Bài 9 hướng dẫn giải bài tập tự luyện mot so ví dụ viet pt mat phẳng

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VIẾT PT MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d ) :

x2 y z
  ; ( P) : 2 x  3 y  2 z  3  0.
3
1 2

Tìm giao của (d) và (P).
Lời giải:
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x  3t  2
 x  3t  2
 x  3t  2
x  1
x2 y z


y  t
 

y  t
y  t






 y 1.
1 2
 3
2 x  3 y  2 z  3  0
 z  2t
 z  2t
 z  2t
z  2

2 x  3 y  2 z  3  0
2(3t  2)  3t  2.2t  3  0
t  1

Vậy giao điểm cần tìm là (1;1;2).
Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d1 ) :

x2 y 4 z 3
x  3 y 1 z  2


; (d 2 ) :


; A(0;0;1).
1
1

2
2
3
1

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với 2 đường thẳng trên.
Lời giải:



Theo giả thiết, véctơ chỉ phương của 2 đường thẳng đã cho là: ud1  (1;1;2); ud2  (2;3;1) .
  
Mặt phẳng (P) song song với cả d1 , d 2 nên véctơ pháp tuyến của (P) là: n( P )  ud1 , ud2   (5;3;1)

Mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là:
5( x  0)  3( y  0)  1( z  1)  0 hay 5x  3 y  z  1  0.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(0;0;1), B(2;0;0) và mặt phẳng:
(Q): x – y + 2 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Lời giải:


 
Ta có AB(2;0; 1), nQ (1; 1;0),  AB; nQ   (1; 1; 2)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 

 
Vì  AB; nQ   0 nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến

Vậy (P) có phương trình x  y  2 z  2  0 .
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
với A(2;3;7) và B(4;1;3).
Lời giải:
Cách 1.
Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I(3;2;5). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ qua I và vuông

góc với AB nên nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, do đó phương trình (P) là:
2.(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 hay (P): x – y - 2z + 9 = 0.
Cách 2.
Mọi điểm M(x;y;z) thuộc (P) sẽ cách đều A và B nên:
MA2  MB 2  ( x  2)2  ( y  3)2  ( z  7) 2  ( x  4) 2  ( y  1) 2  ( z  3) 2  x  y  2 z  9  0

Vậy (P): x – y - 2z + 9 = 0.
Cách 3.

Mặt phẳng (P) nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, do đó phương trình (P) có dạng:

x – y - 2z + d = 0.
Vì A, B cách đều (P) nên:

d ( A, ( P))  d ( B, ( P)) 

| 2  3  2.7  d | | 4  1  2.3  d |

| d  15 || d  3 | d  9.
11 4
11 4

Do đó: (P): x – y - 2z + 9 = 0.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2
x  2  t
x 1 y  2 z 1



đường thẳng: d1 :  y  2  t ; d 2 :
.
2
1
5
z  3  t


Lời giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 x  1  2t

Chuyển về phương trình tham số ta có đường thẳng d 2 :  y  2  t
 z  1  5t


Do đó véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng đã cho là:


  
u1  (1;1; 1); u2  (2;1;5)  uP  u1 , u2   (6; 7; 1)
Do đó phương trình (P) có dạng 6x - 7y – z + d = 0.
Hai đường thẳng đã cho lần lượt đi qua điểm

M1 (2; 2;3), M 2 (1; 2;1)  d (M1 ,(P))  d (M 2 ,(P )) | d  5 || d  9 | d  7
 ( P) : 6x  7y  z  7  0
Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
x  1 t
x  2 y  z  4  0

và song song với đường thẳng d 2 :  y  2  t
d1 : 
x  2 y  2z  4  0
 z  1  2t



Lời giải:



Chọn điểm M (0; 2;0)  d1; u1  (2;3;4); u2  (1;1;2)
Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d 2 khi và chỉ khi (P) đi qua M và có véc tơ phương tuyến là:

 
nP   u1 , u2   (2;0; 1)  ( P) : 2( x  0)  0( y  2)  1( z  0)  0  ( P) : 2 x  z  0 .

2x  y  1  0
3x  y  z  3  0
Bài 7. Trong hệ trục oxyz cho các đường thẳng: d1 : 
và d 2 : 
x  y  z  1  0
2x  y  1  0
a. Chứng minh rằng 2 đường thẳng trên đồng phẳng viết phương trình (P) chứa chúng.
b. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và ba mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
a.


 
 2 x  y  1  0
u1   n1.n 2   (1; 2; 3)


d1 


  x  y  z  1  0
 M 1 (0; 1;0)  d1


 
u 2   n '1.n '2   (1; 2; 5)

3x  y  z  3  0



d 2 : 
2
x

y

1

0

 M 2 (0;1; 4)  d1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian


u1  (1; 2; 3)
  
 
 u 2  (1; 2; 5)
 u1 , u 2  .M 1M 2  0  d1; d 2 đồng phẳng.
 
 M 1M 2   0; 2; 4   (0;1; 2)

Ta có:

 
n ( P )  u1 , u 2   (4;8; 4)  (1; 2; 1)
 ( P ) : ( x  0)  2( y  1)  ( z  0)  0  ( P) : x  2 y  z  2  0

b. Giả sử (P) cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).
Ta có:
( P) : x  2 y  z  2  0  x  2 y  z  2 
 (a; b; c)  (2; 1; 2)  V 

x
y z
  1
2 1 2

1
2
abc  (dvtt )
6
3

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương
trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Lời giải:



Ta có AB  (2; 3; 1), AC  (2; 1; 1)  n  (2; 4; 8) là 1 vtpt của (ABC)

Suy ra phương trình (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0
Giả sử M(x; y; z) thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0. Theo giả thiết MA = MB = MC. Ta có:
 2x  2y  z – 3  0
 2
2
2
2
2
2
 x  ( y  1)  ( z  2)  ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)
( x  2) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  ( x  2) 2  y 2  ( z  1) 2


Giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7. Vậy M(2;3;-7).
Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(10;2;-1), song song
 x  1  2t


với đường thẳng d:  y  t
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
 z  1  3t


Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H tới (P).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Giả sử I là hình chiếu của H trên (P), ta có AH  HI  max HI  A  I .

Vậy (P) cần tìm đi qua A và nhận AH là véc tơ pháp tuyến.

Ta có:
H  d  H (1  2t ; t ;1  3t )
 

AH  d  AH .ud  0  H (3;1; 4)  AH (7; 1;5)
 ( P) :  7( x  10)  ( y  2)  5( z  1)  0  ( P) : 7 x  y  5 z  77  0.

Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng qua
I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng:

x y z
   1 (a, b, c  0)
a b c
I  ( )  c  1
x y z
K  ( )  a  3  ( ) :    1
3 b 1

( ) :

 


1 1
n .n xOy
3 2
x
y
z
0
 n  ( ; ;1) và n xOy  (0;0;1)  cos30   
b
 ( ) : 
 1
3 b

2
3 3 2 1
n . n xOy
2
Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm theo phương trình

x
y
z

 1
3 3 2 1
2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 5 -