CRUX math march _ Môn Toán

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3
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f (x) = x − 2
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f −1 ◦ g −1 (2) = f −1 (23 ) = 8 − 2 = 6

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2
2
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R

A

A = πR2 − πr 2 = π(R2 − r 2 ) =

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❪
Ô❫ Õ

☎

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24

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➐❪

1

86 =

√
2

1

Ô ✠✂Õ

27

✺❖✭❇✓✌❉❪❉❋✏✠✚✥✜✣▲❇✗✹✒❄✒✧✢❇✿✶▼❖❂

❽ ✿❑✺

1

86 + x3 =

✬✑▲❇✗✧✜

4

ÔÒ× Õ

✢✠
✼ ✕✴✓✩✜✮✗❁✬✌✚❚✕❁✿

❪

√
2
√
√
1
3 2 − 2 + x3 3 − 2
√
9−3 2
1
x3 =
√
3− 2
x = 33 = 27

3−

✸Ý❊❾✶❍✺➝❇ ✸◆★ ❏✂❃❄✿✷✼✱✸➝✸◆✼⑤❊ ✞ ❪

R

64
❂❖✢❇
✼ ❆✑✢✳✪

✜✣✢

✸Ý❊✘❀✷❃❄✿ ❵
√
1
2 + x3

❫ ❋❍✿✷✼✯❋⑩➆❄❃❄✿❑✺

❪

7
√
3− 2

32

❯❲✏❳✓ ✒✙✢☛✿

π

r

= 7
= 7
= 3

➆
➆

❪

✺❖✭❇✓✌❉❪❉❋✏✠✚✥✜✣▲❇✗✹✒❄✒✧✢❇✿

✁ ☎
➹

❪ ➋✽❃❆❋❘❊
❅✂✿✂✸★❜♠❃❄✿ ❵ ❊●❋❍❃❄✿✤Ï❆❅✷❋◆⑧ ✸◆★ ❇⑨❋❉❼❥✸
f : \{0} →
f (x)+f
✸◆✼⑤❊❾✶❍✺➝✼✾❃❄▼❺▼❺✸➝❀✂✸✻✼r⑧❆✺✻✶✹✸➭❅✂❇⑨✼✖❀✷✸ ❏❥❃❆❅✂❇❾✶❍✸◆✼✾Ï❄❅❥✸➭✶❉✶❍✸◆✼★❃❄✿❑✺
✍

Ô❫ Õ
✁✄✂

Ô ✞❄Õ

1

✪❳✒✹✗ ✷ ✬✑✕✘✗✧✏✠✚◆✪✥✬✮✭

x

Ô ✠✂Õ

2

✯✤✢☛✬✮✚✥✱✳✺

✬✑▲❇✗✧✜

✆☎

✺❖✭❇✓✌❉❪❉❋✏✠✚✥✜✣▲❇✗✹✒❄✒✧✢❇✿✶▼❖❂✑✿✥❉❋✏✖✜✮✗

−1

1
x

= 3x

❪ ✪✘❅❥✸✻✶④✶✹✸

f (x) = 1 Ú

ÔÒ× Õ

−2

❯❲✏❳✓✤✒✧✢❇✿

✢✮
✼ ✕✴✓✑✜✮✗✘✬✮✚✥✕❁✿

✢✮
✼ ✢❩✪✥✬✌✭✶✒✧✢

✭✣✢✮
✼ ✜✩✬ ✷ ✕✧✢✠✓✮✭

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✜✣✢❑✺❖✭❇✓✌❉❪❉❋✏✠✚✥✜✣▲❇✗✹✒❄✒✧✢❇✿

✞✝

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➆✚❃❄✿♦❃✷▲☎❊●❋✹✸✻✿❆❊
❪ â♦✺◆❋❉=
Ï❄❅❥✸
❏❥❃❆❅✂❇❾❊⑤❃❆x❅✂✼★✶✹✸✻✼ 1/x❀✷✺◆✿✷✼✖✶❍✸✦❀✷❃❄▼❺✺✻❋❍f✿✂(x)
✸ + f (1/x)
✼ 3/x
✼✱✸
❏✷\✺✽✼★
{0}
❪ ✠➐✸ x❵ ❋q✼✯❋✹➄➭✿❄❋④❼➉✸✤Ï❄❅➐❰ ❋❉✶q✿q❰ ❁❺✺❹
❇ ✸✻★ ✼✱❃❆❅❥3/x
❀❂✸Ý❊★=❀✷❃❄3x
✿✷✿✂✸
❅✂✿✂✸➝❜♠❃❄✿ ❵ ❊●3/x
❋✹❃❄✿ =❀ 3x
✸✻★ ❼✂✿❄❋✹✸

f
❪
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Ï❆❅✷❋✷⑧ x✸◆★ ❇⑨❋❉=❼❥✸ ±1
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f (x) + f (1/x) = 3x
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✥ ❀✷❇●❃❆❋❘❊⑤✸❆➆
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ABC
AB
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AC
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.
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✼ ✢❩✪✥✬✌✭✶✒✧✢

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∠A = α
AD
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DE
❪
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❅
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➆✂❃❄✿❂✺
∠AED = ∠A = α❪✂❫ ❅✂✼✮✼✮❋①➆ ∠BED = 180◦ − α
DE = EB❪ × ❃❄✿ ❵
◦
∠EBD = ∠EDB
❪ ∠EBD + ∠EDB = 180 − ∠BED = α
∠EBD
× ✸➝=❏❄✶❉∠EDB
❅✂✼Ý➆✷❃❄✿❑✺ = α/2

✺

∠BDC = 180◦ − ∠ADB = ∠A + ∠ABD =

❪

❪qÐ ✿❺✿✂❃☎❊●✺◆✿❆❊★Ï❆❅❥✸

➆✷✺✻✶✹❃❄❇⑨✼
➆✂❃❄✿
∠C = ∠BDC = 32 α
AB = AC
✵✷❅✷❋❍✼✾Ï❄❅❥✸
➆◦ ✷❃❄✿❺❃✷▲☎❊●❋✹✸✻✿❆❊

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BD = BC
❪
∠B = ∠C = 23 α

❀q❰ ❃✭❅ ✥

3α
2

∠A + ∠B + ∠C = 180

α + 23 α + 23 α = 180◦

α = 45◦

➆

❪➐ã ✺➝❇ ✸✻★ ❏❥❃❄✿✷✼✾✸✤✸✻✼✯❊ ✠ ❪

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(22 − 1)(22 + 1)(24 + 1) · · · (21024 + 1) + 1
(24 − 1)(24 + 1) · · · (21024 + 1) + 1
(21024 − 1)(21024 + 1) + 1

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CE

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CK = CL
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=
60
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=
∠CLK
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60◦ = ∠BCA
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KL
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✾ ☛✌☞❅✍✏✱✱ ✘✂✸ ✩ ✺★✹✟ ✍ ✩ ✙
✪ ✘✂✸✚✟✆✺ ❀ ✶ ✯ ✟ ✏ ✼ ❀ ✤ ✓ ❄
✤ ❆ ✍ ❂ ✠ ✜✒✦✳✤ ✼ ✍ ✤ ✓ ✓ ✑ ✸✦ ✬ ✤☞❇
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✘✂✸ ✏✦✒ ✟✰✯✥✶ ✭✤✖ ✾✱ ✍ ✭✻✂✩ ✖✿✼ ✸✲✘✖✍ ❈ ✜✒✦ ☛✎✍ ✾ ✤ ✾ ❀ ✟ ✩ ❀✥✩✽✎
✼ ✔ ✠ ✜ ✘✿✑✙☛✂✟ ✍ ✦✌✜ ☛ ✼ ✟ ✦✔❂✖✜ ✘✿✕ ✍ ✘ ✤ ✢
❋ ✒ ✛ ✜✒✦✌✫
✜ ❈✂✤ ☛✷✑✙✘ ✜ ✍ ✘ ✬ ✑ ✦✞✦✌✶✜ ✬ ✕
☛✒✑☞✓✔✠✖✕ ✍✗✑✙✘ ✦✌✶✜ ✬✎✜ ✍✗❈ ✜ ✾ ❋

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Ö☎❋❉✿✂❀❑✺➝❇⑨✺➭❊●❋✹❃❄✿✷✺✻✶❥✿❄❅✂▼❂▲✷✸◆❇ ✼✯❅ ❵ ■❹❊✯■❄✺✻❊ 2
s
s +5
s −5
❃❆❜q❇⑨✺✻❊●❋❍❃❄✿✷✺◆✶❥✿❄❅✂▼❺▲✂✸✻❇⑨✼ ❪

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✺◆✿✂❀

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p21 = s2 + 5
❪
✿ 2
2
2
2
2
(p1 +➆➐p
1−
❒ ❜❻③✤=✸❺s✼✱✸Ý❊− 5
❊✯■✷2✸◆)(p
✿✢③✤
✸p■❄✺Ý2⑧❄) ✸ = p1 − p2 = (s ✺◆+
✿✂❀ 5) − (s − 5) = 10 ❪
=❊●❃✢
p❊✯1■❆+
p1 − p2 = 10/a
❸ ■✷✸❂✼✾❃❆✶❉❅❄❊●❋❍a❃❄✿❶
❋❍✼◗p✶④❋❍2✿✂✸✻✺✽❇❞✼⑨❁✷✼⑤❊⑤✸✻▼➥❃❆❜✘✸◆Ï❄p❅✂1 ✺➭+
❊●❋✹❃❄p✿✷2✼◗=

❋❍✼ a
✺◆✿✂❀
2
p
=
(a
❪ ➅❶✸◗▼❺✺Ý❁✦❊✯■✷✸✻✿❂✸ Ñ ❏✷❇●✸◆✼✮✼ 2 ❋❍✿✦❊●✸◆❇●▼❺1✼★❃❆❜ ß + 10)/2a
2
p2 = (a − 10)/2a
s
a
p22

2

s2 = p21 − 5 =

2

a2 + 10

−5 =

2a

100 + a4

❪

4a2

❸ ■❆❋❉✼❷❋❉▼❺❏❄✶❉❋❍✸◆✼r❊✯■❄✺➭❊
❪
2 ❋❍✼r❊✯■✷✸◗✼✱Ï❆❅✂✺✽❇●✸➝❃❆❜q✺✤❇⑨✺➭❊●❋✹❃❄✿✷✺✻✶❥✿❄❅✂▼❂▲✷✸◆❇
100 + a4 = (2as)
❾
❪
Þ
❵
✠➉✶❍✸◆✺◆❇●✶ ❁q➆
✻
✸
✿
❆
✸
◆
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③
❞
✸
❺
▼
Ý
✺
◗
❁
➝
③
●

❇
❘
❋
⑤
❊
✸
4
2 2
100 + a4 = (a2 + b)2❪
❪❹❸ 100
③◗❋④❊✯■
■✷✸✻✿ + a > (a 2)
2 ➆❥③✤■❆❋ ❵ ■❺❁❆❋✹✸➭✶✹❀❄✼
2
b
>
0
100
=
2a
b
+
b
a
=
➆ (100
➆✽③✤✸❞❼❥−✿✂b❀❹❊✯)/(2b)
■❄✺➭❊❾❜♠❃❄❇
✞❄❁✦❋❍✿✷✼✮❏❥✸ ❵ ❊●❋✹❃❄✿q➆✽❊●✸◆✼⑤❊●❋❍✿✂➄❖❃✻⑧❄✸◆❇✚❊✯■✷✸◗✿✷✺➭❊●❅✂❇⑨✺◆✶❥✿❄❅✂▼❺▲✂✸✻❇⑨✼ ➆ ➆
1

2
.
.
.
9
❪
③✤✸➝➄✻✸Ý❊
③✤■✷✸◆✿ ❵ ✸❄➆
b=8
a = 3/2
s = 41/12
✟ ✓ ☛✒✑❁☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✟
✾ ☛✌☞ ✧ ✎✟ ✍ ✑✩ ✏✓✒✽✕
✪ ✘ ✚
✕ ✍ ✍ ☛✌☛✒✑✚✠ ✦ ✍ ✏ ✕ ✤ ✕ ✜ ✸✲✘✖✍ ❈ ✜✒✦ ☛✎✍ ✕ ☞ ✼❍❀ ✤✒✢✮✜
❋ ✔✗✖ ✸ ✩ ✪ ✱✔✙
✼ ✏ ✑✚✠✖✜✕ ✛ ✜✒✤ ☛✒✢
✘✥✍ ✦✳✤☞✦ ✾ ✜✒✤ ✠ ✼ ✍❍✶ ✼ ✸ ✏ ✼
✟ ✣ ✖ ✱ ❀ ✴✂✟ ✖ ✭ ✱ ❋ ✴ ✡✩ ✏✶✏☞✚
✼ ✖✿✤ ✘ ✬ ✛✥✑ ✥ ✤ ✓✗✑✙☛ ✯ ✜✒✦ ✾ ✜ ☛ ✼ ❀ ✟ ✼ ✸ ✏ ✼✟ ✣ ✤ ✘✥✾✣✯ ✩ ✭✷✸ ✺✒✟
✪ ❋ ✍ ✸ ✖✹✒ ✧ ✼ ✭✡✑✖❈ ✜✒✦✳✼ ✥☞✟ ✼ ✸ ✏ ✟ ❋
✾ ☛✌☞ ❆ ✾✍ ☛✚✑✙✘ ✡✤ ✬✱✬ ✍ ✤ ☛ ✢✥✤✙✦ ✕ ✂✑ ✁
✔✥✦ ✠ ✜ ✘✖✍ ✘ ❂✷✤ ✕✳✕ ✡✤ ✬ ✛ ✜ ✾ ✤ ✘✿✑ ✕ ✜ ✦✌✜❃❂☞✤✙✦ ✾✙✍ ✘ ❂ ✜✕ ✛✖✍ ☛ ✢✥✦ ✡✑ ☛✙✓ ✜ ❅ ❋ ✱✔✕ ❈✂✤ ☛✆☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✕
✘ ☛✚✑ ✑ ✰ ☛ ✁✔✑ ✦
✤ ❅ ✤ ✜✕ ✛ ✜ ❅ ✤ ✕ ✍ ✬ ✤ ✓✲✕✔✑✚✠ ✦ ✘ ✤ ❅ ✜ ✘✿✕ ✤ ✕ ✜✕ ✛ ✜ ✬ ✑✚✠ ✦ ✕ ✂✑ ✁ ❆✽✦✌✜ ✾ ✜✒✦ ✍ ✬ ✰ ✱✳✱ ❋ ✪ ✑ ✕ ✑✙✘ ✓ ☞ ✬ ✤ ✘✷✍ ✼✕ ☛ ✜ ✁✔✑✚✠✙✘✥✾ ✍ ✕
☛ ✆✟✞✡✠☞☛✌✠✎✍✑✏☎✒✔✓✖✕✘✗✙✍✛✚ ✒✖✠✜✍✑✒✢✍✑✣✥✤✢✦✧✚ ★✛✍✑✒✖✏✪✩✫✒✎✬✮✭✰✯✱✍✑✣✥✤✱✲✫✯✳✍✛✚ ✗✛★ ✼✥✢✚✢✻✵❋ ✴✖✶✝✷✒✸✼ ✴✎✹✂✺ )✼ ☛ ✠✖✕ ✤ ❈ ✜✒✦ ☛✎✍ ✑✙(✘❇✂✑ ✁
☎✜ ✄✙✤ ❅ ✢ ✓ ✜❃✼✻✩ ❈ ✜ ✝
✍ ✕ ✤ ✓ ☛✒✑ ✤✒✢✚✢✮✜✒✤✙✦✌✜ ✾ ✦✌✜✶✬✎✜ ✘✥✕ ✓ ☞✜✻ ✍ ✤☞✦✸✬ ✛ ✴✖✼✎✼✂✽✿✾ ✤ ☛ ✢✥✦ ✡✑ ☛✙✓ ✜ ❁
❅ ❀❃❂✎❂✱❄✆✍ ✘ ✕ ✛ ✜ ✥ ✦ ✡✑ ☛✙✓ ✜ ❅❆☛ ✏✖✜✶✬ ✕ ✍ ✑✙✘ ✂✑ ✁ ✕ ✛ ✜❆❅ ✒✎❇ ❇ ✤✝❈✱✤
✭❉✯✳✍✿✣✔✤✂✲❊✯✱✍☎✚ ✗☎★✮❋✿✒✎✕✵✏☎✠✥✯✱❇✘● ❅ ✭❍❋☎■ ✼ ✂✑ ✁ ❈ ✛✖✍ ✬ ✛ ✔✥✦ ✠ ✜ ✘ ✍ ✘ ❂ ✍ ☛ ✙

✤ ✬ ✑✚✫ ✜ ✾✙✍✗✕✔✑ ✦✒❋ ✟ ✬✱✬ ✑ ✦ ✾✙✍ ✘ ❂ ✕ ✑✷✜✕ ✛ ✜ ☛✒✑☞✓✔✠✖✕ ✍✗✑✙✘ ✂✑ ✁✮✕ ✛ ✤ ✕
✑ ☛✙✓ ✜ ❅ ✼ ✕ ✛ ✜✒✦✌✜✆✤✙✦✌✜✆✤ ✘ ✍ ✘ ❁ ✘ ✍✗✕ ✜ ✘✲✠☞❀
❅ ☛ ✜✒✦ ✂✑ ✁✿☛✒✑☞✓✔✠✖✕ ✍✗✑✙✘✚☛✡✕ ✑ ✜✕ ✛✖✍ ☛ ✢✥✦ ✡✑ ☛✙✓ ✜ ❅ ❋
❅ ✭❏❋ ✢✥✦ ✡
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❫➀Þ ✸◆❇●❃❄✿⑥❊⑤❇⑨❋❍✺◆✿✂➄Ý✶✹✸❯■❄✺◆✼❑❋❉✿❆❊⑤✸◆➄✻✸◆❇❹✼✮❋❍❀✂✸✻✼❑✺◆✿✂❀➸✺◆❇●✸◆✺ ❪✞❸ ③✤❃Ü✼✯❋✹❀✷✸◆✼❑❃❆❜❈✺ Þ ✸◆❇●❃❄✿
❪✘❒ ❜➉❋❘❊●✼❷✺◆❇●✸◆✺◗❋❍✼
❊⑤❇●❋❉✺✽✿✂➄Ý✶❍✸➝✺◆❇●✸
✺✽✿✂❀
➆❄❼❥✿✂❀✔❋❘❊●✼❷❏✂✸◆❇⑨❋❍▼❺✸➭❊●✸◆❇ ❪

❙➞

✎✑✏✌✒✔✓✖✕✘✗✙✏✠✚

✘➩

442

❍❖

✢✌✜★✓ ✒✘✬

649

✝
❈

✪➝✼➲ ❪➦ ✮➲❞❪
132396

✓✌✭❬✕ ❍ ✿✶✺

✏✑▲✌✢☛✭✴✿

✿

✎

ã ✸➭❊
❀✂✸✻✿✂❃☎❊⑤✸❹❊✯■✷✸✦✺◆✿✂➄Ý✶✹✸✔▲✂✸Ý❊Ò③✤✸✽✸✻✿❂❊✯■✷✸❹❊Ò③✤❃❂✼✮❋❍❀✂✸✻✼★③✤■✷❃❄✼✱✸❹✶❍✸◆✿✂➄➁❊✯■❄✼❞✺✽❇●✸
442❪
❪♦A❸ ■✷✸◆✿ 1
❪♦❸ ■❆❋❉✼✦➄Ý❋❘⑧❄✸✻✼
✺✽✿✂❀
669
(442)(649)
sin
A

=
132396
sin
A
=
12/13
2
Þ ✸✻✿ ❵ ✸❆➆
❪★ã ✸Ý❊ ❀✂✸✻✿✂❃☎❊⑤✸❞❊✯■✷✸❖✶❍✸◆✿✂➄➁❊✯■✔❃❆❜✂❊✯■✷✸❖❅✂✿✂➃☎✿✂❃✽③➝✿❑✼✯❋✹❀✷✸ ❪✎❸ ■✷✸◆✿
a
❪ ➋✻❅❥▲❄✼✯❊●❋❘❊●❅❄❊●❋❍✿✂➄
③✤✸✦■❄✺➭⑧❄✸ cos2A = ±5/13
❜♠❃❄❇
2
2
a
=
(442)
+
(649)
➆❄③✤✸❹➄✻✸Ý❊❷✺✦✿✂❃❄✿✂⑦⑤❋❍✿❆❊●✸✽➄✻✸✻❇❾⑧❆✺✻✶❉❅❥−✸➝2(442)(649)
❜♠❃❄❇ ➆❆③✤■❆❋ ❵ ■❑cos
❋❉✼✖✿✂A
❃☎❊❷✺◆✶④✶✹❃✽③✤✸◆❀❑❋④❜q❊✯■✷✸➝5/13
❊⑤❇⑨❋❍✺◆✿✂➄Ý✶✹✸
cos A
a
❪✤❸ ■❆❅✂✼➭➆➉❊✯■✷✸
❋❍✼❞✺ Þ ✸◆❇●❃❄✿❂❊⑤❇●❋❉✺✽✿✂➄Ý✶❍✸ ❪ ➇★✼✯❋❍✿✂➄
➆❥③✤✸❑❃✷▲☎❊●✺✻❋❍✿

cos
A
=
−5/13
a = 915
❪
❏❥✸✻❇●❋❉▼❂✸Ý❊⑤✸✻❇❾❋❍✼★✸◆Ï❄❅✂✺✻✶✂❊●❃
442 + 669 + 915 = 2006
✟ ✓ ☛✒✑❁☛✒✑☞✓ ❈ ✜ ✟
✾ ☛✌☞ ✧ ✎✟ ✍ ✑✩ ✏✓✒✽✕
✪ ✘ ✚
✕ ✍ ✍ ☛✌☛✒✑✚✠ ✦ ✍ ✏ ✕ ✤ ✕ ✜ ✸✲✘✖✍ ❈ ✜✒✦ ☛✎✍ ✕ ☞ ✼❍❀ ✤✒✢✮✜
❋ ✔✗✖ ✸ ✩ ✪ ✱✔✙
✼ ✏ ✑✚✠✖✜✕ ✛ ✜✒✤ ☛✒✢
✘✥✍ ✦✳✤☞✦ ✾ ✜✒✤ ✠ ✼ ✍❍✶ ✼ ✸ ✏ ✤
✟ ✣ ✟✂✡✺ ✥ ✂✩ ✖ ❀ ★✟ ✧ ✼ ✻✸ ✩✎❅ ✤ ✘ ✥ ✦ ✍✗❈ ✤ ✕ ✜ ✏✡✬ ✛✿✑ ✑☞✓ ✼ ✭✥✤ ☞☞☛ ✜✒✦ ✍ ✼ ✒ ✠ ✱✦ ✰✚✜ ☞ ✣ ✑✩ ✏✻✒ ✴ ✂✩ ✖
✍ ✟ ✖ ✱✛ ❅
✟ ✘✚✟ ✖ ❀ ✱✛ ✟✡✫ ❀ ✟ ✔ ✟✆✺✖✺ ✩✂✖ ✶ ✼ ✸✿✘ ✍✗❈ ✜✒✦ ☛✎✍✗✾ ✤ ✾ ✾ ✜✡✧❄✤ ✜ ✛ ✘ ✼✮✧❄✤ ✜ ✛ ✘ ✼✹✏✒✢✥✤ ✍ ✑✘ ✣ ✖ ✱ ❀ ✴❊✟ ✖ ✭ ✱ ❋ ✴ ✩✑✏✌✏ ✼✹✖✿✤ ✘ ✬ ✛✥✑
✥ ✤ ✓✗✑✙☛ ✯ ✜✒✦ ✾ ✜ ☛ ✼ ❀ ✟ ✼ ✸ ✏ ✼
✟ ✣ ✤ ✘✿✾ ✍✏✱ ✏✶✏ ✶✹✸ ✖ ✱ ✏✦✒ ✟ ✒✽✩ ✸✮✪ ✱✞✯ ✦✩ ✖✗✏ ✱ ✒ ✧☎✥ ✖ ✶ ✔ ✺ ✩ ✍ ✏ ✶❊✺✙✯✮✱ ✙
✪ ✘ ✘ ✖ ✶ ✼✸ ✥ ✼
✏ ✢✥✦ ✍ ✘ ✲❂ ❁✲✜ ✓✗✾ ✼ ✍❍✶ ✼ ✸ ✏ ✟ ❋

✁☎✄✂

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❪

ã ✸➭❊

❺➞ ➳

❳✭✾✏ ✪

✏✮✸✤✢✌✜

❍

❪➦

✣✗❄✒✹✒✥✎✮✬✌✚✥✜✠✸●✿

✚✩✗✧▲✌✢☛✭■✸✾✗✔✕ ❍

❙➞ ✷➻

2005

✕ ★✢

❍

✔➲✐➳

❂✖✬✤✒✘❆✌✬✮✭ ❍ ✿

✝

▲✷✸✖❋❍✿❆❊●✸✽➄✻✸✻❇⑨✼❾✼✯❅ ❵ ■❖❊✯■❄✺✻❊
❀❆❋❘⑧❆❋✹❀✷✸◆✼✚❋❍✿❆❊●❃✤▲✂❃☎❊✯■
✺✽✿✂❀
ab ❪ + 9b + 81
✺✻✶❍✼✾❃❑❀❆2005
❋❘⑧❆❋✹❀✷✸◆✼✘❋❉✿❆❊⑤❃

a, b,❪ c
✵✂❇●❃✻⑧❄✸❖❊✯■❄✺➭❊
bc + 9c + 81
2005
✎✑✏✌✒✔✓✖✕✘✗✙✏✠✚

❳➥

✏ ✶❂✖✬ ✒✹❆✮✬✌✭ ❍ ✿

❈

➻

ca + 9a + 81

☎✂❻❪

✬ ❍ ★✢✤❉

✎✖✕✘✬

❪ ➅❶✸◗③➝✺◆✿❆❊r❊⑤❃❺❏✷❇●❃◆⑧❄✸➝❊✯■❄✺✻❊
ã ✸➭❊
❀❄❋ ⑧❄❋❍❀✂✸✻✼ ❪ ➋✻❋❍✿ ❵ ✸
w
=
ca
+
9a
+
81
2005
w
❀❄❋ ⑧❄❋❍❀✂✸✻✼
➆✽③✤✸➝■❄✺➭⑧❄✸
ab + 9b + 81

Ô ✁➁Õ

ab + 9b + 81 = 2005k

❜♠❃❄❇➝✼✾❃❄▼❂✸❂❋❉✿❆❊⑤✸◆➄✻✸◆❇ ❪➈❸ ■✷✸✢❏✷❇●❋❉▼❂✸✢❀❄❋ ⑧❄❋❉✼✱❃❄❇⑨✼❹❃❆❜
✺◆❇●✸
✺◆✿✂❀
➆❾✿✂✸✻❋❘❊✯■✷✸◆❇➝❃❆❜
❪➝k❒ ❊✘❊✯■✷✸✻✿❂❜♠❃❆✶❉✶❍❃✽③➝✼✖❜✹❇●❃❄▼ Ô ✁➁Õ❻❊✯■❄2005
✺➭❊★✿✂✸✻❋❘❊✯■✷✸◆5❇ ✿✂❃❄❇ 401 ❀❆❋❘⑧❆❋✹❀✷✸◆✼ ❪

③✤■❆❋ ❵ ■❀❆❋❘⑧❆❋✹❀✷✸◆✼
5
401
b
❽ ✿✔❊✯■✷✸➝❃☎❊✯■✷✸◆❇r■❄81
✺✽✿✂❀➉➆✂▲✷❃☎❊✯■ ✺◆✿✂❀
❀❄❋ ⑧❄❋❍❀✂✸
➆❄✼✯❋❍✿ ❵ ✸
5

bw

401

bw

= abc + 9ab + 81b
➆
= c(ab + 9b + 81) − 9(bc + 9c + 81) + 9(ab + 9b + 81)

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6
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✺◆❇⑤❇⑨✺◆✿✂➄✻✸◆▼❺✸◆✿❆❊⑨✼➭➆
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= 210
6!4!
4(3)(2)(1)
✺✽✿✂❀➸■✷✸✻✿ ❵ ✸❆➆
❏✂❃❄✼✾✼✯❋✹▲❆✶✹✸❶❏✷✺✻❊✯■❄✼✦❋❍✿♦❊✯■❆❋❉✼ ❵ ✶❉✺✽✼✮✼✮❋ ❵ ❏✂❇●❃✷▲❆✶✹✸✻▼ ❪ Ô ❫ ✶❘❊⑤✸✻❇⑤✿✷✺➭❊●❋❘⑧❄✸➭✶❘❁➉➆❾③✤✸
❵ ❃❆❅✷✶❍❀❹❊✯■❆❋❉✿✂➃❹❃❆210
❜ ❵ ■✷❃✷❃❄✼✮❋❉✿✂➄ ❃❆❜✂❊✯■✷✸
❏✷✶❉✺ ❵ ✸◆✼r❋❉✿✤③✤■❆❋ ❵ ■✤❊⑤❃❹❏✷❅❄❊✚❊✯■✷✸ ☎❥✼Ý➆☎✶✹✸✻✺➭⑧❆❋❍✿✂➄✖❊✯■✷✸
6

10
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6 = 210
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❊●Z❃✦❊✯■✷✸✤❏✷✺✽❇Ò❊●❋ ❵ ❅✷✶❉✺✽❇❾❋❍✿❆❊●✸◆❇●▼❂✸◆❀❄❋❉✺✻❊●✸
A
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❏❥❃❆❋❉✿❆❊✱➆❄✺✽✿✂❀✦❊✯■✷✸✻✿❑❜✹❇●❃❄▼✌❊✯■❄✺✻❊r❏✂❃❆❋❍✿❆❊❻❊●❃
❸ ❃❯➄✻✸Ý❊❖❜✹❇●❃❄▼

❊●❃
➆➐③✤✸❺▼❺✺✽B
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▼❂❃✻⑧❄✸◆✼◗❅✂❏ ❪
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1
4
❸ ■✷✸✻❇●✸✔✺✽❇●✸ 5
✼✮❅ ❵ ■❏✷✺✻❊✯■❄✼ ❪◗❸ ❃✢➄✻✸➭❊❷❜✹❇●❃❄▼
❊●❃
➆✷③✤✸✦▼❺✺✽➃✽✸ ▼❂❃✻⑧❄✸◆✼✖❊●❃
W
B
5
1 = 5
❏✂✺➭❊✯■❄✼r❜✹❇●❃❄▼
❊✯■✷✸❖❇●❋❍➄✻■☎❊ ❪✎❸ ■✷✸✻❇●✸❞❋❍✼✘❃❄✿❄✶ ❁ ✼✯❅ ❵ ■✦❏✷✺✻❊✯■ ❪✎❸ ■❆❅✂✼➭➆◆❊✯■✷✸◆❇●✸❖✺◆❇●✸
1
5×1 = 5
A
❪
❊⑤❃
❊✯■❄❇●❃❆❅❥➄✻■
B ❸ ❃❙➄✻✸Ý❊❈❜✹❇●W
❃❄▼
❊⑤❃
➆q③✤✸❑▼❺✺✽➃✽✸
▼❺❃◆⑧❄✸✻✼❞❊⑤❃❊✯■✷✸❑❇●❋❍➄✻■☎❊❖✺◆✿✂❀

▼❺❃◆⑧❄✸✻✼❖❅✂❏ ❪
A
X
2
3
❸ ■✷✸✻❇●✸✦✺◆❇●✸ 5
✼✮❅ ❵ ■❺❏✂✺➭❊✯■❄✼ ❪★❸ ❃❂➄✻✸➭❊✘❜✹❇●❃❄▼
❊●❃
➆❄③✤✸✤▼❺✺✽➃✽✸ ▼❺❃◆⑧❄✸✻✼★❊●❃

✆

= 10

2

X

B

4

▼ ❃✻⑧❄✸❑❅✂❏ ❪❑❸ ■✷✸✻❇●✸❺✺◆❇●✸ 5
❂
✼✯❅ ❵ ■❶❏✂✺➭❊✯■❄✼ ❪❑❸ ■❆❅✂✼➭➆q❊✯■✷✸◆❇●✸❑✺✽❇●✸
4 = 5
❪
❏✂✺➭❊✯■❄✼❷❜✹❇●❃❄▼
❊⑤❃
❊✯■❄❇●❃❆❅❥➄✻■

10 × 5
=➄✻50
B▼❑✺☎➃✽✸
❸ ❃♦
❊⑤❃ A➆✴③✤✸✢
▼❂X❃✻⑧❄✸◆✼➝❊●❃❙❊✯■✷✸❇●❋❍➄✻■☎❊➝✺✽✿✂❀
▼❂❃✻⑧❄✸❂❅✂❏ ❪
✸Ý❊◗❜✹❇●❃❄▼
A
Y
5
1
❸ ■✷✸✻❇●✸❂✺✽❇●✸ 6
✼✯❅ ❵ ■❙❏✂✺➭❊✯■❄✼ ❪❂❸ ❃❯➄✻✸Ý❊❞❜✹❇●❃❄▼
❊⑤❃
➆➐③✤✸❺▼❑✺☎➃✽✸
▼❺❃◆⑧❄✸✔❊●❃
❊✯■✷✸❺❇⑨❋✹➄✻■☎❊❞✺◆✿✂❀

5

1

= 6

Y

B

1

▼❂❃✻⑧❄✸◆✼❈❅✂❏ ❪◗❸ ■✷✸✻❇●✸✔✺✽❇●✸ 4
✼✯❅ ❵ ■✢❏✷✺✻❊✯■❄✼ ❪◗❸ ■❆❅✂✼Ý➆➉❊✯■✷✸✻❇●✸✔✺✽❇●✸
❊✯■✷✸✔❇●❋❍➄✻■☎❊✖✺✽✿✂❀
3
1 = 4
❪
❏✂✺➭❊✯■❄✼❷❜✹❇●❃❄▼
❊●❃
❊✯■❄❇●❃❆❅❥➄✻■
6 × 4 ❸ = 24
❃✤➄✻✸➭❊✴❜✹❇●❃❄▼
❊⑤❃ A➆➭③✤✸❈B
▼❑✺☎➃✽✸ ▼❺❃◆Y⑧❄✸✻✼✚❊⑤❃❖❊✯■✷✸❈❇●❋❍➄✻■☎❊ ❪✴❸ ■✷✸✻❇●✸❈❋❉✼r❃❄✿❄✶ ❁ ✼✮❅ ❵ ■
❏✂✺➭❊✯■ ❪✘❸ ❃❺➄✻✸➭❊r❜✹❇●❃❄▼ A ❊⑤❃ Z ➆❆③✤✸✤▼❑✺☎➃✽6✸◗ ❑▼❺❃◆⑧❄✸✻✼★❅✂❏ ❪✘❸ ■✷✸✻❇●✸✤❋❉✼❈❃❄✿❄✶ ❁ ✼✯❅ ❵ ■❺1❏✷✺✻❊✯■ ❪
Z
B❏✷✺✻❊✯■✦❜✹❇●❃❄▼
1
❸ ■❆❅✂✼Ý➆❆❊✯■✷✸✻❇●✸◗❋❍✼
❊●❃
❊✯■❄❇●❃❆❅❥➄✻■ ❪
1
×
1
=
1
A
B
Z
❸ ■✷✸✻❇●✸✻❜♠❃❄❇●✸❆➆❆❋❍✿❹❊⑤❃☎❊⑨✺◆✶❄❊✯■✷✸◆❇●✸◗✺✽❇●✸

❪
❏✷✺✻❊✯■❄✼✘❜✹❇●❃❄▼
❊●❃
5 + 50 + 24 + 1 = 80
A
B
❸ ■❄✺➭❊✱❰ ✼✚✺★❏✷❇●✸➭❊⑨❊①❁❖❋❍✿✷✼✯❋✹➄✻■☎❊●❜❍❅✷✶☎▼❺✸➭❊✯■✷❃✷❀ ❪✴❸ ✺☎➃◆❋❍✿✂➄✘✺★❏✂❇●❃✷▲❆✶✹✸✻▼✞❊✯■❄✺✻❊➐✼✾✸✽✸✻▼❺✼✚❀❆❋ ✠ ❵ ❅✷✶④❊
❊⑤❃❞➄✻✸Ý❊➉✺★■❄✺◆✿✂❀❄✶❍✸❷❃❄✿❞✺✽✿✂❀❖❀❆❋❘⑧❆❋✹❀❆❋❍✿✂➄❻❋④❊❥❅✂❏❞❋❉✿❆❊⑤❃✖✼✱✸✻❏✂✺◆❇⑨✺✻❊●✸✘❏✂❇●❃✷▲❆✶✹✸✻▼❺✼➉❊✯■❄✺✻❊➉✺◆❇●✸✘❇●✸✻✶❉✺✻❊●❋ ⑧❄✸✻✶ ❁
✸◆✺◆✼⑨❁✤❊●❃✦❀✷✸◆✺✻✶❆③◗❋❘❊✯■✤❋❉✼r✺◆✶ ③➝✺➭❁❄✼r✺➝➄✻❃✷❃✷❀✤❋❍❀✂✸✻✺ ✑Ü❼❥➄Ý❅✂❇●❋❉✿✂➄❖❃❆❅❄❊❾■✷❃✽③ ❊⑤❃✦❀❆❋❘⑧❆❋✹❀✷✸❞❋❘❊✚❅✂❏✤③➝✺◆✼
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35
51
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1
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➆✷❊✯■✷✸✦❏✂✸◆❇●❏❥✸✻✿✂❀❄❋ ❵ ❅✷✶❍✺◆❇⑨✼
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❊●❃⑥ABC
❊✯■✷✸❯❋❍✿❆❊●✸◆❇●✿✷✺◆✶❞▲❆❋❍✼✾✸ ❵ ❊●❃❄❇⑨✼❃❆❜
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▼❺✸✽✸Ý❊➐❊✯■✷❃❄✼✱✸❈▲❄❋❉✼✱✸ ❵ ❊⑤❃❄❇⑨✼
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B
C
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P.................. ...

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❪ ➋✽■✷✸ ❵ ✶❉✺◆❋❉▼❂✸◆❀✢❊✯■❄✺✻❊
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✺✽✿✂❀
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X
Y
XY
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❋❍✼❖❏✂✺◆❇⑨✺◆✶④✶✹✸➭✶➐❊⑤❃
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................
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❋❘❊ ❪ ➋✽■✷✸◗✺✻✶❍✼✾❃❹✼⑤❊●✺➭❊⑤✸◆❀✤❊✯■❄✺✻❊
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â♦❇ ❪ ✠➉✺✽❇●❀❆❋❍✿✂➄ ❵ ✶❍✺✻❋❍▼❺✸✽❀❑Ó①✸Ý❊✯⑦✯✶❉✺☎➄❹✺◆✿✂❀❶❀❆❅❄❊●❋✹✸✻✼❈❊●❃ ❵ ❃◆⑧❄✸✻❇❈■❆❋❉✼❈❋❍▼❑▼❂✸◆❀❄❋❉✺✻❊●✸❹❋❍✿✷✺✽❀✂✸◆Ï❄❅✂✺ ❵ ❁➉➆
✺✽✿✂❀❶✼✯❊⑨✺✻❊●✸✽❀❊✯■❄✺➭❊✖❊✯■✷✸✱❁❙■❄✺Ý⑧❄✸❺❇●✸✻✼✱❃❆✶ ⑧❄✸✽❀❂❊✯■✷✸❑❏✂❇●❃✷▲❆✶✹✸✻▼➢⑧❆❋❍✺❺✸✽⑦✯▼❺✺✻❋❉✶ ❪ ❿❞❃✢✼✱❃❆✶④❅❄❊●❋✹❃❄✿✢❋❉✼
➄Ý❋❘⑧❄✸✻✿❑❋❉✿✦❊✯■✷✸➝✺◆❇⑨❊●❋ ❵ ✶✹✸ ❪
Þ ✸✻❇●✸❄➆Ý③✤✸❈✸ Ñ ✺◆▼❑❋❉✿✂✸❷❊✯■❆❋❍✼❻❏✷❇●❃✷▲❄✶❍✸◆▼ ✺✽✿✂❀✤➄Ý❋❘⑧❄✸✖✺❈✼✾❃❆✶❉❅❄❊●❋❍❃❄✿❞③✤■❆❋ ❵ ■➝■❄✺✽✼❻✺❈✼✯❅✂❇⑤❏✷❇●❋❉✼✱⑦
❋❍✿✂➄◗✸◆✿✂❀❆❋❍✿✂➄ ❪
➅❶■✷✸◆✿❈❼✂❇⑨✼✯❊✂❊✯■❆❋❉✿✂➃✽❋❉✿✂➄r✺✽▲✂❃❆❅❄❊➉✺✘❏✷❇●❃✷▲❄✶❍✸◆▼ ③◗❋❘❊✯■❞▲❆❋❍✼✾✸ ❵ ❊●✸✽❀❈✺✽✿✂➄Ý✶❍✸◆✼Ý➆Ý❋❘❊❥❋❉✼➐✿✷✺✻❊●❅✂❇⑨✺✻✶➭❊●❃
❵ ❃❄✿✷✼✯❋✹❀✷✸◆❇✚✺✽✿✂➄Ý✶❍✸◆✼ ●rÖ❆❃❄❇❻✸ Ñ ✺✽▼❑❏✷✶❍✸❄➆✻③✤■❄✺✻❊✚✺✽❇●✸✖❊✯■✷✸❞✼✮❋ á ✸◆✼r❃❆❜✂✺✽✿✂➄Ý✶❍✸◆✼
➆
➆❆✺◆✿✂❀
❒ ❊✴❋❉✼❻✺◆✶❉✼✱❃❞❊●✸◆▼❑❏❄❊●❋❉✿✂➄❷❊●❃✤❀❄❇⑨✺➭③❢❊✯■✷✸★✶❉❋❉✿✂✸❈✼✾✸✽➄➭▼❺✸◆✿❆❊
❪q❫ P✶❉✼✱AY
❃➉➆➭❋❉❜ QAX
➆
XAY Ú

XY
XY BC
❊✯■✷✸◆✿❹③✤✸➝✼✾✸✽✸❞❊✯■✷✸ ✡ ❸ ■✷✸◆❃❄❇●✸◆▼ ❵ ❃❄▼❑❋❉✿✂➄❞❋❍✿❆❊●❃✔❏✷✶❉✺➭❁ ❪
❫ ✶④❋④❊⑨❊●✶❍✸✢✸✻✶❍✸◆z▼❺✸◆✿❆❊⑨✺✽❇①❁ ❵ ✺✻✶ ❵ ❅✷✶❉✺✻❊●❋❍❃❄✿
✼✱■✷❃✽③➝✼❾❊✯■❄✺➭❊
∠P AY = A + 21 C − 90◦
Ô ❅✂✼✾✸
➆❹✼✱❃ ❊✯■❄✺✻❊
A
∠AP Y = B + 21 C
...
..........
✺✽✿✂❀
1
.......... ........
◦
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∠P AY = 90 − B Õ −
C
... ...
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2
.. ..
..... ...
.. ...
◦ ❪ ➋✻❋❍▼✔❋❉✶❉✺✽❇⑨✶❘❁➉➆
.. ..
..... ..
.. ..
∠A
+
∠B
+
∠C
=
180
.... .....
.
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.. ...
.
..
.
.
.. ..
❪
.
③✤✸★✼✾✸✽✸r❊✯■❄✺✻❊
.
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.. ..
1
P
◦
..
..........
.
.
.. ..
.
.
.
.. .......... ...
∠QAX = A+ 2 B −90
.
.
.
.
..................................................................................... Q
...
.
.
.
..
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.
.
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...
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❸ ■✷✸✻✿
❪
.
.
.
........
.......
.
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....
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
....

∠XAY
= 2 (B➆✚❊✯+
Y .................................................. X .........
....
.
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.
❒❜
.
■✷✸✻C)
✿❯③✤✸❑③✤❃❆❅✷✶❍❀
.
.
........
...
....
.....
........
...........
...
....
........
...........
XY
BC
...
........
.....
...........

.
........
......
...........
■❄✺➭⑧❄✸
✺✽✿✂❀
........ ...........
....... ........................
1
.
◦
.
.
........ ..
.. ................
.
.
∠AY X = 90 − 2 C
.
.. .
.
.
.
.....................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
❪ ✠q❃❄✿☎⑧❄✸◆❇⑨✼✾✸✻✶ ❁q➆
1

◦
C
B
∠AXY
=❏✷❇●90
❋❉❜❻③✤✸ ❵ ✺◆✿♦
❃◆⑧❄✸❺−
❊✯■❄✺➭2❊➝B✸✻❋❘❊✯■✷✸◆❇◗❃❆❜❾❊✯■✷✸◆✼✾✸
❪
✸✽Ï❆❅✂✺✻❊●❋❍❃❄✿✷✼✢■✷❃❆✶❍❀✷✼Ý➆✖❊✯■✷✸✻✿
BC
✠q✺◆✿✦③✤✸◗❏✷❇●❃◆⑧❄✸❖❊✯■❆❋❉✼✘❊●❃❑▲✷✸❖XY
❊⑤❇⑨❅❥✸
Ú
❫ ✼★❋❉✿❂✺✻✶❉✶➉❋❉✿❆❊⑤✸✻❇●✸◆✼⑤❊●❋❍✿✂➄➝➄✻✸✽❃❄▼❺✸➭❊⑤❇①❁❺❏✷❇●❃✷▲❄✶❍✸◆▼❑✼➭➆✂✼✾❃❄▼❂✸ ❵ ❃❄✿✷✼✯❊⑤❇⑨❅ ❵ ❊●❋✹❃❄✿❑❋❍✼★✿✂✸✽✸◆❀✂✸◆❀ ❪
❒ ✺✻✶❘③➝✺Ý❁✷✼✘❊●❃❆✶✹❀❑▼❹❁❂➄✻✸◆❃❄▼❂✸Ý❊⑤❇①❁❺✼✯❊●❅❥❀✷✸◆✿❆❊⑨✼ Ô ✺✻❊r❅✂✿❄❋❘⑧❄✸✻❇⑨✼✮❋❘❊⑩❁➉➆✷❋❉✿❺❏✂✺◆❇⑨❊●❋ ❵ ❅✷✶❍✺◆❇ÒÕ✎❊●❃❑▼❑✺☎➃✽✸✤✺◆✼

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............

▼❺✺◆✿☎❁ ❵ ❃❄✿✷✼✯❊⑤❇⑨❅ ❵ ❊●❋✹❃❄✿✷✼❷✺✽✼❷✼✱✸◆✸◆▼❺✸✽❀✦❊●❃❑▲✂✸➝❏✂❃❄✼✾✼✯❋✹▲❆✶❘❁✦❅✂✼✾✸✻❜❍❅✷✶ ❪✖ã ✺➭❊⑤✸✻❇✱➆✽③✤■✷✸◆✿❺✺➝✼✱❃❆✶④❅❄❊●❋✹❃❄✿
■❄✺✽✼❷▲✂✸◆✸◆✿✦❜♠❃❆❅✂✿✂❀q➆❆✿✂❃☎❊❾✺◆✶④✶❥❃❆❜✂❊✯■✷✸ ❵ ❃❄✿✷✼✯❊⑤❇⑨❅ ❵ ❊●❋✹❃❄✿✷✼✘▼❑✺☎❀✷✸❈③◗❋④✶❉✶❥▲✷✸◗✿✂✸ ❵ ✸✻✼✾✼✮✺✽❇①❁ ❪✎❸ ■✷✸✻✿q➆❄✺
✿✂✸Ý③ ❀❆❋❍✺✽➄➭❇⑨✺✽▼➀✼✾■✷❃❆❅✷✶✹❀❑▲✂✸➝❀✷❇⑨✺Ý③➝✿❺✺◆✿✂❀✦❊✯■✷✸✤❃❆✶❍❀❑❃❄✿✂✸✤❀❆❋❍✼ ❵ ✺◆❇●❀✂✸◆❀ ❪
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.
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... ... ...
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.
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❵ ✺◆✿❴✼✾✸✽✸❯
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...........
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....
........... .....
...
.... ..............
.....
..........
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...

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... ..... ... ..............
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❏✂✺◆❇⑨❊●❋ ❵ ❅✷✶❍✺◆❇✱➆
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........

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.......... .................
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...............
.. .. .
... .. ......
∠ADY

= ∠ACY = 21 C
= ∠Y CD = ∠Y AD

B

... ..........
........ ...
.. .......
..... ..

❸ ■✷✸✔XY
❪ ➅❋❘❊✯■
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➆ 2) ➆❆✺✽✿✂❀
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➆
➆

➆ A0 A1❃❄✿❺. .❊✯■✷. ✸✔A
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■✷✸◆❇❷✼✮❋❍❀✂✸❹✺✽❇●✸❹✼✾❏✷✺ ❵ ✸✽❀✼✾❃❑❊✯■❄✺➭❊
B0 B1 . . . B1000
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A
A
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A
A
=
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·
B0 B1 = B1 B2 =❋❉❜❾
· ·❊✯·■✷✸
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1000
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❇●❋④✶❍✺➭A
❊⑤✸✻1000
❇⑨✺◆✶
❇●✸◆999
✺◆✼✦B❃❆❜❾
❊✯■✷✸
A999 A1000
Ï❄❅✂✺✽❀✷❇⑨❋❉✶❉✺✻❊●✸◆❇⑨✺✻✶❍✼
✺✽✿✂❀
✺◆❇●✸★B✸✽Ï❆1000
❅✂✺◆✶✻B❊●❃ 999 ✺✽✿✂❀ ➆➭❇●✸◆✼✮❏❥✸ ❵ ❊●❋❘⑧❄✸➭✶❘❁ ❪

❼➲✿➯ ➻
➲ ❳➻ ✜➯

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❃ ➻
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✮➸ ❀➯ ❸ ■✷✸◆❇●✸❹✺◆❇●✸ ❊⑤✸✻✺✽▼❑✼✖❋❉✿❂✺➝⑧❄❃❆✶④✶✹✸✱❁✷▲✷✺✻✶❉✶❥❊●❃❆❅✂❇⑤✿✷✺◆▼❂✸✻✿❆❊ ❪❖Ð ✺ ❵ ■✔❊⑤✸✻✺✽▼
❏✷✶❉✺➭❁❄✼★✸ Ñ ✺ ❵ ❊●✶ ❁❑❃❄✿✂✸◗➄➭✺✽▼❺✸◗✺☎➄➭✺✻❋❍✿✷✼⑤❊r✸◆✺ ❵ ■✔❃☎❊✯■✷✸◆❇✚❊●✸◆✺◆▼ ❪➐❫ ❊⑤✸✻✺✽▼Ø❇●✸ ❵ ✸➭❋❘⑧❄✸✻✼ ❏✂❃❆❋❍✿❆❊❻❜♠❃❄❇

A0 A1 B1 B0

A1 A2 B2 B1

5

7

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∠BAD = α
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✺◆✿✂❀
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✺✽✿✔❋❍✿❆❊●✸✽➄✻✸✻❇ ❪ ➋✽■✷❃✽③✞❊✯■❄✺✻❊❻❊✯■✷✸✻❇●✸◗❋❉✼❷✺✽✿✔❋❉✿❆❊⑤✸◆➄✻✸◆❇ ✼✮❅ ❵ ■❹❊✯■❄✺➭p(−1)
❊
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n + 2002
n − 2002
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32
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❊●❃
T1
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CRUX math march _ Môn Toán

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