Một số phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————————————
NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chuyên nghành: Toán giải tích
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận tình
của các thầy cô giáo, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức khoa
học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm quen với
công việc nghiên cứu khoa học. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn các thầy
cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích đã trực tiếp giảng
dạy, giúp đỡ dìu dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay. Đặc biệt
em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người
đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em
trong thời gian thực hiện khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn
hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em xin trân thành cảm
ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để khóa luận của
em được hoàn thành như hiện tại.
Hà Nội, 21 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những nội dung mà em trình bày trong khóa luận
này là kết quả của quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự
hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Những nội dung trong
khóa luận không trùng lặp với bất kỳ kết quả nghiên cứu của các tác giả
khác.

Hà Nội, 21 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

NGUYỄN THỊ BẠCH CÚC


Mục lục
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Lý thuyết về sai số và sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3. Sai phân và bảng sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2. Bài toán biên của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

i


Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI . .
2.1. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15

2.1.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Phương pháp Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3. Phương pháp khử lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1. Nội dung phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Chương 3. MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . .

32

3.1. Giải một số bài toán biên tuyến tính bằng nhiều phương pháp . .
32
3.2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

44


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình vi phân được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỉ 18, từ đó đến nay nó là một lĩnh vực quan trọng của toán học hiện
đại. Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học,... đều dẫn đến việc
giải phương trình vi phân. Vì vậy sự ra đời của lý thuyết phương trình vi
phân là rất cần thiết.
Đối với các phương trình đại số, nghiệm cần tìm thường là một giá trị
cụ thể, còn đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm thường là các
hàm của các biến độc lập thảo mãn mối quan hệ về vi phân. Cụ thể là đối
với một số bài toán, ngoài việc cho dưới dạng phương trình vi phân nó còn
kèm theo một số điều kiện mà ta gọi là điều kiện biên, các bài toán như

vậy được gọi là bài toán biên đối với phương trình vi phân.
Việc tìm nghiệm chính xác của bài toán biên đối với phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai là một vấn đề phức tạp và khó giải quyết. Do đó,
để nghiên cứu sâu một số phương pháp giải bài toán biên liên quan đến
phương trình vi phân tuyến tính cấp hai cùng với sự hướng dẫn và tận
tình chỉ bảo của PGS.TS. Khuất Văn Ninh, em đã chọn đề tài: “Một số
phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai”.
iii


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và cơ
sở lý thuyết của các phương pháp giải gần đúng bài toán biên đó. Sau đó
áp dụng vào giải bài toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.
Cuối cùng là các ví dụ cụ thể áp dụng các phương pháp để giải bài toán
biên phương trinh vi phân tuyến tính cấp hai.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tương nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp giải
bài toán biên phương trình vi phân tuyến tinh cấp hai.
Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện và thời gian có hạn, em chỉ nghiên
cứu một số bài tập cơ bản về bài toán biên phương trình vi phân tuyến
tính cấp hai.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội
dung nghiên cứu.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm ba
chương
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán biên phương trình vi phân

iv


tuyến tính cấp hai.
Chương 3: Một số ví dụ và bài tập áp dụng.

v


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về số gần đúng và sai
phân, không gian định chuẩn, không gian Hilber, phương trình vi phân và
bài toán giá trị biên hai điểm.

1.1. Lý thuyết về sai số và sai phân
1.1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối
Định nghĩa 1.1. Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khác
với a∗ không nhiều. Kí hiệu a ≈ a∗ .
Định nghĩa 1.2. Đại lượng ∆ := |a − a∗ | gọi là sai số thực sự của a
Do không biết a∗ nên ta cũng không biết ∆. Tuy nhiên, ta có thể ước
lượng sai số thực sự của a bằng số dương ∆a sao cho |a − a∗ | ≤ ∆a hay

a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a. Đương nhiên ∆a thỏa mãn điều kiện trên càng
nhỏ càng tốt. Sai số tương đối của a là δa :=

1

∆a

.
|a|


Ví dụ 1.1. Cho hai đoạn thẳng AB, CD với độ dài tương ứng là a =

10 cm và b = 1 cm với ∆a = ∆b = 0, 01. Khi đó, ta có
δa =

0.01
0, 01
= 0, 1% còn δb =
= 1% hay δb = 10δa.
10
1

Dễ thấy, phép đo độ dài đoạn thẳng a chính xác hơn phép đo độ dài đoạn
thẳng b mặc dù ∆a = ∆b. Như vậy độ chính xác của một phép đo phản
ánh qua sai số tương đối.

1.1.2. Sai số tính toán
Sai số tính toán là sai số sinh ra trong quá trình tính toán ta phải thu
gọn số. Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức

y = f (x1 , x2 , ..., xn )
Giả sử x∗ , y ∗ ; i = 1, n và xi , yi ; i = 1, n là các giá trị đúng và gần đúng của
các đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì

|y − y∗| = |f (x1 , x2 , ..., xn ) − f (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n )| =
trong đó f i là đạo hàm

n
i=1

fi |xi − x∗i |

∂f
∂f
tính tại các điểm trung gian. Do
liên tục
∂xi
∂xi

và ∆xi khá bé ta có thể coi
n

|f i (x1 , x2 , ..., xn )|∆xi

∆y =
i=1

Do đó

δy =

∆y
|y|

n

=
i=1

2

∂
∂x

ln f ∆xi


1.1.3. Sai phân và bảng sai phân
Sai phân
Định nghĩa 1.3. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X , h là
hằng số lớn hơn 0. Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai
phân cấp một của hàm f (x) tại điểm x. Biểu thức

∆2 f = ∆[∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)]
= ∆f (x + h) − ∆f (x)
được gọi là sai phân cấp hai của f (x) tại x
Tương tự, ta có ∆k f = ∆[∆k−1 f ] được gọi là sai phân cấp k của f tại x.
Bảng sai phân
Giả sử hàm số được cho bằng bảng
x

x0

x1

x2

...

xn

y

y0

y1

y2

...

yn

tại các mốc x cách đều xi+1 − xi = h = const; i ≥ 0. Khi đó, sai phân
của dãy yi được xác định như sau

∆yi = yi+1 − yi
∆2 yi = ∆(∆yi ) = ∆yi+1 − ∆yi , ...
∆n yi = ∆n−1 (∆yi )n−1 yi+1 − ∆n−1 yi
Ta lập bảng
3


y

∆y

∆2 y

∆3 y

∆4 y

....

...

...

...

...

...

...

yi−2
∆yi−2
∆2 yi−2

yi−1

∆3 yi−2

∆yi−1

∆2 yi−1

yi

∆4 yi−2
∆3 yi−1

∆yi
∆2 yi

yi+1
∆yi+1
yi+2
...

...

...

...

...

...

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.4. Giả sử X là một không gian vector trên trường K

(K = R hoặc K = C). Một ánh xạ kí hiệu . .

. : X→R
x→ x
được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (∀x ∈ X) , x

0; x = 0 ⇔ x = θ (θ là phần tử không của X );

2.(∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α| x (tính thuần nhất của chuẩn);
3. (∀x, y ∈ X) x + y

x + y ( bất đẳng thức tam giác).

4


Số x được gọi là chuẩn của phần tử x. Các tiên đề 1, 2, 3 được gọi là hệ
tiên đề của chuẩn.
Định nghĩa 1.5. Giả sử X là không gian vector trên trường K, . là
một chuẩn trên X. Khi đó cặp (X, . ) được gọi là không gian định chuẩn.
Khi đó, không gian đó được gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phức
nếu K tương ứng là trường thực hoặc phức.
Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Ví dụ 1.2. Cho không gian vector K chiều E k , trong đó

E k = {x = (x1 , x2 , ..., xk ) | xj ∈ R ∨ xj ∈ C }
k

với x = (x1 , x2 , ..., xk ) ta đặt x =

|xj |2 .

j=1

Công thức trên xác định chuẩn Euclide trên E k .

1.2.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.6. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X hội tụ
đến điểm x ∈ X nếu

lim xn − x = 0

n→∞

Kí hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞).
n→∞

Định nghĩa 1.7. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim xn − x = 0. Không gian định
n→∞

chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ.
5


1.2.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.8. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường
K. Một ánh xạ A : X → Y gọi là toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1. A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ); với mọi x1 , x2 ∈ X;
2. A(αx) = αA(x); với mọi α ∈ K.

Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong
toán tử A. Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện.

A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αn Axn
với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ X và mọi α1 , α2 , ..., αn ∈ K .
Nếu X = Y thì ta nói A là một toán tử trong X .
Ví dụ 1.3. Xét trường hợp X = Y = C [a, b]. Toán tử xác định theo công
thức
b

Ax =

K(t, s)x(s)ds
a

với K(t, s) là một hàm số liên tục theo các biến t và s trong hình vuông

a

t, s

b được gọi là toán tử tích phân với hạch là K(t, s).

Định nghĩa 1.9. Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu

xn → x0 ; n → ∞ luôn kéo theo Axn → Ax0 ; n → ∞.

6

Định nghĩa 1.10. Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (hay giới nội)
nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho

M x ; với mọix ∈ X.

Ax

(1.1)

Số nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu

A . Như vậy
A = inf {M > 0} .
Định lý 1.1. Một toán tử A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn

1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.11. Cho không gian vector X trên trường K (K = R hoặc

K = C). Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ từ X × X vào trường
K kí hiệu (., .) thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (∀x, y ∈ X)(x, y) = (x, y);
2. (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3. (∀x, y ∈ X)(∀λ ∈ K)(λx, y) = λ(x, y);
4. (∀x ∈ X) thì (x, x)

0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ, ( θ là kí hiệu phần tử

không của không gian X ).
Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
Định nghĩa 1.12. Giả sử (., .) là một tích vô hướng trên X, khi đó x =

7


(x, x), ∀x ∈ X xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh ra bởi
tích vô hướng.
Định nghĩa 1.13. Ta gọi tập H = φ gồm các phần tử x, y, z, ... nào đấy
là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường K ;
2. H được trang bị tích vô hướng (., .);
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x).

Nếu K = R hoặc K = C thì không gian Hilbert tương ứng là không gian
Hilbert thực hoặc phức.
Ví dụ 1.4. Trên không gian Rn với hai phần tử x = (x1 , ..., x2 ), ta trang
n

bị tích vô hướng (x, y) =

xi yj . Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là
i=1
n

x =

(x, x) =
i=1

x2i .

Khi đó không gian Rn cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.14. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong không
gian Hilbert H nếu (Ax, x)

0, với mọi x ∈ H .

Định nghĩa 1.15. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương
nếu tồn taị hằng số γ > 0 sao cho (Ax, x)

γ x

2

với mọi x ∈ H .

Dễ thấy rằng nếu A là toán tử tuyến tính xác định dương thì A là toán tử
tuyến tính dương.
8


1.4. Phương trình vi phân thường và bài toán biên
của phương trình vi phân
1.4.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân
Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các
đạo hàm của nó.
Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình
vi phân thường.
Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương

trình đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm
số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của hàm số
đó

F x, y(x), y (x), ..., y (n) (x) = 0
hay viết gọn là

F x, y, y , ..., y (n) = 0

(1.2)

Trong đó x là biến độc lập và y là hàm cần tìm.
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong
phương trình.
Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) nếu thay y =
9


ϕ (x), ..., y (n) = ϕ(n) (x) vào thì ta được phương trình đồng nhất thức.
Hàm số y = ϕ(x, c)(c ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được
gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) nếu thỏa mãn các điều
kiện sau:
1. ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra

c = ϕ(x, y).
2. Hàm y = ϕ(x, c) thỏa mãn (1.2) khi (x, y) chạy khắp D với mọi x ∈ R.

1.4.2. Bài toán biên của phương trình vi phân
Một số khái niệm

Giả sử hàm f (x), fi (x), i = 1, n liên tục trên [a, b] và fn = 0. Lập phương
trình vi phân tuyến tính
n

fi (x)y (i) (x) = f (x).

L(y) =

(1.3)

i=0
(k)

(k)

Chọn các hằng số αj ; βj

(0)

sao cho ma trận

(n−1)

(0)

(n−1)

β1 ... β1
 α1 ... α1



 α(0) ... α(n−1) β (0) ... β (n−1)
 2
2
2
1


 ...


 (0)
(n−1)
(0)
(n−1)
αm ... αm
βm ... βm

10














(1.4)


có hạng là m.
Ta lập tổ hợp tuyến tính như sau
n−1
(k)

(k)

αj y (k) (a) + βj y (k) (a) ; j = 1, m.

Vj (y) =

(1.5)

k=0

Do ma trận (1.4) có hạng m nên các tổ hợp (1.5) độc lập tuyến tính. Các
đẳng thức

Vj (y) = gj ; j = 1, m,

(1.6)

trong đó gj là các số và được gọi là điều kiện biên của phương trình Nếu

gj = 0 thì (1.6) được gọi là điều kiện biên thuần nhất.

Phương trình (1.2) cùng các điều kiện (1.6) lập thành bài toán biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0.
Trong các trường hợp khác ta gọi là bài toán biên không thuần nhất. Đôi
khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) = 0.
Định nghĩa tổng quát về bài toán biên trên đây bao gồm cả bài toán biên
(k)

Cauchy thông thường (khi βj

= 0; ∀k, j ).

Ta thấy ϕ(x) = 0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất, nghiệm đó gọi là
nghiệm tầm thường.
Nếu ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕi là các nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ
hợp tùy ý của chúng c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + ... + ci ϕi cũng là nghiệm của bài toán
đó.
11


Điều kiện giải được của bài toán biên
Giả sử biết một nghiệm riêng ϕ0 của phương trình (1.2) và hệ nghiệm cơ
bản ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán
biên (1.2) −(1.3) và (1.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci
trong biểu thức ϕ = ϕ0 + c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + ... + cn ϕn sao cho điều kiện (1.6)
được thỏa mãn. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là
ma trận




 V1 (ϕ1 ) ... V1 (ϕn )


 V (ϕ ) ... V (ϕ )
 2 1
2
n


 ...
...



Vm (ϕ1 ) ... Vm (ϕn )

V1 (ϕ0 ) − g1 


V2 (ϕ0 ) − g2 




...



Vm (ϕ0 ) − gm

có cùng hạng với ma trận

 V1 (ϕ1 )


 V (ϕ )
 2 1


 ...



Vm (ϕ1 )



V1 (ϕ2 ) ... V1 (ϕn ) 


V2 (ϕ2 ) ... V2 (ϕn ) 



...
... 



Vm (ϕ2 ) ... Vm (ϕn )

(1.7)

Nếu ma trận (1.4) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và
có (n − r) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m < n.
Trường hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có một nghiệm không
tầm thường khi định thức của ma trận (1.6) bằng 0.
12


Vậy trong trường hợp m = n, hoặc bài toán biên không thuần nhất có
duy nhất nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một
nghiệm không tầm thường.
Bài toán biên hai điểm tuyến tính
Cho phương trình

F x, y, y , ..., y (n) = 0; a

x

b

(1.8)

Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.8) như sau
Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện (1.8) trên [a, b] và thỏa mãn điều
kiện ở hai đầu đoạn thẳng

ϕi y(a), y (a), ..., y (n−1) (a) = 0 ; i = 1, 2, ..., L;

(1.9)

ψj y(a), y (a), ..., y (n−1) (a) = 0 ; j = L + 1, L + 2, ..., n.

(1.10)

Nếu các phương trình (1.8), (1.9), (1.10) là tuyến tính đối với y(x), y (x),

y (x), ..., y (n) (x) thì bài toán biên (1.8) − (1.10) là bài toán biên tuyến
tính.
Để đơn giản chúng ta thường xét bài toán biên tuyến tính với n = 2. Khi
đó phương trình vi phân và điều kiện biên được viết dưới dạng

L(y(x)) = y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x), a
l0 (y(a)) = α0 y(a) + β0 y (a) = γ0 ;
l1 (y(b)) = α1 y(b) + β1 y (b) = γ1 .
13

x

b;


trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số cho trước; α0 , β0 , γ0 , α1 , β1 , γ1
là những hằng số cho trước.

14


Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CẤP HAI
Chương này trình bày ba phương pháp giải bài toán biên phương trình
vi phân tuyến tính cấp hai là phương pháp Galerkin, phương pháp Collocation, phương pháp khử lặp.

2.1. Phương pháp Galerkin
2.1.1. Nội dung phương pháp
Xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai

15


y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x); a



 α0 y(a) + β0 y (a) = A

x

b



 α1 y(b) + β1 y (b) = B
Đặt toán tử

L(y) = y + p(x)y + q(x)y;
Γa (y) = α0 y(a) + β0 y (a);
Γb (y) = α1 y(b) + β1 y (b).
Trong đó

L(y) là toán tử tuyến tính từ C[2a,b] → C[a,b] , (với C[2a,b] là tập tất cả các
hàm xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp hai).

Γa (y), Γb (y) là phiến hàm tuyến tính từ C[1a,b] → R.
Bản chất của phương pháp Galerkin là ứng dụng của giải tích hàm vào
giải phương trình vi phân.
Giả sử trên đoạn [a,b] cho dãy hàm {ϕn (x)}n=1.∞ thỏa mãn các điều kiện
sau:
1. ϕi (x) và ϕj (x) trực giao với nhau, với i = j , tức là:

2.

b
a ϕi (x)ϕj (x)dx

b
a ϕi (x)ϕj (x)dx

= 0 nếu i = j;

b
a ϕi (x)ϕj (x)dx

= 1 nếu i = j.

= 0 với i = j ;

b
a ϕi (x)ϕi (x)

16

> 0, ∀i;


3. Hệ {ϕn (x)}n=1,∞ độc lập tuyến tính.
Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng
n

ci ϕi (x)

y(x) = ϕ0 (x) +
i=1

sao cho
+ ϕ0 (x) thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhất, tức là




 Γa (ϕ0 ) = A



 Γb (ϕ0 ) = B




 Γa (ϕi ) = 0
+ ϕi (x), i = 1, n thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất, tức là


 Γb (ϕi ) = 0
Xét đại lượng không khớp
n

ck L(ϕk ) − f (x)

R(x, c1 , ..., cn ) = L(ϕ0 ) +
k=1
b

R2 (x, c1 , ..., cn )dx là nhỏ nhất. Khi đó

Ta chọn ci , (i = 1, n) sao cho
a

R(x, c1 , ..., cn ) trực giao với tất cả các hàm ϕi (x). Điều kiện trực giao
tương đương với
b

ϕi (x)R(x, c1 , ..., cn )dx = 0, (i = 1, n)
a

b

b

n

⇔

[L(ϕ0 ) − f (x)] ϕi (x)dx = 0;

L(ϕk )ck ϕi (x)dx +
k=1

a
n

⇔

b



b



L(ϕk )ϕi (x)dxck =


k=1

a

a

[−L(ϕ0 ) + f (x)]ϕi (x)dx.
a

Đặt
17

(2.1)