ôn thi toán vào lớp 10

Trường THCS số I Bình Nguyên

Chủ đề : CĂN

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

BẬC HAI - CĂN BẬC BA

I. Mục tiêu :
-

Củng cố định nghĩa, các khái niệm về căn bậc hai, căn bậc ba.

-

Học sinh có kỹ năng biến đổi biểu thức có chứa các căn thức bậc hai, bậc ba.

-

Học sinh biến đổi thành thạo các loại bài tập về rút gọn biểu thức đơn giản, biết
tìm điều kiện có nghĩa, biết so sánh các căn bậc hai, biết chứng minh một số hệ
thức.

-

Đối với học sinh giỏi biết tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, biết tìm giá trị nguyên,
biết vận dụng các bất đẳng thức : cauchy, Bu-nhia-cốp-xki,bất đắng thức về giá trị
tuyệt đối, biết sử dụng công thức căn phức tạp.

II. Chuẩn bị : Bảng phụ tổng hợp các kiến thức của chương I, MTBT.
III. Thời lượng : Chương này được thực hiện trong 6 tiết.

-

2 tiết đầu : củng cố lý thuyết và ví dụ cơ bản.

-

2 tiết giữa : Làm các bài tập mang tính tổng quát và đa dạng.

-

2 tiết sau : Bài tập dành cho các em tự giải( bài tập tự luyện).

Giáo án tự chọn lớp 9

1


Trường THCS số I Bình Nguyên

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

Chủ đề 1: §1.CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A- Các kiến thức cần nhớ:
1. Các phép tính về luỹ thừa:
...x (x ∈ Q, n ∈ N, n > 1).
a) Định nghĩa: x n = x.x.x
n thua so

b)Các phép tính: Với a,b ∈ R và m,n ∈ Z ta có:

am.an =am + n
am: an =am - n (a ≠ 0 , m > n )
(am)n = am.n
(a.b)m = am .bm
m
am
a
  = m ( b ≠ 0)
b
b
2.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A +B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A +B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B +3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)(A2- AB +B2)
3.Biến đổi đồng nhất các phân thức đại số:
- Cộng hai phân thức cùng mẫu thức:
A B
A± B
±
=
M M
M
- Cộng và trừ hai phân thức khác mẫu thức:
A B AN ± BM
± =
M N

MN
- Nhân hai phân thức :
A C A.C
. =
B D B.D
- Chia hai phân thức:
A C A D A.D
: = . =
B D B C B.C
- Đổi dấu của phân thức:
A
−A
A
=−
=−
B
B
−B
4. Bốn tính chất của luỹ thừa bậc hai:
Tính chất 1: a2 ≥ 0, ∀a ∈ R
Tính chất 2: a2 = b2 ⇔ a = ± b.
Tính chất 3: a > b > 0 : a > b ⇔ a2 > b2
Tính chất 4: a) (a.b)2 = a2. b2
2
a2
a
b)   = 2 ( b ≠ 0)
b
b
Giáo án tự chọn lớp 9

2


Trường THCS số I Bình Nguyên
5. Biến đổi đồng nhất các căn thức:

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

A2 = A
A. B (với A ≥ 0 , B ≥ 0)

A.B =
A
=
B

A
B

( Với A ≥ 0 , B > 0 )

A2 B = A

B ( B ≥ 0)

2

 A B ( A ≥ 0, B ≥ 0)
A B =

2

− A B ( A < 0, B ≥ 0)

A
1
=
B
B

A.B ( A.B ≥ 0, B ≠ 0)

A
A B
=
( B > 0)
B
B
C
C ( A B )
=
( A ≥ 0; A ≠ B 2 )
2
A −B
A ±B
C
C( A  B )
=
( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B )
A −B

A± B

A± B =

A + A2 − B
±
2

A − A 2 − B (A > 0, B > 0; A2 –B > 0 )
2

B: CÁC BÀI TOÁN:
1. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Tính x4 - 2x3 + 3x2 -2x +2 biết x2 - x =3,
Bài 2:Tính: 8 − 2 15 − 8 + 2 15
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
1
1
+
A=
a +1 b +1
1
1
với a =
và b =
2+ 3
2− 3

Kq: 17
Kq: - 2 3

Kq: A = 1

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: A = x - y với: x = 6 − 2 5 , y = 9 + 4 5 . kq:A = - 3
2( x − y )
Bài 5: Cho biểu thức A=
; với x > 0; y > 0 .Rút gọn biểu thức A, rồi tính giá trị
x+ y
của biểu thức khi x = 3 ; y = (1 - 3 )2 kq: A = 2
2.Thực hiện phép tính:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) 2 ( 2 − 3 )( 3 + 1)
b) ( 2 + 1)( 3 + 1)( 6 + 1)(5 − 2 2 − 3 )

Giáo án tự chọn lớp 9

3

Kq: 2
Kq: 10


Trường THCS số I Bình Nguyên
Bài 2: Thực hiện phép tính:
2 +1
3 +1
1
:
a)
;Kq:

2 −1
2
4−2 3

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
 14 − 7
15 − 5 
1
:
+
; b) 
; Kq: -2

1− 3 
7− 5
 1− 2

Bài 3: Thực hiện phép tính:
275
. 0.04
a)
kq: 1 b) 3 2 − 18 (1 + 2 ) kq: - 6
11
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
15 − 6
666
−
a)
kq: 0 b) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) kq: -1
10 − 2

444
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
15 + 10
35 − 10
2 248
−
a)
b) ( 2 + 1)( 2 − 3) +
kq: a) 0 ; b) -1
3+ 2
7− 2
124
3. Chứng minh đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh hằng đẳng thức:
x − xy + z − zy
x+z
=
(y ≠ 1)
2
3
1 − 3y + 3y − y
(1 − y ) 2
Bài 2: Chứng minh rằng, nếu x3 + x - 1 = 0
x 4 − 2 x3 + x 2 − 3x + 5
thì
=3
x5 − x 2 − x + 2
HD: -Tử phân tích thành x(x3 + x - 1) - 2(x3 + x - 1) +3
-Mẫu phân tích thành x2(x3 + x - 1) - (x3 + x - 1) + 1
Bài 3: a) Chứng minh hằng đẳng thức:

2
40 2 + 57 = 4 2 + 5 HD: Chứng minh: ( 4 2 + 5 ) = 40 2 + 57
b) Tính hiệu số sau:
Bài 4: a) Cho x =

40 2 − 57 − 40 2 + 57 kq: -10

8 − 28 . Chứng minh rằng: ( 7 + 1).x = 6

8 − 28 = ( 7 − 1) 2 = 7 − 1
b) Chứng minh rằng:
2 3− 6
216  1

.
−
 8−2
 6 = −1,5 .
3


HD:

4. Rút gọn biểu thức :
2
2
x+2
 2 − 4 x 3x − x + 1
+
− 3 :

−
Bài 1: Cho A = 
x +1  x +1
3x
 3x
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức A được xác định. Rút gọn biểu

thức A.
b) Tính giá trị của A với x = 6019.
c) Với giá trị nào của x thì A < 0 ?
d) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nguyên ?
1
HD: a) A xác định khi x ≠ 0 ; x ≠ -1 ; x ≠ .
2
Giáo án tự chọn lớp 9
4


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
( x + 2)( x + 1) + 6 x − 9 x( x + 1) 2 − 4 x 3 x − x 2 + 1
:
−
A=
3 x( x + 1)
x +1
3x
2
2
2 − 8x

2(1 − 2 x) 3 x − x + 1 2(1 + 2 x)(1 − 2 x) x + 1
3x − x 2 + 1
:
−
.
−
=
=
3 x( x + 1)
x +1
3x
3 x( x + 1)
2(1 − 2 x)
3x
1 + 2 x 3 x − x 2 + 1 1 + 2 x − 3 x + x 2 − 1 x 2 − x x( x − 1) x − 1
−
=
=
=
=
3x
3x
3x
3x
3x
3
b) A = 2006
c) A < 0 khi x -1 < 0, tức là x < 1. Kết hợp với các điều kiện nêu trên, biểu thức M
1
nhận số trị âm với mọi giá trị của x < 1 trừ các giá trị

, 0 , -1
2
d) A có số trị nguyên khi x -1 : 3 tức là x -1 = 3k (k ∈ Z ) x . Suy ra x có dạng 3k
1
+ 1 . Khi x có dạng 3k+1 thì x ≠ 0 ; x ≠ -1 ; x ≠ .
2
Bài 2: Cho hai biểu thức:
( x − y ) 2 + 4 xy
x y−y x
B=
và C =
(x > 0,y > 0)
x+ y
xy
a) Rút gọn B và C.
b) Tính tích B.C với x =2y và y = 3 .
=

a) B= x + y , C = x − y b) B. C = 3
Bài 3: Cho biểu thức:
1
3
2
−
+
D=
(x ≥ 0)
x +1 x x +1 x − x +1
a) Rút gọn D.
b) Chứng minh D ≤ 1.

x
HD: a) D =
b) Cm D - 1 ≤ 0 ⇒ D ≤ 1.
x − x +1
x − 11
Bài 4: Cho E =
x−2 −3
a) Tìm điều kiện của x để E có nghĩa.
b) Rút gọn E bằng cách loại dấu căn ở mẫu thức.
c) Tính giá trị của E tại x = 23 -12 3 .
HD: a) đk của x để E có nghĩa là: x ≥ 2 , x ≠ 11
b) E = x − 2 + 3
c) E= 2 3
x −1− 2 x − 2
x − 2 −1
a) Tìm điều kiện của x để F có nghĩa
b) Tính F2
c) Rút gọn F.

Bài 5: Cho F =

Giáo án tự chọn lớp 9

5


Trường THCS số I Bình Nguyên
HD:

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

x − 2 ≥ 0
x ≥ 2


⇔ x − 1 − 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ x − 2 − 2 x − 2 + 1 ≥ 0


 x − 2 −1 ≠ 0
 x−2 ≠1

a) F có nghĩa ⇔

x ≥ 2

x ≥ 2
⇔ ( x − 2 − 1) 2 ≥ 0 ⇔ 
x ≠ 3
x − 2 ≠ 1

2

 x −1− 2 x − 2 
 = x −1− 2 x − 2 = x −1− 2 x − 2 = 1
b) F2 = 

x − 2 − 1 
x − 2 − 2 x − 2 +1 x −1− 2 x − 2

c) F2 = 1 ⇔ F = ± 1 ; x − 1 − 2 x − 2 ≥ 0 .
Do đó:

•F= 1 nếu x − 2 − 1 > 0 ⇔ x − 2 > 1 ⇔ x − 2 > 1 ⇔ x > 3 .
•F= -1 nếu x − 2 − 1 < 0 ⇔ x − 2 < 1 ⇔ 0 ≤ x − 2 < 1 ⇔ 2 ≤ x < 3
1(neu x > 3)

Vậy F = - 1(neu 2 ≤ x < 3)
Vo nghia ( neu x = 3 ; x < 2)


HD:

Bài 6: Xét biểu thức
2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
G=
x−5 x +6
x − 2 3− x
a) Tìm điều kiện của x để G có nghĩa .
b) Rút gọn G.
c) Tìm các giá trị của x sao cho G < 1.
d) Tính giá trị nguyên của x sao cho G cũng là số nguyên.
a) Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9
b) Ta có:
 x + 3 2 x +1
2 x −9
=
− 
+
G=

x − 5 x + 6  x − 2 3 − x 
=
=

( x + 3)( x − 3) − ( x − 2)(2 x + 1)
2 x −9
−
( x − 2)( x − 3)
x −5 x +6
( x − 2)( x + 1)
( x − 2)( x − 3)

c) G < 1 ⇔
⇔

x +1

=

x +1
x −3

<1 ⇔

x −3
4
<0⇔
x −3

x +1

x −3

- 1< 0

x −3< 0 ⇔

x < 3 ⇔ x < 9.

0 ≤ x < 9
Kết hợp với điều kiện ta có: 
x ≠ 4
Giáo án tự chọn lớp 9

6


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
x +1
4
= 1+
d) Ta có G =
.
x −3
x −3
4
∈ Z ⇔ x − 3 là ước của 4 ⇔ x − 3 nhận các giá trị ± 1, ±
Dể thấy G ∈ Z ⇔
x −3
2, ± 4.

Giải ta được các giá trị 1; 4; 16; 25; 49. Vì x = 4 không thỏa mãn ĐKXĐ nên x nhận các
giá trị nguyên là: 1; 16; 25; 49 thì biểu thức A có giá trị nguyên.

Giáo án tự chọn lớp 9

7


Trường THCS số I Bình Nguyên

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính
1
147
7
 a + a  a − a 
1 −
(a ≥ 0, a ≠ 1)
b) 1 +


a
+
1
a
−
1




a)

48 − 2 75 + 108 −

Bài 2: a) Chứng minh

kq: − 3
kq: 1 - a

29 − 12 5 = 2 5 − 3

b) Tính 29 + 12 5 − 29 − 12 5 kq: 6
Bài 3: Tính tổng
a) 14 + 6 5 + 14 − 6 5 kq: 6
b)

kq: 5

6 + 4 2 + 11 − 6 2

Bài 4: Rút gọn cácbiểu thức a)
Kq: a) -4

b)

1
2+ 5

1

+

2− 5

3− 5
3+ 5

3+ 5

+

b)

3− 5

Kq: a) 3

b)

10 − 72

+

1
10 + 6 2

5
7

b) 3 x = 36 . kq: a) x = 36

Bài 5: Tìm x, biết:
a) 3 + x = 3
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
a)

1

b)

4

c)

2+ 3 + 2− 3

b) x = 144

(2 − 5 )

2

−

4
(2 + 5 ) 2

c) 8

6

2

1
3

Bài 7: a) Chứng minh rằng: x − x + 1 =  x −  + với x > 0.
2
4

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Kq: b) Biểu thức

1
x − x +1

1
x − x +1

lớn nhất là

4
1
khi x = .
3
4

Bài 8: ( Dành cho HSG).Tìm số x nguyên để biểu thức
HD: Ta có

x +1
x −3

=

x −3+ 4
x −3

= 1+

4
x −3

.

x +1
x −3

nhận giá trị nguyên.

.Do x nguyên nên

x là số vô tỉ hoặc là số

nguyên.
• Với

x là số vô tỉ thì

Giáo án tự chọn lớp 9

x − 3 là số vô tỉ nên

8

4
x −3

không thể là số nguyên.


Trường THCS số I Bình Nguyên
• Với

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
4
nguyên ta phải có x − 3
x là số nguyên thì x − 3 là nguyên . Vậy để
x −3

phải là ước của 4.
Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc hai thì x ≥ 0 và

x ≥ 0.

Vậy giá trị x nguyên cần tìm phải không âm và phải thoả mãn điều kiện

x ≥ 0 và

x − 3 là ước của 4. Ta thấy 4 có các số là: ± 4 ; ± 2; ± 1 .
x − 3 = 4; suy ra x = 49;

Với ước là 4, ta có

x − 3 = − 4 ; không tồn tại x;

Với ước là -4, ta có
Với ước là 2, ta có

x − 3 = 2 ; suy ra x = 25;

Với ước là -2, ta có

x − 3 = −2 ; suy ra x =1;
x − 3 = 1 ; suy ra x = 16;

Với ước là 1, ta có

x − 3 = −1 ; suy ra x = 4.

Với ước là -1, ta có
Bài 9: Cho biểu thức

( a + b ) 2 − 4 ab

H=

a− b

−

a b +b a
ab

a) Tìm điều kiện để H có nghĩa .
b) Khi H có nghĩa, Chứng tỏ giá trị của H không phụ thuộc vào a.
a) Điều kiện để H có nghĩa là a > 0 , b > 0 và a ≠ b

HD:

b) H = -2 b . Vậy giá trị của H không phụ thuộc vào a mà chỉ phụ thuộc
vào b.
Bài 10: Cho biểu thức

x
x + 9   3 x +1 1 
:

+
I = 
  x − 3 x − x  với x > 0 , và x ≠ 9.
9
−
x
3
+
x

 


a) Rút gọn I;
b) Tìm x sao cho I < -1.
HD: a) I =

−3 x
2( x + 2)

b) I < -1 khi

−3 x
2( x + 2)

+1 =

4− x
2( x + 2)

Do 2( x + 2 ) dương nên 4 - x phải âm.Ta tìm được x > 16.
Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau:

Giáo án tự chọn lớp 9

9

có giá trị âm.


Trường THCS số I Bình Nguyên
a)

b)

2+ 3 + 2− 3 = 6
a

c)

a− b

b

−

a+ b

−

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
4
4
−
=8
2
(2 − 5 )
(2 + 5 ) 2

2b
= 1 ( với a > 0 , b > 0 ; a ≠ b )
a−b

Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
c)

x2 + 5
x2 + 4

>2

b)

(a + c)(b + d ) ≥ ab + cd (a,b,c,d đều dương)

1 1 1
1
1
1
+ + ≥
+
+
( a, b,c đều dương).
a b c
ab
bc
ca

Bài 13: Tính
a) A =

(2 + 3 ) 2 − 3
2+ 3

b) B = 17 − 3 32 + 17 + 3 32

c) C = (4 + 15 )( 10 − 6 )( 4 − 15 )

Kq: a) A= 1 b) B = 6 c) C = 6

Bài 14: Cho biểu thức:
 x+ y
x− y 
 : 1 + x + y + 2 xy 
+
K = 

1 − xy 
1 + xy  
 1 − xy
a) Rút gọn K;
b) Tính giá trị của K với x =

2
2+ 3

;

c) Tìm giá trị lớn nhất của K.
HD:

a) ĐKX Đ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1 ; K =
c) K =

2 x
6 3+2
; b) K =
;
1+ x
13

2 x 1+ x
≤
= 1 .Suy ra max K= 1 ⇔ 1 + x = 2 x ⇔ x = 1
1+ x 1+ x

Bài 15: Cho biểu thức:
 x
1  x − x x + x 


−
−
L = 

x − 1 
 2 2 x  x + 1
a) Rút gọn L;
b) Tìm gía trị của x để L > - 6.
HD: a) Đkxđ: x > 0 ; x ≠ 1 .Đặt

x = a; L = −2 x (0 < x ≠ 1)

b) 0< x < 1 v à 1< x < 9
Giáo án tự chọn lớp 9

10


Trường THCS số I Bình Nguyên
Bài 16: Cho biểu thức:

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

 x
2
+
+
M = 
 x−4 2− x

 
10 − x 
 :  x − 2 +


x + 2 
x + 2
1

a) Rút gọn M;

b)Tìm gía trị của x để M > 0.
HD: a) Đkxđ: 0 ≤ x ≠ 4; M =

1

b) M > 0 ⇔

2− x

1
2− x

>0⇔0≤ x<4

Bài 17: Cho biểu thức:
N=

x x −3
2( x − 3)
x +3
−
+
x−2 x −3
x +1
3− x

a) Rút gọn N;
b) Tính gía trị của N với x = 14 - 6 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của N
x+8

HD: a) Đkxđ: x ≥ 0; x ≠ 9 ; N =
c) N =

x+8
x +1

= x +1+

x +1

58 − 2 5
11

9

= x −1 +

9

x +1

b) N =

x +1

− 2 ≥ 2 ( x + 1).

9
x +1

−2=2 9 −2= 4

Suy ra min N = 4 ⇔ x = 4
Bài 18: Cho biểu thức:
P=

1
x +2

5

−

x− x −6

−

x −2
3− x

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD:a) Đkx đ: x ≥ 0; x ≠ 9 .P =
c) P = 1+

2
x +2

x +4

x +2

.Suy ra max P ⇔

2
x +2

m ax ⇔

Lúc đó max P = 2
Bài 19: Cho biểu thức:
 1
1   2x + x − 1 2x x + x − x 

−
 : 
+
Q = 

1
−
x
1
−
x
x
1
+
x
x


 

Giáo án tự chọn lớp 9

11

x + 2 min ⇔ x = 0 .


Trường THCS số I Bình Nguyên
a) Rút gọn Q;

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

b) Tính gía trị của Q với x = 7 - 4 3 ;
c) Chứng minh rằng Q > 1.
HD: a) Đkx đ: x > 0; x ≠ 1 , Q =
1

c) Q =

x

+ x −1 ≥ 2

1
x

1− x + x

x

b) Q = 3

. x − 1 = 1 . D ấu “=” xảy ra khi x =1 nhưng x = 1 th

ì biểu thức Q không thoả mãn . Vậy Q > 1.
Bài 20: Cho biểu thức:
 m −1
1
8 m   3 m −2
 : 1 −
 V ới m ≥ 0; m ≠ 1
−
+
R = 


9
3 m + 1 
 3 m − 1 1 + 3 m 9m − 1  
a) Rút gọn R ;
b) Tính các giá trị của m đ ể R = 1.
HD: a) Với m ≥ 0; m ≠

1
m+ m
R=
b) R = 1 ⇔ m = 1
9

3 m −1

Bài 21: Cho biểu thức:
S=

x
x −1

+

2x − x
x−x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức S xác định;
b) Rút gọn biểu thức S;
c) Tính giá trị của S khi x = 4 + 12 .
HD: a) S xác định khi x > 0; x ≠ 1 b) S =

x − 1 c) S =

Bài 22: Cho biểu thức:

x +2
x − 2  x +1
.
−
T = 

x
−

1
x
+
2
x
+
1
x


a) Rút gọn biểu thức T;
b) Tính giá trị của T khi x = 16 − 6 7 + 7 .
x > 0; x ≠ 1

HD : a) 
b) T =1
2
T = x - 1

Giáo án tự chọn lớp 9

12

3


Trường THCS số I Bình Nguyên

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

§2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Phương trình bậc nhất một ẩn:
Xét phương trình ax + b = 0 (*)
- Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -

b
a

- Nếu a = 0 thì phương trình (*) có dạng 0x + b = 0.
• Nếu b ≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm .
• Nếu b = 0 thì phương trình (*) có vô số nghiệm.
2. Phương trình bậc hai một ẩn số :
a) Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 - 4ac
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
−b+ ∆
−b− ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a
b
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 = 2a
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm .
b) Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:
1) Hệ thức Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x1,
b
c
x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là S = x1 + x2 = - ;
P = x1.x2 = .

a
a
2) Tính nhẩm nghiệm:
c
• Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 v à x2 = .
a
c
• Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1 và x2 = a
3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích
u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0 (đkiện S2 - 4P ≥ 0).
3. Một số dạng toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c phụ thuộc
vào tham số m.
Dạng 1: Định giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm.
Phương pháp giải: Có hai khả năng để pt (1) có nghiệm:
a = 0
a ≠ 0
a) 
giải tìm m. b) 
giải tìm m . Lấy toàn bộ giá trị của m tìm được ở câu a)
b ≠ 0
∆ ≥ 0
và b)
Dạng 2: Tim điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiêm phân biệt.
a ≠ 0
Phương pháp giải:Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 
Giải tìm m.
∆ > 0
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có 1 nghiệm.
Phương pháp giải: Có hai khả năng xảy ra để phương trình (1) có 1 nghiệm:
a = 0

a ≠ 0
a) 
Giải tìm m
b) 
Giải tìm m.
b ≠ 0
∆ = 0
Lấy toàn bộ m tìm được ở câu a) và b).

Giáo án tự chọn lớp 9

13


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Dạng 4:
a) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.
a ≠ 0

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆ ≥ 0 Giải tìm m
P > 0

b) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương.
a ≠ 0
∆ ≥ 0

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dương ⇔ 
Giải tìm m
P > 0

S > 0
c) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm.
a ≠ 0
∆ ≥ 0

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng âm ⇔ 
Giải tìm m
P > 0
S < 0
d) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
a ≠ 0
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ 
Giải tìm m.
 P < 0 hoac a.c < 0
e) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
a ≠ 0

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm đối nhau ⇔  P < 0 Giải tìm m.
S = 0

g) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn.
Phương pháp giải:
a ≠ 0

Pt(1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔  P < 0 .Giải tìm m.
S < 0

h) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá
trị tuyệt đối lớn hơn.

Phương pháp giải:
a ≠ 0

Pt(1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔  P < 0 .Giải tìm m.
S > 0

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có một nghiệm x = x 1. Tìm nghiệm
kia.
Phương pháp giải: Thay x = x 1 vào phương trình (1) ta được: ax 12 + bx1 + c = 0 . Giải tìm m .
Tìm x2 bằng 3 cách:
Cách 1: Thay m vào phương trình (1) giải phương trình bậc hai tìm x2.
Cách 2: Tính x2 theo S: x2 = S – x1.
P
Cách 3: Tính x2 theo P: x2 =
.
x2
Giáo án tự chọn lớp 9

14


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mản một
trong các điều kiện sau:
a) a1x1 + b1x2 = c1
b) x12 + x22 = k
1
1
+

=n
c)
d) x12 + x22 ≥ h
e) x13 + x23 = t.
x1 x 2
Phương pháp giải:
a) Trường hợp: a1x1 + b1x2 = c1:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 : ∆ ≥ 0
(*)
b

S
=
x
+
x
=
−
(1)
1
2

a

c

( 2)
P = x1.x2 =
a


(3)
a1 x1 + b1 x2 = c1



Giải hệ (1) và (3) tìm x 1 và x2 thay vào (2) giải
tìm m. Chọn m thoả mãn điều kiện (*).
b)
Trường
hợp
x12
+
x22
=
k
2
⇔ ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = k (4) Thay S và P vào (4)
ta được: S2 -2P = k giải tìm m. Chọn m thoả mãn
(*).
c)
Trường
hợp:

1
1
+
= n ⇔ x1 + x 2 = nx1 x 2 ⇔ −b = nc (5) Giải tìm m. Chọn m thoả mãn (*).
x1 x 2
d) Trường hợp: x12 + x22 ≥ h ⇔ S 2 − 2 P − h ≥ 0 (6) giải tìm m thoả mãn (*).
e) Trường hợp x13 + x23 = t ⇔ S 3 − 3PS = t (7) giải tìm m. Chọn m thoả mãn (*).

Dạng 7:
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆ ≥ 0 với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆ > 0 với mọi giá trị của m.
c) Chứng minh rằng phương trình (1) vô nghiệm với mọi giá trị của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆ < 0 với mọi giá trị của m.
B.CÁC BÀI TOÁN:
1. Phương trình bậc nhất:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) ( x - 2)2 - (x + 3)2 = 2(x - 5)
b) 2x 2 - 1 = 3 + 2 6
c) 1 + 3x = 2 2 - x 2
x +1
= 2+ 3
d)
x −1
2 x 3( x − 1)
+
=5
e)
x +1
x
1
2x + 1
3
− 2
+
=0

f)
2x − 2 x + x + 1 2x + 2
5
3
Kq: a) x =
; b) x = 2 + 3 ; c) x = 2 − 1 ; d)x = 3 ;e) Đk: x ≠ 0,x ≠ -1; kq: x = 12
5
f) đk: x ≠ ±1 , kq: x = 0
Bài 2: Giải phương trình:
2
a) x − 3 − 5 x = 7
b) x + 3 = 5 − x
HD: a) x = - b) x =1
3
Giáo án tự chọn lớp 9

15


Trường THCS số I Bình Nguyên
2. Phương trình bậc hai một ẩn số:

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

Bài 1: Cho hai phương trình x2 + x + a = 0 , x2 + ax + 1 = 0
Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
HD: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình;
Ta có: x02 + x0 + a = 0 (1) ; x02 + ax0 + 1 = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có x0 + a - ax0 -1 = 0 ⇔ x0(1 - a) - (1 - a) = 0 ⇔ (1 - a)(x0 - 1) = 0
1 − a = 0

a = 1
⇔
⇔
 x0 − 1 = 0
 x0 = 1

a = 1: cả hai phương trình trở thành x 2 + x + 1 = 0 có ∆ = 1 - 4 = -3 < 0 . Phương
trình vô nghiệm , a =1 (loại)
x0 = 1 thay vào (1) ta có 12 +1 + a = 0 ⇔ a = -2, a = -2 cả hai phương trình có một
nghiệm chung là 1. Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho phương trình x2 - (2m - 3)x + m2 -3m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: 1< x1 < x2 < 6.
HD: a) ∆ = (2m - 3)2 - 4(m2 - 3m) = 4m2 -12m + 9 - 4m2 +12m = 9, ∆ = 9 > 0 .
Phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi.
2m − 3 + 3
2m − 3 − 3
= m ;x =
= m−3.
b) ∆ = 3 . Hai nghiệm của phương trình là: x =
2
2
Ta có : 1 < x1 < x2 < 6. Do đó 1 < m - 3 < m < 6 ⇔ 4 < m < 6.
Bài 3: Cho phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0 (có ẩn số là x)
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
HD:a)
Với m = -1 Phương trình trở thành -2x - 4 = 0 ⇔ x = -2
≠
Với m -1 ; ∆' = (m + 2)2 - (m + 1)( m - 3) = 6m + 7. Phương trình có nghiệm ⇔

7
7
.Kluận: Phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ ∆' ≥ 0 ⇔ 6m + 7 ≥ 0 ⇔ m ≥ 6
6
7
b) Điều kiện m ≥ ; m ≠ -1.
6
2(m + 2)

S = x1 + x 2 = m + 1
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
.Do đó: (4x1+1)(4x2+1) = 18 ⇔
 P = x .x = m − 3
1 2
m +1

16( m − 3) 8(m + 2)
⇔ 16x1x2+ 4(x1+ x2)- 17 = 0 ⇔
+
− 17 = 0
m +1
m +1
m ≠ −1

⇔ 16(m -3) + 8(m + 2) -17( m+1) = 0
⇔ m = 7. Vậy m = 7 thoả điều kiện: 
7
m ≥ − 6
Vậy m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1+1)(4x2+1) = 18.
Bài 4: Cho phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + m - 6 = 0.

a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
3

3

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 − x 2 = 50 .
Giáo án tự chọn lớp 9

16


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
2
2
2
HD: ∆ = (2m + 1) − 4(m + m − 6) = 4m + 4m +1 - 4m2 - 4m + 24 =25, ∆ = 25 = 5 .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2m + 1 + 5
2m + 1 − 5
= m + 3; x =
= m− 2
x=
2
2
m + 3 < 0
 m < −3
⇔
⇔ m < −3
a) Phương trình có hai nghiệm đều âm ⇔ 

m − 2 < 0
m < 2
3

3

3
3
b) x1 − x2 = 50 ⇔ (m − 2) − (m + 3) = 50

3m2 + 3m + 7 = 10 (1)
⇔ 3m2 + 3m + 7 = 10 ⇔ 
2
3m + 3m + 7 = −10 (2)
−1+ 5
−1− 5
Giải (1) ta được: m1 =
; m2 =
2
2
− 1+ 5
− 1− 5
Giải (2) : phương trình vô nghiệm.Vậy m =
hoặc m =
thì phương
2
2
3
3
trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mản x1 − x2 = 50 .

Bài 5: Các nghiệm x1, x2 của một phương trình bậc hai thỏa mãn
 x1 + x 2 − 2 x1 x 2 = 0

mx1 x 2 − ( x1 + x 2 ) = 2m + 1
a) Tìm phương trình bậc hai đã nói.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt đều
dương.
HD: a) Từ giả thiết, ta tìm được:
2m + 1

 x1 x2 = m − 2

 x + x = 2(2m + 1)
1
2
m− 2

2(2m + 1)
2m + 1
2
x+
= 0 (1)
Do đó: x1, x2 là nghiệm của phương trình x −
m− 2
m− 2
b) Phương trình (1) có hai nghiệm đều dương
(2m + 1)(m + 3)

≥ 0 ( 2)
∆ ' =

(m − 2) 2
1


m ≤ −3; m ≥ −



 2m + 1 
2 ⇔ m ≤ −3; m > 2
⇔ S = 2
(3) ⇔ 
>0
 m−2 

m < − 1 ; m > 2


2
2m + 1
P
=
>
0
(
4
)

m−2


(

m ≠ 2

Để ý rằng (2) ⇔ 
1
m ≤ −3 hoac m ≥ - 2

)

Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4)
a) Giải phương trình f(x) = 24
Giáo án tự chọn lớp 9

17


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
HD: a) (x -1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 24 ⇔ (x2 + 2x − 3)(x2 + 2x − 8) = 24
Đặt x2 +2x - 8 = t ⇔ t (t + 5) =24 ⇔ t2 + 5t - 24 = 0 (1)
Giải phương trình (1), ta có: t =-8 ; t = 3
• Với t = - 8, ta có: x2 + 2x - 8 = - 8 ⇔ x(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ; x = - 2.
− 1 − 2 3
.
• Với t = 3, ta có : x2 + 2x - 8 = 3 ⇔ x2 + 2x - 11 = 0 ⇔ x = 
Vậy phương
− 1 + 2 3

trình có bốn nghiệm: -1 - 2 3 ; -2; 0 ; -1 + 2 3 .
2

25
 5  25
b) f ( x ) = t + 5t =  t +  −
≥− .
4
4
 2
2

Suy
⇔t=−

ra :GTNN

của

hàm

số

f(x)

bằng −

25
4

5
− 2 ± 26
.
⇔ 2 x 2 + 4 x − 11 = 0 ⇔ x1, 2 =
2
2

Bài 7: Chứng minh rằng: x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để
phương trình đó có hai nghiệm là hai số đối nhau.
32 7
2
2
HD: ∆' = (m − 1) − m + 3 = m − 3m + 4 = (m − ) + > 0 . Vậy pt luôn luôn có
2
4
P < 0
m − 3 < 0
⇔
nghiệm với mọi m. Pt có hai nghiệm đối nhau ⇔ 
S = 0
2(m − 1) = 0
m < 3
⇔
⇔ m = 1 . (hai nghiệm đối nhau là x = ± 2 )
m = 1
Bài 8: Giải các phương trình
a) x2 - 4x - 21 = 0

b)

21
− (x2 − 4x + 6) = 0 ; kq: a) {7;−3} ; b) {1;3}
x − 4x + 10
2

Bài 9: Chứng minh rằng: x 2 + ( m + 1)x + m = 0 luôn luôn có nghiệm, nhưng không thể
có hai nghiệm dương.
HD: ∆ = (m + 1)2 − 4m = m2 + 2m + 1 − 4m = (m − 1)2 ≥ 0 . Pt luôn có nghiệm với
mọi m.
c
b
ta có: P = = m ; S = − = −(m + 1) .
a
a
• Nếu m < 0 pt có hai nghiệm trái dấu tức là không thể có hai nghiệm dương,
• Nếu m > 0 thì S = -(m+1) < 0 nên pt có hai nghiệm âm tức là không thể có hai nghiệm
dương.
• Nếu m = 0 thì pt có hai nghiệm trái dấu: x = 0 và x = -1. Vậy với mọi m pt luôn có
nghiệm nhưng không thể có hai nghiệm dương.
Bài 10: Cho phương trình (m-2)x2 – 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình (1) với m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giáo án tự chọn lớp 9

18


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Bài 11: Định giá trị của tham số m để phương trình x2 + m(m + 1)x + 5m + 20 = 0

Có một nghiệm x1 = -5 .Tìm nghiệm kia.
Bài 12: Cho phương trình x2 + mx + 3 = 0
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm kia.
Bài 13: Cho phương trình x2 – 8x + m + 5 = 0
a) Xác định mọi giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào thì phương trình có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phương trình trong trường hợp này.
Bài 14: a) Định m để phương trình chỉ có một nghiệm mx2 + 2(m-1)x +2 = 0
b) Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp đó.
Bài 15: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 5 – m = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -1 . Tìm nghiệm kia.
b) Giải phương trình khi m = -6.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Với m tìm được ở câu c) . Viết hệ thức giữa x1 và x2 độc lập đối với m.
Bài 16: Cho phương trình x2 + (4m + 1 )x + 2(m – 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 – x1 = 17.
b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghịêm không phụ thuộc m.
Bài 17: Cho phương trình : x2 – 2(m + 3)x + 4m -1 = 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài18: Chứng minh rằng phương trình x2 - (m - 2)x - 2m = 0 luôn luôn có nghiệm với
mọi tham số m.
Bài 19:Với giá trị nào của a, tổng các nghiệm của phương trình x 2 + (2 - a - a 2)x -a2 = 0
bằng không?
Bài 20:Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm. Tìm các
nghiệm của phương trình đã cho theo m.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m sao cho x 12 + x22 đạt
giá trị nhỏ nhất.

Bài 21:Cho phương trình ẩn x: 2x2 + (2m - 1)x + m -1 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm Tìm m để
phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.
b) Tìm m để cả hai nghiệm của phương trình đều là số âm.
Giáo án tự chọn lớp 9
19


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2x1 - 2x2 =11.
Bài 22: Gọi hai nghiệm của phương trình x2 -7x - 11 = 0 là x1, x2. Hãy lập một phương
trình bậc hai có các nghiệm là x1 + x2 và x1x2.
Bài 23: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6 = 0. Tìm m để
phương trình có hai nghiệm đều là số dương.
Bài 24: Gọi hai nghiệm của phương trình x 2 - 5x - 7 = 0 là x 1 và x2. Hãy lập một phương
trình bậc hai có các nghiệm là: x1 +1 và x2 +1.
Bài 25: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m -1)x + m -3 = 0. Chứng minh rằng với mọi m
phương trình luôn có nghiệm. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm đối nhau.
Bài 26:Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m + 2)x +2m +3 = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1 + 1)(4x2 +1) = 25.
Bài 27: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là
tổng và tích các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 28: Gọi hai nghiệm của phương trình bậc hai x 2 + (m - 3)x -1 = 0 là x 1, x2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của x12 + x22 .

Bài 29: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m + 1)x + m2 +3 = 0 .
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2(x1 +x2) -3 x1x2 + 9 = 0.
Bài 30: Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 -5x - 6 = 0. Hãy lập một phương trình có
các nghiệm là x1 + 2 và x2 + 2.

Bài 31: Giải các phương trình sau:
a) x2 -2( 3 -1)x - 2 3 = 0

b) x 2 − 2( 3 + 1) x + 2 3 = 0

c) x 2 − 2( 2 + 1) x + 4 + 3 2 = 0

d) 3x2 +12x -66 = 0

e) x 2 − x( 2 + 3 ) + 6 = 0
kq: a) 3 + 1; 3 − 3

b)

3 + 3; 3 − 1

Bài 32: Giải các phương trình sau:
a) x4 -13x2 + 36 = 0

c) vn d) − 2 ± 26 e)

b) 3 x − 7 x + 4 = 0
21
− x 2 + 4x − 6 = 0

d) 2
x − 4 x + 10

x + x−5
3x
+ 2
+4=0
x
x + x−5
16
kq: a) ± 2;±3 b) 1;
c) − 1 ± 6 ;1;−5
9
2

c)

3. Hệ phương trình:
A. Hai cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số:
Giáo án tự chọn lớp 9

20

d) -1; 3

2; 3


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

ax + by = c (1)
Xét hệ phương trình 
(*)
a ' x + b' y = c' (2)
Mỗi nghiệm của hệ phương trình (*) là một cặp số (x 0,y0) đồng thời nghiệm đúng cả hai
phương trình (1) và (2) .
a) Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp thế:
- Rút x (hoặc y) từ một trong hai phương trình của hệ .
- Thay x (hoặc y) theo y (hoặc x) vào phương trình kia.
- Giải phương trình bậc nhất ẩn y (hoặc x) , tìm giá trị của y (hoặc x) rồi thay giá trị này
vào một trong hai phương trình của hệ để tìm x (hoặc y).
b) Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp cộng đại số:
- Bằng phép biến đổi tương đương để đi đến một ẩn cùng tênở hai phương trình có hệ số
bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
- Cộng vế theo vế nếu hai hệ số đó đối nhau, trừ vế với vế nếu hai hệ số đó bằng nhau.
- Đưa hệ đã cho tương đương với hệ gồm một phương trình của ẩn và một trong hai
phương trình của hệ đã cho.
B. Các bài toán về hệ phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
1
 2
3

+
=5
x
=
−

2x + y = 5

x = 4
x+ 1 y− 1

4
a) 
b) 
a) Kq: 
b) 
2
3x − 2y = 18
 y = −3
 3 − 2 = 18
y =

 x + 1 y − 1
3
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
y
 7x
+
=3

7x + y = 3
 6 − x 10 + y
a) 
b) 
 x + 3y = −11
 x + 3y = −11
 6 − x 10 + y
x = 1

x = 3
kq: a) 
b) 
 y = −4
 y = −8
Bài 3: Định giá trị của tham số m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
mx + y = 3 (1)
kq: m = -1

 x + my = 3 ( 2)
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
x + y = 8
 xy = 10
a)  2
b)
 2
2
2
 x + y = 34
 x + y = 29
x = 5
x = 3
x = 2
 x = 5  x = −2  x = −5
hoac 
; 
; 
; 
kq: a) 
b) 

y = 3
y = 5
y = 5
 y = 2  y = −5  y = −2
Bài 5: Giải hệ phương trình:
 x = 2 − 1
3 x + y = 2
kq:


 y = 3 − 2 2
2 x + y = 1

4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
A. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Giáo án tự chọn lớp 9

21


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài
toán và kết luận.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Bài 1: Một người đi bộ khởi hành từ vị trí A đến vị trí B. Sau đó 5 giờ 20 phút một người đi xe
đạp bắt đầu từ A đuổi theo người đi bộ với vận tốc nhanh hơn người đi bộ 12km mỗi giờ và cả
hai cùng đến B một lúc. Tính vận tốc của người đi bộ biết rằng đoạn đường AB dài 20km.
HD: Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi bộ ( x > 0 ) thì vận tốc của người đi xe đạp là x + 12
(km/h).
20
20
16
−
=
pt:
⇔ x2 + 12x − 45 = 0 . Suy ra: x1 = 3;x2 = -15(loại).Vậy vận tốc của
x x + 12 3
người đi bộ là: 3 km/h.
Bài 2: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ
1
nhất chảy trong 15 phút và vòi thứ hai chảy trong 20 phút thì đầy
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy
5
một mình thì phải bao lâu mới đầy bể?.
HD: Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (x>0, x tính bằng giờ). Gọi thời gian
1 1 2
x + y = 3

vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (y > 0 , y tính bằng giờ).Ta có hệ pt: 
1 + 1 =1
 4x 3y 5
3
Đáp số: Thời gian vời thứ nhất chảy một mình đầy bể là x = 3 giờ, vòi thứ hai chảy một mình
4

1
đầy bể là y = 2 giờ.
2
Bài 3: Một phòng họp có 500 chỗ ngồi. Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người ta kê thêm ba dãy ghế
và mỗi dãy xếp thêm 2 chỗ. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp.
616 500
−
= 2 ⇒ x2 - 55x + 750 = 0 ; x 1= 25, x2 = 30.
HD: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x. Pt:
x+ 3
x
500
∉ N. Vậy số dãy ghế lúc đầu là 25
Loại giá trị x = 30 làm cho số người trên mỗi dãy ghế là
30
dãy.
Bài 4: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau 5 giờ 20 phút ca nô chạy từ bến A đuổi
theo và đuổi kịp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh
hơn thuyền 12km/h?
HD: Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h), điều kiện x > 0 , vận tốc của ca nô là x +12 (km/h)
20
20
16
⇔ x2 +12x - 45 = 0 , x1 = 3; x2 = -15 (loại) . Vậy vận tốc của thuyền là
−
=
pt:
x x + 12 3
3km/h.
Bài 5: Một tầu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km. Cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận

tốc của tầu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
HD: Gọi vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/h), (x > 4).
Giáo án tự chọn lớp 9

22


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
80
80
25
4
+
=
pt:
⇔ 5x2 − 96x − 80 = 0 , x1 = 20; x2 = - ( loại).
x+ 4 x− 4
3
5
Vậy vận tốc của tầu thủy là 20km/h.
Bài 6: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 ngày 12 phút thì xong ( vôi vữa và gạch có
công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6
3
giờ thì cả hai xây dụng được
bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong
4
bức tường?
HD: Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x (giờ), thời gian người thứ
5

1 1
 x + y = 36

hai xây một mình xong bức tường là y ( giờ), (x > 0, y > 0). Ta có hệ pt: 
5 + 6 = 3
 x y 4
 x = 12
⇔
 y = 18
Kluận: Người thứ nhất xây một mình trong 12 giờ thì xong bức tường.
Người thứ hai xây một mình trong 18 giờ thì xong bức tường.
Bài 7: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở
B,rồi trở về bến A.Thời gian kể từ lúc đi đến lúc về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi
nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.
HD: Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x ( km/h), x > 3.
30
30
2
3
+
+ = 6 hay 4x2 - 45x -36 = 0. Giải x1 = 12, x2 = - (loại).
Pt:
x+ 3 x− 3 3
4
Vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.

§3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
A. Kiến thức cần ghi nhớ:
1. Hàm số bậc nhất:
a) Một hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a phải khác 0 ( a ≠ 0 ) thì được gọi là hàm số bậc

nhất đối với biến x .
b) Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b
• Hàm số xác định ∀x ∈ R .
• Hàm số đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
c) Vị trí tương đối của hai đường thẳng y = ax + b (d ) và y = a'x + b' (d') trong đó a ; a' khác
không ta có: a ≠ a' ⇔ (d) và (d') cắt nhau.
a = a' và b ≠ b' ⇔ (d) // (d').
a = a' và b = b' ⇔ (d) và (d') trùng nhau.
2. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
a) Tính chất :
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0, y > 0 với mọi x ≠ 0; y = 0 khi
x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0, y < 0 với mọi x ≠ 0; y = 0 khi
x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.
b) Đồ thị:
Đồ thị của hàmm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc toạ độ O, gọi là parabol, nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Điểm O gọi là đỉnh của parabol.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Giáo án tự chọn lớp 9

23


Trường THCS số I Bình Nguyên
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
a >0

a<0

y
B.CÁC BÀI
TOÁN:
1. Hàm số
bậc nhất:
Bài 1: Viết
phương trình
của đường
thẳng thỏa
mãn
một
trong
các
điều
kiện
sau:

y

O
O

x

x

 1 4
a) Song song với đường thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm A  ;  .
 3 3
2 

b) Cắt trục hoành tại điểm B  ;0 và cắt trục tung tại điểmC(0;3).
3 
HD: a) Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng y = 2x - 3 nên phải có hệ số a = 2. Ta có
 1 4
pt của đường thẳng có dạng y = 2x + b . Đường thẳng đi qua điểm A  ;  , nên ta có
 3 3
4
1
2
2
= 2. + b ⇔ b = . Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là y = 2x + .
3
3
3
3
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm C(0;3), nên ta có b = 3. Đường thẳng cắt trục hoành tại
2
2
2 
điểm B  ;0 nên ta có 0 = a. + b = a = −3 ⇔ a = −4,5 . Vậy pt cần tìmlà y = -4,5x + 3.
3
3
3 
Bài 2: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ vẽ đồ thị của hàm số :
y=-x+5
(d)
2
10
y = x+
(d')

3
3
Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.
b) Hai đường thẳng (d) và (d') lần lượt cắt trục hoành tại hai điểm B và C . Tìm diện tích tam
giác ABC (đơn vị trên hai trục là cm).
2
10
HD: a) Vẽ đồ thị y = - x + 5 và y = x +
.
3
3
 x = 0; y = 5
y = - x + 5⇔ 
 y = 0; x = 5

Giáo án tự chọn lớp 9

24


Trường THCS số I Bình Nguyên
10

2
10
 x = 0; y =
⇔
3
y= x +
3

3
 y = 0; x = −5

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

y
5

A

4

10
3
-5

5
O 1

C

B

x

y = −x + 5

Toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng là nghiệm của hệ pt: 
2
10 .

 y = 3 x + 3
2
10
⇔ −3x + 5 = 2x + 10 ⇔ x = 1 ⇒ y = 4 .Vậy
Pt hoành độ giao điểm là: − x + 5 = x +
3
3
A(1;4)
b) Diện tích tam giác ABC: Ta có B(5;0),C(-5;0) ⇒ BC = 10; AH = 4. Vậy diện tích tam giác
ABC:
1
1
S ∆ABC = BC .AH = .10.4 = 20(cm2 ) .
2
2
2.Hàm số y = ax2 (a ≠ 0):
Bài1: a) Xác định hệ số a của hàm số y = ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(1;-1).
b) Vẽ đồ thị của hàm số đó.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 3.
d) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ bằng -3.
e) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đôi hoành độ.
HD: a) a = -1
b) vẽ đồ thị của hàm số y = -x2
c) Thay x = 3 vào y = - x2 ,tìm được y = -9. Điểm phải tìm là B(3;-9).
d) Thay y = -3 vào y = -x 2 ,tìm được x = ± 3 . Các điểm phải tìm là
C ( 3;−3); C ' (− 3;−3)
e) Tập hợp các điểm có tung độ gấp đôi hoành độ là đường thẳng y = 2x.
Giải hệ phương trình:
 y = 2x


2 Tìm được (0;0) và (-2;-4). Đó là hai điểm phải tìm.
y = −x
1 2
Bài 2: a) Vẽ đồ thị của hàm số y = x (P).
2
Giáo án tự chọn lớp 9

25