www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TểM TT Lí THUYT V GII NHANH TON 12
Nguyn Chin - Nguyn Hng Quõn
PHặN 1. HM S
S NG BIN NGHCH BIN CA HM S
x1, x 2 K , x 1 x 2 ( K l khoõng hoc on hoc na khoõng).
y f x ng bin trờn K th i lờn t trỏi sang phõi.
f x f x y f x nghch bin trờn K th i xung t trỏi sang phõi.
Chỳ ý: + N u f x 0, x a;b hm s f x ng bi n tr n khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a; b hm s f x nghch bi n trờn khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a;b hm s f x h ng i trờn khoõng a;b .
+ N u f x ng bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
+ Nu f x nghch bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
1
ai
H
f x1 f x 2
2. Quy tc v cụng thc tớnh ọo hm
iL
ie
u
O
nT
hi
D
2
u v.
Tớch: u.v u .v v .u C .u C .u .
ro
up
s/
Tng, hiu: u v
Ta
Quy tc tớnh o hm: Cho u u x ; v v x ; C : l hỡng s .
u u .v v .u
C
C .u
,
v
0
v2
u2
v
u
o hm hm hp: Nu y f u , u u x yx yu .ux .
.c
om
/g
Thng:
Bõng cụng thc tớnh ọo hm:
ce
bo
ok
ọo hm ca hm s cỗp
C 0
(C l hỡng s).
x .x
w
w
w
.fa
ọo hm ca hm hp
x .x
1
u . u
1
1
1
2 (x 0)
x
x
1
x
x 0
2 x
oc
0
1
1. nh nghùa
1
.u
1
u
2 u 0
u
u
u
u
u0
2 u
sin x cos x
sin u u.cos u
cos x sin x
cos u u.sin u
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
tan x cos1 x
tan u cosu
cot x sin1 x
cot u sin
e e
a a .ln a
ln x x1
e u.e
a u.a .ln a
ln u uu
log x x ln1 a
u
log u u.ln
a
u
x
u
u
x
a
u
u
1
x
2
a
Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc:
a b
a c
x
d f
ax 2 bx c d e
2
dx ex f
dx 2 ex f
e f
2
.
iL
ie
u
o hm cp 2 :
b c
O
nT
ax b
ad bc
. ;
2
cx d
cx d
x2 2
hi
D
x
u
u
oc
0
2
2
ai
H
2
+ nh nghùa: f x f x
Ta
+ í nghùa c hc: Gia tc tc thi cỷa chuyn ng s f t tọi thi im t 0 l:
Nu hm s f x v g x cựng ng bin (nghch bin) tr n K thỡ hm s
ro
up
* Mt s chỳ ý:
s/
a t0 f t0 .
.c
om
/g
f x g x
cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiu
f x g x .
.fa
K thỡ hm s f x .g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th
kh ng ỳng khi cỏc hm s f x , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K.
Cho hm s u u x , xỏc nh vi x a;b v u x c;d . Hm s f u x
cỹng xỏc nh vi x a;b .
Nu hm s f x v g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n
ce
bo
ok
w
w
w
Quy tc xột tớnh n iu ca hm s.
Giõ s hm s f cũ ọo hm trờn K
hm s f ng bin trờn K .
Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K thỡ
Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K
thỡ hm s f nghch bin trờn K .
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chỳ ý:
* i vi hm phõn thc hu tợ y
ax b
d
x thỡ dỗu " " khi xột dỗu ọo
cx d
c
hm y khụng xõy ra.
Giõ s y f x ax 3 bx 2 cx d f x 3ax 2 2bx c.
Trỵng hp 2 thỡ h s c khỏc 0 vỡ khi a b c 0 thỡ f x d
1
oc
0
f x 0; x
a 0
0
a 0 .
b 0
c 0
ai
H
a 0
0
a 0 .
b 0
c 0
hi
D
f x 0; x
Hm s nghch bin trờn
O
nT
Hm s ng bin trờn
iL
ie
u
(ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thỡ kh ng n iu)
* Vi dng toỏn tỡm tham s m hm s c a n iu mt chiu trờn khoõng cũ
di bng l ta giõi nh sau:
Bỵc 1: Tớnh y f x ; m ax 2 bx c.
1
2
s/
*
up
0
a 0
x ; x y 0 cú 2 nghim phõn bit
Ta
Bỵc 2: Hm s n iu trờn
Bỵc 3: Hm s n iu trờn khoõng cũ di bỡng l
2
4x1x 2 l 2 S2 4P l 2
ro
x1 x 2 l x1 x 2
* *
.c
om
/g
Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * suy ra giỏ tr m cổn tỡm.
CC TR HM S
ce
bo
ok
1. nh nghùa
Giõ s hm s f xỏc nh tr n tờp K v x 0 K .
+ x0 l im cc tiu cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a; b cha x 0 sao cho
a; b K v f x f x , x a;b \ x .
Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f .
w
.fa
0
0
0
w
a; b K v f x f x , x a;b \ x .
w
+ x 0 l im cc ọi cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a;b cha x 0 sao cho
0
0
Khi ũ f x 0 ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f .
+ im cc ọi v im cc tiu gi chung l im cc tr.
+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu gi chung l cc tr.
+ im cc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cc tr ca hm s v im
cc tr phõi l mt im trong tờp hp K.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc tr)
ca hm s.
+ Nu x0 l im cc tr cỷa hm s thỡ im x 0 ; f (x 0 ) ỵc gi l im cc tr
ca th hm s f .
2. iu kin cổn hm s ọt cc tr
cũ ọo hm
nh lớ 1: Giõ s hm s y f x ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu y f x
ọo hm f x cú th bỡng 0 tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi
ai
H
oc
0
Chỳ ý:
1
tọi im x 0 thỡ f x 0 0.
im x0 .
Hm s cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
Hm s chợ cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ ọo hm cỷa hm s bỡng 0
hoc tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
3. iu in hm s ọt cc tr
nh lớ 2: Giõ s hm s f ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu hm s f cũ ọo hm tọi
O
nT
hi
D
v f x 0 trờn khoõng
x ; x h thỡ x l m t i m cỵc ai cỷa hm s f x .
N u f x 0 trờn khoõng x h; x v f x 0 trờn khoõng x ; x h thỡ
x l m t i m cỵc ti u cỷa hm s f x .
0
0
0
Ta
0
iL
ie
u
im x 0 thỡ f ' x0 0 . N u f x 0 tr n khoõng x 0 h; x 0
0
0
s/
0
0
up
Quy tc tỡm cc tr
Quy tc 1:
i 1;2;...
Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .
Bc 2: Tỡm cỏc im x i
.c
om
/g
ro
m tọi ũ o hm ca hm s bng 0 hoc
hm s liờn tc nhng khụng cũ o hm.
i du khi i
Bc 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f x . Nu f x
ce
bo
ok
qua x i thỡ hm s ọt cc tr tọi x i .
Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s
Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s
nh lớ 3: Giõ s y f x cú ọo hm cồ p 2 trong khoõng x 0 h; x 0 h vi h 0.
0
f ọt cc ọi tọi x 0 .
0
0
f ọt cc tiu tọi x 0 .
.fa
0
w
w
w
T nh lớ trờn, ta cũ mt quy tc khỏc tỡm cc tr ca hm s
Quy tc 2:
Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .
Bc 2: Tỡm cỏc nghim x i i 1;2;... cỷa phỵng trỡnh f x 0.
Bc 3: Tớnh f x v tớnh f x i .
Nu f x 0 thỡ hm s f
Nu f x 0 thỡ hm s f
i
ọt cc ọi tọi im x i .
i
ọt cc tiu tọi im xi .
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
MT S DNG TON LIấN QUAN N CC TR HM S
I. CC TR CA HM A THC BC BA:
1. Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha món honh cho trc
i to n t ng quat: Cho hm s y f x ; m ax 3 bx 2 cx d. Tỡm tham s m hm
s cú cc ọi, cc tiu tọi x 1, x 2 thúa món iu kin K cho trỵc.
oc
0
1
Phng ph p:
c 1:
Tờp xỏc nh: D .
2
2
ọo hm: y 3ax 2bx c Ax Bx C
c 2:
Hm s cú cc tr (hay cú hai cc tr, hai cc tr phõn bit hay cú cc ọi v cc tiu)
y 0 cú hai nghim phõn bit v y i dỗu qua 2 nghim ũ
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit
iL
ie
u
O
nT
A 3a 0
a 0
m D1.
2
y B 2 4AC 4b 2 12ac 0
b 3ac 0
c 3: Gi x 1, x 2 l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y 0.
hi
D
ai
H
up
s/
Ta
B
2b
x 1 x 2 A 3a
.
Khi ũ:
C
c
x .x
1 2 A 3a
c 4: Bi n i i u ki n K v da ng t ng S v ti ch P . T ú giõi ra tỡm ỵc
m D2 .
ro
c 5: K t luồn cỏc giỏ tr m thúa món: m D1 D2 .
.c
om
/g
* Chỳ ý: Hm s bờc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0 .
2
Ta cú: y ' 3ax 2bx c.
iu kin
Kt lun
Hm s kh ng cũ cc tr.
Hm s cũ hai im cc tr.
b 3ac 0
b 2 3ac 0
ce
bo
ok
2
iu kin hm s cú cc tr cựng du, trỏi du.
Hm s cú 2 cc tr trỏi du
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac 0.
Hm s cú hai cc tr cựng du
w
w
w
.fa
y 0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit cựng dỗu
C
0
P x 1.x 2
A
Hm s cú hai cc tr cựng du dng
y 0
B
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim dỵng phồn bit S x 1 x 2 0
A
C
P x .x
0
1 2
A
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm
1
y ' 0
B
phþĄng trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt S x 1 x 2 0
A
C
P x .x
0
1 2
A
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x 2 thỏa mãn:
oc
0
x1 x 2
x1 x 2
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1 x 2
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1 x 2
2
x x2 0
x .x x1 x 2 0
1
1 2
x x 2 2
x x 2 2
1
1
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1 x 2
iL
ie
u
O
nT
x1 x 2 0 x1.x 2 x1 x 2 2 0
hi
D
ai
H
x1 x 2
s/
PhþĄng trình bêc 3 có 3 nghiệm lêp thành cçp số cộng
b
d
, có 3 nghiệm lêp thành cçp số nhân khi có 1 nghiệm là x 3
.
3a
a
ro
khi có 1 nghiệm là x
up
Ta
2
x x2 0
x .x x1 x 2 0
1
1 2
x x 2 2
x x 2 2
1
1
.c
om
/g
2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng
i tri tương đ i giưa 2 điêm vơi đương th ng:
và đþąng thëng : ax by c 0.
c ax by c 0 thi hai điểm A, B nëm v
ce
bo
ok
Cho 2 đi m A x A; yA , B x B ; yB
N u ax A byA
B
B
hai phía so vĄi đþĄng thëng .
N u ax A byA c ax B byB c 0 thi hai điểm A, B nëm cu ng
phía so vĆi đþĄng thîng .
w
w
w
.fa
Một số trương hơp đ c biêt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 căc trð cùng dçu
phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 căc trð trái dçu
phþĄng trình y 0 có hai nghiệm trái dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT 0
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674
Page | 6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
c bit:
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa trờn i vi trc Ox
y .y 0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa di i vi trc Ox
1
y .y 0
.
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
oc
0
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v yC .yCT 0
hi
D
ai
H
(ỏp dung khi khụng nh m c nghiờm v vit c phng trỡnh ng thng i qua hai
im cc tr ca th hm s)
Hoc: Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
th cớt trýc Ox tọi 3 im phõn bit
O
nT
phỵng tri nh honh giao i m f x 0 co 3 nghi m phõn bi t (ỏp dung khi
nh m c nghiờm)
iL
ie
u
3. Phng trỡnh ng thng qua c c im cc tr
2c 2b 2
y.y
y .y
bc
hoc g x 9ay
hoc g x y
g x
x d
2
3y
9a
9a
3
s/
b 2 3ac
4e 16e 3
vi e
a
9a
up
AB
Ta
Khoõng cỏch gia hai im cc tr ca th hm s c 3 l
II. CC TR CA HM BC 4 TRNG PHNG y ax bx c
4
2
a 0
.c
om
/g
ro
MT S KT QU CặN NH
Hm s cú mt cc tr ab 0.
Hm s cú ba cc tr ab 0.
a 0
.
b 0
a 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú hai cc tiu v mt cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú mt cc tiu v hai cc ọi
.
b 0
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc tiu
4
2
Giõ s hm s y ax bx c cú 3 cc tr: A(0;c), B
b
b
; ,C ;
2a 4a
2a 4a
tọo thnh tam giỏc ABC thúa món d kin: ab 0 .
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
MT S CễNG THC GII NHANH
y
A
O
Cụng thc tha món ab 0
ai
H
D kin
Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A
b 3 8a
b 3 24a
32a 3 (S 0 )2 b 5 0
hi
D
Tam gi{c ABC u
Tam gi{c ABC cú din tớch S ABC S 0
Tam gi{c ABC cú din tớch max (S 0 )
Ta
Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ngoi tip
Tam gi{c ABC cú d|i AB AC n0
ro
.c
om
/g
ce
bo
ok
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ngoi tip
Tam gi{c ABC cú cnh BC kAB kAC
Trc ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh
hai phn cú din tớch bng nhau
.fa
8ab
b 2 6ac
b 3 8a 4ac 0
b 2 2ac
b 3 8a 4abc 0
b 3 8a 8abc 0
b 3 .k 2 8a(k 2 4) 0
Tam gi{c ABC cựng im O to th|nh hỡnh thoi
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ni tip
b 2 4 2 ac
Tam giỏc ABC cũ im cc tr cỏch u trýc honh
b 2 8ac
th hm s C : y ax 4 bx 2 c cớt trýc Ox tọi
w
b 3 8a
b 2 4ac
b(8a b 3 ) 0
Tam gi{c ABC cú trng t}m O
Tam gi{c ABC cú trc t}m O
w
R
16a 2n02 b 4 8ab 0
Tam gi{c ABC cú cc tr B,C Ox
Tam gi{c ABC cú 3 gúc nhn
4 im phồn bit lờp thnh cỗp s cng
nh tham s hỡnh phợng gii họn bi th
4
b3
4 a 1 1
8a
am02 2b 0
up
Tam gi{c ABC cú d|i cnh BC m0
s/
RABC R
w
b2
iL
ie
u
rABC r0
r
b5
32a 3
O
nT
S0
Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ni tip
C : y ax
C
1
x
B
oc
0
Tng quỏt:
b 3
cot
2
8a
2
bx 2 c v trýc honh cũ din tớch
phổn tr n v phổn dỵi bỡng nhau.
b2
100
ac
9
b2
36
ac
5
2
2
c y c
0
b 4a
b 4a
2
2
Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GI TR LN NHầT - GI TR NH NHầT
I. nh nghùa.
Cho hm s y f x xỏc nh trờn tờp D.
f (x ) M , x D
x 0 D, f (x 0 ) M
Kớ hiu: M max f ( x) .
xD
oc
0
f (x ) m, x D
x D, f (x 0 ) m
0
S m gi l giỏ tr nh nht cỷa hm s y f x trờn D nu:
ai
H
Kớ hiu: m min f (x ) .
x D
Bc 1: Tớnh f x v tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n D m tọi ũ f x 0 hoc hm s
O
nT
hi
D
2. Phng phỏp tỡm GTLN,GTNN
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch khõo sỏt trc tip
iL
ie
u
kh ng cũ ọo hm.
+ Bc 2: Lờp bõng bin thi n v ri suy ra giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s.
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt oọn
Bc 1:
Hm s ó cho y f x xỏc nh v liờn týc tr n oọn a;b .
s/
Ta
Tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n trờn khoõng a;b , tọi ũ f x 0 hoc f x
kh ng xỏc nh.
Bc 2: Tớnh f a , f x1 , f x 2 ,..., f x n , f b .
Bc 3: Khi ũ:
up
ro
min f x min f x , f x ,..., f x , f a , f b .
max f x max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b .
.c
om
/g
a ,b
1
a ,b
n
2
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt hoõng
Bc 1: Tớnh ọo hm f (x ) .
Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh
ce
bo
ok
Bc 2:
f (x ) 0 v tỗt cõ cỏc im i (a;b) lm cho f (x ) kh ng xỏc nh.
Bc 3. Tớnh A lim f (x ) , B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) .
x a
x b
So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m min f (x ) .
(a ;b )
.fa
Bc 4.
(a ;b )
w
w
w
Nu giỏ tr ln nht (nhú nht) l A hoc B thỡ kt lun khụng cũ giỏ tr ln nht (nhú nht).
min f x f a
a ;b
+ N u y f x ng bi n trờn a;b thỡ
.
f x f b
max
a ;b
min f (x ) f b
a ;b
.
+ N u y f x nghich bi n trờn a;b thỡ
f (x ) f a
max
a ;b
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
1
S M gi l giỏ tr ln nht cỷa hm s y f x trờn D nu:
Page | 9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
NG TIM CN CA TH HM S
1. ng tim cn ngang
Cho hm s y f (x ) xỏc nh trờn mt khoõng vụ họn (l khoõng dọng
a; , ;b
hoc ; ). ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim
cờn ngang) cỷa th hm s y f (x ) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau thúa món:
lim f (x ) y0, lim f (x ) y0
x
lim f (x ) , lim f (x ) , lim f ( x) , lim f ( x)
x x0
x x 0
Lu ý: Vi th hm phồn thc dọng y
ax b
cx d
c 0; ad bc 0
a
d
v tim cờn ng x .
c
c
lu n cũ tim cờn
O
nT
ngang l y
x x0
hi
D
x x 0
ai
H
th hm s y f ( x) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau ỵc thúa món:
oc
0
2. ng tim cn ng
ỵng thợng x x 0 ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cờn ng) cỷa
iL
ie
u
KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
1. S hõo sỏt hm s
s/
Tỡm tp xỏc nh ca hm s.
S bin thi n
Chiu bin thi n.
i. Tớnh y ' .
up
Ta
Cho hm s y f x .
ro
ii. Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trỡnh y ' 0 v cỏc im tọi ũ y ' khụng
Tỡm cc tr (nu cũ).
Tỡm cỏc gii v cc; cỏc gii họn tọi , v tọi cỏc im m hm s
ce
bo
ok
kh ng xỏc nh.
Tỡm cỏc ỵng tim cờn cỷa hm s (nu cũ).
Lờp bõng bin thi n.
th.
Lit k cỏc im c bit ( im cc ọi, im cc tiu, tồm i xng,)
Xỏc nh giao im cỷa (C) vi Ox, Oy (nu cũ).
V th.
w
w
w
.fa
.c
om
/g
xỏc nh.
iii. Xột dỗu y ' v suy ra cỏc khoõng bin thi n cỷa hm s.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
x
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC:
a 0
a) HÀM SỐ BẬC BA y ax 3 bx 2 cx d
TRƯỜNG HỢP
a0
a 0
Phương trình y 0 có
/
y
y
2 nghiệm ph n iệt
1
1
O
x
1
1
x
y
y
nghiệm kép
ai
H
/
Phương trình y 0 có
oc
0
1
O
1
1
O
iL
ie
u
x
y
y
Ta
nghiệm
s/
1
O
1
x
up
1
x
O
nT
1
O
Phương trình y / 0 vô
hi
D
1
1
.c
om
/g
ro
O
x
b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y ax 4 bx 2 c
TRƯỜNG HỢP
Phương trình y 0 có
ce
bo
ok
/
a 0
a0
a 0
y
y
.fa
3 nghiệm ph n iệt
1
1
1
x
w
w
w
O
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674
Page | 11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
O
1
x
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phng trỡnh y / 0 cú
y
y
1 nghim.
1
1
1
O
x
1
O
ax b
cx d
c 0, ad bc 0
D ad bc 0
Ta
iL
ie
u
O
nT
hi
D
D ad bc 0
ai
H
c) HM S NHầT BIN y
oc
0
1
x
up
khi x 0
ro
Ta cú
f x
y f x
f x
T th C : y f x suy ra th C : y f x .
khi x 0
.c
om
/g
Dọng 1:
s/
MT S PHẫP BIN I TH
l hm chn n n th C nhờn Oy lm trýc i xng.
v y f x
* Cỏch v C t C :
ce
bo
ok
+ Gi nguyờn phổn th b n phõi Oy cỷa th C : y f x .
+ Bú phổn th bờn trỏi Oy cỷa C , lỗy i xng phổn th c gi qua Oy.
suy ra th C : y x 3 x .
Bin i C :
+ Bú phổn th cỷa C bờn trỏi
Oy, gi nguyờn C bờn phõi Oy.
Vớ d: T th C : y f x x 3 3x
y
C : y x
2
3
.fa
w
x
-2
C : y x
y
-1
1
O
x
-2
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
3x
1
O
-1
w
w
+ Lỗy i xng phổn th ỵc
gi qua Oy .
3
Page | 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
3
3x
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
f x 0
f x 0
Däng 2:
Tÿ đồ thð C : y f x suy ra đồ thð C : y f x .
Nội dung:
Ta có:
f x
y f x
f x
khi
khi
* Cách vẽ C từ C :
1
+ Giữ nguyên phæn đồ thð phía tr n Ox cûa đồ thð (C): y f x .
y
C : y x
2
suy ra đồ thð y x 3x .
3
1
x
hi
D
dþĆi
+ Bó phæn đồ thð cûa C
O
-2
Ox , giĂ nguyên C phía trên Ox.
y
+ Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó
qua Ox .
C : y x
iL
ie
u
2
O
1
3
3x
x
Ta
-1
3x
O
nT
Biến đổi C :
-1
3
ai
H
Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y f x x3 3x
oc
0
+ Bó phæn đồ thð phía dþĆi Ox cûa (C), lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.
ta læn lþợt biến đổi 2 đồ thð y f x và y f x
Ví dụ: Tÿ đồ thð
3
3x suy ra đồ thð
3
y
ro
C : y f x x
up
s/
Chú ý vĆi däng: y f x
C : y
2
3
x 3x
C : y x
C : y x
thð C : y x
3 x . Biến đổi
3 x ta đþợc đồ thð
-1
O
1
ce
bo
ok
3
3
.c
om
/g
y x 3 x . Biến đổi C để đþợc đồ
3
3x .
khi u x 0
u x .v x f x
Ta có: y u x .v x
u x .v x f x khi u x 0
* Cách vẽ C từ C :
+ Giữ nguyên phæn đồ thð tr n miền u x 0 cûa đồ thð C : y f x .
+ Bó phæn đồ thð tr n miền u x 0 cûa C , lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.
Tÿ đồ thð C : y u x .v x suy ra đồ thð C : y u x .v x .
w
w
.fa
Däng 3:
w
x
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674
Page | 13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Vớ d
khi x 1
khi x 1
th (C):
+ Gi nguy n (C) vi x 1 .
+ Bú (C) vi x 1 . Lỗy i xng phn
th ú qua Ox.
x 1
x
y
x 1
x 1 x
x 1
khi x ;1
khi x 1;
x
th (C):
vi x 1 ,
+ Bú phổn th cỷa C
vi
gi nguy n C
.
x 1.
+ Lỗy i xng phổn th b bú qua
y
Ox.
y
O
1
iL
ie
u
1
O
nT
(C')
x
1
ra th C : y
x
suy
x 1
oc
0
f x
y x 1 2x 2 x 1
f x
x 1
ai
H
2
b) T th C : y f x
hi
D
suy ra th C : y x 1 2x
a) T th C : y f x 2x 3 3x 2 1
1
x
O
Ta
1
Nhờn xột: i vi hm phồn thc thỡ n n
ly i xng cỏc ng tim cn thc
hin phộp suy th mt cỏch tỵng i
chớnh xỏc.
.c
om
/g
ro
up
Nhờn xột: Trong quỏ trỡnh thc hin phộp
suy th n n ly i xng cỏc im c
it cỷa (C): giao im vi Ox, Oy, C, CT
s/
(C)
x
TIP TUYN
1. Tip tuyn : Cho hm s y f x , cũ th (C). Tip tuyn cỷa
x x y .
Trong ũ: im M x ; y (C ) ỵc gi l tip im. ( vi y f x ).
k f ' x l h s gúc cỷa tip tuyn.
2. iu in tip xỳc: Cho hai hm s C : y f x v C ' : y g x
f x g x
th C v C tip xỳc nhau khi chợ khi h phỵng trỡnh:
cũ nghim.
f x g x
ce
bo
ok
th (C) tọi im M 0 x 0 ; y0 (C ) cũ dọng: y y x 0
0
0
0
0
0
0
0
.fa
0
/
w
/
w
y
w
TNG GIAO TH
y0
Cho hm s y f (x ) cũ th (C 1 ) v y g(x ) cũ th (C2 ) .
Phỵng trỡnh honh giao im cỷa (C 1 ) v (C2 )
x0 O
l f (x ) g(x ) 1 . Khi ũ:
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
x
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
S giao im cỷa (C1 ) v (C 2 ) bỡng vi s nghim
cỷa phỵng trỡnh 1 .
Nghim x 0 cỷa phỵng trỡnh 1 chớnh l
honh x 0 cỷa giao im.
tớnh tung y 0 cỷa giao im, ta thay honh x 0 vo
1
y f x hoc y g x .
Bi toỏn tỡm im c nh ca h ng cong
Xột h ỵng cong (C m ) cũ phỵng trỡnh y f (x, m) , trong ũ f l hm a thc theo
hi
D
1.
ai
H
IM C BIT CA H NG CONG
oc
0
im M x0 ; y0 l giao im cỷa (C 1 ) v (C 2 ) .
O
nT
bin x vi m l tham s sao cho bờc cỷa m khụng quỏ 2. Tỡm nhng im c nh thuc h
ỵng cong khi m thay i?
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: ỵa phỵng trỡnh y f ( x, m) v dọng phỵng trỡnh
iL
ie
u
theo ốn m cũ dọng sau: Am B 0 hoc Am2 Bm C 0 .
+ Bc 2: Cho cỏc h s bỡng 0 , ta thu ỵc h phỵng trỡnh v giõi h phỵng trỡnh:
s/
Ta
A 0
A 0
hoc B 0 .
B 0
C 0
ro
up
+ Bc 3: Kt luờn:
- Nu h v nghim thỡ h ỵng cong (C m ) kh ng cũ im c nh.
- Nu h cũ nghim thỡ nghim ũ l im c nh cỷa (C m ) .
Bi toỏn tỡm im cũ ta nguy n:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) (hm phồn thc). Hóy tỡm nhng im
.c
om
/g
2.
.fa
ce
bo
ok
cũ ta nguy n cỷa ỵng cong?
Nhng im cũ ta nguyờn l nhng im sao cho cõ honh v tung ca
im ũ u l s nguyờn.
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: Thc hin phộp chia a thc chia t s cho mộu s.
+ Bc 2: Lờp luờn giõi bi toỏn.
3. Bi toỏn tỡm im cũ tớnh chỗt i xng:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) . Tỡm nhng im i xng nhau qua mt
w
im, qua ỵng thợng.
w
w
Bi toỏn 1: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C
tỡm nhng cp im
i xng nhau qua im I (x I , yI ) .
Phng phỏp giõi:
+ Gi M a; Aa 3 Ba 2 Ca D , N b; Ab 3 Bb 2 Cb D
l hai im tr n C i
xng nhau qua im I .
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
a b 2x I
.
A(a 3 b 3 ) B a 2 b 2 C a b 2D 2yI
Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M, N.
tỡm
l hai im tr n
C
Trng hp c bit : Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D . Trờn th C
nhng cp im i xng nhau qua gc ta .
Phng phỏp giõi:
Gi M a, Aa 3 Ba 2 Ca D , N b, Ab 3 Bb 2 Cb D
a b 0
.
3
3
2
2
A
(
a
b
)
B
a
b
C
a
b
2
D
0
Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M , N .
i xng nhau qua ng thng d : y A1x B1 .
Phng phỏp giõi:
xng nhau qua ỵng thợng d .
Ta
s/
Ax 0 By0 C
A B
2
2
.fa
w
2
x1
y
2
2
y1
2
ax b
tip tuyn tọi M cớt TC, TCN A v B thỡ M l trung
cx d
Din tớch tam giỏc IAB kh ng i: SIAB
x
.
+ Cho hm phồn thc: y
im cỷa AB.
AB
v ỵng thợng d : Ax By C 0 , thỡ khoõng cỏch t M n d l
ce
bo
ok
h M ;d
.c
om
/g
Cho im M x 0 ; y0
w
i
up
ro
w
C
Bi toỏn tỡm im c bit, hoõng cỏch
Lý thuyt:
+ Cho hai im A x1; y1 ; B x 2 ; y2
l hai im tr n
I d
(1)
(vi I l trung im cỷa MN v u d l vect chợ phỵng
MN .u d 0 (2)
cỷa ỵng thợng d ). Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc M, N.
Ta cú:
4.
iL
ie
u
Gi M a; Aa3 Ba2 Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D
tỡm nhng cp im
O
nT
Bi toỏn 3: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C
hi
D
Ta cú
ai
H
i xng nhau qua gc ta .
2
ad bc .
c2
Cỏc bi toỏn thng gp:
Bi toỏn 1: Cho hm s y
ax b
cx d
c 0, ad bc 0 cũ th C . Hóy tỡm trờn (C )
hai im A v B thuc hai nhỏnh th hm s sao cho khoõng cỏch AB ngn nht.
Phng phỏp giõi:
+
C cũ tim cờn ng x dc
do tớnh chỗt cỷa hm phồn thc, th nỡm v hai phớa
cỷa tim cờn ng. N n gi hai s , l hai s dỵng.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
oc
0
+ Ta cú
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
d
d
d
x A ; yA f (x A ) .
c
c
c
d
d
d
Nu B thuc nhỏnh phõi: x B x B ; yB f (x B ) .
c
c
c
Nu A thuc nhỏnh trỏi: x A
y
2
2
Sau ũ tớnh: AB 2 x B x A
p dýng bỗt ợng thc Cauchy s tỡm ra kt quõ.
B
Bi toỏn 2: Cho th hm s C
yA
2
2
a a yB yA .
cũ phng trỡnh y f (x ) . Tỡm ta im M
thuc (C ) tng khoõng cỏch t M n hai trc ta nhú nht.
Phng phỏp giõi:
Gi M x ; y v tng khoõng cỏch t M n hai trýc ta l d thỡ d x y .
ai
H
Xột cỏc khoõng cỏch t M n hai trýc ta khi M nỡm cỏc v trớ c bit:
Tr n trýc honh, tr n trýc tung.
Sau ũ xột tng quỏt, nhng im M cũ honh , hoc tung ln hn honh
hoc tung cỷa M khi nỡm tr n hai trýc thỡ loọi i kh ng xột n.
Nhng im củn lọi ta ỵa v tỡm giỏ tr nhú nhỗt cỷa thi hm s da vo ọo
hm ri tỡm ỵc giỏ tr nhú nhỗt cỷa d .
Bi toỏn 3: Cho th (C ) cũ phng trỡnh y f ( x) . Tỡm im M trờn (C ) sao cho
iL
ie
u
O
nT
hi
D
khoõng cỏch t M n Ox ng k ln khoõng cỏch t M n trcOy .
Phng phỏp giõi:
f x kx
.
f x kx
y kx
(C )
th
hm
s
y kx
Cho
up
4:
cũ
phng
trỡnh
ax b
c 0, ad bc 0 . Tỡm ta im M trờn (C ) sao cho di MI ngn
cx d
ro
y f ( x)
toỏn
s/
Theo ổu bi ta cũ y k x
Bi
Ta
2
2
d
a
Gi M x M ; yM l im cổn tỡm. Khi ũ: IM x M yM g x M
c
c
S dýng phỵng phỏp tỡm GTLN - GTNN cho hm s g thu ỵc kt quõ.
2
.fa
d
a
; tim cờn ngang y .
c
c
d a
; cỷa hai tim cờn.
Ta tỡm ỵc ta giao im I
c c
Tim cờn ng x
ce
bo
ok
.c
om
/g
nht (vi I l giao im hai tim cn).
Phng phỏp giõi:
Bi toỏn 5: Cho th hm s (C ) cũ phng trỡnh y f (x ) v ng thng
w
w
d : Ax By C 0 . Tỡm im I trờn (C ) sao cho khoõng cỏch t I n d l ngn nht.
w
Phng phỏp giõi:
Gi I thuc (C ) I x 0 ; y0 ; y0 f (x 0 ) .
Khoõng cỏch t I n d l g(x 0 ) h I ; d
Ax 0 By 0 C
A2 B 2
Khõo sỏt hm s y g(x ) tỡm ra im I thúa món y u cổu.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
oc
0
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
PHặN II. M V LOGARIT
LY THA V HM S LY THA.
oc
0
1
1. KHI NIM LY THA.
Ly tha vi s m nguyờn.
Cho n l mt s nguy n dỵng.
Vi a l s thc tựy ý, lỹy tha bờc n cỷa a l tớch cỷa n tha s a .
a n a.a......a ( n tha s).
n
Vi a 0.
Ta gi a l c s, m l mỹ s. V chỳ ý 00 v 0 n kh ng cũ nghùa.
a
a ; (a ) a . ; (ab) a b ;
a
Nu 0 a 1 thỡ a a .
iL
ie
u
a
b
a a
;
b
b
b
a
Nu a 1 thỡ a a ;
Ta
a a a ;
O
nT
+ Mt s tớnh cht ca ly tha
Giõ thuyt rỡng mi biu thc ỵc xột u cũ nghùa:
ai
H
1
an
hi
D
a n
a0 1
.c
om
/g
ro
up
s/
Vi mi 0 a b , ta cú: a m bm m 0 ; a m bm m 0
Chỳ ý:
+ Cỏc tớnh chỗt tr n ỳng trong trỵng hp s mỹ nguy n hoc kh ng nguy n.
+ Khi xột lỹy tha vi s mỹ 0 v s mỹ nguy n ồm thỡ c s a phõi khỏc 0 .
+ Khi xột lỹy tha vi s mỹ kh ng nguy n thỡ c s a phõi dỵng.
Phng trỡnh x n b.
ce
bo
ok
Ta cú kt quõ bin luờn s nghim cỷa phỵng trỡnh xn b nhỵ sau:
Trỵng hp n l:
Vi mi s thc b , phỵng trỡnh cũ nghim duy nhỗt.
Trỵng hp n chùn:
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh v nghim.
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ mt nghim x 0.
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ hai nghim trỏi dỗu, kớ hiu giỏ tr dỵng l
giỏ tr õm l b .
.fa
n
w
Mt s tớnh chỗt ca cn bc n
w
w
Vi a,b ;n
+
+
2n
2n
+ 2n
*
, ta cú:
a 2n
a a ;
+
ab 2n
a 2n
b , ab 0 ;
a
b
a
, ab 0,b 0 ;
2n
b
+
2n 1
a 2n 1 a a .
2n 1
ab 2n 1 a 2 n 1 b a ,b .
2n
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
+ 2n 1
a
b
2n 1
a
2n 1
b
a, b 0 .
Page | 18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
n
b , cũn
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+
+
+
n
a m n a , a 0 , n nguy n dþĄng, m nguyên.
m
n m
a nm a , a 0 , n , m nguy n dþĄng.
Nếu
p q
thì
n m
Đðc biệt:
n
n
a p m a q , a 0, m, n nguy n dþĄng p, q nguyên.
a mn a m .
oc
0
1
2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
Khái niệm.
Hàm số y x , vĆi
, đþợc gọi là hàm số lüy thÿa.
Chú ý.
.
VĆi nguyên âm hoðc bìng 0 , têp xác đðnh là
\0 .
O
nT
VĆi nguy n dþĄng, têp xác đðnh là
hi
D
Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y x tùy thuộc vào giá trð cûa . Cý thể.
VĆi không nguyên, têp xác đðnh 0; .
iL
ie
u
Khảo sát hàm số lũy thừa.
Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y x luôn chĀa khoâng 0;
Ta
s/
y x , 0.
0
ro
2. Să biến thiên
x 0.
.c
om
/g
1
GiĆi hän đðc biệt:
lim x 0,
x 0
lim x .
x
ce
bo
ok
Tiệm cên: không có.
3. Bâng biến thiên.
0
y’
y
2. Să biến thiên
y ' .x 1 0
x 0.
GiĆi hän đðc biệt:
lim x , lim x 0.
x
x 0
Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
Oy là tiệm cên đĀng.
3. Bâng biến thiên.
x
y’
y
0
0
0
w
w
w
.fa
y x , 0.
1. Têp xác đðnh: 0; .
up
1. Têp xác đðnh: 0; .
x
. Trong trþąng hợp tổng quát, ta khâo sát hàm số y x trên khoâng này.
vĆi mọi
y ' .x
ai
H
Xét hàm số y x , vĆi là số thăc cho trþĆc.
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674
Page | 19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
hi
D
ai
H
oc
0
1
Đồ thð của hàm số.
a 0, a 1 .
Khâo sát hàm số mü y ax ,
y ax , a 1
iL
ie
u
y ax , a 1
1. Têp xác đðnh:
2. Să biến thiên.
y ' ax ln a 0, x.
y ' a x ln a 0, x
GiĆi hän đðc biệt:
y'
ce
bo
ok
.c
om
/g
Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.
0
x
y
up
lim a .
x
ro
lim a 0,
s/
GiĆi hän đðc biệt:
x
.
Ta
1. Têp xác đðnh: .
2. Să biến thiên.
x
O
nT
Đồ thð cûa hàm số lüy thÿa y x lu n đi qua điểm I 1;1 .
1
lim a x ,
x
Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.
0
x
0
y
1
a
0
Đồ thð nhþ hình sau.
w
w
w
.fa
Đồ thð nhþ hình sau.
1
y'
a
1
lim a x 0.
x
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674
Page | 20
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LOGARIT V HM S LOGARIT
1. KHI NIM TNH CHầT V QUY TT TNH LOGARIT.
Khỏi nim Logarit.
Cho hai s dỵng a, b vi a 1 . S thúa món ợng thc a b ỵc gi l logarit c s
a cỷa b v ỵc kớ hiu l loga b .
log a b a b.
a
a
a
a .b a
a . b
a
b
a
1
a
s/
*
b
c
loga b loga c loga
up
.log b
loga b loga c loga bc
a ,
a a
a b log b
a
1
iL
ie
u
a.b
a
,b 0
b
, 0 a 1
a
log a b .log a b
ro
loga b
loga b
.c
om
/g
Ta
1
log a b .log a b, a, b 0, a 1
a
a
log a a
a
hi
D
a
ai
H
loga 1 0, 0 a 1
1
log a 1, 0 a 1
log a , 0 a 1
oc
0
O
nT
a 0 1, a 0 .
1
Khụng cũ logarit ca s m v s 0.
Bõng túm tt cụng thc M-loarrit thng gp:
1
.
logb a
a
ce
bo
ok
2. BầT PHNG TRèNH M V LOGARIT.
Bt phng trỡnh m c bn.
x
x
x
Bỗt phỵng trỡnh mỹ c bõn cú dọng a x b (hoc a b, a b, a b ) vi a 0, a 1.
Ta xột bỗt phỵng trỡnh cũ dọng a x b.
Nu b 0 , tờp nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l
x
, vỡ a b, x . .
.fa
Nu b 0 thỡ bỗt phỵng trỡnh tỵng ỵng vi a x a
loga b
.
Vi 0 a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.
w
w
w
Vi a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 21
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ai
H
oc
0
1
Ta minh họa bìng đồ thð sau:
VĆi a 1 , ta cò đồ thð
Ta
iL
ie
u
O
nT
hi
D
VĆi 0 a 1 , ta cò đồ thð
s/
Bất phương trình logarit cơ bản.
Bçt phþĄng trình logarit cĄ bân có däng log a x b (hoðc log a x b,log a x b,log a x b )
ro
Xét bçt phþĄng trình loga x b.
up
vĆi a 0, a 1.
.c
om
/g
Trþąng hợp a 1 , ta có: loga x b x a b .
Trþąng hợp 0 a 1 , ta có: log a x b 0 x ab .
Ta minh họa bìng đồ thð nhþ sau.
VĆi a 1 , ta cò đồ thð sau.
ce
bo
ok
VĆi 0 a 1 , ta cò đồ thð sau.
Quan sát đồ thð, ta thçy rìng:
Trþąng hợp a 1 : log a x b
w
w
w
.fa
khi và chî khi x ab .
Trþąng hợp 0 a 1 :
loga x b khi và chî khi 0 x ab .
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674
Page | 22
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
BI TON LI SUầT NGN HNG
Sn A nAr A 1 nr
n
r%
A
Sn
n
A
hi
D
O
nT
1
Sn
1 r
n
iL
ie
u
Sn A 1 r
S
n log1r n
A
ai
H
oc
0
2. Lói kộp: tin lói cỷa kỡ họn trỵc nu ngỵi gi kh ng rỳt ra thỡ ỵc tớnh vo vn
tớnh lói cho kỡ họn sau.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:
1
1. Lói n: l s tin lói chợ tớnh trờn s tin gc m khụng tớnh trờn s tin lói do s tin
gc sinh ra, tc l tin lói cỷa kỡ họn trỵc kh ng ỵc tớnh vo vn tớnh lói cho kỡ họn
k tip, cho dự n kỡ họn ngỵi gi kh ng n gi tin ra.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói n r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:
ro
up
s/
Ta
3. Tin gi hng thỏng: Mi thỏng gi ỳng cựng mt s tin vo 1 thi gian c nh.
a) C ng thc tớnh: ổu mi thỏng khỏch hng gi vo ngồn hng s tin A ng vi lói
kộp r% /thỏng thỡ s tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n thỏng ( n * ) (
nhờn tin cui thỏng, khi ngồn hng ó tớnh lói) l S n .
1 1 r
A
ce
bo
ok
n
.c
om
/g
A
Sn 1 r
r
S .r
n
n log1r
1
A 1r
Sn .r
1 r 1 r
n
1
w
w
w
.fa
4. Gi ngồn hng v rỳt tin gi hng thỏng:
a) C ng thc tớnh: Gi ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Mi thỏng vo
ngy ngồn hng tớnh lói, rỳt ra s tin l X ng. Tớnh s tin củn lọi sau n thỏng l bao
nhiờu?
Sn A 1 r
1 r
X
n
n
r
1
X A 1 r
n
r
Sn
n
1r 1
5. Vay vn trõ gũp: Vay ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Sau ỳng mt
thỏng k t ngy vay, bớt ổu hon n; hai lổn hon n cỏch nhau ỳng mt thỏng, mi
hon n s tin l X ng v trõ ht tin n sau ỳng n thỏng.
a) C ng thc tớnh: Cỏch tớnh s tin củn lọi sau n thỏng ging hon ton c ng thc tớnh
gi ngồn hng v rỳt tin hng thỏng n n ta cũ
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 23
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1 r
X
n
Sn A 1 r
n
1
r
sau ỳng n thỏng trõ ht n thỡ Sn 0 nờn
1 r
X
n
1
X
A 1r
1 r
n
n
0
1
r
.r
oc
0
A 1r
n
1
hi
D
ai
H
6. Bi toỏn tng lng: Mt ngỵi ỵc lónh lỵng khi im l A ng/thỏng. C sau n
thỏng thỡ lỵng ngỵi ũ ỵc tởng th m r% /thỏng. Húi sau kn thỏng ngỵi ũ lùnh ỵc
tỗt cõ l bao nhiờu tin?
1 r
Ak
k
O
nT
C ng thc tớnh: Tng s tin nhờn ỵc sau kn thỏng l Skn
Xm Xn 1 r
m n
, m, n
,m n
Ta
Trong ũ:
r
iL
ie
u
7. Bi toỏn tng trng dồn s:
C ng thc tớnh tởng trỵng dồn s
1
s/
r % l tợ l tởng dồn s t nởm n n nởm m
X m dồn s nởm m
up
X n dồn s nởm n
8.
.c
om
/g
ro
T ũ ta cũ c ng thc tớnh tợ l tởng dồn s l r %
m n
Xm
Xn
1
Lói ộp li n tc:
Gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /nởm thỡ s tin nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau
n l: S
*
ce
bo
ok
n nởm
n
A 1r
lói v lói suỗt mi kỡ họn l
n
. Giõ s ta chia mi nởm thnh m kỡ họn tớnh
r
% thỡ s tin thu ỵc sau n nởm l:
m
m .n
.fa
r
Sn A 1
m
Khi tởng s kỡ họn cỷa mi nởm l n v cc, tc l m , gi l hỡnh thc lói kộp ti n
S Ae n .r ( c ng thc tởng trỵng mỹ)
w
w
w
týc thỡ ngỵi ta chng minh ỵc s tin nhờn ỵc cõ gc lộn lói l:
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
Page | 24
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
PHặN III.
NGUYấN HM - TCH PHN - NG DNG TCH PHN
xỏc nh tr n K ( K l khoõng, oọn hay na khoõng).
ỵc gi l nguy n hm cỷa hm s f x trờn K
x K . Kớ hiu: f x dx F x C .
Hm s F x
nh lớ:
vi mi
nu F ' x f x
trờn K thỡ vi mi hỡng s C , hm s
G x F x C cỹng l mt nguy n hm cỷa f x trờn K .
2) Nu F x l mt nguy n hm cỷa hm s f x trờn K thỡ mi nguy n hm cỷa
f x trờn K u cũ dọng F x C , vi C l mt hỡng s.
Do ũ F x C ,C l h tỗt cõ cỏc nguy n hm cỷa f x trờn K .
l mt nguy n hm cỷa f x
2. Tớnh chỗt ca nguy n hm
f x dx f x v f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx
Nu F(x) cũ ọo hm thỡ:
d F(x ) F(x ) C
Ta
iL
ie
u
O
nT
hi
D
ai
H
1) Nu F x
kf x dx k f x dx vi k l hỡng s khỏc 0 .
f x g x dx f x dx g x dx
up
s/
thỡ
f g(x ) g '(x )dx f (u)du
.c
om
/g
f (x )dx F(x ) C
ro
Cụng thc i bin s: Cho y f u v u g x .
Nu
F (u) C
3. S tn tọi ca nguy n hm
nh lớ: Mi hm s f x li n týc tr n K u cũ nguy n hm trờn K .
ce
bo
ok
Bõng nguy n hm cỏc hm s thng gp
2. dx x C
1. 0dx C
3. x dx
1
.fa
4.
w
x
w
w
5.
2
1
x 1 C 1
1
dx
1
1
C
x
x dx ln x
C
6. e xdx e x C
7. a xdx
ax
C
ln a
1
1 ax b
16. ax b dx
a 1
c , 1
3x 2 x 3 x
dx
x
dx
1
ln ax b c
18.
ax b a
1
19. eax bdx eax b C
a
1 a kx b
C
20. a kx bdx
k ln a
17.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674
1
nh nghùa: Cho hm s f x
oc
0
I. NGUYấN HM
1. Nguyờn hm
Page | 25
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01