Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bạch Thị Lan Hương

HÀM LỒI, HÀM LỒI ĐA DIỆN
VÀ HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Bạch Thị Lan Hương

HÀM LỒI, HÀM LỒI ĐA DIỆN
VÀ HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI

Chuyên ngành: Toán hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Văn
Nghị đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
đề tài.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các
bạn sinh viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích.

Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy
tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết
của tôi được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017
Sinh viên
Bạch Thị Lan Hương

i


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp "Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn
phương lồi " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên
cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Trần Văn Nghị.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết

quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017
Sinh viên
Bạch Thị Lan Hương

ii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp
thực nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Toán học còn có
tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế
giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời từ thực tiễn và lại
quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và hoàn thiện
những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong
muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung
của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,. . . .Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện
để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn.
Mặt khác, trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu về hình
học lồi đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở
trong nước và trên thế giới. Hàm lồi và các tính chất của hàm lồi có
vai trò trung tâm trong giải tích lồi, hình học lồi và tối ưu lồi.
Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Trần Văn Nghị, tôi chọn đề
tài: Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi làm đề
tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề xoay xung quanh hàm lồi.
- Tìm hiểu thêm về hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày một số cơ sở lý thuyết về hàm lồi.
- Trình bày các kiến thức liên quan đến hàm lồi đa diện và hàm toàn
phương lồi.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi, hàm lồi đa diện và hàm toàn phương
lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy, bao đóng, liên hợp và cực của
hàm lồi; các vấn đề quan trọng về hàm lồi đa diện và hàm toàn phương
lồi.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
bao gồm 2 chương:
Chương 1: Hàm lồi.
Chương 2: Hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi.

iv


Mục lục
MỞ ĐẦU
1 Hàm lồi
1.1 Định nghĩa và các phép toán
1.2 Tính chính quy của hàm lồi

1.3 Bao đóng của hàm lồi . . . .
1.4 Liên hợp của hàm lồi . . . .
1.5 Cực của hàm lồi . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

iii
2
2
8
15
21
29

2 Hàm lồi đa diện và hàm toàn phương lồi
36
2.1 Hàm lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Hàm toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1


Chương 1
Hàm lồi

1.1

Định nghĩa và các phép toán

Ta xét hàm
f : Rn → [−∞, +∞] .
Ta thường dùng các quy tắc cộng và nhân với ∞ như sau:

α + ∞ := ∞

với α ∈ (−∞, ∞] ;

α − ∞ := −∞

với α ∈ [−∞, ∞) ;

α∞ := ∞, (−α∞) := −∞ với α ∈ (0, ∞] ;
0∞ := 0.
Định nghĩa 1.1. Cho một hàm f : Rn → (−∞, ∞], tập hợp
epi f := {(x, α) : x ∈ Rn , α ∈ R, f (x) ≤ α} ⊂ Rn × R
được gọi là trên đồ thị (epigraph) của f . Hàm f là lồi nếu epif là
một tập con lồi của Rn × R = Rn+1 .
Nhận xét.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

(i) Một hàm f : Rn → [−∞, ∞) là lõm, nếu −f là lồi. Như vậy,
cho một hàm lồi f , ta loại trừ giá trị −∞, trong khi đối với một hàm
lõm ta loại trừ ∞.
(ii) Nếu A ⊂ Rn là một tập con, một hàm f : A → (−∞, ∞) được
gọi là lồi nếu hàm mở rộng f : Rn → (−∞, ∞], được cho bởi
f˜ :=






f trên A
∞ trên Rn \A

là lồi. Điều này đòi hỏi hiển nhiên A là một tập lồi.
(iii) Mặt khác, ta thường chỉ quan tâm đến hàm lồi f : Rn →
(−∞, ∞] tại một số điểm, trong đó f là hữu hạn. Ta gọi
dom f := {x ∈ Rn : f (x) < ∞}
là miền xác định của hàm f : Rn → (−∞, ∞]. Cho một hàm lồi f ,
miền xác định domf là lồi.
(iv) Các hàm f ≡ ∞ là lồi, nó được gọi là hàm lồi không chính
thường; hàm lồi f với f ≡ ∞ được gọi là chính thường. Hàm lồi không
chính thường f ≡ ∞ có epi f = ∅ và dom f = ∅.
Định lý 1.1. ([1, Theorem 2.1.1]) Một hàm f : Rn → (−∞, ∞] là lồi,
khi và chỉ khi
f (αx + (1 − α) y) ≤ αf (x) + (1 − α) f (y) ,
với mọi x, y ∈ Rn , α ∈ [0, 1] .
Chứng minh. Theo định nghĩa, f là lồi khi và chỉ khi
epi f = {(x, β) : f (x) ≤ β}
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

là lồi. Các điều kiện có nghĩa
α (x1 , β1 ) + (1 − α) (x2 , β2 )

= (αx1 + (1 − α) x2 , αβ1 + (1 − α) β2 ) ∈ epi,
với mọi α ∈ [0, 1] và mỗi (x1 , β1 ) , (x2 , β2 ) ∈ epi f , tức là f (x1 ) ≤
β1 , f (x2 ) ≤ β2 .
Vì thế, f là lồi khi và chỉ khi
f (αx1 + (1 − α) x2 ) ≤ αβ1 + (1 − α) β2 ,
với mọi x1 , x2 ∈ Rn , α ∈ [0, 1] và β1 ≥ f (x1 ) , β2 ≥ f (x2 ). Khi đó, nó
là cần và đủ để bất đẳng thức thỏa mãn với β1 = f (x1 ) , β2 = f (x2 ).
Ta thu được điều phải chứng minh.
Nhận xét.
(i) Một hàm f : Rn → R là affine, khi và chỉ khi f là hàm lồi
và lõm. Nếu f là affine thì epif là một nửa không gian trong Rn+1
(dom f = Rn ).
(ii) Cho một hàm lồi f , các tập mức {f < α} và {f ≤ α} là lồi.
(iii) Nếu f và g là lồi và α, β ≥ 0, thì αf + βg là lồi.
(iv) Nếu (fi )i∈I là một họ của hàm lồi, supi∈I fi là lồi. Từ đó
= ∩ epi fi .

epi sup fi

i∈I

i∈I

(v) Như một sự tổng quát của Định lý 1.1, ta thu được f là lồi khi
và chỉ khi
f (α1 x1 + ... + αk xk ) ≤ α1 f (x1 ) + ... + αk f (xk ) ,

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

với mọi k ∈ N, xi ∈ Rn và αi ∈ [0, 1] với

αi = 1.

(vi) Một hàm f : Rn → (−∞, ∞] là thuần nhất dương (bậc 1), nếu
f (αx) = αf (x) , ∀x ∈ Rn , α ≥ 0.
Nếu f là thuần nhất dương, f là lồi khi và chỉ khi nó là cộng tính
dưới, tức là nếu
f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ Rn .
Kết quả sau là hữu ích để tạo thành hàm lồi từ tập lồi trong Rn × R.
Định lý 1.2. ([1, Theorem 2.1.2]) Cho A ⊂ Rn × R là lồi và giả sử
rằng
fA (x) := inf {α ∈ R : (x, α) ∈ A} > −∞,
với mọi x ∈ Rn . Khi đó, fA là một hàm lồi.
Chứng minh. Định nghĩa của fA (x) ngụ ý rằng
epi fA = (x, β) : ∃α ∈ R, α ≤ β, và một dãy αi ↓ α với (x, αi ) ∈ A .
Rất dễ dàng để thấy rằng epi fA là lồi.
Nhận xét.
(i) Điều kiện fA > −∞ thỏa mãn khi và chỉ khi A không chứa một
nửa đường thẳng đứng nào là không bị chặn dưới.
(ii) Với x ∈ Rn , cho {x} × R := {(x, α) : α ∈ R} là đường thẳng
đứng trong Rn × R qua x.
Cho A ⊂ Rn × R là một tập lồi đóng. Khi đó, ta có A = epi fA , nếu

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

và chỉ nếu
A ∩ ({x} × R) = {x} × [fA (x) , ∞) , với mọi x ∈ Rn .
Định lý 1.2 cho phép ta xác định các phép toán của hàm lồi bằng cách
áp dụng các phép toán tương ứng của tập lồi cho trên đồ thị của hàm.
Định nghĩa 1.2. Một hàm lồi f : Rn → (−∞, ∞] là đóng nếu epif
là đóng.
Nếu f : Rn → (−∞, ∞] là lồi thì cl epi f là trên đồ thị của một hàm
lồi đóng, mà ta kí hiệu bởi cl f .
Để hiểu rõ điều này, ta phải thấy rằng A := cl epi f thỏa mãn
fA > −∞. Trường hợp f ≡ ∞ là tầm thường, khi đó f là đóng và
fA = f .
Để cho f đúng, khi đó epi f = 0. Không giảm tính tổng quát, ta
giả sử rằng dim domf = n. Ta chọn một điểm x ∈ int dom f . Khi đó,
(x, f (x)) ∈ bd epi f . Vì thế, có một siêu phẳng tựa E ⊂ Rn × R của
cl epi f tại (x, f (x)). Tương ứng nửa không gian tựa là trên đồ thị của
một hàm affine h ≤ f . Như vậy, fA ≥ h > −∞.
Nhận xét. Clf là hàm lồi đóng lớn nhất dưới f .
Nếu (fi )i∈I là một họ tùy ý của hàm fi : Rn → (−∞, ∞], ta xét
A := ∪i∈I epi fi . Giả sử convA không chứa bất kì đường thẳng đứng
nào, khi đó từ Định lý 1.2 ta có conv (fi ) := fconv A là một hàm lồi mà
ta gọi là bao đóng của hàm fi , i ∈ I. Dễ thấy rằng conv (fi ) là hàm lồi
lớn nhất dưới tất cả fi , i ∈ I, tức là
conv (fi ) = sup g : g lồi, g ≤ fi , ∀i ∈ I .
Khi đó, conv (fi ) tồn tại khi và chỉ khi có một hàm affine h sao cho
h ≤ fi , ∀i ∈ I.

Dưới đây là một định lý tương tự về giá của các tập lồi.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Định lý 1.3. ([1, Theorem 2.1.3]) Cho f : Rn → (−∞, ∞] là đóng và
lồi. Khi đó,
f = sup h : h ≤ f, h là hàm affine .
Chứng minh. Giả sử, epif là đóng và lồi. Hơn nữa, ta có thể giả sử
rằng f là xác định, tức epi f = ∅. Ta có, epif là giao của tất cả các
nửa không gian đóng H ⊂ Rn × R có chứa epif .
Có ba kiểu nửa không gian đóng trong Rn × R:
H1 = {(x, r) : r ≥ l (x)} , l : Rn → R là ánh xạ affine,
H2 = {(x, r) : r ≤ l (x)} , l : Rn → R là ánh xạ affine,
˜ × R,
H3 = H

˜ là nửa không gian trong Rn .
H

Các nửa không gian kiểu H2 không xảy ra, do định nghĩa của epif và
từ epi f = ∅. Các nửa không gian kiểu H3 có thể xảy ra, do đó ta phải
chỉ ra rằng nửa không gian "thẳng đứng" có thể bỏ qua, tức là epif
là giao của tất cả các nửa không gian kiểu H1 có chứa epif . Vì giao
của các nửa không gian kiểu H1 là trên đồ thị của cận trên đúng hàm
affine tương ứng l.
Cho kết quả chỉ cần giải thích nó là đủ để thấy rằng bất kì điểm

(x0 , r0 ) ∈
/ epi f có thể được tách bởi một siêu phẳng không gian đứng
E từ epif . Vì thế, cho E3 là một siêu phẳng đứng được tách bởi (x0 , r0 )
và epif , cho H3 tương ứng nửa không gian thẳng đứng chứa epif . Từ
f > −∞, có ít nhất một hàm affine l1 với l1 ≤ f . Ta có thể lấy đại
diện H3 dạng
H3 = {(x, r) ∈ Rn × R : l0 (x) ≤ 0} ,

với một số hàm affine l0 : Rn → R, và ta có thể giả sử l0 (x0 ) > 0.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Với x ∈ dom f , ta có
l0 (x) ≤ 0, l1 (x) ≤ f (x) .
Do đó
αl0 (x) + l1 (x) ≤ f (x) , ∀α ≥ 0.
Với x ∈
/ dom f , bất đẳng thức này không còn quan trọng vì khi ấy
f (x) = ∞. Do đó
mα := αl0 + l1
là một hàm affine thỏa mãn mα ≤ f . Từ l0 (x0 ) > 0, ta có mα (x0 ) > r0
với α đủ lớn.

1.2

Tính chính quy của hàm lồi

Ta bắt đầu với tính chất liên tục của hàm lồi.
Định lý 1.4. ([1, Theorem 2.2.1]) Một hàm lồi f : Rn → (−∞, ∞]
là liên tục trong int dom f và liên tục Lipschitz trên tập con compact
của int dom f .
Chứng minh. Cho x ∈ int dom f . Tồn tại n-đơn hình P với điều kiện
P ⊂ int dom f và x ∈ int P . Nếu x0 , . . . , xn là các đỉnh của P và y ∈ P ,
ta có
y = α0 x 0 + · · · + αn x n ,
với αi ∈ [0, 1] ,

αi = 1, và do đó

f (y) ≤ α0 f (x0 ) + · · · + αn f (xn ) ≤ max f (xi ) := c.
i=0,...,n

Vì vậy, f ≤ c trên P .
Bây giờ cho α ∈ (0, 1) và chọn một hình cầu mở U có tâm tại O
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

sao cho x + U ⊂ P . Cho z = x + αu, u ∈ bd U . Khi đó,
z = (1 − α) x + α (x + u) ,
f (z) ≤ (1 − α) f (x) + αf (x + u) ≤ (1 − α) f (x) + αC.
trong đó C := max {|f (y)| : y ∈ x + cl U } ≤ c. Điều này cho ta

f (z) − f (x) ≤ α (C − f (x)) .
Mặt khác,
x=

1
1
(x + αu) + 1 −
(x − u) ,
1+α
1+α

và do đó
f (x) ≤

1
1
f (x + αu) + 1 −
f (x − u) ,
1+α
1+α

kéo theo
f (x) ≤

α
1
f (z) +
C.
1+α
1+α

Ta có
α (f (x) − C) ≤ f (z) − f (x) .

Kết hợp hai bất đẳng thức ta được
|f (z) − f (x)| ≤ α (C − f (x)) ,
với mọi z ∈ x + αU . Cho

là bán kính của U . Do đó ta đã chỉ ra rằng

|f (z) − f (x)| ≤

9

2C

z−x .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Bây giờ cho A ⊂ int dom f là compact. Khi đó tồn tại một số
> 0 sao cho A + B n ⊂ int dom f. Cho x, z ∈ A. Từ f là liên tục
trên A + B n ,
C := max {|f (y)| : y ∈ A + B n } < ∞.
Bởi đối số trước đó,
|f (z) − f (x)| ≤

2C

z−x ,

nếu z − x ≤ . Với z − x ≥ , điều này vẫn đúng.
Đầu tiên ta xét trường hợp
f : R1 → (−∞, ∞] .
Định lý 1.5. ([1, Theorem 2.2.2]) Cho f : R1 → (−∞, ∞] là lồi.
(a) Với mỗi điểm x ∈ int dom f , đạo hàm bên phải f + (x) và đạo
hàm bên trái f − (x) tồn tại và thỏa mãn f − (x) ≤ f + (x).
(b) Trên int dom f , hàm f + và f − là đơn điệu tăng với gần như tất
cả x ∈ int dom f (liên quan đến độ đo Lebesgue λ1 trên R1 ). Ta có
f − (x) = f + (x), do đó f là khả vi hầu khắp nơi trên cl dom f .
(c) Hơn nữa, f + là liên tục phải và f − là liên tục trái, f là tích
phân không xác định của f + (của f − và của f ) trong int dom f .
Chứng minh. Không giảm tính tổng quát, ta tập trung vào các trường
hợp dom f = R1 .
(a) Nếu 0 < m ≤ l, 0 < h ≤ k, các lồi của f có nghĩa
f (x − m) = f

1−

10

m
m
x + (x − l)
l
l

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

≤ 1−
do đó

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

m
m
f (x) + f (x − l) ,
l
l

f (x) − f (x − l) f (x) − f (x − m)
≤
.
l
m

Tương tự ta có
f (x) = f

≤
cho ta

m
h
(x − m) +
(x + h)

h+m
h+m

m
h
f (x − m) +
f (x + h) ,
h+m
h+m

f (x) − f (x − m) f (x + h) − f (x)
≤
.
m
h

Cuối cùng,
1−

f (x + h) = f
≤ 1−
và khi đó

h
k

n
k

x + hk (x + h)

f (x) + hk f (x + k) ,

f (x + h) − f (x) f (x + k) − f (x)
≤
.
h
k

Ta thu được thương sai phân trái trong x đơn điệu tăng và bị chặn
trên bởi thương sai phân phải, đơn điệu giảm. Bởi vậy, các giới hạn
f + (x) = lim
h↓0

f (x + h) − f (x)
h

và
f (x) − f (x − m)
f (x + t) − f (x)
= lim
m↓0
t↑0
m
t

f − (x) = lim

tồn tại và thỏa mãn f − (x) ≤ f + (x).

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

(b) Cho x > x, ta thấy rằng
f − (x) ≤ f + (x) ≤

f (x ) − f (x)
≤ f − (x ) ≤ f + (x )
x −x

(1.1)

Do đó, hàm f − và f + là đơn điệu tăng. Như ta đã biết, một hàm đơn
điệu tăng chỉ đếm được các điểm gián đoạn (cụ thể là các bước nhảy),
và do đó nó là liên tục hầu khắp nơi. Tại các điểm x có tính liên tục
của f − , (1.1) kéo theo f − (x) = f + (x).
(c) Giả sử tại x < y. Từ
f (y) − f (x)
f (y) − f (z)
= lim
≥ lim f + (z)
z↓x
z↓x
y−x
y−z
suy ra lim f + (z) ≤ f + (x), vì f + là tăng nên lim f + (z) = f + (x).

z↓x

z↓x

Tương tự, với y < x ta có
lim f − (z) ≥ lim
z↑x

z↑x

f (z) − f (y) f (x) − f (y)
=
z−y
x−y

và do đó f − (x) ≤ lim f − (z) ≤ f − (x). Ta cũng có lim f − (z) = f − (x).
z↑x

z↑x

Cuối cùng, cho a ∈ R tùy ý, ta định nghĩa một hàm g bởi
x

f − (s) ds.

g (x) := f (a) +
a

Đầu tiên, ta thấy g là lồi và g = f .
Với z := αx + (1 − α) y, α ∈ [0, 1] , x < y, ta có

z

g (z) − g (x) =

f − (s) ds ≤ (z − x) f − (z),

x
y

f − (s) ds ≥ (y − z) f − (z) .

g (y) − g (z) =
z

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Tiếp đó
α (g (z) − g (x)) + (1 − α) (g (z) − g (y))
≤ α (z − x) f − (z) + (1 − α) (z − y) f − (z)
= f − (z) (z − [αx + (1 − α) y]) = 0.
Vì vậy
g (z) ≤ αg (x) + (1 − α) g (y) ,
Tức g là lồi.
Như một hệ quả, g + và g − tồn tại. Với y > x,
y

1
g (y) − g (x)
=
y−x
y−x

y

1
f − (s) ds =
y−x
x

f + (s) ds ≥ f + (x) ,
x

do đó ta có g + (x) ≥ f + (x). Tương tự,
x

g (x) − g (y)
1
=
x−y
x−y

f − (s)ds ≤ f − (x) ,
y

và vì vậy g − (x) ≤ f − (x). Vì g + ≥ f + ≥ f − ≥ g − và g + = g − , ngoại

trừ hầu hết các điểm đếm được nên ta có g + = f + và g − = f − ngoại
trừ hầu hết các điểm đếm được. Qua tính liên tục trái của g − và f − ,
tính liên tục phải của g + và f + , theo sau nó g + = f + và g − = f −
trên R. Khi đó, h := g − f là khả vi hầu khắp nơi và h ≡ 0. Do đó,
h ≡ c = 0 bởi vì ta có g(a) = f (a).
Bây giờ ta xét các trường hợp n-chiều. Nếu hàm f : Rn → (−∞, ∞]
lồi và x ∈ int dom f , thì với mỗi u ∈ Rn , u = 0, phương trình
g(u) (t) := f (x + tu) , t ∈ R,
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

xác định một hàm lồi g(u) : R1 → (−∞, ∞] và ta có 0 ∈ int dom g(u) .
Theo Định lý 1.5, tồn tại đạo hàm phải g + (u) (0). Đây chính là đạo
hàm theo hướng
f (x, u) := lim
t↓0

f (x + tu) − f (x)
(1.2)
t

của f trong phương u.
Hệ quả 1.1. ([1, Corollary 2.2.3]) Cho hàm f : Rn → (−∞, ∞] lồi
và x ∈ int dom f . Khi đó, với mỗi u ∈ Rn , u = 0, đạo hàm theo hướng
f (x, u) của f tồn tại.
Hệ quả không có nghĩa rằng f (x, u) = −f (x, −u) luôn đúng. Trên

thực tế, các phương trình sau chỉ đúng nếu g − (u) (0) = g + (u) (0). Như
vậy, các đạo hàm riêng f1 (x) , . . . , fn (x) của f không cần phải tồn tại
trong mỗi điểm x. Tuy vậy, tương tự với Định lý 1.4 trên, có thể thấy
rằng f1 , . . . , fn tồn tại hầu khắp nơi (đối với độ đo Lebesgue λn trong
Rn ) và tại các điểm x, nơi các đạo hàm riêng f1 (x) , . . . , fn (x) tồn tại,
hàm f đều là khả vi. Hơn nữa, một hàm lồi f là hai lần khả vi hầu
khắp nơi trên Rn (trong một hướng phù hợp).
Vế phải của (1.2) cũng có nghĩa cho u = 0 và sinh ra giá trị 0. Do
đó, ta định nghĩa f (x, 0) := 0. Khi đó u → f (x, u) là hàm thuần
nhất dương trên Rn và nếu f là lồi thì f (x, .) cũng là lồi.
Cho một hàm f khả vi hoặc hai lần khả vi, các đạo hàm thứ nhất
hoặc đạo hàm thứ hai được sử dụng để mô tả độ lồi của f .
Nhận xét.
(i) Cho A ⊂ R là một tập lồi mở và f : A → R là một hàm thực.
Nếu f khả vi thì f là lồi khi và chỉ khi f là đơn điệu tăng trên A.
Nếu f khả vi hai lần thì f là lồi khi và chỉ khi f ≥ 0 trên A.
(ii) Cho A ⊂ Rn là mở và lồi. Cho f : A → R là một hàm thực.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Nếu f khả vi thì f là lồi khi và chỉ khi
grad f (x) − grad f (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ A.
(tại đây, grad f (x) := (f1 (x) , . . . , fn (x)) là gradient của f tại x.)
Nếu f khả vi hai lần thì f là lồi khi và chỉ khi ma trận Hessian
∂ 2 f (x) := ((fij (x)))n×n

của f tại x là nửa xác định dương, với mọi x ∈ A.

1.3

Bao đóng của hàm lồi

Tính liên tục của một hàm tuyến tính là một hệ quả của tính chất đại
số và tính chất tuyến tính. Với các hàm lồi, điều này không đơn giản
như vậy, nhưng vẫn còn rất nhiều tính chất hình học tô pô được suy
ra từ tính lồi. Đây có thể là suy luận bởi việc áp dụng lý thuyết vào
bao đóng và phần trong tương đối của tập lồi đến trên đồ thị hoặc
tập mức của hàm lồi. Một trong những kết luận chính có thể thu được
là nửa liên tục dưới là một tính chất "xây dựng" cho hàm lồi. Nó sẽ
được chứng minh dưới đây, cụ thể là có một phép toán bao đóng đơn
giản làm cho bất kỳ hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới chỉ bằng
cách xác định lại nó tại điểm biên tương đối đã biết trong miền hữu
hiệu của nó.
Từ định nghĩa, hàm giá trị thực mở rộng đã cho trên một tập
S ⊂ Rn được cho là nửa liên tục dưới tại điểm x thuộc S nếu
f (x) ≤ lim f (xi ) ,
i→∞

với mọi dãy x1 , x2 , . . . trong S sao cho xi hội tụ đến x và giới hạn của
f (x1 ) , f (x2 ) , . . . tồn tại trong [−∞, +∞]. Điều kiện này có thể được

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

biểu diễn như sau
f (x) = lim inf f (y) = lim (inf {f (y) : y − x ≤ ε}) .
y→x

ε↓0

Tương tự, f được cho là nửa liên tục trên tại x nếu
f (x) = lim sup f (y) = lim (sup {f (y) : y − x ≤ ε}) .
y→x

ε↓0

Sự kết hợp của nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tại x là liên tục
đều tại x.
Tính nửa liên tục dưới trong nghiên cứu hàm lồi được trình bày
trong các kết quả sau.
Định lý 1.6. ([3, Theorem 7.1]) Cho f là một hàm tùy ý từ Rn đến
[−∞, +∞]. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
(a) f là nửa liên tục dưới trên toàn Rn ;
(b) {x : f (x) ≤ α} là đóng với mọi α ∈ R;
(c) Trên đồ thị của f là tập đóng trong Rn+1 .
Chứng minh. Nửa liên tục dưới tại x có thể không giống như điều
kiện mà µ ≥ f (x) khi µ = lim µi và x = lim xi với dãy µ1 , µ2 , . . . và
x1 , x2 , . . . thỏa mãn µi ≥ f (xi ) với mọi i. Nhưng điều kiện này cũng
giống như (c). Nó cũng suy ra (b) ( lấy α = µ = µ1 = µ2 = . . .). Mặt
khác, giả sử (b) cố định. Giả sử xi hội tụ đến x và f (xi ) hội tụ đến
µ. Với mỗi số thực α > µ, hàm f (xi ) phải nhỏ hơn α, và khi đó
x ∈ cl {y : f (y) ≤ α} = {y : f (y) ≤ α} .

Do đó f (x) ≤ µ. Điều này có nghĩa (b) suy ra (a).
Cho hàm f bất kì trên Rn , tồn tại một hàm nửa liên tục dưới cực
đại (không nhất thiết hữu hạn) làm trội bởi f , tức hàm của trên đồ
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

thị là bao đóng trong Rn+1 của trên đồ thị của f . Tổng quát, hàm này
được gọi là bao nửa liên tục dưới của f .
Bao đóng của một hàm lồi f được định nghĩa là bao nửa liên tục
dưới của f nếu f không nhận giá trị −∞; ngược lại bao đóng của
f được xác định nghĩa là hàm bất biến −∞ nếu f là hàm lồi không
chính thường, sao cho f (x) = −∞ với mỗi x. Dù sao đi nữa, bao đóng
của f là hàm lồi khác; nó được kí hiệu bởi clf (mục đích khác trong
định nghĩa của clf là làm cho f ∗∗ = cl f có hiệu lực ngay cả khi f là
không chính thường, nhất là trong lý luận của hàm yên ngựa).
Một hàm lồi được gọi là đóng nếu clf = f . Đối với một hàm lồi
chính thường, tính đóng cũng giống như tính nửa liên tục dưới. Nhưng
chỉ hàm lồi không chính thường đóng là hàm bất biến +∞ và −∞.
Nếu f là một hàm lồi chính thường sao cho domf là đóng và f là
liên tục đều đến domf , thì f là bao đóng bởi điều kiện (b) của Định
lý 1.6. Tuy nhiên, một hàm lồi có thể đóng nếu nó không có miền hữu
hiệu là đóng; ví dụ hàm trên R được cho bởi f (x) = x1 khi x > 0,
f (x) = ∞ khi x ≤ 0.
Giả sử f là một hàm lồi chính thường. Khi đó
epi (cl f ) = cl (epi f )

bởi định nghĩa. Nó chính xác từ điều trên và chứng minh của Định lý
1.5 mà clf có thể được biểu diễn bởi công thức
(cl f ) (x) = lim inf f (y) .
y→x

Mặt khác, (clf )(x) có thể coi như cận dưới đúng của giá trị µ sao cho
x thuộc vào cl {x : f (x) ≤ µ}. Như vậy
{x : (cl f ) (x) ≤ α} = ∩ cl {x|f (x) ≤ µ} .
µ>α

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Trong trường hợp bất kì cl f ≤ f và f1 ≤ f2 kéo theo cl f1 ≤ cl f2 .
Hàm f và clf hiển nhiên có cùng cận dưới đúng trên Rn .
Để có được một hướng đi đúng về các phép toán bao đóng, xét hàm
lồi f trên R xác định bởi f (x) = 0 với x > 0, f (x) = ∞ với x ≤ 0. Ở
đây clf thỏa mãn với f hầu khắp nơi trừ tại điểm gốc, trong đó giá
trị của nó là 0 thay vì +∞. Cho ví dụ khác, lấy bất kì hình tròn C
trong R2 . Cho f (x) bằng 0 trong phần trong của C và +∞ bên ngoài
C. Khi đó f là hàm lồi chính thường trên Rn . Bao đóng của f thu
được bởi định nghĩa lại f (x) là 0 trên đường biên của C.
Bây giờ ta tiến hành so sánh chi tiết clf và f trong trường hợp
tổng quát. Phương pháp này đề cập đến hàm lồi không chính thường
đầu tiên. Đây thực sự là định lý cơ bản có thể chứng minh về hàm lồi
không chính thường.

Định lý 1.7. ([3, Theorem 7.2]) Nếu f là hàm lồi không chính thường
thì f (x) = −∞ với mọi x ∈ ri (dom f ). Như vậy, một hàm lồi không
chính thường là tất yếu vô hạn, có thể loại trừ tại những điểm biên
tương đối thuộc miền hữu hiệu của nó.
Chứng minh. Nếu miền hữu hiệu của f bao gồm tất cả các điểm bất
kỳ thì nó bao gồm tất cả các điểm trong đó f nhận giá trị −∞ (theo
định nghĩa của "không chính thường"). Cho u là một điểm như vậy
và x ∈ ri (dom f ). Tồn tại µ > 1 sao cho y ∈ dom f , trong đó y =
(1 − µ) u + µx. Ta có x = (1 − λ) u + λy trong đó 0 < λ = µ−1 < 1.
Khi đó
f (x) = f ((1 − λ) u + λy) < (1 − λ) α + λβ
với α > f (u) và β > f (y) bất kì. Từ f (u) = −∞ và f (y) < +∞, f (x)
phải bằng −∞.
Hệ quả 1.2. ([3, Corollary 7.2.1]) Một hàm lồi không chính thường
nửa liên tục dưới có thể không có giá trị hữu hạn.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BẠCH THỊ LAN HƯƠNG

Chứng minh. Tập của các điểm x, trong đó f (x) = −∞ phải bao gồm
cl (ri (dom f )) bởi nửa liên tục dưới và
cl (ri (dom f )) = cl (dom f ) ⊃ dom f.

Hệ quả 1.3. ([3, Corollary 7.2.2]) Cho f là một hàm lồi không chính
thường. Khi đó, clf là hàm lồi không chính thường đóng thỏa mãn với

f trên ri(domf ).
Theo kết quả này, tính đóng của một hàm lồi f có giá trị −∞
không khác quá nhiều tính nửa liên tục dưới f của f .
Thực vậy, f (x) là −∞ trên cl(domf ) và là +∞ bên ngoài cl(domf );
ngược lại (clf )(x) là −∞ khắp nơi.
Hệ quả 1.4. ([3, Corollary 7.2.3]) Nếu f là một hàm lồi có miền hữu
hiệu là mở tương đối (ví dụ nếu dom f = Rn ), thì hoặc f (x) > −∞
với mọi x hoặc f (x) là vô hạn với mọi x.
Như một ví dụ điển hình của hệ quả này, xét hàm lồi hữu hạn f
bất kỳ trên R2 . Hàm
g (ξ1 ) = inf f (ξ1 , ξ2 )
ξ2

là lồi và miền hữu hiệu của nó là R. Ta có thể kết luận rằng cận dưới
đúng là hữu hạn với mọi ξ1 hoặc nó là −∞ với mọi ξ1 . Như vậy, nếu f
bị chặn dưới bởi những đường song song đến trục ξ2 , nó bị chặn dưới
bởi mọi đường như vậy.
Hầu hết các tính chất tô pô quan trọng của các tập lồi trong Rn là
mối quan hệ mật thiết giữa bao đóng và phần trong tương đối của nó.
Từ sự đóng kín của một hàm lồi chính thường f đến sự đóng kín của
epif , phần trong tương đối của epif có thể hiểu là quan trọng trong
sự phân tích của clf .
19