8 Bài tập bồi dưỡng Toán nâng cao lớp 6

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

8 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP 6
3
4

8 15
9999
với các số 98 và 99.
 ... 
9 16
10000

Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức A   

 
 
 



Ta có: A  1    1    1    ...  1 
=
  1  2   1  2   1  2   ...  1 
2 
4
9
16
10000
2
3

4
100
1



1

 

1

 

1





1

 

1

 

1

 

1







1 1 1
1
1 
 1 1 1
> 0 Nên A
99   2  2  2  ... 
 99  B với B = 2  2  2  ... 
2 
2 3 4
1002
100 
2 3 4

< 99.
Ta có
B

1
1
1

với mọi k  1 nên
 
k  k  1 k k  1

1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
 2  2  ... 



 ... 
 1       ....  
 1
1
2
2
2 3 4
100 1.2 2.3 3.4
99.100
2 2 3 3 4
99 100
100

Do đó A  99  B  99 1  98 . Vậy 98  A  99
3 8 15
n2  1
Tổng quát:  n  2      ...  2   n  1
4 9 16
n

Bài toán 2: Viết số 1  22  33  44  ...  999999  10001000 trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên
bên trái số đó?
Giải: Ta có A  1  22  33  44  ...  999999  10001000 ; Đặt B  10001000  103000  100000...0000 gồm
3000

có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)
Đặt C  1000  10002  10003  ...  1000999 10001000  103 106  .. 102997 103000 = 100100100....1000
gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ
số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.
Bài toán 3:
Cho A 

1 1
1
1
  ...  2
 ... 
. Chứng minh rằng 0,15  A  0, 25 .
2
2
14 29
1877

n   n  1   n  2 

Giải : Ta có A 

W: www.hoc247.net

1 1
1
1
  ...  2
 ... 
2
2
14 29
1877
n   n  1   n  2 

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



1
1
1
1

 2 2
 ...  2
 ...  2
2
2
2
2
2
1 2 3 2 3 4
24  252  262
n   n  1   n  2 
2

B  n2   n  1   n  2   3n2  6n  5 . (1)
2

2

Với n  1 từ (1) ta có: B  3n2  9n  6  3  n2  3n  2   3  n  1 n  2  . Từ đó :



1 1
1
1
1
1  1
A 

 ... 

 ... 

 C
3  2.3 3.4
24.25 25.26  3
 n  1 n  2 

Với C 

1
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 1 1
6

 ... 
 ... 

     ...  
 
 .
2.3 3.4
24.25 25.26 2 3 3 4
25 26 2 26 13
 n  1 n  2 

1 6
2
  0,15 .
3 13 13

Suy ra A  .

Với n  1 từ (1) ta có: B  2n2  6n  4  2  n2  3n  2   2  n  1 n  2  . Từ đó :



1 1
1
1
1
1  1
A 

 ... 
 ... 

 C
2  2.3 3.4
24.25 25.26  2
 n  1 n  2 

Với C 

1
1

1
1
1
1 1 1 1
1
1 1 1
6
.

 ... 
 ... 

     ...  
 

2.3 3.4
24.25 25.26 2 3 3 4
25 26 2 26 13
 n  1 n  2 

1 6
3
  0, 25 . Vậy 0,15  A  0, 25
2 13 13

Suy ra A  .
Tổng quát:

1
1

1
1
1
1
1

 2 2 2  2 2 2  ...  2
 
2
2
6 3 k  2 1  2  3 2  3  4
4 2  k  2
k   k  1   k  2 

Bài toán 4: Tính
A

A
biết :
B

1
1
1
1
1
1
1
1
; B

.

 ... 
 ... 

 ... 
 ... 
2.32 3.33
n  n  30 
1979.2009
2.1980 3.1981
n  n 1978 
31.2009

Giải:
Với các số nguyên dương n và k ta có

1
1
nk
n
k
.




n n  k n n  k  n n  k  n n  k 

Với k = 30 ta có :

30
30
30
1 1 1 1
1
1

 ... 
     ... 


2.32 3.33
1979.2009 2 32 3 33
1979 2009
1   1
1
1  1 1
1  1
1
1 
1 1
    ... 

 ... 
     ... 
     ...    
 (1)
1979   32 33
2009   2 3
31   1980 1981

2009 
2 3

30 A 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Với k = 1978 ta có : 1978B 

1978
1978
1978
1
1
1
1
1
1

 ... 
 
 
 ...  

2.1980 3.1981
31.2009 2 1980 3 1981
31 2009

1  1
1
1 
1 1
    ...    

 ... 
 (2) .
31   1980 1981
2009 
2 3

Từ (1) và (2) suy ra 30 A  1978B 
Bài toán 5: Tính tổng sau: Sn 

A 1978 989
.


B
30
15

3

1 2 

2



5

 2  3

2

 .... 

4017

 2008  2009 

2

.

Giải:
Với n  1 thì

Do đó Sn 

2n  1
n  n  1
2

3

1 2 

2



2



n 2  2n  1  n 2
n  n  1
2

5

 2  3

2

 .... 

2

n  1  n2

 2
2

n  n  1
2

4017

 2008  2009 

2

n  1

n2
 2

2
2
n  n  1 n2  n  1
2



1
1

2
n  n  12

1 1 1
1
1

1
 1     ... 

 1
.
2
2
4 4 9
2008 2009
20092

Bài toán 6: Tính các tổng sau:
A  1.2  2.3  ...  n.  n  1  ...  98.99 (*) ; B  1.99  2.98  ...  n 100  n   ...  98.2  99.1

Giải:
Ta có: 3 A  1.2.3  2.3.3  ...  3n  n  1  ...  3.98.99  1.2. 3  0   2.3.  4 1  ...  98.99. 100  97  .
 1.2.3  2.3.4  ...  98.99.100  1.2.3  2.3.4  ...  97.98.99   98.99.100  970200  A 
B  1.99  2.  99  1  3.  99  2   ....  98.  99  97   99.  99  98 

970200
 323400
3

 1.99  2.99  3.99  ...  99.99  1.2  2.3  3.4  ...  98.99 

 99 1  2  3  ...  99   A  99.  99  1 .

99
 A  99.99.50  323400  166650
2

Từ bài toán (*) suy ra 3 A  98.99.100  A 

98.99.100
.
3

Nếu A  1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1 . Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với n
= 100
B  1.2  2.3  3.4  ...   n  1 n  .3   0.1  1.2  2.3  3.4  ...   n  1 n  .3 
 1.  0  2   3.  2  4   5.  4  6   ...  97. 96  98  99 98  100  .3 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



 1.1.2  3.3.2  5.5.2  7.7.2  ...  99.99.2 .3  2.3. 12  32  52  7 2  ..  992











 6 12  32  ...  992 . Do đó 6 12  32  52  ...  992  99.100.101 hay
12  32  ...  992 

99.100.101
 2n  1 2n  2  2n  3
2
 166650. Vậy P  12  32  ...   2n  1 
6
6

Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên P  12  22  32  ...  n2 
Bài toán 7: Tính
A

6

B
biết:
A

1
1
1
1
.


 ... 
 ... 
1.2 2.3
n  n  1
2008.2009

B

1
1
1
1
1
.


 ... 

1.2.3 2.3.4 3.4.5
n  n  1 n  2  2008.2009.2010

Ta có
A

n  n  1 2n  1

1
1
1

2
1
1
và
Nên:
 


n  n  1 n n  1
n  n  1 n  2  n  n  1  n  1 n  2 

1
1
1
1
1
2008

 ... 
 ... 
 1

1.2 2.3
n  n  1
2008.2009
2009 2009

2
2
2

2
2
1
1
2019044


 ... 
 ... 



1.2.3 2.3.4 3.4.5
n  n  1 n  2 
2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010
1 2019044
1009522
.
B .

2 2009.2010 2009.2010
2B 

Do đó

B 1009522 2008 1009522.2009
5047611
1011531

:



2
A 2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040
2018040

Bài toán 8: Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số nguyên liên
tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?
Giải:
Ta có: A  1.2.3.4...1001 và B  1002.1003.1004...2002 .
Ta viết B dưới dạng: B   2003  1001 2003  1000 ...  2003 1 . Khai triển B có một tổngngoài
số hạng 1001.1000....2.1. Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên
B  2003.n 1001.1000...2.1  2003n  A với n là số tự nhiên. Do đó: A  B  2003n là một số chia

hết cho 2003.
Cách giải khác:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ;
1002; 1001; 1003;1000 ;... 2002;1  . Do đó B  1002.1003....2002 và  A  1001.1000...2.1 có
cùng số dư khi chia cho 2003. Nên A  B  B    A chia hết cho 2003
Nếu a và

W: www.hoc247.net

là các số nguyên và n là số tự nhiên lẻ thì

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807