Nghiên cứu vai trò của người điều khiển trong viễn chuyển trạng thái lượng tử của hai qubit bất kì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THỊ LINH XUÂN

VAI TRÒ CỦA NGƢỜI ĐIỀU
KHIỂN TRONG VIỄN CHUYỂN TRẠNG THÁI
LƢỢNG TỬ HAI QUBIT BẤT KÌ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HỢP

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo Nguyễn Văn Hợp, người đã hết lòng dạy dỗ, động viên và cho em nhiều lời
khuyên sâu sắc, quý báu trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô trong khoa Vật Lí trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật Lí Lí Thuyết đã tận tình
giảng dạy, chỉ bảo cho em trong suốt thời gian em học tập tại khoa.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã luôn bên
tôi và khích lệ tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc.
Hà Nội, tháng 6 – 2017
Học viên

Hoàng Thị Linh Xuân

2


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 4
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 4
4. Giả thiết khoa học ................................................................................................... 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 4
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 5
7. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................... 5
8. Bố cục luận văn ....................................................................................................... 5
9. Những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả ........................................... 5
Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN .......................................................... 6
1.1. Bit lƣợng tử, cách biểu diễn qubit ................................................................ 6
1.2. Rối lƣợng tử .................................................................................................... 8
1.2.1. Độ rối lượng tử..................................................................................... 12
1.2.2. Phép đo lượng tử .................................................................................. 15
1.3. Các cổng logic lƣợng tử ............................................................................... 18
1.3.1. Cổng lượng tử đơn qubit ...................................................................... 18
1.3.2. Cổng lượng tử hai qubit ....................................................................... 22
Chƣơng 2. GIAO THỨC VIỄN CHUYỂN HAI QUBIT KHÔNG CÓ ĐIỀU
KHIỂN...................................................................................................................... 25
2.1. Cặp trạng thái Bell ....................................................................................... 25
2.2. Trạng thái Cluster ....................................................................................... 32
Chƣơng 3. GIAO THỨC VIỄN CHUYỂN HAI QUBIT CÓ ĐIỀU KHIỂN .... 39

3.1. Ngƣời điều khiển nắm một qubit ............................................................... 39
3.1.1. Các bƣớc của giao thức ............................................................................ 40

3


3.1.2. Phân tích quyền lực của ngƣời điều khiển. ............................................ 52
3.2. Phân tích độ tin cậy trung bình và quyền lực điều khiển khi ngƣời điều
khiển nắm bốn qubit .................................................................................... 59
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 67

4


DANH MỤC BẢNG SỐ VÀ HÌNH VẼ
Trang
Bảng số
Bảng 1.1.

Các hình thái vật lý của qubit ..................................................................8

Bảng 1.2.

Biểu diễn ma trận và biểu diễn hình học của các cổng logic lượng tử
đơn qubit thường gặp............................................................................. 22

Bảng 2.1.

Tóm tắt kết quả viễn chuyển 2 qubit không điều khiển sử dụng kênh

rối Bell ................................................................................................... 31

Bảng 2.2.

Tóm tắt kết quả viễn chuyển 2 qubit không điều khiển sử dụng kênh
rối Cluster .............................................................................................. 37

Bảng 3.1.

Tóm tắt kết quả viễn tải thông tin trong viễn chuyển hai qubit ............ 51

Hình vẽ
Hình 1.1.

Biểu diễn trạng thái của một qubit trên mặt cầu Bloch ...........................7

Hình 1.2.

Biểu diễn hình học của cổng lượng tử 2 qubit CNOT ..........................23

Hình 1.3.

Cổng CNOT tạo ra trạng thái rối cực đại Bell   khi qubit điều
khiển là

0 1
2

(tạo bởi cổng Hadamard khi đầu vào là trạng thái 1

và qubit mục tiêu là 1 .........................................................................24
Hình 1.4.

Sử dụng 3 cổng CNOT để tạo ra cổng Swap, cổng tráo trạng thái 2
qubit (với x, y = {0, 1}). ........................................................................24

Hình 1.5.

Kết hợp cổng CNOT với các cổng Hadamard để thay đổi vai trò giữa
qubit điều khiển và qubit mục tiêu. .......................................................24

Hình 2.1.

Sơ đồ tạo trạng thái Bell ........................................................................ 27

Hình 3.1.

Sơ đồ mô tả quá trình tạo trạng thái rối Q1

12345

.............................40

Hình 3.2. Mô hình cặp rối, Alice thực hiện phép đo Bell ................................41
Hình 3.3. Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của Fabcd vào  . ......................................58

5


Hình 3.4. Đồ thị biểu diễn quyền lực của người điều khiển phụ thuộc vào tham số

 . .......................................................................................................... 59
Hình 3.5.

Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của Fabcd vào 1 và  2 ..............................63

Hình 3.6. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của Fabcd trong trường hợp

1  2   ............................................................................................64

6


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý học là môn khoa học thực nghiệm, vì vậy các lý thuyết vật lý đưa ra phải
phù hợp với hiện tượng thực tế. Vật lý học cổ điển đóng vai trò quan trọng trong sự
phát triển của vật lý nói chung, là hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ trong
phạm vi ứng dụng của nó, nhưng chỉ cho kết quả phù hợp với thực nghiệm đối với các
hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến cuối thế kỉ 19. Vào thế kỉ 20 xuất hiện những
hiện tượng không thể giải thích được bằng lí thuyết của vật lý cổ điển như tính bền của
nguyên tử, bức xạ vật đen....từ đó đã dẫn đến sự ra đời của cơ học lượng tử.
Cơ học lượng tử là khoa học nghiên cứu chuyển động của vật chất ở thang hạt
nguyên tử hay nhỏ hơn. Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỉ 20 do
Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max
Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Ernst Pauli và một số người khác tạo
nên. Có nhiều phương pháp toán học mô tả cơ học lượng tử, chúng tương đương với
nhau. Một trong những phương pháp được dùng nhiều nhất đó là lý thuyết biến đổi do
Paul Dirac phát minh nhằm thống nhất và khái quát hóa hai phương pháp toán học
trước đó là phương pháp cơ học ma trận của Werner Heisenberg và cơ học sóng của

Erwin Schrödinger. Theo các phương pháp toán học mô tả thì cơ học lượng tử không
cho ra các quan sát có giá trị xác định mà thay vào đó, nó tiên đoán một phân bố xác
suất, tức là xác suất để thu được một kết quả khả dĩ từ một phép đo nhất định. Các xác
suất này phụ thuộc vào trạng thái lượng tử ngay tại lúc tiến hành phép đo. Tuy vậy
ngay từ đầu không phải cơ học lượng tử đã được công nhận lý thuyết đầy đủ. Có nhiều
nhà vật lý đã không chấp nhận sự tồn tại của cơ học lượng tử đặc biệt là Einstein.
Einstein cho rằng cơ học lượng tử không hoàn chỉnh, ông cho rằng vật lý học phải mô
tả thiên nhiên đúng sự thật của. Sự mâu thuẫn giữa quan điểm của Einstein và cơ học
lượng tử với quan điểm bảo vệ của Bohr lên đến đỉnh điểm khi Einstein cùng
Podolskup và Rosen đưa ra nghịch lý EPR. Nghịch lý là lý luận dựa trên những mâu

1


thuẫn nội tại để dẫn giải tới kết quả, mặc dù kết quả đó chưa đúng. EPR chỉ ra mâu
thuẫn giữa tính chất định xứ và tính chất hoàn thiện của cơ học lượng tử, EPR quả
quyết rằng định xứ luôn được bảo toàn và cơ học lượng tử không bảo toàn. Họ cho
rằng, dựa trên những lập luận đinh xứ, cơ học lượng tử không đầy đủ và không miêu tả
hoàn toàn thế giới vật chất mà chúng ta quan sát, trải nghiệm. Năm 1964 Jonh Bell tìm
ra bất đẳng thức Bell và đã chứng minh rằng những giả thuyết hiện thực và định xứ đều
không phù hợp với cơ học lượng tử. Tuy nhiên, phương pháp luận và tính nguyên bản
của EPR đã giúp nó trở thành kinh điển, và nhờ có bài bái này cơ học lượng tử được
xem là một lý thuyết hoàn chỉnh và tách biệt hoàn toàn với thế giới hiện thực được mô
tả bởi cơ học Newton một cách định lượng.
Trong thời gian gần đây, dựa trên lí thuyết của cơ học lượng tử đã hướng đến một
ngành khoa học mới gọi là thông tin lượng tử. Khoa học thông tin lượng tử có tính chất
cách mạng và hứa hẹn nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng trong khoa học kỹ thuật và
đời sống con người. Nó dựa trên các quy luật toán học, vật lý, khoa học máy tính và kỹ
thuật. Nguyên tắc của nó là dựa trên lý thuyết lượng tử để khai thác, áp dụng một cách
tối ưu vào truyền tải và xử lý thông tin. Sự phát triển của ngôn ngữ thông tin theo sự

phát triển của lịch sử và xã hội loài người ngày càng có những bước thay đổi vượt bậc.
Việc trao đổi thông tin được nghiên cứu và tính toán cụ thể chi tiết cho việc bảo mật,
tránh việc thông tin bị giả mạo. Khoa học thông tin lượng tử hoàn toàn có thể đưa ra
cho con người những phương thức trao đổi thông tin hữu hiệu với độ bảo mật chính
xác cao. Do vậy việc nghiên cứu lý thuyết về các lĩnh vực truyền tải thông tin lượng tử
là cần thiết và quan trọng hiện nay. Đặc biệt, phương thức truyển tin bằng viễn chuyển
trạng thái lượng tử có thể thực hiện ở những khoảng cách rất xa và có độ bảo mật cao.
Viễn chuyển trạng thái lượng tử do Charles H.Bennett, Gilles Brassard, Claude
Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres và William K.Wootters đề xuất vào năm 1993[6].
Để hiểu được viễn chuyển lượng tử là gì đầu tiên ta cần hiểu được rối lượng tử. Rối
lượng tử là một đối tượng quan trọng nhất trong thông tin lượng tử. Nó thể hiện sự

2


khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển. Rối lượng tử là sự tồn tại
trạng thái chung của hai hay nhiều hệ lượng tử con có mối quan hệ ràng buộc nhau.
Khi các hạt lượng tử được rối nhau thì không thể biết được trạng thái riêng của từng
hạt, nhưng hoàn toàn có thể biết được trạng thái tồn tại chung của chúng.
Để hình dung về viễn chuyển lượng tử ta ví dụ như sau: Alice được giao nhiệm vụ
là chuyển cho Bob ở rất xa so với Alice một trạng thái lượng tử mà cả hai đều không
biết thông tin về nó. Trạng thái lượng tử được mã hóa sau đó giao cho Alice. Nhiệm vụ
này rất khó bởi nếu đo thì Alice chỉ biết được một phần thông tin của trạng thái lượng
tử. Alice cũng không thể sao chép lại vì chưa biết thông tin và việc gửi trực tiếp cho
Bob cũng gặp nhiều rủi ro trong quá trình truyền vì nó hoàn toàn có thể bị đánh cắp
trên đường truyền tới Bob hay bị thất lạc, làm giả...Vậy làm cách nào để Alice có thể
chuyển cho Bob trạng thái này một cách nguyên vẹn và an toàn? Thật may mắn là
trước đó Alice và Bob đã được tạo với nhau một cặp rối và nhiệm vụ này được hoàn
thành chỉ bằng việc Alice gửi đi một lượng bit cổ điển thông báo kết quả đo của mình
để Bob thu được trạng thái gốc chỉ bằng cách tác dụng toán tử địa phương. Kết quả,

thông tin cần truyền đi được giữ bí mật, nguyên vẹn, đây là một trong những ưu điểm
của truyền thông tin lượng tử so với truyền thông tin cổ điển. Một trạng thái lượng tử
tùy ý có thể được phục hồi ở một vị trí từ xa với sự trợ giúp của một cặp rối tối đa
Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) và hai bit thông tin cổ điển. Trong viễn chuyển lượng
tử, người gửi Alice, người nhận Bob chia sẻ với nhau một trạng thái rối cực đại Bell.
Alice thực hiện một phép đo hai qubit trong hệ cơ sở Bell lên trạng thái tích của qubit
cần viễn chuyển và các qubit của mình. Trên cơ sở kết quả đo của Alice truyền đến qua
kênh cổ điển, Bob có thể thực hiện toán tử unitary thích hợp lên qubit của mình để khôi
phục trạng thái viễn chuyển từ người gửi.
Một giao thức phát triển của viễn chuyển lượng tử, được gọi là viễn chuyển lượng
tử có điều khiển lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1998[7]. Trong các viễn chuyển
lượng tử có điều khiển, các thủ tục chuyển giữa Alice và Bob được điều khiển bởi một

3


người thứ ba, Charlie. Trong giao thức này, các thủ tục dịch chuyển được kiểm soát bởi
một người điều khiển, như vậy là một trạng thái lượng tử tùy ý có thể được chuyển từ
người gửi đến người nhận chỉ với sự tham gia của người điều khiển, điều này giúp
nâng cao độ bảo mật của trạng thái cần gửi lên rất nhiều. Năm 2014, Xi Han Li và các
đồng tác giả [18] đề cập đến khái niệm vai trò của người điều khiển. Trong giao thức
viễn chuyển có điều khiển, một điều quan trọng và cần thiết bảo đảm cho vai trò của
người điều khiển đó là quyền lực của người điều khiển. Chính từ yếu tố này sẽ đánh giá
được tính khả thi của giao thức viễn chuyển đối với thực tế. Tuy nhiên các giao thức
viễn chuyển lượng tử có điều khiển hiện nay chưa phân tích vai trò của người điều
khiển một cách đầy đủ và chi tiết.
Do đó tôi chọn đề tài: “Vai trò của ngƣời điều khiển trong viễn chuyển trạng
thái lƣợng tử hai qubit bất kì” để trên lí thuyết về rối lượng tử nghiên cứu quyền
kiểm soát của người điều khiển trong viễn chuyển lượng tử.
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách định lượng độ tin cậy trung bình của viễn chuyển trạng thái
lượng tử hai qubit bất kì có điều khiển và vai trò của người điều khiển, từ đó đưa ra
biện pháp vừa đảm bảo độ tin cậy của viễn chuyển lượng tử vừa đảm bảo vai trò của
người điều khiển trong viễn chuyển trạng thái lượng tử hai qubit bất kì.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: giao thức trong viễn chuyển lượng tử có điều khiển.
Phạm vi nghiên cứu: phân tích vai trò của người điều khiển trong viễn chuyển trạng
thái lượng tử hai qubit bất kì. Từ kết quả thu được rút ra các kết luận.
4. Giả thiết khoa học
Luận văn dựa trên giả thiết là các kênh lượng tử, các cổng lượng tử là tồn tại.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các khái niệm tổng quan về bit lượng tử, rối lượng tử, phép đo lượng tử,
viễn chuyển trạng thái lượng tử và viễn chuyển trạng thái lượng tử có điều khiển.

4


Nghiên cứu về mặt định lượng độ tin cậy trung bình của viễn chuyển trạng thái
lượng tử hai qubit bất kì có điều khiển, từ đó phân tích vai trò của người điều khiển
trong viễn chuyển trạng thái lượng tử hai qubit bất kì có điều khiển.
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu vai trò của người điều khiển trong viễn chuyển có điều khiển trạng thái
lượng tử của hai qubit bất kì thông qua phân tích quyền lực của người điều khiển.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các lí thuyết: cơ học lượng tử và phép đo lượng tử.
8. Bố cục luận văn
Mở đầu
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản
Chương 2: Giao thức viễn chuyển hai qubit không có điều khiển
Chương 3: Giao thức viễn chuyển hai qubit có điều khiển

Kết luận
Tài liệu tham khảo
9. Những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả
Trong luận văn, đóng góp mới của tác giả là đã tính toán được biểu thức vai trò của
người điều khiển trong viễn chuyển trạng thái lượng tử của hai qubit bất kì đối với rối
lượng tử đã được đề xuất, từ các kết quả tính toán được, tác giả đã phân tích được vai
trò của người điều khiển trong giao thức viễn chuyển này khi người điều khiển nắm giữ
một qubit và bốn qubit.

5


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Bit lƣợng tử. Cách biểu diễn qubit
Trong máy tính điện tử lượng tử, các phép tính toán dùng để tính không còn là các
phép tính toán thông thường dùng trong máy tính cổ điển, mà sẽ là các phép tính toán
của cơ học lượng tử. Do đó, đơn vị cơ bản để chứa tin tức sẽ được mã hóa vào một
trạng thái lượng tử gọi là bit lượng tử. Bit lượng tử hay qubit là thuật ngữ chuyển
ngành trong lĩnh vực thông tin lượng tử. Qubit được sử dụng là một đối tượng để lưu
trữ, truyển tải và xử lý thông tin dựa trên nền tảng của cơ học lượng tử.
Đơn vị truyển tải thông tin của máy tính chúng ta đang sử dụng là bit cổ
điển.Theo cơ học lượng tử, có thể hiểu bit cổ điển là một trong hai trạng thái 0 hoặc
1 

 0

1 với biểu diễn spinơ của hệ hai mức như sau: 0    ; 1    . Qubit chính là sự
0
1 

chồng chập tuyến tính của hai trạng thái 0 và 1 . Qubit có thể lưu trữ một lượng
thông tin khổng lồ mà chúng ta chỉ có thể tiếp cận được hai cơ sở giá trị của nó, còn
các thông tin khác bị ẩn đi. Chính vì sự tối ưu hơn hẳn của qubit so với các bit cổ điển
nên các máy tính lượng tử ra đời sẽ có tính chất cách mạng trong việc tính toán và xử
lý thông tin.
Thông thường, ta có thể biểu diễn qubit theo ba cách như sau:
+ Trạng thái lượng tử của các qubit là một véctơ đơn vị trong không gian Hilbert
hai chiều được biểu diễn dưới dạng:

 a 0 b1 ,

(1.1)

với các thông số a,b là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa a  b  1
2

và

2

 0 , 1  làm thành hệ cơ sở trực chuẩn trong không gian đó.
Khi đo một bít cổ điển sẽ nhận được một giá trị hoàn toàn xác định vì bít cổ điển

chỉ có thể ở một trong hai trạng thái là 0 hoặc 1 , còn khi đo một qubit sẽ nhận
được ngẫu nhiên một trong hai kết quả với xác suất nhất định nào đó. Đo trạng thái

6


(1.1) trên hệ cơ sở

 0 , 1  thì thu được một trong hai kết quả: 0

với xác suất a

2

2

hoặc kết quả 1 với xác suất b và không thể biết toàn bộ thông tin về a và b chỉ bằng
vài lần đo lượng tử lên (1.1), bởi sau khi đo trạng thái ban đầu bị phá hủy. Mọi cố gắng
có thể giải mã toàn bộ thông tin nằm trong trạng thái gốc đều đi đến thất bại do đó lưu
trữ thông tin bằng qubit mang tính chất bảo mật rất cao.
+ Biểu diễn trạng thái của qubit dưới dạng ma trận mật độ. Do bất kỳ đại lượng
vật lý nào đều có thể viết được dưới dạng ma trận đơn vị và ma trận Pauli. Ta có:

1
   I  r  ,

(1.2)

2

với I là ma trận đơn vị,   ( x , y , z ) trong đó  x , y , z là các ma trận Pauli
+ Do điều kiện chuẩn hóa được thỏa mãn và các trạng thái lượng tử chỉ chính xác
tới một thừa số pha nên ta có thể biểu diễn trạng thái lượng tử của một qubit bằng một
vecto trên mặt cầu Bloch như sau:

 
 

  cos   0  ei sin   1 ,
2

với các thông số

2

(1.3)

 và  là các số thực. Các tham số  và  xác định một điểm

trên mặt cầu đơn vị gọi là mặt cầu Bloch (hình 1.1).
z


x

y



Hình 1.1. Biểu diễn trạng thái của một qubit trên mặt cầu Bloch

Trong đó  là véctơ r xuất phát từ tâm của quả cầu đến một điểm nằm trên bề

7


mặt quả cầu đó. Véctơ r được xác định nhờ thông số

 là góc hợp bởi hình chiếu của

nó trên mặt phẳng (x-y) với trục x và  là góc hợp bởi nó với trục z. Trạng thái của bit
cổ điển chỉ có thể nằm trên hai cực Nam và Bắc của quả cầu Bloch, còn trạng thái của
qubit là tổ hợp tuyến tính của cả hai trạng thái đó nên nó có thể nằm mọi điểm trên quả
cầu.
Trong thực tế hệ lượng tử hai trạng thái nào đều có thể dùng để biểu diễn qubit.
Chẳng hạn, trong quang lượng tử qubit có thể biểu diễn theo trạng thái phân cực của
photon. Hay trong vật lý nguyên tử, qubit có thể biểu diễn qua các trạng thái cơ bản và
kích thích của các electron…Cụ thể các hình thái vật lý của qubit được thể hiện qua
bảng sau:
Hệ lượng tử

Tính chất vật lý

0

1

Photon

Phân cực tuyến tính

Ngang

Dọc

Phân cực tròn

Trái

Phải

Hình chiếu spin

Lên

Xuống

Electron

Hình chiếu spin

Lên

Xuống

Nguyên tử hidro

Mức năng lượng

Mức cơ bản

Mức kích thích

Hạt nhân nguyên
tử

Bảng 1.1: Các hình thái vật lý của qubit

1.2

Rối lƣợng tử
Rối lượng tử là một mối tương quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa các phần

của một hệ lượng tử. Nó là một trong những nguyên nhân quan trọng của sự khác nhau
cơ bản giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển. Rối lượng tử là sự tồn tại trạng thái
chung của hai hay nhiều hệ lượng tử con có mối quan hệ ràng buộc với nhau. Khi các
hạt lượng tử được rối với nhau thì không thể biết được trạng thái riêng của từng hạt,
nhưng hoàn toàn có thể biết được trạng thái tồn tại chung của chúng, và để xác định
được trạng thái riêng của từng hạt ta phải thực hiện những phép đo lên nó. Trong lí

8


thuyết cổ điển, các hệ con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng không có sự tác
động của bên ngoài liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với hệ lượng tử khi mà
chúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời. Tuy nhiên nếu các hệ lượng tử
không bị tách rời hay nói cách khác chúng bị rối với nhau thì chúng sẽ không còn tồn
tại độc lập với nhau nữa, mỗi tác động lên hệ con này sẽ ảnh hưởng tức thời đến các hệ
con kia. Mỗi một phép đo trên một hệ con bất kì có thể cho nhiều kết quả ngẫu nhiên
với xác xuất nhất định, từ đó ta xác định được trạng thái của hạt còn lại, quá trình này
không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các hệ con. Vậy hệ lượng tử như thế nào gọi là
rối?
Ta xét trạng thái lượng tử N  N  2  qubit xác định trong không gian

H  H1  H2  ...  H N , có dạng



12...N

  1 00...00  2 00...01  3 00...10  ...   2 11...11 12...N , (1.4)
N

với các thông số i  i  1,2,...,2N  là số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
2

2N


i 1

i

 1 . Nếu trạng thái 


thỏa mãn điều kiện

12...N

12...N

với  i  Hi thì trạng thái 

  1   2  ...   N ,

12...N

(1.5)

được gọi là trạng thái tích hay trạng thái tách rời

của N qubit. Còn ngược lại nếu


thì 

12...N

12...N

  1   2  ...   N ,

(1.6)

được gọi là trạng thái rối của N qubit.

Sau đây ta xét trường hợp cụ thể đối với hai qubit A và B trong không gian Hilbert 4





chiều, với hệ cơ sở gồm 4 véctơ trực chuẩn 00 , 01 , 10 , 11 , khi đó trạng thái tổng
quát của hai qubit được viết dưới dạng:



AB

  00

AB

  01 AB   10

9

AB

  11 AB ,

(1.7)


với , , ,  là các số phức bất kì thỏa mãn:         1.
2

2

2

2

Ở đây ta có thể dễ dàng chứng minh được: Nếu    thì trạng thái (1.7) là
trạng thái tích hay trạng thái rời.
Thật vậy, nếu    thì với mọi số phức  bất kì ta có

  
 
  , hay 
.



 

Từ đó trạng thái (1.6) sẽ được viết thành



AB

  00

AB

  01 AB   10

AB

  11 AB

  0 A ( 0  1 ) B   1 A ( 0  1 ) B
 ( 0   1 )A ( 0  1 )B ,

(1.8)

đây là trạng thái tích của hai qubit A và B.
Ngược lại nếu   , thì 

AB

 ( 0   1 )A ( 0  1 ) B , trong trường

hợp này, hai qubit A và B rối với nhau.

1
và     0 thì
2

Nếu trong công thức (1.7) có    


đây chính là  

AB

AB

 B0,0

AB



1
( 00  11 ) AB ,

2

(1.9)

một trong bốn cặp rối EPR. Ba cặp rối còn lại có dạng






AB

AB

 B1,0

 B0,1

AB

 B1,1

AB

AB

AB



1
( 00  11 ) AB ,
2

(1.10)



1
( 01  10 ) AB ,
2

(1.11)



1
( 01  10 ) AB .
2

(1.12)

10


Tổng quát, ta có bốn trạng thái rối Bell có thể được xác định bởi công thức

Bm,n

AB

1 1
ml
 1 l

2 l 0



A

l n B,

(1.13)

với  là phép cộng trong hệ nhị phân và m, n = {0, 1}.
Xét (1.13) ta thấy rằng các trạng thái Bell thỏa mãn là các trạng thái rối. Một
trạng thái Bell được đặc trưng bởi hai bit thông tin, bit chẵn lẻ và bit pha. Khi hai
trạng thái lượng tử được rối với nhau theo một trong bốn cặp rối trên thì không thể
biết trạng thái rối của hệ nếu chỉ thực hiện phép đo địa phương lên từng hạt bởi
phép đo thì chỉ xác định một phần thông tin của trạng thái chẵn lẻ hoặc pha. Điều
này có ý nghĩa rất quan trọng bởi thông tin được mã hóa trong các trạng thái đó
mang tính bảo mật tuyệt đối, ngăn chặn hoàn toàn sự đánh cắp nó khi mà hai hạt
được rối với nhau không lại gần nhau.
+ Đối với rối ba, ta có trạng thái W và GHZ có dạng như sau

W

123

GHZ



123

1
( 100  010  001 )123 ,
2



(1.14)

1
( 000  111 )123 ,
2

(1.15)

Các trạng thái rối ba GHZ có thể viết dưới dạng tổng quát như sau

GHZ

k,m,n
123

1 1
lk


 1 l 1 l  m

2 l 0

2

l n 3,

(1.16)

lập thành tám véctơ cơ sở cho phép đo GHZ.
+ Đối với rối N (N>3), ta có các trạng thái rối thường gặp sau:

GHZ

Trạng thái GHZ:

Trạng thái W:

W

12... N



12... N



1
 00...0  11...1
2



12... N

,

1
 100...00  010...00  00...01
2

11

(1.17)



12... N

,

(1.18)


Trạng thái Cluster:

C

12...N

1



2
với quy ước  z

N 1

N
2

aN1  0 a  aa 1  1 a ,




(1.19)

1

1.2.1 Độ rối lƣợng tử
Để đặc trưng cho mức độ rối của một trạng thái rối chúng ta đưa vào khái niệm
độ rối lượng tử. Cho đến nay việc xác định độ rối đối với trạng thái rối của nhiều hơn 2
qubit là vấn đề rất khó và chưa được giải quyết một cách triệt để. Trong phần này sẽ
trình bày cách tính độ rối lượng tử của trạng thái rối 2 qubit theo hai cách: tính độ rối
theo Entropy von Neumann và tính độ rối theo Concurrence.

Xét trạng thái rối của hệ hai qubit A và B là trạng thái 
Hilbert 4 chiều với hệ vecto cơ sở trực chuẩn

AB

trong không gian

 00 , 01 , 10 , 11  . Ma trận mật độ

của trạng thái này được biểu diễn dưới dạng:

AB   pi i
i

i ,

(1.20)

AB

ở đây trạng thái hỗn hợp AB là tổng thống kê của các trạng thái thuần khiết  i với
một xác suất tương ứng p i .
+ Tính độ rối theo Entropy von Neumann:
Mỗi trạng thái thuần khiết 

AB

của hệ có độ rối được tính theo công thức

E( 

AB

)  S(A )  S(B ),

(1.21)

với S(A ),S(B ) là entropy của A , B , với A và B lần lượt là ma trận mật độ rút
gọn theo B và A có dạng

A  TrB ( 

AB

B  TrA ( 

AB

 ),

(1.22)

 ).

(1.23)

12


S A  và S B  được tính theo công thức

S  ρA   λi A log 2 λi A ,

(1.24)

i

S  ρB   λi B  log 2 λi B  ,

(1.25)

i

với i(A) , i(B) lần lượt là trị riêng của A và B .
Khi đó độ rối của trạng thái (1.20) được xác định theo công thức dưới đây

E  AB   min  pi E  i .

(1.26)

i

Độ rối có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1. Nếu trạng thái các qubit mà tách rời
thì độ rối cho giá trị bằng 0, còn nếu là rối cực đại thì độ rối có giá trị bằng 1. Dưới đây
ta sẽ xác định độ rối của một trạng thái tách rời và một trạng thái rối để kiểm chứng lại
nhận định trên.
* Trường hợp hai trạng thái rời
Giả sử trạng thái rời tổng quát của hai qubit A và B có dạng

1

AB

 (a 0  b 1 )A  (c 0  d 1 ) B

 (ac 00  ad 01  bc 10  bd 11 ) AB ,
để cho đơn giản ta xét a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

a 2  b 2  1,
 2
2
c  d  1.
Trong hệ cơ sở

 00 , 01 , 10 , 11 

A  TrB ( 1

AB

AB AB

ta có thể dễ dàng tính được

 a 2c 2 a 2cd abc2 abcd 
 2

a cd a 2d 2 abcd abd 2 

1 )  TrB

 abc2 abcd b 2c2 b 2cd 

2
2
2 2 
abcd
abd
b
cd
b
d 


13

(1.27)


 (a 2c2  a 2d 2 ) 0

A

0  (abc2  abd 2 ) 0

A

1

(abc  abd ) 1 A 0  (b c  b d ) 1 A 1
2

2

a 0
2

A

2

0  ab 0

2

2

2

1  ab 1 A 0  b 1 A
2

A

 a 2 ab 
1 
.
2 
ab
b




(1.28)

Ta tìm trị riêng  của A

a2  
ab
  0

0

   1.
ab
b2  

Áp dụng công thức (1.19) ta tính được độ rối của trạng thái rời là

E( 1

AB

)  S(A )  0.log 2 0  1.log 2 1  0.

(1.29)

* Trường hợp hai trạng thái đan rối
Giả sử ta cần tính độ rối của trạng thái đan rối có dạng sau

2

AB

 (a 00  b 11 )AB ,

(1.30)

với a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: a 2  b2  1.
Ta cũng dễ dàng tính được

A  TrB (  2

a 0

AB AB

2

 a2

0
 2 )  TrB 
0

 ab

0 b 1 A
2

A

 a2
1 
0

0 0 ab 

0 0 0
0 0 0

0 0 b2 
0
.
b2 

(1.31)

Ta tìm trị riêng  của A

a2  
0
  a 2
0
.
2
0
b2  


b


Áp dụng công thức (1.20) ta tính được độ rối của trạng thái đan rối là

14

(1.32)


E(  2
khi a  b 



AB



1
thì E(  2
2

AB

AB

)  S(A )  a 2 log 2 a 2  b 2 log 2 b 2 ,

(1.33)

)  1 , trạng thái rối (1.30) trở thành trạng thái rối cực đại

1
( 00  11 ) AB .
2

+ Tính độ rối theo Concurrence:
Đây là cách tính độ rối được đề xuất bởi E.Wooters với công thức tính độ rối được
xác định như sau:

C   AB   max





1  2  3  4 ,0 ,

(1.34)

trong đó C   AB  là Concurrence của trạng thái rối giữa 2 qubit A và B,

1  2  3  4 lần lượt là các trị riêng của ma trận  AB được xác định bởi công thức
sau:
*
 AB   AB  y   y   AB
 y   y  ,

(1.35)

với  AB là ma trận liên hiệp phức của  AB ,  y là ma trận Pauli.

*

Trong hai cách tính này tuy khác nhau về công thức tính nhưng đều cho ta kết quả
có giá trị từ 0 đến 1. Giá trị bằng 0 ứng với trường hợp trạng thái đã cho là không rối,
còn giá trị bằng 1 ứng với trường hợp trạng thái đã cho là rối cực đại.
1.2.2 Phép đo lƣợng tử
Muốn xác định và nghiên cứu một đối tượng vật lý, ta cần phải thực hiện các
phép đo lên hệ. Cơ học cổ điển cho phép xác định chính xác kết quả của một phép đo
đối với đại lượng vật lý cần đo. Phép đo lượng tử chỉ cho ta biết một phần thông tin của
trạng thái cần đo. Chúng ta chỉ có thể xác định trạng thái của hệ lượng tử khi chúng ta
thực hiện phép đo lên các trạng thái chồng chập của hệ. Một phép đo lượng tử cần phải
có: Toán tử đo và hệ cơ sở của phép đo.
Trong thực tế, có nhiều phép đo lượng tử khác nhau, dưới đây chúng tôi sẽ trình

15


bày phép đo hình chiếu còn gọi là phép đo von Neumann. Phép đo von Neumann là
phép đo thực hiện trên hệ cơ sở hoàn toàn trực giao và chuẩn hóa. Giả sử hệ cần đo ở
trạng thái lượng tử  nằm trong không gian Hilbert n chiều. Ta thực hiện phép đo
von Neumann lên trạng thái này bằng một hệ các toán tử đo {Mi } , (i = 0, 2, ...n-1) thỏa
mãn điều kiện

M i M i  I (a)


.
i

M i M j  ij (b)

(1.36)

Phép đo von Neumann có những tính chất như sau:
+ Phép đo thu được kết quả ứng với chỉ số i có xác suất

pi   Mi Mi  .

(1.37)

Tất nhiên tổng xác suất cho tất cả các kết quả phải thỏa mãn

p

i

 1 để đảm bảo tính

chất bảo toàn xác suất. Ta thấy sự phù hợp với điều kiện (1.36 a).
+ Trạng thái của hệ sau phép đo là

i 
yếu tố

1
Mi  ,
pi

(1.38)

pi xuất hiện ở đây để thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
Sau đây, để hiểu rõ hơn về phép đo này, ta sẽ áp dụng vào trường hợp đơn giản

là đo trạng thái một qubit có dạng như (1.1).
Toán tử đo là tập hợp M0 ,M1 , với cơ sở được chọn

 0 , 1  gồm hai vectơ

trực giao. Ta chọn toán tử đo như sau


1 
1
M 0  0 0    1 0   

 0
0

M  1 1   0  0 1   0
 
1  
 1
 
0


16

0
0 

0
1 

.

(1.39)


Chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra được các toán tử đo này là ecmit nhưng không
phải là unita, thật vậy

 
1
M 0  0 0  M 0  

0

M   1 1  M   0
1
0
 1



0
0 
0
1 

.

(1.40)

Từ đó ta thấy

 
1
2
M 0 M 0  M 0  

0

M  M  M 2   0
1
0
 1 1



0 1 0  1
 0 0    0
0 
 
0  0 0   0

1 
 0 1   0

0
 M0

0 
0
 M1
1 

,

(1.41)

và toán tử đo được ở đây thỏa mãn điều kiện

M


i

Mi  M0 M0  M1 M1  I.

(1.42)

Khi đo xong ta nhận được ngẫu nhiên một trong hai kết quả 0 hoặc 1 cụ thể
như sau:
Kết quả đo được 0 xảy ra với xác suất

p0   M0 M0    M0    ,
2

(1.43)

và khi đó trạng thái  bị suy sụp thành

0 

M0 
 M 0 M 0 



0
 ei 0  0 .


(1.44)

Kết quả đo được 1 xảy ra với xác suất

p1   M1 M1    M1    ,
2

và khi đó trạng thái  bị suy sụp thành

17

(1.45)


1 

M1 
 M1 M1 



1
 ei 1  1 .


(1.46)

Kết quả ta thu được trong các công thức (1.44) và (1.46) là do ta đã bỏ qua thừa số pha
không có ý nghĩa vật lí. Chú ý rằng sau phép đo này mà ta đo lại một lần nữa cũng theo
cách như trên thì ta sẽ nhận được kết quả vẫn như vậy với xác suất là 1.
Trong phép đo von Neumann thì ứng với hệ toán tử đo khác nhau ứng với hệ cơ
sở khác nhau thì kết quả thu được là khác nhau.
1.3 Các cổng logic lƣợng tử
Cổng logic cổ điển thao tác trên các bit cổ điển, và tính toán trên cổng cổ điển
không thể đảo ngược. Khác với cổng logic cổ điển thì cổng lượng tử thao tác với các
trạng thái của qubit và đa dạng hơn có tính thuận nghịch.
Các cổng logic lượng tử bao gồm cổng đơn và đa qubit, bất kì một cổng đa qubit
nào cũng có thể được tạo bởi cổng đơn qubit tổng quát và một cổng hai qubit. Sau đây
chúng ta sẽ trình bày một vài cổng lượng tử logic phổ biến.
1.3.1 Cổng lƣợng tử đơn qubit
Cổng lượng tử đơn qubit U(, ) (với ,  là các số thực) là một toán tử có tác
dụng biến đổi trạng thái của một qubit ở đầu vào thành một qubit khác ở đầu ra

out  U in .

(1.47)

Biểu diễn toán học của nó là một ma trận (2 x 2) như sau

ei sin  
 cos 
U(, )    i
,

e
sin

cos




(1.48)

dễ thấy U(, ) thỏa mãn điều kiện unita: U U  I , điều này cho thấy tính chất thuận
nghịch của cổng logic lượng tử.
Sau đây ta sẽ xét một số cổng logic lượng tử đơn qubit thường gặp
 Toán tử đơn vị I
Toán tử đơn vị là toán tử không làm biến đổi trạng thái qubit đầu vào

18


I 0  0
.

I
1


1


(1. 49)

Biểu diễn dưới dạng ma trận của toán tử đơn vị là

1 0
I
.
0
1



(1.50)

 Toán tử Pauli  x (X)
Toán tử Pauli  x là toán tử có tác dụng đảo bit (bit-flip)

σ x 0  1
.

σ
1

0
x


(1.51)

Biểu diễn dưới dạng ma trận của toán tử Pauli  x là

0 1
σx  
.
1
0



(1.52)

 Toán tử Pauli  y (Y)
Toán tử Pauli  y là toán tử có tác dụng vừa đảo pha vừa đảo bit

 σ y 0  i 1
.

σ y 1  i 0

(1.53)

Biểu diễn dưới dạng ma trận của toán tử Pauli  y là

 0 i 
σy  
.

i
0



(1.54)

 Toán tử Pauli  z (Z)
Toán tử Pauli  z là toán tử có tác dụng đảo pha (phase-flip)

 σz 0  0
.

σ
1


1
z


(1.55)

19