TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐA TẠP STEIN

Header Page 1 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trọng Nguyễn

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU
VỀ ĐA TẠP STEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
Footer Page 1 of 114.


Header Page 2 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trọng Nguyễn

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU
VỀ ĐA TẠP STEIN
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
Footer Page 2 of 114.


Header Page 3 of 114.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Mục lục
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
Chương 0. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................ 3
0.1. Hàm chỉnh hình và toán tử vi phân trên  n .................................................... 3
0.2. Tích chập và hàm suy rộng .............................................................................. 6
0.3. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert ............................ 7
Chương 1. GIỚI THIỆU VỀ ĐA TẠP STEIN.......................................................... 10
1.1. Miền chỉnh hình ............................................................................................. 10
1.2. Khái niệm đa tạp Stein ................................................................................... 15
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH CAUCAHY – RIEMANN TRONG
ĐA TẠP STEIN ..................................................................................... 20
2.1. Toán tử

∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) ..................................................... 20

2.2. Các định lý tồn tại và xấp xỉ nghiệm đối với phương trình CauchyRiemann trên đa tạp Stein. .................................................................................... 29
Chương 3. ĐỊNH LÝ NHÚNG CÁC ĐA TẠP STEIN ............................................. 43
Chương 4. BAO CHỈNH HÌNH ................................................................................. 52

KẾT LUẬN .................................................................................................................. 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 61

Footer Page 3 of 114.


Header Page 4 of 114.

1

MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu các đa tạp phức được chia thành hai lĩnh vực: lý thuyết hình
học và lý thuyết hàm. Trong lĩnh vực hình học ta quan tâm đến tính chất toàn cục của
đa tạp phức. Trong lĩnh vực lý thuyết hàm việc nghiên cứu liên quan đến các tính chất
của các hàm chỉnh hình trên các tập mở trong  n .
Hai lớp đa tạp phức nổi bật được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp
các đa tạp Kahler và lớp các đa tạp Stein.
Các đa tạp Stein là một lớp các đa tạp giải tích phức có định nghĩa được mô
hình hóa dựa trên các tính chất của miền chỉnh hình trong  n .
Lớp các đa tạp mà ngày nay được gọi là đa tạp Stein được trình bày đầu tiên bởi
Stein (1951). Công cụ chính để nghiên cứu về đa tạp Stein là lý thuyết bó liên kết. Lý
thuyết về bó liên kết giải tích trên các đa tạp Stein được trình bày bởi Cartan (19511952) và sau đó là Grauert, Hormander, Oka, MalGrange. Hiện nay đa tạp Stein là một
đối tượng được sử dụng rộng rãi trong Giải tích phức.
Việc nghiên cứu bó liên kết đòi hỏi nhiều kiến thức trong Hình học, Đại số.
Trong khuôn khổ luận văn này chỉ là những tìm hiểu bước đầu về đa tạp Stein làm cơ
sở cho việc nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết bó liên kết.
Luận văn gồm 5 chương:
Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau
Chương 1 giới thiệu khái niệm và một vài tính chất sơ cấp của đa tạp Stein.
Chương 2 trình bày sự mở rộng các định lý về sự tồn tại và xấp xỉ nghiệm đối với

phương trình Cauchy-Riemann trong  n đến đa tạp Stein.
Chương 3 trình bày định lý nhúng các đa tạp Stein. Chương này chứng minh
rằng một đa tạp Stein có thể được biểu diễn cụ thể như một đa tạp con đóng của  N
với chiều đủ lớn. Định lý nhúng trong chương này là kết quả của Bishop và
Narasimhan
Chương 4 dành trình bày về bao chỉnh hình. Nội dung chính của chương là tìm
một đa tạp Stein mà là mở rộng chỉnh hình cực đại của một đa tạp cho trước. Kết quả
của chương này thuộc về Oka.

Footer Page 4 of 114.


Header Page 5 of 114.

2

Em chân thành cảm ơn sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông
trong thời gian qua. Thầy đã đưa ra những góp ý chân thành giúp em có thể hoàn thành
luận văn này.
Em cũng xin cảm ơn phòng Sau đại học đã gửi mail và hướng dẫn đầy đủ các thủ
tục giúp em có thể nộp luận văn đúng thời hạn.

Footer Page 5 of 114.


Header Page 6 of 114.

3

Chương 0

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
0.1. Hàm chỉnh hình và toán tử vi phân trên  n
Cho u là một hàm giá trị phức thuộc lớp C1 (Ω) trong đó Ω là tập mở trong
 n , cũng có thể đồng nhất  n như  2n . Ta sẽ kí hiệu hệ tọa độ thực là x j ,1 ≤ j ≤ 2n ,

và hệ tọa độ phức z=
x2 j −1 + x2 j ,1 ≤ j ≤ n . Ta có thể mô tả du như là một tổ hợp
j
tuyến tính của các dạng vi phân dz j và d z j như sau:
n
∂u
∂u
=
du ∑
dz j + ∑
dzj
∂z j
=j 1 =
j 1 ∂z j
n

(0.1.1)

trong đó:

∂u 1  ∂u
∂u  ∂u 1  ∂u
∂u
=
−i

=
+i

 ,

∂z j 2  ∂x2 j −1 ∂x2 j  ∂ z j 2  ∂x2 j −1
∂x2 j





Với kí hiệu
n
∂u
∂u
=
∂
dz
u
dzj
,
∑
∑
j
∂z j
=j 1 =
j 1 ∂z j

=

∂u

n

Ta có thể viết (0.1.1) như sau:

du = ∂u + ∂u
Dạng vi phân mà là tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân dz j gọi là dạng
(1,0), và dạng vi phân mà là tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân d z j được gọi là
dạng (0,1). Vì vậy ∂u (tương ứng ∂u ) là thành phần của du thuộc loại (1,0) (tương
ứng (0,1)).
Định nghĩa 0.1.1. Một hàm u ∈ C1 (Ω) được gọi là giải tích (hoặc chỉnh hình)
trong Ω nếu du là thuộc loại (1,0), nghĩa là nếu ∂u =0 (phương trình Cauchy Riemann).
Tập hợp tất cả các hàm giải tích trong Ω được kí hiệu là A(Ω) . Toán tử vi
phân ∂ và ∂ là tuyến tính và A(Ω) là một vành.

Footer Page 6 of 114.


Header Page 7 of 114.

4

Bây giờ lấy u ∈ A(Ω) , nhận giá trị phức trong v nghĩa là u = (u1 , u2 ,..., uv ) mà
mỗi thành phần u j là hàm giải tích trong Ω . Nếu v ∈ C1 (ω ) với ω là một tập mở nào
đó chứa miền giá trị của u, thì với z ∈ Ω hàm (v  u )( z ) = v(u ( z )) thuộc lớp C1 (ω )
và ta có
v
∂v
∂v

+
du
du j
∑
∑
j
∂u j
=j 1 =
j 1 ∂u j

=
d (v  u )

v

Bởi vì du j thuộc loại (1,0) và du j thuộc loại (0,1) trong Ω nên suy ra :
v
v
∂v
∂v
,
∂ (v  u ) =
du
v
u
du j
∂
=

(

)
∑
∑
j
j =1 ∂u j
j =1 ∂ u j

Do đó v  u giải tích nếu v giải tích. Tổng quát, việc phân tích d cũng giống như
là ∂ + ∂ và khái niệm hàm giải tích thì bất biến qua các ánh xạ giải tích.
Cuối cùng ta sẽ mở rộng định nghĩa của toán tử ∂ và ∂ thành một dạng vi phân
bất kì. Một dạng vi phân f được gọi là thuộc loại (p,q) nếu nó được viết dưới dạng
f
=

∑∑ f

=
I p=
J q

I
I , J dz ∧ d z

J

trong đó I = (i1 ,..., i p ) và J = ( j1 ,..., jq ) là các đa chỉ số, nghĩa là dãy các chỉ số nằm
giữa 1 và n. Ở đây chúng ta đã dùng kí hiệu
J

dz I ∧ d z = dzi1 ∧ ... ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ ...d z jq

Mỗi dạng vi phân có thể được viết một cách duy nhất như là tổng của dạng loại
(p,q): 0 ≤ p, q ≤ n . Nếu f thuộc loại (p,q) thì dạng vi phân ngoài của nó là

df
=

∑ df

I ,J

∧ dz I ∧ d z

J

Có thể viết dưới dạng df = ∂f + ∂ f trong đó:

∂f =

∑ ∂f

J

I ,J

∧ dz I ∧ d z , ∂ f =

I ,J

lần lượt là các dạng thuộc loại (p+1,q) và (p,q+1).

Footer Page 7 of 114.

∑∂ f
I ,J

I ,J

∧ dz I ∧ d z

J


Header Page 8 of 114.

5

(

)

2

Vì 0 = d 2 f = ∂ 2 f + ∂∂ + ∂∂ f + ∂ f và tất cả các số hạng của tổng trên là khác nhau
nên ta thu được:
2

∂ 2 = 0, ∂∂ + ∂∂ = 0, ∂ = 0

Do đó phương trình

∂u =f

(0.1.2)

trong đó f thuộc loại (p,q+1) không thể có nghiệm u trừ khi ∂ f =
0.
Điều đó chỉ ra rằng nếu ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann
(0.1.2) với ẩn là hàm u, thì một cách tự nhiên ta sẽ phải nghiên cứu toán tử ∂ cho dạng
thuộc loại (0,1), và do đó các dạng thuộc loại (0,2),…
Nếu u là một ánh xạ chỉnh hình xác định trên miền Ω ⊂  n vào trong v và
nếu

=
f

∑f

I ,J

du I ∧ du

J

là một dạng xác định trong một lân cận thuộc miền giá trị của u, ta có thể xác định một
dạng f  u trong Ω như sau

=
f u

∑f

I
I , J (u ( z )) du ∧ du

J

trong đó duk và duk với k = 1,..., v lần lượt là những dạng vi phân trên Ω tương ứng
thuộc loại (1,0) và (0,1) bởi uk là hàm giải tích. Do đó f  u thuộc loại (p,q) nếu f
thuộc loại (p,q) và bởi d ( f  u ) = (df )  u nên ta thu được

( )

∂( f  u) =
∂f u
( ∂f )  u , ∂ ( f  u ) =
Nếu F là không gian các hàm thì ta sẽ dùng kí hiệu F( p ,q ) là không gian các
dạng thuộc loại (p,q) với các hệ số thuộc vào F.
Định lý 0.1.2. Với mọi tập compact K ⊂ Ω ( Ω tập mở trong  n ) và mọi lân cận
mở của ω ∈ K , mọi đa chỉ số α tồn tại các hằng số Cα sao cho
sup ∂α u ≤ Cα u
K

Footer Page 8 of 114.

L1 (ω )


Header Page 9 of 114.

6

Hệ quả 0.1.3. Nếu uk ∈ A(Ω) và uk → u đều trên các con compact của Ω khi
k → ∞ thì u ∈ A ( Ω )

0.2. Tích chập và hàm suy rộng
Định nghĩa 0.2.1. Ta kí hiệu: χ :  N →  là hàm được xác định như sau:
1

C x 2 −1 , neáu x ≤ 1
χ ( z) =  e
0
, neáu x > 1


trong đó C là hằng số sao cho

∫ χ ( x)dx = 1. Với mỗi ε > 0 ta đặt

N

x

χε ( x) = ε − N χ ( )
ε

(0.2.1)

thì hàm χε có các tính chất:
i) χε ∈ Co∞ ( N ) , suppχε ⊆ B (0, ε ) và χε ( x) > 0 với mọi x ∈  N .
ii) χε là hàm chỉ phụ thuộc vào x và

∫ χε ( x)dx = 1.

n

Với mỗi hàm f ∈ L2 ( N , loc) và 0 < ε < d ( x, ∂Ω) đặt

fε ( x) =∗
( f χε )( x) =
∫ f ( y) χε ( x − y)dy
yN

Phép toán “ ∗ ” được gọi là tích chập. Đồng thời ta cũng nhận xét rằng tích chập có tính
chất giao hoán và

supp u ∗ v ⊂ supp u + supp v
Định lý 0.2.2. Cho f ∈ L2 ( N , loc) . Khi đó ta có các kết luận sau:
1) fε ∈ C ∞ ( N )
2) Nếu supp f= K ⊂⊂  N thì

fε ∈ Co∞ ( N ) , supp fε ⊂ Kε ={ x ∈  N | d ( x, K ) ≤ ε }
3) Nếu f ∈ C ( N ) thì lim fε ( x) = f ( x) đều trên K ⊂⊂  N
ε →0

L
4) Nếu f ∈ L2 ( N ) thì fε ∈ L2 ( N ) và fε 
→ f khi ε → 0+
2

Footer Page 9 of 114.

Header Page 10 of 114.

7

Bổ đề 0.2.3. Nếu Ω ⊆  n là tập mở và K ⊂ Ω là một tập con compact, thì tồn tại
một hàm η ∈ Co∞ (Ω) sao cho 0 ≤ η ≤ 1 và η = 1 trên một lân cận của K.
Bổ đề 0.2.4. Cho χ ∈ Co∞ ( N ) với

∫ χε ( x)dx = 1 và đặt

n

x

χε ( x) = ε − N χ ( ) , x ∈  n .
ε

Nếu g ∈ L2 ( n ) thì

g ∗ χε ( x) =

∫ g ( y) χε ( x − y)dy = ∫ g ( x − ε y) χ ( y)dy

N
N
yy

là hàm thuộc lớp C ¥ sao cho g ∗ χε

L2

→ 0 khi ε → 0 . Giá của g ∗ χε không có điểm

nào có khoảng cách đến giá của g lớn hơn ε nếu giá của χ nằm trong quả cầu đơn vị.
0.3. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert
Cho H1, H2 là hai không gian Hilbert có tích vô hướng và chuẩn tương ứng là

(.,.)i , . i với

i ∈1, 2 . Cho D là không gian con trù mật trong H1 và T : D → H 2 , là

một toán tử tuyến tính mà ta giả sử là không bị chặn. Để thuận tiện ta viết DT thay vì
D là miền xác định của T . Trường hợp này ta nói rằng T xác định trù mật trên H1.
Có thể kiểm tra được H1 × H 2 là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác

'1 , h '2 ) (h1 , h '1 )1 + (h2 , h '2 ) 2 .
định bởi (h1 , h2 ),(h=
Định nghĩa 0.3.1. Toán tử tuyến tính T đóng nếu đồ thị của nó

=
GT

{( x, Tx) : x ∈ DT } ⊆ H1 × H 2

là tập hợp đóng.
Nhận xét rằng nếu T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H1
vào không gian Hilbert H 2 thì toán tử liên hợp T * của nó luôn tồn tại và được xác
định trên toàn bộ H 2 bởi công thức ( y, Tx) 2 = (T * y, x)1 . Trong trường hợp ta đang

xét T : DT → H 2 là toán tử tuyến tính không bị chặn, với DT là không gian con trù
mật trong H1 , việc xác định toán tử liên hợp T * có chút ít phức tạp hơn.
Gọi DT * là miền xác định của toán tử liên hợp T * cần xác định. Ta đưa ra định
nghĩa sau

Footer Page 10 of 114.


Header Page 11 of 114.

8

Định nghĩa 0.3.2. Cho ψ ∈ H 2 . Ta nói rằng ψ ∈ DT * nếu tồn tại hằng số

=
C C (ψ ) > 0 sao cho
(Tφ ,ψ ) 2 ≤ C φ

1

với mọi φ ∈ DT

(0.3.1)

Định nghĩa trên có nghĩa do mệnh đề sau:
Mệnh đề 0.3.3. Nếu y ∈ DT * thì có duy nhất một phần tử z ∈ H1 sao cho

( x, z )1 = (Tx, y ) 2 với mọi x ∈ DT .
Tóm lại ta có định nghĩa T* như sau: Giả sử T là toán tử tuyến tính không bị
chặn, xác định trù mật trên H1 . Toán tử liên hợp của T là T *: DT * ⊂ H 2 → H1 là toán

tử với miền xác định

DT * =

{ψ ∈ H

2

: ∃C (ψ ) > 0 sao cho (Tφ ,ψ ) 2 ≤ C φ 1 ,∀φ ∈ DT }

Như vậy DT* là một không gian con của H2 và T* là ánh xạ tuyến tính.
Mệnh đề 0.3.4. Nếu H là không gian Hilbert, M ⊆ H thì

M ⊥ = {h ∈ H : h , m

H

= 0, ∀m ∈ M }

là không gian con đóng.
Xét ánh xạ J : H 2 × H1 → H1 × H 2 xác định bởi J (h2 , h1 ) = (− h1 , h2 ) . Ta có J và J −1
biến một tập đóng thành một tập đóng.
Mệnh đề 0.3.5 Nếu T : H1 → H 2 là toán tử tuyến tính thì

( GT )

⊥

= J ( GT * )

Từ mệnh đề 0.3.4 và mệnh đề 0.3.5 ta có
Hệ quả 0.3.6. Toán tử T* là đóng.
Lưu ý: T* là đóng cho dù không nhất thiết đòi hỏi toán tử T là đóng.

Tx vôùi x ∈ DT } . Ta gọi KerT và
Đặt KerT ={ x ∈ DT ⊂ H1 : Tx =0} , RT =∈
{y H2 : y =
RT lần lượt là nhân và ảnh của T.
Mệnh đề 0.3.7. KerT * = RT⊥ .
Định lý 0.3.8. Nếu T là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật thì DT * trù mật
trong H 2 và T = T ** .

Footer Page 11 of 114.


Header Page 12 of 114.

9

Nếu T đóng ứng dụng Mệnh đề 0.3.7, Định lý 0.3.8 ta thu được

KerT Ker
RT⊥* . Trong trường hợp này ta có:
=
=
T **
⊥
=
RT Ker
=

RT * KerT⊥
T*,

Từ đó suy ra:

H1 =
KerT ⊕ RT * , H 2 =
KerT * ⊕ RT

Footer Page 12 of 114.

(0.3.2)


Header Page 13 of 114.

10

Chương 1
GIỚI THIỆU VỀ ĐA TẠP STEIN
Đa tạp Stein là một lớp các đa tạp phức có định nghĩa được mô hình hóa dựa trên các
tính chất của miền chỉnh hình trong  n . Mục 1.1. trình bày một số kết quả quan trọng
về miền chỉnh hình trong  n . Mục 1.2 dành trình bày định nghĩa và các ví dụ về đa tạp
Stein.
1.1. Miền chỉnh hình
Một khái niệm cơ bản trong giải tích phức là thác triển giải tích. Karl
Weierstrass vào 1841 đã biết một hàm giải tích (chỉnh hình) trong một hình vành khăn
trong mặt phẳng phức  có thể khai triển dưới dạng mà ngày nay người ta gọi là khai
triển chuỗi Laurent. Bằng cách đánh giá các hệ số của chuỗi này năm 1851 Bernhard
Riemann chứng minh rằng một hàm chỉnh hình trong một lân cận thủng của một điểm

p ∈  và bị chặn gần p có thể thác triển đến một hàm chỉnh hình lên toàn bộ lân cận

của p . Một kết quả được biết rất sớm là trên tập mở tùy ý D ⊂  tồn tại các hàm
chỉnh hình không thể thác triển giải tích qua mọi điểm biên của D . Một ví dụ minh
∞

họa là ta xét hàm Kronecker f ( z ) = ∑ z n trên đĩa đơn vị
2

n =1

𝔻 =∈
{ z { : z < 1} .

Một khám phá quan trọng là hiện tượng thác triển giải tích đồng thời. Năm
1897 Adolph Hurwitz chỉ ra rằng một hàm chỉnh hình có hai hay nhiều biến không có
các điểm bất thường cô lập. Các ví dụ hấp dẫn hơn về thác triển giải tích được tìm ra
bởi Friedrich Hartogs vào 1906. Hình Hartogs đơn giản nhất là miền H trong song đĩa
𝔻 2 ⊂  2 xác định bởi

H = { ( z, w) ∈ 𝔻 2 : z <

Footer Page 13 of 114.

1
1
hay w > }
2
2

Header Page 14 of 114.

11

w
1

w= c
𝔻2

H

(0, 0)

1
2

1

z

Hình. 1.1. Hình Hartogs trong song đĩa
Mọi hàm chỉnh hình trên H có thể thác triển thành hàm chỉnh hình trên song đĩa.
Mười lăm năm sau, Karl Reinhardt khi nghiên cứu miền hội tụ của chuỗi lũy
thừa nhiều biến đã chứng minh sự thác triển giải tích của các hàm chỉnh hình từ một
 ⊂ n
miền Reinhardt đầy đủ Ω ⊂  n đến miền Reinhardt đầy đủ lồi loga nhỏ nhất Ω

chứa Ω . Khám phá của Hartogs đã khởi đầu cho việc nghiên cứu trên “các miền tự

nhiên” của các hàm chỉnh hình. Sự thác triển giải tích một cách tổng quát được áp
dụng cho hàm đa trị. Theo một ý tưởng của Riemann, các hàm đa trị được xem như
các hàm đơn trị trên các miền Riemann trên  n : Một đa tạp phức X cùng với một ánh
xạ song chỉnh hình địa phương π : X →  n . Từ đó xuất hiện khái niệm về miền chỉnh
hình: một miền trong  n , hoặc trên  n , với một hàm chỉnh hình không thể mở rộng
đến miền rộng hơn.
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f ∈ A ( Ω ) được gọi là không thể mở rộng qua ∂Ω tại

( )

z0 ∈ ∂Ω khi với mọi lân cận Bz0 của z0 không tồn tại hàm f ∈ A Bz0 mà hạn chế của
nó trên một thành phần liên thông mở nào đó của Bz0  Ω. bằng f . Khi đó ta còn nói

f không có mở rộng f tại z0 .
Một miền Ω ⊂  n được gọi là miền chỉnh hình nếu với mọi điểm biên z0 ∈ ∂Ω
mà tại đó tồn tại f z0 ∈ A ( Ω ) không thể mở rộng qua ∂Ω tại z0 .
Chính xác hơn ta có định nghĩa

Footer Page 14 of 114.


Header Page 15 of 114.

12

Một tập con mở Ω ⊂  n được gọi là miền chỉnh hình nếu không có hai tập mở Ω1
, Ω 2 nào trong  n thỏa các tính chất sau
(a) ∅ ≠ Ω1 ⊂ Ω 2 ∩ Ω
(b) Ω 2 liên thông và không chứa trong Ω
(c) Với mọi u ∈ Α(Ω) tồn tại u2 ∈ Α(Ω 2 ) sao cho u = u2 trên Ω1

Nhiều lý thuyết cổ điển phát triển quanh vấn đề mô tả các miền chỉnh hình và
 của miền Ω ⊂  n cho trước: Miền lớn nhất sao cho mọi
xây dựng bao chỉnh hình Ω
.
hàm chỉnh hình trên Ω thác triển giải tích thành hàm chỉnh hình trên Ω

Định nghĩa 1.1.2. Nếu K là tập con compact của Ω thì ta định nghĩa Ω - bao
 Ω=
chỉnh hình ( hay A(Ω) -bao) của K là K

{z ∈ Ω : f ( z ) ≤ sup f

}

∀f ∈ A(Ω) .

K

Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi hàm khoảng cách xác định trên  n là hàm liên tục không
âm δ :  n → [0, ∞) sao cho
i) δ ( z ) = 0 khi và chỉ khi z = 0
ii) δ (λ z ) = λ δ ( z ) với mọi z ∈  n
Cho Ω là tập mở trong  n , δ là hàm khoảng cách, ta định nghĩa hàm δ -khoảng cách
đến biên của Ω như sau=
: δ Ω ( z)

inf δ ( z − w) . Ta có δ Ω là hàm liên tục theo z.

w∈ n \ Ω

Định lý 1.1.4. Cho Ω là miền chỉnh hình. Nếu f ∈ A(Ω) và
f ( z ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ K ,

với K là tập con compact của Ω , thì

Ω
f ( z ) ≤ δ Ω ( z ), z ∈ K
Đặc biệt, khi f là hàm hằng ta có :

inf

=
δ ( z − w)

z∈K , w∈ n \ Ω

inf

 , w∈ n \ Ω
z∈K
Ω

δ ( z − w)

Định lý 1.1.5. Cho Ω là một tập mở trong  n . Các mệnh đề sau tương đương
1) Ω là miền chỉnh hình

 Ω ⊂⊂ Ω và sup f ( z ) = sup f ( z ) với mọi f ∈ A(Ω)
2) Nếu K ⊂⊂ Ω thì K
 δ ( z)

z∈K δ Ω ( z )
z∈K
Ω
Ω

Footer Page 15 of 114.


Header Page 16 of 114.

13

 Ω ⊂⊂ Ω
3) Nếu K ⊂⊂ Ω thì K
4) Có một hàm f ∈ A(Ω) không thể thác triển giải tích qua Ω , nghĩa là không
thể tìm được Ω1 , Ω 2 thỏa a), b) trong Định nghĩa 1.1.1 và f 2 ∈ Α(Ω 2 ) sao cho f = f 2
trên Ω1
Định nghĩa 1.1.6. Một hàm γ xác định trên một tập mở Ω ⊂  n nhận giá trị
trong [ − ∞,+∞) được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu
i) γ là nửa liên tục trên
ii) Với bất kì z , w ∈  n , hàm τ → γ ( z + τ w) là hàm điều hòa dưới trong

{τ ∈ { : z + τ w ∈ Ω}
Mệnh đề 1.1.7. Một hàm u ∈ C 2 (Ω) là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu biểu
diễn dạng Lêvi của nó không âm, nghĩa là:

∂ 2u ( z )
w j wk ≥ 0 với mọi z ∈ Ω và w ∈  n
∑
j , k =1 ∂z j ∂ z k

n

Một hàm đa điều hòa dưới u ∈ C 2 (Ω) được gọi là đa điều hòa dưới ngặt nếu

∂ 2u ( z )
w j wk > 0 với mọi z ∈ Ω và 0 ≠ w ∈  n .
∑
j , k =1 ∂z j ∂ z k
n

Định lý 1.1.8. Nếu Ω là miền chỉnh hình thì − log δ ( z , Ω ) là đa điều hòa dưới và
liên tục
Miền Ω là được gọi là miền giả lồi nếu − log δ Ω ( z ) là hàm đa điều hòa dưới trên Ω .

− log δ Ω + z
Nhận xét: Bằng cách đặt ψ ( z ) =

2

thì ψ sẽ là hàm vét kiệt đa điều hòa

dưới trên Ω , nghĩa là với mỗi c ∈  thì tập K=
{z ∈ Ω:ψ (z)c

c1 < c2 thì K c1 ⊆ K c2 . Như vậy miền Ω có thể được vét kiệt thành dãy các tập
K j ( j ∈ * ) thỏa mãn: K1 ⊂⊂ K 2 ⊂⊂ ... ⊂⊂ Ω và



j

Kj = Ω.

Gọi P (Ω) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới xác định trên Ω .
Định nghĩa 1.1.9. Nếu K là tập con compact của Ω thì ta định nghĩa P(Ω) -bao của
K là

Footer Page 16 of 114.


Header Page 17 of 114.

14

 P ( Ω )= {z ∈ Ω : u ( z ) ≤ sup u ∀u ∈ P (Ω)}
K
K

Định lý 1.1.10. Cho Ω là tập mở giả lồi trong  n , K là tập con compact của Ω
 P ( Ω ) . Khi đó tồn tại một hàm u ∈ C ∞ (Ω) sao cho
và ω là một lân cận mở của K

a)

u là hàm đa điều hòa dưới ngặt

b)

u < 0 trong K nhưng u > 0 trong Ω ∩ ( n \ ω )

c)

{ x ∈ Ω | u ( x) < c} ⊂⊂ Ω với mọi

c∈

Hàm u trong định lý được gọi là hàm vét kiệt đa điều hòa dưới ngặt.
Kết quả sau chỉ ra rằng một tập mở trong  n với biên thuộc lớp C 2 là miền giả lồi
Định lý 1.1.11. Cho Ω ⊂  n là một tập mở với biên thuộc lớp C 2 . Giả sử

Ω=

{z ∈ {

n

: ρ ( z ) < 0} với ρ là một hàm thuộc lớp C 2 xác định trên lân cận của Ω và

grad r ≠ 0 trên ∂Ω . Khi đó Ω là miền giả lồi nếu và chỉ nếu
∂2ρ
w j wk ≥ 0 khi z ∈ ∂Ω và
∑
j , k =1 ∂z j ∂ z k
n

∂2ρ
wj = 0
∑
j =1 ∂z j

n

(1.1)
Điều kiện (1.1) được gọi là điều kiện Levi. Miền Ω trong định lý 1.1.11 được
gọi là miền giả lồi Levi (yếu). Eugenio E. Levi dự đoán rằng miền Ω được định nghĩa
như trên là miền chỉnh hình. Bài toán chứng minh một miền giả lồi là miền chỉnh hình
thường được gọi là bài toán Lêvi. Kết quả này sau đó đã được chứng minh:
Định lý 1.1.12. Với Ω là miền trong  n , ( n ≥ 1). Các điều kiện sau đây là tương
đương :
1) Ω là miền giả lồi
2) Ω là miền chỉnh hình
Định lý 1.1.13. Cho 0 ≤ ϕ ∈ C ∞ (  n ) , ϕ bằng 0 khi z > 1 , ϕ chỉ phụ thuộc vào

z1 ,..., zn , và giả sử rằng ∫ ϕ ( z )d λ ( z ) = 1 trong đó d λ là độ đo Lebesgue. Nếu u là
hàm đa điều hòa dưới trong Ω thì

=
uε

Footer Page 17 of 114.

∫ u ( z − εz )ϕ (z )d λ (z )


Header Page 18 of 114.

15

là hàm đa điều hòa dưới, uε ∈ C ∞ trong đó d ( z , C Ω) > ε , và uε  u khi ε  0 (ta
giả sử u ≡ −∞ ).

1.2. Khái niệm đa tạp Stein
Trong phần này ta sẽ định nghĩa một đa tạp tôpô n chiều (thực) như là một
không gian tôpô Hausdorff Ω mà mọi điểm trong Ω có một lân cận đồng phôi với
một tập mở trong  n . Khái niệm về đa tạp giải tích phức được xác định bởi họ các
đồng phôi như vậy
Định nghĩa 1.2.1. Cho (M,T) là một không gian tôpô Hausdorff, có một cơ sở
đếm được. M được gọi là một đa tạp tôpô nếu tồn tại một số tự nhiên n và với mỗi
điểm p ∈ M có một lân cận mở U của p, một ánh xạ x : U →  n mà là đồng phôi lên
ảnh x(U) của nó. Cặp (U,x) được gọi là một bản đồ (còn được gọi là mảnh tọa độ) trên
M, số tự nhiên n được gọi là chiều của M.
Định nghĩa 1.2.2. Một đa tạp Ω (2n chiều thực) được gọi là đa tạp giải tích phức
(hoặc đa tạp phức) n chiều phức nếu có một họ ℘ các đồng phôi k , được gọi là hệ
tọa độ giải tích phức (hay hệ tọa độ chỉnh hình) , từ các tập mở Ωk ⊂ Ω lên các tập
 ⊂  n sao cho
mở Ω
k

i) Nếu k và k ' ∈℘ thì ánh xạ:
k ' k −1 : k ( Ωk ∩ Ωk ' ) → k ' ( Ωk ∩ Ωk ' )

giữa các tập mở trong  n là ánh xạ giải tích (chỉnh hình). (Hoán đổi vị trí k và k ' ta
được ánh xạ ngược của nó cũng là ánh xạ giải tích)
ii)

∪ Ωk = Ω

k∈℘

iii) Nếu k0 là một đồng phôi từ tập mở Ω0 ⊂ Ω lên một tập mở trong  n và
ánh xạ

kk0−1 : k0 ( Ω0 ∩ Ωk ) → k ( Ω0 ∩ Ωk )

cùng với ánh xạ ngược của nó là các ánh xạ giải tích với mọi k ∈℘, thì k0 ∈℘.
Điều kiện iii) có thể không cần thiết. Vì nếu ℘ thỏa mãn i) và ii), ta có thể mở
rộng ℘ theo một cách duy nhất thành ℘' thỏa các điều kiện i), ii), iii). Như vậy một

Footer Page 18 of 114.


Header Page 19 of 114.

16

cấu trúc phức có thể được xác định bởi một họ tùy ý ℘ thỏa điều kiện i) và ii), nhưng
nếu điều kiện iii) được bỏ đi thì có nhiều họ xác định cùng cấu trúc. Họ như vậy được
gọi là tập đầy đủ của hệ tọa độ giải tích phức và hai tập như thế được gọi là tương
đương nếu chúng xác định cùng một cấu trúc.
Ta nói n hàm ( z1 ,..., zn ) giá trị phức được xác định trong một lân cận của điểm
w ∈ Ω là một hệ tọa độ địa phương tại w nếu chúng xác định một ánh xạ từ một lân

cận của w vào  n mà ánh xạ này là một hệ tọa độ theo nghĩa đươc định nghĩa ở trên.
Nếu f1 ,..., f n là các hàm giải tích trong lân cận của z (w) = ( z1 (w),..., zn (w) ) trong C n ,
 ∂f
thì ( f1 ( z ),..., f n ( z ) ) là một hệ tọa độ khác tại w nếu và chỉ nếu det  i
 ∂z j

n


≠ 0 tại w .


i , j =1

Điều này được suy ra từ định lý hàm ẩn.
Định nghĩa 1.2.3. Cho Ω1 và Ω2 là các đa tạp giải tích phức. Một ánh xạ
f : Ω1 → Ω2 được gọi là giải tích (chỉnh hình) nếu k2  f  k1−1 là giải tích (trên tập nó

được xác định) với mọi hệ tọa độ k1 trong Ω1 và k2 trong Ω2 .
Tất nhiên ta chỉ cần chọn các hệ tọa độ trong các tập đầy đủ các hệ tọa độ trong
Ω1 và Ω2 . Đặc biệt, bây giờ ta đã có khái niệm hàm giải tích (chỉnh hình) trên đa tạp

giải tích phức (Chọn Ω 2 = ). Tập hợp các hàm như thế với tôpô hội tụ đều trên các
tập con compact của Ω được ký hiệu là A(Ω) . Nếu Ω là đếm được ở vô tận, nghĩa là
nếu có một số đếm được các tập con compact K1 , K 2 ,.. sao cho mọi tập con compact
của Ω được chứa trong một K j nào đó, thì A(Ω) là không gian Fréchet. Tôpô trong
A(Ω) khi đó được xác định bởi họ nửa chuẩn

A(Ω) ∋ f  sup f

j=1,2,..

Kj

Mọi tập con mở trong một đa tạp phức Ω có một cấu trúc của đa tạp phức nên
khái niệm ánh xạ (hàm) giải tích trên một tập con mở cũng được xác định. Nhận xét
 ⊂  n thì f  k giải tích trong Ω . Do đó theo định
rằng nếu f là giải tích trong Ω
k
k

nghĩa của đa tạp phức các hàm giải tích tồn tại một cách địa phương. Chúng ta sẽ định
nghĩa một lớp các đa tạp mà cung cấp cho ta các hàm giải tích xác định toàn cục trên

Footer Page 19 of 114.


Header Page 20 of 114.

17

đó. Theo lý thuyết hàm phức chúng ta sẽ thấy các đa tạp như thế cơ bản giống như các
miền chỉnh hình trong  n .
Định nghĩa 1.2.4. Một đa tạp phức Ω có chiều (phức) là n mà đếm được ở vô tận
được gọi là một đa tạp Stein nếu

α ) Ω là lồi chỉnh hình , tức là:
=
K

{z ∈ Ω; f (z) ≤ sup f , ∀f ∈ A (Ω)}
k

là một tập compact của Ω với mọi tập compact K ⊂ Ω

β ) Ω là tách chỉnh hình, nghĩa là nếu z1 , z2 là các điểm khác nhau trong

Ω , dẫn

đến f ( z1 ) ≠ f ( z2 ) với f ∈ A ( Ω ) nào đó.

γ ) Với

z ∈ Ω , có thể tìm được n hàm f1 , f 2 ,..., f n ∈ A ( Ω ) tạo thành một hệ tọa độ tại

z.
Ví dụ. Theo định lý 1.1.5, mọi miền chỉnh hình trong  n là một đa tạp Stein.
Để có các ví dụ khác về đa tạp Stein ta cần một định nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.5. Một tập con V của đa tạp phức n chiều Ω được gọi là đa tạp
con phức có số chiều là m nếu
a) V là tập đóng.
b) Trong một lân cận ω của một điểm tùy ý v ∈ V tồn tại một hệ tọa độ địa

∩ V = {w : w ∈ , zm+1 (w) = ,... = zn (w) = 0}
phương z1 , z2 ,..., zn sao cho ww
Chúng ta có thể định nghĩa một cấu trúc giải tích tự nhiên trên V bởi hệ tọa độ

( z1 , z2 ,..., zm )

khi ( z1 , z2 ,..., zn ) là một hệ tọa độ của Ω với các tính chất đã được nêu.

Nếu f1 , f 2 ,..., f n là một hệ tọa độ tùy ý đối với Ω tại điểm v ∈ V ta luôn tìm được m
hàm trong các hàm này tạo thành một hệ tọa độ đối với V tại v . Vì Jacobi
det ( ∂fi / ∂z j ) ≠ 0 ( i, j =
1,..., n )

tại z ( v ) , ta có thể chọn được i1 , i2 ,..., im thỏa

(

)

det ∂fim / ∂zv ≠ 0

1,..., m )
( m, v =

Do đó việc hạn chế fi1 , f i2 ,..., f im đến V tạo thành một hệ tọa độ địa phương tại z.

Footer Page 20 of 114.


Header Page 21 of 114.

18

Định lý 1.2.6. Đa tạp con của đa tạp Stein là một đa tạp Stein
Chứng minh: Điều kiện (α ) , ( β ) tầm thường vì hạn chế trên một đa tạp con của một
hàm giải tích trong toàn bộ đa tạp nhất thiết phải là hàm giải tích. Điều kiện ( γ ) được
suy ra từ nhận xét vừa trình bày bên trên. 
Ta sẽ chứng minh trong chương 3 rằng mỗi đa tạp Stein chiều n có thể được
nhúng như là một đa tạp con của  2 n +1 .
Cuối cùng, ta chứng minh rằng Định lý 1.1.10 có thể được mở rộng đối với đa
tạp Stein.
Định lý 1.2.7. Cho Ω là một đa tạp Stein, K là tập compact của Ω , và ω là một

 . Khi đó tồn tại một hàm ϕ ∈ C ∞ ( Ω ) sao cho
lân cận mở của K
a) ϕ là một đa điều hòa dưới ngặt
b) ϕ < 0 trong K và ϕ > 0 trong Ω \ ω
c)

{ z : z ∈ Ω,ϕ ( z ) < c} ⊂⊂ Ω

với mọi c ∈ 

Chú ý: Khái niệm về tính điều hòa dưới ngặt cũng được định nghĩa cho hàm trên
một đa tạp phức vì nó là bất biến qua phép đổi biến giải tích
Chứng minh: Do điều kiện của (α ) trong định nghĩa 1.2.4 ta có thể chon một dãy

 , K ,... là các tập con compact của Ω sao cho K
=
K j, ∪ K j =
Ω và K j chứa
K1 = K
j
2
trong phần trong của K j +1 với mọi j . Lấy ω j là một tập mở với K j ⊂ ω j ⊂ K j +1 và
 = K , với mọi j ta có thể lựa chọn hàm f ∈ A ( Ω ) , k =
1,..., k j với
ω1 ⊂ ω . Từ K
jk
j
j

sup f kj < 1 để max f jk ( z ) > 1, z ∈ K j + 2 \ ω j . Bằng cách nâng f jk đên lũy thừa cao hơn
Kj

k

ta có thể sắp xếp sao cho

kj

∑
k =1

2

f jk ( z ) < 2− j

z∈Kj

(1.2.1)
kj

∑
k =1

Footer Page 21 of 114.

2

f jk ( z ) > j

z ∈ K j+2 \ ω j

(1.2.2)


Header Page 22 of 114.

19

Theo điều kiện ( γ ) trong định nghĩa 1.2.4 có thể giả thiết rằng trong những hàm
f jk , k = 1,..., k j , ta có thể tìm được n hàm tạo thành một hệ tọa độ địa phương tại điểm

bất kỳ trong K j . Đặt
=
j ( z)

∑

2

f jk ( z ) − 1

J ,K

Theo (1.2.1) tổng hội tụ và theo (1.2.2) j ( z ) > j − 1 khi z ∈ Ω \ ω j . Thật ra ϕ
thuộc C ∞ ( Ω ) , vì chuỗi

∑f

jk

( z ) f jk (ξ )

j ,k

hội tụ đều trong các tập con compact của Ω xΩ , nên tổng là giải tích theo z và liên hợp
của nó giải tích theo ζ . Dể thấy ϕ là một đa điều hòa dưới, và ϕ là đa điều hòa dưới

ngặt vì nếu với z nào đó
n

∑w
l =1

l

∂f jk
∂zl

( z ) = 0 với mọi j , k

thì z = 0 vì tồn tại n hàm f jk tạo nên hệ tọa độ địa phương tại z . 
Chú ý. Trong chứng minh định lý 1.2.7 ta chỉ sử dụng điều kiện ( α ), ( γ ) của định
nghĩa 1.2.4. Trong chương.2 điều này dẫn đến kết luận rằng điều kiện ( β ) chỉ là hệ
quả của các điều kiện kia

Footer Page 22 of 114.


Header Page 23 of 114.

20

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY – RIEMANN TRONG ĐA TẠP STEIN
Nội dung chính của chương là mở rộng các định lý về sự tồn tại và xấp xỉ
nghiệm đối với phương trình Cauchy-Riemann (phương trình ∂ ) trong  n lên đa tạp
Stein.

Mục 2.1 dành giới thiệu về toán tử ∂ lớp không gian

L2( p ,q ) (Ω,φ ) với

Ω là đa

tạp Stein. Mục 2.2 trước tiên trình bày các định lý về sự tồn tại nghiệm (Định lý 2.2.4),
về tính chính quy của nghiệm (Định lý 2.2.5), về xấp xỉ nghiệm (Định lý 2.2.8). Phần
cuối chương là Định lý 2.2.10. Định lý 2.2.10 cùng với định lý đảo của nó (Định lý
1.2.7) nêu lên đặc trưng của đa tạp Stein.
2.1. Toán tử

∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω,φ )

Trong phần này ta sẽ xây dựng toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω, φ ) như là
toán tử tuyến tính không bị chặn, đóng và xác định trù mật trên đa tạp Stein.
Cho Ω là một đa tạp phức n chiều, đếm được ở vô tận. Sự phân tích các dạng vi
phân thành các dạng loại (p;q) và định nghĩa toán tử δ có thể được mở rộng đến các
dạng và hàm trên đa tạp Ω , vì các khái niệm này bất biến đối với các phép biến đổi
giải tích các tọa độ.
Để mở rộng các kỹ thuật không gian Hilbert sử dụng trong trường hợp Ω là
một tập mở trong  n ta phải giới thiệu chuẩn Hec-mit trên các dạng vi phân trên Ω .
Khi đó, ta chọn một metric Hec-mit trên Ω , nghĩa là, một metric Riemann mà trong hệ
tọa độ giải tích z1 ,..., zn có dạng
n

∑h

j , k =1

jk

dz j d zk

ở đây h jk là ma trận Hecmit xác định dương với các hệ số thuộc lớp C ∞ . Sự tồn tại của
một cấu trúc Hec-mit như vậy là tầm thường tại địa phương, và có thể chứng minh sự
tồn tại trong miền lớn hơn bằng cách sử dụng phân hoạch đơn vị. Phần tử thể tích bất
biến xác định bởi cấu trúc này được ký hiệu là dV.

Footer Page 23 of 114.


Header Page 24 of 114.

21

n

Nếu f có dạng loại (1, 0 ) và f = ∑ f j dz j trong hệ tọa độ địa phương, ta đặt
1

f , f = ∑ h kj f j f k

ở đây ( h kj ) là nghịch đảo của ( h jk ) . Dạng Hec-mit này xác định bất biến vì
f , f = sup ∑ f j dz j / ∑ h jk dz j d zk
2

Theo quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt mọi điểm trong Ω tồn tại một lân
cận U mà trên đó tồn tại n dạng ω1 ,..., ω n loại (1, 0 ) , với hệ số thuộc C ∞ sao cho tại mọi
điểm thuộc U :

=
ω j , ω k δ=
j , k 1,..., n
jk
n

Nếu đặt f = ∑ f jω j , thì

f , f = ∑ f j . Tổng quát hơn, một dạng vi phân f
2

1

loại ( p, q ) có thể được viết theo cách duy nhất như một tổng
=
f

∑∑
'

'

=
I p=
J q

fI ,Jω I ∧ ω

J

ở đây f I , J là phản đối xứng cả đối với I và J và

∑

'

có nghĩa là tổng được lấy chỉ trên

các đa chỉ số tăng. Ta định nghĩa f , f như sau
f ,=
f

=
f
2

∑

'

2

f I ,=
J

2
1
fI ,J ,
∑
p !q !

vì định nghĩa này là độc lập với sự lựa chọn cơ sở trực giao ω1 ,..., ω n .
Tương tự như trong Định lý 1.1.13, ta chọn dãy η1 ,η2 ,.... các hàm trong
C0∞ ( Ω ) với 0 ≤ ηn ≤ 1 và ηv = 1 trên các tập con compact tùy ý của Ω khi v đủ lớn (mỗi

hàm chỉ được chọn một lần). Ta sẽ thay đổi metric Hec-mit để

∂ηv ≤ 1 trong Ω

, v = 1,2,....

(2.1.1)
Để thấy rằng điều này có thể thực hiện được ta chỉ cần lưu ý rằng với metric
Hec-mit đã cho ta có thể chọn một hàm dương M trên Ω thuộc lớp C ∞ sao cho
∂ηv ≤ M , ∀v

Footer Page 24 of 114.


Header Page 25 of 114.

22

Thực ra, điều này có nghĩa là chỉ có một số hữu hạn cận dưới đối với M trên tập
hợp con compact bất kỳ của Ω . Nếu thay thế metric bởi
M 2 ∑ h jk dz j dzk

điều kiện (2.1.1) sẽ được thỏa mãn khi chuẩn của ηv được xác định đối với metric mới.
Từ bây giờ chúng ta giữ cấu trúc Hec-mit và dãy ηv cố định.
Lấy ϕ là một hàm thuộc C 2 ( Ω ) , và đặt L2( p ,q ) ( Ω, ϕ ) là không gian của tất cả các

(lớp tương đương của) dạng loại ( p, q ) sao cho các hệ số là đo được trong tọa độ địa
phương bất kỳ, và

∫

=
f ϕ
2

f e −ϕ dV < ∞
2

với tích vô hướng tương ứng là (.,.)ϕ .
Ta chứng minh rằng toán tử ∂ xác định các toán tử tuyến tính, đóng, trù mật
sau
T : L2( p ,q ) ( Ω, ϕ ) → L2( p ,q +1) ( Ω, ϕ )

và
S : L2( p ,q +1) ( Ω, ϕ ) → L2( p ,q + 2) ( Ω, ϕ )

Gọi D( p ,q ) (Ω) là tập các hàm (p,q)-dạng có các hệ số thuộc Co∞ (Ω) . Ta có
D( p ,q ) (Ω) là tập trù mật trong L2( p ,q ) (Ω, ϕ ) với mọi ϕ .

Nếu

f ∈ L2( p ,q ) (Ω, ϕ ) là một (p,q) - dạng với

f I , J là các hệ số trơn

( f I , J ∈ C ∞ (Ω) ) thì toán tử vi phân ∂ xác định như sau:

=
∂f

n

∑∑∑
'

'

∂f I , J

∂ω
∂f I , J

=
I p=
J q=
k 1
n

=∑ ' ∑ '∑
=
I p=
J q=
k 1

=∑ '

∂ω

∑ ∑
'

k

'

k

ω ∧ωI ∧ω

k

k

(−1) p ω I ∧ ω ∧ ω

∂f I , J
∂ω

I ==
p L q +1 k , J =
q

Footer Page 25 of 114.

J

k

J

(−1) p ε kJL ω I ∧ ω

(2.1.2)
L