CRUX CRUX CRUX math march
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (784.9 KB, 64 trang )
ắ
ậầ
ặể ẵẳ
ấể ệỉ é ềì
ẩé ì ì ề íểệ ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ễệể é ẹì ề ỉ ì
ỉ ểề í ẵ
ệạ
ệíá ắẳẳ
ểễí ể
éé
ễệ ì ềỉ ỉể
ểề ễệ ạề ệì ỉí ệ
ệ ể ì ề ì ề ìểéỉ ểềì
ểệ ỉ
éề è
ì ểề ể ỉ
ỉểệ ì ơề é
ẽ ệ
ìểéỉ ểềì ỉể ậ ểé
ề
ệểẹ ể ề
ệ é á
ìỉ ềỉá ậỉểì ễ ì ẩ é ậ ểểéá
ệỉ é á ề á
ệệ ỉểể é ỉ
ỉể
ểềì ệ
ểệ ễ é ì ề
è è ẻểé
ỉ
ề ỉ ì ìì á ễệ ì ềỉ ỉ è ẹ ẫ ìỉ ểềì ệểẹ ỉ
ềề é ặ
ấ ểề é ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ ẽ ỉ ề ấểề ẩ ệì íá ặá ặ ễểệỉ
ặ ìá ẻ
ỉ
ẵ èể ỉ
ềề é ặ ấ ểề é
ậ ểểé
ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ ắẳẳ à
ệ ỉ ệ ỉể ị ị ì ễ ì ẹ
ệểẹ
ềạ
ỉ é é ỉỉé ìế ệ ì 1 ẹ ểề ì è ơệìỉ ì ễ
ì
6 ìế ệ ì ề
ễ ệ ẹ ỉ ệ ể 14 ẹ è ì ểề
ì9
ìế ệ ì ề ễ ệ ẹ ỉ ệ ể 20 ẹ ẽ ỉ ì ỉ ễ ệ ẹ ạ
ỉ ệ ể ỉ ị ị ì ễ ỉ 35 ìế ệ ì
...
....
....
.... .... .... .... .... ....
.... ......... ......... ....
.......... .............. ............ ......
.
.
.
.......
.
........
.......
.......
.
.... ............. ............. ......
........
........
.......
.....
......
.....
.....
.... ....... ...... ....... ....... ........ ...... .......
...
....
..
....
..
........... ............. ............... ............. .............
.
.
.......
.......
......
...
......
.......
.... ............. .............. .............. ............. ......
.......
.......
.......
.......
.......
ắ
è ệ
ệ ì
ểề ể ỉ
ỉì ệểẹ 1 ỉ ệể 9 ệ ỉỉ ề ểề
ẹ ẽ ề ỉ ỉ ệ
ệ ì ệ ệệ ề
ề ìểẹ ểệ ệá ỉ í ẹ
ỉ ệ
ỉ ềẹ ệ è é ệ ìỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ề
ẹ
ễéì ỉ ì ểề é ệ ìỉ
ềẹ ệ ỉ ỉ ề
ẹ
ì 1233 ẽ ỉ ì ỉ é ệ ìỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ề
ẹ
ỉ
ể
ề ểềỉ ề ểề íểệ é ỉ ề ìỉ ệỉ ề ỉ ỉ ỉ ẹ á ỉ ề ỉ
ề ĩ ơề ệá ỉ ẹ é ơề ệá ỉ ệ ề ơề ệá ỉ ề ỉ é ỉỉé ơề ệá ề
ỉể ỉ ỉ ẹ á ề ìể ểề ẽ ỉ ì ỉ 2005ỉ ơề ệ íể ểềỉ
4
ì
ỉ
ề
ế
ệ é ỉ ệ é ệ ẹì ệ ì
ệ é è ệ ể ỉì
ì é ề ỉ 4á 9á ề 16 ẹá ì ì ểề ẽ ỉ ì
é ề ỉ ề ẹể ỉ
ểệỉ ì
ễ ịị
ểểì
ì ỉ ềỉể ì ĩ ễ ạì ễ ễ
ì èệề
ềí ễ
ỉể ỉ ơệìỉá ỉ ỉ ệ ỉ ỉá
ễ
ểểì ì ẹìỉ
ề ề ĩỉ ỉể ễ
ỉ ỉ
ì éệ
í
ề ỉ ề ỉể ẹ
ỉ ìí ỉể ỉ ểỉ ể
ỉ ễ ềà ề ể ẹ ềí ô ệ ềỉ ểệ ệì ểé
ỉ
ỉ ìĩễ
ì
9
?
...
...............................
..........
......
.................
.........
......
..........
.....
... ........
...
..
...
... .....
.. .....
.....
.
........
.......
.
.
.
.
... ........
..
... ...........................
...
...
... .........
... .......
.......
16
.......................
........... ..... .................
.......
.....
.
....
.....
.....
...
...
.
....
.
.
..
..........
....
.... ...............
........ ....
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
..
........ ... ..........
....
...
...................
.
.
...
.
.
.
.
.
.
. ..
...
..
........ ... ........
..
........ ..... ..............
...
.
.
.
.
.
.
.
.
........ ..
... ...........
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.........
.....
.
....
....
....
....
......
....
..
.........
......
............................................
6
1
5
2
4
3
ắ
è
ễ
éé
éề ì
ễ ỉệ ì ểì ề 8ì ệ ỉ ề é ỉ ềỉể ỉ ệ
ì í ỉể ễ ệ éé é ìé ềỉ é ề ì è ỉ ệ ễ
ì
ỉ ì ẹ ệ ể ệ ễ ệỉ ệ ỉ ìé ềỉ
?
9
ề
ễểì ỉ ềỉ
ệ N ìể ỉ
N
2
5
x
8
........................................................................................
.
.
...
..
.... ...
....
.... ..
....
....
... .....
...
...
.
....
....
.
.
....
.
.
.
.
.....
....
....
...
.....
....
....
...
....
...
...
.
.
...
.
.
....
.
.
...
..
..
.
.
.
.
.
.
....
..
.
..... ......
.
.
...
...
.
.... .....
..
.
............................................................................................
ỉỉ
ệ
ệ
ĩ ỉéí 25 ềỉ
ệì x ì ỉ ì í ề
ẹíá ệỉá ề
ệểé ỉ ìểẹ
ệệểỉ ìỉ ì ẹí ỉ
é ỉ ềẹ ệ
ệỉ ỉ á ễéì ểề ỉ ệ ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ệểé ỉ á ễéì ểề
ệỉ ỉ
é ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ệểé ỉ á ễéì ểề ạỉ ệ ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ẹí ỉ á ễéì
ỉể ệểé ỉ
é ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ ẹí ỉ á ễéì ểề ạỉ ệ ỉ ềẹ ệ ỉ ỉ
ệỉ ỉ á ễéì ỉ ệ ể ẹ ềí ệệểỉ ìỉ ì
ỉ í ỉ éỉể ỉ ệ
ỉ
ỉ
ẹểỉểệ ị
ểéẹề ì ề ề ể ệ ư ỉ ểềỉệí ỉ ỉ ệ ỉ ể 15 éểạ
ìễ ỉ ệ ệ ì ì ềỉ
ẹ ỉệ ì ễ ệ ểệ è
ểéẹề ì 1 éểẹ ỉệ éểề
ệểẹ ỉ ệ ệ ỉể ỉ
ệểềỉ ểề ẹểỉểệ í é ỉệ éé ề ỉ ểềìỉ ềỉ ìễ
ệ ỉệềì ẹẹ
ỉ éí ỉ ỉ ì ẹ ìễ
ề
ì ỉểỉ é ỉ ẹ ì 3 ẹ ềỉ ì ể
ìỉ ì
ểề
ẵẳ
ì
ẵẵ
ề ỉ
ệ
A
ẵắ
ẽ
n+1 ì
ì
ệ ẹ ề ệ
í x2 1
ỉ ệẹ ề ỉ
ề
ềỉ
ễ ệẹ ỉ ệ ể
ễểéíềểẹ é x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243
ệ
ỉ ỉệ ề é ỉ
ễểì ỉ ềỉ ệ n ì
í 3á ỉ
í 2á ỉ ệ ẹ ề ệ ì 1 ẽ ỉ ì ỉ
í6
íễểỉ ềì H ề
ệ ẹ ề ệ ì 1 ẽ ề
ệ ẹ ề ệ ề n1
ểề ểệì ặ ấ ểề é
ỉ ẹ ỉ ế ì ậ ểề ệ ì ắẳẳ à
ẹ
ẵ ầề ệ
ỉệể
ệể ỉ ĩ ểệẹ ì ề ị ị
ỉ
ỉ é ì ệệ ì
ềỉ ế ì
ẵ ẹ
ểỉ ễệ ẹ ệ
6 ệệ ì ỉ ề ễ ệ ẹ ỉệ
14 ẹ ì ạ
ểệẹ
9 ệệ ì ỉ ề ễ ệ ẹ ỉệ
20 ẹ ẫ é ìỉ
ểề
é ễ ệ ẹ ỉệ ị ị
í ềỉ 35 ệệ ì
......
.....
.....
.... ....... ...... ....... ....... ........
...
..
.
........... ............. .............. .......
.
.
.
.......
.
.......
........
.......
.
.... ............. ............. ......
........
........
........
.......
......
......
.......
.... .............. .............. .............. .......
.
....
.
.
.
........... ............. ............. .............. .............
.
.
.
.......
....
.......
.......
.......
.......
.... ............. ............. .............. .............. ......
.......
.......
.......
.......
.......
ắ èệể ì
ệỉ ì ểềỉ
ề ề ì
ôệ ì
1 9 ệ ỉ ììì ẫ ề é ì
ỉệể ì ệỉ ì ìểềỉ ệệ ề ì ềì ề ểệ ệ á éé ì ểệẹ ềỉ ề ềểẹ ệ
ỉệể ì
ôệ ì ễéì ệ ề
ì ềểẹ ệ ì
ỉ ểềề ĩ ẹ ễéì ệ ề
ểềề 1233 ẫ é ìỉ é ễéì ệ ề ềểẹ ệ ế ễ ỉ ỉệ
ỉ
ầề
ểẹẹ ề
ểẹễỉ ệ ìệ é ẹ ề
é ễể á é ề ĩá é
ẹ ệá é ềềé ệ á é ệ é ệ ễ ì ểề ệ ềỉ ễể
ỉ ềì
ì ỉ
ẫ é ìỉ é 2005 ẹ ể ỉ ỉ é ì
ắ
4
ề ế ệ é ỉ ệ ệ ểềì ệ ỉ ề ệ é èệể ì
ì ì
ểỉ ì ểềỉ ễểệ éểề ệ 4á 9 ỉ 16 ẹ ểẹẹ ééìỉệ
ẫ é ìỉ é éểề ệ ế ỉệ ẹ ểỉ
ề ễ ịị
ìỉ ểễ
ề ì ĩ ẹểệ ĩ èệề
ễ ỉ ể ì ệ ề ẹễểệỉ ế é ẹểệ ễểệ ểẹẹ ềạ
ệá ẹ ì ễệ ì é á
ế ẹểệ ể ì ể ỉ ỉệ
ểỉ ề ẹểệ ế
ỉ
ể ì ễệ é é
ễểệ ì ẹễé ơ ệ é ìểệỉ
ễé ỉà
ểẹ ề
ẹ ề ệ ì ễ ỉạ é ẹ ề ệ ì ễ ịị
ẹ
ẹểềỉệ ề ệ ỉ ề é 8 ì 9 ểễ ề ỉệể ì
ễ
ì ễ ệ ĩ é ề ì ễ ệ éé é ì ể é ế ì ì ỉệể ì
ẹểệ ĩ ểềỉ ỉểì é ẹ ẹ ệ ẫ éé ìỉ é
ìỉ ề
ế ì ễ ệ é ì é ề ì ể é ế ì
9
?
..
...............................
.........
.....
.................
..........
......
.. .......
... ......
.....
. ..
..
...
... ......
.. ......
.....
......
.........
.
.
.
... ........
...
.
.
.
.
.
.
.
... .....................
...
...
... ..........
... .....
..........
16
.......................................
.........
......
......
.....
.....
....
....
....
...
.
...
.
.
....
...
.
..........
.... ...............
.
.
...... ....
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
...
.
...
........ .. ..........
...................
..
..
...
.
..........
..
...
........ ... ........
...
....... .... ..............
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........ .
.. ........
........ ..
...........
.....
..
...
....
...
....
....
...
.....
....
.
.......
........... .... ..................
.....................
6
1
5
2
4
8
3
........................................................................................
...
...
..
.... ...
....
....
... ....
...
...
.... ...
....
.
.
.
.
....
.
.
..
....
....
...
....
....
....
...
....
...
...
.
.
.
.
..
....
.
.
..
..
.
.
.
.
.....
.
.
....
.
...
.
...
.
.... ......
.
.
.
... ....
....
.
..
.
.
...
.........
.
.
......................................................................................
?
9
èệể ệ ề ềỉ ệ ễểì ỉ N ỉ é ế ĩ ỉ ẹ ềỉ 25 ềỉ ệì x ì ỉ ì ểềỉ
N
2
5
x
ẹíá ệỉ ỉ ệểé ểềỉ ẹ ề
ì ẹ ề ạ ệểỉỉ ì ẹí ẹ ề é ẹể ỉ
ềểẹ ệ
ệỉá ễéì ề ỉ ệì ềểẹ ệ
ệểé ễéì ề ệỉ ẹ ề é
ẹể ỉ
ềểẹ ệ
ệểéá ễéì ề ỉ ệì ềểẹ ệ
ẹí ễéì ĩ ệểé
ẹ ề é ẹ ẹ ềểẹ ệ ế ẹí ễéì ề ỉ ệì ềểẹ ệ
ệỉ ễéì ỉệể ì
ềì ẹ é
ểẹ ề
ẹ ề ạ ệểỉỉ ì ểềỉạ éì ẹ ề
ề ểéểềề ẹểỉểệ ì
ìỉ ề ỉệ ề ề ệ ề ỉ ệệ ề ễé ỉ ệíỉ ẹ
éểẹ ỉệ ì ễ ệ ệ ểéểềề ìỉ éểề
1 éểẹ ỉệ ề ểệệ ệ
ìỉ ềểí
é ệệ ệ ệì é ềỉ ìệ ề ẹểỉể í é ỉỉ ệểé ềỉ ỉ ìì
ểềìỉ ềỉ é ệ ỉểệề ẹẹ
ỉ ẹ ềỉ é ẹ ẹ ỉ ìì ỉ ìểề ễ ệ ểệì
ệ 3 ẹ ềỉ ì ẫ éé ỉ ỉ ì ỉ ìì
15
ẵẳ èệể
ễ ệ x 1
2
ẵẵ
ệ é ệ ìỉ
é
ì ểề ễểéíềểẹ x+x3 +x9 +x27 +x81 +x243
ỉ ệẹ ề ệ é ễ ệ ẹ ỉệ
ệ
A
íễểỉ
ềì
ẵắ ẫ ề ề ềỉ ệ n ìỉ ì ễ ệ 3á é ệ ìỉ ìỉ 1 ẫ ề n + 1 ìỉ
ễ ệ 2á é ệ ìỉ ìỉ 1 ẫ é ìỉ é ệ ìỉ ế ề n 1 ìỉ ì ễ ệ 6
ì
H ỉ ề
ề ỉệ ề é ệ ỉ ề é
í ềỉ ề
ắ ẳ
ặ ĩỉ
ỉ
ẵạ
ắẳẳ
ắẳẳ ệ ỉ ẹ ỉ
ắẳẳ ệ ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ
ỉ
ể éể á ỉ
ểệ ề ẹ ềỉ
ề ì ểề
ể éể á ỉ ì ỉ ề ĩỉ ỉ ẹ ỉ
ỉ
ầặ é ìểéỉ ểềá ẹể ơ
íỉ
éể
éể
ỉểệ
è
ệ ẹì ỉ ệ ỉ ì ể ỉ
ề ìể
ỉ ẳẳ ỉểễ
ệ ẹà ề
ề ỉ ề ĩỉ ỉ ẹ
ỉ í ểệẹ ệ ỉ ề é ểỉỉểẹ
ệ ẹà è
ề ĩỉ ỉ ẹ ễễ ệì ỉể
é ỉỉé ễ ìỉ ẳ
ỉx
ỉ ềẹ ệ ể ẹ ềỉ ì ỉ ệ ẳẳ
ỉ ề ĩỉ ỉ ẹ ỉ
ề ì ểệẹ ệ ỉ ề é è
ểệ ề ểẹễé ỉ ì ểề ệ ểéỉ ểề ề 12 ểệì
x
ề á ề x ẹ ềỉ ìá ỉ ẹể ì ỉ ệể
12 ì 60
ệ ểéỉ ểềì ậ ẹ é ệéíá ì ề ỉ
ẹ ềỉ
ề
ỉ ì 60 ẹ ềỉ ì ỉể ểẹễé ỉ ểề ệ ểéỉ ểềá ỉ
ẹể ì ỉ ệể x/60 ệ ểéỉ ểềì ề x ẹ ềỉ ì ề
ỉ
ềỉ ệ é ệểẹ ẳẳ ỉể ỉ ệ ế ệ ỉ ẹ á ỉ
ẹ ềỉ
ề
ì ẹể ỉ ệể
ĩ ỉéí é
ệ ểéỉ ểề ẹểệ ỉ ề ỉ
ểệ ề è ệ ểệ á
éể
x
x
1
=
+ á
60
720
2
................................................
...........
........
........
.......
......
.....
.....
....
.
.
.
....
...
.
.
...
...
...
.
...
..
.
..
..
.
...
..
....
..
..
...
...
..
...
...
...
...
..
...
..
.
..
.
.
..
.
...
..
...
...
...
...
....
....
.
....
.
....
...
.......
....
........
.......
...........
........
................................................
......................................
..............
. ..............
..
.........
......
.
.......
..
.....
.....
.. ..
.
.
.
....
.. .
...
.
....
.
.. .
..
...
.
.
.
. .
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.. ..
..
...
.
.. .
.
..
...
.
..
....
...
..
...
...
.....
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
..
..
..
.
.
..
.
.
..
.
..
..
...
...
...
...
...
....
....
.
.
....
....
.....
.....
.......
.......
........
........
...........
.............................................
8
í é ì 11x = 360á ểệ x = 32 11
è ìá ỉ
8
ệ ế ệ ỉ ẹ ì 32 11 ẹ ềỉ ì ỉ ệ ẳẳ
ỉ
ềỉ
ểệẹ ệ ỉ ề é
ề ì ểệẹ ệ ỉ
...........
...........
ỉ ệ
ề é
ắ
ẹ ỉ ì ểềỉ ìỉ
.........
.............
ẵ
ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ễểì ỉ ềẹ ệ ì
ì 3.14á
éé 3 ỉ
ềỉ ệ ễ ệỉ ề 0.14
ề
ễểì ỉ ềẹ ệ ì ỉ ỉ ỉ
ệ ỉ ểề é ễ ệỉá ỉ
ệ ễ ệỉá ề ỉ ềẹ ệ ỉì é ệ ỉ ệ
ểềì ỉ ỉ ệẹì
ểệ
ệ ỉ ểề é ễ ệỉ
à ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề
à ề
ểẹ ỉệ ì ế ề
ệ ỉ ẹ ỉ ỉ ệ ì ềẹ ệ d
è ì ế ề a1 á a2 á a3 á a4 á . . . ì éé
ì ỉ ỉ a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = . . . = d ỉ ì éé
ểẹ ỉệ
ỉ ệ ì ềẹ ệ r = 0 ì ỉ ỉ a2 /a1 = a3 /a2 = a4 /a3 = . . . = rà
ầặ é ìểéỉ ểềá ẹể ơ
íỉ
ỉểệ
ỉx
ễểì ỉ ềẹ ệ ỉ n
ỉì ềỉ ệ ễ ệỉ ề y ỉì ệ ỉ ểề é
ễ ệỉ è ìá x = n + y á ệ n ì ề ềỉ ệ ề 0 y < 1
à ẽ ềỉ ỉể ơề x ìể ỉ ỉ y á ná ề x ệ ểềì ỉ ỉ ệẹì ề ề
ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề
ệìỉ ìễễểì ỉ ỉ 0 < x < 1 è ề n = 0 ề x = y è ềẹ ệì y á
ná ề x ệ ềểỉ ỉ ệẹì ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề
ềỉ ì ì
ắ ẵ
ặể ììẹ x 1 è ề n 1 ề y < n x ề ểệ ệ ểệ y á ná
ề x ỉể
ểềì ỉ ỉ ệẹì ề ề ệ ỉ ẹ ỉ ì ế ề á ệ ế ệ
n y = x n = dá
ẵà
ểệ ìểẹ ệ é ềẹ
ệ d ậ ề x = n + y á
ề é ẹ ề ỉ x ề ẵà ỉể ỉ
ề 2y = n ậ ề n ì ễểì ỉ ềỉ ệ ề 0 y < 1á
ỉ ì ế ỉ ểề ì ì ỉ ìơ ểềéí ề n = 1 ề y = 12 è ìá ỉ ểềéí ễểìì é
é ểệ x ì x = n + y = 1 + 12 = 32
n y = y = d è
à ẽ
ểẹ ỉệ
0 < x < 1
ề ểệ
ệ ế ệ
ềỉ ỉể ơề
ì ế ề
ậể ììẹ
ệ ểệ y á ná ề
x ìể ỉ ỉ y á ná ề x ệ ểềì ỉ ỉ ệẹì ề
ì ề ễ ệỉ àá ì ỉ ỉ ỉ ì ể ì ềểỉ ễễ ề
x 1 è ề n 1 ề y < n x
x ỉể
ểềì ỉ ỉ ệẹì ề
ểẹ ỉệ ì ế ề á
n
x
=
= rá
y
n
ểệ ìểẹ r = 0 ậ ề
x = n + yá
ắà
ề é ẹ ề ỉ x ề ắà ỉể
ỉ
n
y
= 1+
= r
y
n
à
ặểỉ ỉ ỉ y ềềểỉ 0á ì ề ỉ ì ểé ẹ
n/y ề ơề ậể 0 < y < 1
è ệ ểệ á n/y > n ề 1 + (y/n) < 1 + (1/n) 2 ì ề n 1à è ìá
n <
n
y
= 1+
2
y
n
ỉ ềể ỉ ỉ n ì ễểì ỉ ềỉ ệ è ểềéí ễểìì
ì n = 1
ậ ỉỉ ề n = 1 ề àá
ỉ 1/y = 1 + y á
y 2 + y 1 = 0 í ỉ ẫ ệ ỉ
ểệẹé á
y =
ậề
x ì
1
12 4(1)(1)
1
=
2(1)
2
1 + 5
y > 0á ẹìỉ y =
è
2
1 + 5
1+ 5
x=n+y =1+
=
2
2
ìá ỉ
é ỉí ì ỉ ì í ề n < 2
ề
5
ệ ệ ỉỉ ề ì
ểềéí ễểìì é é
ểệ
ệ ỉ ề é ệ ỉ ề
ề é ề ỉ 60 ẹá ỉ 60 ẹá ề
ỉ 40 ẹ ì
ơéé ỉ ỉ ệ ỉể
ễỉ ể 15 ẹ ề ệ ìỉì ểề
ểệ ịểềỉ é ỉ é ỉ Aá
B á C á ề D ề í é ểệ ệ
ỉ
ểệ ểỉỉểẹ ểệề ệì ể ỉ ỉ ề ậễễểì
ỉ ỉỉ
BC ì ìéểéí ệ ì ìể ỉ ỉ ỉ
AD ệ ẹ ềì ểề ỉ ỉ é
ì ỉ ệ ưểì ểỉá ỉ ỉ ề ì ệ ì ềỉ é ỉ
AB ẹ
ì ề ề é ể
60 ỉ ỉ ỉ é è
BC ì ỉ ề éể ệ ềỉ é ỉ ỉ ề ểề
ề
ệ ìỉì ểề ỉ ỉ é ỉ ỉ ì ễể ềỉá ỉ ì ỉ
ễỉ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề
ắ ắ
ầặ é ìểéỉ ểề
........
........
.
........
........
ểềì ệ ỉ ì ỉ ỉ ểề ề ỉ ỉ ề
ì
........
........
........
...
ề ệ ì ìể ỉ ỉ ỉ
AB ẹ
ì ề ề é
... B
..
...
.
.
.
.
ề
ìễ éé
ể 60 ỉ ỉ ỉ é ỉ ệ
.
..
...
...
..
ệểẹ ỉ
ỉ ề é ỉ ì
ề ệ ì á ỉ
...
.
.
E ............................................................................................ F
ỉ ệ ềể ệ
ì ỉ é é ể EF á ệ E ì
.
........
...
........
........
.....
........ .... .....60
.
.
.
ỉểễ ểệề ệ ể ỉ ỉ ề ỉ
ểệề ệ ể Aà ề
.
.
...................................................................................................................................................
A
F ì ễể ềỉ ểề AB á ì ì ểề ề ỉ
ệ ẹ
ặểỉ ỉ ỉá ì ề ỉ ỉ ề
ì
ề ệ ì
íểề 45 á |AF | ì é ìì ỉ ề
|AE| = 40á ề ì ề |AB| = 60á ễể ềỉ F ể ì ề
é ểề AB à
ậ ề EF ì ễ ệ éé é ỉể ỉ ỉ é ỉểễá EF A = 60 ề á
.......
..............
.
.......
..............
.
|AE| = |AF | tan 60 = |AF | 3 á
ểệ |AF | = |AE|/ 3 = 40/ 3
è
ểéẹ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ỉ ỉ ì ễể ềỉ ì ế é ỉể ỉ
ệ ể
í 60 ẹ ỉ
ẹ ềì ểề ể ỉ ỉ ề ễ ệễ ề é ệ ỉể
40
ểéẹ ể ỉ ệ ì 12 ì 40 ì
ì 60 = 48000
ẹ3 è
3
3
3
ểệ ề é ểéẹ ể ỉ ệ ì 15 ì 60 ì 60 = 54000 ẹ á
ì ệ ỉ ệỉ ề
48000
3
ẹ
è
ệ
ểệ
á
ìểẹ
ỉ
ệ
ể
ì
ề
ìễ
éé
ệểẹ
ỉ
ỉ ề á ề ỉ
3
48000
3
ểéẹ ể ỉ ệ ẹ ề ề ỉ ệ ì 3 ẹ
ỉd
ỉ ơề é ễỉ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ểềì ệ ề ỉ ểéẹ
ể ỉ ệệ ẹ ềề ềỉ ỉ ề á
d ì 60 ì 60 = 48000
á
ẹễé ì
3
40
ỉ ỉ d = 33 è ìá ỉ ơề é ễỉ ể ỉ ệ ề ỉ ỉ ề ì 340
ẹ
3
AEF ẹéỉ ễé
AEF à è ìá ỉ
ậễễểì ỉ ỉ ỉ ễểì ỉ ềỉ ệì ệ ệ ỉỉ ề ề
ìễ ệ é ì ì ểề ấ é ỉ ỉể ỉ ềẹ ệ 1á ệ ể ì
ỉ ềẹ ệ 2006 ễễ ệ ểệ ĩ ẹễé á 10 ễễ ệì
ểề ề ỉ ễ ề ỉể ề ỉì ỉể ỉ ệ ỉ ể 1à
ậểéỉ ểề í ặ ỉ é
ỉểệ
ẵ
ìíá ìỉ ềỉá ẩ é ẹ ề á ề ểề ì á ẹể ơ
ắ
ẵ
ẵẳ
ẵẵ
ẵắ
ẵ
íỉ
è ềẹ ệì ểề ỉ
ểề é ể ề ễ ỉể ỉ ệ ỉ ệ 1á 9á 25á . . . á
ệ ỉ ìế ệ ì ể ỉ ể ễểì ỉ ềỉ ệì è
éểì ìỉ ể ìế ệ
ỉể 2006 ì 452 = 2025 ậ ề 45 = 2 ì 22 + 1á ì ỉ ỉ 2025 é ì 22
ề ỉì ễ ề 22 ề ỉì ỉể ỉ ệ ỉ ể 1 ỉ 2006 ì éể ỉ 2025 2006 = 19
ễểì ỉ ểềì ỉể ỉ é ỉ ể 2025 è ệ ểệ á ỉ ễểì ỉ ểề ể 2006 ì 22 ề ỉì ễ
ề 3 ề ỉì ỉể ỉ ệ ỉ ể 1
ìế ệ ễ ệ ì
ểỉ ễ ệ ỉ ìế ệ
ề 5 ì 20 = 100
ề
ểề ể ỉ
ễ ệ (x, y) ể ễểì ỉ ềỉ ệì ì ỉ ỉ x+y ề xy ệ
ì ểệ ĩ ẹễé á (5, 20) ì ìế ệ ễ ệ ì ề 5 + 20 = 25
ệ ểỉ ễ ệ ỉ ìế ệ ì ậ ể ỉ ỉ ềể ìế ệ ễ ệ ĩ ìỉì
ềẹ ệì ì 3
ầặ é ìểéỉ ểềá ẹể ơ
íỉ
ỉểệ
ậễễểì ỉ ỉ 3 ề x ểềìỉ ỉỉ
ìế ệ ễ ệ è ề 3 + x = a2 ề
2
3x = b ểệ ìểẹ ễểì ỉ ềỉ
ệì a ề b ậ ề 3x ì ễ ệ ỉ ìế ệ á x
ắ
ẹìỉ
ể ỉ
ểệẹ 3c2 ểệ ìểẹ ễểì ỉ ềỉ ệ c ậ ìỉ ỉỉ ề x = 3c2
2
ềỉể 3 + x = a á ể ỉ ề 3(1 + c2 ) = a2 ỉ ìá 1 + c2 ẹìỉ ểềỉ ề 3 ì
ỉểệ ẽ éé ì ể ỉ ỉ ỉ ì ì ềểỉ ễểìì é
ẽ ề
c í 3á ỉ
ệ ẹ ề ệ ẹìỉ
0á 1á ểệ 2 ỉ ì 0á
ể ì
ỉ ề c = 3k ểệ ìểẹ ềỉ ệ k ỉ ì ì 1 + c2 = 1 + 9k2 á
ỉểệ ì ề 3 ì
ỉểệ ể 9k2 à ỉ ệ ẹ ề ệ ì 1á ỉ ề
ềểỉ 3 ì
c = 3k + 1 ểệ ìểẹ ềỉ
ệ k ỉ ì ì 1 + c2 = 9k2 + 6k + 2á
ể ì
ềểỉ 3 ì
ỉểệ ì ề 3 ì
ỉểệ ể 9k2 + 6kà ỉ ệ ẹ ề ệ ì 2á
ỉ ề c = 3k + 2 ểệ ìểẹ ềỉ ệ k ỉ ì ì 1 + c2 = (9k2 + 12k + 3) + 2á
ể ì ềểỉ 3 ì
ỉểệ ì ề 3 ì
ỉểệ ể 9k2 + 12k + 3à
ề
éé ìểéỉ ểềì ề ệ é ềẹ
ệì x ề y ểệ ỉ
2(x + y 2)
x (y 1) + y 2 (x 1)
=
=
2
ìíìỉ ẹ ể
ế ỉ ểềì
y(x y + 2) á
xy 1
ầặ é ìểéỉ ểề
ỉỉ ề a = x 1 ề b = y 1á ỉ
ề ế ỉ ểềì
ểẹ
2(a + b) = (b + 1)(a b + 2) á
(a + 1)2 b + (b + 1)2 a = (a + 1)(b + 1) 1
ĩễ ề ề ề ì ẹễé í ề ỉ ì ểề ế ỉ ểề ì ab(a + b + 3) = 0
ỉ ìá a = 0á b = 0á ểệ a + b = 3
a = 0á ỉ ơệìỉ ế ỉ ểề
ểẹ ì 2b = (b + 1)(b + 2)á
ì
ỉểệ ề
ì (b + 2)(b 1) = 0 è ìá
ế é ềỉ ỉể b2 + b 2 = 0
b = 1 ểệ b = 2
b = 0á ỉ ơệìỉ ế ỉ ểề
ểẹ ì 2a = a + 2 ỉ ìá a = 2
ề ì ỉ a = b 3 ề ỉ ơệìỉ ế ỉ ểề ỉể ỉ
a + b = 3á
2(3) = (b + 1)(b 3 b + 2)á
ì ẹễé ơ ì ỉể 2b2 + 3b 5 = 0
ỉểệ ề ì (2b+5)(b1) = 0 è ề b = 52 ểệ b = 1 ậ ề a = b3á
ể ỉ ề a = 21 ề a = 4á ệ ìễ ỉ éí
èể ìẹẹ ệ ị á ỉ
ế ỉ ểềì ỉ
ểééể ề ơ ìểéỉ ểềì
a
0
0
2
21
4
ề ề ểẹễé ỉ ìểéỉ ểề ì ệ
b
1
2
0
25
1
x
1
1
3
1
2
3
y
2
1
1
23
2
è ỉ ệ ề ì ì ỉể ỉ
ề ể ềểỉ ệ ìì è ì ẹểềỉ ì ềề ệ ể
ễ ìỉ ẻểéẹ ể í ẹ ì ặ ỉ é
ìí ểề ệ ỉé ỉ ểềìá ặ ỉ é
ểềỉ ề
ì ề ề ề íểệ ểềỉ ìỉì ề ìểéỉ ểềì
ắ
è è
ỉ
ẹ ỉ
é í
ẹ
ề ềẵ
ậ ểểé ề ề ệì ỉí ậỉ ềỉì ỉ
ì ỉ ẹ ỉ é ểệề é ểệ ề í
ểềỉ ề ìá ỉ ỉ ì ẹ ẹễ ì ìá
ì ề ềỉ ệ é ễ ệỉ ể ệĩ ỉ ẹ ỉ ểệẹ ỉ ỉ ẹ ỉ é í ẹ
è í ẹ
ỉểệ ì ô ểểễ ệ
ề ệì ỉíà è
ìì ìỉ ềỉ
í ẹ
ỉểệ ì ề ẻ ề ệ ệ ề ệì ỉí ể ẽ ỉ ệéểểà è ểỉ ệ ìỉ ô
ẹ ẹ ệì ệ ể ề ệ ềỉ ể é ề ề ệì ỉí ể ặ ệềì àá ểề
ì ì ềì ểề ể ầệ ểệ ậ ểề ệí ậ ểểéá ìì ìì àá ệ ấể ệỉ
ể í ì
ậ ểểéá ệ
ệ ỉểềàá ệệí ấ
ề ệì ỉí ể ẽ ỉ ệéểểàá
ề ấểề ề ìỉ ệ ề ệì ỉí ể èểệểềỉểà
í ẹ ẩệể é ẹì
ẩé ì ì ề íểệ ìểéỉ ểềì ỉể ỉ ễệể é
ậểéỉ ểềì ệ
ỉ ệ ỉ ì ỉ éé ểềéí
ễ é ỉ ểề ể ỉ ìểéỉ ểềì
ễệể é ẹ ì ề ề ề é ì ề ệ
ề ìì ì ẵá á á ề á ề é ì éé ễệ
ệ ề éé ễệ
ề éì
è
ỉểệ ỉ ề ì ềạ ệ è ệệ ệ ề
ểềỉệ é ểệ ỉệ ềìé ỉ ểềì ể ỉ ễệể é ẹì
ẳẵ ẩệểễểì
ệ é ề
ỉ ểề í ẵ ề ệí ắẳẳ
ỉ ệ ì ỉẹ
ểệ
ề á ỉ ểặ é é ề ì ể ề
ệ ề á ề ề ìì ì ắá á á ề
ệỉ ề ểé ìỉ ề ể ỉ
í ẩệ ỉ ỉá ề ệì ỉí ểéé
è
ề ệ é ỉ ệẹ ể ì ế ề
ểệ éé n 1á ỉ
ệ ỉ ìỉ ểẹẹểề
ể 81
ẳắ ẩệểễểì
ẹì ề ỉ ì
ểềì ệ
í
á
ề ệì ỉí ể
ểệ á ấ ễ é ể
ì tn = n2 + 20á ểệ n 1 ậ ể ỉ ỉ
ìểệ ể tn ề tn+1 ẹìỉ
ìểệ
ì ậỉ ệ ểá
é
á ệ
ỉệ ề é ABC ì ABC = ACB = 40 P ì ễể ềỉ ề ỉ
ềỉ ệ ểệ ể ỉ ỉệ ề é ì ỉ ỉ P BC = 20 ề P CB = 30 á ễệể
ỉ ỉ BP = BA
ẳ ẩệểễểì
í ặ ề ệ á
ệ á ệể ỉ
ệ ểì ệ é ỉ ểề ẹểề ìế ệ ì ìỉ ỉ ì ỉ ỉ ỉ ìẹ ể n + 1 ểềì ạ
ỉ ìế ệ ìá
ềề ề ỉ ỉ ìế ệ ể n(2n + 1)á ì ế é ỉể ỉ ìẹ ể
ỉ ìế ệ ì ể ỉ ề ĩỉ n ểềì ỉ ềỉ ệì ểệ ĩ ẹễé á ề n = 1
32 + 42 = 52 á ề ề n = 2
102 + 112 + 122 = 132 + 142 à
ậ ể ỉ ỉ ỉ ì ễệểễ ệỉí ểé ì ểệ ềí n 1
ắ
ẳ ẩệểễểì
í éí
ề ị á ệ ìểá ấểẹ ề
ỉ aá bá ề c ệ é ềẹ ệì ì ỉ ỉ ểỉ a + b+ c ề ab+ bc + ca
ệ ệ ỉ ểề é ềẹ ệì ậ ể ỉ ỉ a4 + b4 + c4 ì ệ ỉ ểề é ềẹ ệ
ề ểềéí
ỉ ễệể ỉ abc ì ệ ỉ ểề é ềẹ ệ
ẳ ẩệểễểì í ểì ì
ỉ éềí á ệ éểề á ậễ ề
ề
éé ệ é ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ỉ ẩểé ỉ ề
ểééể ề ìíìỉ ẹ ể
x+ y+ z
x x+y y+z z
x2 x + y 2 y + z 2 z
=
=
=
ế ỉ ểềì
3á
3á
3
ẳ ẩệểễểì í ệ ậ í ệá ẹểệ é ề ệì ỉí ể ặ ểề ạ
é ề á ậỉ ể ềìá ặ
ề éé ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ểééể ề
ỉ ệ ệ ễệ ì ềỉì
ìỉ ề ỉ
ỉ
ặ
ỉ ểề ễệể é ẹá ề
è
ặ
è
ặ
ặ
+
è
ấ
ầ
ấ
é ỉạ
è
.................................................................................................................................................................................
è
ẳẵ ẩệểễểì ễ ệ ẩệ ỉ ỉá ề ệì ỉí ểéé
ệé ề
ểệ á ấ ễ é ế
ề ệ é ề ì ỉ ểềỉệ ệ
ậể ỉ tn = n2 + 20á ễểệ n 1á é ỉ ệẹ
ế ễểệ ỉểỉ n 1á é ễéì ệ ề ểẹẹề ì ệ
tn ỉ tn+1 ể ỉ ỉệ
81
ề ì ệ
ẳắ ẩệểễểì ễ ệ
ì ậỉ ệ ểá
é
á ệ
ậể ỉ ABC ề ỉệ ề é ABC = ACB = 40 ậ P ìỉ ề ễể ềỉ
é ềỉ ệ ệ ỉệ ề é
ìểệỉ ế P BC = 20 ỉ P CB = 30 á ẹểềỉệ ệ
ế BP = BA
ắ
ẳ ẩệểễểì ễ ệ ặ ề ệ á
ệ á ệể ỉ
ề ệ ì ệ é ỉ ểề ềỉệ é ì
ế é ìểẹẹ
n + 1 ệệ ì ểềì
n(2n + 1)á ìỉ
é
é ìểẹẹ
ì ềỉì ẩ ệ ĩ ẹễé á ì n = 1 ểề
102 + 112 + 122 = 132 + 142 à ểềỉệ
ỉểỉ n 1
ệệ ì
ềểẹ ệ ì ề ỉệ éì ẹểềỉệ
ỉ ìá ểẹẹ ề ềỉ ễ ệ é
ệệ
ì ệệ ì
ì n ềỉ ệì ểềì ỉ ì
32 + 42 = 52 á ỉ ì n = 2 ểề
ệ ế
ỉỉ ễệểễệ ỉ ìỉ ệ
ễểệ
ẳ ẩệểễểì ễ ệ éí ề ị á ệ ìểá ấểẹ ề
ậể ỉ aá b ỉ c ỉệể ì ềểẹ ệ ì ệ éì ỉ éì ế é ì ìểẹẹ ì a + b + c ỉ
ab + bc + ca ìểềỉ ì ềểẹ ệ ì ệ ỉ ểềề éì ểềỉệ ệ ế éểệì a4 + b4 + c4
ìỉ ề ềểẹ ệ ệ ỉ ểềề é ì ỉ ì é ẹ ềỉ ì é ễệể ỉ abc ìỉ ề ềểẹ ệ
ệ ỉ ểềề é
ẳ ẩệểễểì ễ ệ ểì ì
ỉ éể ề á ệ éểề á ìễ ề
ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ẩểéíỉ
èệể ệ ỉểỉ ì é ì ìểéỉ ểềì ệ éé ì ìíìỉ ẹ
x+ y+ z
x x+y y+z z
x2 x + y 2 y + z 2 z
=
=
=
ế ỉ ểềì ì ềỉ
3á
3á
3
ẳ ẩệểễểì ễ ệ ệ ậ í ệá ề ệì ỉ ẹểệ é
ậỉ ể ềìá ặ
èệể ệ ỉểỉ ì é ì ìểéỉ ểềì
é ế é
ế é ỉỉệ ệ ễệ ì ềỉ ề
ễệể é ẹ
ôệ
ìỉ ề ỉ
ặ
è
ặ
è
ặ
+
è
ặ
ấ
ầ
ấ
è
.................................................................................................................................................................................
è
ề ế
è ệệ ạặ á
ỉ ểề ì ềỉá
ềì
ắ
í ẹ ậểéỉ ểềì
ậểẹ ệ
ắẳẳ
ềểỉ
ệì ễể ềỉ ểỉ ỉ ỉ ỉ ìểéỉ ểề ỉể ắắ
ễễ ệ
ì ề ểệệ ỉ ẽ ễểéể ị ểệ ỉ ì ỉ ỉ ì ễể ềỉá
ìểéỉ ểề ỉể ỉ ễệể é ẹ
ò
ắ ẵ ẩệểễểì
ề éểệ á ề
í ấậ ậ ìỉệíá
.
...........
.......... .....
..........
....
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..........
....
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
...... ... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
. ......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
....
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
....
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
....
.......
..
.
....
....
.
....
....
..
.
.
.
...
....
....
.
.
.
....
.
....
....
..
....
.
.
.
.... .....
.
....
.
.
.
.
.... ..
.... ....
......
.
....................................................................................................
..
..
..
....
..
....
..
....
..
...
..
.
.
.
..
...
..
...
..
....
..
..
....
..
....
.
..
.
..
..
.. ......
.. ...
.....
F
E
A
ỉ á á
ỉ
ề é ẹ ìệ ì ỉ
ề é ì Aá B á C á ệ ìễ ỉ éíá ề ABC
ABC á ĩỉ ệề ééíá ệ
ầề ỉ ì ì ể
ỉệ ề é ì DBC á EAC á ề F BA ì ề ỉ
ệ ẹ
ề ểềéí
ẩệể ỉ ỉ AD = EF
= /2
ề
ể
B
C
D
ểẹ ề ỉ ểề ể ìểéỉ ểềì í ì ề ề ệá ìỉ ề éá èệ í ề ềạ
ểé á ìỉ ềỉá éé ề ệì ỉíá ểềỉệ éá ẫ
ỉ ề
ì ề ỉ ỉ ỉệ ề é ì ABC
ểề é ỉ ỉ AB = DB ề AC
éỉ ỉ ì ỉể BC ề ỉệ ề é ì ABC ề
ệỉ ệ ểề é ỉ ỉ AG = AB sin
ểềì ế ềỉéíá
ề DBC ệ ểề ệ ềỉ ệểẹ ỉ ì
= DC ỉ AG ề DG
ỉ
DBC á ệ ìễ ỉ éí ẽ
ềỉ ề
ề GD = CD sin = AC sin
AD = AG + GD = AB sin + AC sin
ẵà
ề ACE
AC/ sin = EA/ sin á ệểẹ
ỉ ểééểì ỉ ỉ
EA = AC sin / sin ậ ẹ é ệéíá ề AF B
AF = AB sin / sin
ậ ề + + = á
EF = EA + AF á ề ể ỉ ề
EF =
AC sin
+
AB sin
sin
sin
ì ề ế ỉ ểề ẵàá ểề é ỉ ỉ EF = AD/ sin
ặểá = /2á ỉ ề EF = AD ểề ệì éíá EF = ADá ỉ ề
sin = 1á
ì = /2 ì ề 0 < < à è ìá EF = AD
ề
ểềéí = /2
éìể ìểé
í ầ
ặầặá ểệ
ề ầèậ ặặậá ệ ìì á ệ
ấ
ẻ ặ ấè á ể ệá ẩ á ậ ề
ểéé ỉ ềìỉ ỉỉ á èểệểềỉểá ầặ è ệ ì ểề
ắ ắ ẩệểễểì í ểì ì
ỉ éềí á ệ éểề á ậễ ề
ỉ xá y á z
ịạ ệệ ệểá ề ệì ỉ ỉ ẩểé ỉ ề
ễểì ỉ ệ é ềẹ
z
x
+
3
y
xyz
2
+
ĩá ệ ề
ầấèậ ấ ậậầậèầầậ
ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá á ậ
ấ ầấầẻá ìỉ ềỉá ẽ éé ẹ íểề
ềị
ề ểệệ ỉ ìểéỉ ểề ì ẹ ỉỉ
y
x
+
3
z
xyz
ệì ẩệể ỉ
2
+
ỉ
z
y
+
3
x
xyz
2
12
ắ
ìì ềỉ ééí ỉ ì ẹ ìểéỉ ểề í ể ẹẹ
ìì é á ậỉệ ì ểệ á ệ ề
ềạ ểé á ìỉ ềỉá éé ề ệì ỉíá ểềỉệ éá ẫ
ễễ
ể ềìểềá ệỉểềá ầấá ậ ậ é ẹ é á ìỉ ềỉá ậ ệ ể ểéé á
ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề ẩ é ệỉề íá ặểệỉ ệề ềỉ í ề ạ
ệì ỉíá é ề ỉìá á ậ é ĩ ấ ẹểệểá ìỉ ềỉá ẽ éé ẹ íểề
ềị ểéé ỉ ềìỉ ỉỉ á èểệểềỉểá ầặ ề ẩ ềểì èì ểììể éểá
ỉ ềìá ệ
ễễéí ề ỉ
ẽ
ềỉ
ò ề ế é ỉíá ể ỉ ề ỉ
ề ểề é
x
z
+
3 xyz
y
x
z
+
3 xyz
y
2
y
x
+
3 xyz
z
2
z
y
+
3 xyz
x
2
ỉ
4
y
y
xz
3 xyz
á
z
yx
3 xyz
á
x
zy
3 xyz
ỉ
2
+
y
x
+
3 xyz
z
4
ễễéí ề ỉ
ể ỉ ề
ểééể ề ề ế é ỉ ì
2
y
ò ề ế é ỉí ỉể ỉ
xz
yx
zy
+
+
3 xyz
z 3 xyz
x 3 xyz
z
y
+
3 xyz
x
+
2
xz
yx
zy
+
+
3 xyz
z 3 xyz
x 3 xyz
ệ
4ã3
3
ỉì
y
ể ỉ ì é ìỉ ề ế é ỉíá
xz
yx
zy
ã
ã
= 12
3 xyz
z 3 xyz x 3 xyz
è ìá
x
z
+
3 xyz
y
2
+
y
x
+
3 xyz
z
2
+
z
y
+
3 xyz
x
2
12
ặểỉ ỉ
ỉ ế é ỉí ểé ì
ề ểềéí x = y = z
éìể ìểé í
ấ á ấ á ẹ á ề
ấ
èá ậ ề ểì á á ậ
ậ è ấậ ặ á ề ệì ỉí ể ậ ệ ểá ậ ệ ểá ểìề ề ệị ể ề
ầặặ
á ậ
ẩ á ề ấ ậ ấ ặặ á ề éể ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ậ ề ề éểá
è á ậ ấầ
ấ ấ á ề ì ề ệì ỉíá ề ệá ềểề
ặ á ệ ìểá
ấểẹ ề ẫ ặ
ầ ặá ặ í ề ề ẹ ậ ểểéá ẻ ề ểề á ẻ ỉề ẹ ậ
ặ ẽ á
ề ỉíá ậ ề ẩệể ề á ề ầấèậ ấ ậậầậèầầậá ệ ìì á
ệ
ẩ ấèậá ììểệ ậểỉ ệề ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ểễé ềá ầá ậ ấ ấ
ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá á ậ ầặ ẻ ấá ệ ề ẩệ ệ á
ầ ầẽ ấ á
ẩểệỉ é ìá ặá ậ ạẽ á ểề ểề á ề èè èặ ặá ặ ỉ ểề é
ề
ểéé á éì ề á ềé ề ẻ ặ ấè á ể ệá ẩ á ậ ầ ậ ầậ ấ á íì á
ặ á ậ ề ặ ậặ á ìỉ ềỉá ề ệ í ẻ í é í ậ ểểéá ậ ééểề á ề
ề ị ỉ ééí ểỉé ề
ìểéỉ ểề ểệ ẹểệ ề ệ é ễệể é ẹ x1 á x2 á . . . á xn ệ
ễểì ỉ ệ é ềẹ ệìá ỉ ề
í é
x1
x3
+
n
x2
x1 x2 ã ã ã xn
ểệ éé (, 0) (1, ) ầ ểệì á ỉ
2 n
ệệ ềỉ ễệể é ẹ ì ỉ
ì
n=3
ề
= 2
ắ
ắ ẩệểễểì
í
ể á ẩểé ỉ ề ể
é ềểá é ềểá ỉ éí
ểềì ệ ỉ ì ỉ ể é ỉỉ ễể ềỉì {(x, y)} ệ x ề y ệ ềỉ ệì
ỉ ệ ề ểẹ
ì ỉ ỉ 0 x 7 ề 0 y 7 èể ễể ềỉì ệ ì é ỉ
ệểẹ ỉ ì ì ỉ éé ễể ềỉì ỉ ì ẹ ễệể
é ỉí ể
ề ì é ỉ
ề ỉ
ễể ềỉì ề
ềểỉ
ìỉ ề ỉ ề ỉ ễệể
é ỉí ỉ ỉ ỉ
ệ ể ỉ ỉệ ề é
ễểìì éí
ề ệ ỉ à ểệẹ
í ỉ ì ỉể ễể ềỉì ề ỉ ễể ềỉ (0, 0) ì ề
ềỉ ệ ễểìì éí 0à
ậểéỉ ểề í é ĩ ấ ẹểệểá ìỉ ềỉá ẽ éé ẹ íểề
ềìỉ ỉỉ á èểệểềỉểá ầặ
ềị
ỉ ì ềểỉ ỉ
ệ ể ỉệ ề é XY Z í [XY Z] ấ
ỉệ ề é ỉ ệỉ ì A(x1 , y1 )á B(x2 , y2 )á ề C(x3 , y3 )á
[ABC] =
=
ểệ ỉ
x1
1
det x2
2
x3
y1
y2
y3
ểéé
éé ỉ
ỉ
ỉ ểệ
1
1
1
1
x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 x2 y1 x3 y2 x1 y3
2
ễệễểì ể ểệ ễệể é ẹá é ỉ ỉ
ỉể ễể ềỉì ì é ỉ
ỉ ệ ề ểẹ
P (a, b) ề Q(c, d) O ì ỉ ểệ ềá ỉ ề [P QO] = 12 |ad bc| ề ểệ ệ
ểệ [P QO] ỉể
ề ềỉ ệá |ad bc| ẹìỉ
ềá ề ỉ ệ ểệ á ad ề
bc ẹìỉ ỉ ì ẹ ễ ệ ỉí è ì éé ể ệ ề ỉ
ểééể ề ỉể ì ì
ì ad
ề bc ệ ểỉ ể
è ì ì ỉệ
ề ểềéí aá bá cá ề d ệ éé ể ậ ề aá bá cá ề d
éểề ỉể ỉ ì ỉ {0á 1á 2á 3á 4á 5á 6á 7}á ỉ ễệể
é ỉí ỉ ỉ ỉ í ệ éé ể
1
ì 12 ã 12 ã 12 ã 12 = 16
ì ad
è
ểỉ ể
ì ỉệ
ì 34 ã 34
ệ
ề bc ệ ểỉ ề
ề b ề c ệ ềểỉ
ì ì ỉệ
ề ểềéí a ề d ệ ềểỉ ểỉ ể
è ễệể
é ỉí ỉ ỉ a ề d ệ ềểỉ ểỉ ể
ì 34 á ề ỉ ì ẹ
é ỉí ỉ ỉ ad ề bc ệ ểỉ ề
ểệ b ề c è ệ ểệ á ỉ ễệể
9
= 16
ậề
ể ỉ
ì ề
ì ệ ẹỉ ééí ĩ éì á ỉ
1
9
+ 16
= 58
ỉệ ề é ì ề ềỉ ệ ì 16
éìể ìểé
ẻ ệ ìá á ậ
éìể ì ẹ ỉỉ
é ỉí ỉ
ỉỉ
í ậ ặ ặ ấá ìỉ ề éá èệ í ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì
ề ẩẩ ầặậầặá
ệỉểềá ầấá ậ ầề ề ểệệ ỉ ìểéỉ ểề ì
ắ ẩệểễểì ễ ệ
ẽ ỉ ệéểểá ầặ
é ệ é
ễệể
ìểẹẹ
ệ è ẽ ề á ề ệì ỉ ẽ é ệ ệ ệá
2006
S2006
=
k=1
(1)k
k2 3
(k + 1)!
ầề ệ ễễ éé
n! = n ã (n 1) ã ã ã 3 ã 2 ã 1 ễ ệ ĩ ẹễé á 6! = 6 ã 5 ã 4 ã 3 ã 2 ã 1 = 720
ế
ắ ẳ
ậểéỉ ểề ễ ệ ềạ ểé á ỉ ềỉá ề ệì ỉ ééá ểềỉệ éá ẫ
ẩểệ k 1á ềểì ì ểềì ế
k2 3
(k + 1)!
=
k(k + 1)
k+1
2
1
1
2
=
(k + 1)!
(k + 1)!
(k + 1)!
(k 1)!
k!
(k + 1)!
1
1
(k 1)!
(k + 1)!
=
ẩ ệ ẹ ề ễé ỉ ểềì é
2006
S2006
=
(1)k
k=1
2006
=
k=1
(1)k
(k 1)!
1 + 1 +
2006
k=1
(1)k
(k + 1)!
(1)k
(k 1)!
2006
1 +
k=2
=
ẻ
k2 3
(k + 1)!
k=3
=
1
1
+
k!
(k + 1)!
ệ ế ìá ểề ể ỉ ềỉ
2006
=
2004
k=1
2006
(1)k
+
k!
k=1
2006
k=1
(1)k
(k + 1)!
(1)k
1
1
+
(k + 1)!
2006!
2007!
(1)k
k!
2005
k=1
(1)k+1
1
+
(k + 1)!
2007!
1
1
1
1 +
2006!
2007!
2007!
1
2
2007 2
2005
+1 =
+1 =
+ 1
2006!
2007!
2007!
2007!
ỉệ ì ìểéỉ ểềì ìểẹ ì ì ễ ệ ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá á ậ
ặ ấè á ể ệá ẩ á ậ ĩ ìểéỉ ểềì ề ểệệ ỉ ì ểềỉ ìì ỉ ìểẹ ì ì
ỉ
ắ ẩệểễểì í ệ ậ í ệá ẹểệ é ề ệì ỉí ể ặ ểề ạ
é ề á ậỉ ể ềìá ặ
..
........
.........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.........
.........
.........
.........
........
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.........
.........
........
.........
.........
è é ề ỉ ìéểễ > 0 ỉì é
ẹ ệệểệ ỉể ệ í ể é ỉ ểẹ ề éểề
éề
ễ ệ éé é ỉể ỉ xò ĩ ì
ỉ ệẹ ề ỉ ìéểễ
ể ỉ ệ ư ỉ ệ í
ậểéỉ ểề í ễễ ể ềìểềá
ệỉểềá ầấá ậ
ỉ ỉ ệ í ể é ỉ ỉ ỉ ẹ ệệểệ ỉ
ễể ềỉ Aá é ỉ ỉ xạ ềỉ ệ ễỉ ể ỉ ẹ ệệểệ
Bá ề é ỉ ỉ
ệ ư ỉ ệ íể é ỉ ỉ
ỉ xạ ĩ ì ỉ C ỉ
ỉ ề é ểệẹ
í ỉ
ẹ ệệểệ ề
ểệ ịểềỉ é é ề ì á
ỉ ề = tan ậ ề ỉ
ề é ể ề
ề
ề ỉ
ề é ể ệ ư ỉ ểề ệ ế éá
........
.........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
........
.........
..........
..........................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
........... ...
........ .....
......... ......
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
........
.........
.........
.... ...
...........
...
......... ..
.
A
B
2
C
ắ ẵ
BAC = ABC = è ề ỉ
ĩỉ ệ ểệ ề é ể
ABC ỉ ệỉ ĩ C
ẹ ìệ 2á ề ỉ ìéểễ ể ỉ ệ ư ỉ ệ í ì ỉ ì
tan 2 =
2 tan
2
1 tan
2
=
ì
1 2
ỉ ìéểễ ể ỉ ẹ ệệểệ ì 1á ỉ ề ỉ ệ ư ỉ ệ í ì ề ơề ìéểễ
ì ề ỉ ì ệỉ éà
éìể ìểé
í ầấèậ ấ ậậầậèầầậá ệ ìì á ệ
ậ ặ ặ ấá
ìỉ ề éá èệ í ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá á ậ ặạ ẻ ầ á
ìỉ ềỉá éé ề ệì ỉíá ểềỉệ éá ẫ
ề ấ ầấầẻá ìỉ ềỉá ẽ éé ẹ íểề
ềị ểéé ỉ ềìỉ ỉỉ á èểệểềỉểá ầặ
ắ
ẩệểễểì
í ỉ í ẹ ậỉ ô
ề
ế ệ ỉ ễểéíềểẹ é f (x) ì ỉ ỉá n ì ễểì ỉ
ểềì ìỉ ề ể ỉ
ỉ 5 ệ ễ ỉ k ỉ ẹ ìá ỉ ề f (n) ểềì ìỉì ể ỉ
ệ ễ ỉ 2k ỉ ẹ ì ểệ ĩ ẹễé á f (555) = 555555à
ậểéỉ ểề í ểệ ề íề
ề éểá è ĩ ìá ậ
ề ề ểệẹ ỉ ểề ể ỉ ề ỉ
f (5) = 25a + 5b + c =
f (55) = 3025a + 55b + c =
f (555) = 308025a + 555b + c =
ỉ ệẹ ề ỉ
f (x) =
ặểỉ ỉ
ẽ
f
9 2
x
5
55 á
5555 á
555555
ỉá a = 95 á b = 2á ề c = 0 è ìá
9
x
5
+ 2x = x
+2
ỉ
55 ã ã ã 55
k
ệ
ỉ5
ề í ểểệ á ề éể ậỉ ỉ ề ệì ỉíá ậ ề
ỉ f (x) = ax2 + bx + c ì ề ỉ
ểééể ề ìíìỉ ẹ ể é ề ệ ế ỉ ểềì
ậểé ề ỉ ì ìíìỉ ẹá
ềỉ
=
5 1 + 101 + 102 + ã ã ã + 10k1
=
5
9
= 5
10k 1
9
ỉẹ ì
10k 1
ề ềể ệ í ểệ ế ỉ ểề
5
(10k
9
1)
=
=
5
(10k 1) 95
9
5
(10k 1)(10k
9
5
(10k
9
1) + 2
+ 1) =
5
(102k
9
1) = 55 ã ã ã 55
2k
ỉẹ ì
éìể ìểé
í ầ
ặầặá ểệ ĩá ệ ề
ầấèậ ấ ậậầậèầầậá
ệ ìì á ệ
ấ ấ ậậá ấ ề ể ẩ éểì ẻ ệ ìá á ậ
ầặ ấ ề
ầấấ ấá ậểỉ ìỉ ììểệ ậỉ ỉ ề ệì ỉí ề ễ ệ ệ á ììểệ á ậ ặạ
ẻ ầ á ìỉ ềỉá éé ề ệì ỉíá ểềỉệ éá ẫ ẩẩ ầặậầặá ệỉểềá ầấá
ậ ậè ẻầ ấ ấá ề ệì
á ềểì ệ ìá ệ ềỉ ề ề ấ ầấầẻá
ìỉ ềỉá ẽ éé ẹ íểề
ềị ểéé ỉ ềìỉ ỉỉ á èểệểềỉểá ầặ ầề ề ểệệ ỉ ìểéỉ ểề ì
éìể ì ẹ ỉỉ
ắ ắ
ẩệể é ẹ ể ỉ ểềỉ
ề ẻ ề ệ ệ
è ì ẹểềỉ ì ễệể é ẹ ềểé ì ễệể
ẩệể é ẹ ắẳẳ
.............................................................................................
....
....
....
....
....
...
...
...
...
....
......................................................................................................
...
...
...
...
...
....
....
....
....
...
...
...
....
...
...
......................................................................................................
...
...
...
...
...
...
....
....
....
....
...................................................................................................
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
..
..
..
..
........................................................................................
ểềỉ ìỉà
ề ỉ 4 ì 4 ệ ì ểềá ỉ ệ
ể ềì ệ ệ ề ểẹéí
ễé
ề ô ệ ềỉ ìế ệ ì
ỉ ệẹ ề ỉ ễệể
é ỉí
ỉ ỉ ềể ỉể ể ềì é ề ỉ ì ẹ ệể ểệ ểéẹề
ì ìểẹ ểề ểề ì ìỉ ỉể ẹ á ẹ ềí ễệể
é ỉí ễệể é ẹì ệ ìỉ
ểẹ ề ỉểệ é ểềỉ ề à ễệể é ẹì ệ íể
í ỉ ì ị ể ỉ ì ẹễé
ìễ
ề ệ íể ềỉ ỉể ỉ ễệể
é ỉí è ì ễệể é ẹá ề ễ ệỉ é ệá
ể éì ểề ỉể ểềỉ ề ỉ ễểìì é ỉ ì ểệệ ỉéí
ểệ
ỉ ééí ìểé ề ỉ ễệể é ẹá é ỉì ểềì ệ ể ỉể ểềỉ ỉ
íì ể ễé ề ỉ
ể ềì ểề ỉ
ệ ểệ ỉ ẹểẹ ềỉá éé ệ ế ệ ểềéí
ỉ ỉ ềể ỉể ể ềì
ễé
ểề ỉ ì ẹ ìế ệ á ỉ ểỉ ểệệí ề
ểỉ
ỉ ệ ỉ í ệ ề ô ệ ềỉ ệểì ểệ ểéẹềì è ềẹ ệ ể íì ể ễé ề
ỉ
ể ềì ễ ề ì ểề ỉ ệ ỉ
ể ềì ệ ểềì ệ ỉể
ìỉ ề ì é
è ỉ ìá ề ỉ éé ỉ ẹ ễ ệỉ ểệ ệ ỉ í
ềỉ é
ệìỉ ìễễểì ỉ
ể ềì ệ
ìỉ ề ì
é ẽ éé ì ềẹ ệì ỉể
ơệìỉ ểề ỉ
ệ á ểééể
í
ệ ệ ỉể ỉ ẹ ể ề 1 ì ỉ ểề ỉ ỉ ì ễé
ể ề 2á ỉ ề ể ề 3 ể ề 1 ẹ í
ễé
ềí ệ á
ẹ ềì ỉ ệ ệ
.............................................................................................
16 ễểìì é ìế ệ ì ểệ ỉ ểệ
ể ỉ ì ễé ẹ ềỉì ể
...
...
...
...
...
....
....
....
...
....
...
...
...
...................................1
ể ề 1á ỉ ệ ệ 15 ểễ ề ìế ệ ì ệ ẹ ề ề ề
ểề
....
.... ..................................................................
...
...
...
...
...
....
....
...
....
....
2ẹ í
ễé
á ề 16 ã 15 íì ể ễé ề ỉ ơệìỉ
...................................................................................................
....
....
....
....
....
..
... 3
...
...
...
...................................................................................................
ỉể ể ềì ểệ
ể ỉ ì íìá ỉ ệ ệ 14 ìế ệ ì
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
ề
ểề3ẹ í
ễé
á ề 16 ã 15 ã 14 íì ể
..
..
..
.. 2 ..
.............................................................................................
ễé ề éé ỉ ệ
ể ềì è ơ ệ ỉ ệ ỉ ì ểì ểề í
ặể ìễễểì ỉ
ể ềì ệ ề ìỉ ề ì
é ề ỉ ì ì á ỉ í
ềể ềẹ ệì ẽ ỉ ềỉ ỉể ểềỉ ềể ì ỉ ềẹ ệ ể ểềơ ệ ỉ ểềì ể
ỉ
ể ềì ểề ỉ í éé
ề ễé
ểề ỉ
ệ á ỉ ểỉ ệ ệ ểệ ỉ
ểệ ệ ề
ỉ í ệ ễé
ậ ề ỉ ệ ệ 3 ể ềì ề 16 ìế ệ ìá ỉ
= 16(15)(14)
= 560 è ì ì ìỉ ểệ
ềẹ ệ ể ễểìì é ểềơ ệ ỉ ểềì ì 16
3!
3
ềì ệ ểệ ỉ
ì ệ ỉ
ể ềì ệ
ìỉ ề ì
é
í 3!á ỉ
ềẹ ệ ể íì ể ệ ệệ ề ề ỉ
ể ềì ẹểề ỉ ẹì é ì
ặể é ỉì ìểé ỉ ễệể é ẹ
ậểéỉ ểề ẵ
é
é ỉí
ììẹ ỉ
ể ềì ệ ìỉ ề ì
é ề ể ẹ ềí íì ề ỉ í
ểề ỉ
ệ ìể ỉ ỉ ềể ỉể ể ềì ệ ề ỉ ì ẹ ệể ểệ ểéẹề
.............................................................................................
è ệ ệ 16 ễểìì é ìế ệ ì ểệ ể ề 1 ầề ỉ ì
....
....
...
....
....
...
...
... 1 ....
...
................................................................................................
ề ễé
á ỉ ệ ệ 3 ệểì ề 3 ểéẹềì ệ ẹ ề ề
....
....
....
....
....
....
....
...
....
....
...................................................................................................
ỉ ỉ ể ềểỉ ểềỉ ề ể ề 1á ề 3 ã 3 = 9 ìế ệ ì ệ
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
ểề 2 ẹ í
ễỉ ỉ 9 ỉ ìế ệ ì ề ỉ ơ ệ ỉ
....................................................................................................
....
....
....
....
....
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
ệ ỉà è ìá ỉ ệ ệ 16 ã 9 íì ể ễé ề ỉ ơệìỉ ỉể
.............................................................................................
ể ềì ề ô ệ ềỉ ệểì ề ểéẹềì
ễé
ắ
.............................................................................................
....
....
....
....
....
ầề ỉ ơệìỉ ỉể ể ềì
ề ễé
áỉ ệ ệ
...
...
...
..
...
.
.
.
...................................1
..................................................................
.
.
.
.
2 ệểì ề 2 ểéẹềì ệ ẹ ề ề ỉ ỉ ể ềểỉ ểềỉ ề
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
...
...
...
..
...
...................................................................................................
ể ề è ìá ỉ ệ ệ 2 ã 2 = 4 ìế ệ ì ề
ểề
....
....
....
....
....
...
....
....
....
....
..............................................................................................
ẹ í
ễé
ỉ ì ệ ỉ 4 ỉ ìế ệ ì ề ỉ ơ ệ
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
..
..
.. 2 ..
ỉ ệ ỉà éỉể ỉ ệá ỉ ệ ệ 16 ã 9 ã 4 íì ể ễỉỉ ề
.............................................................................................
ỉ ỉ ệ
ể ềì ề ô ệ ềỉ ệểì ề ểéẹềì
ậ ề ỉ ỉểỉ é ềẹ ệ ể íì ể ễé ề ỉ ỉ ệ
ể ềì ểề ỉ
ệ ì
16 ã 15 ã 14 ì ì ệé ệàá ỉ ễệể
é ỉí ỉ ỉ ỉ ỉ ệ
ể ềì ệ ễé
16ã9ã4
6
ề ô ệ ềỉ ệểì ề ểéẹềì ì 16ã15ã14
= 35
ẽ
ề ỉ ééí ểẹễỉ ễệể
éỉ ì ỉ
ìỉ
ể ỉ
é é ỉ ểề
ềìỉ
ể ỉ ề ềỉ é ỉ
ề è ễệể
é ỉí ể ễé ề ỉ ơệìỉ ỉể ể ềì
16ã9
ề ô ệ ềỉ ệểì ề ểéẹềì ì 16ã15
= 35 ề ỉ ỉ ỉ ơệìỉ ỉể ể ềì ệ
ề ô ệ ềỉ ệểì ề ểéẹềìá ỉ ễệể
é ỉí ể ễé ề ỉ ỉ ệ ể ề ề
4
= 27 ì ề ỉ ệ
ô ệ ềỉ ệể ề ểéẹề ệểẹ
ể ỉ ơệìỉ ỉể ì 14
ệ 4
ễỉ é ìế ệ ì ểỉ ể 14 ểễ ề ìế ệ ìà è ễệể
é ỉí ể ễé ề
6
éé ỉ ệ
ể ềì ề ô ệ ềỉ ệểì ề ểéẹềì ì ỉ ề 35 ã 27 = 35
ậểéỉ ểề ắ
è ìỉẹ á ệ ệ ỉ
ể ềì ì ề ìỉ ề ì
é ẽ éé ơề
ỉ ềẹ ệ ể ểềơ ệ ỉ ểềì ểệ ỉ
ể ềì ề
ỉ
ể ềì ệ ề ô ệ ềỉ
ệểì ề ểéẹềì è ì ểé
ểề í ì ề ểệ ểềỉ ề ẹ ỉ ể ểệ ỉ
ì ệ ỉ
ể ềì ệ
ìỉ ề ì
é ề ỉ ề ề í 3!á ỉ ệ ì
í ỉể ểềỉ ỉ
ểềơ ệ ỉ ểềì ệ ỉéí ềìỉ
ệìỉá ễ ỉ 3 ệểì ề
ỉ
ể ềì éé
ễỉ è ệ ệ 43 = 4
íì ỉể ể ỉ ì ề ỉ ỉểễẹểìỉ ệể ể ỉ ì 3 ệểìá ỉ ệ ệ 4 ễểìì é
ìế ệ ì ểệ
ể ề ề ỉ ẹ é ệể ể ỉ ì ệểìá ỉ ệ ệ 3 ễểìì é
ìế ệ ì ểệ
ể ề ì ề
ỉ ềỉ
ề ỉ ì ẹ ểéẹề ì ỉ
ểề ề ỉ
ỉểễẹểìỉ ệểà ề ỉ
ểỉỉểẹ ệể ể ỉ ì ệểìá ỉ ệ ệ 2 ễểìì é ìế ệ ì
ểệ
ể ề ì ề
ỉ ềỉ
ề ỉ ì ẹ ểéẹề ì ỉ ệ ể ỉ ểỉ ệ ỉể
ềể ỉể ể ềì
ể ềìà è ìá ỉ ệ ệ 4 ã 4 ã 3 ã 2 = 96 ểềơ ệ ỉ ểềì ề
ệ ề ỉ ì ẹ ệể ểệ ểéẹề
96
6
ề ééíá ỉ ệ ế ệ ễệể
é ỉí ì 560
= 35
è ì ễệể é ẹ ì ề ềỉ ệ ìỉ ề
ìỉểệí è
ề ỉ é ệì ểề ì
ỉ
ì ẹ ế ìỉ ểề ểệ 3 ể ềì ểề 5ì5 ệ ề íể ìểé ỉ ì ệì ểề à ệ ề
ỉ
éểễẹ ềỉ ể ỉ ắẳẳ é
ểềỉ ìỉá ỉ ễệể é ẹ ì
ề
ỉể ỉ
ểééể ề ễệể é ẹ
ểệ
ề
ề
ỉể ỉì ểệ ề é ểệẹ
è ệ
ô ệ ềỉ ềẹ ệì ệ ểì ề ệểẹ ỉ ì ỉ
{11á 12á 13á 14á 21á 22á 23á 24á 31á 32á 33á 34á 41á 42á 43á 44}
ẽ ỉ ì ỉ ễệể
é ỉí ỉ ỉ ềể ỉể ể ỉ ì ềẹ ệì ỉ
ì ẹ ề ỉì
ỉ ểệ ỉ ì ẹ ỉ ềì
ỉ
è ì ễệể é ẹ ì ẹ ế ỉ
éểỉ ệ ệ ỉ ề ỉ ễệể é ẹ ỉ ỉ
ể ềìá
ì ìỉệ ề á ì ỉ ì ỉ ééí ỉ ì ẹ ễệể é ẹ
ề íể ì í
ể ẹ ỉ é
ỉể ỉệí ìểé ề ẹểệ
ề ệ é ễệể é ẹ ệ k ể ềì ệ
ễé
ểề ề n ì n ệ ỉ k ná ể ểệì à
ặểỉ
è
ỉ ểệ ì ì ỉể
ềểé
ỉ
ểềỉệ ỉ ểềì ể
ệể ểểỉá ììể ỉ
ỉểệá ề ỉ ễệ ễ ệ ỉ ểề ể ỉ ì ểéẹề
ệ
ắ
ẩểéí ì ẩ ệ ểề
ệ ỉ ìỉ ểẹẹểề
ìểệì
ề ẻ ề ệ ệ
ểìỉ ể ì é ệề
ểỉ ệ ỉ ìỉ ểẹẹểề ìểệì gcdìà ề é ẹ ềạ
ỉ ệí ì ểểé ề ơệìỉ é ệề
ểỉ ễệ ẹ ềẹ ệì ề ễệ ẹ
ỉểệ ị ạ
ỉ ểềì ấ ẹ ẹ ệ ỉ ểì ễệ ẹ
ỉểệ ị ỉ ểề ỉệ ì à ẽ ì
ệ ỉ ìỉ ểẹạ
ẹểề ìểệì
ề ề é ệề ỉể
ệ ỉ ểềì ậ ề ỉ ềá ể ệá
ễệể
éí ểệ ểỉỉ ề ẹểìỉ ể ỉ é ệề
ệ ì ệ ệ ì ệ ểề
gcdì éểề ỉ ìểẹ ệ é ỉ
é é ỉ ểềì ề ẹ ề ễé ỉ ểềì
ơề ỉ ểề a
ề b ệ ềỉ ệì ỉ ỉ ệ ềểỉ ểỉ 0á ỉ
ệ ỉ ìỉ ểẹẹểề
bá
ềểỉ gcd(a, b)á ì ỉ é ệ ìỉ ễểì ỉ ềỉ ệ ỉ ỉ
ì ĩ ỉéí ềỉể ểỉ a ề b
ề ểỉ ệ ểệ ìá gcd(a, b) ì ỉ
ệ ỉ ìỉ ể éé ỉ
ểẹẹểề ìểệì ể
a ề b ểềỉ íể ì ỉ ỉ éé ẹ ỉ ẹ ỉ é ơề ỉ ểềì ẹ
ỉ ì ẹ
ì ềì à èể ẹễ ì ị á d ì
ìểệ ể a d ì ĩ ỉéí ềỉể a ỉ ỉ ìá
a = qd ểệ ìểẹ ềỉ
ệ q à èể ỉ í ễ éểểì ề á ì í ỉ ỉ gcd(0, 0) = 0
ặểỉ
ệ ỉ ỉ ỉ ệ ì ềểỉá ề ỉá é ệ ìỉ ễểì ỉ ềỉ ệ ỉ ỉ ì
ềỉể ểỉ 0 ề 0á ì ề
ệí ễểì ỉ ềỉ ệ ì ềỉể 0 è ì ẹ ềì
ỉ ỉ ỉ ệề
ỉể ềểệ ỉ ì ì ềỉ ệ éíá ểệ ề
ỉể ì í ìểẹ ỉ ề
ìễ
é ệ á ì
ểề à
ìểệ ể
a ề
é é ỉ ểềì
ề ề ỉ gcd ể ễ ệ ể ềỉ ệì ì ềểỉ ỉ ệệ éí ặ éỉ ề
ỉ
ềỉ ệì ệ ìẹ éé gcd(2, 4) = 2á gcd(3, 5) = 1á ề gcd(13, 1) = 1
ỉ ì ểệỉ ềểỉ ề ỉ ỉ gcd(a, 0) = a a ì ễểì ỉ ề gcd(a, 0) = a
a ìề
ỉ è ểì ể íể ểẹ ểệỉ é ỉ
ìểéỉ é ì ề ểề ềì
ỉ ì ỉể gcd(a, 0) = |a|à éìểá gcd(b, 1) = 1 ểệ ệí ềỉ ệ b ề íể ì
í ỉ ì ểệẹé ì ệ ỉệ ệểẹ ỉ
ơề ỉ ểề
ẽ ỉ ễễ ềì ỉ
ềỉ ệì ệ é ệ
ểệ ĩ ẹễé á ìễễểì ềỉ
ỉể é é ỉ gcd(1977, 2007) ểệ ơệìỉ ềìỉ ề ỉ ẹ ỉ ỉể ỉệí ỉể ỉểệ 1977
ề 2007 ỉể ơề ỉ ệ ễểì ỉ
ìểệìá ỉ ề ểẹễ ệ é ìỉì ỉể ơề ỉ é ệ ìỉ
ể éé ểẹẹểề ìểệì ỉì ỉệí ỉ ì
ệìỉá 1977 = 3 ì 659 ỉ ệ
ỉ ể ễ ề é ỉệ é ề ệệểệá ơề
ỉ ỉ 659 ễễ ệì ỉể
ễệ ẹ ềẹ ệ ể ể ềể ỉ ỉ 659 ì ễệ ẹ
è ỉì ì
ỉ ểệ ềểỉ ệ ẩ ệ ểề à è ì ỉ ééì ì ỉ ỉ ỉ ễểì ỉ
ìểệì
ể 1977 ệ 1á 3á 659á ề 1977
ặ ĩỉá 2007 = 3 ì 669 = 3 ì 3 ì 223
ềá ỉ ệ
ỉể ư éề
ệểề á
ì ể ệ ỉ ỉ 223 ì ễệ ẹ
ề á ỉ ễểì ỉ
ìểệì ể 2007
ệ 1á 3á 9á 223á 669á ề 2007
è ệ ểệ á ỉ ễểì ỉ ểẹẹểề ìểệì ể 1977 ề 2007 ệ 1 ề 3á
ẹễé ì ỉ ỉ gcd(1977, 2007) = 3
ắ
è ì ẹ ỉ ể ểệ ì ệ ìểề
éí ééá ỉ ỉ ểé
ễệ ỉỉí ệ ìểẹ
ỉ
ỉì éểề ềìỉ
ể ểềéí ểệá ểệ ỉ ệ
ệ ềể ệ
éí ễễ ệ ềỉ ìẹ éé ễệ ẹ
ỉểệì ẽ
ề ỉ ểề ểệ ểệ
ỉ í éểể ề
ệ ỉéí ỉ ỉ ễệ ẹ
ỉểệ ị ỉ ểềì ềìỉ
ể é ìỉ ề
ìểệìá
ỉ ỉ ì ìỉ éé ệ ế ệ ì é é ỉ ề ỉ ễệ ẹ
ỉểệ ị ỉ ểềìá
á ì ỉ ỉệềì
ểỉá ì ệí ẹ ề ề ễệể é ẹ ểẹễỉ ỉ ểề ééí
è ệ ì
ỉỉ ệ íá
ỉ ì ềỉ
ể ỉ
ểééể ề
ỉ
1977 ề 2007 ệ
ỉ ẵ aá bá qá ề r ệ
ề gcd(a, b) = gcd(b, r)
ẹễểệỉ ềỉ
ỉ
ềỉ
ệì ỉ a = qb + rá
è ì ỉ ì ềểỉ éé ỉ ỉ ềỉ ỉ éểỉì ể ềẹ ệ ỉ ểệí ểể ì ểềỉ ề ễệểể á
íểệ ềỉ ệ ìỉ àá ỉ
ề ì ỉ ì ỉ ỉể ể ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ềì éể
ỉể ể ỉ
ễệể é ẹ ề ỉệề ỉ ềỉể ìẹ éé ệ ểệ ì ẹễé ệà ểề ệ ì ể
2007
1977
30
27
=
=
=
=
1(1977) + 30
65(30) + 27
1(27) + 3
9(3) + 0
== gcd(2007, 1977)
==
gcd(1977, 30)
==
gcd(30, 27)
==
gcd(27, 3)
=
=
=
=
gcd(1977, 30)
gcd(30, 27)
gcd(27, 3)
gcd(3, 0)
ểééể ề ỉ ệể ỉ ì
ềá gcd(2007, 1977) = gcd(3, 0)á
ế éì 3
ẽ ểé
ìỉểễễ
ệé ệ ề ì gcd ỉ ỉ ì ìí ỉể é é ỉ á
ỉ ỉ ể ìềỉ ệỉ ỉể
ễ ể ề ềỉ é
ỉ 0à ề íể ỉ éé ỉ
ỉ
ìỉ ễ ỉ
ìỉ ễá ỉểể ểỉ ì ẹ ềí ểễ ì ể ỉ ìẹ éé ệ ềẹ ệ
ì ểé ệểẹ ỉ é ệ ệ ềẹ ệá ề
ỉ ệẹ ề ỉ ì é ỉ ể ệ ề
ỉ ề é ỉ ệẹìá ễ ệ ểệẹ ỉ
ì ểề é ểệ ỉ ẹ ì ệ é ỉ ẹ ìá é ạ
é ỉề ỉ ệ ẹ ề ệ ỉ
ìỉ à ầ ệ ééá ỉ ì ẹ ỉ ể ể é é ỉ ề ỉ
gcd ì éé ỉ
é
ề é ểệ ỉ ẹ èệí ỉ ì é ểệ ỉ ẹ ểề 6540 ề 1236
íể ỉ 12 ì íểệ ềì ệ à
ỉ ệ íể ỉ ểẹ ểệỉ é ỉ ỉ ì ẹ ỉ ể á íể ẹ í ềểỉ ỉể ỉ ẹ ạ
ì ề
ỉệ ì è ơệìỉ ì ỉ ỉ íể ểềỉ ỉể ệ ỉ éé ể ỉ
ế é ỉ ì
ể gcdì ểề ỉ ệ ỉ ì
ỉ ì éé é íì
ỉệ á ìể
ềệ é ỉ ỉ
gcd ể ỉ
ểệ ề é ềẹ ệì ỉể ỉ gcd ể ỉ ơề é ềẹ ệì ệ ỉéí è
ì ểề é ì ểề ỉ ơệìỉ ỉ gcd éé ỉ ééí é íì
ỉ ơề é ềểềạị ệể
ệ ẹ ề ệ ềỉ
é ểệ ỉ ẹ ề íể ì í à
ề ễé ỉ ểềì è
ì ẹ ỉ ể ì ì ẹ ỉể ểệ ệ ééí éé ểệ ềẹ ệìá íể
ẹ í ì íá ỉ ề ì ỉ ẹ ề ẹểệ
ìỉệ ỉ ì ỉỉ ề á é ỉ ẹ ỉ ễễ ệ
ề ểềỉ ìỉ ễệể é ẹ
ềềí íể ì ểé
ơệìỉ ềỉ ệề ỉ ểề é ỉ
ẩệể é ẹ ẵ
ì ệ ì ỉ
ẹ ỉ é ầéíẹễ
ẩệể ỉ ỉ ỉ
ệí ề ỉệ é ềẹ ệ n
ậỉ ễ ểề
è ì ễệể é ẹ
ệ ỉ ểề
ệí ơệìỉ ễệể é ẹ ệểẹ ỉ
ềẵ
21n + 4
14n + 3
ì ệệ
é
ệí
ểệ
ệ á ì ề ềí ễệể é ẹá ì ỉể ơ ệ ểỉ ỉ ỉ ì ệ ééí ì ề
ề
ệ ìỉ ỉ
ì ẩệể ỉ ỉ gcd(21n + 4, 14n + 3) = 1 ểệ
ắ
ệ ỉ ểề ì ệệ
ệí ề ỉệ é ềẹ ệ n ì ề
ềểẹ ề ỉểệ ềể ểẹẹểề ỉểệìà
ẽ ỉệí ỉể ẹể é ểệ ẹ ỉ ể ệểẹ ể
é
ỉì ềẹ ệ ỉểệ ề
= 1(14n + 3) + (7n + 1) á
= 2(7n + 1) + 1 á
= (7n + 1)(1) + 0
21n + 4
14n + 3
7n + 1
è ìá gcd(21n + 4, 14n + 3) = gcd(14n + 3, 7n + 1) = gcd(7n + 1, 1) = 1á
ì ềỉ ậểá
ề
ễỉ ỉ ì ẹ ỉ ể
ềểỉ ệ ỉ ỉ ỉ ề
ế ỉ
ề í
ẹễểệỉ ềỉ
ỉ ắ
gcd(c, b) = 1á ỉ
ề gcd(ac, b) = gcd(a, b)
è ì ỉ ì ỉ ééí ì é ề ểỉ
ệ ỉ ểềì ỉ ééểì ì ỉể ểề ệỉ gcd(a, b)
ỉể gcd(ac, b) éỉ ể
ỉ ì ềểỉ ẹẹ
ỉ éí ể ểì í ểé ệ
ềỉ ỉể ể ỉ ìàá ề ỉ ééểì ì ỉể ểề ệỉ gcd(ac, b) ỉể gcd(a, b) è ì ỉ
ì ẹểệ ềỉ ỉ
ề íể ĩễé ề ỉ ỉể íểệì é
ẽ ềể ỉệí
ì ểề ễệể é ẹ
ẩệể é ẹ ắ
ẩệể ỉ
ềẹ
ệ n
ỉ gcd(n2 , 2n + 1) = 1 ểệ ềí ề ỉệ é
ầệ ề ỉ é ềìỉ ề ỉ ì ỉể ỉệí ỉể ì ỉ
ệ ỉ ẹá ỉ ỉ ì ệí ặ éỉ ỉể ẹ
ệ ỉ ểềì è ì ì ệ ẹễểệỉ ềỉ
ỉ ề gcd(2n + 1, 2) = 1 è ìá
gcd(n2 , 2n + 1)
=
=
=
=
=
ìỉệ ỉ ệì ểề ể ỉ
gcd(2n2 , 2n + 1)
gcd(n, 2n + 1)
gcd(n, 2n + 1)
gcd(n, 1)
1á
ì ệ ế ệ
ểễ íể ệ ẹ
í ềể ẹ ềì ì ỉ
ìểẹ
ì ỉể ỉ ề
ểỉ
ểề ể ỉ ì ẹểềỉ ì í
é
ề é ểạ
2n + 1 ể ềỉể n2 ỉ ểỉ ềỉệể ề
ỉ ắ ề
ì
ì ề 2n + 1 ì ể á
ì ề
ì ề
ì ề
ì ề
gcd(2n + 1, 2) = 1à
2n2 = n(2n + 1) + (n)à
gcd(1, 2n + 1) = 1à
2n + 1 = 2(n) + 1à
ẹ ệ
ỉ ề é ệề
ỉ ểỉ gcdì ệ
ểề ểẹễệ ềì á ỉ ỉ ì ểé
íể
ề ìểẹ ìỉệ ỉ
ì ỉể ì èệí ễễéí ề ỉ ẹ ỉể
ẹ ễệể é ẹì
ềỉệ
ểệ
ề ẻ ề ệ ệ
ẹ ỉ ì ề ểẹễỉ ề
ề ệì ỉí ể ẽ ỉ ệéểể
ắẳẳ ề ệì ỉí ề ẽ ìỉ
ẽ ỉ ệéểểá ầặá ề
ặắ ẵ
ỉ ểề ề ỉ
ắ
è ầ ẩ
ặể ắ
ấ ẽểể ệể
ỉ
ề
è
ẽ
ầấặ ấ
ề ỉ ì ềẹ ệ ể ỉ
ểệề ệ ỉ ì é ỉ ễệể é ẹì ệểẹ
ỉ ẹ ỉ é ầéíẹễ
ắẳẳ è ề ì ể ỉể
ệ ìỉểễ ệ ậẹ ééá
ềè ẹ
ệ ỉể ỉ ầ ề ỉ ềìá ểệ ểéé ỉ ề ỉ ẹ ểệ ì
è è è
ầ ẩ
ậ é ỉ ẩệể é ẹì
ắẳẳ
ẵ
èệ ề é ABC ì A = 70 ề CA + AI = BC á
ề ềỉệ ể ỉệ ề é ABC ề B
ắ
ỉ f : ẫ ẫá
ệ
ẫ
ìỉ
ì ỉể
éé ệ ỉ ểề é ềẹ
ệìá ì
ệ I ìỉ
ỉ
ỉ
f (x + y) = f (x) + f (y) + 2547
ểệ éé xá y ẫ ề f (2004) = 2547
ề f (2547)
ệì ì
ỉ aá bá ề c
ễểì ỉ ệ é ềẹ
3
3
ẩệể ỉ ỉ a + b + c3 a + b + c
ỉ
ỉ a+b+c
1
1
1
+ +
a
b
c
ỉ ABC
ề ế é ỉ ệ é ỉệ ề é ỉ A á B á ề C
ễể ềỉì ểề ỉ
ì ẹ ềỉì BC á CAá ề AB á ệ ìễ ỉ éí ậễễểì ỉ ỉ |AC | = 2|CB |á
|BA | = 2|AC |á |CB | = 2|BA|á ề [ABC] = 126 ề ỉ
ệ ể ỉ
ỉệ ề é ề éểì
í ỉ é ề ì AA á BB á ề CC
ề
éé ễ ệì (x, y)
ì ỉìíỉ
x+y
x
x2 y
ỉ ABCD
ểề ĩ ế
[ABCD]
1
4
ìíìỉ ẹ ể
ế ỉ ểềì
xy
= y á
= 1
ệ é ỉ ệ é ẩệể ỉ
ỉ
(AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 )
ơề f ểề ỉ ì ỉ ể ệ ỉ ểề é ềẹ ệì ề ỉ
ềỉ ệ é [0, 1] ì ểééểì
f (0) = 0á f (1) = 1á ề
1
f (2x)
0
2
f (x) =
1
3 + f (2x 1)
x < 1
4
4
2
ệ ỉ x ề ì ạ2 ệ ễệ ì ềỉ ỉ ểề ì x = (0.b1 b2 b3 . . .)2 á ơề f (x) ề
ì ạ2 ệ ễệ ì ềỉ ỉ ểề
ắ
ề éé ễệ ẹ ì p ì
ìểệì
ỉ
ỉ p2 + 2543
ì é ìì ỉ
ề 16
ìỉ ề ỉ ễểì ỉ
ề ệ ỉ ỉệ ề é ABC ỉ B = 90 á é ỉ P
ễể ềỉ ểề ỉ
ề é
ì ỉểệ ể A ềì
ABC ề é ỉ M
ễể ềỉ ểề ỉ ì
AB
ỉ A = M = B à ề ì AP á CP á ề M P ềỉ ệì ỉ BC á AB á ề
AC ỉ D á E á ề N á ệ ìễ ỉ éí ậễễểì ỉ ỉ M P B = P CN ề
N P C = M BP ề [AP C]/[ACDE]
ặ ĩỉ éểể ỉ ỉể ỉ ìỉì ể ỉ ắ ỉ é ề ề ỉ ẹ ỉ é ầéíẹễ
ểệ
ậ ểểéì è ề ì
ề ể ỉể
ệ ìỉểễ ệ ậẹ ééá
ề
ề è ẹ
ệ ỉể ỉ ầ ề ỉ ềìá ểệ ểéé ỉ ề ỉ ẹ
ắ
ỉ
ặ ặ è è ầ ẩ
ầấ ậ ầầậ
è ìỉ ẵ
ẵ
è ệ ệ 20 ễễ éì ề éé
ì ểểé ềí ỉể ể ỉ ẹ ỉ ì ẹ
ệ ề ỉ ệ ậ ể ỉ ỉ ỉ ệ ĩ ìỉì ệ ề ỉ ệ ể ì ỉ é ìỉ 14 ệ ề ạ
é ệ ề
ắ ỉ M á N á ề P ỉ ệ ìễ ỉ ẹ ạễể ềỉì ể ì ì BC á CAá ề AB
ể ỉệ ề é ABC
á ề é ỉG
ỉ
ềỉ ệì ỉ ểề ễể ềỉ ể ỉì ẹ
ềì ẩệể
ỉ ỉ BN = 23 AB ề BM GP ì í é ễểéí ểềá ỉ ề ỉệ ề é ABC ì
ế é ỉ ệ é
ỉ xk ề yk ểệ k = 1á 2á . . . á n) ễểì ỉ ệ
kxk yk 1
n
xk yk
1
à ẩệể ỉ ỉ
n + 1
2
2 4n
k=1
à ẽ
ề
ì é
ệì ỉ
ỉì ỉìí
xk + yk
ề ể ì ế é ỉí ểé
ề ễệ ẹ ềẹ
é ềẹ
ề ễ ệỉ à
ệì p ề q ì
éé ễ ệì ể ễểì ỉ
í xn + 2n + 1
ềỉ
ỉ
ỉ p2 p + 1 = q 3
ệì (x, n) ì
ỉ
ỉ xn+1 + 2n+1 + 1 ì
è ìỉ ắ
ẵ ậểẹ
ễ ểễé ỉ
ễ ệỉ ề ẹ ỉ ề ệí ễ ệỉ ễ ềỉ ì ế ềỉ ỉ
ỉ ẹểìỉ ỉ ệ ễ ểễé ề ỉ
ệểễá ề
ỉể ễ ệỉ ễ ềỉì ệ ềểỉ ế ềỉ á
ỉ ềỉ í
ểẹẹểề ế ềỉ ề ề ỉ
ệểễ
à ẽ ỉ ì ỉ ẹ ĩ ẹ é ềẹ ệ ể ễ ệỉ ễ ềỉì ề ỉ ì ẹ ỉ ề
à ỉ ệ ệ ỉ ệ
ểỉ ệá ỉ ì ỉ
ễ ệỉ ễ ềỉì ể ệ ẹỉ ééí ế ềỉ ỉ
ẹ ĩ ẹ é ềẹ ệ ể ễ ệỉ ễ ềỉì ề ỉ ì ẹ ỉ ề
ắ
ắ ẩệể
ỉ
ề ế é ỉí
1
1
a + + 0.64
b
1
+
1
b + + 0.64
c
1
+
1
c + + 0.64
a
1.2 á
ệ a > 0á b > 0á c > 0á ề abc = 1
ậểé
ỉ
ểééể ề
ế ỉ ểề ề ềỉ
ệì
y 2 = 1 + x + x2 + x3 + x4
ẩệể ỉ
ệ n 2á ỉ
ỉ ểệ ềí ềỉ
ềẹ
ệ 2n 1 ì ềểỉ
ì é
í n
ề ề ỉ ạ ề é ỉệ ề é ABC á é ỉ H ỉ ểệỉ ể ềỉệ á ề é ỉ da á db á
ề dc
ỉ
ìỉ ề ì ệểẹ H ỉể ỉ ì ì BC á CAá ề AB á ệ ìễ ỉ éí
ề ệ é ể ỉệ ề é
ẩệể ỉ ỉ da + db + dc 3rá ệ r ì ỉ ệ ì ể ỉ
ABC
èể ểềỉ ề íểệ ệ ỉệề ỉể ễệể é ẹạìểé ề ễé ìệ ìá ỉ ẵẵỉ
ỉ
ểệẹ ể ỉ
ề é ấểề ể ỉ
ệ ề ề ỉ ẹ ỉ é ầéíẹễ
è ề ì
ề ể ỉể ệ ìỉểễ ệ ậẹ éé ểệ ểéé ỉ ề ỉ ẹ ểệ ểệ ì
ỉ
ấ ặ ặ è è
ẵẵ ểệẹá ề é ấểề
ỉ
ẵ ẻ
ệ à ậểé ỉ
ế ỉ ểề
= arccos cos x á
arcsin sin x
ệ
a
ìỉ
ầ ẩ
ệ ỉ ìỉ ềỉ
ệ ềểỉ ĩ
ề a
ắ ẻẻ íẹ ềì íà è
ỉ ạ ề é ỉệ ề é ABC ì ề ỉ O
ỉ
ềỉệ ể ỉì ệ ẹ ệ é è ễ ệễ ề é ệ ì ỉểệ ể ỉ ì
AC
ềỉ ệì ỉì ỉ ì
AB ề ỉ é ề BC ỉ ỉ ễể ềỉì P ề Qá ệ ìễ ỉ éí
ẩệể ỉ ỉ P QB = P BO
ẻ ì ềì íà è
ỉể ỉ ễé ề ABC èể
ề C ểỉ ỉ ì ìễ ệ ì
ỉ ệ
ể
ỉ r1 ề r2
ỉ
SA ể
ô ệ ềỉ
ệ ỉ ề
1 ề
ẻ ì ềì íà ẩệể ỉ
ỉ n ì 3n 2n
ỉỉ
ỉ ỉ ỉệ
ệểề SABC ì ễ ệễ ề é ệ
ìễ ệ ì 1 ề 2 ểềỉ ề ễể ềỉì Aá B á
ềỉ ềỉ ệề ééí ỉể ìễ ệ ềỉệ
ỉ S
2 á ệ ìễ ỉ éí ề ỉ ệ ì R ể
ệ
ể ì ềểỉ ĩ ìỉ ề ềỉ
ệ n > 1 ì
ắ ẳ
ẻ ì ềì íà ề ệ 2004 ễể ềỉì ề ỉ ễé ề è í ệ ỉ ệỉ ì
ể
ểề ĩ ễểéí ểề ề ềể ểệ ể ỉ ẹ ệ í é ỉệ ề é
ề ỉ ệ
ể ỉ ễể ềỉì ì ỉì ệỉ ì ì éé ỉ
ỉ ểỉ ệ 2001 ễể ềỉì é ềì
ỉì ệ ẹ ệ é á ề ỉ ì éé ỉ ề ỉ ểỉ ệ ễể ềỉì é ểỉì
ỉì ệ ẹạ
ệ é ẩệể ỉ ỉ ỉ ềẹ ệ ể ỉ
ỉệ ề é ì ì ế é ỉể ỉ ềẹ ệ ể
ỉ ề ỉệ ề é ì
ầầ é
ểà
ề ỉ
ìẹ ể ỉ
ệ é ệểểỉì ể ỉ
ế ỉ ểề
x
x+
= 2004
x2 1
ẻ ấ
ề ểà ể ì ỉ ệ ĩ ìỉ
ề ỉ ểề f : ấ
f x2 y + f (x + y 2 ) = x3 + y 3 + f (xy) ểệ éé xá y ấ
ẻ
ì ềì íà ỉ aá bá ề c
ễểì ỉ ệ é ềẹ
ỉ a3 + b3 + c3 ab + bc + ca
abc 1 ẩệể ỉ
ấ ì
ỉ
ỉ
ệì ì
ỉ
ỉ
ẻ ì ềì íà
ểề ĩ 2004ạ ểề ì ệỉ ì A1 á A2 á . . . á A2004 ì ỉ
ễểìì é ỉể ểéểệ
ể ỉì ì ì ề ỉì
ểề éì ỉ ểề ể 2003 ô ệ ềỉ
ểéểệì ề ì
íỉ ỉỉ
ểééể ề ỉể ểề ỉ ểềì ểé
à è
ệ
ệ 1002 ì ẹ ềỉì ể
ểéểệ
à ề ệ ỉệ ệí ệỉ ĩ ề ỉể ệ ỉệ ệí ểéểệì ệ ềá ỉ ềá ìỉ ệỉ ề
ệểẹ ỉ ì ệỉ ĩ ề ì ề ỉ ì ẹ ềỉì ể ỉ ì ỉể ểéểệì ĩ éì éíá
ểề
ề ì ỉ ệí ểỉ ệ ệỉ ĩ ểềéí ểề
ẵẳ
ẩ ặ
éà ỉ
ỉ
ềì ệ
ệ é ể ỉ ỉệ ề é ABC ỉ Lá
ỉ ễể ềỉì ể ỉ ề ề í ể ỉ ỉ ì ì AB á BC á ề CAá
ệ ìễ ỉ éí ề ì LE ề BC ềỉ ệì ỉ ỉ ỉ ễể ềỉ H á ề é ề ì LN ề
AC ềỉ ệì ỉ ỉ ỉ ễể ềỉ J éé ỉ ễể ềỉì H á J á N á E é ểề ỉ ì ẹ ì
ể ỉ é ề AB à ỉ O ề P
ỉ ẹ ạễể ềỉì ể ỉ ì ẹ ềỉì EJ ề
N H á ệ ìễ ỉ éí ề S(HJ N E) S(ABOP ) = u2 ề S(COP ) = v 2
ệ S(F ) ì ỉ
ệ ể ơ ệ F à
Ná ề E
ẽ ỉệề ỉể ểệ ơé ì ể ệ
ệì ểẹẹ ềỉì ề ìểéỉ ểềì ỉể ễệể é ẹì
ề ề ỉ ậ ễỉ ẹ ệ ắẳẳ ềẹ ệ ể ỉ
ểệề ệ è ơệìỉ ệểễ ệ ểệ
ễệể é ẹì ể ỉ
é ệì ỉ ẹ ỉ é ầéíẹễ
ắẳẳá ề ề ắẳẳ ắ
ểẹẹ ềỉ í ẩ ệệ ểệềìịỉ ềá ìểềìạ ặỉỉ á ệ ề
è ì ì ĩ ễệể é ẹì ệ
ậểéỉ ểềì ề
ểề
ệểẹ ỉ
ỉ
ầ ậ ểệỉạé ìỉ ắẳẳẵ
/>
ểệ ề
ậễệ ề ệá ễ
á ẻ ề ể á ỉ á ặ ẩ ỉệể á
è ầ ểẹễ ề ẹá
ắ ẵ
ề éé ề ỉ ểềì f ệểẹ ỉ
ểệ ềí ệ é ềẹ ệì x ề y á
ệ é ềẹ
f (xy) f (x) f (y)
ậểé
í
í
é
ệì ỉể ỉ
ệ é ềẹ
ệ K ì ì ệểễ ể ỉ
ểềì ệ a ấ ề
ì ỉ ìơ ì
ỉá
é ệéíá ỉ ị ệể ề ỉ ểề ì ìểéỉ ểề
ẽ éé ì ể ỉ ỉ ỉ ềểềạị ệể ìểéỉ ểềì ệ ỉ
ỉ
= (x y)f (x)f (y)
ỉ éé á ấể ềá ệ ề
a,K (x) =
ệì ì
ề ỉ ểềì a,K
ơề
x Ká
x
/ Ká
ax
0
ẹéỉ ễé ỉ ệểễ ấ = ấ \ {0} ề a ấ
ì ệểễ K ể ấ ẽ ì ể ỉ ỉ f = a,K
f (xy) f (x) f (y)
ẵà
= (x y)f (x)f (y)
ểệ éé xá y ấ
xá y K á ỉ
ề xy K ề ẵà ểé ì ì ề ỉ ề
axy(ax ay) = (x y)ax ã ay
xá y
/ K á ỉ ề (x) = (y) = 0 ề ẵà ì ỉệ
ệ ệ ỉỉ ề ì
1
á ì íá x K á y
/ K á ệỉ ềéí xy
/ K ểỉ ệ ì y = xy ã ểé
x
ề K à è ìá (xy) = (y) = 0 ề ẵà ểé ì
ểề ệì éíá é ỉ f
ềí ề ỉ ểề ệểẹ ấ ỉể ấ ì ỉ ì í ề ẵàá ề ììẹ
ỉ ỉ f ì ềểỉ ỉ ị ệể ề ỉ ểề è ề f (x0 ) = 0 ểệ ìểẹ x0 ấ è ề
x = 1 ề y = 0 ề ẵà í é ì f (0) = 0 ề á x0 = 0à è ề y = 1 ì
f (x) f (x) ax
= 0á
ắà
ệ ì ỉ a = f (1) è ì ệ é ỉ ểề ắà ỉ x = x0 ì ểì ỉ
ề á ẹểệ
ề ệ ééíá ỉ ỉ f (x) = ax f (x) = 0
ặểá é ỉ
K = {x
ấ | f (x) = ax}
é ệéí 1 K x1 á x2 K ỉ
f (x2 ) = ax2 è ề ẵà ỉ x = x1
ề á x1 x2 K ậ ẹ é ệéíá ẵà ỉ
1/x1 K ề á é ìỉéíá ẵà ỉ x = x21
ễệể ỉ ỉ K ì ì ệểễ ể ấ ề
ễệểể
= {x
ỉa
ấ
ấ | f (x) = 0}
x1 = x2 á ỉ ề f (x1 ) = ax1 ề
ề y = x2 ì f (x1 x2 ) = ax1 x2
x = x1 ề y = 1/x1 ì ểì ỉ ỉ
ề y = 1/x1 ì x21 K ẽ
ỉ ỉ f = a,K è ì ểẹễé ỉ ì ỉ
