Bai tap chuong 2 co hoc vat ran gui len mang

Ch ng 2. C h c v t r n
A. Ph n lý thuy t

m r
- Kh i tâm c a h ch t đi m: r  OG 
m
m v m v
dr
- V n t c c a kh i tâm: v 


dt
m
m


i i

i

G

i

i

i

G

i

i

i

i

i

G

i

i
n





d vG

- Gia t c c a kh i tâm: a G 
dt



 mi a i
i 1
n

m
i 1

n





F

i

i 1

m



F
 F  ma G
m



i

 Ph ng trình chuy n đ ng c a kh i tâm.
- nh lu t b o toàn đ ng l ng c a 1 h cô l p:

F  0  m v
i

i

i

i

 const  v G  const 

i

- V n t c c a 1 đi m trên v t r n trong chuy n đ ng ph c t p: vM  vG    R
- Mô-men quán tính c a m t ch t đi m:
I   mr 2 - r là kho ng cách t ch t đi m đ n tr c quay  ;
- Mô-men quán tính c a h ch t đi m:
n

I    m i ri2 - ri là kho ng cách t ch t đi m th i đ n tr c quay  ;
i 1

- Mô-men quán tính c a 1 v t r n:
I   r 2dm - r là kho ng cách t kh i l

ng nguyên t dm đ n tr c quay  .

vr

n v c a mô-men quán tính: kgm2, th nguyên: ML2
- Mô men quán tính đ i v i tr c quay đi qua kh i tâm c a các v t r n đ ng ch t
1
I  mR 2
Kh i tr đ c, đ a tròn
2

I  mR 2

Kh i tr r ng, vành tròn:

1
mL2
12
2
I  mR 2
5
2
I  mR 2
3

I

Thanh m nh có chi u dài L:
Kh i c u đ c:
Qu c u r ng:
I

M t ch nh t
- nh lý Huygens-Steiner

I  I0  md 2 , trong đó d là kho ng cách gi a 2 tr c  &  0 .

1

1
m  a 2  b2 
12


- Mô-men quán tính c a m t s v t r n th



ng g p



- Mômen l c: M  M  r  F  r  Ft
l n: | M || M | rFsin   rFt
- Ph

ng trình c b n c a chuy n đ ng quay: I  M   =

- Mômen đ ng l

ng: L  I
2

M
I

t

-

nh lý v mômen đ ng l

kho ng th i gian . t .)
- nh lu t b o toàn mô men đ ng l
Ta có: M 

dL
dt



M
i 1

ng c a mômen l c trong

ng c a h ch t đi m.

dLi
dt

n

V i h cô l p:

t

2
2
dL
 M  L  L 2  L1   dL   Mdt (xung l
ng:
dt
t1
t1

i

 M 0

dL
 0  L  const  I  const
dt

B. Ph n bài t p
Bài t p c n làm:
3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.19-3.22, 3.24
Bài t p c n trình bày ra gi y A4 & ghim vào n p cho th y
3.4, 3.5, 3.9, 3.12, 3.13, 3.20, 3.22, 3.24
Bài 3.2. Trên m t đ a tròn đ ng ch t bán kính R có khoét 1 l tròn nh bán kính
r; tâm c a l khoét n m cách tâm c a đ a m t đo n b ng R/2. Xác đ nh v trí kh i
tâm c a đ a trên.
Bài gi i:
Bài này có 2 cách, cách th nh t có th áp d ng đúng đ nh ngh a v kh i tâm và

s d ng ph ng pháp t a đ đ gi i.
Cách 1: Vì đ a đ i x ng qua đ ng n i tâm OO1 nên kh i tâm c n tìm c ng n m
trên đ ng OO1. Ch n O là g c t a đ , t đó có t a đ kh i tâm c a cái đ a khi
ch a b khoét là: x O  0
m1x O1  m 2 x O2
R
 0 , trong đó: x O1  , x O 2 là kho ng cách chúng ta c n tìm, m1 là
Theo đ nh ngh a: x O 
m1  m 2
2
kh i l ng c a ph n b khoét đi (bán kính là r), m2 là kh i l ng c a ph n đ a còn l i (mà chúng ta đang đi
tìm kh i tâm).
m R
R
Thay vào bi u th c trên ta đ c: m1  m 2 x O2  0  x O2   1
2
m2 2
L i có:

m1
r 2
r2


,  có th coi là kh i l
m 2   R 2  r 2   R 2  r 2 

T đó suy ra: x O2  

r 2R

, d u “-” có ngh a là O2 n m ng
2 R 2  r2 

ng phân b theo di n tích (kg/m2).
c phía v i O1.

Cách 2. Làm theo ki u th i ph thông đã đ c h c, chúng ta dùng quy t c h p l c song song ch ng h n, khi
đó tr ng l ng c a c cái đ a ch a b khoét b ng tr ng l ng c a cái đ a (đang c n tìm kh i tâm – m2) c ng
v i tr ng l ng ph n đ a b khoét đi (m1), và đ ng nhiên kh i tâm c a cái đ a đ y đ n m t i O. Theo quy
t c chia trong ta có:
P1 OO 2
P .OO1 m1
mR
r2R

 OO 2  1

OO1  1 
P2 OO1
P2
m2
2m 2 2  R 2  r 2 
Bài 3.4. M t xe ch đ y cát chuy n đ ng không ma sát v i v n t c v1
= 1 m/s trên m t đ ng n m ngang. Toàn b xe cát có kh i l ng M
= 10 kg. M t qu c u kh i l ng m = 2 kg bay theo chi u ng c l i
v i v n t c n m ngang v2 = 7 m/s. Sau khi g p xe, qu c u n m ng p
trong cát. H i sau đó xe chuy n đ ng theo chi u nào, v i v n t c b ng
bao nhiêu?
Tóm t t:
3

v1  1 m / s  , M = 10 kg
m = 2 kg, v2  7  m / s 

v = ?
Bài gi i:
ây là 1 bài toán va ch m m m, áp d ng đ nh lu t b o toàn đ ng l ng.
Mv1  mv 2 10.1  2.  7 
Mv1  mv 2   M  m  v  v 

 0,33  m / s 
Mm
10  2
D u “  ” ngh a là chuy n đ ng ng c v i chi u ban đ u.
Bài 3.6. M t h a ti n lúc đ u đ ng yên, sau đó ph t khí đ u đ n ra phía sau v i v n t c ko đ i u = 300 m/s
đ i v i h a ti n. Trong m i giây, l ng khí ph t ra b ng = 90 g. Kh i l ng t ng c ng ban đ u c a h a ti n
b ng M0 = 270 g. H i:
a) Sau bao lâu h a ti n đ t t i v n t c v = 40 m/s?
b) Khi kh i l ng t ng c ng c a ho ti n là 90 g thì v n t c c a h a ti n là bao nhiêu? B qua s c c n c a ko
khí và l c hút c a Trái đ t.
Tóm t t:
u  300  m / s 

  90  g   0,09  kg 
M0  270  g   0, 27  kg 
a)v  40  m / s   t  ?
b)M  90  g   0,09  kg   v  ?
Bài gi i:
T i th i đi m t b t k , kh i l ng c a h a ti n là M, v n t c là v , chi u lên ph ng chuy n đ ng là v

T i th i đi m t + dt, kh i l ng c a h a ti n là M + dM (vì kh i l ng h a ti n gi m d n nên dM<0), v n t c
là v  dv , chi u lên ph ng chuy n đ ng là v + dv,
V n t c khí ph t ra là u  v , chi u lên ph ng chuy n đ ng đ c v – u,
Áp d ng đ nh lu t b o toàn đ ng l ng theo ph ng chuy n đ ng:
 M  dM  v  dv    dM  v  u   Mv , “ dM ” là kh i l ng c a l ng khí ph t ra.
B qua tích c a dMdv ta đ

c:

v
M
 M0 
M
dv
dM
dv
dM
v
M
M 



Mdv  udM  0 
   ln
 ln 0  v  u ln  0   u ln 

u
M
u

M
u
M0
M
 M 
 M 0  t 
0
M0

a) v i v = 40 m/s
40
 uv 
 300

M
e
1
270
e
1






0
v
 M0 
M0




  0,374 s
u
v  u ln 
e t



v
40
 M 0  t  M 0  t
e u
90e 300

 M0 
 270 
b) v  u ln 
  300 ln 
  300 ln 3  329, 6  m / s 


M
t
90


 0


Bài 3.9. M t tr đ c kh i l ng m = 100 kg, bánh kính R = 0,5 m đang quay xung quanh tr c c a nó. Tác
d ng lên tr m t l c hãm F = 243,4 N, ti p tuy n v i m t tr và vuông góc v i tr c quay. Sau th i gian t =
31,4 giây, tr d ng l i. Tính v n t c góc c a tr lúc b t đ u tác d ng l c hãm.
Tóm t t:
m  100  kg  , R  0,5  m  , F  243, 4  N  , t  31, 4 s     0
0  ?

4


Bài gi i:
  0

 0    t
t
M
RF
2F


L i có:  
2
I mR / 2 mR
2Ft 2Ft 2.243, 4.31, 4
Thay vào ta đ c: 0   


 305, 7  rad / s 
mR
mR

100.0,5
Bài 3.11. M t thanh chi u dài l = 0,5 m có th quay t do xung quanh m t tr c n m ngang đi qua m t đ u c a
thanh. M t viên đ n kh i l ng m = 0,01 kg bay theo ph ng n m ngang v i v n t c v = 400 m/s t i xuyên
vào đ u kia c a thanh và m c vào thanh. Tìm v n t c góc c a thanh ngay sau khi viên đ n đ p vào thanh. Bi t
r ng mômen quán tính c a thanh đ i v i tr c quay b ng 5 kg.m2.
Bài gi i:
T i v trí va ch m, các l c tác d ng vào h “thanh + đ n” là tr ng l c và l c đàn
h i c a thanh đ u đi qua tr c quay nên không gây ra mômen vì th M  0 nên
mômen đ ng l ng đ c b o toàn.
Mômen tr c: lmv (c a viên đ n)
Mômen sau: I trong đó I là mômen quán tính c a h “thanh + đ n”:
I  Ibar  Ibullet  I  ml2
lmv
0,5.0, 01.400
Ta có: lmv   I  ml2     

 0, 4  rad / s 
2
I  ml
5  0, 01.0,52
Bài 3.14. M t đ a b ng đ ng (kh i l ng riêng = 8,9. 103 kg/m3 có b dày b =
4.10-3 m, bán kính R  5.102 m. a b khoét th ng hai l tròn bán kính R/2 nh
trên hình. Tìm mômen quán tính c a đ a đã khoét đ i v i tr c quay vuông góc v i
đ a và đi qua tâm O c a đ a.
Bài gi i:
MR 2
Mômen quán tính đ a tròn ch a b khoét đ i v i tr c quay đi qua tâm là I0 
2
2
2

4
R bR
bR
Trong đó: M  R 2 b  I0 

2
2
Mômen quán tính c a 2 đ a tròn nh có kích th c đúng b ng 2 l tròn bán kính R/2 đ i v i tr c quay đi qua
tâm c a chính chúng là:

I1  I 2 

M1  R / 2 

2

2

qua O là: I1O  I 2O 

, theo đ nh lý Huygen-Steiner, mômen quán tính c a 2 đ a tròn nh đ i v i tr c quay đi

M1  R / 2 
2

2

3
3
3

2
2
 M1  R / 2   M1R 2  b  R / 2  R 2  bR 4
8
8
32

Suy ra mômen c a đ a b khoét đi 2 l có bán kính R/2 là:
I  I0  I1  I2 

4
bR 4
3
5
5
 2. bR 4  bR 4  .8,9.103.3,14.4.103.  5.102   2, 2.104  kg.m2 
2
32
16
16

5


Bài 3.20. Hai v t có kh i l ng l n l t b ng m1 và m2 (m1 > m2), đ c n i v i nhau
b ng m t s i dây v t qua m t ròng r c (kh i l ng c a ròng r c b ng m) (hình v ).
Tìm:
a) Gia t c c a các v t;
b) S c c ng T1 và T2 c a các dây treo. Coi ròng r c là m t đ a tròn, ma sát không đáng
k . Áp d ng b ng s m1 = 2 kg, m2 = 1 kg, m = 1 kg.

Tóm t t:
m1  m 2  m1  2kg, m 2  1kg, m  1kg 
a)a  ?
b)T1  ?, T2  ?
Bài gi i:
D dàng vi t đ

c 2 ph

ng trình theo đ nh lu t 2 Newton đ i v i m i v t: m1g  T1  m1a (1),

T2  m2g  m2a (2)

Ph

ng trình đ i v i chuy n đ ng quay c a ròng r c:
mR 2 a maR
ma
(3)
M  I  T1R  T2 R  I 

 T1  T2 
2 R
2
2
( đây chú ý, ph ng trình c b n c a chuy n đ ng quay đ c chi u lên ph
h p này véc-t này h ng t bên trong m t ph ng hình v đi ra)
T các ph ng trình trên ta d dàng suy ra h ph ng trình:
m1g  T1  m1a  T1  m1g  m1a

ng c a véc-t  , trong tr

ng

T2  m2g  m2a  T2  m 2g  m 2a

T1  T2 

ma
2

m1  m 2
ma
2 1
a g
 10
 2,86  m / s 2 
m
2
2  1  0,5
m1  m 2 
2

 m gm  m  m  m  m 
1 
1
2
1
2



m1  m 2
2

  m1g  4m 2  m   2.10.  4.1  1  14,3 N
T1  m1  g  g

 

m
m
2m1  2m 2  m
2.2  2.1  1

m1  m 2  
m1  m 2 
2 
2


 m gm  m  m  m  m 
2 
1
2
1
2


m1  m 2
2


  m 2 g  4m1  m   1.10.  4.2  1  12,9 N
T2  m 2  g  g

 

m
m
2m1  2m 2  m
2.2  2.1  1

m1  m 2  
m1  m 2 
2 
2

Bài 3.22. M t v t A kh i l ng m tr c trên m t ph ng
nghiêng và làm quay m t bánh xe có bán kính R (hình v ).
Mômen quán tính c a bánh xe đ i v i tr c quay b ng I. Kh i
l ng c a dây không đáng k .Tìm gia t c góc c a bánh xe.
Bài gi i:
i v i v t n ng ta có ph ng trình đ nh lu t 2 Newton nh
sau:
T  P  Fms  ma

 m1  m2  g   m1  m 2  a 

Chi u ph ng trình trên lên ph ng chuy n đ ng và ph ng vuông góc v i ph
P sin   T  Fms  ma và N  P cos   0  N  P cos   Fms  kmg cos 
Suy ra mg sin   T  kmg cos   ma  mR

6

ng chuy n đ ng ta đ

c:


i v i đ a tròn ta có: M  I  TR  I  T 

I
R

mgR  sin   k cos  
I
 kmg cos   mR   
R
I  mR 2
Bài này ch ng rõ ràng gì s t, th nh t là ch ng nh c gì đ n l c ma sát c , th 2 là t công th c cu i cùng có
th th y, h này ch chuy n đ ng khi mà sin   k cos   k  tan  , còn ng c l i thì h này cân b ng. Nên
v nguyên t c, ph i nói rõ m y th này n a. Và chú ý là trong sách gi i c a Tr n V n Qu ng sai bét nhé.

Thay vào ph

ng trình phía trên ta đ

c: mg sin  

7