Tóm tắt một số công thức giải nhanh Toán 12 Nguyễn Văn Hiền

LÝ THUYẾT LUYỆN THI (ÁP DỤNG NHANH LÀM TRẮC NGHIỆM)
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP
TXĐ: D 

I. HÀM BẬC BA y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có đạo hàm y '  3ax2  2bx  c
1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:

Cách 1: Tính y‟, giải pt: y‟ =0. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của y‟ rồi từ đó suy ra khoảng đồng
biến; khoảng nghịch biến. Chú ý: Nếu phương trình y‟=0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép thì nếu a > 0 ta
kết luận hàm số đồng biến trên

. Còn a < 0 ta kết luận hàm số nghịch biến trên

.

Cách 2: Bấm Mode 7 thử đáp án (Chú ý nếu  a; b  thì Start a  0,001; And b  0,001; Step
Cách 3: Shift





d
 f ( x) 
dx

x X

ba
.
29

CALC thử nhiều giá trị. Nếu dương thì đồng biến, âm thì nghịch biến.

2) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là tìm xCĐ , xCT : Tính đạo hàm y‟, giải phương
trình y‟=0 tìm x, lập BBT suy ra xCĐ , xCT . Nếu phương trình: y‟=0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép thì ta kết
luận hàm số không có cực trị.
3) Tìm giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu) của hàm số là tìm yCĐ , yCT : Tính đạo hàm y‟, giải
phương trình y‟= 0 tìm x, rồi suy ra y (y có giá trị lớn là yCĐ , y có giá trị bé là yCT )
4) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là tìm cặp số ( xCĐ ; yCĐ ),( xCT ; yCT ) : Tính
đạo hàm y‟, giải phương trình y‟= 0 tìm x, rồi suy ra y, rồi suy ra cặp số cần tìm.
5) Tìm điểm uốn hay tâm đối xứng: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: y ''  0  x  ...  y  ...  cặp số (x;y)
6) Tìm m để hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) đồng biến trên
7) Tìm m để hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) nghịch biến trên

: Tính y‟, tính

y'

: Tính y‟, tính

, cho
y'

8) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có cực trị (có CĐ, CT): tính

y'

, cho
y'

, cho

 0  m...
y'

 0  m...
y'

 0  m...

9) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có không có cực trị (không có CĐ, CT):
tính

y'

cho

y'

 0  m...

 y '( x0 )  0
 y '( x0 )  0
 m  ... ; Đạt cực tiểu tại x  x0  
 m  ...
10) Hàm số đạt cực đại tại x  x0  
 y ''( x0 )  0
 y ''( x0 )  0

 y '( x0 )  0

 m  ...
Hàm số đạt cực trị tại x  x0  
 y ''( x0 )  0
11) Đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0) có tính chất:
a) Luôn cắt trục hoành.

b) Luôn có tâm đối xứng (điểm uốn).

c) Không có tiệm cận.

12) Sự tương giao. (số nghiệm là số giao điểm)
a) Giao với trục hoành (Ox): cho y = 0, bấm máy giải pt: ax3  bx2  cx  d  0  x  ...
b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0  y  d
c) Giao với y  g ( x) : cho ax3  bx2  cx  d  g ( x)  x  ...
NVH 0943277769

Trang 1/18


13) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0)
Ta tính yCĐ , yCT của hàm số y  ax3  bx2  cx  d (a  0)
- Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi yCT  m  yCĐ
- Cắt nhau tại 1 điểm phân biệt khi m  yCT hoặc m  yCĐ
- Tiếp xúc nhau hay có 2 điểm chung khi m  yCT hoặc m  yCĐ
14) Nhận dạng đồ thị. Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại nào  dấu của
hệ số a  Cực trị (nghiệm phương trình y‟)  giao điểm với trục tung Oy  giao điểm với trục hoành Ox…
(Đồ thị luôn đi từ trái qua phải. Đi lên thì đồng biến, đi xuống thì nghịch biến.)

15) Cho đồ thị hàm số: y  f  x 
Đồ thị hàm số y  f  x  là phần bên phải của đồ thị hàm số y  f  x  và phần đối xứng của nó qua trục Oy.

Đồ thị hàm số y  f  x  là phần trên trục hoành của đồ thị hàm số y  f  x  và phần đối xứng của phần dưới
trục hoành của đồ thị hàm số y  f  x  qua trục hoành Ox.
II. HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƢƠNG y  ax4  bx2  c(a  0)

TXĐ: D 

1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: (Bấm máy giống hàm bậc 3)
Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của y‟ rồi từ đó suy ra khoảng đồng biến; khoảng nghịch biến.
2) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là tìm xCĐ , xCT : Tính đạo hàm y‟, giải phương
trình y‟=0 tìm x, lập Bảng biến thiên rồi suy ra xCĐ , xCT .
3) Tìm giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu) của hàm số là tìm yCĐ , yCT : Tính đạo hàm y‟, giải
phương trình y‟=0 tìm x, rồi suy ra y (y có giá trị lớn là yCĐ , y có giá trị bé là yCT )
4) Tìm điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là tìm cặp số ( xCĐ ; yCĐ ),( xCT ; yCT ) :
Tính đạo hàm y‟, giải phương trình y‟=0 tìm x, rồi suy ra y, rồi suy ra cặp số cần tìm.
5) Tìm điểm uốn: tính y‟, tính y‟‟, giải pt: y ''  0  x  ...  y  ...  cặp số (x;y)
6) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 3 cực trị ( có CĐ, CT): cho a.b  0  m...
7) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 1 cực trị: cho a.b  0  m...
NVH 0943277769

Trang 2/18


a.b  0 a  0
8) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 1 CĐ, 2 CT): cho 

 m...
a  0
b  0
9) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 3 CT tạo thành 1  vuông cân  8a  b3  0  m  ...
10) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 3 CT tạo thành 1  đều  24a  b3  0  m  ...

a.b  0 a  0
11) Tìm m để hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 2 CĐ, 1 CT): cho 

 m...
a  0
b  0
12) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có 2 điểm uốn: cho a.b  0  m...
13) Tìm m để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) không có điểm uốn: cho a.b  0  m...
14) Đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c(a  0) có tính chất:
a) Luôn có cực trị. b) Nhận trục tung Oy làm trục đối xứng (không có tâm đối xứng). c) Không có tiệm cận.
15) Sự tương giao. (số nghiệm là số giao điểm)
a) Giao với trục hoành (Ox): cho y=0, bấm máy giải pt: ax4  bx2  c  0 xem x 2 là t bấm máy phương trình
bậc hai với ẩn t. Chú ý chỉ nhận những t  0 .
b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0  y  c
c) Giao với y  g ( x) : cho ax4  bx2  c  g ( x)  x  ...
16) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đths y  ax4  bx2  c(a  0)
Ta tính yCĐ , yCT của hàm số y  ax4  bx2  c(a  0)
- Cắt nhau tại 4 điểm phân biệt yCT  m  yCĐ
- Cắt nhau tại 2 điểm phân biệt m  yCT nếu a < 0; còn m  yCĐ nếu a > 0
- Tiếp xúc nhau hay có 3 điểm chung khi m  yCT hoặc m  yCĐ
- Đths y  ax4  bx2  c(a  0) nằm phía trên trục hoành khi yCT  0 (không cắt trục hoành)
- Đths y  ax4  bx2  c(a  0) nằm phía dưới trục hoành khi yCĐ  0 (không cắt trục hoành)
17) Nhận dạng đồ thị. Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại nào  dấu của
hệ số a  nghiệm phương trình y‟  giao điểm với trục tung Oy  giao điểm với trục hoành…
(Đồ thị luôn đi từ trái qua phải. Đi lên thì đồng biến, đi xuống thì nghịch biến.)

NVH 0943277769

Trang 3/18

III. HÀM NHẤT THỨC y 

ax  b
ad  bc
Có đạo hàm y ' 
cx  d
(cx  d )2

1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 

ax  b
:
cx  d

TXĐ: D 

Tính y ' 

 d 
\ 
 c 

ad  bc
(cx  d )2

d   d



Nếu ad  bc  0  y '  0 suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  ;
;  
;
c   c


d   d


Nếu ad  bc  0  y '  0 suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;
;  
;
c   c



2) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận khi ad  bc  0  m...
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 

d
a
; đường tiệm cận ngang y  .
c
c

 d a 
3) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng 
; 
 c c

4) Tìm m để hàmsố y 
5) Tìm m để hsố y 

ax  b
ad  bc
đồng biến trên từng khoảng xác định:Tính y ' 
cho ad  bc  0  m..
cx  d
(cx  d )2

ax  b
ad  bc
nghịch biến trên từng khoảng xác định:Tính y ' 
cho ad  bc  0  m..
cx  d
(cx  d )2

ax  b
6) Tìm m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng  x0 ;   : cho
cx  d

ad  bc  0

 m...
d

x0 

c



ax  b
đồng biến trên khoảng  ; x0  : cho
cx  d

ad  bc  0

 m...
d

x0 

c


7) Tìm m để hàm số y 

ax  b
8) Tìm m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng  x0 ;   : cho
cx  d

ad  bc  0

 m...
d

x


0

c


ax  b
9) Tìm m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng  ; x0  : cho
cx  d

ad  bc  0

 m...
d

x0 

c


10) Đồ thị hàm số y 

ax  b
có tính chất:
cx  d

 d a 
b) Có tâm đối xứng 
; .
 c c

a) Không có cực trị.

11) Sự tương giao. (số nghiệm là số giao điểm)
a) Giao với trục hoành (Ox): cho y=0, bấm máy giải pt: ax  b  0  x 
b) Giao với trục tung (Oy): cho x=0  y 
c) Giao với y  g ( x) : cho

b
 b
 B  0; 
d
 d

ax  b
 g ( x)  ax  b  g ( x).(cx  d )  x  ...
cx  d

12) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đths y 
NVH 0943277769

b
 b 
 A  ;0 
a
 a 

ax  b
d
d

d
: cho m 
hoặc m 
; Không cắt thì cho m 
cx  d
c
c
c
Trang 4/18


13) Tìm m hoặc n để đường thẳng y  mx  n cắt đths y 

ax  b
ax  b
tại 2 điểm phân biệt: Lập pt: mx  n 
cx  d
cx  d

Đưa về phương trình bậc 2 chứa tham số. Cho   0  m  ... Chú ý: x 

d
không phải là nghiệm của pt.
c

14) Nhận dạng đồ thị: Nhận dạng đồ thị theo thứ tự dựa vào: hình dạng đồ thị thuộc hàm loại nào  dấu y‟
(dấu ad-bc)  giao điểm với trục tung Oy  giao điểm với trục hoành Ox…

 XÉT KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên (a; b)

/

thì f(x) nghịch biến trên

( a, b) .

/

thì f(x) nghịch biến trên

( a, b) .

+ Nếu

f / ( x)  0 x  (a, b)

thì f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu

f ( x)  0 x  (a, b)

+ Nếu

f / ( x)  0 x  (a, b)

thì f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu

f ( x)  0 x  (a, b)

Chú ý: Dấu bằng chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm.
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH

* Tìm khoảng đồng biến và nghịc biến của hàm số y  f ( x) trên TXĐ
Cách 1: Bấm Mode 7 thử đáp án (Chú ý nếu  a; b  thì start a  0,001; and b  0,001; step

ba
).
29

Nếu f(x) tăng thì đồng biến, f(x) giảm thì đồng biến.
Cách 2: Bấm Shift





d
 f ( x) 
dx

x X

CALC thử giá trị ở từng khoảng.

Nếu dương thì đồng biến, âm thì nghịch biến. Nên bấm CALC thử nhiều giá trị.
 TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ


x  D : f  x   M
 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f  x  trên D  

x0  D : f  x0   M


x  D : f  x   m
 Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên D  

x0  D : f  x0   m
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y  f ( x) trên đoạn  a; b
Bấm MODE sau đó chọn 7 (TABLE)  Nhập biểu thức f(x) vào máy  “=” nhập Start = a; End = b;
Step

ba
 Dò kết quả.
29

2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y  f ( x) trên khoảng  a; b 
Bấm MODE sau đó chọn 7 (TABLE)  Nhập biểu thức f(x) vào máy  “=” nhập Start a  0,001;
And b  0,001; Step
NVH 0943277769

ba
 Dò kết quả.
29
Trang 5/18


 TÌM CÁC ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f  x  .
lim f  x   y1  y  y1 là TCN của đồ thị hàm số y  f  x  . ( Nhập hàm bấm CALC 1010 )

x 

lim f  x   y2  y  y2 là TCN của đồ thị hàm số y  f  x  . ( Nhập hàm bấm CALC 1010 )

x 

lim f  x     x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x  . ( Nhập hàm bấm CALC ( x0  0,001) )

x  x0

lim f  x     x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x  . ( Nhập hàm bấm CALC ( x0  0,001) )

x  x0

( Chú ý: Tìm TCĐ ta thường cho mẫu bằng 0, giải pt đc: x  x0 . Thay x  x0 vào tử nếu tử bằng 0 hoặc không
xác định thì x  x0 không phải là TCĐ. Nếu tử xác định khác 0 thì x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số.)
Đạo hàm: y '  f '( x).  f ( x) 

IV. HÀM SỐ y   f ( x) 



 1

+ Nếu  nguyên dương:  ĐK là: f ( x) xác định.
f ( x) xác định nghĩa là hàm căn thì biểu thức trong căn  0. Hàm phân thức thì mẫu  0.

+ Nếu  nguyên âm:  ĐK là: f ( x)  0.
+ Nếu  không nguyên:  ĐK là: f ( x)  0 .
+ Nếu   0 thì đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang. Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
+   0 thì hàm số luôn đồng biến.   0 thì hàm số luôn nghịch biến.
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;1).

V. HÀM SỐ y  a x (0  a  1)
TXĐ

(; ) 

Tập giá trị

(0; )

Đạo hàm

y '  a x ln a

Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị

a  1: hàm số luôn đồng biến.

Nhận trục Ox làm tiệm cận ngang
Luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a). Đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành

VI. HÀM SỐ y  log a x
TXĐ
Tập giá trị
Đạo hàm
Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị

0  a  1: hàm số luôn nghịch biến

(0  a  1)

(0; )
(; ) 

y' 

1
x ln a

a  1: hàm số luôn đồng biến.

0  a  1: hàm số luôn nghịch biến

Nhận trục Oy làm tiệm cận đứng
Luôn đi qua các điểm (1;0) và (a;1). Đồ thị luôn nằm phía bên phải trục tung

+ Đồ thị hàm số y  a x và y  log a x(0  a  1) đối xứng nhau qua đường thẳng y  x.
+ ĐK của hàm số
NVH 0943277769

y  log a f ( x) ;

y  ln f ( x) và y  log f ( x) là: f ( x)  0.
Trang 6/18


+ Công thức đạo hàm:

u   u '. .u

;

 1  u '
;
  
u
u

 e   u '.e

 a   u '.a .ln a ;

 ln u   uu' ;

 co s u 

(tan u ) ' 

u '

 sin u 

'

u

 '

u '

;

 u '.cos u ;

'

 1

u

'

 u '.sin u ;

 u   2u 'u

 log u   u uln' a ;

'

'

;

'

a

u'
;
cos 2 u

(cot u ) ' 

+ Chú ý: a f ( x )  b  f ( x)  log a b ;

log a f ( x)  b  f ( x)  ab

;(a  1)
lim a x  
;
x 
0;(0  a  1)

0;(a  1)
lim a x  
;
x 
;(0  a  1)

;(a  1)
lim (log a x)  
;
x 0
;(0  a  1)

;(a  1)

lim (log a x)  
x 
0;(0  a  1)

u '
sin 2 u

CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1) Công thức lũy thừa


Cho a > 0, b > 0 và m, n  . Khi đó

a m .a n  a mn ;
m

am
a
;

 
bm
b

( a m ) n  a m. n ;

1
 an ;
n
a

n

a b
   
b a

1
a  n ;
a
n



a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) (a  0)



Nếu a>1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)



Nếu 0 < a < 1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

m

am
 a mn ;
n
a

(ab)n  a n .bn ;

n

am  a n ;

n

2) Công thức lôgarit


Với các điều kiện 0  a  1; b  0; m  0; n  0 ta có:

log a b    a  b

log a 1  0

log a a  1

aloga b  b

log a b   log a b

log a b 

log a (m.n)  log a m  log a n ;

log a b 

1



log a a  

log c b
;(0  a  1;0  c  1; b  0)
log c a



log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x) với 0  a  1.



Nếu a>1 thì log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)



Nếu 0
3) Phƣơng trình mũ Phương pháp đưa về cùng cơ số:
4) Phƣơng trình lôgarit Phương pháp đưa về cùng cơ số:

log am bn 

log a b
log a b 

n
log a b
m

1
;(0  a  1;0  b  1)
logb a

a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0, g ( x)  0
log a f ( x)  log a g ( x)  
 f ( x)  g ( x)

5) Bất phƣơng trình mũ, bất phƣơng trình lôgarit Sử dụng MÁY TÍNH CASIO
HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH
NVH 0943277769

Trang 7/18


1. Tìm tập xác định của hàm số y  log a f ( x)

Tương tự cho các hàm số: y  ln f ( x); y  log f ( x)

B.  a; b 

A.  a; b 

C.  a;  

D.  ;b

+ Thử A: Nhập log a f ( x) rồi ấn CALC 1giá trị lớn hơn a, 1giá trị bé hơn b, CALC 1giá trị ở giữa a và b.
+ Thử B: Nhập log a f ( x) rồi ấn CALC giá trị a, CALC 1giá trị bé hơn b, và CALC 1giá trị ở giữa a và b.
+ Thử C:Nhập log a f ( x) rồi ấn CALC 1giá trị lớn hơn a, CALC giá trị 1000, và 1giá trị ở giữa chúng.
+ Thử D: Nhập log a f ( x) rồi ấn CALC giá trị -1000, CALC giá trị b,và CALC 1giá trị ở giữa chúng.
CHÚ Ý: Đáp án nào có chỉ cần có 1 giá trị mà máy không xử lý ra kết quả thì loại.
2. Giải bất phƣơng trình mũ hoặc logarit dạng: f ( x)  g ( x)
B1: Chuyển vế về f ( x)  g ( x)  0 (Luôn chuyển để vế phải là 0)
B2: Nhập hàm f ( x)  g ( x) rồi bấm CALC thử giống mục 1.
Chú ý: do BPT  0 nên chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều  0 .
Tƣơng tự: Nếu BPT  0 thì chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều  0 .
Nếu BPT  0 thì chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều  0 .
Nếu BPT  0 thì chọn đáp án nào mà kết quả bấm CALC ra đều  0 .
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1) Công thức nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản

 dx  x  C

 x dx 

x 1
 C ,   1
 1

Nguyên hàm mở rộng

 a.dx  ax  C, a 
1 (ax  b) 1

(
ax

b
)
dx

.
C

a
 1
dx

1

dx
 x  ln x  C, x  0

 ax  b  a .ln ax  b  C

 e dx  e

1 ax b
ax  b
e
dx


.e
C

a

x

x
 a dx 

x

C

ax
C
ln a

 x
 a dx 

1 a x  
.
C
 ln a

 cos xdx  sin x  C

 cos(ax  b)dx  a .sin(ax  b)  C

 sin xdx   cos x  C

 sin(ax  b)dx   a .cos(ax  b)  C

1

 cos

2

x

1

 sin

2

NVH 0943277769

x

1

1

1

1

dx  tan x  C

 cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C

dx  cotx  C

 sin

2

2

1
1
dx   cot (ax  b)  C
a
(ax  b)
Trang 8/18


2) Công thức tích phân
b

 f ( x)dx  F ( x)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

b
a

 F (b)  F (a)

a

3) Phƣơng pháp đổi biến số

Nhớ: Đổi biến thì phải đổi cận.

b

A. Dạng 1: Tính I =

 f  ( x) ( x)dx

Đặt t    x   dt   ' ( x).dx

'

a

 x  a  t   (a )
Đổi cận: 
 x  b  t   (b)

 (b )

 I= 


f (t ).dt  F (t )

(a)

 (b)
 (a)

b

Ví dụ: Nếu cho I   f  x dx yêu cầu:
a

b/ k

a) Tính I1 

b



kb

x
f  dx thì ta đặt t  x  dx  k.dt và đổi cận ta sẽ được I 2  k. f  t dt  k  f  x dx  k .I
k
k
a
a

a/k

b) Tính I 2 

b

1
1
1
f  k .x dx thì ta đặt t  kx  dx  dt và đổi cận ta sẽ được I1   f  t dt   f  x dx  .I
ka
ka
k
k



ka

b

b

* Chú ý: Thông thường các ta đặt t là căn, mũ, mẫu.
4) Phƣơng pháp tích phân từng phần
b

* Công thức tính:

b

b

 f ( x)dx   udv  uv  vdu
b

a

a

a

a

 lay đao hàm 


u  ...
du  ...dx

dv  ...dx 
v   ...dx

 Đặt 

 lay nguyên hàm 

Ta thƣờng gặp hai loại tích phân từng phần nhƣ sau:

(Với P( x) là đa thức bậc n.)

* Loại 1:

b
  P( x).sin( x   ).dx
a
 b
  P( x).cos( x   ).dx
a
b
 P( x).e( x   ) .dx
 a

du  P '( x)dx

1

u  P( x)

sin(

x


).
dx

.cos( x   )





sin( x   ).dx





1


dv  cos( x   ).dx v   cos( x   ).dx   .sin( x   )


e( x   ) .dx




e( x   ) .dx  1 .e( x   )






u  ln( x   )  du   x   dx
a P( x).ln( x   ).dx  
dv  P( x)dx  v  P( x)dx  ...



b

*Loại 2:

Chú ý: f  x  là hàm số chẵn thì f   x   f  x  ;
a

a

a

0

Do đó: f  x  là hàm số chẵn thì  f  x  dx  2 f  x  dx

NVH 0943277769

Còn f  x  là hàm số lẻ thì f   x    f  x 
Còn f  x  là hàm số lẻ thì

a

 f  x  dx  0

a

Trang 9/18


5) Tính chất tích phân

a

Tính chất 1:

Tính chất 2:

 f ( x)dx  0;

b

a

 k. f ( x)dx   f ( x)dx

a

a

b

b

b

a

a

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx ,

Tính chất 3:

Tính chất 4:

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  ( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx
b

c

b

a

a

c

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

b

Tính chất 5:

với k là hằng số

f

'

( x)dx  f  x 

a

b
a

 f b   f  a 

Tính chất 6: Nếu f  x   0, x   a; b thì
6) Diện tích hình phẳng

(a  c  b )

b

b

b

a

a

a

 f ( x)dx  0; Nếu f  x   g  x  , x a; b thì  f ( x)dx   g( x)dx

Lưu ý: Diện tích là những giá trị dƣơng.

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
b

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

S   f ( x) dx BẤM MÁY
a

b



f ( x)  0 vô nghiệm trên (a;b) thì S   f ( x) dx 
a

b

 f ( x)dx
a

b



f ( x)  0 có 1 nghiệm c  (a; b) thì S   f ( x) dx 

c

b

a

c

 f ( x)dx   f ( x)dx

a

Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
b

đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

S   f ( x)  g ( x) dx BẤM MÁY
a

Dạng 3: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai
hàm số f(x), g(x) là

S

x2



f ( x)  g ( x) dx BẤM MÁY

(với x1  x2 là hai nghiệm của pt f  x   g  x  )

x1

7) Thể tích vật thể tròn xoay

Lưu ý: Thể tích là giá trị dƣơng.

Dạng 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai
b

đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

V    f 2 ( x)dx

BẤM MÁY

a

Dạng 2: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) trục Ox và
b

2

2
hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: V    f ( x)  g  x  dx

BẤM MÁY

a

NVH 0943277769

Trang 10/18


Dạng 3: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) quay xung
x2

V    f 2 ( x)  g 2  x  dx

quanh trục Ox là:

BẤM MÁY

x1

(với x1  x2 là hai nghiệm của phương trình f  x   g  x  )
Dạng 4: Thể tích vật thể của một vật nằm giữa 2 mặt phẳng x  a, x  b , biết thiết diện của vật bị cắt bởi mp
b

V   S  x dx

vuông góc với trục Ox tại điểm x  a  x  b  có diện tích S  x  là:

BẤM MÁY

a

HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Hàm số y  f ( x) đạt cực trị tại điểm x  x0 thì đạo hàm tại x  x0 sẽ bằng 0
Bấm Shift





d
 f ( x) 
dx

x  x0

 0; Muốn biết điểm x  x0 là CĐ hay CT ta bấm Shift





d
 f ( x) 
dx

x X

CALC x0 nếu bằng 0 thì x  x0 có khả năng là cực trị, khác 0 thì loại. Rồi bấm tiếp CALC x0  0, 001 và
x0  0, 001 nếu lần lượt được + và – thì x  x0 là cực đại. Còn lần lượt được – và + thì x  x0 là cực tiểu.

2. Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x  x0
Bấm Shift





d
 f ( x) 
dx

x  x0

 A (Trừ đi kết quả ở đáp án A nếu thử đáp án A) rồi ấn “=”

3. Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)
Bấm Shift





d
 f ( x) 
dx

x X

A. f1 ( x)

B. f 2 ( x)

C. f3 ( x)

D. f 4 ( x)

 f1 ( x) (Đề bài trừ đáp án)

(Trừ đi kết quả ở đáp án A nếu thử đáp án A) rồi ấn CALC 1giá trị rồi Ấn „=” (CALC thử 2 đến 3 giá trị).
Đáp án nào ra kết quả = 0 hoặc gần bằng 0 (..,…x10(mũ âm) ) thì chọn đáp án đó.
4. Tìm nguyên hàm của hàm số y  f ( x) hay

 f ( x)dx

B. F2 ( x)  C

A. F1 ( x)  C
Cách 1: Bấm Shift





d
 F1 ( x) 
dx

x X

C. F3 ( x)  C

D. F4 ( x)  C

 f ( x) (Đáp án trừ đề bài)

(Nhập biểu thức ở đáp án A nếu thử A) rồi ấn CALC 1giá trị rồi Ấn “=” (chú ý CALC thử 2 đến 3 giá trị)
Đáp án nào ra kết quả = 0 hoặc gần bằng 0 (..,…x10(mũ âm) ) thì chọn đáp án đó.
b

Cách 2: Ấn

 f ( x)dx   F (b)  F (a)  Với a , b là hai số bất kìa gần nhau thõa mãn f(x) liên tục.
1

2

a

Đáp án nào ra kết quả = 0 thì chọn đáp án đó.
b

5. Tính tích phân I   f ( x)dx
a

b

Bấm

 f ( x)dx  A 

(Nhập kết quả ở đáp án A nếu thử đáp án A)

a

x0

6. Tìm x0 để tích phân I   f ( x)dx  M

A. b1

B. b2

C. b3

D. b4

a

NVH 0943277769

Trang 11/18


X

Bấm

 f ( x)dx  M

( CALC thử tưng đáp án ra = 0 đúng, khác 0 thì sai).

a
b

Tƣơng tự cho dạng toán tìm x0 để tích phân I   f ( x)dx  M
x0

CHỦ ĐỀ 4: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC
 Số phức: z  a  bi, a, b  ; i 2  1
 Phần thực của z là a; phần ảo của z là b. (chú ý là b chứ không phải là bi)
Nếu a  0; b  0 thì z = bi gọi là số ảo hoặc số thuần ảo.

 Nếu b = 0 thì z = a gọi là số thực.

Số phức nghịch đảo là z 1 

 Số phức liên hợp: z  a  bi .

1
z

 Môđun của số phức: | z | a 2  b2 . Môđun của số phức là một số thực không âm   0 
Tính chất:

z
z1

2
 1 ; z1.z2  z1 . z2 ; z  z.z
z2
z2

 Điểm biều diễn của số phức z  a  bi, a, b 

là điểm M  a; b 

x  a
 Hai số phức bằng nhau x  yi  a  bi  
(phần thực= phần thực; phần ảo= phần ảo)
y  b
 Phép toán trên tập số phức:
(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i

(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i

(a  bi)(c  di)  (ac  bd)  (ad  bc)i

a  bi (a  bi )(c  di)

c  di
c2  d 2

 Căn bậc hai của số thực a âm là: i | a |
 Phương trình bậc hai trên tập số phức az 2  bz+c=0 (a  0) :
* Nếu  = 0 thì phương trình có một nghiệm kép (thực) x = -

b

2a

* Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 =

b  
.
2a

* Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 =

b  i 
.
2a

Chú ý: + Nếu quỹ tích của số phức z là đƣờng tròn  x  a    x  b   R 2 tâm I  a; b  và bán kính là R thì:
2

z max  OI  R  a 2  b2  R

z min  OI  R 

còn

2

a 2  b2  R

+ Nếu tập hợp số phức z thõa mãn  x  a    x  b   R 2 thì quỹ tích là hình tròn tâm I  a; b  và bkính là R.
2

2

HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH
SỐ PHỨC: Bấm mode 2 màn hình hiện CMPLX
Cộng trừ nhân chia nhập tính bình thường
Tính môđun nhập shift hyp;
NVH 0943277769

Số phức liên hợp bấm shift 2 2 (xuất hiện conjg(...)
Trang 12/18


CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A ta có:
A
 Định lý Pitago : BC  AB  AC
2

2



 AH2 = BH.CH

 BC = 2AM
c
cos B  ,
a

 b = a. sinB = a.cosC,

2

c

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

 AB. AC = BC. AH

b
 sin B  ,
a

 BA  BH .BC; CA  CH .CB
2

2

B

b

tan B  ,
c

c
cot B 
b

 a

 c = a. sinC = a.cosB,

* Định lý hàm số Côsin:

b
b

sin B cos C

b

h
c‟

M b‟

H

C

a

 b = c. tanB = c.cot C

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

2. Các công thức tính diện tích - thể tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác: S 
Hoặc

S

1
1
a.b.c
a.ha  a.b.sinC 
 pr
2
2
4R

p  p  a  p  b  p  c  với p 

Đặc biệt : * ABC vuông ở A: S 

abc
với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
2

1
AB. AC

2

* ABC đều cạnh a: S 

b/ Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh
d/ Diện tích hình thoi: S =
f/ Diện tích hình thang:

a2 3
4

c/ Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2

e/ Diện tích hbhành: S = đáy x chiều cao

1
.(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

g/ Diện tích hình tròn: S   r 2
h/ Thể tích khối tứ diện đều cạnh a: V 

Chu vi đường tròn: C  2 r
a3 2
12

k/ Thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy a: V 

a3
.tan 
12

(  là góc giữa cạnh bên và mặt đáy)

i/ Thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy a: V 

a3
.tan 
24

(  là góc giữa mặt bên và mặt đáy)

a3 2
j/ Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a: V 
6

m/ Thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy a: V 

a3 2
.tan 
6

n/ Thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy a: V 

a3
.tan 

6

(  là góc giữa mặt bên và mặt đáy)

(  là góc giữa mặt bên và mặt đáy)

l/ Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a: V 

a3 3
4

Chú ý:
NVH 0943277769

Trang 13/18


1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là: a 2
Tam giác vuông cân thì hai cạnh góc vuông bằng nhau và bằng cạnh huyền chia

2.

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là: a 3
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là:
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là: h 

a 2  b2  c 2

a 3
2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau và tạo với mp đáy 1 góc bằng
nhau, các mặt bên là các tam giác đều và tạo với mp đáy 1 góc bằng nhau, hình chiếu của đỉnh xuống mp đáy
trùng với tâm của đáy.(h/c tam giác đều thì đáy là tam giác đều, h/c tứ giác đều thì đáy là hv)
4/ Lăng trụ đứng là lặng trụ có các mặt bên là các hình chữ nhật
5/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng.
6/ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc hợp bởi 3 điềm: (Đỉnh, Điểm chung; Chân đƣờng cao)
7/ Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc hợp bởi 3 điềm: (Đỉnh, Điểm M; Chân đƣờng cao). Với M là giao
điểm của đường thẳng kẻ từ chân đường cao vuông góc với giao tuyến của mặt bên và mặt đáy.

 CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

V  Sđáy .h

( h: chiều cao)
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

Đường chéo d  a 2  b2  c 2

(a,b,c là ba kích thước)

b) Thể tích khối lập phương

V = a3

Đường chéo d  a 3

(a là độ dài cạnh)

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

1
V  Sđáy .h
3

( h: chiều cao)
S

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN

VSABC
SA SB SC

.
.
VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '

C'
A'

A

B'
C
B

1
1
V  Sđáy .h   r 2 h
3
3

4. KHỐI NÓN

Stp  S xq  Sđáy   rl   r 2
Liên hệ

NVH 0943277769

( l 2  h2  r 2 )
Trang 14/18


V  Sđáy .h   r 2 h
S xq  2 rl  2 rh

5. KHỐI TRỤ

Stp  S xq  Sđáy   rl   r 2

h

Liên hệ (h  l )

r

l

4
V   R3
3

6. KHỐI CẦU

S  4 R

R

2

CHỦ ĐỀ 6: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1) Một số phép toán vectơ


















1. OM  x. i  y. j  z. k  M ( x; y; z )

2. v  x. i  y. j  z. k  v  ( x; y; z )

3. AB  ( xB  x A , yB  y A , z B  z A )

4. AB  AB 

 xB  x A    y B  y A    z B  z A 
2

2

5. a   a1 , a2 , a3  , b   b1 , b2 , b3   a  b   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 

6. k.a   ka1 , ka2 , ka3 

7. a  a  a  a

 a1  b1

8. a  b  a2  b2
a  b
 3 3

9. a.b  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3

10. a cp b  a  k .b 

11. a  b  a.b  0  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3  0

a a a a a a 
12. [a, b]   2 3 , 3 1 , 1 2 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

2
1

2
2

2
3

2

a1 a2 a3
 
b1 b2 b3

( Tính tích có hƣớng: Bấm M0DE 8, bấm 1 chọn (vecto A), bấm 1 chọn 1:3, sau đó nhập tọa độ vecto A
vào, rồi bấm SHIFT 5 2 2 chọn (vecto B), bấm 1 chọn 1:3, sau đó nhập tọa độ vecto B vào,bấm AC, rồi
bấm shift 5, bấm 3 chọn (vecto A), bấm dấu nhân x, bấm shift 5, bấm 4 chọn (vecto B), bấm dấu bằng =, ta
được kết quả)

 xA  xB y A  yB z A  zB 
;
;
2
2 
 2

13. M là trung điểm A  M 

14. G là trọng tâm tam giác ABC

15. G‟ là trọng tâm tứ diện ABCD

 x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC 
 G A
;
;

3
3
3


 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zd 
 G ' A
;
;

3
3

3



16. Các tính chất và ứng dụng của tích có hƣớng:
 
 
*  a , b     b , a 





NVH 0943277769

 
 a , b   a . b .sin(a; b)
Trang 15/18




 
* a và b cùng phương   a , b   0;







 
a và b không cùng phương  a , b   0.






 
* a ; b và c đồng phẳng   a , b  .c  0;







 
a ; b và c không đồng phẳng   a , b  .c  0



1
* SABC  .  AB, AC  .
2

ShbhABCD   AB, AC  (ABCD là hình bình hành)

1
VkltABC . A ' B 'C '  .  AB, AC  . AA ' .

2

1
VktdABCD  .  AB, AC  . AD .
6

VkhABCD. A' B 'C ' D '   AB, AC  . AA ' . (Với: klt là khối lăng trụ; ktd là khối tứ diện; kh là khối hộp)
2) Phƣơng trình mặt phẳng
*) Phương trình mp() qua M(xo; yo; zo) có vtpt n  (A; B; C) là: A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
Nếu mp) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt n  (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là:

x y z
  1
a b c

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến.
*) Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2):
° ( ) // (  ) 

° ( ) cắt ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
° ( )  (  ) 

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

° ( )  (  )  A1 A2  B1 B2  C1C2  0

*) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (): Ax + By + Cz + D = 0 là: d(M, ) 
Chú ý: mp Oxy có pt: z  0;
*) Góc giữa hai mặt phẳng:

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

mp Oxz có pt: y  0;

COS(( ), ( )) 

Ax o  Byo  Cz o  D
A 2  B2  C2

mp Oyz có pt: x  0.

n1 . n2
n1 . n2

3) Phƣơng trình đƣờng thẳng
 x  xo  a1t

*) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) là: d : y  yo  a2 t ( t  )
z  z  a t
o
3



*) Phương trình chính tắc của d:

d:

x  xo y  yo z- z0


a
a2
a3
1

Chú ý: Trục Ox, Oy, Oz đi qua O và lần lượt có vectơ chỉ phương: i  1;0;0  ; j   0;1;0  ; k   0;0;1 .
*) Góc giữa 2 đường thẳng: Gọi  là góc giữa d và d‟ là: cos 

ad .ad /

(0    90 )

ad . ad /

*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’: Ta thực hiện hai bước
+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp a d , a d
NVH 0943277769

/

Trang 16/18

 x0 + a1 t = x'0 + a'1 t'

+ Tìm điểm chung của d, d‟ bằng cách xét hệ:  y0 + a 2 t = y'0 + a'2 t' (I)
 z + a t = z' + a' t'
0
3
 0 3

Quan hệ giữa
Hệ (I)
Vô số nghiệm
Vô nghiệm

Vị trí giữa d , d‟

ad ; ad '

d d'

Cùng phương

d d'

Có 1 nghiệm

Không cùng

d cắt d‟

Vô nghiệm

phương

d , d‟ chéo nhau

4) Một số dạng toán thƣờng gặp
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
A,B,C là ba đỉnh tam giác  AB; AC không cùng phương  AB, AC   0.
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành:

ABCD là hình bình hành  AD  BC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
+ Viết phương trình (BCD)
+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và chứng minh A   BCD  .
Dạng 4: Tìm hình chiếu của điểm M.
a. H là hình chiếu của M trên mp()


Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (): ta có ad  n( )



Gọi H  d     H (theo t)  d. mà H  ()  t = ?  tọa độ H

b. H là hình chiếu của M trên đƣờng thẳng d


d có vtcp ad  ?



Gọi H (theo t)  d , Tính MH . Ta có: MH  ad  MH .ad  0  t  ?  tọa độ H

Dạng 5: Điểm đối xứng.
a. Điểm M/ đối xứng với M qua mp()


Tìm hình chiếu H của M trên mp() (dạng 4.a)



 xM /  2 xH  xM

M đối xứng với M qua ()  H là trung điểm của MM   yM /  2 yH  yM

 zM /  2 zH  zM
/

/

b. Điểm M/ đối xứng với M qua đƣờng thẳng d:


Tìm hình chiếu H của M trên d (dạng 4.b)



 xM /  2 xH  xM

M đối xứng với M qua d  H là trung điểm của MM   yM /  2 yH  yM

 zM /  2 zH  zM
/

NVH 0943277769

/

Trang 17/18


 Dạng 6: Khoảng cách
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng :
+ Viết phương trình mp( ) chứa A và  .
+ Tìm giao điểm H của  và ( ).
+ Tính d(A, ) = AH
Chú ý: Có thể sử dụng công thức: d  A;()  

 MA, u 


Với M     .
u

b) Khoảng cách giữa đường thẳng  và ( ) với 

  :

+ Lấy M trên 
+ d(,( ))  d( M,( ))
c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau , ’ :
+ Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ‟ và //
+ Lấy M trên 
'
+ d (,  )  d ( M ,( ))

Chú ý: Có thể sử dụng công thức: d  ();( ')  

u , u '  .MM '


Với M     ;M'    ' .
u , u ' 



5) Phƣơng trình mặt cầu

 S  :  x  a

a. Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

2

  y  b    z  c   R2
2

2

Nếu mặt cầu có phương trình  S  : x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với ( a2  b2  c2  d  0 )
Ta có: Tâm I(a; b; c) và R  a2  b2  c2  d
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho  S  :  x  a 2   y  b 2   z  c 2  R2

và (): Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,()): khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp().


d > R: (S)  () = 



d = R: () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện)

* Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp() )
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(): ta có ad  n( )
+ H = d  (). Gọi H (theo t)  d .Ta có H  ()  t = ?  tọa độ H
 S : x  a    y  b   z  c   R2
d < R: () cắt (S) theo đường tròn (C):   
2



2

2


( ) : Ax  By  Cz  D  0

* Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến:
+ Bán kính r 

R 2  d 2 ( I , ( ))

+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp())
NVH 0943277769

Trang 18/18