Một số phương pháp số giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ THỊ CHINH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ THỊ CHINH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - Năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian
em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn
Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người
trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong
suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn
sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Vũ Thị Chinh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên
cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề
tài “Một số phương pháp số giải gần đúng phương trình vi phân
thường” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân,
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Vũ Thị Chinh


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

1.2

1.3

Khái niệm về số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . .

3

1.1.2

Sai số thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Một số bài toán về ước lượng sai số . . . . . . . .

6

Sai phân và tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Các tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Khái quát về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . .

15

1.3.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.2

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp
một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 PHƯƠNG PHÁP EULER

16
18

2.1

Nguồn gốc phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3

Sai số của phương pháp θ . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.4

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Tổng quát phương pháp một bước hiện . . . . . . . . . .

3 PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA
3.1

33
41

Phương pháp Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1.1

Phương pháp Runge – Kutta bậc một . . . . . . .

42

3.1.2

Phương pháp Runge – Kutta bậc hai . . . . . . .

42

3.1.3

Phương pháp Runge – Kutta bậc ba . . . . . . .

44

3.1.4

Phương pháp Runge – Kutta bậc bốn . . . . . . .

47

Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge – Kutta

51

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thoạt đầu, Toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại Toán
học và các ngành khoa học khác, Toán học chia thành hai lĩnh vực: Toán

học lí thuyết và Toán học ứng dụng.
Trong lĩnh vực Toán ứng dụng thường gặp rất nhiều những bài toán
liên quan đến phương trình vi phân thường. Vì vậy việc nghiên cứu
phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết
Toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường có thể
tìm được nghiệm chính xác, trong khi phần lớn phương trình vi phân
nảy sinh từ bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác.
Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của
phương trình vi phân.
Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà Toán học đã tìm ra nhiều phương
pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường.
Dưới góc độ của một sinh viên chuyên ngành Toán và trong phạm vi
của một khóa luận tốt nghiệp, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.
Khuất Văn Ninh, em xin trình bày hiểu biết của mình về vấn đề:
“Một số phương pháp số giải gần đúng phương trình vi phân
thường”. Em đã đi sâu vào nghiên cứu hai phương pháp số: phương
pháp Euler và phương pháp Runge – Kutta.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Giới thiệu khái quát về các kiến thức cơ bản, nghiên cứu các phương
pháp số để giải phương trinh vi phân.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
Khóa luận gồm ba chương
Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị" Chương này nhắc lại một số kiến
thức cơ bản về số gần đúng và sai số, khái quát về phương trình vi phân
và bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một.
Chương 2 "Phương pháp Euler" Mục đích chương này trình bày về
một số phương pháp Euler và ứng dụng giải gần đúng các phương trình
vi phân thường.
Chương 3 "Phương pháp Runge - Kutta" Mục đích chương này trình
bày về phương pháp Runge - Kutta và ứng dụng của nó giải gần đúng
các phương trình vi phân thường.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về số gần đúng và sai số,
khái quát về phương trình vi phân và bài toán Cauchy đối với phương
trình vi phân cấp một.

1.1

Khái niệm về số gần đúng

1.1.1

Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong nhiều bài toán, chúng ta không thể xác định được giá trị chính

xác của một đại lượng mà chỉ làm việc với số gần đúng của nó. Độ lệch
giữa giá trị chính xác và giá trị gần đúng được gọi là sai số. Việc đánh
giá sai số cho ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán.
Nghiên cứu và đánh giá sự sai khác này là yêu cầu bắt buộc khi ta sử
dụng số gần đúng vào tính toán trong việc giải bài toán.
Định nghĩa 1. Số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A nếu nó
xấp xỉ A. Ta kí hiệu a ≈ A.
Định nghĩa 2. Đại lượng ∆ = |a − A| gọi là sai số thực sự của số gần
đúng a.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Trong thực tế, do không tính được A, ta cần tìm một số dương ∆a càng
bé càng tốt thỏa mãn
|a − A| ≤ ∆a .

(1.1)

Định nghĩa 3. ∆a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Kí hiệu A = a ± ∆a .
Định nghĩa 4. Sai số tương đối của số gần đúng a là số dương δa tính
theo công thức δa = ∆a \ |a|.
Ví dụ 1. Giả sử A = π, a = 3.14 là số gần đúng của π. Hãy xác định
sai số?
Giải
Ta có π = 3.14159265358979323846264338327 . . .

⇒ 3.14 − 0.01 < π < 3.14 + 0.01
⇒ |3.14 − π| < 0.01
⇒ ∆a = 0.01, δa = 3, 18.10−3
Mặt khác 3.14 − 0.002 < π < 3.14 + 0.002
⇒ ∆a = 0.002, δa = 6, 37.10−3 .
Kết luận: cùng một giá trị gần đúng có thể có nhiều sai số tuyệt đối
khác nhau, trong ví dụ này sai số 0.002 tốt hơn.

Trong tính toán ta thường gặp 4 loại sai số sau:
•

Sai số giả thiết – Do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế.

Sai số này không loại trừ được.
•

Sai số phương pháp – Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không

thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

•

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Sai số các số liệu – Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm

do đó có sai số.
•

Sai số tính toán – Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn

nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
1.1.2

Sai số thu gọn

Một số thập phân a có dạng tổng quát
a = ± ak 10k + ak−1 10k−1 + . . . + ak−t 10k−t
trong đó ai , t ∈ N, k ∈ Z, 0 ≤ ai ≤ 9, ak > 0 i = k − 1, k − t .
Nếu k − t ≥ 0 thì a là số nguyên, k − t = −m(m > 0) thì a có phần lẻ
gồm m chữ số. Nếu t = +∞ thì a là số thập phân vô hạn.
Ví dụ 2.
171, 1983 = 1.103 + 7.102 + 1.10 + 9.10−1 + 9.10−2 + 8.10−3 + 3.10−4 .
Thu gọn (làm tròn) số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được
một số a ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất.
Quy tắc thu gọn
Giả sử
a = ak 10k + ak−1 10k−1 + . . . + aj 10k−j + . . . + ak−t 10k−t .
Thu gọn a đến số hạng thứ j, ta thu được số a
a
¯ = ak 10k + . . . + aj+1 10j+1 + a
˜j 10j

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán


 a + 1, 5 < a
j
j−1 < 10
Trong đó a
˜j =
 a ,0 < a
<5
j

j−1

Nếu aj−1 = 5 thì a
˜j = aj khi aj chẵn và a
˜j = aj + 1 khi aj lẻ. Sai
số của phép thu gọn số a ký hiệu là Γa = |a − a| .
Ta có |A − a| ≤ |A − a| + |a − a| ≤ ∆a + Γa .
Như vậy sau khi thu gọn thì sai số tuyệt đối tăng thêm Γa .
1.1.3

Một số bài toán về ước lượng sai số

Trong phần này, chúng ta xét bài toán ước lượng sai số tính toán khi
thực hiện các phép toán số học và tính giá trị của các hàm một biến.
Cho hàm y = f (x) và x là số gần đúng của x0 . Ký hiệu ∆x và ∆y là
sai số tuyệt đối của đối số và hàm số. Ta sẽ xét bài toán ước lượng sai

số của hàm hoặc của biến nếu biết một trong hai số.
i)

Bài toán thuận

Bài toán: Ước lượng ∆y khi biết x và ∆x.
Theo công thức số gia hữu hạn Lagrange ta có
|y − y0 |= f (c)| x − x0 |
trong đó, y0 là giá trị đúng của y tại x0 , còn c ∈ (x, x0 ) nếu x < x0 và
c ∈ (x0 , x) nếu x0 < x.
Khi ∆x bé tức là khi x gần x0 ta có ước lượng
∆y = |f (x)| |x − x0 | hay ∆y ≤ |f (x)| ∆x

6

(1.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Ví dụ 3.
y = lnx, ta có f (x) = 1/x nên
∆ (lnx) = ∆x/x = δx
ii)

(1.3)

Bài toán ngược

Biết giá trị gần đúng x ta cần phải tính y với sai số ∆x là bao nhiêu để
đảm bảo ∆y ≤ ∆, với ∆ là một giá trị cho trước. Từ công thức (1.2) ta
thấy nếu
∆x ≤

∆
|f (x)|

(1.4)

thì đủ để ∆y ≤ ∆.
Ví dụ 4.
y = ex với x ∼
= 3 để có ∆y ≤ 0.01 ta tính x với ∆x ≤

iii)

0.01
là đủ.
e3

Sai số của tổng hoặc hiệu

Mệnh đề 1. Sai số tuyệt đối của một tổng hay một hiệu bằng tổng các
sai số tuyệt đối thành phần.
Chứng minh. Để đơn giản ta xét u = a ± b với các số a, b có giá trị
đúng a0 , b0 và sai số tuyệt đối ∆a, ∆b tương ứng.
Khi đó
a0 − ∆a ≤ a ≤ a0 + ∆a

b0 − ∆b ≤ b ≤ b0 + ∆b

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Do đó ta có
(a0 + b0 ) − (∆a + ∆b) ≤ a + b ≤ (a0 + b0 ) + (∆a + ∆b)
(a0 − b0 ) − (∆a − ∆b) ≤ a − b ≤ (a0 − b0 ) + (∆a − ∆b)
Đó chính là điều phải chứng minh.
Trường hợp tổng hay hiệu của nhiều số hạng cũng được xét tương tự.
Ví dụ 5.
Cho a = 50.5, b = 50.9 với ∆a = ∆b = 0.05 và u = a − b
Ta có u = 0.4 với ∆u = 0.05 + 0.05 = 0.1
Vậy δu = 0.1/0.4 = 25%, hay trừ hai số gần bằng nhau thì hiệu sẽ có
sai số tương đối là lớn.
iv)

Sai số của tích hoặc thương

Mệnh đề 2. Sai số tương đối của một tích hay một thương bằng tổng các
sai số tương đối thành phần.
Chứng minh. Xét thương
u=

x1 . . . xm
y1 . . . y p

Giả sử tất cả các số hạng của tích và thương đều dương. Khi đó ta có
lnu = lnx1 + ... + lnxm − lny1 − ... − lnyp
Lại có
∆ (lnu) = ∆ (lnx1 ) + ... + ∆ (lnxm ) + ∆ (lny1 ) + ... + ∆ (lnyp )

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Và nhờ ví dụ (1.3) ta có
δu = δx1 + ... + δxm + δy1 + ... + δyp .
Ví dụ 6.
Xét S = d.r với d = 5.45, r = 2.94, ∆d = ∆r = 0.001
Ta có δd = 0.0001835, δr = 0.0003401, δS = 0.0005236, S = 16.023 nên
∆S = S.
δS = 0.0084

1.2
1.2.1

Sai phân và tính chất của sai phân
Định nghĩa sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h = cosnt, h = 0. Ta gọi
sai phân cấp một của f (x) là đại lượng
∆f (x) = f (x + h) − f (x)

Tỷ sai phân cấp một của f (x) là

∆f (x)
h

∆2 f (x) = ∆ (∆f (x))
= [f (x + h + h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)]
= f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)
= ∆f (x + h) − ∆f (x)
là sai phân cấp hai của f (x) tại x.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Một cách tổng quát
∆n f (x) := ∆ ∆n−1 f (x) (n ≥ 1) , ∆0 f (x) := f (x)
là sai phân cấp n.
1.2.2

Các tính chất của sai phân

1) Sai phân là một toán tử tuyến tính, nghĩa là
∀α, β ∈ R; ∀f, g ⇒ ∆ (αf + βg) = α∆f + β∆g.
Chứng minh
∆ (αf + βg) = (αf + βg) (x + h) − (αf + βg) (x)
= αf (x + h) + βg (x + h) − αf (x) − βg (x)

= α [f (x + h) − f (x)] + β [g (x + h) − g (x)]
= α∆f (x) + β∆g (x) .
2) Nếu c = f thì ∆c = 0.
Chứng minh
∆c = c − c = 0 ⇒ ∆c = 0.
3) ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0, m > n.
Chứng minh

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Thật vậy
∆ (xn ) = (x + h)n − xn
= xn + Cn1 hxn−1 + Cn2 h2 xn−2 + . . . + hn − xn
= Cn1 hxn−1 + Cn2 h2 xn−2 + . . . + h2 = n!hn
n (n − 1) 2 n−2
+ . . . ∆ (hn )
hx
2

∆2 (xn ) = ∆ (∆xn ) = ∆ nhxn−1 +

Do đó ∆n (xn ) = n!hn rõ ràng ∆n xn = n!hn = const
Ta được ∆m (xn ) = ∆m−n (∆n (xn )) = 0 (∀m > n).
4) Nếu P (x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
n

∆P := P (x + h) − P (x) =
i=1

hi (i)
P x
i!

Chứng minh
Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức P (x + h)
P (x + h) = P (x) +

h (1)
h2
hn
P (x) + P (2) (x) + . . . + P (n) (x)
1!
2!
n!

(do P (x) là đa thức bậc n nên ∀m > n ta có P (m) = 0)
Khi đó
∆P (x) = P (x + h) − P (x)
n

=
i=1

hi (i)
P (x) .

i!

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
n

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Cni ∆i f (x) .

5)f (x + nh) =
i=1

Chứng minh
∆f (x) = f (x + h) − f (x)
Suy ra
f (x + h) = f (x) + ∆f (x) = (1 + ∆) f (x)
f (x + 2h) = f (x + h + h) = (1 + ∆) f (x + h)
n

= 1+∆

2

C2i ∆i f (x)

f (x) =
i=0

Quy nạp với n ta có
f (x + nh) = f [x + h + (n − 1) h]
= (1 + ∆)n f (x)
n

Cni ∆2 f (x) .

=
i=0

6) Mọi sai phân đều biểu diễn qua giá trị của hàm số
n
n

(−1) Cni f (x + (n − 1) h).

∆ f (x) =
i=0

Chứng minh

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Ta có

∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x)
n

(−1)i Cni (1 + ∆)(n−1) f (x)

=
i=0
n

(−1) Cni f (x + (n − i) h) .

=
i=0

7) Giả sử f ∈ Cn [a, b] và (x, x + nh) ⊂ [a, b]. Khi đó
∆n f (x)
= f n (x + θnh) θ ∈ (0, 1) .
n
h
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có
∆f (x)
= f (x + θh)
h
là công thức số gia hữu hạn. Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥ 1)
∆k f (x)
Tức là
= f k (x + θkh) đúng.

k
h
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Tức là ta phải chứng minh
∆k+1 f (x)
= f k+1 [x + θ (k + 1) h] .
k+1
h

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Hay ∆k+1 f (x) = hk+1 [f (x + θ (k + 1)]n+1 do h = 0.
Thật vậy
∆(k+1) f (x) = ∆ ∆k f (x) = ∆ hk+1 f k (x + θ kh)
trong đó θ ∈ (0, 1).
Áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f (k) (x + θ kh) , với ∆ là
toán tử tuyến tính ta có
∆(k+1) f (x) = hk ∆f (k) (x + θ kh)
= hk f k (x + θ kh + h) − f k (x + θ kh)
= hkn f k+1 (x + θ kh + θ h)
(do mệnh đề đúng với n = 1). Trong đó θ ∈ (0, 1)

Đặt θ =

θk+θ

, θ ∈ (0, 1)
k+1

Ta được ∆k+1 f (x) = hk+1 f k+1 (x + θ (k + 1) h).
1.2.3

Hệ quả

Nếu f (x) ∈ Cn [a, b] khi h đủ nhỏ ta có
∆n f (x)
.
f (x) =
hn
n

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3
1.3.1
i)

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Khái quát về phương trình vi phân
Một số khái niệm
Phương trình vi phân cấp một

Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát
F (x, y, y ) = 0

(1.5)

trong đó hàm F xác định trong miền D ⊂ R3 .

Nếu trong miền D, từ phương trình (1.5) ta có thể giải được y
y = f (x, y)
thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải đạo hàm.
ii)

Phương trình vi phân cấp n

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát
F x, y, y , . . . , y (n) = 0

(1.6)

Hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian Rn+2 .
Trong phương trình (1.6) có thể vắng x, y, y , . . . , y (n−1) nhưng y (n) nhất
thiết phải có mặt. Nếu từ (1.6) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất,
tức phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một

Xét bài toán

 x (t) = f (x, t)
 x(0) = x

(1.7)

0

(t, x) ∈ R = [0, T ] × [x0 − r, x0 + r] .
Trong đó x (t) là hàm một biến xác định trên [0, T ] với [0, T ] cho trước,
hàm f (t, x) và x0 cho trước được gọi là bài toán Cauchy đối với phương
trình vi phân thường cấp một, điều kiện x(0) = x0 được gọi là điều kiện
Cauchy hay điều kiện ban đầu.
a)

Định lý tồn tại nghiệm

Xét bài toán (1.7), (t, x) ∈ R = [0, T ] × [x0 − r, x0 + r] .
Nếu f (t, x) là hàm số liên tục trên hình chữ nhật R(r > 0 cố định) thì
tồn tại ít nhất một nghiệm x (t) của phương trình x (t) = f (x, t) thỏa
mãn điều kiện x(0) = x0 tức là x (t) là nghiệm của bài toán (1.7).
b)

Định lý duy nhất nghiệm

Xét bài toán (1.7). Nếu f (t, x) là hàm số liên tục trên hình chữ nhật R
(r > 0 cố định) và f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz cho biến x trên
hình chữ nhật R tức là
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ N |x − y| ,
trong đó N là hằng số (gọi là hằng số Lipschitz) thì nghiệm của bài toán
(1.7) xác định duy nhất.
c)

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Xét bài toán (1.7), (t, x) ∈ R = [0, T ] × [x0 − r, x0 + r] .
Hàm f (t, x) xác định trong R (r > 0 cố định) thỏa mãn 2 điều kiện:

(1) f (t, x) liên tục trên R và do R đóng và bị chặn cho nên
|f (t, x)| ≤ M
với M = max |f (t, x)| .
(t,x)∈R

(2) f (t, x) thỏa mã điều kiện Lipschitz
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ N |x − y|
với mọi (t, x), (t, y) ∈ R.
Với N là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm x (t) của bài toán (1.7)

xác định trên [0, T ] .

17


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP EULER
Chương này trình bày về một số phương pháp Euler và ứng dụng giải
gần đúng các phương trình vi phân thường.

2.1

Nguồn gốc phương pháp Euler

Ta biết rằng không phải tất cả các phương trình vi phân dạng tổng quát
y = f (x, y) đều có thể giải được dưới dạng hiển bằng các phương pháp
giải tích. Chẳng hạn, xét phương trình
y = e−x
Nghiệm của phương trình trên là nguyên hàm của e−x . Nhưng chúng ta
biết rằng nguyên hàm của hàm f (x) = e−x đều không phải là hàm sơ
cấp nghĩa là không thể biểu diễn dưới dạng một biểu thức giải tích. Vì
vậy nghiệm của phương trình trên không thể biểu diễn dưới dạng một
hàm sơ cấp. Vấn đề trên đã được giải quyết trong thế kỷ thứ XVIII bằng
phương pháp mang tên nhà toán học vĩ đại Euler.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán

Phương pháp Euler

Phương pháp Euler không phải là một phương pháp số hiệu quả nhưng
có nhiều ý tưởng liên quan đến các nghiệm là số của phương trình vi
phân được giới thiệu cách đơn giản nhất. Trong phần này ta sẽ quan
tâm tới việc xây dựng và phân tích một số phương pháp số cho phương
trình vi phân bậc nhất dạng
y = f (x, y)

(2.1)

với hàm số y có giá trị thực của biến số thực x, ở đó y ≡ dy/dx. Để
chọn một tích phân cụ thể từ dãy vô hạn của đường cong nghiệm tạo
thành nghiệm tổng quát cho (2.1), phương trình vi phân sẽ được xét với
một điều kiện ban đầu. Cho hai số thực x0 và y0 , ta tìm kiếm nghiệm
cho (2.1) với x > x0 sao cho
y (x0 ) = y0 .

(2.2)

Phương trình vi phân (2.1) cùng với điều kiện ban đầu (2.2) được gọi là
bài toán giá trị ban đầu.
Nói chung, mặc dù nếu f (., .) là một hàm số liên tục, điều đó không
đảm bảo rằng bài toán giá trị ban đầu (2.1 – 2.2) có một nghiệm duy
nhất. Nhưng với một số điều kiện nhẹ đặt vào hàm số f , sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của (2.1 – 2.2) được đảm bảo: kết quả được gói gọn

trong định lý sau.
Định lý 1 (Định lý Picard). Giả sử f (., .) là một hàm liên tục theo

19