (P1) có vectơ pháp tuy(n n1 = (1; 2;3) .
• (P2) có vectơ pháp tuy(n n2 = (3; 2; −1)
• (P) có vectơ pháp tuy(n n =  n1 , n2  ⇒ n = (4; −5; 2) .
(P) qua A(1; 1; 1) nên (P): 4 x − 5 y + 2 z − 1 = 0

Bài 7: Trong không gian h t a ñ Oxyz , cho ba ñi m A(0; 1; 2), B(2; 2; 1), C( 2; 0; 1).
a. Vi(t phương trình m-t ph.ng đi qua ba đi m A, B, C.
b. Tìm t a đ đi m M thu c m-t ph.ng: 2 x + 2 y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Gi i:
a. Vi(t phương trình m-t ph.ng đi qua ba đi m A, B, C.
Ta có: AB = (2; −3; −1), AC = ( −2; −1; −1) , tích có hư:ng c4a hai vectơ

AB, AC là n =  AB, AC  = (2; 4; −8).
M-t ph.ng ñi qua ba ñi m A, B, C nhCn n làm vectơ pháp tuy(n nên có phương trình:
2( x − 0) + 4( y − 1) − 8( z − 2) = 0 ⇔ x + 2 y − 4 z + 6 = 0.

b. Tìm t a đ đi m M……

Ta có: AB. AC = 0 nên đi m M thu c đưRng th.ng vng góc v:i m-t ph.ng (ABC) tai trung ñi m
I(0; 1; 1) c4a BC.
T a ñ c4a ñi m M thYa mãn h phương trình:

2 x + 2 y + z − 3 = 0

 x y +1 z −1
 1 = 2 = −4
Suy ra M(2; 3; 7).
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 3


Khóa Hình h c 12 – Th y Tr n Vi t Kính

Chun đ 02. Hình h c gi i tích khơng gian

Bài 8: Trong khơng gian h t a ñ Oxyz , cho ñi m A(1; 1; 3) và đưRng th.ng d có phương trình:
x y z −1
=
=
1 −1
2
a. Vi(t phương trình m-t ph.ng (P) đi qua A và vng góc v:i đưRng th.ng d.
b. Tìm t a đ ñi m M thu c ñưRng th.ng d sao cho tam giác MOA cân tai ñFnh O.

Gi i:

a. Vi(t phương trình m-t ph.ng (P)……
Vectơ chF phương c4a đưRng th.ng d là u = (1; −1; 2) .
Do (P) vng góc v:i d nên (P) có vectơ pháp tuy(n là nP = (1; −1; 2) .
Phương trình m-t ph.ng (P) là:
1.( x − 1) − 1.( y − 1) + 2( z − 3) = 0 ⇔ x − y + 2 z − 6 = 0 .

b. Tìm t a ñ ñi m M thu c ñưRng th.ng d sao cho tam giác MOA cân tai ñFnh O.
+) M ∈ d ⇒ M ( t ; −t ;1 + 2t )
MOA cân tai ñFnh O ⇔ OM = OA và M, O, A không th.ng hàng.
5
OM = OA ⇔ t 2 + t 2 + (2t + 1) 2 = 11 ⇔ t = 1 ho-c t = − .
3
+) V:i t = 1 ta có: M(1; 1; 3)
+)

5
 5 5 7
ta có: M  − ; ; −  .
3
 3 3 3
+) Thh lai: cW hai ñi m M tìm đư\c điu thYa mãn điiu ki n M, O, A không th.ng hàng.

+) V:i t = −

 5 5 7
VCy có hai đi m M thYa mãn u c[u bài toán là M1(1; 1; 3) và M 2  − ; ; −  .
 3 3 3

Giáo viên: Tr)n Vi+t Kính
Hocmai.vn.

Ngu2n :

Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trị Vi t

T ng đài tư v n: 1900 58%58%12

Trang | 4