Tập lồi và một số tính chất của tập lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Bùi Ngọc Mười

Hà Nội – 2017


Ký hiệu toán học

R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Tập tất cả các vectơ có n chiều.

B

Hình cầu đóng có tâm tại x bán kính r = 1.

., .

Tích giữa các phần tử của H.

cl C

Bao đóng C .

int

Phần trong của C .

conv E

Bao lồi của E .

i

Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU
1 Các
1.1
1.2
1.3
1.4

khái niệm
Tập afin .
Tập lồi . .
Phần trong
Bao lồi . .

1
cơ bản của tập lồi
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
tương đối và bao đóng
. . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

2
2
4
6
9

2 Các định lí tách cơ bản của tập lồi

10

3 Cấu trúc hình học và biểu diễn tập lồi
3.1 Siêu phẳng tựa . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mặt và điểm cực biên . . . . . . . . . .
3.3 Biểu diễn của một tập lồi . . . . . . . .
3.4 Cực của tập lồi . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

12
12
13
14
16

.

.
.
.

18
19
20
22
22

4

Tập đa diện lồi
4.1 Mặt của khối đa diện . . . .
4.2 Đỉnh và cạnh của khối đa diện
4.3 Cực của một khối đa diện . . .
4.4 Biểu diễn của khối đa diện lồi

Tài liệu tham khảo

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

25

ii

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết về tập lồi và các tính chất của tập lồi có một vị trí quan
trọng trong toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học
như giải tích, hình học,...Có thể nói nghiên cứu về tập lồi và các tính chất
của tập lồi là một trong những đề tài được rất nhiều các nhà khoa học
quan tâm. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về giải tích nhằm bổ sung
kiến thức cho bản thân em đã chọn đề tài "Tập lồi và một số tính chất
của tập lồi". Luận văn gồm bốn chương.

Chương 1 "Các khái niệm cơ bản của tập lồi" trình bày một số khái
niệm có liên quan đến tập lồi.
Chương 2 "Các định lý tách cơ bản của tập lồi"
Chương 3 "Cấu trúc hình học và cách biểu diễn tập lồi" đưa ra hình
ảnh minh họa cho các khái niệm được xét trong Chương 1 và Chương 2.
Chương 4 "Khối đa diện lồi" trình bày điều kiện để một tập lồi là
một đa diện và các tính chất của đa diện.

1


Chương 1
Các khái niệm cơ bản của tập lồi

1.1

Tập afin

Định nghĩa 1.1. Cho a, b là hai điểm thuộc Rn . Tập hợp tất cả các
điểm x thuộc Rn có dạng: x = (1 − λ)a + λb = a + λ(b − a), λ ∈ R được
gọi là đường thẳng đi qua a và b.

Tập M ⊂ Rn được gọi là tập afin ( hay còn gọi là đa tạp afin) nếu nó
bao hàm mọi đường thẳng bất kì đi qua hai điểm nằm trong nó.
Tức là: (1 − λ)a + λb ∈ M, ∀λ ∈ R.
Tập afin bao hàm điểm gốc thì được gọi là không gian con.
Định lý 1.1. (Xem [1, Proposition 1.1. P.3]) Tập M = ∅ là tập afin
nếu và chỉ nếu M = a + L, với a ∈ M và L là không gian con.
Mệnh đề 1.1. Không gian con L được gọi là song song với tập afin M .
Có duy nhất một tập M = ∅ và song song với không gian con L.
Số chiều của không gian con L song song với tập afin M được gọi là
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

số chiều của M .
Ví dụ 1.1.1. Điểm a ∈ Rn được gọi là tập afin có số chiều bằng 0 bởi
vì không gian con song song với tập M = {a} là L = {0}.
Đường thẳng đi qua hai điểm a và b là tập afin có số chiều là 1.
Vì không gian con song song với nó là không gian con 1 chiều x =
{λ(b − a)|λ ∈ R}.
Tập afin (n − 1) chiều được gọi là siêu phẳng.
Định lý 1.2. (Xem [1, Proposition 1.2. P.4])
Mọi tập afin r-chiều có dạng:
M = {x|Ax = b}, b ∈ Rn , A ∈ Rm×n sao cho: rank A = n − r.
Ngược lại, mọi tập có dạng trên là tập afin r-chiều.
Hệ quả 1.1. (Xem [1, Corollary 1.1. P.4]) Mọi siêu phẳng là tập có
dạng:
H = {x| a; x = α}, a ∈ Rn \{0}, α ∈ R

(1.1)

Ngược lại, mọi tập có dạng (1.1) là một siêu phẳng.
Vectơ a trong định nghĩa (1.1) được goi là vectơ pháp tuyến đến siêu
phẳng H.
Giao của họ các tập afin là một tập afin.
Với E ⊂ Rn cho trước tồn tại tập afin bé nhất bao gồm E là Rn . Tập
như vậy được gọi là bao afin của E và kí hiệu là : aff E.
Định lý 1.3. (Xem [1, Proposition 1.3. P.4]) Bao afin của tập E là tập
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

gồm tất cả các điểm có dạng:
x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk sao cho xi ∈ E, λ1 + λ2 + ... + λk = 1.
Định lý 1.4. (Xem [1, Proposition 1.4. P.5]) Bao afin của tập k điểm
x1 , x2 ,..., xk (k > r) trong Rn là r-chiều nếu và chỉ nếu ma trận cấp
(n + 1) × k:



1

2

... x

k

x

x

1

1 ... 1


 (∗)

có hạng là r + 1.
Hệ quả 1.2. (Xem [1, Corollary 1.2. P.5]) Bao afin M của tập k các
điểm afin độc lập là:
{x1 , ..., xk } ∈ Rn là tập afin (k − 1) chiều. ∀x ∈ M , ta có cách biểu
diễn duy nhất: x =

1.2

k
i
i=1 λi x ,

k
i=1 λi

= 1.

Tập lồi

Định nghĩa 1.2. Cho hai điểm a, b ∈ Rn , tập hợp tất cả các điểm
x = (1 − λ)a + λb thỏa mãn 0 ≤ λ ≤ 1 được gọi là đoạn thẳng đi qua
hai điểm avà b. Kí hiệu [a, b].
Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua
hai điểm bất kì nằm trong nó. Hay nói cách khác, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C,
với a, b là hai điểm bất kì trong C và 0 ≤ λ ≤ 1 thì ta nói C là tập lồi.
Định nghĩa 1.3. Điểm x thỏa mãn: x =
0,

k
i=1 λi

k
i i
i=1 λi a , a

∈ Rn , với λi ≥

= 1 được gọi là một tổ hợp lồi của a1 , a2 , ..., ak ∈ Rn .
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Định lý 1.5. (Xem [1, Proposition 1.5. P.6]) Tập C ⊂ Rn là tập lồi nếu

và chỉ nếu nó bao hàm tất cả các tổ hợp lồi cơ bản của nó.
Định lý 1.6. (Xem [1, Proposition 1.6. P.7]) Giao của một họ các tập
lồi là một tập lồi. Nếu C, D là tập lồi thì C + D := {x + y|x ∈ C, y ∈ D};
βC := {βx|x ∈ C} là một tập lồi.
Định nghĩa 1.4. Tập M ⊂ Rn được gọi là mặt nón nếu:
x ∈ M, λ > 0 ⇒ λx ∈ M .
Gốc 0 của nó có thể không nằm trong tập M .
Mặt nón M không bao gồm đường thẳng nào thì được gọi là điểm.
Trong trường hợp 0 cũng được gọi là đỉnh của M và a + M là nón với
đỉnh tại a.
Định lý 1.7. (Xem [1, Proposition 1.7. P.7]) Tập M ⊂ Rn là nón lồi
nếu và chỉ nếu:
λM ⊂ M, ∀λ > 0.

(1.2)

M +M ⊂M

(1.3)

Hệ quả 1.3. (Xem [1, Corollary 1.4. P.8])
Cho E là một nón lồi. Tập {λx|x ∈ E, λ > 0} là nón lồi nhỏ nhất
chứa E.
Nón sinh bởi E kí hiệu là cone E.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Phần trong tương đối và bao đóng

Định nghĩa 1.5. Chuẩn trong Rn là ánh xạ

.

đi từ Rn đến R thỏa

mãn:
x ≥ 0, ∀x ∈ Rn , x = 0 ⇔ x = 0.

(i)

αx =| α | .

(ii)

x+y ≤ x

(iii)

x

, ∀x ∈ Rn , α ∈ R.
y , x, y ∈ Rn .

+

Ví dụ 1.3.1. Chuẩn cơ bản trong Rn là chuẩn lp :
x

p=

(

n
i=1

1

| xi |p ) p , 1 ≤ p ≤ ∞.

Và chuẩn l∞ :
x

∞=

max1≤i≤n | xi | được gọi là chuẩn Tchebycheff.

Chuẩn l2 có thể được định nghĩa thông qua tích vô hướng. Có nghĩa
là:
x =

x, x được gọi là chuẩn Ơ-clit.

Cho chuẩn . trong Rn , khoảng cách giữa hai điểm x, y ∈ Rn là một

số không âm, kí hiệu là: x − y .
Hình cầu tâm a, bán kính r là tập hợp {x ∈ Rn | x − a ≤ r}.
Định lý 1.8. Với hai chuẩn

. ,

mãn:
c1

x ≤ x

≤ c2

x , ∀x ∈ Rn .

6

.

trong Rn , ∃c2 ≥ c1 > 0 thỏa


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Bao đóng và miền nằm trong của tập C kí hiệu lần lượt là là cl C và
int C.
Tóm lại:
a ∈ cl C nếu và chỉ nếu hình cầu quanh a tại điểm lớn nhất của C

hoặc tương đương a là giới hạn dãy điểm của C.
a ∈ int C nếu và chỉ nếu hình cầu quanh a hoàn toàn nằm trong C.
Hệ quả 1.4. (Xem [1, Corollary 1.6. P.9]) Một điểm của tập lồi C ⊂ Rn
là điểm nằm trong của C nếu ∀x ∈ Rn , ∃α > 0 thỏa mãn:
a + α(x − a) ∈ C.
Số chiều của tập lồi được định ghĩa bằng số chiều của bao afin. Tập
lồi C ⊂ Rn được gọi là số chiều toàn phần nếu dim C = n.
Định lý 1.9. (Xem [1, Proposition 1.10. P.10]) Bao đóng và điểm trong
tương đối của tập lồi là tập lồi.
Cho C ⊂ Rn là tập lồi chứa điểm gốc. Hàm số pC : Rn → R thỏa
mãn:
pC (x) = inf{λ > 0|x ∈ λC} được gọi là độ đo của C.
Định lý 1.10. (Xem [1, Proposition 1.11. P.11]) Hàm độ đo pC (x) của
tập lồi C ⊂ Rn , 0 thuộc phần trong tương đối của nó thỏa mãn:
(i) pC (αx) = αpC (x), ∀x ∈ Rn , α > 0.
(ii) pC (x + y) ≤ pC (x) + pC (y), ∀x, y ∈ C.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

(iii) pC là hàm liên tục.
(iv) int C = {x|pC (x) < 1} ⊂ C ⊂ cl C = {x|pC (x) ≤ 1}.
Hệ quả 1.5. (Xem [1, Corollary 1.7. P.11]) Nếu a ∈ int C, b ∈ cl C, thì
x = (1 − λ)a + λb ∈ int C, ∀λ ∈ [0, 1). Nếu tập lồi C có phần trong khác
rỗng thì cl(int C) = cl C, int(cl C) = int C.
Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập lồi trong Rn , vectơ y khác 0 được
gọi là phương lùi xa của C nếu:

{x + λy|λ ≥ 0} ⊂ C, ∀x ∈ C.

(1.4)

Mệnh đề 1.2. (Xem [1, Lemma 1.1. P.11]) Tập hợp tất cả các phương
lùi xa của C là một tập lồi. Nếu C là tập đóng thì (1.4) thỏa mãn điều
kiện. Nếu C là tập đóng và {x + λy|λ ≥ 0} ⊂ C, với x ∈ C. Nón lồi được
xây dựng bởi tất cả các phương lùi xa và vectơ 0 được gọi là nón lùi xa
của C và kí hiệu là rec C.
Định lý 1.11. (Xem [1, Proposition 1.12. P.12]) Cho C ⊂ Rn là tập lồi
bao gồm điểm a nằm trong nó.
(i) ∀x = a, nửa đường thẳng Γ(x, a) = {a + λ(x − a)|λ > 0} cũng hoàn
toàn nằm trong C hoặc nó cắt giới hạn của ∂C tại một điểm duy
nhất σC mà mọi điểm nằm trong đọn thẳng [a, σ(x)], trừ σ(x) đều
là điểm nằm trong của C.
(ii) Ánh xạ σ(x) là xác định và liên tục trong tập Rn \(a + M ) khi M =
rec(int C) = rec(cl C) là một tập đóng.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Hệ quả 1.6. (Xem [1, Corollary 1.8. P.13]) Tập lồi đóng C ⊂ Rn (C = ∅)
là giới hạn nếu và chỉ nếu tập lồi lùi xa của nó là tập chỉ có duy nhất
điểm {0}.

1.4

Bao lồi

Mọi tập E ⊂ Rn cho trước, đều tồn tại một tập lồi bao hàm E. Đó là
Rn . Phần giao nhau của tất cả các tập lồi bao hàm E được gọi là Bao
lồi của E và kí hiệu là : conv E.
Định lý 1.12. (Xem [1, Proposition 1.13. P.13])Bao lồi của tập E ⊂ Rn
gồm có tất cả các tổ hợp của tất cả các phần tử của nó. trong đó
νkc :=

gk
gk

k

.

Như vậy, ∀x ∈ conv E có thể biểu thị như một tổ hợp lồi của hữu hạn
các điểm của E.
Định lý 1.13. Định lí Caratheodory’s Cho E là tập chứa trong tập afin
−
k-chiều. Khi đó, ∀→
x ∈ conv E có thể biểu thị như tổ hợp lồi của k+1
hoặc ít hơn các phần tử của E.

9


Chương 2
Các định lí tách cơ bản của tập lồi

Khái niệm tách là một trong nhứng khái niệm rất hữu ích của định lí
lồi. Đầu tiên chúng ta đi nghiên cứu các định lí như sau:
Định lý 2.1. (Xem [1, Lemma 1.2. P.18]) Cho C là một tập con lồi
→
−
(C = ∅) của Rn . Nếu 0 ∈
/ C thì ∃ t ∈ Rn thỏa mãn:
sup t, x > inf t, x ≥ 0.
x∈C

x∈C

(2.1)

Ta nói rằng hai tập con khác rỗng C, D của Rn là tách bởi 1 siêu
phẳng x, xˆ = α(t ∈ Rn \{0}) nếu:
inf t, x ≥ α ≥ sup t, y .

x∈C

(2.2)

y∈D

Định lý 2.2. (Định lí tách đầu tiên)
Hai tập lồi rời nhau, khác rỗng C, D trong Rn có thể tách bởi một
siêu phẳng.
Nhận xét 2.1. Một số ví dụ mẫu trước đó có một vài dãy của kết quả
10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

trên , nó là có ích để nhắc lại một tính chất cơ bản của hàm tuyến tính:
Một hàm tuyến tính l(x) := t, x với t ∈ Rn \{0} không bao giờ đạt
giá trị nhỏ nhất (hoặc giá trị lớn nhất) trong tập C tại điểm trong của
C. Nếu nó là giới hạn trên (hoặc dưới) trên một tập afin thì nó là một
số không đổi trong tập afin đó.
Nếu tập D trong định lí trên tập mở thì (2.4) dẫn đến:
t, x ≥ α > t, y , ∀x ∈ C, y ∈ D.
Hệ quả 2.1. (Xem [1, Corollary 1.10. P.20]) Nếu một tập afin C không
thỏa mãn cắt một tập mở D thì tồn tại một siêu phẳng chứa C và cắt D.
Hệ quả 2.2. (Xem [1, Lemma 1.3. P.20])Cho C là một tập lồi khác rỗng
trong Rn . Nếu C là đóng và 0 ∈
/ C thì tồn tại một t ∈ Rn \{0} thỏa mãn:
t, x ≥ η > 0, ∀x ∈ C.
Định nghĩa 2.1. Hai tập con C, D khác rỗng của Rn được gọi là "tách
mạnh mẽ" bởi một siêu phẳng t, x = α(t ∈ Rn {0}, α ∈ R) nếu
inf x∈C t, x > α > supy∈D t, y .

(2.5)

Định lý 2.3. (Định lý tách thứ 2)
Cho C, D là hai tập lồi, đóng, rời nhau và khác rỗng nằm trong Rn
thỏa mãn: C hoặc D là tập compact có thể tách mạnh mẽ bởi một siêu
phẳng.

11

Chương 3
Cấu trúc hình học và biểu diễn tập
lồi

3.1

Siêu phẳng tựa

Định nghĩa 3.1. Một siêu phẳng H = {x| t, x = α} được gọi là một
siêu phẳng tựa tới tập lồi C ⊂ Rn nếu tại điểm nhỏ nhất x0 ∈ C ⊂ H :
t, x0 = α và tất cả các điểm của C nằm trong nửa không gian xác định
bởi H, nói: t, x ≥ α, ∀x ∈ C. Một phần không gian t, x ≥ α được gọi
là một phần không gian phụ tới C.
Định lý 3.1. (Xem [1, Theorem 1.5. P.21]) Qua mọi điểm giới hạn x0
của một tập lồi C ⊂ Rn , tồn tại siêu phẳng tựa nhỏ nhất đến C.
Pháp tuyến t đến siêu phẳng H tới C tại x0 được mô tả bởi điều kiện:
t, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ C.

(3.1)

Vectơ t thỏa mãn điều kiện đó sẽ không tạo thành góc tù với mọi đường
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

thẳng trong C với x0 như điểm cuối.
Nó chỉ gọi là pháp tuyến hay chính xác hơn là pháp tuyến trong đến
C tại điểm x0 .
Tập tất cả các vectơ pháp tuyến t đến C tại x0 được gọi là nón pháp
tuyến đến C tại x0 . Kí hiệu là : NC (x0 ).
Định lý 3.2. (Xem [1, Proposition 1.15. P.22]) Cho C là một tập lồi
đóng, ∀y 0 ∈
/ C, ∃x0 ∈ ∂C thỏa mãn: x0 − y 0 ∈ NC (x0 ) với mọi siêu phẳng
tựa đến C tại x0 .
Định lý 3.3. (Xem [1, Theorem 1.6. P.23]) Một tập lồi đóng C, mà
không phải là rỗng và cũng không phải toàn bộ không gian, sẽ là giao
của tất cả các siêu phẳng tựa của nó.

3.2

Mặt và điểm cực biên

Định nghĩa 3.2. Một tập lồi con F của tập lồi C được gọi là mặt của
C nếu với mọi đường thẳng trong C với họ các điểm nằm trong F nằm
trọn trong F , tức là :
x, y ∈ C, (1 − λ)x + λy ∈ F, 0 < λ < 1 ⇔ [x, y] ⊂ F.

(3.2)

Vì tập ∅ và C chính là mặt của C.
Mặt đúng của C là mặt mà không là tập rỗng cũng không là chính
nó.
Mặt của một nón lồi chính là một nón lồi.
13

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Định lý 3.4. (Xem [1, Proposition 1.16. P.23]) Giao của một tập lồi C
với siêu phẳng tựa H là một mặt của C.
Mặt 0 - chiều của C được gọi là điểm cực biên. Mặt khác, điểm cực
biên của C là điểm x ∈ C mà không phải là điểm trong của mọi đường
thẳng với hai điểm mút khác nhau trong C.
Nếu mặt lồi C có một siêu phẳng và chiều của siêu phẳng được gọi là
hướng cực biên của C.
Định lý 3.5. (Xem [1, Proposition 1.17. P.24])Cho E là một tập bất kì
nằm trong Rn .Mọi điểm cực biên của C = conv E thuộc vào E.
Một điểm a bất kì cho trước của một tập lồi luôn luôn tồn tại một
mặt nhỏ nhất của C chứa a. Kí hiệu là Fa .
Định lý 3.6. (Xem [1, Proposition 1.18. P.24]) Fa là hợp của a và tất
cả các điểm x ∈ C với x là một điểm của đường thẳng [x, y] ⊂ C với a
như một điểm trong tương đối.
Hệ quả 3.1. (Xem [1, Corollary 1.11. P.25])Nếu một mặt F1 của tập lồi
C là một tập con riêng của một mặt của mặt F2 thì dim F1 < dim F2 .
Hệ quả 3.2. (Xem [1, Corollary 1.12. P.25]) Một mặt F của một tập
lồi, đóng của C là một tập đóng.

3.3

Biểu diễn của một tập lồi

Định nghĩa 3.3. Cho C là một tập lồi khác rỗng. Tập (rec C) (− rec C)
được gọi là không gian tuyến tính hóa (lineality − space) của C.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

→
−
Nó thực sự là tập con lớn nhất chứa trong rec C và gồm có 0 và tất
cả các vectơ khác 0 sao cho: ∀x ∈ C đường thẳng đi qua x theo hướng
của y được chứa trong C.
Số chiều của tập con tuyến tính của C được gọi là lineality của C.
Một tập lồi C của lineality 0 tức là: (rec C) (− rec C) = {0}, không
chứa đường thẳng nào. Vì vậy ta thường gọi nó là line - free.
Định lý 3.7. (Xem [1, Proposition 1.20. P.26]) Cho C là một tập lồi,
đóng, khác rỗng có điểm cực trị nếu và chỉ nếu nó không chứa đường
thẳng nào.
Kí hiệu của một tập các điểm cực trị của C là U (C) và tập các hướng
cực trị của C là V (C).
Định lý 3.8. (Xem [1, Theorem 1.7. P.26]) Cho C ⊂ Rn là một tập lồi
đóng mà không chứa đường thẳng nào. Khi đó:
C = conv V (C) + cone U (C).

(3.3)

Mặt khác, x là một điểm bất kì thuộc C có thể được biểu diễn dưới
dạng: x =

i∈I

λi v i +

j∈J

µj uj .

Với I, J là tập hữu hạn các chỉ số, v i ∈ V (C), ui ∈ U (C), λi ≥ 0, µj ≥ 0,
i∈I

λi = 1.

Hệ quả 3.3. (Xem [1, Corollary 1.14. P.27]) Cho C là một tập lồi,
compact, khác rỗng. Khi đó C có ít nhất một điểm cực biên và mọi siêu
phẳng tựa H đến C chứa ít nhất một điểm cực biên của C.
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.4

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Cực của tập lồi

Theo định lí trên, một tập lồi, đóng mà không rỗng cũng không đủ là
hoàn toàn xác định bởi tập của siêu phẳng tựa của nó. Vòng ngoài của
nó có tính hai mặt tương ứng có thể thiết lập giữa một tập lồi và tập
của siêu phẳng tựa đó.

Với một tập bất kì của E trong Rn , tập E 0 = {y ∈ Pn | y, x ≤ 1, ∀x ∈ E}
được gọi là cực của E.
Nếu E là một nón lồi, đóng sao cho: λE ⊂ E, ∀x ∈ E thì điều kiện
y, x ≤ 1, ∀x ∈ E tương đương với y, x ≤ 0, ∀x ∈ E.
Vì vậy, cực của một nón M là nón M 0 = {y ∈ Rn | y, x ≤ 0, ∀x ∈ M }
. Cực của không gian con cũng như một phần bù trực giao của nó.
Định lý 3.9. (Xem [1, Proposition 1.22. P.29])
Nếu M1 , M2 ⊂ Rn là một nón lồi, đóng thì :
(M1 + M2 )0 = M10 ∩ M20 , (M1 ∩ M2 )0 = M10 + M20 .
Cho tập C ⊂ Rn ,hàm số x ∈ Rn −→ sc (x) = supy∈C x, y được gọi là
hàm tựa của C.
Định lý 3.10. (Xem [1, Proposition 1.23. P.29])Cho C là một tập lồi,
đóng, bao hàm 0
(i) Độ đo của C là một hàm tựa của C 0 .
(ii) Nón lùi xa của C và bao đóng của một nón sinh ra bởi C 0 là cực
lẫn nhau.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

(iii) Tập con tuyến tính của C và không gian con sinh ra bởi C là phần
bù trực giao của nhau. Với C và C 0 là hoán vị của nhau.
Hệ quả 3.4. (Xem [1, Corollary 1.15. P.30]) Với mọi tập lồi đóng
C ⊂ Rn chứa 0 ta có:
dim C 0 = n − lineality C. (1)
lineality C 0 = n − dim C. (2)
Số dim C − lineality C được gọi là rank C.

Ta có rank C = dim(C

L⊥ ), với L là không gian tuyến tính hóa

của C.
Khi đó: rank C = rank C 0

17


Chương 4
Tập đa diện lồi
Định nghĩa 4.1. Một tập lồi được gọi là đa diện nếu nó là giao của hữu
hạn họ các nửa không gian đóng. Tập đa diện lồi cũng được gọi là khối
đa diện.
Mặt khác, một khối đa diện là tập nghiệm của một hệ hữu hạn của
bất đẳng thức tuyến tính có dạng :
ai , x

bi , i = 1, ..., m.

(4.1)

hoặc ma trận tuyến tính có dạng :
Ax

b.

(4.2)

khi A là ma trận cấp m × n của hệ ai và b ∈ Rm .
Vì một đẳng thức tuyến tính có thể biểu diễn thành hai bất đẳng
thức , một khối đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ của đẳng thức
và bất đẳng thức tuyến tính có dạng :

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

ai , x = bi , i = 1, ..., m1 .
ai , x ≤ bi , i = m1 + 1, ..., m.
Hạng của hệ của các bất đẳng thức tuyến tính dạng (4.2) là định
nghĩa hạng của ma trận A. Khi đó nó bằng số của bất đẳng thức,ta nói
rằng bất đẳng thức này là độc lập tuyến tính.
Định lý 4.1. (Xem [1, Proposition 1.24. P.30])
Khối đa diện D = ∅ định nghĩa bởi hệ (4.2) có số chiều r nếu và
chỉ nếu hệ con của (4.2) hình thành bởi bất đẳng thức mà thỏa mãn như
đẳng thức bởi tất cả điểm của D có hạng n − r.
Hệ quả 4.1. (Xem [1, Corollary 1.16. P.31])Khối đa diện (4.2) là đủ
chiều nếu và chỉ nếu x0 thỏa mãn ai , x0 ≤ bi , ∀i = 1, ..., m.

4.1

Mặt của khối đa diện

Như trên, ký hiệu bởi D khối đa diện (4.2) và cho:
I0 = {i | ai , x = bi , ∀x ∈ D}.

Định lý 4.2. (Xem [1, Theorem 1.8. P.31])Một tập con khác rỗng của
D là một mặt của D nếu và chỉ nếu:
F = {x | ai , x = bi , i ∈ I; ai , x ≤ bi , i ∈
/ I}

(4.3)

với tập chỉ số I sao cho I0 ⊂ I ⊂ {1; ...; m}.
Định nghĩa 4.2. Một mặt riêng của chiều cực trị của một khối đa diện
được gọi là một mặt nhỏ ( một diện). Nếu F là một diện của D thì khi
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

đó nó là một số k ∈ I0 thỏa mãn:
F = {x ∈ D| ak , x = bk }.

(4.4)

Tuy nhiên, không phải mọi mặt ở dạng đó đều là một diện.
Bất đẳng thức ak , x ≤ bk được gọi dư nếu bỏ đi bất đẳng thức này
từ (4.2) mà không làm ảnh hưởng gì đến khối đa diện D.
Tức là, hệ (4.2) bằng với : ai , x ≤ bi , i ∈ {1, 2, ..., m}\{k}.
Định lý 4.3. (Xem [1, Proposition 1.25. P.32]) Nếu Bất đẳng thức
ak , x ≤ bk , với k ∈
/ I0 là không dư thì (4.5) là một diện.

4.2

Đỉnh và cạnh của khối đa diện

Một điểm cực trị (mặt 0-chiều) của một khối đa diện được gọi là một
đỉnh và mặt 1-chiều được gọi là một cạnh.
Hệ quả 4.2. (Xem [1, Corollary 1.17. P.33])
(i) Một điểm x ∈ D là một đỉnh nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn như một
đẳng thức của n bất đẳng thức độc lập tuyến tính từ (4.1).
(ii) Một đường thẳng (hoặc nửa đường hoặc đường) Γ ⊂ D là một cạnh
của D nếu và chỉ nếu nó là một tập điểm của D thỏa mãn như đẳng
thức (n − 1) bất đẳng thức độc lập tuyến tính từ (4.1).
Định lý 4.4. (Xem [1, Theorem 1.9. P.33]) Cho x0 là một đỉnh không
suy biến của khối đa diện đủ chiều D định nghĩa bởi hệ (4.2).
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

Khi đó, nó là đúng n cạnh của D bắt nguồn từ x0 .
Nếu I là tập của các chỉ số của bất đẳng thức thỏa mãn bởi x0 như
đẳng thức thì ∀k ∈ I một cạnh xuất phát từ x0 theo hướng z là định
nghĩa bởi hệ:
ak , z = −1, ai , z = 0, i ∈ I \ {k}.

(4.5)

Một khối đa diện liên kết với nhau được gọi là một hình đa diện.

Định lý 4.5. (Xem [1, Proposition 1.26. P.34])Một hình đa diện r-chiều
có ít nhất r + 1 đỉnh.
Một khối đa diện mà là một bao lồi của r điểm afin độc lập x1 , x2 , ..., xr+1
được gọi là r -đơn hình và được kí hiệu là [x1 , x2 , ..., xr+1 ].
Một đỉnh bất kì của một khối đa diện phải là một trong các điểm
x1 , x2 , ..., xr+1 và nó phải có ít nhất r+1 đỉnh, chính xác là x1 , x2 , ..., xr+1 .
Nếu D là một khối đa diện r-chiều thì tập bất kì của k ≤ r + 1 đỉnh
của D xác định là r- đơn hình mà nó là mặt r-chiều của D.
Ngược lại, một mặt bất kì r - chiều của D là của dạng đó.
Định lý 4.6. (Xem [1, Proposition 1.27. P.34]) Một nón lùi xa của khối
đa diện ( 4.2) là một nón M := {x|Ax ≤ 0}.
Như vậy, hướng cực trị của một khối đa diện (4.2) là giống như hướng
cực trị của nón Ax ≤ 0.

21