Mô hình toán học đánh giá xác suất phá sản cho các công ty bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
————————

NGUYỄN XUÂN TÙNG

MÔ HÌNH TOÁN HỌC ĐÁNH GIÁ
XÁC SUẤT PHÁ SẢN CHO CÁC CÔNG TY BẢO HIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
————***————
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

MÔ HÌNH TOÁN HỌC ĐÁNH GIÁ
XÁC SUẤT PHÁ SẢN CHO CÁC CÔNG TY BẢO HIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. BÙI KHỞI ĐÀM
Học viên
: NGUYỄN XUÂN TÙNG
Số hiệu học viên
: CB101116
Lớp
: 2010BTT-KH

Hà Nội - 2012


Mục lục
Lời cam đoan

iii

Danh sách các ký hiệu, các chữ viết tắt

iv

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

v

Lời cảm ơn

vi

Lời giới thiệu

vii

1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG
1.1 Phân phối mũ . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phân phối Poisson . . . . . . . . . .
1.3 Một số phân phối khác . . . . . . . .
1.3.1 Phân phối Gamma . . . . . .

1.3.2 Phân phối Erlang . . . . . . .

GẶP
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

2 QUÁ TRÌNH BỒI HOÀN
2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Trường hợp Erlang . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định lý (luật 0-1 của sự bùng nổ)
2.2.2 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Đặc tính của phân phối mũ . . . . . . .
2.3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . .
i

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

1
1
3
4
4
6

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
9
10
10
10
11
12
12
13
14
15


2.3.2
2.3.3
2.3.4

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 QUÁ TRÌNH SỐ VỤ BỒI HOÀN
3.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định lý . . . . . . . . . .
3.1.2 Bổ đề . . . . . . . . . . .
3.1.3 Bổ đề . . . . . . . . . . .
3.1.4 Bổ đề . . . . . . . . . . .
3.1.5 Hệ quả . . . . . . . . . . .
3.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . .

3.2 Trường hợp Erlang . . . . . . . .
3.2.1 Bổ đề . . . . . . . . . . .
3.3 Đặc điểm của quá trình Poisson .
3.3.1 Bổ đề (Chuẩn đa thức) . .
3.3.2 Định lý . . . . . . . . . .
3.3.3 Hệ quả . . . . . . . . . . .
3.3.4 Định lý . . . . . . . . . .
3.3.5 Định lý( Dự đoán) . . . .
3.3.6 Hệ quả . . . . . . . . . . .
3.3.7 Định lý . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4 QUÁ TRÌNH DỰ TRỮ VÀ VẤN ĐỀ PHÁ SẢN
4.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Ước lượng xác suất phá sản . . . . . . . . . . .
4.1.3 Đo lường rủi ro với ước lượng xác suất thiệt hại
4.1.4 Các kết quả đã có trước . . . . . . . . . . . . .
4.2 Các kết quả thu được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Tiệm cận chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

16
17
17

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

18
18
19
20
21
21
22
22

23
23
25
25
28
29
29
41
42
42

.
.
.
.
.
.
.
.
.

45
45
45
46
49
50
51
51
51

53


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan tất cả nội dung trong luận văn này là hoàn toàn do
tôi viết.
Học viên : Nguyễn Xuân Tùng
Lớp

iii

: 2010BTT-KH


Danh sách các ký hiệu,
các chữ viết tắt
χA Hàm chỉ tiêu của A
B(R) Tập Borel trên R
P(α) Phân phối Poisson với tham số α
Exp(α) Phân phối mũ với tham số α
Ga(α, n) Phân phối Gamma với tham số α, n
{Nt }t∈R+ quá trình số vụ bồi hoàn
{Tn }n∈N0 quá trình bồi hoàn
{Wn }n∈N quá trình chờ bồi hoàn
N0 Tập {0, 1, 2, ...}
N Tập {1, 2, ...}
#A số phần tử của tập A
χA Hàm chỉ tiêu của tập A
δa Hàm dirac tại a
Λ Độ đo Lebesgue trên B(R)

iv


Danh mục các hình vẽ,
đồ thị
Hình 1.1: Phân phối mũ với λ = 0, 5, λ = 1, 0 và λ = 1, 5
Hình 1.2: Phân phối hình học với p = 0, 2; p = 0, 5 và p = 0, 8
Hình 1.3: Phân phối Poisson với λ = 3, 5 và phân phối nhị thức với
n = 35; p = 0, 1
Hình 1.4: Phân phối Gamma với một số tham số α, n.
Hình 3.1: Quá trình bồi hoàn và quá trình số vụ bồi hoàn
Hình 3.2: Quá trình bồi hoàn và quá trình số vụ bồi hoàn
Hình 3.3: Quá trình bồi hoàn và quá trình số vụ bồi hoàn

v


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
PGS.TS. Bùi Khởi Đàm, thầy hướng dẫn tôi, người đã rất tận tình chỉ
bảo và đưa ra nhiều chỉ dẫn quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn thể các thầy cô trong Viện
Toán ứng dụng và Tin học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập tại Khoa.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập và quá trình hoàn thành luận văn.
Học viên : Nguyễn Xuân Tùng
Lớp

vi

: 2010BTT-KH


Lời giới thiệu
Trong nhiều năm gần đây kinh doanh bảo hiểm vẫn là một lĩnh vực
kinh doanh sôi động và đầy tiềm năng. Ở nước ta, ngành bảo hiểm đã
phát triển khá mạnh. Đã có nhiều mô hình toán học được áp dụng trong
lĩnh vực kinh doanh này. Một trong những vấn đề cốt yếu nhất mà các
công ty bảo hiểm quan tâm, đó chính là xác định giá trị mà công ty bảo
hiểm phải chi trả cho các vụ bồi hoàn. Nói một cách khác, công ty bảo
hiểm quan tâm đến mức độ thiệt hại (rủi ro) mà mình có thể gặp phải.
Với mục đích này, luận văn thạc sĩ khoa học của tôi với đề tài "Mô
hình toán học đánh giá xác suất phá sản cho các công ty bảo
hiểm" sẽ giúp cho bạn đọc một cách nhìn về vấn đề thiệt hại trong
ngành bảo hiểm.
Luận văn trình bày một bài toán rất quan trọng mà các công ty bảo
hiểm quan tâm. Với một số vốn kinh doanh ban đầu là x, c là phí bảo
hiểm mà các công ty nhận được từ phía khách hàng (người tham gia bảo
hiểm), S(t) giá trị bồi hoàn tổng thể mà công ty bảo hiểm phải chi trả
tại thời điểm t, chúng ta quan tâm đến việc xác định xác suất thiệt hại(
xác suất phá sản):
ψ(x) = P (x + ct − S(t) < 0, t > 0)
(Ở đây, ψ(x) đo lường xác suất phá sản của công ty bảo hiểm). Việc xác
định xác suất phá sản có một ý nghĩa rất quan trọng trong hoạt động
kinh doanh của công ty bảo hiểm.
Trong luận văn của mình, tôi đã đưa ra mô hình toán học cho quá
trình bồi hoàn, quá trình số vụ bồi hoàn và xác suất thiệt hại của công

ty bảo hiểm.
vii


Nguyễn Xuân Tùng
Luận văn được chia làm 4 chương:
Chương 1: Các phân phối xác suất thường gặp. Chương này trình
bày các phân phối xác suất thường gặp trong quá trình bồi hoàn, quá
trình số vụ bồi hoàn.
Chương 2: Quá trình bồi hoàn.
Chương 3: Quá trình số vụ bồi hoàn.
Chương 4: Quá trình dự trữ và vấn đề phá sản.
Do thời gian có hạn cũng như kiến thức còn nhiều hạn chế nên
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được
sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn. Tôi hy vọng sau khi tốt
nghiệp sẽ có điều kiện tiếp tục nghiên cứu vấn đề này sâu hơn.

Hà Nội, tháng 4 năm 2012
Nguyễn Xuân Tùng

viii


Chương 1

PHÂN PHỐI XÁC
SUẤT THƯỜNG GẶP
Mục đích chính của chương này là đưa ra một số phân phối xác suất
được dùng trong mô hình bài toán sẽ đề cập ở những chương sau.

1.1

Phân phối mũ

Phân phối mũ với tham số λ là phân bố xác suất liên tục tuyệt đối
trên R cho bởi hàm mật độ sau:
f (x) =

λe−λ
0

khi x > 0
khi x ≤ 0

(1.1)

Hàm phân bố xác suất F của phân bố này như sau:
F (x) =

1 − e−λx
0

khi x > 0
khi x ≤ 0

(1.2)

Phân bố mũ được xem như dạng dạng liên tục của phân bố hình học.
(Ở đây, biến X tuân theo phân phối hình học được cho bởi công thức
P (X = k) = (1 − p)k−1 p, tham số p, mọi k ∈ N.) Phân phối hình học

là dạng rời rạc còn phân phối mũ là liên tục, nhưng hàm phân phối xác
suất của hai phân bố này có dáng điệu tương tự nhau.
1


Nguyễn Xuân Tùng

Hình 1.1: Phân phối mũ với λ = 0, 5, λ = 1, 0 và λ = 1, 5

Đồ thị 1.1 biểu diễn hàm mật độ của phân phối mũ tương ứng với
3 trường hợp λ = 0, 5, λ = 1, 0 và λ = 1, 5 và đồ thị 1.2 biểu diễn hàm
mật độ tương ứng của phân phối hình học với tham số p = 0, 2; p = 0, 5
và p = 0, 8.
Phân phối mũ có thể được dùng trong những mô hình xác suất cho
những biến ngẫu nhiên kiểu "khoảng cách giữa hai lần xuất hiện", ví
dụ như: khoảng cách thời gian giữa 2 lần xuất hiện của 1 vụ bồi hoàn,
khoảng cách thời gian giữa 2 cuộc gọi điện đến tổng đài,..v.v
Những tính chất quan trọng của phân phối mũ, X ∼ Exp(λ)
• E[X] =

1
1
và V (X) = 2 .
λ
λ

• Tính không nhớ (hay tính chất không có trí nhớ):
P (X > s + t|X > s) = P (X > t)
với mọi s, t ≥ 0. Đây là một trong những tính chất quan trọng và
rất đặc biệt của phân phối mũ. Tính chất này sẽ được đề cập tới

trong những chương sau.

2


Nguyễn Xuân Tùng

Hình 1.2: Phân phối hình học với p = 0, 2; p = 0, 5 và p = 0, 8

1.2

Phân phối Poisson

Một biến ngẫn nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham
số λ > 0, nếu mọi giá trị của nó là những số nguyên không âm, với mọi
k ∈ Z+ ta có:
λk −λ
P (X = k) = e
(1.3)
k!
Phân bố Poisson là giới hạn của phân bố nhị thức với tham số p =
λ/n, khi n tiến ra vô cùng. Thật vậy, ta có:
Cnk (λ/n)k (1 − λ/n)n−k =
=

λk n(n−1)...(n−k+1)
(1
k!
nk

Khi n → ∞ thì
do đó:

lim

− λ/n)n−k

− λ/n) (1 − λ/n)

n(n−1)...(n−k+1)
(1
nk

n→∞

n!
k
k!(n−k)! (λ/n) (1
n
−k

Cnk (λ/n)k (1

− λ/n)−k → 1 và (1 − λ/n)n → e−λ ,
n−k

− λ/n)

λk −λ
= e

k!

.
Đồ thị 1.3 minh họa trong trường hợp λ = 3, 5; n = 35; p = 0, 1.
Những tính chất quan trọng của phân phối Poisson, X ∼ P(λ)
3


Nguyễn Xuân Tùng

Hình 1.3: Phân phối Poisson với λ = 3, 5 và phân phối nhị thức với
n = 35; p = 0, 1

• E[X] = λ và V (X) = λ
• Xi ∼ P(λi ), Xi độc lập thì
N

N

Xi ∼ P(

Y =

λi )
i=1

i=1

Quá trình Poisson là một trong những quá trình nền tảng và quan
trọng nhất trong lí thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Trong phần sau ta

mô hình quá trình đếm như một quá trình Poisson thuần nhất.

1.3
1.3.1

Một số phân phối khác
Phân phối Gamma

Biến ngẫu X có phân phối Gamma với tham số α > 0, n > 0 được ký
hiệu là X ∼ Ga(α, n). Khi đó, hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là
f (x; α, n) = x

4

α−1

e−x/n
nα .Γ(α)


Nguyễn Xuân Tùng

Hình 1.4: Phân phối Gamma với một số tham số α, n.

Hàm phân bố tích lũy tương ứng là
x

x

α−1

f (u; α, n)du =

F (x, α, n) =
0

u

e−u/n
du
nα .Γ(α)

0

với x > 0 và α, n > 0. Ở đây, Γ(α) = (α − 1)!
Trong trường hợp α là số nguyên, ta có
k−1

F (x, α, n) = 1 −
i=1

(nx)i −nx
e
i!

Đồ thị 1.4 minh họa hàm mật độ của phân phối Gamma với một số
tham số α, n cụ thể.
Những tính chất quan trọng của phân phối Gamma, X ∼ Ga(α, n)
• E[X] = αn và V (X) = αn2
N

• Nếu Xi ∼ Ga(αi , n) với Xi độc lập thì

N

Xi ∼ Ga(
i=1

i=1

• Nếu X ∼ Ga(α, n) thì kX ∼ Ga(α, kn) với mọi k > 0.
5

αi , n).


Nguyễn Xuân Tùng

1.3.2

Phân phối Erlang

Phân bố Erlang là trường hợp đặc biệt của phân phối Gamma khi ta
giới hạn tham α là số nguyên.
Biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Erlang sẽ có hàm mật độ
tương ứng là
xα−1 nα e−nx
f (x; α, n) =
(α − 1)!
với x, n ≥ 0.

Hàm mật độ phân phối tích lũy là
F (x, α, n) =
Ở đây, hàm γ(s, x) =

γ(α, nx)
(α − 1)!

x s−1 −t
e dt.
0 t

Ta có:
E[X] = λ/n và V (X) = λ/n2 .
Phân phối mũ chính là sự đơn giản hóa của phân phối Erlang khi ta
cho tham số α = 1.

6


Chương 2

QUÁ TRÌNH BỒI
HOÀN
2.1

Mô hình

Trong chương này chúng ta sẽ quan tâm đến quá trình bồi hoàn- quá
trình chi trả bảo hiểm khi có sự kiện bảo hiểm xảy ra. Ở đây ta quan
tâm đến một danh mục các rủi ro được bảo hiểm bởi một công ty bảo

hiểm. Khi xảy ra những rủi ro đối với người tham gia bảo hiểm sẽ nảy
sinh các vụ bồi hoàn. Người tham gia bảo hiểm phải trả một khoản phí
cho các công ty bảo hiểm được gọi là phí bảo hiểm, ngược lại một công
ty bảo hiểm sẽ bồi thường cho người tham gia bảo hiểm khi có thiệt hại
xảy ra. Danh mục đó có thể bao gồm nhiều rủi ro hoặc chỉ có một rủi
ro đơn lẻ.
Chúng ta cho rằng công ty bảo hiểm chỉ quan tâm đến hiệu suất tổng
thể của danh mục đầu tư, nghĩa là số tiền còn lại của phí bảo hiểm sau
khi trừ đi tổng số tiền đã chi trả cho tất cả các vụ bồi hoàn rủi ro. Tất
nhiên, điều mà các công ty bảo hiểm mong muốn đó là con số thặng dư
vượt quá hiệu của phí bảo hiểm và tổng số tiền bồi hoàn. Trong trường
hợp mà danh mục bao gồm một vài rủi ro, thì công ty bảo hiểm không
quan tâm đến rủi ro loại nào trong danh mục đã gây nên vụ bồi hoàn
cụ thể.
Chúng ta giả định rằng trong danh mục các vụ bồi hoàn xảy ra một
7


Nguyễn Xuân Tùng
cách ngẫu nhiên trong khoảng thời gian vô hạn bắt đầu từ thời điểm
t = 0. Với 2 giả định như sau:
- Không có vụ bồi hoàn nào xảy ra tại thời điểm t = 0.
- Không có 2 vụ bồi hoàn xảy ra đồng thời.
Hai giả sử trên là chấp nhận được, khi danh mục nhỏ thì giả sử không
có 2 vụ bồi hoàn xảy xa đồng thời không thể hiện một vấn đề nghiêm
trọng, tuy nhiên khi danh mục lớn, nó phụ thuộc vào các loại bảo hiểm,
trên cơ sở cân nhắc liệu giả định đó có thể chấp nhận được không. Trong
trường hợp khi giả định không có 2 vụ bồi hoàn này xảy ra đồng thời
không được chấp nhận, ta có thể thay đổi một chút trong cách nhìn
nhận vấn đề, cụ thể ta quan tâm đến các sự kiện bồi hoàn thay cho các

vụ bồi hoàn đơn lẻ. Số lượng các vụ bồi hoàn đơn xảy ra trong một sự
kiện bồi hoàn tiền có thể được hiểu là giá trị của sự kiện bồi hoàn.
Bây giờ, chúng ta chuyển đổi quan điểm trên thành mô hình xác
suất:
Định nghĩa: Một dãy các biến ngẫu nhiên {Tn }n∈N0 được gọi là một
quá trình bồi hoàn nếu tồn tại một tập null (null set) ΩT ∈ F sao cho
với mọi ω ∈ Ω\ΩT :
• T0 (ω) = 0
• Tn−1 (ω) < Tn (ω) với mọi n ∈ N
Ta có: Tn (ω) > 0 với mọi n ∈ N và ω ∈ Ω\ΩT . Tập null ΩT được gọi
là tập null ngoại lệ của quá trình bồi hoàn {Tn }n∈N0 .
Với mỗi quá trình bồi hoàn {Tn }n∈N0 với n ∈ N ta định nghĩa:
Wn = Tn − Tn−1

(2.1)

Ta có Wn (ω) > 0 với n ∈ N và ω ∈ Ω\ΩT , là một dãy tăng và
E[Wn ] > 0

(2.2)

với n ∈ N.
Ta có:

n

Tn =

Wk
k=1

8

(2.3)


Nguyễn Xuân Tùng
với n ∈ N .
Quá trình {Wn }n∈N được gọi là quá trình chờ bồi hoàn sinh bởi quá
trình bồi hoàn {Tn }n∈N0 .
Chú giải:
• Tn là thời gian xảy ra của vụ bồi hoàn thứ n.
• Wn là thời gian chờ giữa hai vụ bồi hoàn xảy ra tại thời điểm thứ
n − 1 và thời điểm thứ n.
• Với một xác suất, không có vụ bồi hoàn nào xảy ra ở thời điểm 0
và không có hai vụ bồi hoàn nào diễn ra đồng thời.
Giả sử {Tn }n∈N0 là quá trình bồi hoàn và {Wn }n∈N là quá trình chờ
bồi hoàn được tạo bởi quá trình bồi hoàn {Tn }n∈N0 . Không mất tính
tổng quát ta giả định rằng tập null ngoại lệ của quá trình bồi hoàn là
tập rỗng.

2.1.1

Bổ đề

Đẳng thức
σ({Tk }k∈{0,1,...,n} ) = σ({Wk }k∈{1,...,n} )

(2.4)

đúng với n ∈ N.
Ngoài ra, với mọi n ∈ N. Cho Tn và Wn là ký hiệu các vector ngẫu
nhiên Ω → Rn với các tọa độ tương ứng là Ti và Wi và giả sử rằng Mn
là ma trận cỡ (n × n) với các phần tử
mij =

1, khi i ≥ j
0, khi i < j

(2.5)

Vậy ma trận Mn là ma trận khả đảo và có det Mn = 1, hơn nữa ta
có
Tn = Mn ◦ Wn và Wn = M−1
n ◦ Tn

9

(2.6)


Nguyễn Xuân Tùng

2.1.2

Bổ đề

Với mọi n ∈ N, phân phối của Tn và Wn sẽ thỏa mãn
PTn = (PWn )Mn và PWn = (PTn )M−1
n

(2.7)

Giả sử trong mô hình chúng ta không loại trừ khả năng sẽ có vô hạn
vụ bồi hoàn xảy ra trong một thời điểm hữu hạn.
Sự kiện
{supn∈N Tn < ∞}
được gọi là sự bùng nổ( explosion).

2.1.3

Bổ đề

Nếu supn∈N E[Tn ] < ∞ thì xác suất xảy ra sự kiện bùng nổ bằng 1.
Điều này là đúng theo định lý hội tụ đơn điệu.

2.1.4

Hệ quả

∞

E[Wn ] < ∞ thì xác suất xảy ra sự kiện bùng nổ bằng 1.

Nếu
n=1

Trong khi tạo nên mô hình kinh doanh cho một công ty bảo hiểm ,
một trong những quyết định đầu tiên là quyết định cho khả năng bùng
nổ bằng 0 hay không bằng 0. Tất nhiên, quyết định này có liên quan đến

quá trình bồi hoàn.
Với mọi n ∈ N, Tn ta xác định một ánh xạ:
Un : Ω → Ω × R
cho bởi Un = (ω,Tn (ω)).
Như vậy mỗi Un là F − F ⊗ B(R) - đo được. Độ đo µ : F ⊗ B(R) →
[0, ∞] cho bởi
∞

µ[C] :=

PUn [C]
n=1

10

(2.8)


Nguyễn Xuân Tùng
Độ đo µ được gọi là độ đo bồi hoàn được tạo bởi quá trình bồi hoàn
{Tn }n∈N0 .

2.1.5

Bổ đề

Đẳng thức

∞

µ[A × B] =

(

χ{Tn ∈B} )dP

(2.9)

n=1

A

đạt được với mọi A ∈ F và B ∈ B(R).
Chứng minh:
Vì Un−1 (A × B) = A ∩ {Tn ∈ B} nên ta có:
∞

µ[A × B] =

PUn [A × B]
n=1
∞

P [A ∩ {Tn ∈ B}]

=
n=1
∞

χ{Tn ∈B} dP

=
n=1 A
∞

= (

χ{Tn ∈B} )dP

A n=1

ta được kết quả trên.
Hầu hết các kết quả được trình bày trong luận văn này đều bao
gồm những phân phối xác suất đặc biệt liên quan đến trường hợp mà
phân phối xác suất của số lần bồi hoàn là hoàn toàn liên tục theo độ đo
Lebesgue. Trường hợp này thường được dùng trong mô hình thời gian
liên tục. Không mất tính tổng quát nếu ta cho rằng thời điểm xảy ra
vụ bồi hoàn mang giá trị nguyên, trường hợp này được gọi là mô hình
rời rạc. Mô hình rời rạc đôi khi được coi là xấp xỉ mô hình liên tục nếu
trong đơn vị thời gian nhỏ, nhưng ta thấy rằng những đặc tính quan
trọng trong mô hình rời rạc có thể khác hoàn đối với mô hình liên tục.
Nói cách khác mô hình rời rạc có thể đóng vai trò như một mô hình đơn
giản với danh mục đầu tư nhỏ và nếu công ty bảo hiểm muốn phân biệt
thời kỳ không có vụ bồi hoàn nào với những thời kỳ số số vụ bồi hoàn
lớn hơn không.
11


Nguyễn Xuân Tùng

2.2

Trường hợp Erlang

Một vài trường hợp đặc biệt trong mô hình chúng ta sẽ được trình
bày cụ thể, trong mô hình này những khoảng thời gian chờ giữa hai lần
bồi hoàn được giả sử là độc lập và có phân phối mũ. Trong trường hợp
này, sự bùng nổ là không thể hoặc chắc chắn.

2.2.1

Định lý (luật 0-1 của sự bùng nổ)

Gọi {αn }n∈N là một dãy số thực nằm trong khoảng (0, ∞) và giả
sử rằng chuỗi những thời gian chờ {Wn }n∈N là độc lập và thỏa mãn
PWn = Exp(αn ) với mọi n ∈ N. Khi đó:
∞

1/αn là phân kỳ thì khả năng bùng nổ bằng không.

(a) Nếu chuỗi
n=1
∞

1/αn là hội tụ thì khả năng bùng nổ bằng một.

(b)Nếu chuỗi
n=1

Chứng minh

Ta có (a)
∞

E[e

−

Wn
n=1

∞

] = E[

e−Wn ]

n=1

∞

E[e−Wn ]

=
n=1
∞

=
n=1
∞

αn
αn +1

(1 −

=
n=1
∞

≤

1
αn +1 )

e−1/(αn +1)

n=1
∞
−
1/(αn +1)

=e

n=1

∞

∞

1/αn là phân kỳ thì chuỗi

Vì thế, nếu chuỗi
n=1

1/(1 + αn ) cũng
n=1

12


Nguyễn Xuân Tùng
∞

Wn = ∞}] = 1, nên

phân kỳ và ta có P [{
n=1

∞

P[{supn∈N Tn < ∞}] = P[

Wn < ∞] = 0
n=1

(b) được suy ra trực tiếp từ hệ quả 2.1.4.
Trong trường hợp khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn là độc
lập ta có thêm kết quả sau:

2.2.2

Bổ đề

Giả sử α ∈ (0, ∞). Nếu chuỗi trong những khoảng thời gian chờ giữa
hai lần bồi hoàn {Wn }n∈N là độc lập, thì các kết quả sau là tương đương:
(a) PWn = Exp(α) với mọi n ∈ N.
(b) PTn = Ga(α, n) với mọi n ∈ N.
Trong trường hợp này E[Wn ] = 1/α và E[Tn ] = n/α với n ∈ N và khả
năng bùng nổ bằng không.
Chứng minh
Ta sẽ sử dụng hàm đặc trưng để chứng minh sự tương đương của (a)
và (b).
n

Wk ta có:

- Giả sử đã có (a), vì Tn =
k=1

n

ϕWk (z)

ϕTn (z) =
k=1
n

=
=

α
α−iz
k=1
n
α
α−iz

Vì vậy ta có PTn = Ga(α, n), do vậy (a) suy ra (b).
- Giả sử ta đã có (b), vì Tn−1 + Wn = Tn nên
n−1
α
ϕTn (z)
α−iz

= ϕTn−1 (z).ϕWn (z)
n
α
= ϕTn (z) = α−iz

vì thế ϕWn (z) =

α
α−iz

13


Nguyễn Xuân Tùng
Do đó PWn = Exp(α), vậy (b) suy ra (a).

2.3

Đặc tính của phân phối mũ

Một trong những vấn đề tinh tế trong việc tạo mô hình xác suất là sự
lựa chọn những phân phối xác suất của những biến ngẫu nhiên trong mô
hình. Chính xác hơn đó là xác định một phân phối xác suất chung cho
tất cả các biến ngẫu nhiên. Để thực hiện được việc này, cần biết những
đặc điểm chung nhất của các phân phối mà ta định lựa chọn.
Trong mô hình muốn nói ở đây, ta có thể xác định được phân phối
của quá trình chờ bồi hoàn. Vấn đề sẽ giảm đáng kể nếu những khoảng
thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn được cho là độc lập, thậm chí trong
trường hợp sự lựa chọn một phân phối xác suất của một khoảng thời
gian chờ giữa hai lần bồi hoàn là không chắc chắn.
Tạm thời, chúng ta quan tâm tới biến ngẫu nhiên W được hiểu
là thời gian chờ (waiting time). Nếu PW = Exp(α) thì hàm R →
[0, 1] :ω → P [{W > ω}] của phâm phối xác suất của W thỏa mãn
P [{W > ω}] =e−αω với mọi ω ∈ R+ và
P [{W > s + t}] =P [{W > s}].P [{W > t}]

(2.10)

hay tương đương
P [{W > s + t}|{W > s}] =P [{W > t}]

(2.11)

với mọi t, s ∈ R+ . Đẳng thức đầu tiên phản ánh hàm mũ là một hàm
tương tự bản thân nó trên R+ theo nghĩa với mỗi s ∈ R+ ánh xạ
t → P [{W > s + t}] và t → P [{W > t}] chỉ khác nhau một khoảng

cách. Hơn nữa nếu W là thời gian chờ giữa hai hai vụ bồi hoàn thì đẳng
thức thứ hai có nghĩa là khoảng thời gian chờ s lần sẽ không cung cấp
thông tin cho khoảng thời gian chờ hiện tại. Nói cách khác thì phân phối
mũ là phân phối không nhớ. Câu hỏi đặt ra liệc có phải chỉ có phân phối
mũ là phân phối có tính chất này không.
Trước khi công thức hóa dạng phân phối không nhớ, chúng ta thấy
rằng trong trường hợp PW = Exp(α) thì đẳng thức trên đúng với mọi
s, t ∈ R+ nhưng sẽ gây ra lỗi khi mọi s, t ∈ R chẳng hạn s < 0 < s + t,
nói cách khác, ta có PW [R+ ] = 1. Từ đó ta có:
14


Nguyễn Xuân Tùng
Một phân phối Q : B(R) → [0, 1] là phân phối không nhớ trên
S ∈ B(R) nếu:
•
Q[S] = 1

(2.12)

Q[(s + t,∞)] = Q[(s,∞)].Q[(t,∞)]

(2.13)

• Đẳng thức

đạt được với mọi t, s ∈ S.
Kết quả sau là một thuộc tính tổng quát của phân phối không nhớ:

2.3.1

Định lý

Giả sử Q : B(R) → [0, 1] là một phân phối xác suất không nhớ
trên S ∈ B(R). Nếu 0 ∈ S thì Q thỏa mãn hoặc Q[{0}] = 1 hoặc
Q[(0,∞)] = 1
Chứng minh
Giả sử rằng Q[(0,∞)] < 1. Vì 0 ∈ S ta có
Q[(0,∞)] = Q[(0,∞)].Q[(0,∞)] = Q[(0,∞)]2
vì vậy,
Q[(0,∞)] = 0
và vì thế ta có
Q[(t,∞)] = Q[(t,∞)].Q[(0,∞)] = 0
với mọi t ∈ S.
Định nghĩa t := inf S và cho một chuỗi {tn }n∈N ⊆ S giảm dần đến
t. Vì vậy ta có:
Q[(t,∞)] = supQ[(tn ,∞)] = 0
n∈N

Vì Q[S] = 1 nên ta có
Q[(−∞, t)] = 0
Do đó
Q[{t}] = 1
15