10 Bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Đại số)

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Đại số

Câu 1: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận x  2  3 2 là nghiệm.
Câu 2: Cho 2a  3b  5 . Chứng minh rằng 3a 2  2b2 
 x  y  xy  m  1

Câu 3: Cho hệ phương trình: 

2
2
 x y  xy  m

30
7

với m là tham số

a) Giải hệ với m  2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm ( x, y) với x và y âm.
Câu 4: Cho a, b,c  1 thỏa mãn a  b  c  4 . Chứng minh rằng: abc  64(a 1)(b 1)(c  1)
Câu 5: (Khối PT chuyên ĐHSPHN) Giải phương trình:
x3 

x3
3x 2


2 0
( x  1)3 x  1

Câu 6: Chứng minh rằng: x  3 9  4 5  3 9  4 5 là nghiệm của phương trình:
x3  3x  18  0 . Tìm dạng gọn nhất của x.
 2x 2
 x2  1  y

 3 y3
Câu 7: Giải hệ phương trình:  4 2  z
 y  y 1

4z 4
x
 6
 z  z4  z2 1

Câu 8: Cho a  3b  7 . Chứng minh rằng 3a 2  b2 

21
4

Câu 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  1 .
Chứng minh rằng:

xy  z  2x 2  2 y 2
1  xy

1

Câu 10: Cho (a 1)2  (b  2)2  5 . Chứng minh rằng a  2b  10

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 0


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:Ta có:
x  2  3 2  x  2  3 2  ( x  2)3  2

 x3  3 2 x2  6x  2 2  2  x3  6x  2  2(3x 2  2)

Bình phương hai vế trên, ta được:
( x3  6x  2)2  2(3x 2  2)2  x6  4x 4  6 x3  12x 2  24x  4  0

nên x là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên sau:
P( x)  x6  6x 4  4 x3  12x 2  24x  4  0

Câu 2:
2

3
4 9

 2

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky: 25  (2a 3 b)   . 3 a  . 2 b     (3a 2 2 b2)
2
 3
 3 2
30
 3a 2  b2 
7
2a  3b  5
4
9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  3a
 a  ;b 
7
7
 2  b
2

Câu 3:
Vì mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y, nên ta sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ:
S  x  y
ta có hệ thức sau:

 P  xy

S  P  m  1

 SP  m

Áp dụng định lý Vi ét đảo, ta suy ra S, P là hai nghiệm của phương trình:
X 2  (m  1) X  m  0 . Từ đó ta có:
 S  m; P  1(1)
 S  1; P  m(2)

a) Với m  2 thì x, y là các nghiệm của một trong các phương trình sau:
 x  y  1
 X 2  2X  1  0 
  x  2; y  1
 2
X  X  2  0
 x  1; y  2

x  y  S  0
 xy  P  0

b) Để phương trình có nghiệm (x,y) với x  0; y  0 thì: 

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 1


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Do đó, trường hợp (2) không thỏa mãn. Trường hợp (1) cho ta thỏa mãn đề bài khi:

S  0
m  0

 m  2
P  0   2
m  4
S 2  4P


Câu 4:
Theo điều kiện ta viết lại như sau:
(a 1)  (b  1)  (c  1)  1 . Đặt a 1  x; b 1  y; c 1  z( x, y, z  0)
Bài toán trở thành cho x, y, z  0 thỏa x  y  z  1 , chứng minh rằng ( x  1)( y  1)(z 1)  64xyz
x  1  x  x  y  z , mà
x  y  2 xy ; x  z  2 xz  x  x  y  z  2( xy  xz)  2.2.

xy . xz  4. 4 x 2 yz

tương tự y  1  4 4 xy 2 z , z  1  4 4 xyz 2
 ( x  1)( y  1)( z  1)  4.4.4. 4 x 4 y 4 z 4  64xyz  dpcm

Câu 5:
Điều kiện: x  1 . Với điều kiện trên, ta có:
x3 

x3
3x 2

2 0
( x  1)3 x  1

 x3 ( x 1)3  x3  3x 2 ( x 1)2  2( x 1)3  0

 ( x2  x)3  3( x2  x)2  x3  ( x  1)3  ( x  1)3
 ( x2  x)3  3( x2  x)2  3( x2  x)  1  ( x  1)3
 ( x2  x  1)3  ( x  1)3
 x2  x  1  x  1

x2  2x  2  0  ptvn (vì  0 )

Câu 6:
ab  1
x  a  b

Đặt a  3 9  4 5 , b  3 9  4 5 , ta có: 
Do đó:

x3  (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b)  6  5x hay x3  3x  18  0 .

Mặc khác, x3  3x 18  ( x  3)( x2  3x  6)  0 và x2  3x  6  0(  0)  x  3

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 2


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 7: Hệ phương trình đã cho:
 2x 2
 x 2  1  y (1)

 3 y3
 z (2)
 4
2
 y  y 1

4z 4
 x(3)
 6
 z  z4  z2 1

Từ hệ phương trình trên, ta suy ra x, y, z  0 .
- Nếu một trong ba số x, y, z bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0, vậy x  y  z  0 là một
nghiệm của hệ phương trình
- Nếu xyz  0  x  0, y  0, z  0 . Theo bất đẳng thức Cauchy: x2  1  2x
Từ (1) suy ra y  z .
Tương tự, từ (2) và (3) ta chứng minh được:
z  y; x  z  x  y  z  z  x  y  z  1

Thử lại ta thấy hệ có các nghiệm là x  y  z  0 hoặc x  y  z  1.
Câu 8:
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:
 3
49  ( a  3b)   . 3 a  b.( 3)
 3

2

2

 1
   9
 3

 2 2
(3a  b ) 3a


2

b 2 

21
4

a  3b  7
1
9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
b  a  ;b 
4
4
3a  3

Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

xy  z  2x 2  2 y 2
1  xy

 1  xy  z  2x 2  2 y 2  1  xy

Mà 2( x2  y 2 )  x  y nên

xy  z  2x 2  2 y 2  xy  z  x  y

Ta phải chứng minh:
xy  z  x  y  1  xy

 xy  z  1  z  1  xy
 xy  z  xy  z
 xy  z  z 2  2 z xy  xy
 z  z 2  2z xy  1  z  2 xy

 x  y  2 xy (bất đẳng thức đúng)  dpcm

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Câu 10:

Theo giả thiết: (a 1)2  (b  2)2  5  a2  b2  2a  4b
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky: (a2  b2 )2  (2a  4b) 2  20( a2  b2) 0  a2  b2  20
Vì 2a  4b  a2  b2  0  a  2b  10
a 2  b 2  2a  4b

a  2
a b
Dấu “=” xảy ra khi  

b  4
2 4
a

2
b

10



Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 OnThiLop10ChuyenToan

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 5