Bài 8 bài giảng chi tiết PP su dung ki thuat nguoc dau trong bdt cosi

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bdt côsi

PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG KĨ THUẬT NGƢỢC DẤU TRONG BĐT CÔSI
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Đây là 1 trong các phƣơng pháp dùng BĐT Cô si đặc biệt hữu hiệu với những bài toán nếu vội vàng
áp dụng BĐT ngay từ đầu sẽ đi đến dạng A  B  C . Vì thế không thể kết luận mối quan hệ với A và
C. Sử dụng kỹ thuật Cô si ngƣợc sẽ tránh đƣợc điều này.
Ta xét các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.
Cho x,y,z không âm và x  y  z  3 . Tìm GTNN của: P 

x
y
z


2
2
1  y 1  z 1  x2

Hướng dẫn giải:
Ta có:
x
y
z
P



2
2
1  y 1  z 1  x2
 (x 

xy 2
yz 2
zx 2
)

(
y

)

(
z

)
1 y2
1 z2
1  x2

xy 2
yz 2
zx 2
)  (y 
)  (z 

)
2y
2z
2x
xy
yz
zx
1
 ( x  )  ( y  )  ( z  )  ( x  y  z )  ( xy  yz  zx)
2
2
2
2
2
1 ( x  y  z)
3
 ( x  y  z)  .

2
3
2
3
 min P   x  y  z  1.
2
Ví dụ 2.
 (x 

x3
y3
z3

t3
1 1 1 1



Cho x, y, z, t không âm và     2 . Tìm GTNN của: P  2
x  y2 y2  z 2 z 2  t 2 t 2  x2
x y z t

Hướng dẫn giải:
Ta có:
P

x3
y3
z3
t3



x2  y 2 y 2  z 2 z 2  t 2 t 2  x2

 (x 

xy 2
yz 2
zt 2
tz 2
)


(
y

)

(
z

)

(
t

)
x2  y 2
y2  z2
z2  t2
t 2  x2

 (x 

xy 2
yz 2
zt 2
tz 2
)  (y 
)  (z 
)  (t 
)
2 xy

2 yz
2 zt
2tx

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bdt côsi

y
z
t
z
 ( x  )  ( y  )  ( z  )  (t  )
2
2
2
2
1
1
16
 (x  y  z  t)  .
4
2

2 1  1  1 1
x y z t
 min P  4  x  y  z  t  2.
Ví dụ 3.
Cho x,y,z không âm và x  y  z  3 . Tìm GTNN của: P 

x2
y2
z2


x  2 y 3 y  2 z 3 z  2 x3

Hướng dẫn giải:

P

x2
y2
z2


x  2 y 3 y  2 z 3 z  2 x3

 (x 

2 xy 3
2 yz 3
2 zx 3
)


(
y

)

(
z

)
x  2 y3
y  2z3
z  2 x3

 (x 

2 xy 3
2 yz 3
2 zx3
)

(
y

)

(
z

)

x  y3  y3
y  z3  z3
z  x3  x3

 (x 

2 xy 3
3 3 x. y 3 . y 3

)  (y 

2 yz 3
3 3 y.z 3 .z 3

)  (z 

2 zx 3
3 3 z.x 3 .x 3

)

2
2
2
 ( x  . y 3 x 2 )  ( y  .z 3 y 2 )  ( z  . x 3 z 2 )
3
3
3
2
 ( x  y  z )  ( 3 y 3 x 2  3 z 3 y 2  3 x3 z 2 )

3
2
 ( x  y  z )  ( 3 y. yx. yx  3 z.zy.zy  3 x.xz.xz )
3
2 y  xy  xy z  zy  zy x  xz  xz
 ( x  y  z)  (


)
3
3
3
3
7
4
 ( x  y  z )  ( xy  yz  zx)
9
9
7
4 ( x  y  z )2
 ( x  y  z)  .
1
9
9
3
 min P  1  x  y  z  1.
Ví dụ 4.
Cho x, y, z không âm và x  y  z  3 . Tìm GTNN của: P 

1

1
1
 2
 2
y 1 z 1 x 1
2

Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
1
1
P 2
 2
 2
y 1 z 1 x 1

y2
z2
x2
 (1  2 )  (1  2 )  (1  2 )
y 1
z 1
x 1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bdt côsi

y2
z2
x2
)  (1  )  (1  )
2y
2z
2x
x yz 3
 3

2
2
3
 min P   x  y  z  1.
2
 (1 

Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 3 -