Tài liệu ôn thi chuyên toán môn số học

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

Bài tập số học

BÀI TẬP SỐ HỌC
1. Ba số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện a  b  c chia hết cho 3. Chứng minh rằng
a 2  b  c   b 2  a  c   c 2  a  b  chia hết cho 6.

2. Cho 3 số nguyên a, b, c sao cho a + b + c = 0 và

chia hết cho 9.

Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số a, b, c chia hết cho 3.
3.

a) Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kì luôn có thể chọn được 3 số có tổng
chia hết cho 3.
b) Chứng minh rằng trong 17 số tự nhiên bất kì có thể chọn được 9 số có tổng chia
hết cho 9.
4. Tìm số có 4 chữ số

sao cho

5. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 sao cho
6. Tìm tất cả các số có hai chữ số

sao cho

7. Tìm tất cả các số có sáu chữ số
8. Cho

thỏa

là các số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của

9. Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Ví dụ S(134) = 1+ 4 + 3 = 8.

Tìm n biết:
a)
b)
10. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

chia hết cho
n 1

n

11. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 55  55  1 là một số nguyên tố.
12. Cho m, n  2 thỏa m2  n2  1 chia hết cho m  n  1 . Chứng minh rằng m  n  1

không là số nguyên tố
1

13. Cho a,b là các số tự nhiên sao cho

cũng là một số tự nhiên. Gọi d là ước

chung lớn nhất của a và b. Chứng minh rằng
Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

Bài tập số học

14. Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa

1 1 1
  . Gọi d là ước chung lớn nhất của
a b c

ba số đó . Chứng minh rằng d (b  a) là số chính phương.
15. Cho n là số tự nhiên không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng k 

 k  1

n

thì

 k n  1 chia hết cho k 2  k  1

16. Tìm số nguyên tố p sao cho 2 p  1 và 4 p  1 cũng là số nguyên tố
17. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng số 2 p  1 chia hết cho 3 nhưng

không chia hết cho 9.
18.
19. Cho a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn 4a 2  1 chia hết cho 4ab  1 . Chứng

minh rằng a  b
20. Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn hệ thức p  q   p  q 

3

21. Cho số nguyên n  1 bất kì. Chứng minh rằng n5  n 4  1 không là số nguyên tố
22. Tìm tất cả các số nguyên a, b sao cho a 4  4b4 là số nguyên tố.
23. Cho x, y là hai số tự nhiên thỏa 3x 2  x  4 y 2  y . Chứng minh x  y là số chính

phương.
24. Cho n là số nguyên lớn hơn 6. Chứng minh rằng nếu n  1 và n  1 đều là số

nguyên tố thì n2  n2  16  chia hết cho 720. Hỏi có chiều ngược lại không ?
25. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau
3( xy  yz  zx)  4 xyz

26. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau
xy  yz  zx  xyz  2

27. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

( x  y ) 2  3x  y  1  z 2
28. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

2

x2 y  y 2 z  z 2 x  3xyz
29. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau

Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

Bài tập số học

x

2

 y 2   1  16 y
2

30. Chứng minh rằng với mọi n > 2 thì luôn tồn tại bộ số phân biệt

sao

cho

31. Tìm 3 số tự nhiên, trong đó tích hai số trừ đi 1 thì chia hết cho số còn lại.
32. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước dương của p 4 là một số chính

phương
33. Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y thỏa phương

trình
34. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

là một số chính phương.

35. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

có đúng 3 ước

nguyên tố khác nhau.
36. Cho số tự nhiên

với các ước thỏa

Chứng minh rằng :

không lớn hơn

. Tìm

khi
37. Tìm tất cả các cặp số

nguyên dương sao cho

và

38.

a) Tìm

sao cho với mọi

thì

b) Chứng minh rằng với mọi d thì tập
sao cho

39. Tìm tất cả các số tự nhiên

là một số chính phương.
luôn tồn tại hai số

không phải là số chính phương.
sao cho tồn tại n số nguyên liên tiếp mà tổng của

chúng là một số chính phương.
3

40. Chứng minh rằng nếu

là một số chính phương với

thì

là tổng của hai số chính phương.
41. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng

Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu

chia hết cho 43


Tài liệu ôn thi vào lớp 10
42. Giả sử

Bài tập số học

là số nguyên tố với số nguyên dương

thì

là lũy thừa của

3.
a a 2  b2

c c2  b2

43. Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a  c thỏa

Chứng minh rằng a 2  b2  c 2 không thể là một số nguyên tố.
44. Cho p, q, r là các số nguyên tố và n là số tự nhiên thỏa p n  q n  r 2 .

Chứng minh rằng n = 1
45. Chứng minh rằng nếu abc là một số nguyên tố thì b2  4ac không phải là một số

chính phương.
46. Chứng minh rằng nếu 3x  4 y,3 y  4 x là các số chính phương thì x, y đều chia hết

cho 7.


  914 n

20 n 2  n 1

47. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho An  1  3

48. Tìm tất cả các cặp số nguyên a, b sao cho
49. Tìm

tất

cả

các

số

nguyên

tố

2



 n 1

là số nguyên tố.

là một số chính phương.
p

sao

cho

hệ

phương

trình

có nghiệm nguyên.
50. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho A 

n2  n  1
là một số nguyên.
n2  n  1

51. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho x 2  8 y và y 2  8 x là các số chính

phương.
52.

a) Cho các số nguyên x, y. Chứng minh rằng nếu x2  y 2 chia hết cho 3 thì x và y
cùng chia hết cho 3.
b) Cho các số nguyên a, b. Chứng minh rằng nếu a 2  4ab  5b2 chia hết cho 3 thì a và
b đều chia hết cho 3.
c) Cho các số nguyên dương a, b. Giả sử các số a  2b, b  2a đều là bình phương của
4

một số nguyên thì a và b đều chia hết cho 3.

Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

Bài tập số học

53. Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa: a  2b, b  2c, c  2a đều là bình phương của một số

tự nhiên.
a) Chỉ ra một bộ số thỏa đề bài.
b) Giả sử trong 3 số a  2b, b  2c, c  2a có một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng:
P   a  b  b  c  c  a  chia hết cho 27.
54. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5x2  8 y 2  20412
55. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước dương của p 4 là một số chính

phương.
56. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa: 5x  y 4  4 y  1
57. Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa ab = cd. Chứng minh rằng a + b + c + d là

hợp số.
58. Cho các số nguyên dương a, b thỏa 2a 2  a  3b2  b .

a) Tìm a, b biết a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh a – b và 2a + 2b + 1 là các số chính phương.
2

59. Tìm tất cả các số nguyên dương m, n sao cho 2m  7 n  4
60. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho T  2n  3n  4n là số chính phương.
61. Giải phương trình trong tập các số nguyên dương:  x  1 y  z   xyz  2
62. Cho các số nguyên a, b, c thỏa a  b  c chia hết cho 6 và a 2  b2  c 2 chia hết cho

36. Đặt A  a3  b3  c3

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 8.
b) A có chia hết cho 27 không? Tại sao?
63. Xét tập S là tập các số tự nhiên có thể biểu diễn dưới dạng 12m  5n , trong đó m, n

là các số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng 19  S
5

b) Tìm phần tử nhỏ nhất của S.

Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu