Các định lý hội tụ thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức zalcman yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

TRẦN THỊ HUỆ

CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC
ZALCMAN YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

TRẦN THỊ HUỆ

CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC
ZALCMAN YẾU

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN HUỆ MINH

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn này là công trình nghiên cứu
của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huệ Minh. Tôi không sao
chép từ bất kì một công trình nào khác. Tôi kế thừa và phát huy các thành
quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Trần Thị Huệ

Xác nhận

Xác nhận

của Trưởng (phó) khoa chuyên môn

của người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Huệ Minh

i


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Trần Huệ Minh, người đã định hướng

chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi
có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Trần Thị Huệ

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Ánh xạ chỉnh hình

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tô pô compact mở và compact hóa một điểm . . . . . . . .

4

1.2.1

Tô pô compact mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Compact hóa một điểm . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức . . . . . . .

6

1.4

Không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Phủ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.8

Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

iii


1.8.1

Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . .

9

1.8.2

Không gian phức hyperbolic đầy . . . . . . . . . . .

9

1.8.3

Không gian phức nhúng hyperbolic . . . . . . . . . .

10

Miền taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.10 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.9

2 Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào
không gian phức Zalcman yếu

12

2.1

Không gian phức Zalcman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Tính taut của một miền không bị chặn trong một không gian
phức với nhóm tự đẳng cấu không compact. . . . . . . . . .

2.3

22

Tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh
xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu. . . . . . .

28

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

iv

Mở đầu
Như chúng ta đã biết, bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong
những bài toán quan trọng bậc nhất của giải tích phức nhiều biến, các định
lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi có liên quan tới nhiều vấn đề trong giải
tích phức hyperbolic và lý thuyết đa thế vị.
Trong [11], các tác giả đã đưa ra khái niệm về một lớp không gian phức
mới gọi là không gian phức Zalcman, từ đó xây dựng khái niệm không gian
phức Zalcman yếu và chỉ ra một số định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi
đối với những ánh xạ chỉnh hình vào không gian con phức Zalcman yếu của
một không gian phức.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu về không gian phức Zalcman và
các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian
phức Zalcman yếu, em đã chọn đề tài luận văn " Các định lý hội tụ thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman
yếu". Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo còn gồm
hai chương nội dung.
Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về ánh xạ chỉnh
hình, tôpô compact mở và compact hóa một điểm, đa tạp phức, không gian
phức, họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phủ chỉnh hình, giả khoảng cách
Kobayashi, không gian phức hyperbolic, miền taut, hàm đa điều hòa dưới.
Chương hai trình bày các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh
1


hình vào không gian phức Zalcman yếu. Phần đầu của chương trình bày
một vài lớp không gian Zalcman quan trọng và chỉ ra những tính chất cơ
bản của không gian Zalcman. Phần thứ hai trình bày điều kiện đủ về tính
taut của một miền trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không
compact theo cách tiếp cận từ không gian phức Zalcman có điểm biên đọng
quỹ đạo. Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu mối quan hệ giữa
tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗ − thác triển, tính Zalcman yếu và tính

lồi đĩa yếu của không gian phức.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huệ Minh. Tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn, trường
Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành được khóa học của mình.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu được đưa vào từ các tài liệu

[1], [4], [5].
1.1

Ánh xạ chỉnh hình

Giả sử X là một tập mở trong Cn và f : X → C là một hàm số. Hàm f
được gọi là khả vi phức tại x0 ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính λ : Cn → C
sao cho

|f (x0 + h) − f (x0 ) − λ (h)|
= 0,
|h|→0
|h|
lim

trong đó h = (h1 , ..., hn ) ∈ Cn và |h| =

n

2

1/2

|hi |

.

i=1

Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x0 ∈ X nếu f khả vi phức trong một
lân cận nào đó của x0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình
tại mọi điểm thuộc X .
Một ánh xạ f : X → Cm có thể viết dưới dạng f = (f1 , ..., fm ), trong đó

fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m là các hàm tọa độ. Khi đó f được gọi là
chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i = 1, ..., m.
Ánh xạ f : X → f (X) ⊂ Cn được gọi là song chỉnh hình nếu f là song
ánh, chỉnh hình và f −1 cũng là ánh xạ chỉnh hình.
3


1.2
1.2.1

Tô pô compact mở và compact hóa một điểm

Tô pô compact mở

Giả sử X , Y là các không gian tô pô. Gọi F là họ các ánh xạ X vào Y .
+ Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không
gian Y , ta định nghĩa

W (K, U ) = {f |f (K) ⊂ U } .
Họ tất cả các tập W (K, U ), trong đó K là một tập con compact bất kỳ
của X và U là một tập mở trong Y , là một tiền cơ sở của tô pô compact
mở C trên F .
Do đó họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng W (K, U ), trong đó

K và U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tô pô compact mở trên
F . Một phần tử tùy ý của cơ sở có dạng

{W (Ki , Ui ) |i = 1, ..., n} trong

đó mỗi Ki là tập con copmact của X và mỗi Ui là một tập con mở của Y .
+ Giả sử {fn } là một dãy trong F . Ta nói dãy {fn } hội tụ tới f ∈ F
đều trên các tập con compact của X (hay hội tụ theo tô pô compact mở)
nếu với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập mở U của Y thỏa mãn

f (K) ⊂ U , tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta có fn (K) ⊂ U.

1.2.2

Compact hóa một điểm

Giả sử X là không gian tô pô không compact. Cặp (Y, ϕ), trong đó Y là
một không gian compact, ϕ : X → Y là một phép nhúng đồng phôi X vào

Y sao cho ϕ (X) trù mật trong Y , gọi là một compact hóa của X .
Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian không compact. Giả
sử Y là một không gian tô pô không compact và ∞ là một điểm không
4


thuộc Y . Đặt Y + = Y ∪ {∞}. Ta trang bị cho Y + một tô pô τ như sau:
- Nếu G là một tập hợp trong Y + không chứa ∞, tức là G ⊂ Y , thì G ∈ τ
khi và chỉ khi G mở trong Y .
- Nếu G là một tập hợp trong Y + chứa ∞, thì G ∈ τ khi và chỉ khi Y + \G
là một tập hợp đóng và compact trong X .
Ta có (Y + , τ ) là một không gian tô pô và Y là không gian con của không
gian tô pô Y + . Nếu gọi i : Y → Y + , i (x) = x là phép nhúng đồng phôi Y
vào Y + thì cặp (Y + , i) là một compact hóa của Y và gọi là compact hóa
một điểm hay compact hóa Alexandrov của Y.

1.3
1.3.1

Đa tạp phức
Định nghĩa

Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff.
+ Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập
mở trong X và ϕ : U → Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn ,
(ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi.
+ Họ A = {(Ui , ϕi )}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập

bản đồ giải tích (atlats)của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) {Ui }i∈I là một phủ mở của X .
(ii) Với mọi Ui , Uj mà Ui ∩ Uj = ∅, ánh xạ

ϕj ◦ ϕ−1
i : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj )

5


là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlats trên X . Hai atlats A1 , A2 được gọi là tương đương nếu
hợp A1 ∪ A2 là một atlats. Đây là một mối quan hệ tương đương trên tập
các atlats. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X ,
và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n
chiều.
Ví dụ 1.3.1. Giả sử D là miền trong Cn . Khi đó, D là một đa tạp phức n
chiều với bản đồ địa phương {(D, IdD )} .

1.3.2

Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức

Giả sử M, N là các đa tạp phức, ánh xạ liên tục f : M → N được gọi
là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của M và mọi
bản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V )
là ánh xạ chỉnh hình.
Hay tương đương, với mọi x ∈ M, y ∈ N , tồn tại hai bản đồ địa phương

(U, ϕ) và (V, ψ) tại x và y tương ứng sao cho
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V )
là ánh xạ chỉnh hình.
Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f −1 là
các ánh xạ chỉnh hình thì f gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N.

6


1.4

Không gian phức

Định nghĩa 1.4.1. Giả sử M là đa tạp phức. Một không gian phức đóng

X là một tập con đóng của M mà về mặt địa phương được xác định bởi
hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với x0 ∈ X tồn tại lân cận mở

V của x trong M và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1 , ..., ϕm trên V sao cho
X ∩ V = {x ∈ V |ϕi (x) = 0, i = 1, ..., m} .
Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức M.
Hàm f : X → Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại
một lân cận U (x) ⊂ M và một hàm chỉnh hình fˆ trên U sao cho

fˆ|U ∩X = f |U ∩X .
Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y , f được
gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của

Y , hàm hợp g ◦ f là hàm chỉnh hình trên f −1 (V ) .

Ký hiệu Hol (X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được
trang bị tô pô compact mở.

1.5

Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

- Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian
phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F compact tương đối trong Hol(X, Y )
với tôpô compact mở.
- Một dãy fj ∈ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact

K ⊂ X và với mỗi tập compact L ⊂ Y tồn tại j0 = j (K, L) sao cho
fj (K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0 .
7


- Một họ F được gọi là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con
nào phân kỳ compact.

1.6

Phủ chỉnh hình

Ánh xạ chỉnh hình π : X → X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi

x ∈ X , có lân cận mở U chứa x mà π −1 (U ) là hợp rời rạc những tập mở Uσ
của X (tức là π −1 (U ) = ∪ Uα , Uα là các tập mở trong X và Uα ∩ Uβ = ∅
α∈I

nếu α, β ∈ I, α = β ) thỏa mãn

π|Uα : Uα → U là song chỉnh hình.
Khi đó X được gọi là không gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi

x ∈ X, π −1 (x) gọi là thớ trên x của phủ π.
1.7

Giả khoảng cách Kobayashi

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

Hol (D, Y ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào Y , được trang bị
tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy các
điểm a1 , a2 , ..., ak của D và các dãy ánh xạ f1 , ..., fk trong Hol (D, Y ) thỏa
mãn

fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k.
Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ...ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X .
Ta định nghĩa
k

ρD (0, ai ), α ∈ Ωx,y

dX (x, y) = inf
α

i=1

8

,


trong đó Ωx,y là tập tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X .
Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .
k

ρD (0, ai ) gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình α.

Tổng
i=1

1.8
1.8.1

Không gian phức hyperbolic
Không gian phức hyperbolic

Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi)
nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức là

dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X.
Nhận xét 1.8.1. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh
xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến
song chỉnh hình.

1.8.2

Không gian phức hyperbolic đầy

- Giả sử X là không gian phức với khoảng cách d. Dãy {xn } ⊂ X được
gọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi) đối với khoảng cách d nếu với mỗi ε > 0,
tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có

d (xn , xm ) < ε.
- Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và đầy
đối với khoảng cách Kobayashi dX , tức là mọi dãy cơ bản đối với khoảng
cách dX đều hội tụ.

9


1.8.3

Không gian phức nhúng hyperbolic

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y , X được gọi là
nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y ∈ X, x = y luôn tồn tại các lân
cận mở U của x và V của y trong Y sao cho

dX (X ∩ U, X ∩ V ) > 0.
1.9

Miền taut

Cho M là một miền trong không gian phức X .
- Dãy {fj }∞

j=1 ⊂ Hol(∆, M ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập
compact K ⊂ ∆, với mỗi tập compact L ⊂ M , tồn tại số j0 = j(K, L) sao
cho fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0 .
- M được gọi là taut nếu mọi dãy {fj }∞
j=1 ⊂ Hol(∆, M ) hoặc chứa một
dãy con hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới ánh xạ chỉnh hình f ∈

Hol(∆, M ) hoặc phân kỳ compact.
1.10

Hàm đa điều hòa dưới

+ Giả sử D là miền trong C. Một C 2 - hàm h xác định trên D được gọi
là điều hòa nếu

∂ 2h
∆h := 4
= 0 trên D.
∂z∂ z¯
+ Hàm u : D → [ − ∞, ∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {z ∈ D; u (z) < s} là tập mở
với mỗi số thực s;
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G → R
10


là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u ≤ h trên ∂G thì u ≤ h
trên G.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:

Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần
và đủ là với mỗi điểm z ∈ D, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho
2π

1
u (z) ≤
2π

u(z + reit )dt với mọi r < r0 (z) .
0

+ Giả sử G là một tập con mở trong Cn . Một hàm

ϕ : G → [ − ∞, ∞)
được gọi là đa điều hòa dưới nếu
(i) ϕ là nửa liên tục trên và ϕ không đồng nhất với −∞ chỉ trên thành phần
liên thông của G;
(ii) Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ Cn mà a = 0, và với mỗi ánh xạ

τ : C → Cn , τ (z) = z0 + az , hàm ϕ ◦ τ trên mỗi thành phần liên thông của
τ −1 (G) hoặc bằng −∞ hoặc là điều hòa dưới.
Trong không gian phức bất kỳ ta có định nghĩa:
Giả sử X là một không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là
một hàm ϕ : X → [ − ∞, ∞) thỏa mãn tính chất sau:
Với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với một ánh xạ
song chỉnh hình h : U → V lên một không gian phức con đóng V của một
miền G ⊂ Cm nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : G → [−∞,∞) sao
cho ϕ|U = ϕ ◦ h.
Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương.

11


Chương 2

Các định lý hội tụ - thác triển đối
với ánh xạ chỉnh hình vào không
gian phức Zalcman yếu
Phần đầu của chương này, chúng tôi trình bày về không gian phức
Zalcman và một số tính chất cơ bản của không gian Zalcman. Phần tiếp
theo, trình bày về tính taut của một miền không bị chặn trong một không
gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact. Cuối cùng, chúng tôi trình
bày về tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức Zalcman yếu.

2.1

Không gian phức Zalcman

Định nghĩa 2.1.1. [11] Giả sử X là một không gian phức, ∆ là đĩa đơn vị
mở trên C. Không gian phức X được gọi là một không gian Zalcman nếu

X thỏa mãn điều kiện sau:
Với mỗi họ không chuẩn tắc F ⊂ Hol (∆, X) sao cho F là không phân
kỳ compact, thì tồn tại các dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {fj } ⊂ F ,

12


{ρj } ⊂ R với ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho

gj (ξ) = fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến một ánh xạ chỉnh hình khác
hằng g : C → X .
Nhận xét 2.1.1. Một không gian taut là không gian Zalcman.
Ví dụ 2.1.1. 1. Từ định lý 2.8 [8] suy ra mỗi không gian phức compact là
một không gian Zalcman.
2. Cho X là một không gian phức compact. Cho H là một siêu diện phức
của X . Khi đó X\H là không gian Zalcman, đặc biệt C = CP 1 \ 1điểm
là không gian Zalcman.
3. Nếu X1 là không gian taut và X2 là không gian Zalcman, thì X1 × X2
cũng là không gian Zalcman.
Thật vậy, giả sử fj = fj1 ; fj2

⊂ Hol(∆, X1 × X2 ) sao cho {fj } là

không chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆. Khi đó dễ thấy

fjk cũng không phân kỳ compact trên ∆, (k = 1, 2).
Do X1 là taut nên fj1 là chuẩn tắc trên ∆.
Vậy fj2 là không chuẩn tắc trên ∆.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

fj1

→ f 1 trong

Hol(∆, X1 ). Vì X2 là Zalcman nên không mất tổng quát ta có thể giả sử
rằng tồn tại một dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {fj } ⊂ F , {ρj } ⊂ R
với ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho

gj2 (ξ) = fj2 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên tập con compact của C đến một hàm nguyên khác hằng

13


g 2 : C → X2 . Khi đó
gj1 (ξ) = fj1 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g 1 = f 1 (p0 ).
Khẳng định được chứng minh.
4 . Nếu X1 là không gian phức compact và X2 là không gian Zalcman, thì

X1 × X2 cũng là không gian Zalcman.
Thật vậy, giả sử fj = fj1 ; fj2

⊂ Hol(∆, X1 × X2 ) sao cho {fj } là

không chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆. Khi đó dễ dàng
thấy rằng fj2

cũng không phân kỳ compact trên ∆. Ta xét hai trường

hợp.
Trường hợp 1: fj2 là chuẩn tắc trên ∆.
Khi đó fj1 là không chuẩn tắc trên ∆. Không mất tính tổng quát ta
có thể giả sử rằng

fj2

→ f 2 trên Hol(∆, X2 ). Do X1 là compact nên

không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy {pj } ⊂ ∆ với

{pj } → p0 ∈ ∆, {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho
gj1 (ξ) = fj1 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng

g 1 : C → X1 . Khi đó
gj2 (ξ) = fj2 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g 2 = f 2 (p0 ).
Trường hợp 2: fj2 là không chuẩn tắc trên ∆.
Do X2 là không gian Zalcman nên không mất tính tổng quát ta có thể
giả sử rằng tồn tại các dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {ρj } ⊂ R với

14


ρj > 0 và {ρj } → 0+ sao cho
gj2 (ξ) = fj2 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng

g 2 : C → X2 .
Xét dãy

gj1 (ξ) = fj1 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C.
(i) Nếu gj1

là chuẩn tắc thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

rằng {gj } → g ∈ Hol(∆, X1 × X2 ), g khác hằng số.

(ii) Nếu gj1 là không chuẩn tắc, thì do tính compact của X1 , không mất
tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy p j ⊂ C với p j → p 0 ∈ C,

ρ j ⊂ R với ρ j > 0 và ρ j → 0+ sao cho
h1j (ξ) = gj1 p j + ρ j ξ , ξ ∈ C,
hội tụ đều trên tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng

h1 : C → X1 . Khi đó
h2j (ξ) = gj2 (pj + ρj ξ), ξ ∈ C
cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng h2 = g 2 (p0 ).
Điều đó chứng tỏ rằng X1 × X2 là không gian Zalcman
Bây giờ ta chứng minh kết quả đầu tiên của phần này.
Định lý 2.1.1. [11] Giả sử M1 , M2 là hai không gian phức. Giả sử

π : M1 → M2 là một phủ chỉnh hình. Khi đó không gian phức M1 là Zalcman
khi và chỉ khi M2 cũng là không gian Zalcman.
Chứng minh. (⇐) Giả sử rằng M2 là không gian Zalcman. Giả sử

F ⊂ Hol(∆, M1 ) sao cho F là không gian chuẩn tắc trên ∆ và F là không
15


phân kỳ compact trên ∆.
(i) Ta sẽ chứng minh rằng họ π ◦ F là không chuẩn tắc trên ∆. Thật vậy,
giả sử ngược lại rằng họ π ◦ F là chuẩn tắc trên ∆. Lấy {fn } ⊂ F , không
mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng {π ◦ fn } → g ∈ Hol(∆, M2 ). Với
mỗi y ∈ M2 , chọn một lân cận taut Uy của y trong M2 .
Khi đó π −1 (Uy ) là taut.
Đặt Vy = g −1 (Uy ), với mỗi y ∈ M2 . Lấy một phủ đếm được {Vi }∞
i=1 của

Vy , với mỗi y ∈ M2 .

∆ sao cho Vi

Xét dãy {fn |V1 }. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

fn (V1 ) ⊂ π −1 (Uy1 ) với mọi n ≥ 1. Do {π ◦ fn |V1 } → g |V1 nên tồn tại
dãy con

(1)

⊂ {fn } là hội tụ trên Hol(V1 , M1 ). Xét dãy

fn

Như chứng minh trên, dãy này chứa một dãy con

(2)

fn |V2

(1)

fn |V2 .
hội tụ trên
(k)

Hol(V2 , M1 ). Tiếp tục quá trình như vậy ta có thể tìm được dãy fn
(k)

cho fn

(k−1)

⊂ fn

Khi đó dãy

(k)

(k)

, với mọi k ≥ 2 và fn

sao

là hội tụ trên Hol(Vk , M1 ).

là hội tụ trên Hol(∆, M1 ). Vậy họ F chuẩn tắc, điều

fn

này là mâu thuẫn.
(ii) Bây giờ ta chỉ ra rằng họ π ◦ F là không phân kỳ compact trên ∆. Thật
vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại một dãy {fn } sao cho {π ◦ fn } là phân
kỳ compact. Giả sử K là tập con compact bất kỳ trong ∆ và L là tập con
compact trong M1 . Khi đó tồn tại n0 sao cho

π ◦ fn (K) ∩ π(L) = ∅, với mọi n ≥ n0 .

Do đó fn (K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ n0 . Điều đó kéo theo rằng dãy {fn }
cũng là phân kỳ compact. Điều này là không thể xảy ra.
(iii) Vì M2 là không gian Zalcman nên tồn tại dãy {pj } ⊂ ∆ với {pj } →

16


p0 ∈ ∆, {fj } ⊂ F , {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và ρ j → 0+ sao cho
gj (ξ) = π ◦ fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập compact của C đến hàm nguyên khác hằng

g0 : C → M2 .
Đặt θj (ξ) = fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C. Khi đó {π ◦ θj } → g0 trên Hol(C, M2 )
Lặp lại lý luận như trong chứng minh (i), không mất tính tổng quát ta có
thể giả sử rằng {θj } → θ0 trên Hol(C, M1 ). Do π ◦ θ0 = g0 nên θ0 khác
hằng số. Vậy M1 là không gian Zalcman.

(⇒) Giả sử rằng M1 là không gian Zalcman. Giả sử {fj } ⊂ Hol(∆, M2 ) sao
cho {fj } là không chuẩn tắc trên ∆ và {fj } là không phân kỳ compact trên

∆. Khi đó tồn tại dãy {zj } ⊂ ∆ với {zj } → z0 ∈ ∆ và {fj (zj )} → p ∈ M2 .
Lấy yj := fj (zj ) và lấy yj ∈ π −1 (yj ) . Khi đó tồn tại một ánh xạ chỉnh
hình fj : ∆ → M2 thỏa mãn

π ◦ fj = fj và fj (zj ) = yj .
+) Bây giờ ta chỉ ra rằng dãy

fj

là không chuẩn tắc trên ∆ và không

phân kỳ compact trên ∆. Thật vậy, nếu dãy fj
đó fj = π ◦ fj

là chuẩn tắc trên ∆, khi

cũng chuẩn tắc trên ∆. Điều này là không thể xảy ra.

Giả sử rằng dãy

fj

là phân kỳ compact trên ∆. Giả sử K là tập con

compact bất kỳ trong ∆ và L là tập con compact bất kỳ trong M2 . Dễ thấy
rằng tồn tại một tập con compact L của M1 sao cho π ◦ L ⊃ L. Vì fj

là

phân kỳ compact trên ∆ nên tồn tại j0 sao cho

fj (K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0 .
Do đó fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0 . Điều đó kéo theo {fj } cũng là phân
kỳ compact. Xảy ra mâu thuẫn.
17


+) Do M1 là không gian Zalcman nên không mất tính tổng quát ta có thể
giả sử rằng tồn tại {pj } ⊂ ∆ với {pj } → p0 ∈ ∆, {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và

{ρj } → 0+ sao cho
gj (ξ) = fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng

g0 : C → M1 . Do đó
gj (ξ) = π ◦ fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên tập con compact của C đến hàm nguyên g0 := π ◦ g0 . Vì

g0 khác hằng số nên g0 khác hằng số. Điều này kéo theo M2 là không gian
Zalcman. Vậy định lý được chứng minh.
Tiếp theo, ta đưa ra khái niệm chuẩn tắc hóa của một không gian phức.
Định nghĩa 2.1.2. [4] Một chuẩn tắc hóa của một không gian phức là
cặp

X, π

gồm không gian phức chuẩn tắc X và toàn ánh chỉnh hình

π : X → X thỏa mãn:
(i) π là ánh xạ riêng và π −1 (x) hữu hạn với mọi x ∈ X ,
(ii) Nếu S là phần kỳ dị của X thì X\π −1 (S) trù mật trong X
và π : X\π −1 (S) → X\S là song chỉnh hình.
Định lý chuẩn tắc hóa của Oka [4] khẳng định rằng: Mọi không gian phức

X có một chuẩn tắc hóa duy nhất (sai khác một đẳng cấu).
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1. [8] Giả sử M1 , M2 là hai không gian phức. Giả sử π : M1 →

M2 là ánh xạ chỉnh hình riêng sao cho π −1 (y) là hyperbolic với mọi y ∈ M2 .
Khi đó không gian phức M1 là không gian Zalcman nếu M2 là không gian

Zalcman.
18


Chứng minh. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong C, F ∈ Hol(∆, M1 ) sao cho F
không chuẩn tắc trên ∆ và F không phân kỳ compact trên ∆.
(i) Ta chứng minh họ π ◦ F cũng không chuẩn tắc trên ∆.
Thật vậy, giả sử họ π◦F chuẩn tắc trên ∆. Lấy dãy {fn } ⊂ F , không mất
tính tổng quát ta có thể giả sử {π ◦ fn } hội tụ đến ánh xạ g ∈ Hol(∆, M2 ).
Do π −1 (y) là hyperbolic với mọi y ∈ M2 nên theo một định lý của Urata Zaidenberg [11] ta suy ra tồn tại một lân cận Uy của y trong M2 sao cho

π −1 (U ) là hyperbolic đầy.
Đặt Vy = π −1 (Uy ) với mọi y ∈ M2 . Lấy một phủ đếm được {Vi }∞
i=1 của

∆ sao cho Vi compact tương đối trong Vy với mọi y ∈ M2 nào đó.
Xét dãy {fn |V1 }, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử fn (V1 ) ⊂

π −1 (Uy1 ), với mỗi n ≥ 1. Do {π ◦ fn |V1 } → g |V1 nên dãy {fn |V1 } là không
phân kỳ compact. Vì π −1 (Uy1 ) là taut nên tồn tại dãy con
(2)

(1)

hội tụ trong Hol(V2 , M1 ).

Tiếp tục quá trình này, ta có thể tìm được các dãy
(k)

fn

⊂

(k−1)

fn

Do đó dãy

(n)

fn

với mọi k ≥ 2 và

⊂ {fn }

fn |V2 , bằng cách làm như

mà nó hội tụ trong Hol(V1 , M1 ). Xét dãy
trên, ta suy ra nó chứa dãy con fn |V2

(1)

fn

(k)

fn

(k)

fn

sao cho

hội tụ trong Hol(Vk , M1 ).

hội tụ trong Hol(Ω, M1 ). Vậy họ F chuẩn tắc. Mâu

thuẫn xảy ra.
(ii) Tiếp theo ta chứng minh họ π ◦ F không phân kỳ compact trên ∆. Thật
vậy, giả sử tồn tại dãy {fn } ⊂ F sao cho {π ◦ fn } là phân kỳ compact. Lấy

K là tập con compact bất kỳ của ∆ và L là tập con compact bất kỳ của
M1 . Khi đó tồn tại n0 sao cho
π ◦ fn (K) ∩ π(L) = ∅ với mọi n ≥ n0 .
Do đó fn (K) ∩ L = ∅, với mọi n ≥ n0 . Từ đó ta suy ra dãy {fn } cũng phân
19