toanmath com đề thi thử THPT quốc gia 2017 môn toán tạp chí toán học tuổi trẻ lần 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (569.58 KB, 30 trang )
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8
Câu 1:
Hàm số y x 4 2 x 3 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 .
Câu 2:
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 90 phút
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
y
ax b
có đồ thị như hình vẽ dưới.
cx d
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a 0, b 0, c 0, d 0 .
Cho hàm số y
B. a 0, b 0, c 0, d 0 .
x
O
C. a 0, b 0, c 0, d 0 .
D. a 0, b 0, c 0, d 0 .
Câu 3:
Đồ thị hàm số y x 2 x 2 3 tiếp xúc với đường thẳng y 2 x tại bao nhiêu điểm?
A. 0 .
Câu 4:
Câu 5:
C. 2 .
D. 3 .
1 x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x2 1
A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang.
Cho hàm số y
y
4
3
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn
hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào?
A. y 4
Câu 6:
B. 1 .
4
x
.
4
C. y 4
B. y 4 x 2 .
2
2
4
x
x
.
2 8
2
1
O
2
4
x
x
.
4 16
D. y 4
Giả sử tồn tại hàm số y f x xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như sau:
x
y
0
y
2
0
1
2
0
0
1
1
2
0
1
0
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m có bốn nghiệm
thực phân biệt là
A. 2;0 1 .
Câu 7:
B. 2;0 1 .
C. 2; 0 .
D. 2; 0 .
Cho hàm số y x 4 2 x 2 . Gọi là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho
và có hệ số góc m . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tổng các khoảng
cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến nhỏ nhất là
1
A. 0 .
B. .
C. .
D. 1 .
2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 1/30 – Mã đề THTT số 478
x
Câu 8:
Cho hàm số y x3 2m 1 x 2 1 m x . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời hồnh độ điểm cực đại không nhỏ hơn
1 là
1
1
A. ; 2 .
B. ; 2; .
4
4
1
1
C. ; .
D. ; 2 .
4
4
Câu 9:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số y
x2 x m2
đạt cực đại tại
x 1
x 1 là:
A. .
B. 2 .
C. 2; 2 .
D. .
Câu 10: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình
nghiệm phân biệt là:
A. 0; 2 .
B. 1; 2 .
C. 1; 2 0 .
x 2
x 1
m có đúng hai
D. 1; 2 0 .
Câu 11: Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB 25 km , BC 20 km và M , N lần lượt là trung
điểm của AD , BC . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A
đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại đi thẳng từ X đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên
phần ABNM là 15km /h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần MNCD là 30 km /h . Thời gian ít
nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ?
A.
2 5
.
3
B.
41
.
4
C.
4 29
.
6
D.
5
.
3
1
Câu 12: Hàm số y 4 x 2 5 có tập xác định là
A. 2; 2 .
B. ; 2 2; .
C. .
D. \ 2 .
Câu 13: Phương trình x ln x 1 0 có số nghiệm là
A. 0 .
B. 1 .
D. e .
C. 2 .
Câu 14: Giá trị của m để phương trình 4 x m.2 x 1 2m 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 3 là
A. m 3 .
B. m 4 .
C. m
9
.
2
Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số f x 7 2 x 6.2 x x
A. .
B. 0 .
D. m
3
.
2
2x2 6x
.
x4
C. 2; log 2 6 .
D. 2; log 2 6 0 .
Câu 16: Nếu a log 2 3 , b log 2 5 thì
1 1
1
A. log 2 6 360 a b .
3 4
6
1 1
1
C. log 2 6 360 a b .
2 3
6
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
1 1
1
a b.
2 6
3
1 1
1
D. log 2 6 360 a b .
6 2
3
B. log 2 6 360
Trang 2/30 – Mã đề THTT số 478
1
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình x 2
2
2 x 2 x 1
2
A. 1;
.
2
1 x
1
x2
2
là
2
B. 0;
.
2
2
2
D. 1;
0;
.
2
2
C. 1;0 .
Câu 18: Đạo hàm của hàm số f x
3
sin x
x là
cos x
1
cos4 x sin 2 x 3 cos 2 x
3
B. f x
1 .
6
cos x
1
cos4 x sin x 3 cos 2 x
3
A. f x
1.
3
cos 2 x
1
3
cos 4 x sin 2 x 3 cos x
3
C. f x
1 .
3
cos 2 x
3
3
D. f x
3
2
cos2 x 1
2
3
.
cos2 x 1
3cos x 3 cos x
x2 1 x
. Khẳng định nào đúng?
3x
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
C. Giá trị của hàm số đã cho luôn không dương. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.
Câu 19: Cho hàm số y
Câu 20: Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng.
Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1
tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền
gốc cịn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong tồn bộ q trình nợ là bao nhiêu?
A. 38.400.000 đồng.
B. 10.451.777 đồng. C. 76.800.000 đồng. D. 39.200.000 đồng.
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của P log a b
b a 1 là
A. 30 .
2 2
6 log
2
b
a
B. 40 .
b
với a , b là các số thực thay đổi thỏa mãn
a
C. 50 .
D. 60 .
1
C. cos3 x C .
3
D.
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y cos 2 x.sin x là
A.
1
cos3 x C .
3
B. cos3 x C .
Câu 23: Cho f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn
10
0
2
10
0
6
1 3
sin x C .
3
6
f x dx 7 ; f x dx 3 . Khi đó giá trị của
2
biểu thức P f x dx f x là
A. 10 .
Câu 24: Cho
A.
B. 4 .
1
4
0
0
f x dx 2 . Giá trị của I f cos 2 x sin x cos xdx
1
.
2
B.
D. 4 .
C. 3 .
1
4
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
1
C. .
2
bằng
1
D. .
4
Trang 3/30 – Mã đề THTT số 478
Câu 25: Thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2 x ,
y 0 , x 0 , x 1 quanh trục hồnh Ox có giá trị bằng
A.
8
.
15
B.
7
.
8
C.
15
.
8
D.
8
.
7
Câu 26: Xét hàm số y f x liên tục trên miền D a; b có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là
phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x a , x b . Người ta chứng minh được rằng diện
b
tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S 2 f x 1 f x dx .
2
a
Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối trịn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng
2 x 2 ln x
giới hạn bởi đồ thị hàm số f x
và các đường thẳng x 1 , x e quanh Ox là
4
2e2 1
4e4 9
4e 4 16e 2 7
4e4 9
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
8
64
16
16
x4
Câu 27: Cho hàm số y 2m 2 x 2 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị
2
của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành
64
qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng
là
15
B. 1 .
A. .
2
C.
; 1 .
2
1
D. ; 1 .
2
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x 2 x 2 1 , trục Ox và đường thẳng x 1 bằng
a b ln 1 b
c
A. 11 .
với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a b c là
B. 12 .
C. 13 .
D. 14 .
Câu 29: Cho số phức z 2 3i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là
B. 2; 3 .
C. 2; 3 .
A. 2;3 .
Câu 30: Số phức nghịch đảo của số phức z 1 3i là
1
1
A.
B.
1 3i .
1 3i .
10
10
C. 1 3i .
D. 2;3 .
D.
1
1 3i .
10
Câu 31: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2 8 z 5 0 . Giá trị của biểu thức
2
2
z1 z2 là
A.
5
.
2
B.
3
.
2
C. 2 .
D.
5.
Câu 32: Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1 3 z i 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
z 2.
2
B. z 2 .
C. z
1
.
2
D.
1
3
z .
2
2
Câu 33: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 z 2 5 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng.
B. đường trịn.
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
C. elip.
D. hypebol.
Trang 4/30 – Mã đề THTT số 478
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z
A. 3 .
B.
1
3 . Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là
z
5.
C. 13 .
D. 5 .
Câu 35: Khối đa diện đều loại p; q là khối đa diện có đặc điểm:
A. mỗi mặt là đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt.
B. có p mặt là đa giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh.
C. có p mặt là đa giác đều và mỗi mặt có q cạnh.
D. có q mặt là đa giác đều và mỗi mặt có p cạnh.
Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC là 2a và thể tích
bằng a3 . Nếu ABC là tam giác vng cân thì độ dài cạnh huyền của nó là
A. a 3 .
B. a 6 .
C.
a 6
.
2
D.
a 3
.
2
Câu 37: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác
BCD . Thể tích V của khối chóp G. ABC là
1
1
1
1
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
3
6
12
18
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A , AB a 2 , AC a 5 . Hình
chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng
góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S . ABC là
5a 3 6
A.
.
12
5a 3 10
B.
.
12
a 3 210
C.
.
24
a 3 30
D.
.
12
Câu 39: Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng
80 . Thể tích của khối trụ là
B. 164 .
C. 64 .
D. 144 .
A. 160 .
Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là
a2h
.
3
4a 2
A. h 2
.
3
B.
4a 2 h 2 a 2
C. h 2
.
3
3 4 3
h2 a 2
D.
.
3 4
3
3
Câu 41: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là
A.
1 3
R .
3
B.
4
R3 .
3
C.
4 2
R3 .
9
D.
32
R3 .
81
Câu 42: Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vng MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M thuộc
AB, N thuộc AC , P , Q thuộc BC ). Gọi S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC nhưng khơng chứa các điểm thuộc hình vng MNPQ. Thể tích của vật thể tròn xoay
khi quay S quanh trục là đường thẳng qua A vng góc với BC là
A.
810 467 3
.
24
B.
4 3 3
.
96
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
C.
4 3 3
.
96
D.
54 31 3
.
12
Trang 5/30 – Mã đề THTT số 478
Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 8 x 4 y 2 z 4 0 có
bán kính R là
A. R 5 .
B. R 25 .
C. R 2 .
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng
D. R 5 .
P
đi qua hai điểm A 0;1; 0 ,
B 2;3;1 và vng góc với mặt phẳng Q : x 2 y z 0 phương trình là
A. 4 x 3 y 2 z 3 0 .
B. 4 x 3 y 2 z 3 0 .
C. x 2 y 3 z 11 0 .
D. x 2 y 3z 7 0 .
A 1; 2; 2 ,
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
P : x 3 y z 2 0 . Vectơ chỉ phương của đường thẳng
phẳng trung trục của AB có tọa độ là:
A. 1; 1; 0 .
B. 2;3; 2 .
B 3; 2; 0
và
là giao tuyến của P và mặt
C. 1; 2; 0 .
D. 3; 2; 3 .
Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;5 và B 0; 0;1 . Mặt phẳng
P
chứa A , B và song song với trục Oy có phương trình là
A. 4 x y z 1 0 .
B. 2 x z 5 0 .
C. 4 x z 1 0 .
D. y 4 z 1 0 .
x 1 y z 2
và điểm
2
1
2
M 2;5;3 . Mặt phẳng P chứa sao cho khoảng cách từ M đến P lớn nhất là
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
A. x 4 y z 1 0 .
B. x 4 y z 3 0 .
C. x 4 y z 3 0 .
D. x 4 y z 1 0 .
Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 2 , B 5; 4; 4 và mặt phẳng
P : 2x y z 6 0
A. 60 .
Nếu M thay đổi thuộc P thì giá trị nhỏ nhất của MA2 MB 2 là
B. 50 .
C.
200
.
3
D.
2968
.
25
Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A 2;3;1 , B 4;1; 2 ,
C 6;3;7 và D 1; 2; 2 . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện ABCD chia không gian
Oxyz thành số phần là
A. 9 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 16 .
x 1 y 4 z 4
và các
3
2
1
điểm A 2;3; 4 , B 4; 6; 9 . Gọi C , D là các điểm thay đổi trên đường thẳng sao cho
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
CD 14 và mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. Khi đó, tọa độ trung điểm của
đoạn thẳng CD là
79 64 102
181 104 42
101 13 69
A. ; ;
B.
;
;
; ; .
D. 2; 2;3 .
. C.
5
5
35 35 35
5
28 14 28
----------HẾT---------TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 6/30 – Mã đề THTT số 478
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B D B B C C D C D D A A B B D C D D A D D C B A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
D B C A B A D C C A B D D A C D A D B D C C A C D
GIẢI
Câu 1:
Hàm số y x 4 2 x 3 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
D. 3 .
Chọn B.
1
2
y x 4 2 x 3 2 x y 4 x3 6 x 2 2 0 2 2 x 1 x 1 0 x 1 hoặc x .
2
Bảng biến thiên:
x
y
1
2
0
–∞
+∞
1
0
y
Dựa vào BBT, Suy ra hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 2:
ax b
Cho hàm số y
có đồ thị như hình vẽ dưới.
cx d
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a 0, b 0, c 0, d 0 .
B. a 0, b 0, c 0, d 0 .
y
O
x
C. a 0, b 0, c 0, d 0 .
D. a 0, b 0, c 0, d 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Dựa vào đồ thị ta có
a
0 nên a và c trái dấu loại đáp án A và C.
c
d
o Tiệm cận đứng x 0 nên d và c trái dấu (vậy nên a , d cùng dấu)
c
b
o f 0 0 nên b và d cùng dấu loại đáp án B.
d
o Tiệm cận ngang y
Câu 3:
Đồ thị hàm số y x 2 x 2 3 tiếp xúc với đường thẳng y 2 x tại bao nhiêu điểm?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
D. 3 .
Chọn B.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 7/30 – Mã đề THTT số 478
Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị hàm số y f x x 2 x 2 3 và đường thẳng
f x g x
y g x 2 x . Khi đó x0 là nghiệm của hệ phương trình
(1). Ta có
f x g x
x 1, x 0, x 2
x 2 x 2 3 2 x
x 2 x 2 3 2 x
1 3
1 3 x 1
3
x
1,
x
4
x
6
x
2
4
x
6
x
2
2
Vậy chỉ có một điểm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4:
1 x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x2 1
A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tập xác định: D ;1 \ 1
Cho hàm số y
lim y lim
x 1
x 1
Ta có:
lim y lim
x 1
x 1
Ta có lim y lim
x 1
x 1
1 x
x2 1
1 x
x2 1
nên hàm số có tiệm cận đứng x 1 .
1 x
1 x
1
lim
lim
nên hàm số có tiệm
2
x 1 x1 1 x x 1 x1 1 x x 1
cận đứng x 1
Câu 5:
1 1
3
4
1 x
x
x 0 nên hàm số có tiệm cận ngang bằng y 0 .
Ta có lim y lim 2
lim
x
x x 1
x
1
1 2
x
y
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được
liệt kê ở bốn
4
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
x4
.
4
x2 x4
C. y 4 .
2 8
A. y 4
3
B. y 4 x 2 .
x2 x4
D. y 4 .
4 16
Hướ ng dẫn giả i
2
O
1
2
x
Chọn C.
+ Ta có đồ thị cắt trục hồnh tại hai điểm 2; 0 và 2;0 nên thay tọa độ đó vào các hàm số
trong đáp án thì loại đáp án D.
+ Đồ thị khơng đi qua điểm 1;3 nên thay tọa độ điểm vào đáp án A, B, C thì loại đáp án B.
15
3, 75 điều này theo đồ thì là khơng đúng (Theo hình
4
vẽ với x 1 thì y 3,5 ). Do đó loại đáp án A.
+ Với x 1 thì từ đáp án A ta có y
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 8/30 – Mã đề THTT số 478
Vậy đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số trong đáp án C.
Câu 6:
Giả sử tồn tại hàm số y f x xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có
bảng biến thiên như sau:
x
y
0
y
2
0
1
0
0
1
2
1
2
0
1
0
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m có bốn nghiệm
thực phân biệt là
A. 2;0 1 .
B. 2;0 1 .
C. 2; 0 .
D. 2; 0 .
Hướ ng dẫn giả i
Chọn C.
Ta có lim y lim f x 1 nên phần đồ thị tương ứng với x 1; có đường tiệm cận
x
x
ngang là y 1 . Do đó phần đồ thị này khơng cắt đường thẳng y 1 .
Ta có lim y lim f x 0 nên phần đồ thị tương ứng với x ;1 có đường tiệm cận
x
x
ngang là y 0 . Do đó phần đồ thị này khơng cắt đường thẳng y 0 .
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình f x m có bốn nghiệm thực phân biệt thì đường
thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại bốn điểm phân biệt khi 2 m 0 .
Câu 7:
Cho hàm số y x 4 2 x 2 . Gọi là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho
và có hệ số góc m . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tổng các khoảng
cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến nhỏ nhất là
1
A. 0 .
B. .
C. .
D. 1 .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
y x 4 2 x 2 . TXĐ: D .
x 0
y 4 x 4 x 4 x x 1 , y 0 x 1
x 1
x
1
y
0
y
3
2
1
0
0
0
1
0
1
Vậy, điểm cực đại của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O 0; 0 . Các điểm cực tiểu là A 1; 1 và
B 1; 1 .
Phương trình đường thẳng thỏa đề bài có dạng y mx , hay mx y 0 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 9/30 – Mã đề THTT số 478
S d A; d B;
m 1
m 1
2
m 1
m 1
2
2 m 2 1 2 m 2 1
m 1 m 1
m2 1
m2 1
0
2.
m 1
m 1
m 1
Vậy S 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m 2 1 0 hay m 1 . Vì S 0 nên ta kết luận S
đạt giá trị bé nhất là 2 khi m 1
S
2
Câu 8:
2
2 2.
2
2 2.
2
Cho hàm số y x3 2m 1 x 2 1 m x . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời hồnh độ điểm cực đại khơng nhỏ hơn
1 là
1
1
A. ; 2 .
B. ; 2; .
4
4
1
1
C. ; .
D. ; 2 .
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định D . Ta có y 3x 2 2 2m 1 x 1 m . Vậy
y 0 3x 2 2 2m 1 x 1 m 0 (*)
Đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị (*) có 2 nghiệm phân biệt
1
m
2
0 4m 7 m 2 0
4 (1)
m 2
Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (*), sao cho x1 x2 . Ta có bảng biến thiên
x
y
x1
0
x2
0
y
Vậy x1 là điểm cực đại của hàm số đã cho.
Đặt VT * f x . Yêu cầu bài toán tương đương hai nghiệm phân biệt x1 , x2 của phương
trình * phải thỏa 1 x1 x2 , nghĩa là
f 1 0
m 2
m 2 (2)
b 2m 1
m 2
1
2a
3
1
Từ (1) và (2) suy ra m
.
4
Câu 9:
x2 x m2
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số y
đạt cực đại tại
x 1
x 1 là:
A. .
B. 2 .
C. 2; 2 .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 10/30 – Mã đề THTT số 478
Tập xác định D \ 1 .
y
x2 2 x 1 m2
x 1
2
.
Hàm số đạt cực đại tại x 1 nên cần có y 1 0 , hay 4 m 2 0 m 2 .
Với m 2 ta được: y
Bảng biến thiên:
x
y
x2 2 x 3
x 1
2
x 1
.
; y 0 x 2 2 x 3 0
x 3
3
0
0
1
1
0
y
Quan sát bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x 1 .
Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.
0
Câu 10: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình
x 2
x 1
m có đúng hai
nghiệm phân biệt là:
A. 0; 2 .
B. 1; 2 .
C. 1; 2 0 .
Hướng dẫn giải
D. 1; 2 0 .
Chọn D.
x2
có đồ thị C ta được đồ thị như hình bên dưới.
x 1
x 2
*Từ đồ thị C suy ra đồ thị hàm số y
f x có đồ thị C1 bằng cách:
x 1
*Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y f x
Phần 1 : Giữ nguyên đồ thị hàm số C phần bên phải trục tung.
Phần 2 : Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung.
Ta được đồ thị C1 như hình bên dưới.
1 O
C : y
y
y
1
O 1
2
2
x
x2
x 1
y
2
x
2
2
2
C1 : y
*Từ đồ thị hàm số C1 suy ra đồ thị hàm số y
x 2
x 1
x 2
x 1
2 O
C2 : y
2
x
x 2
x 1
f x có đồ thị C2 bằng cách:
Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị C1 nằm trên trục Ox .
Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục Ox của đồ thị C1 qua trục Ox .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 11/30 – Mã đề THTT số 478
Ta được đồ thị C2 như hình vẽ bên trên.
Quan sát đồ thị C2 ta được phương trình
x 2
x 1
m có đúng hai nghiệm phân biệt khi và
m 0
chỉ khi
.
1 m 2
Câu 11: Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB 25 km , BC 20 km và M , N lần lượt là trung
điểm của AD , BC . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A
đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại đi thẳng từ X đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên
phần ABNM là 15km /h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần MNCD là 30 km /h . Thời gian ít
nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ?
A.
2 5
.
3
B.
41
.
4
C.
4 29
.
6
D.
5
.
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
A
Gọi MX x km với 0 x 25
Quãng đường AX x 2 102
thời gian tương ứng
x 100
h
15
2
Quãng đường CX
25 x
thời gian tương ứng
x 2 50 x 725
h
30
2
M
x
25 km
B
15 km /h
20 km
X
N
102
30 km /h
D
C
x 2 100
x 2 50 x 725
với x 0; 25 , tìm giá trị nhỏ nhất f x
15
30
x
x 25
f x
, f x 0 x 5
15 x 2 100 30 x 2 50 x 725
Tổng thời gian f x
Tính các giá trị f 0
4 29
1 29
2 5
1, 56 , f 25
2,13 , f 5
1, 49
6
3
3
Vậy hàm số đạt GTNN bằng
2 5
tại x 5
3
1
Câu 12: Hàm số y 4 x 2 5 có tập xác định là
A. 2; 2 .
B. ; 2 2; . C. .
D. \ 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số đã cho là hàm luỹ thừa với số mũ không nguyên
Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 x 2 0 2 x 2 . Vậy TXĐ D 2; 2 .
Câu 13: Phương trình x ln x 1 0 có số nghiệm là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
D. e .
Trang 12/30 – Mã đề THTT số 478
Cho ̣ nB.
Điề u kiê ̣ n x 0 .
x 0
x 0
Phương trı̀ nh đã cho tương đương vớ i
. Do x 0 nên phương trı̀ nh có
ln x 1 x e
nghiê ̣ m duy nhấ t là x e .
Câu 14: Giá trị của m để phương trình 4 x m.2 x 1 2m 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 3 là
A. m 3 .
C. m
B. m 4 .
9
.
2
D. m
3
.
2
Hướng dẫn giải
Cho ̣ nB.
Đă ̣ tt 2 x , điề u kiê ̣ nt 0 . Phương trı̀ nh đã cho trở thà nht 2 2mt 2m 0 (1).
Ta có 2 x1 x2 8 2 x1.2 x2 8 .
Vâ ̣ y phương trı̀ nh (1) phả i có hai nghiê ̣ m dương
t1 , t2 sao cho t1.t2 8 .
m2 2m 0
0
Điề u kiê ̣ n t1 t2 0 2m 0
m4.
t .t 8
2m 8
1 2
2x2 6x
.
x4
Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số f x 7 2 x 6.2 x x
A. .
C. 2; log 2 6 .
B. 0 .
D. 2; log 2 6 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1 2 x 6
7 2 x 6.2 x 0
22 x 7.2 x 6 0
Hàm số xác định
x2 2x
x 0
2x2 6x
0
0
x
2 x 4
x4
x4
0 x log 2 6
x 0
.
x 0
2 x log 2 6
2 x 4
Câu 16: Nếu a log 2 3 , b log 2 5 thì
1 1
1
A. log 2 6 360 a b .
3 4
6
1
1
1
C. log 2 6 360 a b .
2 3
6
1 1
1
a b.
2 6
3
1
1
1
D. log 2 6 360 a b .
6 2
3
Hướng dẫn giải
B. log 2 6 360
Chọn C.
1
1
1 1
1
log 2 6 360 log 2 5.32.23 3 2 log 2 3 log 2 5 a b .
6
6
2 3
6
1
Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình x 2
2
2
A. 1;
.
2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
2 x 2 x 1
1 x
1
x2
2
là
2
B. 0;
.
2
Trang 13/30 – Mã đề THTT số 478
2
2
D. 1;
0;
.
2
2
Hướng dẫn giải
C. 1;0 .
Chọn D.
1
1
Do x 0x nên x 2
2
2
2
2 x 2 x 1
1 x
1
x2
2
x2 1 1
2
x 2 1 1
2
2
2 x x 1 1 x
1
0 x 2 1
2
2
2 x x 1 1 x
1
x
1
2
x
2
1 1
;
;
x
1
2 2
x 1;
2
x 1; 0
1
x 0;
1 1
2
;
x
2 2
x ; 1 0;
2
2
x 1;
0;
2 2
Câu 18: Đạo hàm của hàm số f x
sin x
x là
3
cos x
1
1
3
cos4 x sin 2 x 3 cos 2 x
cos4 x sin x 3 cos 2 x
3
3
A. f x
B. f x
1 .
1.
6
3
2
cos x
cos x
2
1
3
3
cos 4 x sin 2 x 3 cos x
cos2 x 1 2 3 cos2 x 1
3
C. f x
D. f x
.
1 .
3
3cos x 3 cos x
cos 2 x
Hướng dẫn giải
Chọn D.
sin x
Chú ý rằng 3 cos x
x k .
3
2
2
3. cos x
3
3
sin x
sin x . cos x sin x.
Ta có f x 3
x
3
cos x
cos2 x
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
3
cos x
1
Trang 14/30 – Mã đề THTT số 478
cos x. 3 cos x
3
2
2
4
3 3 cos 2 x 1 3cos x sin x 3 cos x
3
cos 2 x
3cos x. 3 cos 2 x
sin 2 x
3cos 2 x sin 2 x 3 3 cos 4 x
3cos x. 3 cos 2 x
3
2
cos2 x 1
2
3
2 cos 2 x 1 3 3 cos 4 x
3cos x. 3 cos 2 x
cos2 x 1
3cos x 3 cos x
cos x. cos x
3
sin 2 x
3 3 cos 2 x 1 , học sinh có thể loại kết quả theo
3
cos 2 x
Lưu ý với học sinh: Khi tính đến
các sau
o Loại đáp án A, vì tử số trong đáp án A có dấu trừ.
o Loại đáp án B, vì mẫu số của đáp án B là căn bậc 6
o Loại đáp án C, vì tử số của đáp án C có sin 2 x 3 cos x chứ không phải là
sin 2 x
3
cos 2 x
.
x2 1 x
. Khẳng định nào đúng?
3x
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
C. Giá trị của hàm số đã cho luôn không dương. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
x
1 3x x 2 1 x .3x.ln 3
2
x 1
Ta có y
32 x
Câu 19: Cho hàm số y
x
x 2 1 x 2 1 x x 2 1 ln 3
vì x x 2 1 0 và
3 x. x 2 1
0 x
x 2 1 1 với mọi x . Suy ra hàm số nghịch biến trên .
Câu 20: Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48
tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải
trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra
từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong tồn bộ q trình nợ là
bao nhiêu?
A. 38.400.000 đồng.
B. 10.451.777 đồng. C. 76.800.000 đồng. D. 39.200.000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Để thuận tiện trong trình bày, tất cả các số tiền dưới đây được tính theo đơn vị triệu đồng.
200
Số tiền phải trả tháng thứ 1:
200.0,8% .
48
Số tiền phải trả tháng thứ 2:
200
200
200
200
200
47.
.0,8% .
.0,8%
48
48
48
48
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 15/30 – Mã đề THTT số 478
Số tiền phải trả tháng thứ 3:
200
200
200
200
200 2.
46.
.0,8% .
.0,8%
48
48
48
48
Số tiền phải trả tháng thứ 48
200
200
200
200
.0,8% .
200 47.
1.
.0,8%
48
48
48
48
Suy ra tổng số tiền lãi phải trả là:
200
200
200
1.
.0,8% 2.
.0,8% ... 47.
.0,8% 200.0,8%
48
48
48
48 1 48
200
200
.0,8% 1 2 ... 48
.0,8%.
39, 2
48
48
2
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của P log a b
b a 1 là
A. 30 .
B. 40 .
2 2
6 log
2
b
a
b
với a , b là các số thực thay đổi thỏa mãn
a
C. 50 .
Hướng dẫn giải
D. 60 .
Chọn D.
2
b
Ta có P 2 log a b 6 log b .
a2 a
2
Đặt x
b a2
2 1 . Vậy b a 2 x và
2
a
a
2
2
2
a2 x
2
P 2 log a a x 6 log x
4 log a a log a x 6 log x xa
a
2
2
2
4 2 log a x 6 log x x log x a
2
2
1
4 2 log a x 6 1
.
log a x
2
2
1
Đặt t log a x log a 1 0 P 4 t 2 6 1 .
t
2
2
2
1
Xét hàm số f t 4 t 2 6 1 , với t 0; có
t
12 t 1
1 1
.
f t 8 t 2 12 1 . 2 8 t 2
t3
t t
t 0;
t 0;
t 0;
3
4
3
2t 4t 3t 3 0
f t 0
2t t 2 3 t 1
t 0;
t 0;
3
t 1.
3
2
2
t 1 2t 6t 6t 3 0
2t t 1 6t t 1 6t t 1 3 t 1 0
Từ đó suy ra f t f 1 60 , nên P 60 .
Dấu " " xảy ra log a x 1 nên x a hay
b
a b a 3.
2
a
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y cos 2 x.sin x là
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 16/30 – Mã đề THTT số 478
A.
1
cos3 x C .
3
1
C. cos3 x C .
3
Hướng dẫn giải
B. cos3 x C .
1 3
sin x C .
3
D.
Chọn C.
cos3 x
Ta có cos x sin xdx cos xd cos x
C.
3
2
2
Câu 23: Cho f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn
2
10
0
6
10
6
0
2
f x dx 7 ; f x dx 3 . Khi đó giá trị của
biểu thức P f x dx f x là
A. 10 .
B. 4 .
D. 4 .
C. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
10
2
6
10
Vì f x liên tục trên đoạn 0;10 nên f x dx f x dx f x dx f x dx
0
0
2
6
2
10
10
6
0
6
0
2
P f x dx f x dx f x dx f x dx 7 3 4 .
Câu 24: Cho
A.
1
4
0
0
f x dx 2 . Giá trị của I f cos 2 x sin x cos xdx
1
.
2
B.
1
4
bằng
1
C. .
2
Hướng dẫn giải
1
D. .
4
Chọn A.
4
Xét I f cos 2 x sin x cos xdx
0
4
1
f cos 2 x sin 2 xdx
2 0
Đặt t cos 2 x dt 2sin 2 xdx . Đổi cận: khi x 0 t 1 ; x
0
I
t 0.
4
1
1
1
1
1
f t dt f t dt .2 .
41
40
4
2
Câu 25: Thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2 x ,
y 0 , x 0 , x 1 quanh trục hoành Ox có giá trị bằng
A.
8
.
15
B.
7
.
8
C.
15
.
8
D.
8
.
7
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
x5
x4
x 3 8
Ta có S x 2 x dx x 4 x 4 x dx 4 4
0
0
5
4
3 0 15
1
2
2
1
4
3
2
Câu 26: Xét hàm số y f x liên tục trên miền D a; b có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là
phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x a , x b . Người ta chứng minh được rằng diện
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 17/30 – Mã đề THTT số 478
b
tích mặt cong trịn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S 2 f x 1 f x dx .
2
a
Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối trịn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng
2 x 2 ln x
giới hạn bởi đồ thị hàm số f x
và các đường thẳng x 1 , x e quanh Ox là
4
2e2 1
4e4 9
4e 4 16e 2 7
4e4 9
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
8
64
16
16
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1. (Giải tự luận)
2
2
2 x 2 ln x x 2 ln x
1
1
1
1
Ta có f x
f x x
f x x x2
2
4
2
4
4x
4x
16 x 2
1
Lại có f x x
0, x 1; e , nên f x đồng biến trên 1;e . Suy ra
4x
1
f x f 1 0, x 1; e .
2
Từ đây ta thực hiện phép tính như sau
x 2 ln x
1
1
2
dx
S 2 f x 1 f x dx 2
1 x
2
2
4
16 x 2
a
1
b
e
2
2
e
x 2 ln x 2
x 2 ln x
1
1
1
S 2
dx 2
x
x dx
2
4
16 x 2
4
4x
1 2
1 2
e
x 2 ln x
1
2
x dx
2
4
4x
1
e
e
1
1
1 ln x
1
2 x 3 x x ln x
dx
2
8
4
16 x
1
2 I1 I 2 I3
e
Với
x4 x2
2e 4 e 2 3
1 3 1
I1 x x dx
1
8
16
2
8 16 1
e
e
11 2
1
1
1
I 2 x ln x dx
x 2 ln x 1 e 2
1
44
16
16
4
1
e
e
1
1
1 ln x
dx ln 2 x .
I3
1
32
32
16 x
1
Cách 2.
e
e
Học sinh có thể trực tiếp bấm máy tính tích phân S 2
1
x 2 ln x
1
1
1 x2
dx để
2
2
4
16 x 2
có kết quả
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 18/30 – Mã đề THTT số 478
x4
2m 2 x 2 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị
2
của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành
64
qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng
là
15
Câu 27: Cho hàm số y
B. 1 .
A. .
2
C.
; 1 .
2
Hướng dẫn giải
1
D. ; 1 .
2
Chọn B.
Tập xác định D
x 0
y 2 x3 4m 2 x 2 x x 2 2m 2 ; y 0 x 2 m
x 2m
Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu m 0
1
Vì a 0 nên hàm số đạt cực đại tại x 0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A 0; 2
2
Đường thẳng cùng phương với trục hồnh qua điểm cực đại có phương trình là d : y 2 .
Phương trình hồnh độ giao điểm của Cm và d là:
x 0
2
x
0
x
x2m
2m 2 x 2 2 2 2
2
2
x
m
4
x 2 m
Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn)
4
2m
S
2 m
2m
x4
x4
2m 2 x 2 dx 2
2m 2 x 2 dx 2
2
2
0
2m
0
x4
2 2
2 m x dx
2
x 5 2 2 3 2 m 64 5
2 m x
m
15
10 3
0
Ta có S
m 1
64
m 1
15
m 1
Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x 2 x 2 1 , trục Ox và đường thẳng x 1 bằng
a b ln 1 b
c
A. 11 .
với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a b c là
B. 12 .
C. 13 .
Hướng dẫn giải
D. 14 .
Chọn C.
Cách 1 (dùng máy tính):
Phương trình hồnh độ giao điểm x 2 x 2 1 0 x 0
1
Diện tích hình phẳng cần tìm là S x 2 x 2 1dx vì x 2 x 2 1 0, x 0;1 .
0
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 19/30 – Mã đề THTT số 478
1
2
2
x x 1dx
a b ln 1 b
c
0
1
Bước 1: Bấm máy tính tích phân S x 2 x 2 1dx 0, 4201583875 ( Lưu D)
0
Bước 2: Cơ sở : Tìm nghiệm nguyên của phương trình
D
a b ln 1 b
c a
b ln 1 b
c
trị b ... 5; 4;..0,1; 2;3; 4..... )
Thử với b 1 :
Thử với b 2 : Mode + 7
F X
X 2 ln 1 2
D
D
(coi c f x , a x , b và ta thử các giá
;
Kết quả: a 3; c 8, b 2
Cách 2 (giải tự luận):
Phương trình hoành độ giao điểm x 2 x 2 1 0 x 0
1
Diện tích hình phẳng cần tìm là S x 2 x 2 1dx vì x 2 x 2 1 0, x 0;1 .
0
Đặt x tan t dx 1 tan 2 t dt
Đổi cận x 0 t 0; x 1 t
4
4
4
4
sin 2 t 1
1
sin 2 t.cos t
Khi đó S tan 2 t 1 tan 2 t 1 tan 2 t dt
.
d
t
dt
3
2
2
2
cos
t
cos
t
cos
t
cos
t
0
0
0
Đặt u sin t du cos tdt
Đổi cận t 0 u 0; t
S
2
2
0
u2
1 u 2
Ta có H
2
2
0
3
du
2
2
0
1
2
u
4
2
1 1 u 2
1 u 2
1
du
3
8
1 u 2
3
2
2
0
du
2
2
0
1
1
du
1 u2 3 1 u2 2
3
1 u 1 u
1
du
8
1 u 1 u
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
2
2
0
3
1
1
du
1 u 1 u
Trang 20/30 – Mã đề THTT số 478
1
8
1
8
2
2
0
2
2
0
1
1
3 1
1
du
1 u 3 1 u 3 1 u 2 1 u 1 u
6
1 1
du
1 u 3 1 u 3 1 u 2 2
2 1
1
1
16 1 u 2 16 1 u 2 2 8
0
2 1
2 8
Tính K
2
2
K
0
3
2
2
2
0
6
1 u 2
0
6
1 u
2 2
0
2
2
2
2
2
2
2
0
6
1 u
2 2
du
du
du
6
3
du
2 2
2
1 u
2
2
0
2
1 u 1 u
3
du
2
1 u 1 u
2
2
0
2
1
1
du
1 u 1 u
2
1
1
2
3 1
1
1 u
u
d
ln
2 3 2 3ln 1 2
1 u 2 1 u 2 1 u 1 u
2
1
u
1
u
1
u
0
Vậy H
Khi đó S
7 2 3ln 1 2
2 3 2 3ln 1 2
2
8
8
7 2 3ln 1 2
8
7 2 3ln 1 2
8
1K
6
1
3
6
2 3ln 1 2
3 2 ln 1 2
8
Câu 29: Cho số phức z 2 3i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là
A. 2;3 .
B. 2; 3 .
C. 2; 3 .
D. 2;3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Vì z 2 3i z 2 3i Điểm biểu diễn của z có tọa độ 2;3 .
Câu 30: Số phức nghịch đảo của số phức z 1 3i là
1
1
A.
B.
C. 1 3i .
1 3i .
1 3i .
10
10
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
1
1 3i
1
Ta có z 1 3i
2
1 3i .
2
z 1 3i 1 3i 10
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
D.
1
1 3i .
10
Trang 21/30 – Mã đề THTT số 478
Câu 31: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 2 8 z 5 0 . Giá trị của biểu thức
2
2
z1 z2 là
A.
5
.
2
B.
3
.
2
C. 2 .
D.
5.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
z1 1 i
5
2
2
2
4z2 8z 5 0
. Suy ra z1 z 2 .
2
z 1 1 i
1
2
Câu 32: Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1 3 z i 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
z 2.
2
C. z
B. z 2 .
1
.
2
D.
1
3
z .
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Giả sử z x yi có điểm biểu diễn là M x; y .
Số phức z 1 có điểm biểu diễn A x 1; y . z i có điểm biểu diễn B x; y 1 .
Tacó 2 z 1 3 z i 2 2 2
x 1
2
y 2 3 x 2 y 1 2 2 2OA 3OB 2 AB (1)
2
Mà 2OA 3OB 2OA 2OB OB 2 AB OB (2) .
x 0
Từ (1) và (2) suy ra 2 AB OB 2 AB OB 0 B O
. Khi đó z i z 1
y 1
Câu 33: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 z 2 5 trên mặt phẳng tọa độ là một
A. đường thẳng.
B. đường tròn.
C. elip.
Hướng dẫn giải
D. hypebol.
Chọn C.
Trên mặt phẳng tọa độ 0xy , gọi M x; y biểu diễn số phức z x yi x, y .
x 2 y2 x 2
F1 2;0 , F2 2;0 khi đó 1 MF1 MF2 5
2
Ta có z 2 z 2 5
Đặt
F1 ; F2 và bán kính trục lớn là
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z
A. 3 .
B.
2
y2 5
(1) .
suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là
5
x2 y2
. Phương trình của elip đó là
1.
25 9
2
4
4
1
3 . Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là
z
5.
C. 13 .
Hướng dẫn giải
D. 5 .
Chọn C.
Trước hết ta có bài tốn tổng quát: Cho a, b, c là các số thực dương và số phức z 0 thỏa
mãn az
b
c c 2 4ab
c c 2 4ab
c . Chứng minh rằng
.
z
z
2a
2a
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 22/30 – Mã đề THTT số 478
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z là số thuần ảo.
Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương trình az
b
c rồi lấy trị tuyệt
z
đối mỗi nghiệm. Khi đó số dương nhỏ là min z số dương lớn là max z .
Áp dụng kết quả trên với a b 1 và c 3 , ta có min z
3 13
3 13
và max z
. Vậy
2
2
tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z là 13 .
Câu 35: Khối đa diện đều loại p; q là khối đa diện có đặc điểm:
A. mỗi mặt là đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt.
B. có p mặt là đa giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh.
C. có p mặt là đa giác đều và mỗi mặt có q cạnh.
D. có q mặt là đa giác đều và mỗi mặt có p cạnh.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại p; q nếu:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC là 2a và thể tích
bằng a3 . Nếu ABC là tam giác vng cân thì độ dài cạnh huyền của nó là
A. a 3 .
B. a 6 .
C.
a 6
.
2
D.
a 3
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Khơng mất tính tổng qt, giả sử tam giác ABC vuông cân tại A .
1
x2
1
ax 2
và VS . ABC S ABC .SH
. Vậy
Đặt x AB , ta có S ABC AB. AC
2
2
3
3
ax 2
VS . ABC a 3
a3 x a 3 .
3
Độ dài cạnh huyền là BC AB 2 a 6.
Câu 37: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác
BCD . Thể tích V của khối chóp G. ABC ' là
1
1
1
1
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
3
6
12
18
D
C
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi M là trung điểm của BD theo tính
1
A
chất trọng tâm của G ta có GM CM
B
3
M
G
1
1
1 1
1
VG . ABC VC . ABC VA. BCC . . AB. CB.CC
D
3
3
3 3
2
C
1
1
1
AB.BC.CC VABCD. ABC D
18
18
18
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
A
B
Trang 23/30 – Mã đề THTT số 478
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 2 , AC a 5 . Hình
chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng
góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S . ABC là
A.
5a 3 6
.
12
B.
5a 3 10
a 3 210
.
C.
.
12
24
Hướng dẫn giải
D.
a 3 30
.
12
Chọn D.
Gọi H là trung điểm của BC , đặt SH x, x 0 .
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với
A 0; 0; 0 ,
S
a 2 a 5
AS
;
; x
2
2
A
a 5
VTPT của mp SAB là AS , i 0; x;
n1
2
a 2
VTPT của mp ASC là AS , j x; 0;
n2 .
2
C
H
x
S
a 3
do x 0 .
2
1
1 a 3 1
a 3 30
. .a 2.a 5
.
VS . ABC SH .S ABS .
3
3 2 2
12
C
Cách 2:
( SAB ) SAC SA , kẻ BE SA và GH BE , suy ra
I
E
G
B
H
M
60 .
SAC , SAB GH , SAC HGI
Đặt SH h , ta tính được SA h 2
y
B
a 2 10
1
4
2
2
2
5a
2a
x2
. x2
4
4
16 x 4 28 x 2 a 2 30a 4 0 x
C 0; a 5;0 ,
z
a 2 a 5
a 2 a 5
H
;
;0 , S
;
; x như hình vẽ
2
5
2
2
Ta có:
VTCP của đường thẳng AB là i 1;0;0 ,
VTCP của đường thẳng AC là j 0;1;0 .
n1.n2
Có cos 60
n1 . n2
B a 2; 0; 0 ,
7a 2
5a 2
và SP h 2
. Vậy
4
4
P
A
5a 2
a 2
a 2. h
.h
2 S SAB
BE
SH
.
HM
4 HG
2
BE
, HI
SA
2
SM
7a2
a2
h2
h2
4
2
Tam giác GIH vng tại I có
2
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 24/30 – Mã đề THTT số 478
a 2
5a 2
a 2
. h2
h.
2
4
IH
3 2
4
2 h 4 7a h 2 15a 0 h 2a 3
sin 60
.
HG
2
4
8
4
7a 2
a2
h2
h2
4
2
Vậy VSABC
1
a 3 30
.
AB. AC .SH
6
12
Câu 39: Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng
80 . Thể tích của khối trụ là
A. 160 .
B. 164 .
C. 64 .
D. 144 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Chiều cao h chính là khoảng cách hai đáy h 10 .
Diện tích xung quanh hình trụ là 2 Rh 80 R 4 là bán kính đường trịn đáy.
Vậy thể tích là V R 2 h 160 .
Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là
4a 2
A. h 2
.
3
B.
4a 2 h 2 a 2
C. h 2
.
3
3 4 3
a2h
.
3
3
h2 a 2
D.
.
3 4
3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
Gọi G , G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABC . Vậy GG là trục các đường tròn
ngoại tiếp của các tam giác đáy.
B
Trong mặt phẳng AAGG , kẻ đường trung trực d tại
G
trung điểm M của AA và cắt GG ' tại I .
C
Khi đó ta có IA IA .
h
Mà I GG IA IB IC IA IB IC .
a 3
I
Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là I là bán kính là IA .
2
2a 3 a 3
h
IM GA
, MA .
3 2
3
2
B
G
a
a2 h2
Ta có IA IM 2 MA2
.
3 4
C
A
h
2
M
A
3
4
4 a 3 h2 4a 2
h2 a2
2
Vậy thể tích khối cầu là V
IA3
h
.
3
3 3 4
3 3
3
4
Câu 41: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là
A.
1 3
R .
3
B.
4
R3 .
3
4 2
R3 .
9
Hướng dẫn giải:
C.
D.
32
R3 .
81
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập
Trang 25/30 – Mã đề THTT số 478
