Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp F (W) và E (W)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------------

LƯU THỊ THANH HUYỀN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP

F pT ( W) VÀ EpT ( W)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------------------

LƯU THỊ THANH HUYỀN

NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP
F pT ( W) VÀ EpT ( W)
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả

Lưu Thị Thanh Huyền

i


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2017
Tác giả

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2

3. Phương pháp nghiên cứu

2

4. Bố cục luận văn

2

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị

4

1.2. Hàm đa điều hòa dưới

6

1.3. Toán tử Monge-Ampère phức

8

1.4. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới

10

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

12

1.6. Các lớp năng lượng Cegrell

16

Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGEAMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT (W) VÀ EpT (W)

17

2.1. Các lớp F pT (W) và EpT (W)

17

2.2. Các Định lý so sánh

25

2.3. Tính C T - tựa liên tục

28

2.4. Nguyên lý so sánh trong các lớp F pT (W) và EpT (W)

36

KẾT LUẬN

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

46

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho W là một tập bị chặn của £ n và PSH (W) tập hợp các hàm đa điều
hòa dưới trên W. Năm 1982, E. Berfod và B.A. Taylor [2] đã xây dựng toán tử
Monge-Ampere phức (dd c .)n cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa
phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế
vị. Các tác giả đã chỉ ra rằng toán tử này hoàn toàn xác định trên lớp các hàm
đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm,
đồng thời thiết lập nguyên lí so sánh để nghiên cứu bài toán Dirichle trên
PSH (W) Ç L¥ (W) . Năm 1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán

tử (dd c .)n tới lớp các hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các
độ đo không âm. Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere
đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1998, Cegrell [3] đã định
nghĩa các lớp năng lượng E0(W), F p (W), Ep (W) trên đó toán tử Monge-Ampere
phức hoàn toàn xác định. Năm 2004, Cegrell [4] đã định nghĩa các lớp
E(W), F (W) và chỉ ra rằng lớp E(W) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử

Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère
xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Nghiên cứu các lớp

này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet, sự hội
tụ theo dung lượng…
Năm 2006, Dabbek và Elkhadhra [5] đã mở rộng miền xác định của toán
tử (dd c .)q ÙT trong trường hợp hàm đa điều hòa dưới bị chặn, ở đó T là dòng
dương đóng song chiều (q, q) trên W với 1 £ q £ n . Năm 2014, Hbil, Jaway và
Ghiloufi [9] đã mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampere tới một vài
lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Theo hướng nghiên cứu này

1


chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampere phức
trong các lớp F pT (W) và EpT (W) ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của
Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của (dd c .)q ÙT đối với
các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với T là một dòng
dương đóng song chiều (q, q) trên một tập mở WÌ £ n . Giới thiệu hai
lớp F pT (W) và EpT (W) [8] và chỉ ra rằng chúng thuộc miền xác định của toán tử
(dd c .)q ÙT . Đồng thời chứng minh rằng tất cả các hàm số thuộc các lớp này

đều là C T - tựa liên tục và nguyên lí so sánh có hiệu lực trong các lớp đó.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân và dòng
trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử
Monge-Ampère, tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh
Bedford-Taylor, các lớp năng lượng Cegrell. Nghiên cứu một số tính chất của
các lớp F pT (W) và EpT (W) . Tính C T - tựa liên tục trong các lớp F pT (W) và

EpT (W) . Nghiên cứu nguyên lí so sánh trong các lớp F pT (W) và EpT (W).
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp
của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

2


Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả cơ sở của lý
thuyết đa thế vị, về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính
chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục của
hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, các lớp năng
lượng Cegrell. Các nội dung chính của chương này được tham khảo trong tài
liệu tham khảo [1].
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu gần đây của Hbil, Jaway và Ghiloufi [9] về mở rộng miền xác định của
(dd c .)q ÙT đối với các lớp hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết bị chặn với

T là một dòng dương đóng song chiều (q, q) trên một tập mở WÌ £ n . Một số
tính chất của các lớp F pT (W) và EpT (W) [8]. Chứng minh tính C T - tựa liên tục
của các hàm số thuộc các lớp F pT (W) và EpT (W) và nguyên lí so sánh trong các
lớp đó.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị
Giả sử ¡

n

là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc

e j = (0,..., 0,1, 0,..., 0) , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 £ j £ n kí hiệu
n
´ 42
...4444
´ ¡ 4n3 ® £ gọi là
u j là hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j . Một ánh xạ f : ¡14444
p

p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.
Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho f (v1,..., v p ) = 0 khi v j = v j + 1,1 £ j < n
gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu
n
´ 42
...4444
´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu
từ ¡14444

Ùp ( ¡

n

,£).

p

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử WÌ ¡
ánh xạ a :U ®

Ùp ( ¡

n

n

là tập mở. Một p - dạng vi phân trên W là

,£).

Nếu đặt dx k (x ) = u k , 1 £ k £ n , x Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi
phân

a

trên

W

dưới

dạng

a (x ) =

å

' a I (x )dx I ,

trong

đó

I

I = (i1,..., ip ) , 1 £ i1 < ... < ip £ n , dx I = dx i Ù ... Ù dx i , a I (x ) là các hàm trên
1

W. Giả sử a =

å

' a I dx I là p - dạng và b =

I

p

å

' bJ (x )dx J là q - dạng, ở đó

J

1 £ i1 < ... < i p £ n và 1 £ j1 < ... < jq £ n khi đó tích ngoài a Ù b là

4


( p + q) - dạng cho bởi công thức a Ù b =

å

g Ldx L , ở đó g Ldx L = 0 nếu

L

ik = j l với 1 £ k £ p,1 £ l £ q và g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù ... Ù dx l
1

1 £ l1 < ... < lp+ q £ n với s

j1 < j 2 < ... < jq

,

p+ q

là hoán vị của dãy i1 < i2 < ... < i p và

{1, ..., n }

trong tập hợp

để tạo thành dãy tăng

1 £ l1 < ... < lp+ q £ n .
Nếu f là một hàm thì f Ù a = f a và ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) .
Cho a là p - dạng lớp C 1 . Vi phân ngoài của a là ( p + 1) - dạng cho bởi
da =

å

'd a I Ù dx I . Giả sử a = j dx 1 Ù ... Ù dx n , j Î L1(W) . Khi đó

I

ò a = ò j dx
W

1

Ù ... Ù dx n =

W

ò j dV , dV

là độ đo Lebesgue trên W.

W

Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều (n - p ) trên tập mở WÌ ¡

n

là dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) ( W) ® £ . Nếu a là dạng trong D (n - p ) ( W) ,
giá trị của T tại a , kí hiệu bởi T ( a ) hay T , a .
Bây giờ giả sử p, q = 0,1,..., n . Ta kí hiệu £ ( p,q) là tập các dạng phức
song bậc ( p, q) hệ số hằng trên £ n . Khi đó nếu w Î £ ( p,q) thì có thể biểu diễn:

w=

å

' wJK dzJ Ù dz K ,

J = p, K = q

trong đó wJK Î £ , dzJ = dz j Ù ... Ù dz j , dz K = dz k Ù ... Ù dz k tổng lấy theo
1

p

1

q

các bộ đa chỉ số J = ( j1,..., j p ), K = (k1,..., kq ) với 1 £ j1 < ... < j p £ n ,

&hler chính tắc trên £ n cho bởi:

1 £ k1 < ... < kq £ n . Dạng K a&
5


2
i
i n
b = ả ả z = ồ dz j dz j
2
2 j=1

Khi ú dng th tớch trờn Ê n @ Ă

dV =

2n

cho bi:

1 n
1
i
i
i
b =
b14442
...4443
b = dz 1 dz 1 dz 2 dz 2 ... dz n dz n
n!
n!

2
2
2
n
i
= ( )n dz 1 dz 1 ... dz n dz n
2

Gi s Wè Ê n l tp m. Tp cỏc dng vi phõn song bc ( p, q) vi h s
thuc C 0Ơ (WÊ
, ) (tng ng C 0 ( W, Ê ) ) c kớ hiu D ( p,q ) ( W) (tng ng

Â
D0( p,q ) (W) ). (D ( p,q) (W)) l dng tuyn tớnh liờn tc trờn D ( p,q ) (W).
nh ngha 1.1.3. Mi phn t T ẻ ( D ( n - p,n - q ) (W))Â gi l mt dũng song bc
( p, q) hay ( p, q) - dũng (tng ng song chiu (n - p, n - q) ). Nhng phn t

ca ( D0(n - p,n - q)(W))Â gi l dũng cp 0 , song bc ( p, q) (hay ( p, q) - dũng cp 0 ).
nh ngha 1.1.4. Gi s T l ( p, p) - dũng trờn tp m Wè Ê n . T c gi
l dng nu vi mi dng s cp
a =

i
i
i
a 1 a 1 a 2 a 2 ... a n - p a n - p ẻ C (n - p,n - p )
2
2
2

ta cú T a l phõn b dng, ngha l mt o Borel trờn W.
1.2. Hm a iu ho di
nh ngha 1.2.1. Cho X l mt khụng gian tụpụ, hm u : X đ ộờ- Ơ , + Ơ
ở
c gi l na liờn tc trờn trờn X nu vi mi a ẻ Ă

{x ẻ

X : u(x ) < a } l m trong X.
6

)

tp hp


nh ngha 1.2.2. Cho W l mt tp con m ca Ê n v u : Wđ ộờ- Ơ , Ơ
ở

) l

mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn
thụng no ca W. Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v

b ẻ Ê n , hm l a u (a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh
phn ca tp hp

{l

ẻ Ê : a + l b ẻ W}. Trong trng hp ny, ta vit

u ẻ PSH (W) . ( õy kớ hiu PSH (W) l lp hm a iu ho di trong W).

Mnh 1.2.3. Hm a iu ho di tho món nguyờn lý cc tr trong min
b chn, tc l nu W l mt tp con m liờn thụng b chn ca Ê n v
u ẻ PSH (W) ,

thỡ

hoc

u

l

hng

hoc

vi

mi

z ẻ W,

u (z ) < sup lim sup u (y ) .
wẻ ả W y đ w
yẻ W

nh ngha 1.2.4. Tp hp E è Ê n c gi l a cc nu vi mi im

a ẻ E u cú mt lõn cn V ca a v mt hm u ẻ PSH (V ) sao cho
E ầV è

{z ẻ V

: u(z ) = - Ơ

}.

nh lý 1.2.5. Cho Wl mt tp con m trong Ê n . Khi ú

(i ) H PSH (W) l nún li, tc l nu a , b l cỏc s khụng õm v
u, v ẻ PSH (W) , thỡ a u + b v ẻ PSH (W) .

(ii ) Nu W l liờn thụng v

{u }
j

jẻ Ơ

è PSH (W) l dóy gim, thỡ

u = lim u j ẻ PSH (W) hoc u - Ơ .
jđ Ơ

(iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j }

jẻ Ơ

è PSH (W) hi t u ti u trờn

cỏc tp con compact ca W, thỡ u ẻ PSH (W) .
7


(iv ) Gi s {u a }

aẻ A

è PSH (W) sao cho bao trờn ca nú u = sup u a l
aẻ A

b chn trờn a phng. Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a iu
ho di trong W.
nh lý 1.2.6. Cho Wl mt tp con m ca Ê n .

(i ) Cho u, v l cỏc hm a iu ho di trong W v v > 0 . Nu
f : Ă đ Ă l li, thỡ v f (u / v ) l a iu ho di trong W.

(ii ) Cho u ẻ PSH (W) , v ẻ PSH (W) , v v > 0 trong W. Nu f : Ă đ Ă
l li v tng dn, thỡ v f (u / v ) l a iu ho di trong W.

(iii ) Cho u, - v ẻ PSH (W) , u 0 trong W, v v > 0 trong W. Nu
f : ộờở0, Ơ

)đ

ộ0, Ơ

ờở

) l li v f (0) =

0 , thỡ vf (u / v ) ẻ PSH (W) .

nh ngha 1.2.7. Mt min b chn Wè Ê n c gi l min siờu li nu tn
ti mt hm a iu ho di õm, liờn tc r : Wđ (- Ơ , 0) sao cho vi c < 0

{

}

Wc = z ẻ W: r (z ) < c é W.
1.3. Toỏn t Monge-Ampốre phc
Cho u l a iu ho di trờn min Wè Ê n . Ký hiu d = ả + ả v

d c = i(ả - ả ) . Nu u ẻ C 2 (W) thỡ toỏn t:

(

dd cu

n

ộ ả 2u ự
ỳ
= dd cu ... dd cu = 4n n !det ờờ
dV ,
ỳ

ả
z
ả
z
1444444442 444444443
ờở j k ỳ
ỷ1Ê j ,k Ê n
n

) (

)

(

)

vi dV l yu t th tớch trong C n gi l toỏn t Monge-Ampe. Toỏn t ny
cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn
khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0 (W) trờn W.

8


c
ũ j dd u

(

C 0 (W) ' j a

n

).

W

Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn a
phng trờn W thỡ tn ti dóy {um }

m>1

v

è PSH (W) ầ C Ơ (W) sao cho u m ] u

{(dd u ) } hi t yu ti o Radon m trờn Wtc l:
n

c

m

lim ũ j dd cu m

(

m

n

)

=

W

ũ j d m, "

j ẻ C 0 (W) .

W

Hn na m khụng ph thuc vo vic chn dóy

{u },
m

ta ký

hiu: (dd cu )n = m v gi l toỏn t Monge-Ampe ca u .
Sau õy l mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t toỏn t Monge-Ampe.

{ } l dóy cỏc o Radon trờn tp m Wè

Mnh 1.3.1. Gi s mj

Ă

n

hi

t yu ti o Radon m. Khi ú

i ) Nu G è W l tp m thỡ m(G ) Ê lim inf mj (G ) .
jđ Ơ

ii ) Nu K è W l tp compact thỡ m(K ) lim sup mj (K ) .
jđ Ơ

iii )

Nu

E

compact

tng

i

trong

W:

m(ả E ) = 0

thỡ

m(E ) = lim mj (E ) .
jđ Ơ

Mnh 1.3.2. Gi s Wè Ê n l min b chn v u, v ẻ PSH (W) ầ LƠloc (W)
sao cho u, v Ê 0 trờn W v lim u (z ) = 0 . Gi s T l (n - 1, n - 1) - dũng
zđ ảW

dng, úng trờn W. Khi ú

9


ũ vdd u T
c

Ê

W

c bit, nu lim v(z ) = 0 thỡ
zđ ảW

ũ udd v T
c

.

W

ũ vdd u T
c

=

ũ udd v T .

W

c

W

1.4. Tớnh ta liờn tc ca hm a iu hũa di
Phn ny trỡnh by mt kt qu quan trng ca lớ thuyt a th v. ú l
chng minh tớnh ta liờn tc cho lp cỏc hm a iu hũa di. i n kt
qu ny, ta cn khỏi nim dung lng tng i ca mt tp Borel theo ngha
ca Bedford-Taylor.
nh ngha 1.4.1. Gi s Wè Ê n l tp m v E è W l tp Borel. Dung
lng tng i ca E i vi W, kớ hiu l C n (E , W) hay cú th vit l C n (E )
nu khụng gp phi s hiu lm no khỏc, l i lng cho bi
C n (E ) = C n (E , W) = sup{ũ (dd cu )n : u ẻ PSH (W), - 1 Ê u Ê 0} .
E

Theo bt ng thc Chern-Levine-Nirenberg C n (E ) l hu hn nu E é W.
Mnh sau cho mt s tớnh cht ca dung lng tng i.
Mnh 1.4.2. i ) Nu Wè B(z 0, R ) thỡ C n (E , W) 4n n !R - 2n l n (E ) , ú
l n (E ) l o Lebesgue ca E è Wè Ê n .

ii ) Nu E 1 è E 2 è W1 è W2 thỡ C n (E 1, W2 ) Ê C n (E 2, W1 ).

ổƠ
ử
ữ
iii ) C n ỗỗỗUE j , Wữ
Ê
ữ
ữ
ỗốj = 1
ứ

Ơ

ồ

C n (E j , W) .

j=1

10


iv ) Nếu E Ì w Ð W1 Ì W2 Ð £ n thì C n (E , W1 ) £ c( w, W1, W2 )C n (E , W2 ) , ở
đó c( w, W1, W) là hằng số.

v ) Nếu E j Ì W và E j - E thì lim C n (E j ) = C n (E ) .
j® ¥

Mệnh đề 1.4.3. Nếu v Î PSH (W) và K Ð G thì
lim C n (K Ç {v < - j }, W) = 0 .
j® ¥

Mệnh đề 1.4.4. Giả sử {v j } Ì PSH (W) Ç L¥loc (W) là dãy giảm hội tụ điểm trên

W tới v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) . Khi đó với mọi K Ð W và d > 0 ta có
lim C n (K Ç {v j > v + d}, W) = 0 .
j® ¥

Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới.
Định lí 1.4.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở WÌ £ n . Khi đó
với mọi e > 0 tồn tại tập mở G Ì W với C n (G , W) < e và v liên tục trên
W\ G .

Chứng minh. Lấy tập mở bất kì w Ð W. Chỉ cần chứng minh có tập mở G Ì w
với C n (G , W) < e và v liên tục trên w \ G . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy

{wj },wj Ð W, wj - W và các tập mở G j Ì wj sao cho C n (G j , W) <
tục trên mỗi wj \ G j . Đặt G =

¥

UG

j

. Khi đó G Ì W là tập mở và

j=1

¥

C n (G , W) £

å

C n (G j , W) < e .

j=1

11

e
và v liên
2j


và với mọi tập mở U Ð W ta có U \ G Ì wj \ G j với j nào đó. Vậy v liên tục
trên U \ G . Do đó v liên tục trên W\ G . Đặt G 1 = w Ç {v < - j } , ở đây j
được chọn sao cho C n (G 1, W) <

e
(do Mệnh đề 1.4.3). Đặt v%= max{v, - j } và
2

giả sử { vk } là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận
của w giảm tới v%. Do Mệnh đề 1.4.4 với j = 2, 3,... tồn tại k ( j ) sao cho với

G = w Ç {vk ( j ) > v%+ d} , ta có C n (G j , W) < 2- j e .
Đặt

Gj =

¥

U

j=1

Gj .

Khi

đó

C n (G , W) < e

và

trên

ta

w\ G

có

0 £ vk ( j ) - v%£ d . Vậy vk ( j ) ® v%đều trên w \ G , do đó v% liên tục trên w \ G .
Nhưng trên w \ G thì v j ³ - j . Vậy v = v%. Do đó v liên tục trên w \ G .
Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa
điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn
địa phương.

1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao
cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó
z® ¶W

ò

( dd cv )n £

{u < v }

ò

( dd cu )n .

(1.1)

{u < v }

Chứng minh. Theo giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Điều này có nghĩa là với
z® ¶W

mọi e > 0 tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn
nữa khi thay u bởi u + d, d> 0 , thì {u + d < v } Z

12

{u < v} khi d ]

0 . Nếu

bất đẳng thức (1.1) đúng trên u + d < v thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên

{u < v }.

Vì vậy có thể giả sử lim infz ® ¶ W(u (z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy

{u < v }Ð W.
a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v } là tập mở, u, v liên
tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max {u + e, v }.
Từ giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay
z® ¶W

u (z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶W.

Vậy u e = u (z ) + e gần ¶W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta có

ò (dd u )
c

n

e

W¢

=

ò (dd u )

c

n

hay

W¢

ò

(dd cu e )n =

{u < v }

ò

(dd cu )n .

{u < v }

Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv )n . Vậy

ò

(dd c v )n £ lim inf

{u < v }

e® 0

ò

(dd c u e )n =

{u < v }

ò

(dd c u )n .

{u < v }

b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2}Ð w Ð W. Tồn tại
hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u
và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy

e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm
liên tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho

v = j trên F = W\ G . Ta có

13


ò

(dd cv )n = lim
j® ¥

{u < v }

Nhưng {u j < v } Ì

{u

j

< j

}È G

ò

(dd cv )n .
{u j < v}

và vì {u j < j

ò

(dd cv )n £ ò (dd cv )n +
{u j < v}
{u j < j }

} là tập mở nên

ò (dd v)
c

n

£ lim
k® ¥

G

ò

(dd cvk )n + e ,
{u j < v}

vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .
Từ

{u

j

< j

}Ì {u

j

< v }È G và {u j < v } Ì

ò

(dd cvk )n £ ò (dd cvk )n +
{u j < j }

{u j < v}

{u

j

< vk } suy ra

ò (dd v )
c

n

k

£

G

ò

(dd cvk )n + e .
{u j < vk }

Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được

ò

(dd cvk )n = ò (dd cu j )n .
{u j < vk }

{u j < vk }
Do đó

ò

(dd cv )n £ lim inf lim inf
j® ¥

{u < v }

£ lim sup
j® ¥

k® ¥

ò

(dd cu j )n + 2e
{u j < vk }

ò

(dd cu j )n + 2e .
{u j £ v}

Hơn nữa

ò

(dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e

{u j £ v}
{u j £ v }ÇF

14


{

} {u £ v } nên ta có

và do {u £ v }Ç F là tập compact và u j £ v Ì

ò

lim sup
j® ¥

ò

(dd cu j )n £

ò

(dd cu )n £

{u £ v }ÇF

{u j £ v}ÇF

(dd cu )n .

{u £ v }

Do e > 0 tùy ý nên ta được

ò

ò

( dd cv )n £

{u < v }

( dd cu )n .

{u £ v }

Từ đó với mọi h > 0 ta có

ò

{u + h< v }

Nhưng

ò

( dd cv )n £

ò

( dd c (u + h))n =

{u + h£ v }

(dd cu )n .

{u + h£ v }

{u + h < v}Z {u < v} và {u + h £ v}Z {u < v} khi h ]

0.

Do đó

ò

ò

( dd cv )n £

{u < v }

( dd cu )n .

W

{u < v }

Hệ quả 1.5.2. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao

cho u £ v và lim u(z ) = lim v(z ) = 0 . Khi đó
z® ¶W

z® ¶W

ò (dd v) £ ò (dd u )
c

( W)

n

c

n

.

( W)

Hệ quả 1.5.3. Cho WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao
cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Giả sử (dd cu )n £ (dd cv )n trên W. Khi đó u £ v
z® ¶W

trên W.

15


1.6. Cỏc lp nng lng Cegrell

nh ngha 1.6.1
ùỡ
E0 (W) = ùớ j ẻ PSH - (W) ầ LƠ (W) : lim j (z ) = 0, ũ (dd cj )n < + Ơ
z đ xẻ ả W
ùù
W
ợ

{

E(W) = j ẻ PSH - (W) : " z 0 ẻ W tn ti lõn cn w ca z 0 , j

j

{

j

j

ùỹ
ùý .
ùù
ỵ

ẻ E0 ,

ỹ
] j trờn Wsao cho sup ũ (dd cj j )n < + Ơ ùý .
W

ùùỵ
j

Ep (W) = j ẻ PSH (W) : $ j

j

ẻ E0 (W), j

j

] j;

ỹ
ù
sup ũ (- j j ) (dd j ) < + Ơ , p 1ùý .
ùù
j
W
ỵ
p

c

n

nh ngha 1.6.2
ỹ
ù
F (W) = j ẻ PSH (W) : ${j j } è E0(W), j j ] j , sup ũ (dd j j ) < + Ơ ùý .

ùù
j
W
ỵ

{

c

n

{

F p (W) = u ẻ PSH (W) : $ u j ẻ E0W), u j ] u ;
sup j

16

ỹ
ùù
p
c
n
[1
+
(
u
)
](
dd

u
)
<
+
Ơ
ý.
j
j
ũ
ùù
W
ỵ


CHNG 2

NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T
MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP F pT (W) V EpT (W)

2.1. Cỏc lp F pT (W) v EpT (W)
Cho W l mt min siờu li trong Ê n , tc l nú l tp m, liờn thụng, b
chn, v tn ti h ẻ PSH - (W) sao cho vi mi c < 0 , {z ẻ W: h(z ) < c } l tp
compact tng i trong W, trong ú PSH - (W) l tp hp cỏc hm a iu
hũa di õm, T l dũng dng úng song chiu (q, q) trờn W.
nh ngha 2.1.1. Lp Cegrell a phc E0T (W) liờn kt vi T l tp hp:
ỡù
E (W) = ùớ j ẻ PSH - (W) ầ LƠ (W); lim j (z ) = 0, ũ (dd c .)q T < + Ơ
z đ ả WầSuppT
ùù
W

ợ
T
0

ỹ
ùù
ý.
ùù
ỵ

S dng cỏch chng minh tng t trong [8], ta d dng chng minh rng lp
ny l mt nún li v max(j , y ) ẻ E0T (W) vi mi y ẻ PSH - (W) v

j ẻ E0T (W) .
Trong mc ny chỳng ta gii thiu cỏc lp EpT (W) v F pT (W) , tng t vi
cỏc lp Cegrell v s ch ra rng toỏn t Monge Ampốre hon ton xỏc nh
trờn cỏc lp ú.
nh ngha 2.1.2. Vi mi s thc p 1 ta nh ngha EpT (W) l tp
hp:
ỡù
EpT (W) = ùớ j ẻ PSH - (W); $ E0T (W) ' j
ùùợ

j

ùỹ
] j , sup ũ (- j j )(dd cj j )q T < + Ơ ý.
W
ùùỵ
j 1

17


ìï
F pT (W) := í j Î PSH - (W); $ E0T (W) ' j
ïîï

j

ü
ï
] j , sup ò (dd cj j )q ÙT < + ¥ ý.
W
ïþ
j³ 1
ï

Dễ dàng kiểm tra được E0T (W) Ì F pT (W) Ì EpT (W) và sử dụng bất đẳng
thức Holder, ta có F pT (W) Ì F pT (W) với mọi p2 £ p1 .
1

2

Chúng ta nhắc lại kết quả sau thường được dùng để chứng minh một số
tính chất của các lớp được định nghĩa ở trên.
Định lý 2.1.3 (xem [5]) Giả sử u, v Î E0T (W) . Nếu p ³ 1 thì với 0 £ s £ q ta có

ò (- u ) (dd u )
p

c

s

Ù (dd cv )q - s ÙT £

W

£ Ds , p

(ò (- u ) (dd u )
p

c

q

ÙT

W

trong đó Ds ,1 = e

( j + 1)(q - j )

p+ s
p+ q

) (ò (- v ) (dd v )

p

c

q

ÙT

W

và Ds , p = p

( p + s )(q - s )
p- 1

q- s
p+ q

)

,

,p > 1.

Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng hai lớp đã được giới thiệu kế thừa
một vài tính chất của lớp năng lượng E0T (W).
Định lí 2.1.4. Các lớp EpT (W) và F pT (W) là các nón lồi.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng u + v Î E0T (W) là đủ với mọi

u, v Î EpT (W) . Cho (u j ) j và (v j ) j là hai dãy giảm dần tới u và v tương ứng như

trong Định nghĩa 2.1.2. Ta cần đánh giá

ò (- u

j

- v j )p (dd c (u j + v j ))q ÙT

W

Theo bất đẳng thức Minkowsky, chỉ cần đánh giá các đại lượng:

18


ò (- u ) (dd u )
p

c

s

j

j

Ù (ddv j )q - s ÙT

W

và

ò (- v ) (dd u )
p

c

j

Ù (dd cv j )q - s ÙT .

s

j

W

với mọi 0 < s < q . Sử dụng Định lý 2.1.3, ta có thể đánh giá các đại lượng
cuối cùng bởi

ò (- u ) (dd u )
p

c

j

q

j

ÙT và

W

ò (- v ) (dd v )
p

c

j

q

j

ÙT .

W

Vì các dãy trên là bị chặn đều theo định nghĩa của EpT (W) , nên ta suy ra điều


cần chứng minh.

Mệnh đề 2.1.5. Cho u Î EpT (W) (tương ứng F pT (W) ) và v Î PSH - (W) , khi đó
hàm số w = max(u, v) Î EpT (W) (tương ứng Î F pT (W) ).
Chứng minh. Cho (u j ) j là một dãy giảm tới u như trong Định nghĩa 2.1.2 và
lấy wj = max(u j , v) . Dãy ( wj ) giảm tới w . Ta chỉ cần chứng minh rằng
sup ò (- wj ) p (dd c wj )q ÙT < + ¥ .

j

W

Theo Định lý 2.1.3, ta có:

ò (- w ) (dd w )
p

j

W

c

q

j

ÙT £

ò (- u ) (dd w )
p

j

c

q

j

ÙT

W

p

q

p+ q æ
p+ q
æ
ö
ö
÷
÷
p
c
q
p
c
q
ç
ç
÷
÷
£ D0, p ççò (- u j ) (dd u j ) ÙT ÷ ççò (- wj ) (dd wj ) ÙT ÷ .
÷ èç
÷

çè W
ø
ø
W

19


Do đó

ò (- w ) (dd w )
p

c

j

q

j

ÙT £ D

p+ q
p
0, p

W

ò (- u ) (dd u )

p

j

c

q

j

ÙT .

W

Vế phải bị chặn đều vì u Î EpT (W) , từ đó suy ra điều phải chứng minh.



Kết quả quan trọng của phần này là định lý sau, ở đó khẳng định rằng toán tử
Monge – Ampere (dd c .)q ÙT hoàn toàn xác định trên các lớp EpT (W) và F pT (W) .
Định lý 2.1.6. Cho u Î EpT (W) và (u j ) j là một dãy các hàm đa điều hòa dưới,
giảm dần tới u như trong Định lý 2.1.3. Khi đó (dd cu j )q ÙT hội tụ yếu tới độ
đo dương m và giới hạn này không phụ thuộc vào sự lựa chọn dãy (u j ) j . Đặt
(dd cu )q ÙT = m.

Chứng minh. Lấy 0 £ c Î D(W), d = sup {u1(z ); z Î Suppc } và e > 0 . Giả
sử (rj ) j là dãy sao cho 0 < rj < rj - 1 và rj < dist ({u j < d / 2}, Wc ). Đặt
u r (z ) =
j

ò u (z + r x)dV (x),
j

j

B

trong đó dV là độ đo Lebesgue trên hình cầu đơn vị B . Khi đó ta có

ò c (dd u
c

rj

)q ÙT - c (dd cu j )q ÙT < e.

B

Hàm u r là đa điều hòa dưới, liên tục trên {u j < s / 2} và u j £ ur trên W. Đặt
j

j

u%j = max{ur + d, 2u j } . Khi đó dãy (u%j ) j giảm dần tới hàm đa điều hòa dưới u%
j

và u%j Î E0T (W) theo Mệnh đề 2.1.5.

20