Bài giảng Chương 1. HÀM SỐ

Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

Chương 1. HÀM SỐ
Các đối tượng cơ bản mà chúng ta xem xét trong gi ải tích là các hàm. Ch ương này
khởi nguồn bằng cách thảo luận các ý tưởng cơ bản liên quan đ ến các hàm, đ ồ th ị c ủa
chúng, cách biến đổi và kết hợp chúng. Chúng ta nhấn mạnh rằng m ột hàm có th ể đ ược
biểu thị trong nhiều cách khác nhau: bằng một phương trình, trong m ột b ảng, b ằng m ột
đồ thị, hay bằng lời. Chúng ta xem xét các kiểu c ơ bản c ủa các hàm xu ất hi ện trong tính
toán và mô tả quá trình sử dụng các hàm như là các mô hình toán h ọc c ủa các hi ện t ượng
trong thế giới thực. Chúng ta cũng thảo luận về vi ệc sử dụng các máy tính đ ồ h ọa và ph ần
mềm đồ họa cho máy tính.
1.1. Bốn cách để biểu thị hàm số
1.1.1. Các cách biểu thị hàm số
 Đại số
 Số
 Trực quan
 Lời nói
A. Diện tích A của

(Bằng công thức tường minh)
(Theo các giá trị trong một bảng)
(Dựa vào đồ thị)
(Mô tả bằng lời nói)
hình tròn phụ thuộc vào bán kính r c ủa nó. Mối liên h ệ gi ữa A và r

được cho bởi phương trình A = πr 2. Với mỗi giá trị dương của r có một giá trị A tương
ứng, và ta nói A là hàm của r.
B. Dân số thế giới P phụ thuộc thời gian t và được cho bởi Bảng 1 với một s ố năm nh ất
định. Ví dụ, P(1950) ≈ 2 560 000 000 (người). V ới m ỗi giá tr ị c ủa t có m ột giá tr ị c ủa P

tương ứng, và ta nói rằng P là hàm của t.
C. Dao động dọc a của bề mặt Trái đất được đo bằng địa chấn k ế trong các tr ận đ ộng
đất là một hàm của thời gian t. Hình 1 cho thấy một đồ th ị đ ược t ạo ra b ởi ho ạt đ ộng
địa chấn trong trận động đất Northridge làm rung chuy ển Los Angeles vào năm 1994.
Đối với một giá trị nhất định của t đồ thị cung cấp một giá trị tương ứng của a.
D. Giá tiền C của một lá thư phụ thuộc vào trọng lượng w c ủa nó. M ặc dù không có công
thức đơn giản liên hệ giữa w và C, nhưng bưu điện có một quy tắc để xác định C khi đã
biết w.

1


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

1.1.2. Các hàm được định nghĩa theo từng khoảng
Có những hàm được xác định bởi các công thức khác nhau trên nh ững kho ảng khác
nhau.
Ví dụ 1

Cho hàm số được xác định bởi

Đánh giá f(-2), f(-1) và f(0), và phác thảo đồ thị của hàm số đó.
Lời giải

Ta phải dựa vào quy luật sau đây:
Nếu x ≤ -1 thì f(x) = 1 – x,
trái lại nếu x > -1 thì f(x) = x2.

Vì -2 ≤ -1 nên f(-2) = 1 – (-2) = 3.
Vì -1 ≤ -1 nên f(-1) = 1 – (-1) = 2.
Vì 0 > -1 nên f(0) = 02 = 0.
Đồ thị như Hình 2.
Ví dụ 2

Vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối f(x) = |x|.

Lời giải

Theo định nghĩa của trị tuyệt đối, ta có

Vì vậy, bên trái gốc tọa độ, đồ thị của |x| trùng với đồ

thị

của hàm f(x) = -x, còn bên phải gốc t ọa độ thì đồ thị c ủa |x|
trùng với đồ thị của hàm f(x) = x. Đồ thị trên Hình 3.
1.2. Các hàm cơ bản
(a) Các hàm tuyến tính (Linear functions)
Là các hàm có dạng f(x) = ax + b, với a và b là các h ằng s ố. Đ ồ th ị c ủa các hàm này là
những đường thẳng.
(b) Các hàm đa thức (Polynomial functions)
Các hằng số ak được gọi là các hệ số của đa thức, a n ≠ 0, n được gọi là bậc của đa thức
P(x). Người ta thường dùng ký hiệu Pn(x) để biểu thị đa thức bậc n của x.
Miền xác định của các hàm này là toàn bộ trục thực (-∞, +∞).

2

Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

(c) Các hàm lũy thừa (Power functions)
Là các hàm có dạng f(x) = x α, trong đó α là một số thực. Sau đây ta xem xét m ột s ố
trường hợp riêng của α.


α là số nguyên dương

Miền xác định là (-∞, +∞). Miền giá trị là [0, +∞) nếu n chẵn và (-∞, +∞) nếu n lẻ.
 α = 1/n với n là số nguyên dương

Miền xác định và miền giá trị trùng nhau, tức là [0, +∞) khi n là s ố ch ẵn và (-∞, +∞)
khi n là số lẻ.


α = -1
3


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

Khi đó f(x) = x-1 = 1/x, được gọi là hàm nghịch đảo (ciprocal function), đ ồ th ị c ủa nó
có dạng của một hyperbol đối xứng qua các trục tọa độ.
Hàm này xuất hiện trong các lĩnh vực vật lý

và

hóa học, khi liên hệ tới định luật Boyle:
Trong môi trường nhiệt độ không đổi, thể
tích V của một chất khí tỷ lệ nghịch với áp
suất P:
V = C/P, với C – const.
(d) Các hàm phân thức (Rational functions)
Là các hàm có dạng , trong đó Pm và Qn tương ứng là các đa
thức bậc m và n của x. Miền xác định của f(x) là những đi ểm mà

B

Qn(x) ≠ 0.
(e) Các hàm đại số (Algebraic
functions)
Là các hàm được xây dựng trên các đa thức
O

cùng với cá phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, chia

A

và khai căn). Hàm phân thức đương nhiên là hàm
đại số.

y

Một ví dụ về hàm đại số xuất hiện trong
thuyết tương đối: Khối lượng m của chất điểm với

vận tốc v là
x

x

C
D

Q

trong đó m0 là khối lượng nghỉ (rest mass) của chất
điểm và c = 3.0×105 km/s là vận tốc của ánh sáng
trong chân không.
(f) Các hàm lượng giác (Trigonometric functions)

P

4


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc





(g) Các hàm mũ (Exponential Functions)
Là các hàm có dạng . Số a (a > 0, a ≠ 1) được gọi là cơ số.

Nếu a > 1 thì hàm đồng biến, nếu 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến.
(h) Các hàm logarith (Logarithmic Functions)
Là các hàm có dạng .
Số a (a > 0, a ≠ 1) được gọi là cơ số.
Đây chính là hàm ngược của hàm mũ y = ax.

,

5


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

1.3. Các hàm khác
1.3.1. Sự biến đổi của các hàm
Bằng cách biến đổi đồ thị của một hàm cho trước, ta nhận được các đ ồ thị c ủa các
hàm tương ứng.
Phép dịch ngang và dọc





: dịch đồ thị của
: dịch đồ thị của
: dịch đồ thị của
: dịch đồ thị của

Với c > 0, để nhận được đồ thị của:
lên phía trên một khoảng là c
xuống phía dưới một khoảng là c
sang bên trái một khoảng là c
sang bên phải một khoảng là c

Phép co dãn và đối xứng Với c > 1, để nhận được đồ thị của







: dãn đồ thị của theo chiều dọc với hệ số c
: co đồ thị của theo chiều dọc với hệ số c
: co đồ thị của theo chiều ngang với hệ số c
: dãn đồ thị của theo chiều ngang với hệ số c
: lấy đối xứng đồ thị của qua trục x
: lấy đối xứng đồ thị của qua trục y

6


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

7

Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

1.3.2. Sự kết hợp

của các hàm

Tổng, hiệu, tích, thương Giả sử miền xác định của các hàm f và g tương ứng là Df và Dg.

Miền xác định của là Df∩Dg, của là {x ∈ Df∩Dg | g(x) ≠ 0}.
Hàm hợp

Giả sử có hai hàm f và g, trong đó miền giá trị của g nằm trong mi ền xác định

của f. Khi đó ta định nghĩa hàm hợp của f với g, viết là , như sau:
Miền xác định của hàm hợp là tất cả các x thuộc mi ền xác định c ủa g nh ưng g(x)
thuộc miền xác định của f: .
Chú ý rằng . Ví dụ, và . Khi đó
Thậm chí, có thể tồn tại nhưng không tồn tại .
Ví dụ, , khi đó
Nhưng không tồn tại vì miền giá trị của f không nằm trong miền xác định của g.
Ví dụ 1

Cho và .

Tìm các hàm cùng miền xác định:
Lời giải

(a)
(b)
(c)
(d)
8


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

1.4. Một số tính chất đặc biệt của hàm số
1.4.1. Hàm chẵn, hàm lẻ
Định nghĩa 1 Giả sử f: A → B. Hàm f được gọi là hàm chẵn nếu , được gọi là hàm lẻ nếu , ∀x
∈ A.
Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục y, đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm là hàm chẵn, hàm là hàm lẻ.

Các hàm chẵn

Các hàm lẻ

1.4.2. Hàm tuần hoàn
Định nghĩa 2 Nếu ∃T > 0 sao cho với mọi x, thì f được gọi là hàm tuần hoàn.
Số T0 nhỏ nhất trong các số T nói trên (nếu tồn tại) được gọi là chu kỳ.
Các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, các hàm tuần hoàn chu kỳ π.
Hàm hằng số f(x) = C tuần hoàn nhưng không có chu kỳ.
1.4.3. Hàm đơn điệu
Định nghĩa 3 Hàm f được gọi là đơn điệu tăng [hay giảm] trên miền (a, b) nếu
[hay ] với mọi cặp .

1.5. Hàm ngược
1.5.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1 Hàm f: A → B được gọi là đơn ánh (hay 1-1) nếu f(x1) ≠ f(x2) với mọi x1 ≠ x2.

9


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

Về mặt hình học, mọi đường nằm ngang cắt đồ thị của đơn ánh không quá một
điểm.
Định nghĩa 2 Hàm f: A→ B được gọi là toàn ánh nếu: ∀y ∈ B, ∃x ∈ A | f(x) = y.
Về mặt hình học, mọi đường nằm ngang luôn cắt đồ thị c ủa toàn ánh t ại ít nh ất m ột
điểm.
Định nghĩa 3 Hàm f: A → B được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Về mặt hình học, mọi đường nằm ngang đều cắt đồ thị song ánh tại đúng một điểm.
Xét hàm f(x) = x2.
Là đơn ánh nếu A = [0, 1], B = [0, 1].
Không là đơn ánh nếu A = [-1, 1], B = [0, 1].
Là toàn ánh nếu A = [-1, 1], B = [0, 1]
Không là toàn ánh nếu A = [-1, 1], B = [0, 2].
Là song ánh nếu B = [0, 1], A = [0, 1] (hoặc A = [-1, 0])
Định nghĩa 4 Hàm g: B → A được gọi là hàm ngược của f nếu g(f(x)) = x v ới mọi x ∈ A,
ký hiệu là f–1.
Theo thói quen, ta thường dùng chữ x để chỉ biến độc l ập và ch ữ y đ ể ch ỉ bi ến ph ụ
thuộc, nên hàm ngược của f được viết là y = f–1(x).
Dễ thấy rằng, f–1 tồn tại khi và chỉ khi f: A → B là song ánh. Ta có ∀x ∈ A, ∀y ∈ B:
Các bước tìm hàm ngược

(a) Viết y = f(x)
(b) Giải x theo y (nếu có thể), nhận được x = g(y)
(c) Hoán đổi x với y, nhận được hàm ngược y = f-1(x) = g(x).
Ví dụ 1

Tìm hàm ngược của

Lời giải

(a) Viết:
(b) Giải:
(c) Hoán đổi x với y:

Vậy hàm ngược là .
Nhận xét

Đồ thị của hàm ngược đối xứng với đồ thị
của hàm số qua đường phân giác thứ nhất (y

= x).

1.5.2. Một số hàm ngược cơ bản
•

Hàm mũ và hàm logarith : Hàm này là hàm ngược
của hàm kia.
: logarith tự nhiên (Nature logarithm)

10

Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

Đồ thị của hàm có độ dốc lớn, chứng tỏ hàm tăng
rất nhanh khi x tăng. Trong khi đó, hàm tăng r ất chậm,
thậm chí chậm hơn cả hàm .

•

y = : là hàm ngược của .
Do tuần hoàn chu kỳ 2π và là song ánh từ sang [–1, 1] nên trên mỗi đoạn xác định một hàm

ngược. Ta ký hiệu là họ tất cả các hàm ngược của , còn là hàm ngược nhận giá trị trên đoạn .
• y = : là hàm ngược của .
Do tuần hoàn chu kỳ 2π và là song ánh từ [0 ± kπ, π ± kπ] sang [–1, 1] nên trên mỗi đoạn [0
± kπ, π ± kπ] xác định một hàm ngược. Ta ký hiệu là họ tất cả các hàm ngược của , còn là hàm
ngược nhận giá trị trên đoạn [0, π].

•

: là hàm ngược
của
Do tuần hoàn chu kỳ π và là song ánh từ sang (–∞, +∞) nên trên mỗi khoảng xác định một

hàm ngược. Ta ký hiệu là họ tất cả các hàm ngược của , còn là hàm ngược xác định trên (–∞,
+∞), nhận giá trị trong khoảng .
•

: là hàm ngược của .
Do tuần hoàn chu kỳ π và là song ánh từ (0 ± kπ, π ± kπ) sang (–∞, +∞) nên trên mỗi khoảng

(0 ± kπ, π ± kπ) xác định một hàm ngược. Ta ký hiệu là họ tất cả các hàm ngược của , còn là hàm
ngược xác định trên (–∞, +∞), nhận giá trị trong khoảng (0, π).

11


Chương 1 – Toán 2

Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

Một số ngôn ngữ lập trình không có hàm , nhưng chúng ta có thể tính nó theo công
thức .
Một số công thức đặc biệt

Hàm dấu:

12