Không gian sobolev hs (rn), s thuộc r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

VŨ THỊ HUYỀN

KHÔNG GIAN SOBOLEV H s(Rn), s ∈ R

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG


Lời cảm ơn
Khoá luận tốt nghiệp này đã được hoàn thành với sự chỉ bảo, hướng
dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường .
Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi
Kiên Cường , người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt
thời gian làm khoá luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới
các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, cũng như các thầy cô giáo trong khoa
Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em
hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huyền

1

Lời cam đoan
Khoá luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt
tình của thầy giáo, Tiến sĩ Bùi Kiên Cường cùng với sự cố gắng của
bản thân. Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự
trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan đề tài Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R không
có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huyền

2


Mục lục

Lời mở đầu

5

1 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

7

1.1

1.2

1.3

Không gian định chuẩn và không gian Hilbert . . . . . . .

9

1.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Không gian các hàm luỹ thừa bậc p khả tích Lp (I) . . . .

12

1.2.1

Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Định nghĩa và ví dụ về không gian các hàm giảm
nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2

1.4

1.5

14

Sự hội tụ trong không gian các hàm giảm nhanh
S(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) . . . . . .

17

1.4.1

Không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . . . . . .

17

1.4.2

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) . .

18

1.4.3

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng tăng chậm
S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Biến đổi Fourier trong L1 (R) . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.1

3


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

2

1.5.2

Biến đổi Fourier trong S(Rn ) . . . . . . . . . . . .

29

1.5.3

Biến đổi Fourier trong S (Rn ) . . . . . . . . . . . .

32

Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R
2.1

2.2

36

Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.2

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Toán tử Elliptic trên không gian H s (Rn ), s ∈ R . . . . . .

43

2.2.1

Một số định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.2

Tính chất của toán tử Elliptic . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

4


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học, nó nghiên cứu các
không gian vectơ được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các
toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng. Các kết quả và phương pháp của
nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi
phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị
và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn,... Ra đời vào những
năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích
phân của Hilbert, Fredholm, Sobolev..., đến nay giải tích hàm tích lũy
được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong
việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Kiến thức trên lớp với thời gian ngắn khó có thể đi sâu nghiên cứu
về một vấn đề nào đó của bộ môn giải tích hàm, với mong muốn được
nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, và bước đầu làm quen
với công việc nghiên cứu khoa học, dưới góc độ là một sinh viên chuyên

ngành Toán, trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp em đã chọn đề
tài:
"Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R".

5


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng tăng chậm.
- Nghiên cứu về không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ
cho mục đích nghiên cứu.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Không gian các hàm giảm nhanh, hàm suy rộng tăng chậm, hàm luỹ
thừa bậc p khả tích và biến đổi Fourier trong các không gian đó.
- Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R.
5. Phạm vi nghiên cứu
Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R.
6. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo,
khoá luận gồm 2 chương:
Chương 1: Không gian các hàm suy rộng tăng chậm.
Chương 2: Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R.

6


Chương 1
Không gian các hàm suy rộng tăng
chậm
Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )
chúng ta chỉ ra một số kí hiệu được trình bày trong khoá luận.
Cho N = {1, 2, ...} là tập các số tự nhiên.
Z+ = {0, 1, 2, ...} là tập các số nguyên không âm.
R là tập các số thực.
C là tập các số phức, đơn vị ảo

√

−1 = i.

Với mỗi số tự nhiên n ∈ N, tập
Zn+ = {α = (α1 , α2 , ..., αn )| αj ∈ Z+ ; j = 1, 2, ..., n} là tập các đa chỉ số.

Nếu α, β là các đa chỉ số thì
|α| = α1 + α2 + ... + αn là bậc của α;
α! = α1 ! + α2 ! + ... + αn !;
α + β = (α1 + β1 , α2 + β2 , ..., αn + βn ).

7


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Rn là kí hiệu của không gian Euclide n chiều và x = (x1 , x2 , ..., xn ),

ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) là các phần tử trong Rn , chuẩn Euclide
n

x =

xj

1
2

j=1

tích vô hướng

n

(x, ξ) =

xj ξj
j=1

Nếu x ∈ Rn và α là một đa chỉ số thì
xα = xα1 1 xα2 2 ...xαnn
∂xk =

∂

∂xk

∂xα = ∂xα11 ∂xα22 ...∂xαnn
Dxk = −i∂xk
Dxαk = (−i)|α| ∂xα
Với mỗi k ∈ Z+ , kí hiệu các tập như sau
Ck (Rn ) = u : Rn → C | u khả vi liên tục đến cấp k .
Ck0 (Rn ) = u : Rn → C | u ∈ Ck (Rn ), suppu là tập compact .
∞

∞

Ck (Rn ) là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi

n

C (R ) =
k=1

vô hạn trên Rn .
∞

Ck0 (Rn ) là không gian tuyến tính của tất cả các hàm khả vi

n
C∞
0 (R ) =
k=1

vô hạn trên Rn với giá compact.

trong đó suppu = {x ∈ Rn | u(x) = 0} được gọi là giá của hàm liên tục u.

8


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

1.1
1.1.1

Không gian định chuẩn và không gian Hilbert
Không gian định chuẩn

Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc
P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là . và
đọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau đây
1. (∀x ∈ X)

x ≥ 0,

x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);

2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
3. (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn

là X. Các tiên đề 1., 2., 3. gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim xn − x = 0. Ký hiệu
n→∞

lim xn = x hay xn → x (n → ∞).

n→∞

Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản nếu
lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

9


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp
Ví dụ về không gian định chuẩn

Ví dụ 1.1.1. Đối với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt
x = |x|

(1.1)

Công thức (1.1) cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng
ký hiệu là R1 . Hơn nữa, R1 còn là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.2. Cho không gian vectơ k chiều Ek , trong đó Ek = {x =
(x1 , x2 , ..., xk ) : xj ∈ R hoặc xj ∈ C}. Đối với vectơ bất kỳ x = (x1 , x2 , ..., xk ) ∈
Ek ta đặt
k

|xj |2 .

x =

(1.2)

j=1

Công thức (1.2) cho một chuẩn trên Ek . Không gian định chuẩn tương
ứng ký hiệu là Ek và Ek là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.3. Cho không gian vectơ l2 . Đối với vectơ bất kỳ x = (xn ) ∈ l2
ta đặt
∞

|xn |2 .

x =

(1.3)

n=1

Công thức (1.3) cho một chuẩn trên l2 . Không gian định chuẩn tương ứng
ký hiệu là l2 , l2 là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.4. Cho không gian vectơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈
C[a,b] ta đặt
x = max |x(t)|.
a≤t≤b

(1.4)

Công thức (1.4) cho một chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương
ứng ký hiệu là C[a,b] , C[a,b] là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.5. Cho không gian vectơ L[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈
10


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

L[a,b] ta đặt
b

|x(t)|dt.

x =

(1.5)

a

Công thức (1.5) cho một chuẩn trên L[a,b] . Không gian định chuẩn tương
ứng ký hiệu là L[a,b] , L[a,b] là không gian Banach.
1.1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.5. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường
số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian
X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, ký hiệu (·, ·), thoả
mãn tiên đề
1. (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
2. (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3. (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α(x, y);
4. (∀x ∈ X)(x, x) > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không), (x, x) =
0, nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1., 2., 3., 4. gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Schwartz)
Đối với mỗi x ∈ X ta đặt
x =

(x, x)

(1.6)

Khi đó với mọi x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwartz
|(x, y)| ≤ x

11

y

(1.7)


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.6. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích
vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert.
Do đó, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.7. Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z, ...
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;
2. H được trang bị một tích vô hướng (·, ·);
(x, x), x ∈ H.

3. H là không gian Banach với chuẩn x =

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con của không gian H.

1.2

Không gian các hàm luỹ thừa bậc p khả tích
Lp(I)

1.2.1

Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.8. Giả sử I là một tập đo được theo nghĩa Lebesgue trong
không gian Rn và p là một số thực (1 ≤ p < ∞). Ta ký hiệu Lp (I) là lớp
các hàm đo được f : I → R và |f |p khả tích Lebesgue trên I, tức là
|f (x)|p dx < ∞

(1.8)

I

Ta đưa vào Lp (I) phiếm hàm u
u

p

p

được xác định bởi
p

|u(x)| dx

=

1
p

(1.9)

I

Nhận xét: Nếu u là hàm số đo được trong I sao cho u
hầu khắp nơi trên I.
12

p

= 0 thì u = 0


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.9. Một hàm f đo được trên I được gọi là chủ yếu bị chặn
trên I nếu tồn tại một hằng số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên I.
Cận dưới lớn nhất trong các hằng số k đó được gọi là esstial supremum
của |f | trên I và được ký hiệu là ess sup |f (x)|.
x∈I

Định nghĩa 1.10. Ta ký hiệu L∞ (I) là không gian vectơ gồm tất cả các
hàm u chủ yếu bị chặn trên I, các hàm này cũng được đồng nhất nếu
chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên I. Rõ ràng phiếm hàm .

∞

được xác

định bởi
u

∞

= ess sup |u(x)|
x∈I

là một chuẩn trên L∞ (I).
Định nghĩa 1.11. (Tích chập)
Cho f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞). Tích chập của f và g, ký
hiệu là f ∗ g và được xác định bởi công thức
(f ∗ g)(x) =
Rn

f (x − y)g(y)dy, x ∈ Rn .

Ta có kết quả sau
Cho f, g, h ∈ L1 (Rn ). Khi đó
f ∗ g = g ∗ f,
1.2.2

f ∗ (g ± h) = f ∗ g ± f ∗ h

Một số kết quả

Bổ đề 1.1. Nếu a, b là hai số không âm, p, q là một cặp số mũ liên hợp
1 1
thoả mãn + = 1, 1 < p < ∞ thì

p q
ap bq
ab ≤
+
p
q
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi ap = bq .
13

(1.10)


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Holder)
1 1
+ = 1, 1 < p < ∞. Khi
p q
đó nếu u ∈ Lp (I), v ∈ Lq (I) thì u.v ∈ L1 (I) và
Giả sử p, q là các cặp số liên hợp thoả mãn

|u(x)v(x)|dx ≤ u p . v

q

(1.11)

I

Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Minkowski)
Giả sử 1 ≤ p < ∞. Nếu u, v ∈ Lp (I) thì u + v ∈ Lp (I) và
u+v

p

≤ u

p

+ v

p

(1.12)

Bổ đề 1.2. Nếu u ∈ Lp (I) và λ ∈ P (P là trường số thực hoặc trường số
phức) thì λu ∈ Lp (I) và
λu

1.3
1.3.1

p

= |λ|. u

p

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn)
Định nghĩa và ví dụ về không gian các hàm giảm nhanh

Định nghĩa 1.12. Kí hiệu:
S(Rn ) =

ϕ ∈ C ∞ (Rn ) | sup xα Dβ ϕ(x) < ∞, ∀α, β ∈ Zn+
x∈Rn

Khi đó S(Rn ) với tô pô xác định bởi: Dãy {ϕm (x)} ⊂ S(Rn ) gọi là hội tụ
về 0 nếu
lim sup |xα Dβ ϕm (x)| = 0
x∈Rn

với mọi đa chỉ số α, β ∈ Zn+ , S(Rn ) được gọi là không gian các hàm giảm
nhanh (không gian Schwartz). Ta cũng thường kí hiệu S = S(Rn ).
Các phần tử của S(Rn ) được gọi là các hàm giảm nhanh.
14


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Không gian S(Rn ) được trang bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn
ϕ

α,β

= sup xα Dβ ϕ(x) ,

∀α, β ∈ Zn+

x∈Rn

Ví dụ 1.3.1. Cho hàm số ϕ(x) = e−

x

2

, x ∈ Rn . Khi đó ϕ là hàm số

thuộc không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ).
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có
x

2

= x21 + x22 + ... + x2n

nên
e−

x

2

2

2

2

= e−x1 −x2 −...−xn
2

2

2

= e−x1 e−x2 ...e−xn ,

x ∈ Rn

Mặt khác
2

2

2

Dβ ϕ(x) = (Dβ1 e−x1 )(Dβ2 e−x2 )...(Dβn e−xn )
2

2

2

= e−x1 e−x2 ...e−xn .Q(x1 , x2 , ..., xn )

= e−

x

2

.Q(x1 , x2 , ..., xn ), ∀β ∈ Zn+ ,

x ∈ Rn

trong đó Q(x1 , x2 , ...xn ) là hàm chứa các luỹ thừa của x1 , x2 , ...xn .
Do đó
xα Dβ ϕ(x) = xα .Q(x1 , x2 , ...xn ).e−

x

2

,

∀α, β ∈ Zn+

2

Ta thấy rằng lim ta .e−|t| = 0, với mọi a ∈ R.
t→∞

Từ đây suy ra
lim xα .Q(x1 , x2 , ...xn ).e−

x →∞

15

x

2

= 0,

∀α ∈ Zn+


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy ta có
sup xα Dβ ϕ(x) < ∞,
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+

do đó dẫn đến ϕ là hàm số thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh
S(Rn ).
Ví dụ 1.3.2. Không gian C0∞ (Rn ) tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá
compact trong Rn là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh
S(Rn ).
Chứng minh. Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ). Ta chứng minh ϕ ∈ S(Rn ).
Khi đó ta đặt suppϕ = K, K là tập compact trong Rn .

Với mọi x ∈
/ K, suy ra Dβ ϕ(x) = 0, ∀β ∈ Zn+ .
Do đó
sup xα Dβ ϕ(x) < ∞,
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

n
Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S(Rn ), từ đây suy ra được C∞
0 (R ) là

không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ).
1.3.2

Sự hội tụ trong không gian các hàm giảm nhanh S(Rn )

Nhắc lại từ Định nghĩa 1.12 rằng
n
Dãy hàm {ϕm (x)}∞
m=1 trong không gian S(R ) được gọi là hội tụ đến

hàm ϕ(x) ∈ S(Rn ) nếu
lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕ(x)) = 0,

m→∞ x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+

Định nghĩa 1.13. (Dãy Cauchy)

Dãy {ϕm (x)} ⊂ S(Rn ) được gọi là dãy Cauchy trong S(Rn ) khi và chỉ khi:
lim sup xα Dβ (ϕm (x) − ϕp (x)) = 0,

m,p→∞ x∈Rn

16

∀α, β ∈ Zn+


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Định lý 1.4. Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là không gian đầy
đủ.

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn)

1.4
1.4.1

Không gian hàm suy rộng D (Ω)

Trong mục này, nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu Ω là tập mở trong Rn .
Định nghĩa 1.14. Ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử với
D(Ω) = {φ ∈ C ∞ (Ω) : suppφ là tập compact trong Ω}.
Định nghĩa 1.15. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Ký hiệu không gian các
hàm suy rộng trên Ω bởi D (Ω).

Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là
f, ϕ .
Hai hàm suy rộng f, g ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu
f, ϕ

=

g, ϕ

Chú ý:
Trên D (Ω) có thể xây dựng một cấu trúc không gian vectơ trên C, nghĩa
là ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau
Các phép toán

1. Phép cộng
Với f, g ∈ D (Ω) tổng f + g được xác định như sau
f + g : ϕ −→

f + g, ϕ

=
17

f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ D(Ω)


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Khi đó f + g ∈ D (Ω), nghĩa là, f + g là phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên D(Ω).
2. Phép nhân với số phức
Với λ ∈ C, f ∈ D (Ω) tích λf được xác định như sau
λf : ϕ −→

= λ f, ϕ , ϕ ∈ D(Ω)

λf, ϕ

Khi đó λf ∈ D (Ω), nghĩa là, λf là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên D(Ω).
3. Phép nhân với một hàm trong C ∞ (Ω)
Với φ ∈ C ∞ (Ω), f ∈ D (Ω), tích φf ∈ D (Ω) được xác định như sau
φf : −→
1.4.2

φf, ϕ

=

f, φϕ , ϕ ∈ D(Ω)

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn )

Định nghĩa 1.16. Một phiếm hàm tuyến tính T trên không gian S(Rn )
được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu với mọi dãy {ϕj } các hàm thuộc
S(Rn ) hội tụ tới 0 trong S(Rn ) ta đều có T (ϕj ) → 0 khi j→ ∞.
Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm kí hiệu là S (Rn ).
Định nghĩa 1.17. (Hàm tăng chậm)

|f (x)|
dx < ∞ với
N
Rn (1 + |x|)
một số nguyên dương N nào đó được gọi là hàm tăng chậm.

Hàm f xác định và đo được trên Rn sao cho

Mệnh đề 1.1. Giả sử f là hàm chậm xác định trên Rn . Khi đó phiếm
hàm tuyến tính Tf trên S(Rn ) xác định bởi
Tf (ϕ) =

f (x)ϕ(x)dx,
Rn

là hàm suy rộng tăng chậm.
18

ϕ ∈ S(Rn )


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh. Do f là hàm chậm nên tồn tại số nguyên dương N sao cho

Rn

|f (x)|

dx < ∞
(1 + |x|)N

Khi đó với mọi ϕ ∈ S(Rn ) thì
Thật vậy, ta có
|f (x)||ϕ(x)|dx =
Rn

Rn

≤
Rn

f (x)ϕ(x)dx tồn tại.
Rn

|f (x)|
.(1 + |x|)N .|ϕ(x)|dx
N
(1 + |x|)
|f (x)|
dx. sup (1 + |x|)N .|ϕ(x)| < ∞
N
(1 + |x|)
x∈Rn

Giả sử dãy hàm {ϕj } ∈ S(Rn ) hội tụ về 0 trong S(Rn ) khi j → ∞.
Khi đó
sup (1 + |x|)N |ϕj (x)| → 0

(1.13)

x∈Rn

lại có
|Tf (ϕj )| ≤

|f (x)||ϕj (x)|dx
Rn

≤ sup (1 + |x|)N |ϕj (x)|
x∈Rn

Rn

|f (x)|
dx, ∀j
(1 + |x|)N

(1.14)

Từ (1.13) và (1.14) suy ra Tf (ϕj ) → 0 khi j → ∞.
Vậy Tf là hàm suy rộng tăng chậm.
Định nghĩa 1.18. Đạo hàm suy rộng của một hàm suy rộng tăng chậm
T xác định bởi
Dα T (ϕ) = (−1)|α| .T (Dα ϕ),

19

ϕ ∈ S(Rn )

Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.4.1. Cho hàm f là hàm khả vi cấp k trong R, f ∈ L1 (R), khi đó
Dk Tf (ϕ) = (−1)k

f (x)ϕk (x)dx
Rn

f (k) (x)ϕ(x)dx

=
Rn

= Tf (k) (ϕ)
Vậy Dk Tf = Tf (k) .
Định nghĩa 1.19. (Phép nhân của một hàm với hàm suy rộng tăng chậm)
Cho hàm f ∈ C ∞ (Rn ) thoả mãn tính chất: với mọi α là đa chỉ số, tồn tại
N ∈ Z+ sao cho
lim |x|−N |Dα f (x)| = 0

|x|→∞

Hàm f như vậy gọi là hàm tăng chậm. Kí hiệu tập hợp các hàm f ở trên
là SM (Rn ).
Với mỗi hàm suy rộng tăng chậm T ∈ S (Rn ), tích của hàm f ∈ SM (Rn )
với T , là một hàm suy rộng tăng chậm, xác định bởi

∀ϕ ∈ S(Rn )

(f T )(ϕ) = T (f ϕ),
1.4.3

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng tăng chậm
S (Rn )

Định nghĩa 1.20. Cho fk , f ∈ S (Rn ), k = 1, 2, .... Dãy {fk }∞
k=1 được gọi
là hội tụ trong S (Rn ) đến f , viết là lim fk = f nếu
k→∞

1. Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), k = 1, 2, ...

| fk , ϕ | ≤ C sup (1+ x 2 )m
x∈Rn

|α|≤m

n
2. Dãy {fk }∞
k=1 là hội tụ trong D (R ) đến f .

20


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Chú ý:
1. Khái niệm hội tụ trong S (Rn ) là phù hợp với cấu trúc tuyến tính
trên đó, nghĩa là với λ, µ ∈ C, fk , f, gk , g, ψ ∈ S (Rn ), k = 1, 2, ... có
nếu lim fk = f , lim gk = g thì lim (λfk + µgk ) = λf + µg.
k→∞

Một dãy

k→∞

{fk }∞
k=1

k→∞

được gọi là dãy Cauchy trong S (Rn ) nếu

- Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho
|Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), k = 1, 2, ...

| fk , ϕ | ≤ C sup (1+ x 2 )m
x∈Rn

|α|≤m

n
- Dãy {fk }∞
k=1 là dãy Cauchy trong D (R ).

2. Nếu a(.) ∈ C ∞ (Rn ) sao cho với mỗi α ∈ Zn+ có một số thực m = m(α)
và một số dương c = c(α) có |Dα a(x)| < c(1 + x )m thì ánh xạ biến
mỗi f thành af là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ).
3. Có các phép nhúng liên tục ε (Rn ) → S (Rn ) → D (Rn ).
−n

Ví dụ 1.4.2. Cho ϕ(x) = (2π) 2 .e

− x 2
2

. Đặt ϕε (x) = ε−n .ϕ( xε ), ε > 0 thì

ϕε , ϕ ∈ S(Rn ) ⊂ S (Rn ) và
ϕε (x)dx =

ϕ(x)dx = 1

Rn

lim

ε→0+

√
x ≥R. ε

Rn

ϕε (x)dx = lim+
ε→0

√
x ≥R. ε

ϕ(x)dx = 0

nên lim+ ϕε = δ.
ε→0

Định lý 1.5. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là không
gian đầy đủ.

21


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

1.5
1.5.1

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier trong L1 (R)

Định nghĩa 1.21. Giả sử hàm f ∈ L1 (R), chúng ta định nghĩa phép biến
đổi Fourier của hàm f bởi
+∞

−n
fˆ(λ) = (2π) 2

f (x)e−iλx dx, λ ∈ R

−∞

Ký hiệu: fˆ hay F (f ).
Vì |e±iλx | = 1 và f ∈ L1 (R) nên tích phân trên hội tụ với mỗi λ ∈ R.
Ví dụ 1.5.1. Cho

 1,
f (x) =
 0,

|x| ≤ π
|x| > π

Tìm biến đổi Fourier của hàm f ?
−n
Lời giải: Ta có fˆ(λ) = (2π) 2

+∞

f (x)e−iλx dx.

−∞
+∞

f (x)e

−iλx

−π

dx =

−∞

0.e

−iλx

π

dx +

−∞
π

1.e
−π

−iλx

+∞

dx +
π

e−iλx dx

=
−π

=
=
=
=
=

−1 −iλx π
.e
−π
iλ
iλπ
−iλπ
e −e
iλ
cos λπ + i. sin λπ − cos λπ + i. sin λπ
iλ
2i. sin λπ
iλ
2 sin λπ
λ

−n 2 sin λπ
Vậy fˆ(λ) = (2π) 2
.

λ

22

0.e−iλx dx


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Tính chất 1.5.1. Giả sử f ∈ L1 (R) và α, λ là những số thực. Nếu g(x) =
f (x).eiαx thì gˆ(λ) = fˆ(λ − α)
Chứng minh. Ta có:
gˆ(λ) = (2π)
= (2π)
= (2π)

−n
2

−n
2

−n
2

+∞
−∞
+∞

−∞
+∞

g(x).e−iλx dx
f (x).eiαx .e−iλx dx
f (x).e−i(λ−α)x dx

−∞

= fˆ(λ − α).

(Ta được điều phải chứng minh.)

Tính chất 1.5.2. Đặt fr (x) = f (rx). Khi đó ta được
1 λ
fˆr (λ) = .fˆ( )
r r
Chứng minh. Ta có
−n
fˆr (λ) = (2π) 2

+∞

f (rx).e−iλx dx

−∞

Đặt t = rx ⇒ dt = rdx.
−n 1
⇒ fˆr (λ) = (2π) 2 .

r

+∞

f (t).e

−iλt
r

dt

−∞

Hay
1 λ
fˆr (λ) = .fˆ( )
r r

(điều phải chứng minh).

Tính chất 1.5.3. Với y ∈ R, đặt fy (x) = f (x + y). Khi đó ta được
fˆy (λ) = eiλy fˆ(λ)
23


Không gian Sobolev H s (Rn ), s ∈ R

Khoá luận tốt nghiệp

Chứng minh. Ta có

+∞

−n
fˆy (λ) = (2π) 2

f (x + y).e−iλx dx

−∞

Đặt t = x + y ⇒ dt = dx.
+∞

−n
fˆy (λ) = (2π) 2

f (t).e−iλ(t−y) dt

−∞
iλy

(2π)

iλy

fˆ(λ)

= e

+∞

−n
2

f (t).e−iλt dt

−∞

= e

(điều phải chứng minh).

Tính chất 1.5.4. Nếu g(x) = f (−x) thì gˆ(λ) = fˆ(λ).
Chứng minh. Ta có
gˆ(λ) = (2π)
= (2π)

+∞

−n
2

−∞
+∞

−n
2

g(x).e−iλx dx
f (−x).e−iλx dx

−∞

Đặt t = −x ⇒ dt = −dx
gˆ(λ) = −(2π)
= (2π)

−n
2

−n
2

−∞

f (t).eiλt dt
+∞
+∞

f (t).e−iλt dt

−∞

= fˆ(λ)

(điều phải chứng minh).

Tính chất 1.5.5. Cho f ∈ L1 (R). Khi đó fˆ liên tục, bị chặn và fˆ → 0
khi |λ| → ∞.

24