Tìm hiểu bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ MJLS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ HÀ MY

TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ HÀ MY

TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn
Trung Dũng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo là giảng viên khoa Toán
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho
tôi những kiến thức chuyên môn cần thiết trong quá trình học tập tại
trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đã động
viên khuyến khích tôi hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và
bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Thị Hà My

i


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp " Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định
hóa cho lớp hệ MJLS " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình
của thầy Nguyễn Trung Dũng.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết
quả của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Thị Hà My

ii


KÍ HIỆU TOÁN HỌC

R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Không gian Euclide n chiều.

N

Tập các số tự nhiên.

N+

Tập các số nguyên dương.

Z

Tập các số nguyên.

Z+

Tập các số nguyên dương.

P(...|...)

Xác suất có điều kiện.

UT

Ma trận chuyển vị của ma trận U .

E

Kì vọng.

P˜

Số đo xác suất trên σ-đại số của tập con trong
không gian mẫu.
x(t)

Chuẩn của vectơ x(t).

diag{...}

Ma trận đường chéo .

sym(U )

Biểu diễn U + U T .

iii


Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

3

1.1

1.2

1.3

Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Ma trận xác suất chuyển . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Phân phối ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Hệ DMJLS và hệ CMJLS . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Hệ DMJLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Hệ CMJLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ MJLS

18

2.1

Trường hợp thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Trường hợp thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . .

23

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong vài thập kỉ qua, hệ MJLS đã nhận được sự quan tâm và chú ý
của nhiều nhà khoa học. Hệ MJLS tạo bởi một số hữu hạn các hệ tuyến
tính hay phi tuyến, trong đó quá trình chuyển đổi các hệ được mô tả bởi
xích Markov với hữu hạn trạng thái. Lớp hệ này có nhiều ứng dụng trong

sản xuất, hệ thống điều khiển mạng,.... Chính vì thế, bài toán nghiên
cứu về ổn định hóa cho lớp hệ này là vô cùng quan trọng.
Do đó, dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi
chọn đề tài: "Tìm hiểu về bài toán ổn định và ổn định hóa cho
lớp hệ MJLS" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các khái niệm ổn định và hệ MJLS trong trường hợp thời
gian rời rạc và thời gian liên tục.
- Tìm ra tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên của hệ MJLS khi biết một phần
thông tin xác suất chuyển, tìm ra bộ điều khiển ngược để hệ đóng của
nó là ổn định.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày kiến thức về hệ MJLS.
- Trình bày tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên của hệ MJLS và thiết kế một
1


bộ điều khiển ngược sao cho hệ đóng của nó là ổn định.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ MJLS.
- Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định của hệ MJLS.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóa
luận bao gồm 2 chương:
Chương 1: Một số kiến thức và kết quả bổ trợ.
Chương 2: Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ MJLS.

2


Chương 1
Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

1.1
1.1.1

Xích Markov
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. (Quá trình ngẫu nhiên). (xem [3]) Cho T là một
tập vô hạn trong R. Nếu với mỗi t ∈ T , Xt là biến ngẫu nhiên thì họ
{Xt , t ∈ T } được gọi là quá trình ngẫu nhiên.
Nếu T là một tập đếm được thì ta gọi {Xt , t ∈ T } là quá trình ngẫu
nhiên với tham số rời rạc.
Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực, tức là T thuộc một trong
các tập sau
(−∞, ∞), [a, ∞), (−∞, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b)
thì ta gọi {Xt , t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Định nghĩa 1.2. (Quá trình Markov). (xem [3]) Cho quá trình ngẫu
nhiên {Xt , t ∈ T } với tập không gian trạng thái M. Khi đó ta gọi
{Xt , t ∈ T } là quá trình Markov nếu
P(Xtn+1 = j|Xt0 = i0 , ..., Xtn−1 = in−1 , Xtn = i)
= P(Xtn+1 = j|Xtn = i),
với bất kỳ n ∈ N, t0 < t1 < ... < tn < tn+1 và i0 , i1 , ..., in−1 , i, j ∈ M.
Nếu chúng ta xem (t0 , t1 , ..., tn−1 ) là thời quá khứ, tn là thời điểm
hiện tại và tn+1 là thời điểm tương lai thì đẳng thức trên là tính Markov
của hệ.
Nếu T = N và M là tập không quá đếm được thì {Xn , n ∈ N} là
một xích Markov.
Đặt p(s, i, t, j) = P(Xtn+1 = j|Xtn = i), s < t. Khi đó, p(s, i, t, j) là
xác suất có điều kiện để hệ tại thời điểm s ở trạng thái i chuyển sang
trạng thái j ở thời điểm t. Vì vậy, p(s, i, t, j) được gọi xác suất chuyển
trạng thái của hệ.
Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào t − s, tức là
p(s, i, t, j) = p(s + h, i, t + h, j)
thì chúng ta gọi hệ là thuần nhất theo thời gian.
Ví dụ 1.1.1. Cho X0 , X1 , ..., Xn , ... là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc,
độc lập với M = Xn (Ω), n = 0, 1, .... Khi đó {Xn , n ∈ N} là một xích
Markov.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Thật vậy, ta có M là không quá đếm được và với mọi n ∈ N chúng
ta có

P(Xn+1 = j|X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 , Xn = i)
= P(Xn+1 = j|Xn = i)
= p(n, i, n + 1, j),
với mọi i0 , i1 , ..., in−1 , i, j ∈ M và n ∈ N.
Do đó, {Xn , n ∈ N} là một xích Markov.
Ví dụ 1.1.2. Cho (Xn )n≥1 là một dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, độc
lập nhận giá trị trong tập số nguyên Z. Đặt
S0 = 0 và Sn = X1 + X2 + ... + Xn , n = 1, 2, ...
Khi đó {Sn , n ∈ N} là một xích Markov.
Thật vậy, với mọi i1 , ..., in−1 , i, j ∈ Z chúng ta có (ở đây chú ý rằng
S0 = 0)
P(Sn+1 = j|Sn = i, Sn−1 = in−1 , ..., S1 = i1 )
P(Sn+1 = j, Sn = i, Sn−1 = in−1 , ..., S1 = i1 )
P(Sn = i, Sn−1 = in−1 , ..., S1 = i1 )
P(Sn+1 − Sn = j − i, ..., S2 − S1 = i2 − i1 , S1 = i1 )
=
P(Sn − Sn−1 = i − in−1 , ..., S2 − S1 = i2 − i1 , S1 = i1 )
P(Xn+1 = j − i, Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
=
P(Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
P(Xn+1 = j − i)P(Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
=
P(Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
=

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

= P(Xn+1 = j − i)
P(Xn+1 = j − i)P(Xn + Xn−1 + ... + X2 + X1 = i)
P(Xn + Xn−1 + X2 + X1 = i)
P(Xn+1 = j − i, Xn + Xn−1 + ... + X2 + X1 = i)
=
P(Xn + Xn−1 + ... + X2 + X1 = i)
P(Xn+1 = j − i, Sn = i)
=
P(Sn = i)
P(Sn+1 = j, Sn = i)
=
P(Sn = i)
=

= P(Sn+1 = j|Sn = i).

1.1.2

Ma trận xác suất chuyển

Cho {Xn , n ∈ N} là một xích Markov rời rạc và thuần nhất với không
gian trạng thái M là một tập không quá đếm được. Do tính thuần nhất
của xích, chúng ta có
P(Xn+1 = j|X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 , Xn = i)
= P(Xn+1 = j|Xn = i)
=: pij
không phụ thuộc vào n.
Khi đó, ma trận Π = (pij )i,j∈M được gọi là ma trận chuyển sau một

bước.
Chú ý 1.1. Với mọi i, j ∈ M , pij là xác suất có điều kiện để hệ tại
thời điểm hiện tại n ở trạng thái i chuyển sang trạng thái j ở thời điểm
tương lai n + 1.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Đặt các biến cố
A = (Xn+1 = j),
B = (Xn = i),
C = (X0 = i0 , X1 = i1 , ..., Xn−1 = in−1 )
thì tính Markov của hệ có nghĩa là P(A|B) = P(A|BC).
Từ đó chúng ta có
P(ABC)
P(B)
P(BC)P(A|BC)
=
P(B)
P(B)P(C|B)P(A|B)
=
P(B)

P(AC|B) =

= P(C|B)P(A|B),
tức là quá khứ và tương lai độc lập với nhau khi biết hiện tại.

Sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện và công thức xác suất đầy
đủ chúng ta có tính chất của ma trận xác suất chuyển như sau.
Mệnh đề 1.1. Ma trận xác suất chuyển Π = (pij )i,j∈M có tính chất như
sau.
1. Với mọi i, j ∈ M ta có 0 ≤ pij ≤ 1.
2. Với mọi i ∈ M ta có

pij = 1.
j∈M

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY
(n)

Xác suất chuyển sau n bước kí hiệu là pij được xác định như sau
(n)

pij = P(Xn+m = j|Xm = i).
Đây là xác suất để hệ tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n
bước hệ chuyển sang trạng thái j.
Chú ý 1.2. Từ tính thuần nhất của xích, chúng ta có
(n)

pij = P(Xn = j|X0 = i).
(1)

Rõ ràng pij = pij .

1.1.3

Phân phối ban đầu

Định nghĩa 1.3. (xem [3]) Phân phối của xích tại thời điểm n được cho
bởi công thức sau
(n)

pj = P(Xn = j); n = 0, 1, 2, . . . ; j ∈ M.
(n)

Đặt P (n) = (pj , j ∈ M) và gọi P = P (0) là phân phối ban đầu
của xích.
(n)

Chúng ta quy ước, viết (P (n) ) = (pj , j ∈ M) là véc tơ hàng. Khi đó
ta có
P (n) = P.Π(n)
P (n+1) = P (n) .Π
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

P (n+1) = P (1) .Π(n)
P (n+m) = P (n) .Π(m) .

Phân phối ban đầu được gọi là dừng nếu P (n) không phụ thuộc vào
n tức là Π = Π(n) hay P = P Π.
Như vậy, mô hình của xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba
(Xn , P, Π), trong đó
• (Xn ) là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc.
• P là phân phối ban đầu của xích.
• Π là ma trận xác suất chuyển.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2
1.2.1

HOÀNG THỊ HÀ MY

Hệ DMJLS và hệ CMJLS
Hệ DMJLS

Hệ điều khiển DMJLS (discrete - time Markovian jump linear systems)
có dạng như sau


x(k + 1) = A(rk ).x(k) + B(rk ).u(k) , k ∈ Z+

(1.1)


x(0) = x

0

trong đó,
x(k) ∈ Rn là véc tơ trạng thái,
u(k) ∈ Rl là véc tơ điều khiển đầu vào,
A(rk ), B(rk ) là các ma trận hằng với số chiều thích hợp.
Quá trình chuyển đổi giữa các mode của hệ được mô tả bởi {rk , k ∈ Z+ }
là một xích Markov hữu hạn thuần nhất với không gian trạng thái
M = {1, 2, ..., N } và ma trận xác suất chuyển Π = (πij )N ×N trong
đó
P {rk+1 = j | rk = i} = πij ,
N

thỏa mãn πij ≥ 0 , ∀i, j ∈ M và

πij = 1 , ∀i ∈ M.
j=1

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Kí hiệu π = (π1 , π2 , ..., πN ) là phân phối ban đầu của xích Markov,
trong đó

πj = P(r0 = j) , j ∈ M.
Chú ý 1.3. Khi rk = i ta sử dụng kí hiệu (Ai , Bi ) cho (A(rk ), B(rk )).
Định nghĩa 1.4. (Ổn định ngẫu nhiên) (xem [3]). Hệ (1.1) với u(k) =
0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu
∞

E

x(k)

2

| x0 , r0

< ∞,

k=0

với mọi điều kiện ban đầu (x0 , r0 ).
Bổ đề 1.1. (xem [2]) Hệ (1.1) với u(k) = 0 là ổn định ngẫu nhiên khi
và chỉ khi tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương Pi , i ∈ M sao
cho

ATi P˜ i Ai − Pi < 0,
trong đó P˜ i

(1.2)

N

πij Pj .
j=1

Giả thiết:
Đối với xích Markov rời rạc và thuần nhất {rk , k ∈ Z+ } chúng ta giả
thiết rằng ma trận xác suất chuyển Π chỉ biết thông tin một phần, tức
là, ma trận Π có dạng

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY



π
 11

 ?


 π13

?

? π13
?

?

? π33
? π43

?





π24 
,

? 

π44

trong đó ”?” kí hiệu các phần tử chưa biết. Hơn nữa, chúng ta kí hiệu
các tập
MiK

j : πij đã biết ,

MiUK

j : πij chưa biết .

Khi đó chúng ta có
M = MiK ∪ MiUK , ∀i ∈ M.

(1.3)

Hơn nữa, nếu MiK = ∅, chúng ta kí hiệu
i
MiK = (K1i , ..., Km
), ∀ 1 ≤ m ≤ N,

(1.4)

i
với Km
∈ N+ là phần tử đã biết thứ m trong hàng thứ i của ma trận Π

và
πKi

πij .
j∈MiK

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

HOÀNG THỊ HÀ MY

Hệ CMJLS

Hệ điều khiển CMJLS (continuous - time Markovian jump linear systems) có dạng như sau

.

x(t)
= A(rt ).x(t) + B(rt ).u(t) , t ≥ 0

(1.5)


x(0) = x
0
trong đó,
x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái,
u(t) ∈ Rl là véc tơ điều khiển đầu vào,
A(rt ), B(rt ) là các ma trận hằng với số chiều thích hợp.

Quy tắc chuyển đổi giữa các mode của hệ được mô tả bởi {rt , t ≥ 0}
là một quá trình Markov liên tục và thuần nhất nhận giá trị trong tập
hữu hạn M = {1, 2, ..., N } với ma trận chuyển trạng thái Λ = (λij )N ×N ,
trong đó

P {rt+h = j | rt = i} =



λij h + o(h)

nếu j = i,


1 + λ h + o(h) nếu j = i,
ii
o(h)
= 0, λij ≥ 0 ( i, j ∈ M, j = i),
h→0 h

với h > 0 , lim
N

λii = −

λij với mọi i ∈ M.
j=1,j=i

Kí hiệu λ = (λ1 , λ2 , ..., λN ) là phân phối ban đầu của quá trình
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Markov, trong đó
λj = P(r0 = j) , j ∈ M.
Chú ý 1.4. Khi rt = i ta sử dụng kí hiệu (Ai , Bi ) cho (A(rt ), B(rt )).
Định nghĩa 1.5. (Ổn định ngẫu nhiên) (xem [3]) Hệ (1.5) với u(t) =
0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu
∞

E

x(t)

2

dt | x0 , r0

< ∞,

0

với mọi điều kiện ban đầu (x0 , r0 ).
Bổ đề 1.2. (xem [1]) Hệ (1.5) với u(t) = 0 là ổn định ngẫu nhiên khi
và chỉ khi tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương Pi , i ∈ M sao cho

ATi Pi + Pi Ai + P˜ i < 0,
trong đó P˜ i

(1.6)

λij Pj .
j∈M

Giả thiết:
Đối với xích Markov liên tục và thuần nhất {rt , t ≥ 0}, chúng ta giả
thiết rằng ma trận chuyển trạng thái Λ chỉ biết thông tin một phần, tức
là, ma trận Λ có dạng


λ
 11

 ?


 λ13

?

? λ13
?

?

? λ33
? λ43
14

?





λ24 
,

? 


λ44


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

trong đó ”?” kí hiệu các phần tử chưa biết. Hơn nữa, chúng ta kí hiệu
các tập
MiK

j : λij đã biết ,

MiUK

j : λij chưa biết .

Khi đó chúng ta có
M = MiK ∪ MiUK , ∀i ∈ M.

(1.7)

Hơn nữa, nếu MiK = ∅, chúng ta kí hiệu
i
MiK = (K1i , ..., Km
) , ∀ 1 ≤ m ≤ N,

(1.8)

i
∈ N+ là phần tử đã biết thứ m trong hàng thứ i của ma trận Λ
với Km

và
λiK

1.3

λij .
j∈MiK

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.3. Cho W là ma trận khả nghịch, khi đó với bất kỳ ma trận
U, V kích thước phù hợp, ta có



−1

U −VW V
0

T

0
W





=

I −V W
0

I
15

−1




U
V

T

V
W




I
−1

−W V

0
T

I


.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Chứng minh. Ta biến đổi vế phải về vế trái, ta có



=

=

=

I −V W
0



−1



I
−1

U −VW V
V

U

V

VT W



−1

T

V −VW W

T

VT

W


V −V

W

0
.
W





U − V W−1 V T
VT
U − V W−1 V T




Do đó



=

=

I −V W
0

−1



I
−1

U −VW V

T

VT

U
V

T

0
W

−1

U −VW V

T

0

0

W

V
W



.

Vậy bổ đề được chứng minh.

16



I

0

−1

−W V
I

0

−W−1 V T I

T




I





Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Bổ đề 1.4. (Bổ đề phần bù Schur không chặt). Cho ma trận tùy
ý U = U T , V và W = W T > 0 khả nghịch, khi đó



U

V

VT W


 ≥ 0 ⇔ U − V W−1 V T ≥ 0.


Chứng minh. Đặt Q = 

I
−1

−W V

0
T

I


 . Khi đó, Q là không suy biến.

Từ Bổ đề 1.1 ta có




−1 T
U V
U −VW V
0
Q = 
.
QT 
VT W
0
W
Do đó, ta có




U

V

VT W


 ≥ 0 ⇔ U − V W−1 V T ≥ 0.

Vậy bổ đề được chứng minh.

17


Chương 2
Bài toán ổn định và ổn định hóa
cho lớp hệ MJLS

2.1

Trường hợp thời gian rời rạc

Trước hết, đối với lớp hệ (1.1), chúng ta xét bộ điều khiển ngược có dạng
như sau
u(k) = K(rk )x(k),

(2.1)

trong đó Ki , i ∈ M là các ma trận điều khiển ngược cần phải xác định.
Với bộ điều khiển ngược (2.1), chúng ta có hệ đóng của (1.1) là
x(x + 1) = [A(rk ) + B(rk ).K(rk )] x(k), k ∈ Z+ .

(2.2)

Định nghĩa 2.1. (xem [3]) Hệ (1.1) được gọi là ổn định hóa nếu tồn tại
một bộ điều khiển (2.1) sao cho hệ đóng (2.2) là ổn định ngẫu nhiên.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày phương pháp tìm bộ điều khiển
ngược (2.1) sao cho hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển biết thông tin
một phần là ổn định hóa. Định lí sau đưa ra điều kiện đủ về ổn định
ngẫu nhiên của hệ ngẫu nhiên (1.1) với ma trận xác suất chuyển chỉ biết
thông tin từng phần.
Định lý 2.1. (xem [3]) Xét hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển chỉ
biết thông tin từng phần. Khi đó hệ là ổn định ngẫu nhiên nếu tồn tại
ma trận Pi > 0 , i ∈ M sao cho các bất đẳng thức sau đúng

trong đó P˜Ki

ATi P˜Ki Ai − πKi Pi < 0 ,

(2.3)

ATi Pj Ai − Pi < 0 , ∀j ∈ MiUK ,

(2.4)

πij Pj .
j∈MiK

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1, hệ (1.1) là ổn định ngẫu nhiên nếu (1.2)
πij = 1, chúng ta viết lại vế trái của (1.2) như sau

đúng . Vì
j∈M




Ψi

ATi 





πij Pj  Ai − 

πij  Pi .
j∈M

j∈M

Từ (1.3) ta có



Ψi = ATi 





πij Pj  Ai − 
j∈MiK



j∈MiK



+ ATi 

πij  Pi




πij Pj  Ai − 
j∈MiU K

πij  Pi
j∈MiU K

19