Giáo trình toán cho sinh viên kỹ thuật

GIÁO TRÌNH TOÁN CHUYÊN ĐỀ
(dành cho sinh viên ngành k thut)


Tranh th thi gian l tranh th c tt c

Lời nói đầu
Giáo trình n y đợc biên soạn nhằm trang bị các tri thức toán học cốt yếu để l m công
cụ học tập v nghiên cứu các môn học chuyên ng nh cho sinh viên các ng nh kỹ thuật
Nội dung giáo trình gồm có 8 chơng với thời lợng 60 tiết (4đơn vị học trình) đợc
chia l m hai chuyên đề nhỏ.

ni

ce

da
y

Chuyên đề H m biến phức gồm 5 chơng
Chơng 1 Các khái niệm cơ bản về số phức, dAy trị phức, h m trị phức v các
tập con của tập số phức.
Chơng 2 Các khái niệm cơ bản về h m trị phức, đạo h m phức, các h m giải
tích sơ cấp v phép biến hình bảo giác.
Chơng 3 Các khái niệm cơ bản về tích phân phức, định lý tích phân Cauchy v
các hệ quả của nó.
Chơng 4 Các khái niệm cơ bản về chuỗi h m phức, khai triển Taylor, khai triển
Laurent, lý thuyết thặng d v các ứng dụng của nó.
Chơng 5 Các khái niệm cơ bản, các tính chất, các phơng pháp tìm ảnh N gốc v
các ứng dụng của biến đổi Fourier v biến đổi Laplace.

H

av

e

a

Chuyên đề Phơng trình vật lý Toán gồm có 3 chơng
Chơng 6 Các khái niệm cơ bản về lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng
vectơ, thông lợng, ho n lu v toán tử vi phân cấp 1.
Chơng 7 Các b i toán cơ bản của phơng trình vật lý N toán, b i toán Cauchy
v b i toán hỗn hợp của phơng trình truyền sóng.
Chơng 8 B i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp của phơng trình truyền nhiệt,
b i toán Dirichlet v b i toán Neumann của phơng trình Laplace.


Tranh th thi gian l tranh th c tt c

Chơng 1

Số phức

Đ1. Trờng số phức

da
y

Kí hiệu = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng v phép
toán nhân nh sau

(x, y), (x, y)
(x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)
(x, y) ì (x, y) = (xx yy, xy + xy)
(1.1.1)

ce

Ví dụ (2, 1) + ( 1, 1) = (1, 2) v (2, 1) ì ( 1, 1) = ( 3, 1)

av

e

a

ni

Định lý (, +, ì ) l một trờng số.
Chứng minh
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1)
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không l (0, 0)
(x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mọi phần tử có phần tử đối l (x, y) = ( x, y)
(x, y) , (x, y) + ( x, y) = (0, 0)
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị l (1, 0)
(x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y)
y
)
Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo l (x, y) 1 = ( 2 x 2 , 2
x + y x + y2

y
x
) = (1, 0)
, 2
2
x + y x + y2
2

H

(x, y) {(0, 0)}, (x, y) ì (

Ngo i ra phép nhân l phân phối với phép cộng

Trờng (, +, ì ) gọi l trờng số phức, mỗi phần tử của gọi l một số phức.
Theo định nghĩa trên mỗi số phức l một cặp hai số thực với các phép toán thực hiện
theo công thức (1.1.1). Trên trờng số phức phép trừ, phép chia v phép luỹ thừa định
nghĩa nh sau.
(n, z, z) ì ì * với * = { (0, 0) }
z
= z ì (z) 1 v z0 = 1, z1 = z v zn = zn 1 ì z
z z = z + ( z),
(1.1.2)
z'
Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0)
Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 5

Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
x (x, 0), 1 (1, 0) v 0 (0, 0)
tập số thực trở th nh tập con của tập số phức. Phép cộng v phép nhân các số phức hạn
chế lên tập số thực trở th nh phép cộng v phép nhân các số thực quen thuộc.
x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, ...
Ngo i ra trong tập số phức còn có các số không phải l số thực. Kí hiệu i = (0, 1) gọi l
đơn vị ảo. Ta có
i2 = (0, 1) ì (0, 1) = ( 1, 0) 1

Đ2. Dạng đại số của số phức

da
y

Suy ra phơng trình x2 + 1 = 0 có nghiệm phức l x = 1 3.
Nh vậy trờng số thực (3, +, ì) l một trờng con thực sự của trờng số phức (, +, ì).

a

ni

ce

Với mọi số phức z = (x, y) phân tích
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) 1 v đơn vị ảo (0, 1) i, ta có
z = x + iy
(1.2.1)

Dạng viết (1.2.1) gọi l dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gọi l phần thực, số
thực y = Imz gọi l phần ảo v số phức z = x iy gọi l liên hợp phức của số phức z.
Kết hợp các công thức (1.1.1) (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức.

(1.2.2)

av

e

(x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y)
(x + iy) ì (x + iy) = (xx yy) + i(xy + xy)
xx + yy
x y xy
x + iy
= 2
+
i
, ...
x + iy
x + y 2
x 2 + y 2
Ví dụ Cho z = 1 + 2i v z = 2 i

z
1 + 2i
=
=i
z'
2i

z2 = (1 + 2i) ì (1 + 2i) = 3 + 5i, z3 = z2 ì z = ( 3 + 5i) ì (1 + 2i) = 13 i

H

z ì z = (2 + 2) + i( 1 + 4) = 4 + 3i,

Từ định nghĩa suy ra
z =z z3
z = z z i3
z=z
z + z = 2Rez
z z = 2iImz
z z = Re2z + Im2z
Ngo i ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý (n, z, z) ì ì

Trang 6

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

(1.2.3)


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
1.

z + z' = z + z'

2.

zz' = z z'

z n = (z ) n

3.

z 1 = ( z ) 1

z
z
=
z
z

Chứng minh
1. Suy ra từ định nghĩa
2. Ta có

zz' = (x + iy) ì (x + iy ) = (xx yy) i(xy + xy)

3. Ta có

zz 1 = z z 1 = 1 z 1 = ( z ) 1

Suy ra

z / z = z(z ) 1 = z z 1

Với mọi số phức z = x + iy, số thực | z | =

da
y

z z' = (x iy) ì (x iy) = (xx yy) + i( xy xy)
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.

x 2 + y 2 gọi l module của số phức z.

ni

ce

Nếu z = x 3 thì | z | = | x |. Nh vậy module của số phức l mở rộng tự nhiên của khái
niệm trị tuyệt đối của số thực. Từ định nghĩa suy ra
| Rez |, | Imz | | z |
|z|=| z|=| z|=| z |
z z = z z = | z |2
1
z
z z'
= z(z) 1 =
z1 = 12 z
(1.2.4)
z'
| z' | 2
|z|
Ngo i ra module của số phức còn có các tính chất sau đây.

| z1 | = | z |1

av

3.

e

a

Định lý (n, z, z) ì ì
1.
|z|0
|z|=0z=0
2.
| z z | = | z || z |
| zn | = | z |n

|| z | | z|| | z z |

H

4.
| z + z | | z | + | z |
Chứng minh
1. Suy ra từ định nghĩa

z
|z|
=

z
| z |

2. Ta có
| zz |2 = zz zz' = (z z )(z z ) = (| z || z| )2
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.
3. Ta có
| z z 1 | = | z || z 1| = 1 | z 1 | = 1 / | z |
Suy ra
| z / z | = | z (z) 1 | = | z | | (z) 1 |

4. Ta có

z z + z z = 2Re(z z ) | z z = | z || z|

Suy ra

| z + z 2 = (z + z)( z + z' ) = z 2 + 2Re(z z ) + | z|2 (| z | + | z|)2

Đ3. Dạng lợng giác của số phức

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 7


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức

(1.3.3)

ce

Từ định nghĩa suy ra
argz = arg( z) = , arg z = v arg( z ) =
x > 0, argx = 0
x < 0, argx =
y > 0, arg(iy) = /2
y < 0, arg(iy) = /2 ...
Ngo i ra argument của số phức còn có các tính chất sau đây.

da
y

Với mọi số phức z = x + iy * tồn tại duy nhất số thực ( , ] sao cho
y
x
cos =
(1.3.1)
v sin =
|z|
|z|
Tập số thực Argz = + k2, k 9 gọi l argument, số thực argz = gọi l argument
chính của số phức z. Chúng ta qui ớc Arg(0) = 0.
Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra
x = rcos v y = rsin
Thay v o công thức (1.2.1) nhận đợc
z = r(cos + isin)
(1.3.2)
Dạng viết (1.3.2) gọi l dạng lợng giác của số phức.

H

av

e

a

ni

Định lý (n, z, z) ì ì
arg(zn) = n argz [2]
1.
arg(zz) = argz + argz [2]
2.
arg(z 1) = argz [2]
arg(z / z) = argz argz [2]
Chứng minh
1. Giả sử z = r(cos + isin) v z = r(cos + isin)
Suy ra
zz = rr[(coscos sinsin) + i(sincos + cossin)]
= rr[cos( + ) + isin( + )]
Qui nạp suy ra hệ thức thứ hai.
2. Ta có
arg(zz 1) = arg(z) + arg(z 1) = 0 [2] arg(z 1) = arg(z) [2]
Suy ra
arg(z / z) = arg(zz 1) = argz + arg(z 1)
Ví dụ Cho z = 1 + i v z = 1 + 3 i
Ta có

zz = [ 2 (cos + isin )][2(cos + isin )] = 2 2 (cos 5 + isin 5 )
4
4
6
6
12
12
z100 = ( 2 )100[cos(100 ) + isin(100 )] = 250
4
4

Với mọi số thực 3, kí hiệu
ei = cos + i sin

Trang 8

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

(1.3.4)


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
Theo các kết quả ở trên chúng ta có định lý sau đây.
Định lý (n, , ) ì 3 ì 3
1.
ei 0
ei = 1 = k2
2.
ei(+) = eiei

(ei) 1 = e i
Chứng minh
Suy ra từ công thức (1.3.4) v các kết quả ở trên

e i = e i
(ei)n = ein

n

cos k v S =
k =0
n

Ta có

C + iS =

e

ik

k =0

C=

e

sin k
k =0

1
e 1
i

1 cos( n + 1) cos n + cos 1
1 sin( n + 1) sin n sin
v S=
2
cos 1
2
cos 1

ni

Suy ra

=

i ( n +1)

n

ce

Ví dụ Tính tổng C =

da
y

Hệ quả (n, ) ì 3

(1.3.5)
1.
(cos + isin)n = cosn + isinn
1
1
2.
cos = (ei + e i)
sin = (ei e i)
(1.3.6)
2
2i
Công thức (1.3.5) gọi l công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi l công thức Euler.

H

av

e

a

Số phức w gọi l căn bậc n của số phức z v kí hiệu l w = n z nếu z = wn
Nếu z = 0 thì w = 0
Xét trờng hợp
z = rei 0 v w = ei
Theo định nghĩa
wn = nein = rei
Suy ra
n = r v n = + m2

Hay
= n r v =
+ m 2 với m 9
n
n
Phân tích m = nq + k với 0 k < n v q 9. Ta có


+ m 2
+ k 2 [2]
n
n
n
n
Từ đó suy ra định lý sau đây.

Định lý Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau


wk = n r [cos ( + k 2 ) + isin( + k 2 )] với k = 0 ... (n 1)
n
n
n
n

(1.3.7)

Ví dụ

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 9


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức

2 (cos + isin ) có các căn bậc 3 sau đây
4
4
w0 = 6 2 (cos + isin ), w1 = 6 2 (cos 9 + isin 9 ), w2 = 6 2 (cos 17 + isin 17 )
12
12
12
12
12
12
2
2. Giải phơng trình x x +1 = 0

1. Số phức z = 1 + i =

Ta có = 3 < 0 phơng trình có nghiệm phức x1,2 =

1.

ik

2
n

, k = 0...(n 1) l các căn bậc n của đơn vị.

k = n k

k = (1)k

2.

n 1

3.


k =0

i

2
3

k

= 1 . Suy ra 2 = j2 = j v 1 + j + j2 = 0

ce

Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j = e

=0

da
y

Hệ quả Kí hiệu k = e

1 i 3
2

ni

Đ4. Các ứng dụng hình học phẳng

H

av

e

a

Kí hiệu V l mặt phẳng vectơ với cơ sở trực chuẩn dơng (i, j). Anh xạ
: V, z = x + iy v = xi + yj
(1.4.1)
l một song ánh gọi l biểu diễn vectơ của số phức. Vectơ v gọi l ảnh của số phức z,
còn số phức z gọi l toạ vị phức của vectơ v v kí hiệu l v(z).
Kí hiệu P l mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: P, z = x + iy M(x, y)
(1.4.2)
l một song ánh gọi l biểu diễn hình học của số phức. Điểm M gọi l ảnh của số phức z

còn số phức z gọi l toạ vị phức của điểm M v kí hiệu l M(z).
Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M1( z ), M2( z) v M3( z ).
M
M1
Nếu z = x 3 thì điểm M(z) (Ox), còn nếu z = iy thì điểm
M(z) (Oy). Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi l mặt phẳng
0
phức, trục (Ox) l trục thực v trục (Oy) l trục ảo. Sau n y
M2
M3
chúng ta sẽ đồng nhất mỗi số phức với một vectơ hay một điểm
trong mặt phẳng v ngợc lại.

Định lý Cho các vectơ u(a), v(b) V, số thực 3 v điểm M(z) P
(i, u) = arg(a)
(a + b) = u + v
1.
|u|=|a|
2.
| OM | = | z |
Chứng minh

Trang 10

(i, OM ) = arg(z)

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c

Chơng 1. Số Phức
Suy ra từ các công thức (1.4.1) v (1.4.2)
Hệ quả 1 Trong mặt phẳng cho các điểm A(a), B(b), C(c) v D(d)

AB (b a), AB = | b a |, (i, AB ) = arg(b a)
dc
2.
( AB , CD ) = (i, CD ) (i, AB ) = arg
ba
Chứng minh
Suy ra từ định lý
1.

da
y

1
1
1
Ví dụ Cho z { 1, 0, 1} v A(1), B( 1), M(z), N( ) v P( (z + )). Chứng minh
z
z
2
rằng đờng thẳng (MN) l phân giác của góc ( PA , PB ).
Ta có (i, AP ) = arg(

(z 1) 2
1
1
(z + ) 1) = arg

2z
2
z

(z 1) 2 (z + 1) 2
= 2arg(z
2z
2z

ni

(i, AP ) + (i, BP ) = arg

ce

(z + 1) 2
1
1
(i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg
2z
2
z
Suy ra

B

M
P

O

A
N

1
) = 2(i, MN )
z

Hệ quả 2 Với các kí hiệu nh trên

a

1. Hai đờng thẳng (AB) // (CD)

e

2. Hai đờng thẳng (AB) (CD)

av

3. Ba điểm A, B, C thẳng h ng

dc
dc
= 0 []
3
ba
ba
dc

dc
= []
i3
arg
ba
2
ba
ca
ca
arg
= 0 []
3
ba
ba
arg

H

Chứng minh
Suy ra từ các hệ thức hệ quả 1
Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) sao cho ba điểm A(z), B(iz) v C(i) thẳng h ng
Kí hiệu z = x + iy, ta có
iz i
= k 3 y + i(x 1) = (kx) + ik(y 1)
A, B, C thẳng h ng
zi
1 k
k ( k 1)
y = kx
x= 2

,y= 2
với k 3
x

1
=
k
(
y

1
)

k +1
k +1

ánh xạ : P P, M N gọi l một phép biến hình

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 11


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
Phép biến hình M N = M + v gọi l phép tĩnh tiến theo vectơ v
Phép biến hình M N = A + k AM (k > 0) gọi l phép vi tự tâm A, hệ số k
Phép biến hình M N sao cho ( AM , AN ) = gọi l phép quay tâm A, góc
Tích của phép tĩnh tiến, phép vi tự v phép quay gọi l phép đồng dạng.

da
y

Định lý Cho phép biến hình : M N
1. Phép biến hình l phép tĩnh tiến
z = z + b với b
2. Phép biến hình l phép vi tự
z = a + k(z a) với k 3+, a
3. Phép biến hình l phép quay
z = a + ei(z a) với 3, a
4. Phép biến hình l phép đồng dạng z = az + b với a, b
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa các phép biến hình v toạ vi phức.

Ví dụ Cho A(a), B(b) v C(c). Tìm điều kiện cần v đủ để ABC l tam giác đều
i



A
+ 3

C

e

a

ni

ce

ABC l tam giác đều thuận (a b) = e 3 (c b)
(a b) = j2(c b) a + jb + j2c = 0
Tơng tự, ACB l tam giác đều nghịch
B
(a b) = j(c b) a + jc + j2b = 0
Suy ra ABC l tam giác đều
(a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = 0 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

av

Đ5. D~y trị phức

H

ánh xạ
: , n zn = xn + iyn
(1.5.1)
gọi l dAy số phức v kí hiệu l (zn)n.
D~y số thực (xn)n gọi l phần thực, d~y số thực (yn)n l phần ảo, d~y số thực dơng
(| zn |)n l module, d~y số phức ( z n )n l liên hợp phức của d~y số phức.
D~y số phức (zn)n gọi l dần đến giới hạn a v kí hiệu l
> 0, N : n > N | zn a | <
D~y số phức (zn)n gọi l dần ra vô hạn v kí hiệu l

lim zn = a nếu

n +

lim zn = nếu

n +

M > 0, N : n > N | zn | > M
D~y có giới hạn module hữu hạn gọi l dAy hội tụ. D~y không hội tụ gọi l dAy phân kỳ.

Trang 12

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
Định lý Cho d~y số phức (zn = xn + iyn)n v a = + i
lim zn = a lim xn = v lim yn =
n +

n +

(1.5.2)

n +

Chứng minh
Giả sử
lim zn = a > 0, N : n > N | zn a | <
n +

n > N | x n | < v | yn | <

lim xn = v lim yn =

n +

n +

Ngợc lại
lim xn = v

lim yn =

n +

n +

da
y

Suy ra

> 0, N : n > N | xn | < /2 v | yn | < /2
n > N | zn a | <
lim zn = a

Suy ra

n +

n +

ce

Hệ quả
1.
lim zn = a lim z n = a lim | zn | = | a |
n +

n +

lim (zn + zn) = lim zn + lim zn

n +

n +

n +

ni

2.

lim (zn zn) = lim zn lim zn v

n +

n +

n +

lim (zn / zn) = lim zn / lim zn

n +

n +

n +

a

3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn d~y số thực

Cho d~y số phức (zn = xn + iyn)n . Tổng vô hạn
+

n =0

n

= z0 + z1 + .... + zn + ...

(1.5.3)

e

z

av

gọi l chuỗi số phức.
+

x n gọi l phần thực, chuỗi số thực

Chuỗi số thực

H

n =0

dơng

+

| z n | l module, chuỗi số phức
n =0

Kí hiệu Sn =

+

y
n =0

n

l phần ảo, chuỗi số thực

+

z

n =0

n

l liên hợp phức của chuỗi số phức.

n

z
k =0

k

gọi l tổng riêng thứ n của chuỗi số phức. Nếu d~y tổng riêng Sn dần

đến giới hạn S có module hữu hạn thì chuỗi số phức gọi l hội tụ đến tổng S v kí hiệu l
+

z
n =0

n

= S. Chuỗi không hội tụ gọi l chuỗi phân kỳ.

+

Ví dụ Xét chuỗi số phức

z

n

= 1 + z + ... + zn + ... ( | z | < 1)

n =0

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 13


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
z n +1 1
1

+
z 1
1 z

Sn = 1 + z + ... + zn =

Ta có

Vậy chuỗi đ~ cho hội tụ.
Từ định nghĩa chuỗi số phức v các tính chất của d~y số phức, của chuỗi số thực suy ra
các kết quả sau đây.
+

(z
n =0

+

zn = S
n =0

n

= x n + iy n ) v S = + i

+

xn = v
n =0

+

y
n =0

n

=

(1.5.4)

da
y

Định lý Cho chuỗi số phức

Chứng minh
Suy ra từ các định nghĩa v công thức (1.5.2)
Hệ quả

| zn | = | S |
n =0

+

zn = S
n =0

+

z
n =0

n

Chuỗi số phức

ni

2. Các tính chất khác tơng tự chuỗi số thực

= S

ce

+

1.

+

z n gọi l hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi module
n =0

+

| z
n =0

n

| hội tụ. Rõ r ng

Đ6. H m trị phức

H

av

e

a

chuỗi hội tụ tuyệt đối l chuỗi hội tụ. Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung l không
đúng. Ngo i ra, có thể chứng minh rằng chỉ khi chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối thì tổng
vô hạn (1.5.3) mới có các tính chất giao hoán, kết hợp, ... tơng tự nh tổng hữu hạn.

Cho khoảng I 3, ánh xạ
f : I , t f(t) = u(t) + iv(t)
gọi l h m trị phức.

(1.6.1)

H m u(t) = Ref(t) gọi l phần thực, h m v(t) = Imf(t) l phần ảo, h m | f(t) | l module,
h m f (t ) l liên hợp phức của h m trị phức.
Trên tập f(I, ) các h m trị phức xác định trên khoảng I, chúng ta định nghĩa các phép
toán đại số tơng tự nh trên tập f(I, 3) các h m trị thực xác định trên khoảngI.
H m trị phức f(t) gọi l bị chặn nếu h m module | f(t) | bị chặn.
Cho h m f : I v I . H m f gọi l dần đến giới hạn L khi t dần đến v kí

Trang 14

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
hiệu l lim f(t) = l nếu
t

> 0, > 0 : t I, 0 < | t | < | f(t) L | <
H m f gọi l dần ra vô hạn khi t dần đến v kí hiệu l lim f(t) = nếu
t

M > 0, > 0 : t I, 0 < | t | < | f(t) | > M
Các trờng hợp khác định nghĩa tơng tự.
Định lý Cho h m f : I , t f(t) = u(t) + iv(t), I v L = l + ik
lim f(t) = L lim u(t) = l v lim v(t) = k
t

t

t

(1.6.2)

da
y

Chứng minh
Lập luận tơng tự nh chứng minh công thức (1.5.2)
Hệ quả
1.

lim f(t) = L lim f (t ) = L lim | f(t) | = | L |

2.

lim [f(t) + g(t)] = lim f(t) + lim g(t)

t

t

t

t

t

ce

t

lim [f(t)g(t)] = lim f(t) lim g(t), lim [f(t) / g(t)] = lim f(t) / lim g(t)
t

t

t

t

t

t

ni

3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn h m trị thực

a

Từ các kết quả trên thấy rằng, các tính chất của h m trị thực đợc mở rộng tự nhiên
thông qua phần thực, phần ảo cho h m trị phức.
H m f(t) = u(t) + iv(t) gọi l khả tích (liên tục, có đạo h m, thuộc lớp Ck, ...) nếu các
h m u(t) v v(t) l khả tích (liên tục, có đạo h m, thuộc lớp Ck, ... ) v ta có
I
(k)

+ i v (t )dt

e

f (t )dt = u(t )dt
I

(k)

I

(k)

(1.6.3)

av

f (t) = u (t) + iv (t) , ...

H

H m f(t) gọi l khả tích tuyệt đối nếu h m module | f(t) | khả tích. Trên tập số phức
không định nghĩa quan hệ thứ tự v do vậy các tính chất liên quan đến thứ tự của f(t)

đợc chuyển qua cho module | f(t) |.
Ví dụ Cho h m trị phức f(t) = cost + isint có phần thực x(t) = cost phần ảo y(t) = sint l
h m thuộc lớp C suy ra h m f(t) thuộc lớp C
f(t) = sint + icost, f(t) = cost isint, ...
/2

/2

/2

0

0

0

(cos t + i sin t)dt =

cos tdt + i

sin tdt

=1+i

ánh xạ
: [, ] , t (t)

(1.6.4)

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 15


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức

da
y

gọi l một tham số cung. Tập điểm = ([, ]) gọi l quĩ đạo của tham số cung hay
còn gọi l một đờng cong phẳng. Phơng trình
(t) = x(t) + iy(t), t [, ]
gọi l phơng trình tham số của đờng cong phẳng .
Tham số cung gọi l kín nếu điểm đầu v điểm cuối trùng nhau. Tức l () = ()
Tham số cung gọi l đơn nếu ánh xạ : (, ) l một đơn ánh.
Tham số cung gọi l liên tục (trơn từng khúc, thuộc lớp Ck, ...) nếu h m (t) l liên tục
(có đạo h m liên tục từng khúc, thuộc lớp Ck, ...) trên [, ]. Sau n y chúng ta chỉ xét
các tham số cung từ liên tục trở lên.

e

a

ni

ce

ánh xạ
: [, ] [1, 1], t s = (t)

(1.6.5)
có đạo h m liên tục v khác không gọi l một phép đổi tham số. Nếu với mọi t (, )
đạo h m (t) > 0 thì phép đổi tham số gọi l bảo to n hớng, trái lại gọi l đổi hớng.
Hai tham số cung : [, ] v 1 : [1, 1] gọi l tơng đơng nếu có phép đổi
tham số : [, ] [1, 1] sao cho
t [, ], (t) = 1o(t)
Nếu bảo to n hớng thì v 1 gọi l cùng hớng, trái lại gọi l ngợc hớng.
Có thể thấy rằng qua hệ cùng hớng l một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát.
Nó phân chia tập các tham số cung có cùng quĩ đạo th nh hai lớp tơng đơng. Một
lớp cùng hớng với còn lớp kia ngợc hớng với . Đờng cong phẳng = ([, ])
cùng với lớp các tham số cung cùng hớng gọi l một đờng cong định hớng. Cũng cần
lu ý rằng cùng một tập điểm có thể l quĩ đạo của nhiều đờng cong định hớng khác
nhau. Sau n y khi nói đến đờng cong chúng ta hiểu đó l đờng cong định hớng.

av

Ví dụ Tham số cung x(t) = Rcost, y(t) = Rsint, t [0, 2] l đơn, trơn, kín v có quĩ đạo
l đờng tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R v định hớng ngợc chiều kim đồng hồ.

H

Đờng cong gọi l đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp Ck, ... ) nếu tham số cung
l đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp Ck, ...). Đờng cong gọi l đo đợc nếu tham
số cung có đạo h m khả tích tuyệt đối trên [, ]. Khi đó kí hiệu


s() =

x 2 (t ) + y 2 (t )dt

(1.6.6)



v gọi l độ d i của đờng cong . Có thể chứng minh rằng đờng cong đơn, trơn từng
khúc l đo đợc.

Đ7. Tập con của tập số phức

Trang 16

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
Cho a v > 0. Hình tròn B(a, ) = {z : | z a | < } gọi
l lân cận của điểm a. Cho tập D , điểm a gọi l điểm trong
của tập D nếu > 0 sao cho B(a, ) D. Điểm b gọi l điểm biên
của tập D nếu > 0, B(b, ) D v B(b, ) ( D) .
Kí hiệu D0 l tập hợp các điểm trong, D l tập hợp các điểm biên

b
D

a

v D = D D l bao đóng của tập D. Rõ r ng ta có

D0 D D

(1.7.1)

da
y

Tập D gọi l tập mở nếu D = D0, tập D gọi l tập đóng nếu D = D . Tập A D gọi l mở
(đóng) trong tập D nếu tập A D l tập mở (đóng).
Ví dụ Hình tròn mở B(a, ) = { z : | z a | < } l tập mở.

Hình tròn đóng B (a, ) = { z : | z a | } l tập đóng
Tập D = { z = x + iy : x > 0, y 0 } l tập không đóng v cũng không mở.

ni

ce

Định lý Tập mở, tập đóng có các tính chất sau đây.
1. Tập v l tập mở
2. Tập D l tập mở khi v chỉ khi a D, B(a, ) D
3. Nếu các tập D v E l tập mở thì các tập D E v D E cũng l tập mở
4. Tập D l tập mở khi v chỉ khi tập D l tập đóng
5. Tập D l tập đóng khi v chỉ khi (zn)n D v lim zn = a thì a D
n +

av

e

a

Chứng minh
1. 3. Suy ra từ định nghĩa tập mở
4. Theo định nghĩa điểm biên
D = ( D)
Theo định nghĩa tập mở, tập đóng
tập D mở D D D D tập D đóng
5. Giả sử tập D l tập đóng v d~y số phức zn hội tụ trong D đến điểm a. Khi đó

H

> 0, zn B(a, ) B(a, ) D a D = D
Ngợc lại, với mọi a D theo định nghĩa điểm biên
= 1/n, zn B(a, ) D zn a
Theo giả thiết a D suy ra D D.

Tập D gọi l giới nội nếu R > 0 sao cho D B(O, R). Tập đóng v giới nội gọi l tập
compact. Cho các tập D, E , kí hiệu
(1.7.2)
d(D, E) = Inf{ | a b | : (a, b) D ì E }
gọi l khoảng cách giữa hai tập D v E.
Định lý Cho các tập D, E
1. Tập D l tập compact khi v chỉ khi (zn)n D, d~y con z(n) a D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 17


Tranh th thi gian l tranh th c tt c

Chơng 1. Số Phức
2. Nếu tập D l tập compact v tập E D l đóng trong D thì tập E l tập compact
3. Nếu các tập D, E l tập compact v D E = thì d(D, E) > 0
4. Nếu tập D l tập compact v n , Dn D đóng, Dn+1 Dn thì

+



n =0

Dn = a D

da
y

Chứng minh
1. Giả sử tập D l tập compact. Do tập D bị chặn nên d~y (zn)n l d~y có module bị
chặn. Suy ra d~y số thực (xn)n v (yn)n l d~y bị chặn. Theo tính chất của d~y số thực
x(n) v y(n) suy ra z(n) a = + i. Do tập D l tập đóng nên a D.
Ngợc lại, do mọi d~y zn a D nên tập D l tập đóng. Nếu D không bị chặn thì có
d~y zn không có d~y con hội tụ. Vì vậy tập D l tập đóng v bị chặn.
2. 4. Bạn đọc tự chứng minh

a

ni

ce

Cho a, b , tập [a, b] = {(1 t)a + tb : t [0, 1]} l đoạn thẳng nối hai điểm a v b.
Hợp của các đoạn thẳng [a0, a1], [a1, a2], ..., [an 1, an] gọi l đờng gấp khúc qua n +1 đỉnh
v kí hiệu l < a0, a1, ..., an >.
Tập D gọi l tập lồi nếu (a, b) D2, [a, b] D. Tập D gọi l tập liên thông đờng nếu
(a, b) D2, có đờng cong nối điểm a với điểm b v nằm gọn trong tập D. Tất nhiên
tập lồi l tập liên thông đờng nhng ngợc lại không đúng.
Tập D gọi l tập liên thông nếu phân tích D = A B với A B = v các tập A, B vừa
mở v vừa đóng trong D thì hoặc A = D hoặc B = D. Tập D mở (hoặc đóng) v liên
thông gọi l một miền.

H

av

e

Định lý Trong tập số phức các tính chất sau đây l tơng đơng.
1. Tập D l liên thông
2. (a, b) D2, có đờng gấp khúc < a0 = a, a1, ..., an = b > D
3. Tập D l liên thông đờng
Chứng minh
1. 2. a D, đặt A = {z D : đờng gấp khúc <a, ..., z > D}. Tập A vừa l tập
mở vừa l tập đóng trong tập D v A nên A = D
2. 3. Theo định nghĩa liên thông đờng
3. 1. Giả sử ngợc lại tập D không liên thông. Khi đó D = A B với A B = v
các tập A, B vừa mở vừa đóng trong D. Chọn (a, b) A ì B, theo giả thiết có đờng
cong (a, b) nằm gọn trong D.
Chia đôi đờng cong (a, b) bằng điểm c. Nếu c A xét đờng cong (a1 = c, b1 = b), còn
nếu c B xét đờng cong (a1 = a, b1 = c). Tiếp tục chia đôi đờng cong chúng ta nhận
đợc d~y thắt lại an , bn c A B. Trái với giả thiết A B = .

Cho tập D bất kì. Hai điểm a, b D gọi l liên thông, kí hiệu l a ~ b nếu có
đờng cong nối a với b v nằm gọn trong D. Có thể chứng minh rằng quan hệ liên thông
Trang 18

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức

da
y

l một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát. Do đó nó chia tập D th nh hợp các
lớp tơng đơng không rỗng v rời nhau. Mỗi lớp tơng đơng
[a] = { b D : b ~ a }
(1.7.3)
gọi l một th nh phần liên thông chứa điểm a. Tập D l tập liên thông khi v chỉ khi nó
có đúng một th nh phần liên thông.
Miền D gọi l đơn liên nếu biên D gồm một th nh phần liên thông, trờng hợp trái lại
gọi l miền đa liên.
Biên D gọi l định hớng dơng nếu khi đi theo hớng đó thì
miền D nằm phía bên trái. Sau nay chúng ta chỉ xét miền đơn
hoặc đa liên có biên gồm hữu hạn đờng cong đơn, trơn từng
D
khúc v định hớng dơng. Nh vậy nếu miền D l miền đơn
liên thì hoặc l D = hoặc l D+ l đờng cong kín định
hớng ngợc chiều kim đồng hồ.

ni

ce

Trong giáo trình n y chúng ta thờng xét một số miền đơn liên v đa liên có biên định
hớng dơng nh sau.

Im z > 0

a < Re z < b

a < Im z < b

|z|>R

r<|z|
[ 1, 1]

e

a

0 < arg z <

av

|z|
H

Re z > 0

B i tập chơng 1

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 19


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức
1. Viết dạng đại số của các số phức
2
a. (2 i)(1 + 2i)
b.
4 3i

4 + 5i
3 4i

c.

d. (1 + 2i)3

2. Cho các số phức a, b . Chứng minh rằng
z + abz (a + b)
a. | a | = | b | = 1 z ,
i3
ab
a+b

b. | a | = | b | = 1 v 1 + ab 0
3
1 + ab

b. ( 3 + i)10

4. Giải các phơng trình
a.
z2 (2 + 3i)z 1 + 3i = 0
c.
(3z2 + z + 1)2 + (z2 + 2z + 2)2 = 0
3

g.

i

2

|z|=

f.
h.

5

1+ i

z4 (5 14i)z2 2(12 + 5i) = 0
z + z + j(z + 1) + 2 = 0

b.
d.

z+i
z+i z+i
+1=0

+
+
zi
zi zi
(z + i)n = (z i)n

d.

1
=|1 z|
z

1 + 2z + 2z2 + ... + 2zn 1 + zn = 0

ni

e.

3

c.

ce

a. 1 + i 3

da
y

3. Viết dạng lợng giác của các số phức

5. Tính các tổng sau đây

A = C 0n + C 3n + C 6n + ... , B = C 1n + C 4n + C 7n + ..., C = C 2n + C 5n + C 8n + ...

b.

C=

a

a.

n

cos(a + kb) v S =
i

2
n

k =0

l căn bậc n thứ k của đơn vị

av

6. Kí hiệu = e

sin(a + kb)

e

k =0

n

n 1

n 1

( k + 1) k

a. Tính các tổng

C

H

k =0

b. Chứng minh rằng

z ,

n 1

k =0

(z

k

n 1

) =

k =1

k
n

z

l

k
n 1

Suy ra

l =0

sin
k =1

7. Trong mặt phẳng phức cho tìm điểm M(z) sao cho
a. Các điểm có toạ vị l z, z2 v z3 lập nên tam giác có trực tâm l gốc O
b. Các điểm có toạ vị z, z2 v z3 thẳng h ng
c. Các điểm có toạ vị z, z2 v z3 lập th nh tam giác vuông
8. Khảo sát sự hội tụ của d~y số phức

Trang 20

u0 , n , un+1 =

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

1 + un
1 un

n
k
= n 1
n
2


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 1. Số Phức

9. (n , zn) ì * v | argzn | . Chứng minh rằng chuỗi

| z
n 0

n

| hội tụ

10. Cho tam giác ABC. Kí hiệu M0 = A, M1 = B, M2 = C v n , Mn+3 l trọng tâm
của tam giác MnMn+1Mn+2. Chứng tỏ rằng d~y điểm (Mn)n l d~y hội tụ v tìm giới
hạn của nó?

da
y

11. Cho h m f : I sao cho f(t) 0. Chứng minh rằng h m | f | l đơn điệu tăng khi
v chỉ khi Re(f/ f) 0.
12. Cho f : 3+ liên tục v bị chặn. Tính giới hạn
x +0

+

1

f (t )
x t dt ( 1)

b. lim

x +

13. Khảo sát các đờng cong phẳng
a. z(t) = acost + ibsint

2

dt

0

b. z(t) = acht + ibsht
ln t
d. z(t) = tlnt + i
t

ni

c. z(t) = (t sint) + i(1 cost)

f (t / x)

1+ t

ce

a. lim x

1

H

av

e

a

14. Biểu diễn trên mặt phẳng các tập con của tập số phức
b. | z 1 | + | z + 1 | = 3
a. | z 3 + 4i | = 2



c. arg(z i) =
d.
< argz <
v |z|>2
4
3
4
e. 0 < Imz < 1 v | z | < 2
f. | z 1 | + | z + 1 | > 3
g. | z | < 2 v Rez > 1
h. | z i | > 1 v | z | < 2

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 21

Tranh th thi gian l tranh th c tt c

Chơng 2

H m biến phức

Đ1. H m biến phức

da
y

Cho miền D . ánh xạ f : D , z w = f(z) gọi l h m biến phức xác định trên
miền D v kí hiệu l w = f(z) với z D.
Thay z = x + iy v o biểu thức f(z) v thức hiện các phép toán
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) với (x, y) D 32
(2.1.1)
H m u(x, y) gọi l phần thực, h m v(x, y) gọi l phần ảo, h m | f(z) | =

u 2 + v 2 gọi l

module, h m f (z) = u(x, y) iv(x, y) gọi l liên hợp phức của h m phức f(z).

a

ni

ce

Ngợc lại, với x = 1 (z + z ) v y = 1 (z z ), ta có
2

2
u(x, y) + iv(x, y) = f(z, z ) với z, z D
(2.1.2)
Nh vậy h m phức một mặt xem nh l h m một biến phức, mặt khác đợc xem nh
h m hai biến thực. Điều n y l m cho h m phức vừa có các tính chất giống v vừa có các
tính chất khác với h m hai biến thực. Sau n y tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể, chúng ta
có thể cho h m phức ở dạng (2.1.1) hoặc dạng (2.1.2)
Ví dụ Xét w = z2 . Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy)2 = (x2 y2) + i(2xy) = u + iv

av

e

Để biểu diễn hình học h m phức, ta dùng cặp mặt phẳng (z) = (Oxy) v (w) = (Ouv).

H

D

z0

G

z(t)

(z)

w0
w(t)

(w)

Qua ánh xạ f
biến th nh điểm
w0 = u0 + iv0
Điểm
z0 = x0 + iy0
Đờng cong
z(t) = x(t) + iy(t) biến th nh đờng cong w(t) = u(t) + iv(t)
Miền
D
biến th nh miền
G
Chính vì vậy mỗi h m phức xem nh l một phép biến hình từ mặt phẳng (Oxy) v o mặt
phẳng (Ouv). Nếu ánh xạ f l đơn ánh thì h m w = f(z) gọi l đơn diệp, trái lại gọi l đa
diệp. H m đa diệp biến một mặt phẳng (z) th nh nhiều mặt phẳng (w) trùng lên nhau.
Nếu ánh xạ f l đơn trị thì h m w = f(z) gọi l h m đơn trị, trái lại gọi l đa trị. H m đa

Trang 22

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 2. H m BiếnPhức
trị biến một mặt phẳng (z) th nh nhiều tập con rời nhau của mặt phẳng (w). Trong giáo
trình n y chúng ta chỉ xét các h m phức đơn trị xác định trên miền đơn diệp của nó.

ce

da
y

Trên tập F(D, ) các h m phức xác định trên miền D, định nghĩa các phép toán đại số
tơng tự nh trên tập F(I, ) các h m trị phức xác định trên khoảng I.
Cho các h m f : D , z = f(z) v g : G , w = g() sao cho f(D) G.
H m
h : D , z w = g[f(z)]
(2.1.3)
gọi l h m hợp của h m f v h m g, kí hiệu l h = gof.
Cho h m f : D , z w = f(z) v G = f(D).
H m
g : G , w z = g(w) sao cho f(z) = w
(2.1.4)
1
gọi l h m ngợc của h m f, kí hiệu l g = f .
H m ngợc của h m biến phức có thể l h m đa trị. Các tính chất phép toán của h m
phức tơng tự nh các tính chất của h m thực.

w l h m đa trị.

ni

Ví dụ H m w = z2 l h m đa diệp trên v có h m ngợc z =

a

Đ2. Giới hạn v liên tục

Cho h m f : D , a D v L . H m f gọi l dần đến giới hạn L khi z dần đến a

v kí hiệu l lim f(z) = L nếu

e

z a

av

> 0, > 0 : z D, | z a | < | f(z) L | <
H m f gọi l dần đến giới hạn L khi z dần ra vô hạn v kí hiệu l lim f(z) = L nếu
z

> 0, N > 0 : z D, | z | > N | f(z) L | <
H m f gọi l dần ra vô hạn khi z dần đến a v kí hiệu l lim f(z) = nếu

H

z a

M > 0, > 0 : z D, | z a | < | f(z) | > M

Định lý Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), a = + i v L = l + ik
lim f(z) = L lim u(x, y) = l v
lim v(x, y) = k
z a

( x ,y )( , )

( x ,y )( , )

(2.2.1)

Chứng minh
Giả sử
lim f(z) = L > 0, > 0 : z D, | z a | < | f(z) L | <
z a

(x, y) D, | x | < /2 v | y | < /2

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 23


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 2. H m Biến Phức

lim

Suy ra

( x ,y )( , )

Ngợc lại
lim

( x ,y )( , )

lim

u(x, y) = l v

u(x, y) = l v

( x ,y )( , )

lim

( x ,y )( , )

| u(x, y) l | < v | v(x, y) k | <
v(x, y) = k

v(x, y) = k

> 0, > 0 : (x, y) D, | x | < v | y | <
| u(x, y) l | < /2 v | v(x, y) k | < /2
z D, | z a | < | f(z) L | <
Suy ra lim f(z) = L

da
y

z a

Hệ quả
1.

lim f(z) = L lim f (z) = L lim | f(z) | = | L |

2.

lim [f(z) + g(z)] = lim f(z) + lim g(z)

z a

z a

za

z a

z a

z a

lim [f(z)g(z)] = lim f(z) lim g(z), lim [f(z)/ g(z)] = lim f(z)/ lim g(z)
z a

z a

z a

z a

z a

ce

z a

3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn h m biến thực

H m f gọi l liên tục tại điểm a D nếu lim f(z) = f(a). H m f gọi l liên tục trên miền

ni

z a

e

a

D nếu nó liên tục tại mọi điểm z D.
H m f gọi l liên tục đều trên miền D nếu
> 0, > 0 : z, z D, | z z | < | f(z) f(z)| <
Rõ r ng h m f liên tục đều trên miền D thì nó liên tục trên miền D. Tuy nhiên điều
ngợc lại nói chung l không đúng.

H

av

Định lý Cho h m f liên tục trên miền D compact.
1. H m | f(z) | bị chặn trên miền D v z1 , z2 D sao cho
z D, | f(z1) | | f(z) | | f(z2) |
2. Tập f(D) l miền compact
3. H m f liên tục đều trên miền D
4. Các tính chất khác tơng tự h m biến thực liên tục
Chứng minh

1. Do h m trị thực | f(z) | =

u 2 (x, y) + v 2 (x, y) liên tục trên miền compact nên bị chặn

v đạt trị lớn nhất, trị bé nhất trên miền đó.
2. Theo chứng minh trên tập f(D) l tập giới nội.
Xét d~y wn = f(zn)
w0. Do miền D compact nên có d~y con z(n)
z0 D.
+
+
Do h m f liên tục nên f(z(n))
w0 = f(z0) f(D). Suy ra tập f(D) l tập đóng.
+
Xét cặp hai điểm w1 = f(z1), w2 = f(z2) f(D) tuỳ ý. Do tập D liên thông nên có tham số

Trang 24

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 2. H m BiếnPhức
cung (t) nối z1 với z2 v nằm gọn trong D. Khi đó tham số cung fo(t) nối w1 với w2 v
nằm gọn trong f(D). Suy ra tập f(D) l tập liên thông đờng.
3. Giả sử ngợc lại, h m f không liên tục đều trên tập D. Khi đó
> 0, = 1/ n, zn , zn D : | zn zn | < 1/ n v | f(zn) f(zn) |
a v z(n)
b.
Do miền D compact nên có các d~y con z(n)

+
+

da
y

Theo giả thiết trên
N1 > 0 : n > N1, | a b | < | a z(n) | + | z(n) z(n) | + | z(n) b | < 1/ n
Suy ra a = b. Do h m f liên tục nên
N2 : n > N2, | f(z(n)) f(z(n)) | <
Trái với giả thiết phản chứng.

ce

Đ3. Đạo h m phức

1 f
(
2 x

i

f
1 f
f
f
f
)dz + (
+ i )d z =
dz +

dz
y
2 x
y
z
z

(2.3.2)

e

=

a

ni

Cho h m f : D , z f(z) = u(x, y) + iv(x, y). H m f gọi l R N khả vi nếu phần thực
u = Ref v phần ảo v = Imf l các h m khả vi. Khi đó đại lợng
df = du + idv
(2.3.1)
gọi l vi phân của h m phức f.
Kí hiệu dz = dx + idy v d z = dx idy. Biến đổi
u
v
u
v
f
f
df = (

+i
)dx + (
+ i )dy =
dx + i dy
x
x
y
y
x
y

H

av

H m f gọi l C N khả vi nếu nó l R khả vi v có các đạo h m riêng thoả m~n điều kiện
Cauchy Riemann sau đây
f
u
v
u
v
=0
=
v
=
(C R)
z
x
y

y
x
Ví dụ Cho w = z = x iy
Ta có u = x v v = y l các h m khả vi nên h m w l R khả vi
Tuy nhiên u x = 1 v y = 1 nên h m w không phải l C khả vi
Cho h m f : D , a D v kí hiệu z = z a, f = f(z) f(a). Giới hạn
f
= f(a)
(2.3.3)
lim
z 0 z
gọi l đạo h m của h m f tại điểm a.

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 25


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 2. H m Biến Phức

Định lý H m phức f có đạo h m khi v chỉ khi nó l C khả vi.

i

u
v
v
=
+i

y
y
x

(2.3.5)

ce

Hệ quả Nếu h m f l C khả vi thì
u
v
u
u
v
+i
=
i
=
f(z) =
x
x
x
y
y

da
y

Giả sử h m f l R khả vi v z = | z |ei , z = | z |e i. Theo công thức (2.3.2)
f

f
f =
z +
z + o(z)
z
z
Chia hai vế cho z
f
f 2i
f
+
e + (z) với (z) 0
(2.3.4)
=
z
z
z
Suy ra điều kiện cần v đủ để giới hạn (2.3.3) tồn tại không phụ thuộc v o z l
f
=0
z
Tức l h m f l C khả vi. Từ đó suy ra định lý sau đây.

ni

Chứng minh
Giả sử h m f l C khả vi. Chuyển qua giới hạn công thức (2.3.4)
f
f(z) =
z

Kết hợp với công thức (2.3.2) v điều kiện (C R) nhận đợc công thức trên.

av

e

a

Nhận xét
1. Nếu các h m u v v thuộc lớp C1 thì h m f l R khả vi v nếu các đạo h m riêng thoả
m~n thêm điều kiện Cauchy Riemann thì nó l C khả vi. Tuy nhiên điều ngợc lại nói
chung l không đúng.
2. Từ công thức (2.3.5) suy ra các qui tắc tính đạo h m phức tơng tự nh các qui tắc
tính đạo h m thực.

H

Ví dụ Cho w = z2 = (x2 y2) + i(2xy)
Ta có u = x2 y2 v v = 2xy l các h m khả vi v thoả m~n điều kiện (C R)
u x = 2x = v y v u y = 2y = v x
Suy ra h m w l C khả vi v theo công thức (2.3.5)
w = u x + i v x = 2x + i2y = 2z

Trang 26

Giáo Trình Toán Chuyên Đề


Tranh th thi gian l tranh th c tt c
Chơng 2. H m BiếnPhức

Đ4. H m giải tích
Cho h m f : D v a D0. H m f gọi l giải tích (chỉnh hình) tại điểm a nếu có số
dơng R sao cho h m f có đạo h m trong hình tròn B(a, R). H m f gọi l giải tích trong
miền mở D nếu nó giải tích tại mọi điểm trong miền D. Trờng hợp D không phải miền
mở, h m f gọi l giải tích trong miền D nếu nó giải tích trong miền mở G v D G. Kí
hiệu H(D, ) l tập các h m giải tích trên miền D.

da
y

Định lý H m phức giải tích có các tính chất sau đây.
1. Cho các h m f, g H(D, ) v . Khi đó f + g, fg, f / g (g 0) H(D, )
[f(z) + g(z)] = f(z) + g(z)
[f(z)g(z)] = f(z)g(z) + f(z)g(z)

f (z)g(z) f (z)g (z)
f (z )
(2.4.1)
g( z ) =
g 2 (z)



ni

ce

2. Cho f H(D, ), g H(G, ) v f(D) G. Khi đó h m hợp gof H(D, )
(gof)(z) = g()f(z) với = f(z)

(2.4.2)
3. Cho f H(D, ) v f(z) 0. Khi đó h m ngợc g H(G, ) với G = f(D)
1
g(w) =
với w = f(z)
(2.4.3)
f (z)

R). Kết hợp với

av

e

a

Chứng minh
1. 2. Lập luận tơng tự nh chứng minh tính chất của đạo h m thực
3. Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Từ giả thiết suy ra các h m u, v l khả vi v thoả m~n điều kiện (C
công thức (2.3.5) ta có
u x u y
J(x, y) =
= (ux )2 + (vx )2 = | f(z) |2 0
v x v y

H

Suy ra ánh xạ f : (x, y) (u, v) l một vi phôi (song ánh v khả vi địa phơng). Do đó
nó có ánh xạ ngợc g : (u, v) (x, y) cũng l một vi phôi. Từ đó suy ra

g
f
w = f 0 z = g 0 v lim
= lim ( ) 1 = (f(z)) 1
w 0 w
z 0 z

Giả sử h m w = f(z) giải tích tại điểm a v có đạo h m f(a) 0.
Gọi L : z = z(t) l đờng cong trơn đi qua điểm a v : w = f[z(t)] = w(t) l ảnh của nó
qua ánh xạ f. Khi đó dz(t) l vi phân cung trên đờng cong L v dw(t) l vi phân cung
trên đờng cong . Theo công thức đạo h m h m hợp trong lân cận điểm a, ta có
dw = f(a)z(t)dt = f(a)dz
Suy ra
| dw | = | f(a) || dz | v arg(dw) = arg(dz) + argf(a) [2]
(2.4.4)

Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trang 27