Bài 10 hướng dẫn giải bài tập tự luyện su dung bdt cho truoc tim GTLN GTNN

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Sử dụng bất đẳng thức cho trước để tìm GTLN, GTNN

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC TÌM GTLN, GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Bài 1.
Cho x, y, z, t dương và thỏa mãn xyzt = 1.
Tìm GTLN của: P 

1
1
1
1
 4
 4 4
 4
4
4
4
4
4
x  y  z 1 y  z  t 1 z  t  x 1 t  x  y4 1
4

4

Hướng dẫn giải:
Dễ thấy:

x 4  y 4  z 4  xyz ( x  y  z )
xyz  1  x 4  y 4  z 4   xyz ( x  y  z )  xyzt  xyz ( x  y  z  t )
1
1
t
 4


4
4
x  y  z  1 xyz ( x  y  z  t ) xyzt ( x  y  z  t )

Tương tự ta có các BĐT khác, cộng vế với vế ta có:
P  1  max P  1  x  y  z  t  1.

Bài 2.
Cho x, y, z thuộc [0;1]. Tìm GTLN của: P  2( x3  y 3  z 3 )  ( x 2 y  y 2 z  z 2 x)
Hướng dẫn giải:
x, y, z   0;1  (1  x 2 )(1  y )  (1  y 2 )(1  z )  (1  z 2 )(1  x)  0 (*)
 ( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z )  ( x 2 y  y 2 z  z 2 x)  3 (*)
x, y, z   0;1  x  x 2  x 3 ; y  y 2  y 3 ; z  z 2  z 3 (**)
  ( x3  y 3  z 3 )  ( x 3  y 3  z 3 )  ( x 2 y  y 2 z  z 2 x )  3

 max P  3  dấu = ở (*) và (**) cùng xảy ra, tức là cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1 còn số kia bằng 0.
Bài 3.
Cho x, y, z thuộc [0;1]. Tìm GTLN của: P 

x
y
z



1  yz 1  zx 1  xy

Hướng dẫn giải:
Dễ thấy với x, y, z   0;1 

x
xx

(*)
1  yz 1  yz  x

Do:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Sử dụng bất đẳng thức cho trước để tìm GTLN, GTNN

(1  y )(1  z )  0  1  yz  y  z
x
2x
 (*) :


1  yz y  z  x

Tương tự ta có các BĐT khác, cộng vế với vế ta có: GTLN của P bằng 2, dấu = xảy ra khi trong 3 số có 2
số bằng 1, số còn lại bằng 0.
Bài 4.
Cho x, y, z thuộc [0;1]. Tìm GTLN của: P  x  y 2  z 3  ( xy  yz  zx )
Hướng dẫn giải:
Dễ thấy với

x, y, z   0;1  (1  x)(1  y (1  z )  0
 1  xyz  x  y  z  ( xy  yz  zx ) (*)
x, y, z   0;1  x  y  z  x  y 2  z 3
(*)  1  xyz  P  P  1 (do xyz  0)
(1  x)(1  y (1  z )  0

2
y  y
 max P  1  
3
z  z
 xyz  0

Tức là trong 3 số có ít nhất 1 số bằng 0, ít nhất 1 số bằng 1, số còn lại bằng 0 hoặc 1.

Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 2 -