Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

SẦM THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CẶP TÍCH PHÂN FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

SẦM THỊ HẰNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CẶP TÍCH PHÂN FOURIER

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS.NGUYỄN THỊ NGÂN

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

i


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS.Nguyễn Thị Ngân, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có
thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của
trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng
dạy lớp cao học K23 (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều
kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và thức hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Toán tử tích phân kì dị trong không gian L2ρ . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian L2ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Toán tử tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại một . . . . . . . . .
1.3 Các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . .
1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . . . . .
1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh . . . .
1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . .

1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không
gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . .
1.6.1 Không gian S của các hàm suy rộng tăng chậm . . . .
1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . .

iii

3
3
3
3
4
4
5
6
6
8
10
11
11
12
12
12
12
13


1.6.3

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không
gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . .
1.7 Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Không gian H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s
(Ω), H s (Ω) . . . . . . . .
1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o
1.8 Các không gian Sobolev vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14
15
15
15
16
17
18

2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier 21
2.1 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 21
2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . 22
2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân
Fourier (2.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương
trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy . . . . . . . . . . . 25
2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về

hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . 27
2.2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 30
2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng
không thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình cặp
tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54

iv


Mở đầu
Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán hỗn
hợp của Vật lý toán như các bài toán về khe hở, vết nứt, về dị tật môi trường,
về tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi. . . Trong khoảng một vài thập niên gần
đây, nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm đến vấn đề tính giải được
của phương trình cặp. Gần đây Nguyễn Văn Ngọc và Nguyễn Thị Ngân cũng
đã nghiên cứu về tính giải được của một số hệ phương trình cặp tích phân
Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa
và phương trình song điều hòa.
Khi nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier
người ta đã biến đổi về hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy. Lý
thuyết các phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy đã được hoàn thiện ở
nửa đầu thế kỉ 20. Các phương pháp giải gần đúng bao gồm các phương pháp

cầu phương trực tiếp, phương pháp nội suy bằng phương pháp Lagrange,
phương pháp sắp xếp thứ tự, phương pháp đa thức trực giao.
Với mong muốn được giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân
Fourier, chúng tôi chọn đề tài "Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích
phân Fourier". Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo
gồm có hai chương nội dung.
Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về toán tử tích
phân, phương trình tích phân, các đa thức Chebyshev, hệ vô hạn các phương
trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh,
biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev,
các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi
phân vectơ.
Chương hai trình bày về tính giải được của một hệ phương trình cặp tích
phân với phép biến đổi Fourier và giải gần đúng hệ phương trình cặp tích
phân Fourier. Mục 2.1 trình bày về tính giải được của một hệ phương trình
cặp tích phân với phép biến đổi Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn
1


hợp của phương trình điều hòa, các Định lí 2.1.1, Định lý 2.1.3 trình bày về
tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân Fourier,
đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương trình tích phân kì dị
nhân Cauchy, sau đó đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ
vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Mục 2.2 thực hiện giải gần đúng
một hệ phương trình cặp tích phân Fourier với các bước: Đưa hệ phương
trình tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên; tính gần đúng ma trận
hạch của hệ phương trình tích phân Fourier; thực hiện giải gần đúng hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tính đã được chặt cụt đến N=6, sau đó
tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân Fourier.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, trường
Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành được khóa học của mình.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Toán tử tích phân kì dị trong không gian L2ρ
Không gian L2ρ

Định nghĩa 1.1.1. [3]. Với a < x < b xét hàm trọng

ρ(x) = (x − a)α (b − x)β , α, β > −1.
Kí hiệu L2ρ (a, b) là tập của tất cả các hàm u(x) bình phương khả tích với
trọng ρ, nghĩa là
1
b
ρ(x)|u(x)|2 dx 2 < ∞.
(1.1)
||u|| :=
a

Tích vô hướng trong L2ρ (a, b) được xác định bởi công thức

b

(u, v)ρ :=

ρ(x)u(x)v(x)dx.

(1.2)

a

Rõ ràng với chuẩn (1.1) và tích vô hướng (1.2) thì L2ρ (a, b) là một không
gian Hilbert.
1.1.2

Toán tử tích phân kì dị

Trong không gian L2ρ (a, b), xét toán tử
b

1
SJ [u](x) =
iπ

u(y)dy
, x ∈ J := (a, b),
y−x
a
3

(1.3)

trong đó tích phân được hiểu theo giá trị chính Cauchy.
Định lý 1.1.2. [3].Với ρ(x) = (x − a)α (b − x)β , −1 < α, β < 1,
−∞ < a < b < ∞ thì toán tử SJ bị chặn, do đó là liên tục trong L2ρ (a, b).

1.2
1.2.1

Phương trình tích phân
Định nghĩa phương trình tích phân

Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm
chưa biết nằm trong dấu tích phân.
Ví dụ 1. Với a ≤ s, t ≤ b ta có các phương trình tích phân:
b

f (t) = λ

K(t, s)g(s)ds,

(1.4)

K(t, s)g(s)ds,

(1.5)

a
b

g(t) = λ
a

b

(K(t, s))2 ds,

g(t) = λ

(1.6)

a
b

g(t) = f (t) + λ

K(t, s)g(s)ds.

(1.7)

a

Thấy rằng:
+ Hàm ẩn g(t) phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm
ngoài dấu tích phân.
+ Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là
bậc 1 (ví dụ các phương trình (1.4) và (1.5) là tuyến tính còn (1.6) là không
phải).
+ Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa
được về dạng (A − λI)g = f, trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A

là toán tử tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính.

4


Định nghĩa 1.2.2. Phương trình có dạng:
b

g(t) = f (t) + λ

K(t, s)g(s)ds
a

được gọi là phương trình Fredhom loại 2, trong đó g(t) là hàm chưa biết,
f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số.
Phương trình có dạng:
b

f (t) = λ

K(t, s)g(s)ds
a

được gọi là phương trình Fredhom loại 1, trong đó g(t) là hàm chưa biết,
f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số.
1.2.2

Phương trình tích phân kì dị loại một

Xét phương trình tích phân kì dị sau

b

ϕ(τ )
dτ = f (ξ), a < ξ < b.
τ −ξ

1
π

(1.8)

a

Phương trình (1.8) là một trường hợp riêng quan trọng của các phương trình
tích phân kì dị thường gặp trong nhiều bài toán cơ học và Vật lý toán. Trong
phương trình trên ta giả thiết rằng hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder.
Tùy thuộc vào dáng điệu của ẩn hàm ở các đầu mút của đoạn
[a, b], ta có các công thức nghiệm sau đây của phương trình:
a. Nghiệm không bị chặn ở hai đầu mút:
b

ϕ(ξ) = −

1
1
(ξ − a)(b − ξ) π

(τ − a)(b − τ )f (τ )
dτ + a0 ,
τ −ξ

a

a <ξ< b,

(1.9)

trong đó a0 là hằng số tùy ý.
b. Nghiệm bị chặn tại đầu mút ξ = a và không bị chặn tại đầu mút ξ = b :

ϕ(ξ) = −

b

ξ−a1
b−ξπ
a
5

b − τ f (τ )
dτ .
τ − aτ − ξ

(1.10)


c. Nghiệm không bị chặn tại t = a và bị chặn tại t = b :
b

b−ξ 1

ξ − aπ

ϕ(ξ) = −

τ − a f (τ )
dτ .
b−τ τ −ξ

(1.11)

a

d. Nghiệm bị chặn tại hai đầu mút:
b

f (τ )
dτ
,
(τ − a)(b − τ ) τ − ξ

1
ϕ(ξ) = − (ξ − a)(b − ξ)
π
a

(1.12)

với điều kiện
b

f (τ )dτ
= 0.
(τ − a)(b − τ )

a

1.3
1.3.1

(1.13)

Các đa thức Chebyshev
Đa thức Chebyshev loại một

Định nghĩa 1.3.1. [12]. Đa thức Chebyshev bậc n loại một Tn (x) được xác
định như nghiệm của phương trình sai phân

Tn+1 (x) − 2xTn (x) + Tn−1 (x) = 0,
T0 (x) = 1,
T1 (x) = x.
Nghiệm của phương trình sai phân trên là

Tn (x) = cos(n arccos x), Tn (cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, ...).
Ta có một số công thức của đa thức Chebyshev loại một như sau:
a. Biểu thức hiển
[n]

n 2 (−1)m (n − m − 1)!
(2x)n−m .
Tn (x) =

2 m=0
m!(n − 2m)!
b. Các đa thức bậc thấp

T0 (x) = 1, T1 (x) = x,
T2 (x) = 2x2 − 1,
T3 (x) = 4x3 − 3x,
6


T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1,
T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x,
T6 (x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1.
c. Một số hệ thức

Tn (−x) = (−1)n Tn (x), Tn (1) = 1,
Tn+m (x) + Tn−m (x)
Tn (x)Tm (x) =
,
2
Tn (Tm (x)) = Tnm (x).

Tn (−1) = (−1)n ,

d. Trực giao
1

−1





0,

Tm (x)Tn (x)
√
dx = π,

1 − x2

π,
2

m = n,
m = n = 0,
m = n = 0.

e. Các hệ thức phổ
1

−1

Tn (y)dy
= πUn−1 (x),
(y − x) 1 − y 2
1

1
π

ln
−1

1 Tn (y)dy
=σn Tk (x), (n = 0, 1, 2, ...),
|x − y| 1 − y 2

trong đó Un (x) là đa thức Chebyshev loại hai, còn

ln 2, n = 0,
σn = 1
 , n = 1, 2, ...
n
f. Nghiệm của Tn (x)
Tất cả các nghiệm của Tn (x) đều thuộc đoạn [-1,1] và được xác định theo
công thức:
(2k − 1)π
xk = cos θk = cos
, k = 1, 2...
2n
g. Phương trình vi phân

(1 − x)y − xy + n2 y = 0, y = Tn (x).

7


1.3.2

Đa thức Chebyshev loại hai

1. Định nghĩa [12]. Đa thức Chebyshev bậc n loại hai Un (x) được xác định
như nghiệm của phương trình sai phân

Un+1 (x) − 2xUn (x) + Un−1 (x) = 0,
U0 (x) = 1,
U1 (x) = 2x.
Nghiệm của phương trình sai phân trên là

x = cos θ, Un (cos θ) =

sin[(n + 1)θ]
.
sin θ

2. Biểu thức hiển

π
]
2 (−1)m (n − m)!
Un (x) =
(2x)n−m , n = 1, 2, ...
m!(n − 2m)!
m=0
[

3. Các đa thức bậc thấp

U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x,
U2 (x) = 4x2 − 1,

U3 (x) = 8x3 − 4x,
U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1,
U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x.
U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1.
4. Một số hệ thức giữa Tn (x) và Un (x)
Un (−x) = (−1)n Un (x),
Un (1) = n + 1, Un (−1) = (−1)n (n + 1),
Tn−m (x) − Tn+m+2 (x)
,
Un (x)Um (x) =
2(1 − x2 )
1
Tm Un (x) = [Un−m (x) + Un+m (x)],
2
d
Tn (x) = nUn−1 (x),
dx
xTn (x) − Tn+1 (x) = (1 − x2 )Un−1 (x),
Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x).

8


5. Trực giao

0, m = n,
2
Um (x)Un (x) 1 − x dx = π
 , m = n.
−1

2
6. Các hệ thức phổ
1

1

1 − y 2 Un−1 (y)dy
= −πTn (x), (n = 1, 2, ...),
y−x

−1

trong đó Tn (x) là đa thức Chebyshev loại một.
7. Nghiệm của Un (x)
Tất cả các nghiệm của Un (x) đều thuộc đoạn [-1,1] và được xác định theo
công thức sau:
kπ
xk = cos θk = cos
, k = 1, 2..., n.
n+1
8. Phương trình vi phân

(1 + x)y − 3xy + n(n + 2)y = 0, y = Un (x).
Ta có một số công thức sau [12] :

Tn (cos θ) = cos(nθ), Un (cosθ) =

sin(n + 1)θ
,
sin θ

(1.14)

b

Tk [η(x)]Tj [η(x)]
dx = αk δkj ,
ρ(x)

(1.15)

Uk [η(x)]Uj [η(x)]ρ(x)dx = βδkj ,

(1.16)

−2π
Tk [η(x)]dy
dx =
Um−1 [η(x)], k = 0, 1, ...,
(x − y)ρ(y)
b−a

(1.17)

a
b

a
b

a
b

với δkj

ρ(y)Uk−1 [η(y)]dy
π(b − a)
=
Tk [η(x)], k = 1, 2, ...,
x−y
2
a

π, k = 0,
là kí hiệu Kronecker và α = π
 , k = 1, 2, ...
2
2
2x − (a − b)
π(b − a)
, η(x) =
.
β=
8
b−a
9

(1.18)

1.4

Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau
∞

ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...),

xi =

(1.19)

k=1

trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các hệ số đã biết.
Định nghĩa 1.4.1. [5]. Tập hợp những số x1 , x2 ,... được gọi là nghiệm của
hệ (1.19) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.19) ta có các chuỗi
hội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn. Nghiệm được gọi là chính
nếu nó tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị ban đầu bằng
không.
Định nghĩa 1.4.2. [5]. Hệ vô hạn (1.19) được gọi là chính quy nếu
∞

|ci,k | < 1, (i = 1, 2, ...).

(1.20)

|ci,k | ≤ 1 − θ < 1, 0 < θ < 1, (i = 1, 2, ...),

(1.21)

k=1

Nếu có thêm điều kiện
∞

k=1

thì hệ này được gọi là hoàn toàn chính quy. Nếu có thêm bất đẳng thức
(1.20) (tương ứng (1.21)) đúng với i = N + 1, N + 2, ..., thì hệ (1.19) được
gọi là tựa chính quy (tương ứng, tựa hoàn toàn chính quy).
Ta kí hiệu
∞

ρi = 1 −

|ci,k |, (i = 1, 2, ...).
k=1

Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0.
Giả sử hệ (1.19) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện

|bi | ≤ Kρi , (K = const > 0).

(1.22)

Định lý 1.4.3. [5]. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do
của hệ vô hạn chính quy thỏa mãn điều kiện (1.22) thì nó có nghiệm bị chặn
|xi | ≤ K và nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.

10


Định lý 1.4.4. [5]. (Sự "chặt cụt"). Nghiệm chính x∗ của hệ chính quy
∞

cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, ...),

xi =
k=1

cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi có thể tìm được bằng
phương pháp "chặt cụt", nghĩa là nếu xN
i là nghiệm của hệ hữu hạn
N

cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, ..., N ),

xi =
k=1

thì

x∗i = lim xN
i .
N →∞

Định lý 1.4.5. [5]. (Bondarenko P.S). Hệ chính quy có thể có không quá
một nghiệm tiến đến không, nghĩa là

lim xi = 0.

i→∞

1.5
1.5.1

Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh
Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh

Định nghĩa 1.5.1. [4], [13], [14]. Kí hiệu S = S(R) là tập hợp của các hàm
khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện
p
p

|Dk ϕ| < ∞, p = 0, 1, 2, ..., m,

|[ϕ]|p = sup (1 + |x|)
x∈R

0

d
. Dãy {|[ϕ]|p }k là một họ các nửa chuẩn. Dãy
dx
{ϕk } ⊂ S được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S , nếu |[ϕk − ϕ]|p → 0, khi
k → ∞; p = 0, 1, 2, ..., m. Tập hợp S với hội tụ trên đây được gọi là không
gian các hàm cơ bản giảm nhanh.
trong đó kí hiệu D =

2

Ví dụ 1.5.2. Hàm ϕ(x) = e−x ∈ C ∞ (R) là hàm giảm nhanh.
Định lý 1.5.3. [4], [13], [14] Tập hợp C0∞ (R) của các hàm khả vi vô hạn có
giá compact trong R là trù mật trong S theo tô pô của S .

11


1.5.2

Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh

Vì hàm cơ bản trong không gian S là những hàm khả tổng trong R nên
biến đổi Fourier được xác định theo công thức
∞

ϕ(x)eix ξ dx, ϕ ∈ S.

F [ϕ](ξ) =
−∞

1.5.3

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian
S

1. Đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier

Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix )α ϕ](ξ).
2. Biến đổi Fourier của đạo hàm

F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ).
3. Đẳng thức Parseval
Giả sử f ∈ L1 (R). Khi đó ta có đẳng thức
+∞

+∞

f (x)F [ϕ](x)dx, ϕ ∈ S.

F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ =
−∞

(1.23)

−∞

4. Công thức biến đổi Fourier ngược

ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]],

F −1 [ϕ(ξ)](x) =

1
F [ϕ(−ξ)](x ).
(2π)n

Định lý 1.5.4. [10], [11]. Biến đổi Fourier F từ S vào S là ánh xạ tương

ứng một- một và liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính.

1.6
1.6.1

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
Không gian S của các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.6.1. [4], [13], [14]. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S
được gọi là hàm suy rộng tăng chậm. Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm
ký hiệu là S . Giá trị của f ∈ S trên phần tử ϕ ∈ S được kí hiệu là f, ϕ ,
12


còn trên phần tử liên hợp phức ϕ, kí hiệu là (f, ϕ). Dãy{fk } ∈ S hội tụ đến
f ∈ S , nếu fk , ϕ → f, ϕ , ϕ ∈ S.
Giả sử f là hàm khả tích địa phương, ngoài ra đối với N>0 nào đó:
+∞

|f (x)|(1 + |x|)−N dx < ∞.
−∞

Khi đó hàm f tương ứng với một phiếm hàm trên S theo công thức:
+∞

(f, ϕ) =

f (x)ϕ(x)dx.
−∞

Phiếm hàm trên được gọi là hàm suy rộng chính quy. Dễ thấy rằng phiếm
hàm trên đây là tuyến tính và liên tục trên S.
Định lý 1.6.2. [13]. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S là không
gian đầy đủ.
1.6.2

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm

Công thức (1.23) có thể viết lại dưới dạng

F [f ], ϕ = f, F [ϕ] , ϕ ∈ S.
Công thức này là cơ sở của định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.6.3. [13], [14] Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức

F [f ], ϕ = f, F [ϕ] , f ∈ S , ϕ ∈ S.

(1.24)

Vì phép toán ϕ → F (ϕ) là đẳng cấu và liên tục từ S vào S, nên phiếm
hàm F [f ] xác định theo công thức (1.24) được hiểu theo nghĩa S , hơn nữa,
phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S vào S .
Định nghĩa 1.6.4. [13], [14]. Phép biến đổi Fourier F −1 được xác định trong
S theo công thức

F −1 [f ] =

1
F [f (−x)], f ∈ S ,
2π

trong đó f (−x) là hàm suy rộng phản xạ của hàm suy rộng f (x) :

f (−x), ϕ(x) = f, ϕ(−x) , ϕ ∈ S.
13

(1.25)


Rõ ràng F −1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S vào S . Ta sẽ chứng tỏ
rằng, toán tử F −1 là biến đổi Fourier ngược của F, nghĩa là

F −1 [F [f ]] = f,

F [F −1 [f ]] = f,

f ∈S.

(1.26)

Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S, thì các công thức trong
(1.25) đúng trong S trù mật trong S , do đó (1.26) cũng đúng trong S .
1.6.3

Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian

S
1. Đạo hàm của biến đổi Fourier

Dα F [f ] = F [(ix )α f ], f ∈ S .

(1.27)

2. Biến đổi Fourier của đạo hàm

F [Dα f ] = (−iξ)α F [f ], f ∈ S .

(1.28)

F [f ], F [ϕ] = 2π f (−x), ϕ(x) , f ∈ S , ϕ ∈ S.

(1.29)

3. Đẳng thức Parseval

4. Biến đổi Fourier của dịch chuyển

F [f (x − x0 ] = eiξx0 F [f ], f ∈ S .

(1.30)

5. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compact
Nếu f ∈ S và có giá compact, thì F [f ] ∈ C ∞ , và tăng chậm ở vô cùng,
nghĩa là
mα
|Dα F [f ](ξ)| ≤ Cmα (1 + |ξ|2 ) 2 .
1.6.4

Biến đổi Fourier của tích chập

Định nghĩa 1.6.5. [4], [13], [14].
i) Nếu f ∈ S , η ∈ S, thì f ∗ η được xác định theo công thức

f ∗ η = f (y), η(x − y) .
Khi đó

F [f ∗ η](ξ) = F [f ](ξ)F [η](ξ).

14


ii) Nếu f, g ∈ S , supp g là tập compact thì f ∗ g ∈ S và được xác định theo
công thức
f ∗ g, ϕ = f (y), g(x), ϕ(x + y) .
Khi đó

F [f ∗ g] = F [f ].F [g].

1.7
1.7.1

Các không gian
Không gian H s (R)

Định nghĩa 1.7.1. [4], [13], [14]. Giả sử s ∈ R. Kí hiệu Hs (R) là không gian
của các hàm suy rộng u ∈ S , có biến đổi Fourier u(ξ) thỏa mãn điều kiện:
+∞

|u(ξ)|2 (1 + |ξ|2s )dξ < ∞.

||u||2s =

(1.31)

−∞

Kí hiệu H s là không gian của các hàm u = F [u], với u ∈ H s (R). Công
thức (1.31) xác định chuẩn trong H s và trong H s . Nhận xét rằng, H s và H s
là không gian Hilbert với tích vô hướng
+∞

(1 + |ξ|2s )u(ξ)v(ξ)dξ.

(u, v)s =

(1.32)

−∞

Định lý 1.7.2. [4], [13], [14]. Đối ngẫu của không gian H s (R) là không gian
H −s (R). Ngoài ra tập hợp C0∞ (R) của các hàm khả vi vô hạn có giá compact
trù mật trong H s (R), s ∈ R.
1.7.2

s
Các không gian Hos (Ω), Ho,o
(Ω), H s (Ω)

Định nghĩa 1.7.3. [14]. Giả sử Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không
giao nhau trong R . Kí hiệu Hos (Ω) là không gian con của không gian H s (R)

được định nghĩa như bao đóng của C0∞ (Ω) theo chuẩn của H s (R). Tập hợp
s
của các hàm trong H s (R) có giá trong Ω được kí hiệu là Ho,o
(Ω).
s
Chuẩn trong Ho (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.31) và mọi hàm
u ∈ Hos (Ω) có supp u ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ Hos (Ω). Khi đó tồn tại
dãy {uk } ∈ C0∞ (Ω) hội tụ đến u theo chuẩn của H s (R). Kí hiệu Ω = R/Ω.
Như vậy, ta có uk , ϕ = 0 với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω ). Do tính liên tục suy ra
15


u, ϕ = 0 với mọi ϕ = C0∞ (Ω ). Điều đó chứng tỏ supp u ⊂ Ω. Như vậy
s
Hos (Ω) ⊂ Ho,o
(Ω).
Định nghĩa 1.7.4. [4].Giả sử f = H s (R) . Kí hiệu fΩ là hạn chế của f trên
Ω , nghĩa là

fΩ , ϕ = f, ϕ với mọi ϕ ∈ Co∞ (Ω).
Kí hiệu p, tương ứng là các toán tử bị hạn chế trên Ω và toán tử thác
triển ra R. Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc H s (R) trên Ω kí hiệu
H s (Ω). Chuẩn trong H s (Ω) được xác định theo công thức

f

H s (Ω)

= inf

f s,

(1.33)

trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển f ∈ H s (R) của f ∈ H s (Ω).

1.8

Các không gian Sobolev vectơ

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính. Ta kí hiệu tích trực tiếp của hai
không gian X là X 2 . Tôpô trong X 2 là tôpô thông thường của tích trực
tiếp. Ta dùng chữ in đậm để kí hiệu hàm vectơ ma trận. Kí hiệu u là vectơ
có dạng u = (u1 , u2 ) và
S2 = S × S,

S2 = S ×S .

Cho hàm vectơ u ∈ (S )2 , w ∈ (S)2 , đặt
2

u, w =

uj , wj .
j=1

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm vectơ
u ∈ (S )2 là hàm vectơ F ±1 [u] = (F ±1 [u1 ] , F ±1 [u2 ]) được xác định bằng
công thức

F [u](ξ), w(ξ) = u(x), F [w] (x) ,
1
u(x), F [w](−x) ,
F −1 [u](ξ), w(ξ) =
2π
trong đó w ∈ S2 .

16

(1.34)


s

s

Giả sử H sj (R), Ho j (Ω), Ho,oj (Ω), H sj (Ω) là các không gian Sobolev, trong
đó j = 1, 2; Ω là một khoảng hoặc hệ khoảng không giao nhau trong R .
Ta đặt
→
−
→
−
s = (s , s )T , H s (R) = H s1 (R) × H s2 (R),
1 2
→
−
s
Ho (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω),
→

−
s1
s2
s
(Ω) = Ho,o
(Ω) × Ho,o
(Ω),
Ho,o
→
−
s
s
s

H (Ω) = H 1 (Ω) × H 2 (Ω).
→
−
→
−
Tích vô hướng và chuẩn trong H s (R) và Hos (R) được xác định bởi các
công thức

 21
2

2

−
(u, v)→
s =

(uj , vj )sj ,

u

→
−
s

=

uj

2 
sj

,

(1.35)

j=1

j=1

với uj sj , (uj , vj )sj được xác định tương ứng theo các công thức (1.31) và
(1.32).
→
−
Chuẩn trong H s (Ω) được xác định bởi công thức


u

→
−

H s (Ω)

2

=

uj

2
H sj (Ω)

1
2
 ,

(1.36)

j=1

−
trong đó →
s = (s1 , s2 ), sj ∈ R, (j = 1, 2).
→
−

Mệnh đề 1.8.1. [10], [11]. Không gian Hos (Ω) là không gian con đóng của
→
−
không gian H s (R) .
→
−

Mệnh đề 1.8.2. [10], [11]. Tập hợp Co∞ (Ω) trù mật trong Hos (Ω) theo chuẩn
→
−
của Hos (Ω) .

1.9

Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.9.1. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên một
trường K, một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu:

A(x + y) = A(x) + A(y) với mọi x, y ∈ X;
A(λx) = λA(x) với mọi x ∈ X, λ ∈ K.

17


Các toán tử tuyến tính thường kí hiệu là A, B, C, ...
Định nghĩa 1.9.2. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn
trên cùng một trường K. Ánh xạ A : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu
với mọi dãy (xn ) ⊂ X mà xn → x0 thì Axn → Ax0 . A được gọi là liên tục
trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.

→
−

H s (R)

Định lý 1.9.3. [10], [11]. Giả sử
→
−

∗

→
−

không gian H s (R). Khi đó H s (R)

∗

là không gian đối ngẫu của
→
−

đẳng cấu với H− s (R). Ngoài ra, giá

→
−

→
−

trị của phiếm hàm f ∈ H− s (R) trên phần tử u ∈ H s (R) được cho bởi công
thức
+∞

2

fj (ξ)uj (ξ)dξ,

((f, u)o ) =

(1.37)

j=1 −∞

trong đó uj (ξ) = F [uj ] (ξ), fj (ξ) = F [fj ] (ξ).
→
−

Định lý 1.9.4. [10], [11]. Giả sử Ω ⊂ R, u = (u1 , u2 )T ∈ H s (Ω),
→
−
→
−
f ∈ H− s (Ω) và f = ( 1 f1 , 2 f2 )T ∈ H− s (R) là một thác triển của f từ Ω
vào R, khi đó công thức
2

+∞

[f , u] =

j fj (ξ)uj (ξ)dξ,

(1.38)

j=1 −∞

không phụ thuộc vào cách chọn thác triển f . Do đó, công thức này xác định
→
−
một hàm tuyến tính liên tục trên Hos (Ω) . Hơn nữa, mọi phiếm hàm tuyến
→
−
→
−
tính liên tục Φ(u) trên Hos (Ω) đều tồn tại một phần tử f ∈ H− s (Ω) sao
−
cho Φ(u) = [f , u] và Φ = f H−→
s (Ω) .

1.10

Toán tử giả vi phân vectơ

Định nghĩa 1.10.1. [8]. Giả sử α ∈ R, ta nói hàm số a(ξ) thuộc vào lớp
σ α ∈ (R) nếu
|a(ξ)| ≤ C1 (1 + |ξ|)α , ξ ∈ R,
α
và nó thuộc vào lớp σ+
(R) nếu

C2 (1 + ξ)α ≤ |a(ξ)| ≤ C1 (1 + |ξ|)α , ξ ∈ R,
trong đó C1 , C2 là các hằng số dương nào đó.
18


Mệnh đề 1.10.2. [8].Giả sử a(ξ) > 0 và (1 + |ξ|)−α a(ξ) là hàm liên tục, bị
chặn trên R và lim (1 + |ξ|)−α a(ξ) = > 0. Khi đó
ξ→±∞

α
a(ξ) ∈ σ+
(R).
α
Mệnh đề 1.10.3. [10], [11]. Giả sử a(ξ) ∈ σ+
(R), u(x) ∈ H s (R). Khi đó
toán tử giả vi phân (toán tử tích chập) F −1 [a(ξ)u(ξ)] (x) là toán tử tuyến
tính bị chặn từ H s (R) vào H s−α (R).
→
−

→
−

α
Định nghĩa 1.10.4. [10], [11]. Giả sử A(ξ) ∈
(R), u ∈ H s ,
u(ξ) = F[u](ξ). Toán tử A được xác định bởi công thức:

(Au)(x) := F −1 [A(ξ)u(ξ)] (x), x ∈ R,

(1.39)

trong đó A(ξ) = aj (ξ) 2×2 là ma trận vuông cấp 2, u = (u1 , u2 )T là vectơ
chuyển vị của vectơ dòng (u1 , u2 ) và u(ξ) := F −1 (ξ) = (F [u1 ] , F [u2 ])T được
gọi là toán tử giả vi phân vectơ và ma trận A(ξ) được gọi là biểu trưng của
toán tử A.
Định nghĩa 1.10.5. [10], [11]. Giả sử A(ξ) = aij 2×2 , ξ ∈ R là ma trận
vuông cấp 2, trong đó aij (ξ) là hàm liên tục trên R, αj ∈ R, (j = 1, 2),
→
−
→
−
α
α = (α1 , α2 )T . Ta nói rằng A(ξ) = aij (ξ) 2×2 thuộc vào lớp
(R) nếu

1
aij (ξ) ∈ σ αi (R), aij (ξ) ∈ σ βij (R), βij ≤ (αi + αj ).
2
→
−

(1.40)

→
−

α
Ma trận A(ξ) thuộc lớp +α (R)., nếu ma trận A(ξ) ∈

(R) và nó là ma
−−−−→T
trận Hermite, nghĩa là (A(ξ)) = A(ξ) và thỏa mãn điều kiện:
2

(1 + |ξ|)αj |wj |2 , w = (w1 , w2 )T ∈ C2 ,

T

w Aw ≥ C1

(1.41)

j=1

trong đó C1 là hằng số dương và w là liên hợp phức của w . Cuối cùng ma
→
−
→
−
α
trận A(ξ) ∈
(R) thuộc vào lớp 0α (R) , nếu

RewT Aω ≥ 0, ω = (ω1 , ω2 )T ∈ C2 .

(1.42)

Ngoài ra RewT Aw = 0 chỉ có thể tại một số điểm hữu hạn của trục thực.
→

−

Mệnh đề 1.10.6. Giả sử ma trận A(ξ) = A+ (ξ) thuộc vào lớp +α (R).
→
−
Khi đó tích vô hướng và chuẩn trong H α /2 (R) được xác định bởi các công
thức:
+∞

F [vT ] (ξ)A+ (ξ)F [u] (ξ)dξ,

(u, v)A+,→
=
−
α /2
−∞

19

(1.43)