Đề thi và đáp án cao học kinh tế Môn Toán UEL2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (857.22 KB, 4 trang )

Mr Đức 097 267 0808

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC và ĐÁP ÁN THAM KHẢO NĂM 2012
Môn thi : TOÁN KINH TẾ ( ĐH KINH TẾ - LUẬT)
Bài 1.
Có 10 cái áo lần lượt đánh số bởi các số 1,2,…,9,10. Lấy ngẫu nhiên 6 áo. Tính xác suất trong 6 áo được lấy ra có áo số 3 nhưng
không có áo số 4.
Giải
6
Số cách chọn ra 6 áo từ 10 cái áo là C10
(cách).
Số cách chọn ra 5 chiếc áo từ 8 chiếc áo số 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (không có mặt áo số 3 và áo số 4) là C58 (cách). Do đó, số cách chọn
ra 6 chiếc áo từ 10 cái áo đánh số 1, 2, 3, ..., 9, 10 sao cho có áo số 3 và không có áo số 4 là C11 × C58 (cách).
Vậy xác suất cần tìm bằng

C11 × C58 4
= .
6
15
C10

Bài 2.
Có hai lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ nhất gồm 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B. Lô thứ hai gồm 7 sản
phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản
phẩm.
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại A được lấy ra từ lô thứ hai.
b) Xây dựng hàm phân phối xác suất của số sản phẩm loại A được lấy ra từ lô thứ hai.
Giải
a) Kí hiệu C0, C1, C2 lần lượt là các biến cố có 0, 1, 2 sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy từ lô thứ nhất chuyển sang lô thứ hai. Kí

hiệu A0, A1, A2 lần lượt là các biến cố có 0, 1, 2 sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra từ lô thứ hai. Ta có sơ đồ cây như sau:

C1

C0

A0

A1

A2

A0

Dễ dàng tính được xác suất của các biến cố C0, C1, C2: P(C0 ) =
Và P(A 0 | C0 ) =

A1

C2
A2

A0

A1

A2

C80C22 1
C18C12 16

C82C02 28
=
;
P(C
)
=
=
;
P(C
)
=
=
1
2
2
2
2
45
45
45
C10
C10
C10

C07C52 5
C 0C 2 1
C 0C 2 1
= ;P(A 0 | C1 ) = 8 2 4 = ;P(A 0 | C2 ) = 9 2 3 =
.
2

33
11
22
C12
C12
C12

Khi đó, xác suất có 0 sản phẩm A trong 2 sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ lô thứ hai là:
P(A 0 ) = P(C0 )P(A 0 | C0 ) + P(C1 ) P(A 0 | C1 ) + P(C2 )P(A 0 | C2 ) =

1 5 16 1 28 1
1
16
14
19
* + * + * =
+
+
=
45 33 45 11 45 22 297 495 495 297
Tương tự, ta có
P(A1 ) = P(C0 )P(A1 | C0 ) + P(C1 ) P(A1 | C1 ) + P(C2 )P(A1 | C2 ) =
=

=

1 C17C15 16 C18C14 28 C19C13
* 2 + * 2 + * 2
45 C12
45 C12

45 C12

1 35 16 16 28 9
7
256 14 1303
* + * + * =
+
+ =
45 66 45 33 45 22 594 1485 55 2970
Và
P(A 2 ) = P(C0 )P(A 2 | C0 ) + P(C1 ) P(A 2 | C1 ) + P(C2 )P(A 2 | C2 ) =
=

=

1 C72C50 16 C82C04 28 C92C03
* 2 + * 2 + * 2
45 C12
45 C12
45 C12

1 7 16 14 28 6
7
224 56 1477
* + * + * =
+
+
=
45 22 45 33 45 11 990 1485 165 2970
Vậy qui luật phân phối số sản phẩm A được lấy từ lô thứ hai là (kí hiệu X là số sản phẩm A có được)

=

Mail:

1

Mail:

Mr Đức 097 267 0808
X

0

1

2

P

19/297

1303/2970

1477/2970

b) Hàm phân phối xác suất F(x) =P{X≤ x}
*) Nếu x<0 thì F(x)=0
*) Nếu 0≤x<1 thì F(x)=P{X=0}=19/297
*) Nếu 1≤x<2 thì F(x)=P{X=0}+P{X=1}=19/297+1303/2970 =1493/2970
*) Nếu 2≤x thì F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=19/297+1303/2970+ 1477/2970=1
Tóm lại

⎧0
⎪
⎪ 19
⎪
F(x) = ⎨ 297
⎪ 1493
⎪ 2970
⎪1
⎩

nêu x < 0
nêu 0 ≤ x < 1
nêu1 ≤ x < 2
nêu x ≥ 2

Bài 3. Số liệu thống kê về doanh số bán của một cửa hàng như sau :
Doanh số(triệu đồng/ngày)

35-45
45-55
55-65
65-75
75-85
85-95
95-105
105-115
Số ngày
5
15
5
20
25
15
10
5
a) Ước lượng doanh số bán trung bình của cửa hàng với độ tin cậy 99%.
b) Trước đây doanh số bán trung bình của cửa hàng là 70 triệu đồng / ngày. Số liệu bảng trên thu nhập được sau khi cửa hàng
này áp dụng phương pháp bán hàng mới. Hãy cho nhận xét về phương pháp bán hàng mới ấy với mức ý nghĩa 1%.
c) Những ngày có doanh số bán trên 75 triệu đồng là những ngày bán đắt hàng. Hãy ước lượng tỉ lệ những ngày bán đắt hàng ở
cửa hàng này với độ tin cậy 95%.
ϕ(1,96) = 0,4750;ϕ(2) = 0,4772;ϕ(2,32) = 0,4898;
Cho biết
ϕ(2,58) = 0,4951;ϕ(3) = 0,49865;ϕ(x) = 0,5∀x ≥ 5.
Giải.
a) Bước 1.
Gọi X là doanh số bán trung bình của một 1 cửa hàng theo mẫu khảo sát
1
X = ∑ x i n i = 75, 5 (triệu đồng/ngày)

n
2
1
s2 =
x i − X n i ⇒ s = s 2 = 18,3883 ( triệu đồng/ngày)
∑
n −1
γ
Bước 2. Với n = 100 > 30 tra bảng Laplace ta có ϕ z α/2 = ⇔ z α/2 = 2,58
2
s
= 4,7442 ( triệu đồng/ngày)
Bước 3. Tính độ chính xác ε = z α/2
n

(

)

( )

(

)

(

)

Bước 4. Với độ tin cậy 99% thì khoảng ước lượng doanh số bán trung bình của 1 cửa hàng là µ ∈ X ± ε = 70,7558; 80,2442 ( triệu

đồng/ngày)
b) Bước 1.
Gọi µ 0 là doanh số bán trung bình của một cửa hàng trước đây ( µ 0 = 70 ( triệu đồng/ ngày) )
Gọi µ là doanh số bán trung bình của một cửa hàng theo phương thức bán hàng mới

⎧ H : µ=µ
⎪ 0
0
⎨
H
:
µ
≠
µ
⎪⎩ 1
0
Bước 2.

1
x i n i = 75, 5 (triệu đồng/ngày); s = s 2 = 18,3883 ( triệu đồng/ngày)
∑
n
1− α
Bước 3. Với n = 100 > 30 tra bảng Laplace ta có ϕ ( z α/2 ) =
⇔ z α/2 = 2,58
2
Theo câu a) ta có X =

Mail:

2

Mail:

Bước 4. Tính giá trị so sánh Z =
Bước 5. Do Z > z α/2

Mr Đức 097 267 0808

(X − µ )
0

s
nên ta bác bỏ H0.

n = 2,991

Kết luận. Với mức ý nghĩa 1% thì phương thức bán hàng mới đã mang lại hiệu quả.
c)
Bước 1. Gọi fA là tỉ lệ những ngày bán đắt hàng.
m
55
fA = A =
= 0,55
n 100
γ
Bước 2. Tra bảng Laplace ϕ z α/2 = ⇔ z α/2 = 1,96

2

( )

Bước 3. Tính độ chính xác ε = z α/2

fA (1− fA )
= 0,0975
n

(

) (

)

Bước 4. Vậy với độ tin cậy 95% thì tỉ lệ những ngày bán đắt hàng là pA ∈ fA ± ε = 0,4525; 0,6475

Bài 4.
Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại sản phẩm I, II, III với lợi nhuận lần lượt là 2 triệu đồng, 3 triệu đồng, 5 triệu đồng cho mỗi đơn vị
sản phẩm. Để sản xuất 3 loại mặt hàng này cần dùng các loại tài nguyên A, B, C theo tỉ lệ sau đây :
Mỗi sản phẩm I cần 1 kg A, 2 kg B và 3 kg C. Mỗi sản phẩm II cần 2 kg A, 3 kg B và 1 kg C. Mỗi sản phẩm III cần 1 kg A, 4 kg B và
2 kg C. Kho dự trữ hiện có 43 kg B sắp hết hạn sử dụng, 48 kg C trong đó có 27 kg sắp hết hạn sử dụng, 35 kg A. Cần phải sử dụng
hết các tài nguyên sắp hết hạn sử dụng. Người ta phải xác định số sản phẩm I, II, III cần sản xuất để thu được lợi nhuận cao nhất.
Viết bài toán qui hoạch tuyến tính tương ứng với bài toán thực tiễn nêu trên.
Giải.
Gọi x1 ,x 2 ,x 3 lần lượt là số lượng sản phẩm loại I, II, III.
Từ dữ kiện đề bài đã cho ta tóm tắt vào bảng sau:
Sản phẩm
I

II
III
Lượng dự trữ
Tài nguyên
A
1
2
1
35
B
2
3
4
43
C
3
1
2
48
Do yêu cầu của đề bài là phải sử dụng hết các tài nguyên sắp hết hạn sử dụng nên chúng ta có phương trình sau:
2x1 + 3x 2 + 4x 3 = 43;
Ngoài ra trong tổng số 48kg C thì chỉ có 27 kg sắp hết hạn sử dụng nên ta có thể hiểu là số lượng tài nguyên C sẽ phải sử dụng ít nhất
là 27 kg và tối đa là hết 48kg. Mặt khác có 35kg A vẫn còn hạn sử dụng nên từ đây chúng ta có các phương trình sau:
⎧⎪ x1 + 2x 2 + x 3 ≤ 35;
⎨
⎩⎪27 ≤ 3x1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48
Hàm mục tiêu của bài toán là thu được lợi nhuận cao nhất tương ứng
f (x) = 2x1 + 3x 2 + 5x 3 → max .
Khi đó vấn đề thực tiễn của bài toán được phát biểu thành bài toán như sau:
Tìm các biến số x1 ,x 2 ,x 3 sao cho:

f (x) = 2x1 + 3x 2 + 5x 3 → max
Với các điều kiện
⎧2x1 + 3x 2 + 4x 3 = 43,
⎪
⎪ x1 + 2x 2 + x 3 ≤ 35,
⎨
⎪3x1 + x 2 + 2x 3 ≥ 27,
⎪3x + x + 2x ≤ 48
2
3
⎩ 1
x1 ,x 2 ,x 3 ≥ 0
Bài 5.
Giải bài toán :

⎧ x1 + 2x 2 + 3x 3 − x 5 = 7
⎪
x j ≥ 0, j = 1,2,3,4,5,6
f (x) = −2x 2 − x 3 + 3x 5 → max với ràng buộc ⎨−2x 3 + x 4 + 4x 5 = 12
⎪8x − 4x + 3x + x = 10
3
5
6
⎩ 2
Giải.
Mail:

3

Mail:

Mr Đức 097 267 0808

Ta thay f(x) bằng g(x) = - f(x) = 2x 2 + x 3 − 3x 5 → min

(

)

Xuất phát từ PACB x 0 = 7, 0, 0, 12, 0, 10 . Ta xây dựng bảng đơn hình như sau:

7

x1
0
1

x2
2
2

x3
1
3

x4