ích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosine fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

TẠ DUY CÔNG

TÍCH CHẬP VỚI HÀM TRỌNG ĐỐI VỚI
PHÉP BIẾN ĐỔI COSINE FOURIER
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
TOÁN CÔNG NGHỆ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Hà Nội - 2010


Mục lục
Lời nói đầu

iii

1 Phép biến đổi tích phân cosine Fourier

1

1.1

Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Nhân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Công thức tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Định nghĩa phép biến đổi tích phân cosine Fourier và các ví dụ 19

1.5

Các tính chất của phép biến đổi tích phân cosine Fourier . . . 21

2 Tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân
cosine Fourier

25

2.1

Tích chập cosine Fourier với hàm trọng trong L(R+ ) . . . . . . 25

2.2

Tích chập cosine Fourier với hàm trọng trong Lpγ,β (R+ ) . . . . 38

2.3

Các bất đẳng thức tích chập cosine Fourier trong Lp (R+ )

3 Một số ứng dụng

. . 43
49

3.1

Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2

Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1

Giải phương trình tích phân hệ số hằng số . . . . . . . 53

3.2.2

Giải phương trình tích phân hệ số hàm số . . . . . . . 57

i

3.3

Giải hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số . . . . . . . . 60

3.4

Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Kết luận

65

Công trình liên quan đến luận văn

66

Tài liệu tham khảo

67

ii


Lời nói đầu
Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân nói chung, cũng như đối với
phép biến đổi tích phân cosine Fourier nói riêng, đã được các nhà toán học
nghiên cứu rất sâu rộng và được ứng dụng để giải quyết một lớp lớn các bài
toán như đánh giá tích phân, tính tổng của một chuỗi, tìm nghiệm của các

phương trình toán lý với dạng biểu diễn nghiệm rất gọn đẹp. Chẳng hạn,
năm 1951, tích chập của hai hàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tích
phân Fourier do Sneddon đề xuất [13]
1
f ∗ g (x) = √
2π

+∞

f (x − t) g(t) dt

(1)

−∞

và đẳng thức nhân tử hóa
F f ∗ g (x) = F f (y) . F g (y),

∀y ∈ R

(2)

Trong cùng năm đó, Sneddon nghiên cứu tích chập cosine Fourier của hai
hàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier
1
f ∗ g (x) = √
Fc
2π

∞

f (t) g(x + t) + g(| x − t |) dt

(3)

0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fc f ∗ g (y) = (Fc f )(y) . (Fc g)(y) ∀y ∈ R+
Fc

(4)

Năm 2004, tích chập với hàm trọng γ = cos y của hai hàm số f (x) và g(x)
trong không gian L(R+ ) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier, đã
iii


được Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa [15] nghiên cứu.
∞

1
f ∗ g (x) = √
2 2π
γ

f (t)[g(x + 1 + t) + g(| x + 1 − t |)+
0

+ g(| x − 1 + t |) + g(| x − 1 − t) |)]dt. (5)

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ

Fc f ∗ g (y) = cos y Fc f (y). Fc g (y),

∀y ∈ R+

(6)

Năm 2010, Nguyễn Thanh Hồng [7], giới thiệu các bất đẳng thức tích chập
cosine Fourier trong không gian Lp (R+ ) và ứng dụng nó để đánh giá nghiệm
của một số phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.
Hiện nay, việc nghiên cứu và ứng dụng tích chập với hàm trọng đối với
phép biến đổi tích phân cosine Fourier vẫn còn là vấn đề mang tính thời sự
trong giải tích Toán học. Trong luận văn này, dưới sự hướng dẫn của PGS.
TS. Nguyễn Xuân Thảo em nghiên cứu tích chập với một lớp hàm trọng liên
quan đến phép biến đổi tích phân cosine Fourier. Luận văn gồm phần lời nói
đầu, 3 chương, kết luận, công trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham
khảo. Trong đó, nội dung chính của luận văn là chương 2 và chương 3.
Chương 1. Phép biến đổi tích phân cosine Fourier, trình bày lại một số
kiến thức cơ bản về tích phân hội tụ, tích phân Dirichlet, nhân Fourier và
công thức tích phân Fourier, từ đó dẫn đến định nghĩa phép biến đổi tích phân
cosine Fourier. Nội dung của chương này chủ yếu được viết theo Sneddon I.
E. [13], tham khảo Titchmarch E. C. [17] và Debnath L. and Debnath D. [4].
Chương 2. Tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosine
Fourier, nghiên cứu tích chập với một lớp hàm trọng γα (y) = cos αy của hai
hàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier trong
iv

không gian L(R+ ). Đây là loại tích chập tổng quát hơn các tích chập do
Sneddon [13], Nguyễn Xuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa [15] đã nghiên cứu.
Phần tiếp theo nghiên cứu tích chập cosine Fourier trong các không gian
Lpγ,β (R+ ). Phần cuối của chương, dành cho trình bày bất đẳng thức tích chập
cosine Fourier trong Lp (R+ ). Kết quả chính của phần này và cũng là một
trong những đóng góp mới của tác giả trong luận văn chính là Định lý 2.7,
Hệ quả 2.2 và Định lý 2.8
Chương 3. Một số ứng dụng. Trong chương này, phép biến đổi tích phân
cosine Fourier và tích chập với hàm trọng được ứng dụng để giải một số
phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân.
Hơn nữa, nghiệm của các phương trình này cũng được đánh giá một cách
rất hiệu quả bằng cách sử dụng các bất đẳng thức tích chập cosine Fourier.
Đóng góp mới của tác giả trong chương này là ứng dụng tích chập với hàm
trọng để giải phương trình tích phân có hệ số hàm số, hệ hai phương trình
tích phân có hệ số hàm số.
Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Xuân
Thảo - người đã quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin ứng dụng,
trường Đại học Bách Khoa Hà Nội cùng các thầy cô tham gia giảng dạy lớp
cao học Toán Công nghệ khóa 2008 - 2010. Đồng thời tôi cũng xin chân thành
cảm ơn các anh chị em trong nhóm seminar Giải tích, bộ môn Toán cơ bản,
trường Đại học Bách Khoa Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu cho
tôi trong quá trình hoàn thiện luận văn này.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế, vì vậy luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo,
các bạn và các độc giả quan tâm đến vấn đề này.
v


Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Học viên

Tạ Duy Công

vi


Chương 1

Phép biến đổi tích phân
cosine Fourier
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về tích phân Fourier, cosine
Fourier và một số kết quả cần thiết cho chương 2 và chương 3.

1.1

Tích phân Dirichlet

Một hàm số f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng
(a, b), nếu
• f (x) chỉ có một số hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn trong khoảng
(a, b) và không có điểm gián đoạn vô hạn.
• f (x) chỉ có một số hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng (a, b)
Rõ ràng, nếu một hàm f (x) liên tục trong khoảng (a, b) và trong khoảng này
chỉ có một số hữu hạn cực đại và cực tiểu thì nó thỏa mãn các điều kiện của
định lý Dirichlet trong khoảng này.
1


Trước khi xem xét tích phân của hàm thỏa mãn điều kiện Dirichlet, ta

xem xét định lý sau đây trong lý thuyết về tích phân hội tụ
∞

f (x) dx hội tụ, thì

Định lí 1.1. Nếu tích phân
0





N
0



f (x) dx

bị chặn với bất kỳ giá trị dương N
Chứng minh. Các bằng chứng khẳng định điều này suy ra từ định nghĩa tích
phân hội tụ của các hàm số với cận trên vô hạn. như vậy
∞

f (x) dx
0

hội tụ, thì tồn tại một số I xác định và số M sao cho N ≥ M
 N




f (x) dx − I  < ε

0

Trong đó, ε là số dương, bé tùy ý. Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau
N

I −ε <

f (x) dx < I + ε
0

Điều này có nghĩa khi N ≥ M thì




N

0



f (x) dx

sẽ nhỏ hơn hai số | I − ε |, | I + ε | . Giả sử thêm rằng, nếu 0 ≤ N ≤ M giá
trị lớn nhất của





N
0



f (x) dx

bằng một số K.
Bây giờ, ta chọn số L lớn hơn hoặc bằng ba số K, | I − ε |, | I + ε | . Khi đó,
bất đẳng thức




N
0



f (x) dx ≤ L
2




đúng đối với mọi N . Điều này có nghĩa là, 

N
0



f (x) dx bị chặn.

Bây giờ, ta quan tâm đến tích phân của các hàm số thỏa mãn các điều kiện
của định lý Dirichlet

Định lí 1.2. Nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng
(a, b), thì các tích phân
b

b

f (x) sin ωx dx

f (x) cos ωx dx

a

(1.1)

a

tiến đến 0 khi ω tiến đến vô cùng
Chứng minh. Trong khoảng (a, b), lấy theo thứ tự các điểm a1 , a2 , . . . , ap mà
tại đó hàm f (x) đạt cực trị, hoặc bị gián đoạn hữu hạn. Thay a bởi a0 và b
bởi ap+1 , ta có

p

b

ar+1

f (x) sin ωx dx =
a

f (x) sin ωx dx
r=0

Trong mỗi khoảng (ar , ar+1 ),

(1.2)

ar

(r = 0, 1, 2, ..., p) f (x) là liên tục, và hoặc là

đơn điệu tăng hoặc là đơn điệu giảm. Vì vậy, ta có thể sử dụng định lý thứ
hai về giá trị trung bình của tích phân
ar+1

ξ

sin ωx dx + f (ar+1 − 0)

f (x) sin ωx dx = f (ar + 0)
ar

ar+1

ar

sin ωx dx
ξ

Trong đó, ξ thuộc khoảng (ar , ar+1 ), và ta sử dụng các ký hiệu sau đây
f (ar+1 − 0) = lim f (ar+1 − y)

f (ar + 0) = lim f (ar + y),
y→0

y→0

với y dương. Vì vậy, ta có thể viết
ar+1

cos ωar − cos ωξ
ω
cos ωξ − cos ωar+1
+ f (ar+1 − 0) .
ω

f (x) sin ωx dx = f (ar + 0) .
ar

3

Do đó
ar+1

lim

ω→∞

f (x) sin ωx dx = 0
ar

Vì số các số hạng bên phải ( 1.2) hữu hạn, nên ta có
p

b

lim

ω→∞

ar+1

f (x) sin ωx dx =
a

lim

f (x) sin ωx dx = 0

ω→∞

r=0

ar

Một kết quả tương tự, khi thay sin ωx bởi cos ωx. Cuối cùng ta có được
b

lim

ω→∞

b

f (x) sin ωx dx = lim
a

ω→∞

f (x) cos ωx dx = 0
a

Cách phát biểu khác của định lý như sau:
Định lí 1.3. Nếu f (x) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet trong khoảng (a, b),
với 0 ≤ a < b, thì


 1 πf (+0), nếu 0 = a < b
b
sin ωx

lim
f (x)
dx = 2
ω→∞ a

x
0,
nếu 0 < a < b

(1.3)

Chứng minh. Trường hợp 1: a > 0. Cũng như chứng minh định lý ( 1.2),
chia khoảng (a, b) thành các khoảng (ar , ar+1 ), r = 0, 1, 2, . . . p, mà trong
các khoảng này hàm f (x) đơn điệu và liên tục. Trên cơ sở định lý thứ hai về
giá trị trung bình, ta có
ar+1
ar

sin ωx
f (x)
dx = f (ar + 0)
x

ξ
ar

sin ωx
dx+
x
ar+1

+ f (ar+1 − 0)
ξ

sin ωx
dx
x

Trong đó ar ≤ ξ ≤ ar+1 . Đặt ζ = ωx, suy ra
ar+1
ar

sin ωx
f (x)
dx = f (ar +0)
x

ωξ
ωar

4

sin ζ
dζ +f (ar+1 −0)
ζ

ωar+1
ωξ

sin ζ

dζ
ζ


Hơn nữa, theo định nghĩa tích phân hội tụ, tồn tại một số M sao cho N1 >
M,

N2 > M , ta có các bất đẳng thức




N1
0

sin ζ
1 
 1
dζ − π  < ε,
ζ
2
2





N2
0

sin ζ
1 
 1
dζ − π  < ε
ζ
2
2

Ở đó, ε là nhỏ tùy ý, và giá trị của tích phân
∞
0

sin ζ
1
dζ = π.
ζ
2

Do đó
N2





N1

sin ζ 

dζ  < ε.

ζ

Nói cách khác, khi N2 > N1
N2

lim

N1 →∞

N1

sin ζ
dζ = 0
ζ

Điều này dẫn đến
ar+1

lim

f (x)

ω→∞

ar

sin ωx
dx = 0
x

Từ đó, ta có
b

lim

ω→∞

a

sin ωx
f (x)
dx =
x

p

ar+1

lim

r=0

ω→∞

f (x)
ar

sin ωx
dx = 0.
x

Trường hợp 2: a = 0. Tương tự chia khoảng (0, b) thành một số các khoảng
như ở phần trên, và đặt a1 là điểm đầu tiên trong các điểm cực đại hoặc cực
tiểu hoặc một điểm của gián đoạn của hàm số f (x). Khi đó, hàm số f (x) là
liên tục trong 0 < x < a1 , trong khoảng này, ta có thể tìm được một giá trị
k cho biến x, ở đó | f (k) − f (0) | nhỏ tùy ý. Hơn nữa, ta có được
b
0

sin ωx
f (x)
dx =
x

k
0

sin ωx
f (x)
dx +
x

5

b

f (x)
k

sin ωx

dx
x

(1.4)


Cũng như trong trường hợp 1, tích phân thứ hai ở vế bên phải của ( 1.4) dần
đến 0 khi ω dần đến vô cùng. Đối với tích phân đầu tiên ở bên vế phải của
( 1.4), theo định lý thứ hai về giá trị trung bình, ta có
k

f (x)
0

ξ

sin ωx
dx = f (+0)
x

sin ωx
dx + f (k)
x

0
k

k
ξ

sin ωx
dx
x
k

sin ωx
dx + [f (k) − f (0)]
x

= f (+0)
0

ξ

sin ωx
dx
x

Suy ra
k
0

sin ωx
f (x)
dx = f (+0)
x

kω
0

sin ζ
dζ
ζ
kω

+ [f (k) − f (0)]
ξω

sin ζ
dζ (1.5)
ζ
∞

Xét đến số hạng thứ hai của ( 1.5) khi ω → ∞. Vì tích phân
0

sin ζ
dζ hội
ζ

tụ, theo định lý 1.1, ta có




kω
0

sin ζ 


dζ  < L,
ζ





ξω
0

sin ζ 

dζ  < L
ζ

Vì vậy




kω
ξω

sin ζ 

dζ  < 2 L
ζ

Bây giờ chọn giá trị k sao cho ta có bất đẳng thức sau
|f (k) − f (0)| <

ε
2L

Trong đó, ε bé tùy ý. Khi đó


[f (k) − f (0)]

kω
ξω

sin ζ 

dζ  < ε.
ζ

Tức là


lim [f (k) − f (0)]

ω→∞

6

kω
ξω

sin ζ 


dζ  = 0
ζ

(1.6)


Từ ( 1.5) và ( 1.6), suy ra
k

lim

ω→∞

0

sin ωx
f (x)
dx = f (+0) lim
ω→∞
x

Ta đã biết

∞
0

kω
0

sin ζ
1
dζ = π f (+0)
ζ
2

(1.7)

1
sin ζ
dζ = π.
ζ
2

Từ ( 1.7) và ( 1.4), ta có
b

lim

ω→∞

f (x)
0

sin ωx
1
dx = π f (+0),
x
2

b > 0

(1.8)

Từ định lý ở trên dẫn đến định lý sau đây:
Định lí 1.4. Nếu hàm số f (x + u) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong a <
u < b, thì
2
lim
ω→∞ π

b

f (x + u)
a

sin ωu
du =
u



f (x + 0) + f (x − 0),






f (x + 0),

=


f (x − 0),






0,

nếu a < 0 < b
nếu a = 0 < b
nếu a < 0 = b
nếu 0 < a < b, a < b < 0

Chứng minh. Nếu 0 ≤ a < b, từ ( 1.3), thay biến x bởi biến u, ta có


 1 πf (+0), nếu 0 = a < b
b
sin ωu
lim
f (u)
du = 2
ω→∞ a

u
0,

nếu 0 < a < b

7


Vì hàm số f (x + u) thỏa mãn điều kiện Drichlet, thay hàm số f (x) bởi hàm
số f (x + u), ta được

1


b
πf (x + 0), nếu 0 = a < b
sin ωu
lim
f (x + u)
du = 2
ω→∞ a

u
0,
nếu 0 < a < b
Nếu a < b ≤ 0, ta có
b
a

sin ωu
f (u)
du = −
u

Do đó

−b

sin ωu
f (−u)
du =
u

−a

−a

f (−u)
−b

sin ωu
du
u


1


b
π f (−0), nếu a < b = 0
sin ωu
f (u)
lim

du = 2
ω→∞ a

u
0,
nếu a < b < 0.

(1.9)

Từ ( 1.9), thay hàm số f (u) bởi hàm số f (x + u), ta được


 1 π f (x − 0), nếu a < b = 0
b
sin ωu
lim
f (x + u)
du = 2
ω→∞ a

u
0,
nếu a < b < 0.
Nếu a < 0 < b thì
b
a

sin ωu
du =
f (u)

u

0
a

sin ωu
f (−u)
du +
u

b

f (u)
0

sin ωu
du.
u

Suy ra
b
a

sin ωu
f (u)
du =
u

−a
0

sin ωu
f (−u)
du +
u

b

f (u)
0

sin ωu
du.
u

Từ ( 1.3), ( 1.9) và ( 1.10), suy ra
b

lim

ω→∞

f (u)
a

sin ωu
1
du = π [f (−0) + f (+0)]
u
2

(1.10)

Tương tự, trong ( 1.10) thay hàm số f (u) bởi hàm số f (x + u), ta có
b

lim

ω→∞

f (x + u)
a

sin ωu
1
du = π [f (x − 0) + f (x + 0)]
u
2

Định lý được chứng minh.
8

(1.11)


1.2

Nhân Fourier

Cho hai hàm số: f (x) là hàm số khả tích trên khoảng (0, ∞) và K(x, y) là

hàm số hai biến có bình phương khả tích, nghĩa là
∞

∞

K 2 (x, y)dx dy = N 2 < ∞
0

0

Khi đó, phép biến đổi tích phân
∞

A {f (x)} = Af (y) =

f (x) K(x, y) dx

(1.12)

0

là một toán tử tuyến tính
Thật vậy, cho hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trong khoảng
(0, +∞) và α, β ∈ R+ , ta có
∞

A {α f (x) + β g(x)} =

[α f (x) + β g(x)] K(x, y) dx
0

∞

=

∞

αf (x) K(x, y) dx +
0

∞

= α

βg(x) K(x, y) dx
0

∞

f (x) K(x, y) dx + β
0

= α A {f (x)} + β A {g(x)}

g(x) K(x, y) dx
0

Trong ( 1.12), hàm số hai biến K(x, y) gọi là nhân của toán tử tuyến tính,
Toán tử A gọi là toán tử biến đổi tích phân hay gọi đơn giản là phép biến
đổi tích phân. Af (y) thường được gọi là ảnh của hàm f (x); y gọi là biến của

phép biến đổi.
Ta có thể chứng minh toán tử tuyến tính A là duy nhất và nếu tồn tại hàm
g(x) sao cho A {f (x)} = A {g(x) } thì với các điều kiện trên suy ra được
f (x) = g(x).
Rất dễ dàng để xác định toán tử tuyến tính ngược A −1 gọi là toán tử ngược
của toán tử tích phân A sao cho chúng thỏa mãn
A {f (x)} = Af (y)

f (x) = A −1 {Af (y)}
9


Bây giờ, nhiệm vụ chính của chúng ta là xác định các toán tử ngược của toán
tử A cụ thể. Những nhận xét ở trên cho thấy rằng, với điều kiện nào đó có
thể tìm nghiệm của phương trình tích phân
∞

Af (y) =

f (x) K(x, y) dx

(1.13)

Af (y) H(x, y) dy

(1.14)

0

dưới dạng sau đây

∞

f (x) =
0

Công thức ( 1.14) cho phép ta tìm hàm f (x) thông qua phép biến đổi của
nó. Ta gọi công thức ( 1.14) là công thức ngược của công thức ( 1.13). Trong
trường hợp đặc biệt, công thức nghiệm ( 1.14) của phương trình ( 1.13) có
dạng

∞

f (x) =

Af (y) K(x, y) dy

(1.15)

0

tức là, khi mối liên hệ giữa hàm và phép biến đổi tích phân của nó đối xứng.
Khi đó hàm số K(x, y) được gọi là nhân Fourier. Đối với trường hợp đặc biệt
này, ta tìm những điều kiện cần thiết để hàm số K(x, y) là nhân của Fourier.
Điều này có nghĩa là có thể tồn tại nhiều công thức ngược. Chúng ta chỉ xét
đến trường hợp đặc biệt khi nhân K(x,y) là hàm số của một biến
K(x, y) = K(y, x) = K(xy)
vì trường hợp này được sử dụng rộng rãi nhất. Các điều kiện để một hàm số
là nhân Fourier sẽ được đưa ra trong định lý sau đây.
Định lí 1.5. Để hàm K(xy) là nhân Fourier thì điều kiện cần là phép biến

đổi Mellin K(s) của hàm K(y) thỏa mãn phương trình sau đây
K(s) . K(1 − s) = 1

10

(1.16)


Ở đây, K(s) là phép biến đổi Mellin của hàm K(x) được định nghĩa cụ thể
như sau

∞

K(y) y s−1 dy

K(s) =

(1.17)

0

Chứng minh. Nhân cả hai vế phương trình ( 1.13) với y s−1 sau đó lấy tích
phân hai vế theo biến y từ 0 đến ∞.
Ta có
∞

∞

Af (y) y

s−1

dy =

0

∞

y
0

s−1

dy

∞

=

f (x) K(xy) dx
0

∞

y s−1 K(xy)dy

f (x)dx
0

0

Đặt xy = η, ta có dη = xdy hay dy = x−1 dη và y s−1 =

η s−1
.
x

Suy ra
∞

∞

y

s−1

K(xy)dy = x

−s

0

η s−1 K(η) dη = x−s K(s)
0

Do đó

∞

∞

Af (y) y

s−1

f (x) x−s dx

dy = K(s)

0

(1.18)

0

Đặt

∞

A(s) =

∞

Af (y) y

s−1

dy

f (x) x−s dx

F (s) =

0

0

Nhận thấy A(s) và F (s) là các phép biến đổi Mellin lần lượt của các hàm
Af (y) và f (x).
Do vậy, công thức ( 1.18) có thể viết thành
A(s) = K(s) F (1 − s)

(1.19)

Mặt khác, nhân hai vế của ( 1.15) với xs−1 và lấy tích phân theo biến x từ 0
đến ∞.
11


Ta có
∞

∞
s−1

f (x) x

dx =

0

∞
s−1

x
0

dx

Af (y) K(xy) dy
0

∞

=

∞

K(xy) xs−1 dx

Af (y) dy
0

0

∞

=

Af (y) y

−s

∞

K(η) η s−1 dη

dy

0

0

Theo định nghĩa phép biến đổi Mellin, ta được
F (s) = A(1 − s) . K(s)
Suy ra
F (1 − s) = A(s) . K(1 − s)

(1.20)

Thay ( 1.20) vào ( 1.19), ta thu được công thức ( 1.16)
K(s) . K(1 − s) = 1
Định lý được chứng minh!
Bây giờ ta xét ví dụ về một hàm K(x) là nhân của phép biến đổi Mellin và
thỏa mãn điều kiện ( 1.16) ở trên.
Xét hàm số K(x) = A . cos x. với A là một hằng số chưa biết. Theo định
nghĩa, ta có
∞
s−1

K(s) = A

x
0

1
cos x dx = A
2

∞

∞
ix

e x

s−1

eix xs−1 dx

dx +

0

0

Ta đã biết, nếu p là số thực dương thì theo định nghĩa, ta có
∞

Γ(s)

ps

e−px xs−1 dx =
0

Nên

∞

1

e±ix xs−1 dx = e± 2 πis Γ(s)
0

12


Do đó ta có dược
K(s) = A cos

sπ
. Γ(s)
2

Suy ra
K(1 − s) = A sin

sπ
. Γ(1 − s)
2

Theo điều kiện ( 1.16) để K(x) là nhân Fourier
sπ
sπ
cos
Γ(s) Γ(1 − s)
2
2

1 = K(s) . K(1 − s) = A2 sin
Vì
Γ(s) Γ(1 − s) = π cosec(sπ)

sin

sπ
1
sπ
cos
= sin(sπ)
2
2
2

2
1
.
Do vậy, πA2 = 1. Suy ra A =
2
π

Điều này cho biết nghiệm của phương trình
Fc (y) =

2
π

∞

f (x) cos yxdx

(1.21)

Fc (y) cos xydy

(1.22)

0

có dạng dưới đây
f (x) =

2
π

∞
0

Rõ ràng, hàm số Fc (y) được xác định bởi ( 1.21) là phép biến đổi tích phân
của hàm f (x). Nếu nghiệm ( 1.22) là đúng, thì khi đó mối quan hệ giữa hàm
f (x) và biến đổi tích phân Fc (y) của nó là đối xứng, nói cách khác, f (x) là

phép biến đổi tích phân của hàm Fc (y). Ta cần chú ý, ngay cả khi K(s) là
nhân Fourier vẫn không thể khẳng định công thức ngược ( 1.22) đúng. Các
tính toán trên chỉ cho biết về khả năng có hiệu lực của công thức này, nhưng
không cung cấp bằng chứng về tính chính xác của nó. Ta sẽ tiếp tục xem xét
vấn đề này trong một số mục sau này.

13


1.3

Công thức tích phân Fourier

Xuất phát từ các đẳng thức ( 1.21) và ( 1.22), ta nhận thấy rằng nhất định
có thể tìm được hàm f (x) trong tích phân sau đây
2
f (x) =
π

∞

∞

dy

f (η) cos yη cos xy dη

0

(1.23)

0

Theo lý thuyết của chuỗi Fourier và nếu hàm f (x) thỏa mãn điều kiện nào đó
trong khoảng (0, l) thì có thể biểu diễn hàm số f (x) thành một chuỗi Fourier.
l

1
f (x) =
l

0

∞

2
f (η) dη +
l

l

nπx
cos
l
n=1

f (η) cos
0

nπη

dη
l

(1.24)

∞

Chúng ta giả sử nếu l là đủ lớn tích phân

f (η) dη hội tụ, số hạng đầu
π
tiên bên vế phải của ( 1.24) rất nhỏ và do đó có thể bỏ qua. Đặt δα = . Ta
l
có thể viết
0

2
l

∞

nπx
cos
l
n=1

l

f (η) cos
0

nπη
dη
l

∞

2δα
=
π

π
δα

f (η) cos(nηδα) dη

cos(nxδα)
0

n=1

2
=
π

∞

π
δα

f (η) dη
0

cos[x(nδα)] cos[η(nδα)] δα
n=1

Chúng ta giả sử rằng chuỗi này hội tụ tới một giới hạn nào đó khi l tiến đến
vô cực, nghĩa là, l → ∞ suy ra, δα → 0. Chúng ta nhận được giới hạn sau
đây

∞

2
π

∞

dy
0

f (η) cos yη cos xy dη
0

Thay giới hạn này vào ( 1.24), ta được công thức ( 1.23). Tương tự như vậy,
nếu đưa vào chuỗi Fourier
1
f (x) =
2l

l

1
f (η) dη +
l
−l

∞

l

f (η) cos nπ
n=1

14

−l

η−x
dη
l


Cho l → ∞, ta thu được công thức
1
f (x) =
π

∞

∞

f (η) cos y(η − x) dη

dy
−∞

(1.25)

−∞

Cần lưu ý rằng những lập luận dẫn đến công thức ( 1.25) không thật sự chặt
chẽ . Trong thực tế, ta nhận ngay ra rằng có thể không được chính xác cho
tất cả các hàm số. Chẳng hạn, nó không chính xác khi f (x) là hằng số, trong
trường hợp này tích phân theo η là không xác định.
Công thức ( 1.25) được thành lập với các giả thiết chung chung đối với hàm
f (x). Bây giờ, từ các dẫn chứng về xây dựng công thức tích phân tổng quát
ở trên, ta sẽ tìm một số điều kiện cho hàm f (x) để công thức ( 1.25) đúng
cho một lớp hàm nhất định, nhưng khá rộng và bao gồm hầu hết các hàm
thường gặp trong toán học ứng dụng. Để giải quyết vấn đề này, dựa trên các
kết quả ( 1.9) và ( 1.10) trong định lý 1.4, ta xây dựng định lý tích phân
Fourier dưới đây.
Định lí 1.6. Nếu f (x) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet trong khoảng −∞ <
∞

x < ∞ và tích phân

f (x) dx hội tụ tuyệt đối thì
−∞

1

π

∞

∞

dy
−∞

1
f (η) cos y(η − x) dη = [f (x + 0) + f (x − 0)]
2
−∞

(1.26)

Chứng minh. Ta có thể viết
∞

m

cos y(η − x) dy −

f (η) dη
0

0
m

k

=
0

0

∞

+

cos y(η − x) dy −

f (η) dη
k

0

0
k

f (η) cos y(η − x) dη +

dy
0

m

f (η) cos y(η − x) dη

dy

0
m

cos y(η − x) dy −

f (η) dη

∞

m

0

m

f (η) cos y(η − x) dη

dy
0

∞

k

∞

∞

| f (x) | dx hội

f (x) dx hội tụ tuyệt đối, tức là tích phân

Tích phân
−∞

−∞

15


tụ. Vì vậy, tồn tại một số K sao cho




∞
k


ε

| f (η) | dη  <
2m

Với mọi k > K và ε bé tùy ý
∞

m








f (η) cos y(η − x) dη 

dy
0

k

∞

m

≤

dy
0

k

1
| f (η) | dη < ε,
2

k>K

Tương tự

∞





m

f (η) dη
k

0



=



cos y(η − x) dy 
∞

sin nη 
 1
f (η + x)
dη  <
η
k
k−x

∞

| f (η + x) | dη <
k

ε
2k

Vì vậy, cho m lớn tùy ý, chúng ta có thể chọn được K lớn tùy ý, sao cho
∞

m

cos y(η − x) dy−

f (η) dη
0

0

∞

m

−

f (η) cos y(η − x) dη <

dy
0

0

1 1
ε
+1 < ε
2 k

Nói cách khác
∞

lim

m→∞

m

cos y(η − x) dy

f (η) dη
0

0

∞

m

= lim

m→∞

f (η) cos y(η − x) dη (1.27)

dy
0

0

Tương tự, ta có
0

lim

m→∞

m

cos y(η − x) dy

f (η) dη
−∞

0
m

= lim

m→∞

0

f (η) cos y(η − x) dη (1.28)

dy
0

16

−∞


Từ ( 1.27) và ( 1.28), suy ra
∞

lim

m→∞

m

cos y(η − x) dy

f (η) dη
−∞

0

∞

m

= lim

f (η) cos y(η − x) dη (1.29)

dy

m→∞

−∞

0

Từ công thức ( 1.10) của định lý 1.4, thay hàm f (x) bởi hàm f (x + u), ta
được
1
1 ∞
sin mu
[f (x + 0) + f (x − 0)] = lim
f (x + u)
du
m→∞ π −∞
2
u
1 ∞
sin m(η − x)
= lim
dη
f (η)

m→∞ π −∞
η−x
m
1 ∞
f (η) dη
cos y(η − x) dy (1.30)
= lim
m→∞ π −∞
0
Thay ( 1.29) vào ( 1.30), được
∞

m

1
1
[f (x + 0) + f (x − 0)] = lim
m→∞ π
2

f (η) cos y(η − x) dη

dy
−∞

0

Tức là
1
1

[f (x + 0) + f (x − 0)] =
2
π

∞

∞

f (η) cos y(η − x) dη

dy

(1.31)

−∞

0

Công thức ( 1.31) được biết đến như công thức tích phân Fourier. Nếu hàm
số f (x) liên tục tại điểm x thì f (x + 0) = f (x − 0) = f (x). Khi đó công thức
( 1.31) có dạng sau
1
f (x) =
π

∞

∞

f (η) cos y(η − x) dη

dy
0

(1.32)

−∞

Có hai dạng đặc biệt quan trọng của công thức tích phân Fourier ( 1.31). Nếu
f (x) được định nghĩa trong khoảng 0 < x < ∞, thì có thể mở rộng định nghĩa
17


của hàm f (x) trong khoảng −∞ < x < 0, bằng cách đặt hàm f (x) = f (−x)
với x thuộc khoảng −∞ < x < 0. Trong trường hợp này chúng ta có
1
π

∞

∞

f (η) cos y(η − x) dη

dy
−∞

0

∞

1
=
π

∞

f (η) cos y(η − x) dη

dy
0

0

1
+
π

∞

0

f (η) cos y(η − x) dη

dy
−∞

0

Mà

∞

0

f (η) cos y(η − x) dη =

f (−η) cos y(−η − x) dη

−∞

0

∞

=

f (η) cos y(η + x) dη
0

Suy ra
1
π

∞

∞

f (η) cos y(η − x) dη

dy

0

−∞

1
=
π

∞

∞

f (η) [cos y(η − x) + cos y(η + x)] dη

dy
0

0

2
=
π

∞

∞

cos yx dy
0

f (η) cosyη dη
0

Vì vậy, đẳng thức ( 1.32) có thể viết như sau
2
f (x) =
π

∞

∞

cos yx dy
0

f (η) cosyη dη

(1.33)

0

Công thức ( 1.33) gọi là công thức tích phân cosine Fourier. Quan sát công
thức này, ta nhận thấy
Fc (y) =

∞

2
π

f (η) cos yηdη,

y>0

(1.34)

0

chính là phép biến đổi tích phân của hàm số f (x) và hàm số f (x) được xác
định bởi
f (x) =

2
π

∞

Fc (y) cos xydy,
0

18

x>0

(1.35)