Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————–

NGUYỄN THÁI NGỌC

PHƯƠNG PHÁP HÀM NĂNG LƯỢNG
CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

Chuyên ngành: Toán Công Nghệ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Toán Công Nghệ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH. LÊ HÙNG SƠN

Hà Nội - 2010
i


Mục lục
Lời cảm ơn

iv

Lời mở đầu

v

1 Các kiến thức chuẩn bị

1

1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Các khái niệm cơ bản về giải tích Fourier . . . . . . . .

5

1.2.1

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Phương trình hyperbolic

9

2.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3

Phân loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . 11

2.1.4

Các vấn cơ bản trong phương trình đạo hàm riêng 12

2.2 Phương trình hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1

Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2

Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ii


3 Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic
19
3.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Một số trường hợp đặc biệt của phương trình (3.1) . . . 22
3.2.1

Trường hợp a(t) = a=const . . . . . . . . . . . 22

3.2.2

Trường hợp a′ (t) ∈ L1 ([0, ∞)) . . . . . . . . . 24

3.2.3

Phương trình Klein-Gordon . . . . . . . . . . . 26

3.2.4

Phương trình sóng tắt dần . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Đánh giá hàm năng lượng tổng với phương trình sóng
tắt dần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1

Biểu diễn nghiệm bằng biến đổi Fourier . . . . . 28

3.3.2

Đánh giá năng lượng tổng . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Đánh giá năng lượng trong trường hợp a(t) ∈ C 2 (Rn) . 35

3.5 Đánh giá năng lượng với a(t) ∈ C m . . . . . . . . . . . 44
3.6 Đánh giá năng lượng cho bài toán biên giá trị ban đầu
(IBVP) đối với phương trình hyperbolic . . . . . . . . 50
3.6.1

Tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.2

Đánh giá năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . 52

Tài liệu tham khảo

54

iii


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
GS.TSKH. Lê Hùng Sơn, người đã tận tình chỉ bảo và đưa ra nhiều chỉ dẫn
quý báu để luận văn này được hoàn thành. Tác giả gửi lời cảm ơn của mình tới
các thầy cô đã tận tình giảng dạy lớp cao học Toán Công Nghệ khóa 2008-2010
và các thầy cô trong Xemina Phương trình đạo hàm riêng và giải tích phức đã
giúp đỡ, chỉ cho những kiến thức bổ ích và những kinh nghiệm quý báu trong
nghiên cứu.
Các bài giảng của các Giáo sư Micheal Ressig từ Đại học Freiberg, Đức và
Giáo sư Fumihiko Hirosawa từ Đại học Yamaguchi, Nhật Bản tại Khoa Toán
Tin ứng dụng - Đại học Bách khoa Hà Nội đã có những định hướng tốt cho tác
giả trong bước đầu của quá trình nghiên cứu khoa học. Tác giả bày tỏ lòng cảm
ơn chân thành đến các Giáo sư.
Tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô, những người điều hành Viện
Đào tạo Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo ra môi trường học tập
và nghiên cứu tốt.

Học viên : Nguyễn Thái Ngọc
: Toán Công Nghệ 2008-2010

Lớp

iv


Lời mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng cấp hai là chủ đề được các nhà toán học cũng

như người làm ứng dụng trong kỹ thuật nghiên cứu từ rất lâu và có nhiều ứng
dụng trong các vấn đề thực tế. Ba dạng phương trình đạo hàm riêng được nghiên
cứu nhiều là: Phương trình eliptic (điển hình là phương trình Laplace) mô tả
các hiện tượng vật lý ứng dụng như điện từ trường, cơ học chất lỏng; Phương
trình parabolic mô tả hiện tượng truyền nhiệt; Phương trình hyperbolic mô tả
hiện tượng truyền sóng.
Luận văn này nghiên cứu một vấn đề được quan tâm trong phương trình
hyperbolic đó là đánh giá hàm năng lượng của phương trình hyperbolic. Hàm
năng lượng có vai trò quan trọng trong việc đánh giá nghiệm của phương trình.
Các vấn đề như bài toán đặt chỉnh, đánh giá tiệm cận nghiệm có thể được rút
ra từ đánh giá hàm năng lượng.
Ngoài Lời cảm ơn, phần Mở đầu, Phụ lục và danh mục Tại liệu tham khảo,
nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức cơ sở cho
phương trình đạo hàm riêng: Không gian Sobolev, chuỗi Fourier và biến đổi
Fourier. Như đã biết, không gian Sobolev là không gian làm việc của phương
trình đạo hàm riêng, biến đổi Fourier là biến đổi quan trọng trong phương trình
đạo hàm.
Chương 2: Phương trình hyperbolic. Giới thiệu và phân loại phương
trình đạo hàm riêng và đặc biệt là đi sâu vào việc tìm hiểu phương trình hyperbolic.

v


Chương 3: Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic. Là phần làm trọng tâm của luận án. Chương ba này trình bày các định
nghĩa hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic, các đánh giá cho hàm năng
lượng với bài toán Cauchy trong miền bị chặn và toàn không gian.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn chắc vẫn còn những thiếu xót. Vì vậy, tác
giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn.

vi


Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản của
không gian Sobolev. Ngoài ra, các kiến thức của giải tích Fourier cũng được
trình bày làm cơ sở cho việc xét bài toán đánh giá hàm năng lượng của phương
trình hyperbolic. Nội dung của chương này được tham khảo trong [8].

1.1
1.1.1

Không gian Sobolev
Không gian Holder

Trước khi xem xét các khái niệm về không gian Sobolev, ta tìm hiểu về không
gian Holder.
Định nghĩa 1.1. Cho tập mở U ⊂ Rn .

(i) Hàm số u : U → R gọi là liên tục Lipschitz nếu thỏa mãn
|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y|

(∀x, y ∈ U ),

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào x, y.
(ii) Hàm số u : U → R gọi là liên tục Holder với số mũ γ với 0 < γ ≤ 1 nếu
thỏa mãn

γ
|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y|
(∀x, y ∈ U )

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào x, y và γ.
1


Chú ý 1.1. Một hàm liên tục Lipschitz và liên tục Holder với số mũ γ đều là
hàm liên tục.
Định nghĩa 1.2. (i) Cho hàm u : U → R liên tục và bị chặn. Ta định nghĩa
u

:= sup |u(x)| .

C (U )

x∈U

(ii) Nửa chuẩn cấp γ của hàm u được cho bởi
|u(x) − u(y)|
ν
|x − y|

[u]C 0,γ := sup

x,y∈U
x=y

.

(iii) Chuẩn cấp γ của hàm u được cho bởi
u

C 0,γ

:= u

C (U )

+ [u]C 0,γ .

Định nghĩa 1.3. Không gian Holder C k,γ U
u ∈ C k U thỏa mãn điều kiện
u

C k,γ

Dαu

:=
|α| k

C (U )

là không gian chứa các hàm

[D α u]C 0,γ

+

|α|=k

là hữu hạn.
Chú ý 1.2. Không gian Holder C k,γ U chứa các hàm có đạo hàm đến cấp k
liên tục và bị chặn, đồng thời đạo hàm cấp k là liên tục Holder với số mũ γ.
Không gian Holder có nhiều tính chất hơn không gian các hàm liên tục.
Định lý 1.1. Không gian Holder là không gian Banach.

1.1.2

Không gian Sobolev

a. Đạo hàm yếu
Ký hiệu C0∞ (U ) là tập hợp các hàm có đạo hàm cấp vô hạn và có giá compact
trong U . Ta gọi C0∞ (U ) là không gian các hàm thử . Một hàm φ thuộc C0∞ (U )
được gọi là một hàm thử.
Với hàm u ∈ C 1 (U ) và hàm φ ∈ C0∞ (U ) thì ta có đẳng thức tích phân
uφxi dx = −
U

uxi φdx (i = 1, 2, ..., n).
U

2

(1.1)


Công thức (1.1) có được bằng cách tích phân từng phần và có hàm φ là triệt
tiêu trên ∂U . Tổng quát, với hàm u ∈ C k và đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn ), nếu

đặt |α| = α1 + α2 + ... + αn = k thì ta có công thức
uD α φdx = (−1)|α|
U

trong đó ký hiệu D α :=

D α uφdx

(1.2)

U

∂ α1
∂ αn
α1 ...
n.
∂xα
∂x1
n

Trong dạng công thức (1.2), vì u ∈ C k nên

đạo hàm D α u là có nghĩa. Nếu u ∈
/ C k thì việc viết D α u là không có nghĩa. Ta
mong muốn có biểu thức có dạng trên với hàm u ∈
/ C k.

Ký hiệu Lploc (U ) (1 ≤ p ≤ ∞) là tập hợp các hàm khả tích địa phương trong
U , tức là với mọi giá trị x ∈ U tồn tại lân cận Ω của x thỏa mãn Ω ⊂ U và
u ∈ Lp (Ω).

Định nghĩa 1.4. Cho hàm u, v ∈ L1loc (U ). Ta nói v là đạo hàm yếu cấp α của
u, ký hiệu là
Dαu = v
nếu u thỏa mãn đẳng thức tích phân
uD α φdx = (−1)|α|

vφdx

(1.3)

U

U

với mọi hàm thử φ ∈ C0∞ (U ).
Nhận xét 1.1. (i) Đạo hàm yếu của một hàm nếu tồn tại thì sẽ duy nhất (theo
nghĩa mở rộng).
(ii) Nếu hàm u ∈ C m thì với đa chỉ số α thỏa mãn |α| ≤ m, đạo hàm cổ
điển ∂ α u chính là đạo hàm yếu cấp α của hàm v.
Ví dụ 1.1. Hàm trị tuyệt đối u(x) = |x| không có đạo hàm theo nghĩa cổ điển,
tuy nhiên có đạo hàm yếu là hàm v được xác định bởi công thức



1, x > 0


v(x) =
−1, x < 0




 c , x = 0,
0

trong đó c0 là giá trị bất kỳ.

3


Mệnh đề 1.1. (i) Cho α là đa chỉ số , c1 , c2 ∈ R. Nếu ∂ α u và ∂ α v tồn tại thì
sẽ có ∂ α (c1 u + c2 v) và
∂ α (c1 u + c2 v) = c1 ∂ α u + c2 ∂ α v.
(ii) Cho p, q ∈ (1, ∞) thỏa mãn 1/p + 1/q = 1. Giả sử u, uxi ∈ Lploc và v, vxi ∈
Lqloc . Khi đó ta có
(uv)xi = uxi v + uvxi .
b. Không gian Sobolev
Cho số cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và số nguyên không âm k.
Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev W k,p (U ) là tập hợp các hàm u sao cho
nếu đa chỉ số α với |α| ≤ k thì đạo hàm yếu D α u tồn tại và D α u ∈ Lp (U ).
Chuẩn trong không gian Sobolev W k,p được xác định bởi

1/p


p

α

∂ u Lp (U )

, 1≤p<∞
|α|≤k
u W k,p (U ) =



p = ∞.
 max ∂ α u Lp (U ) ,

(1.4)

|α|≤k

Chú ý 1.3. Với trường hợp p = 2, ta ký hiệu

H k (U ) = W k,2 (U ).
Lưu ý rằng H 0 (U ) = L2 (U ).
Định lý 1.2. Không gian Sobolev W k,p (U ) là không gian Banach.
Hệ quả 1.1. Không gian Sobolev H k (U ) là không gian Hilbert với tích vô hướng
∂ α u(x)∂ α v(x)dx.

(u, v)k =

(1.5)

U |α|≤k

Ký hiệu
W0k,p (U )
là bao đóng của C0∞ (U ) trong W k,p (U ).

Ta có W0k,p (U ) là tập hợp các hàm u trong W k,p (U ) thỏa mãn điều kiện
D α u = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1.
4


Định lý 1.3. Giả sử u, v ∈ W k,p (U ) và |α| ≤ k. Khi đó:

(i) D α u ∈ W k−|α|,p(U ) và D α (D β u) = D β (D α u) = D α+β u với đa chỉ số α, β
thỏa mãn |α| + |β| ≤ k;
(ii) Với mỗi λ, µ ∈ R

λu + µv ∈ W k,p (U )vàD α (λu + µv) = λD α + µD α v;
(iii) Với tập mở V ⊂ U thì u ∈ W k,p (V ).

(iv) Cho w ∈ C0∞ . Khi đó wu ∈ W k,p (U ) và
 
α
 D β wD α−β u (Công thức Leibniz).
D α (wu) =
β
β≤α

1.2
1.2.1

Các khái niệm cơ bản về giải tích Fourier
Chuỗi Fourier

Định lý 1.4. Cho hàm số f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π và f (x) ∈ L1 ([0, 2π]). Khi
đó có biểu diễn

n=∞
cn einx,

f (x) =
n=−∞

trong đó
2π

1
cn =
2π

e−inx f (x)dx.
0

Chú ý 1.4. Ta có thể biểu diễn công thức (1.6) dưới dạng lượng giác
∞

a0
f (x) =
+
(an cos(nx) + bn sin(nx))
2
n=1
trong đó
1
an =
π

2π

f (x) cos(nx)dx,
0

1
bn =
π

2π

f (x) sin(nx)dx.
0

5

(1.6)


Chú ý 1.5. (i) Nếu f (x) là hàm lẻ thì an = 0 và
f (x) =

∞

bn sin(nx).

n=1

(ii) Nếu f (x) là hàm chẵn thì bn = 0 và
∞

a0
f (x) =
+
an cos(nx).
2
n=1
Định lý 1.5. Giả sử hàm f (x) ∈ L1 ([−L, L]). Khi đó ta có biểu diễn
n=∞

cn e

f (x) =

iπnx
L

,

n=−∞

trong đó
1
cn =
2L

L

e

−iπnx
L

f (x)dx.

−L

1.2.2

Biến đổi Fourier

Ký hiệu
L1 (R) =





∞

f: f =
−∞

|f (x)| dx < ∞




.



Định nghĩa 1.6. Cho hàm f ∈ L1 (R). Biến đổi Fourier của hàm f , ký hiệu là
F [f ] hoặc fˆ được cho bởi công thức
1
fˆ = F [f ](ξ) = √
2π

∞

f (x)e−ixξ dx.

(1.7)

−∞

Biến đổi Fourier ngược ký hiệu là F −1 , được cho bởi
1
f (x) = F −1 [fˆ](x) = √
2π

6

∞

−∞

fˆ(ξ)eixξ dξ.

(1.8)

Chú ý 1.6. Ngoài cách định nghĩa biến đổi Fourier theo công thức (1.7) còn có
các định nghĩa khác. Chẳng hạn:
1
(i) fˆ = F [f ](ξ) = √
2π

∞

(1.9)

f (x)eixξ dx.

−∞

Công thức (1.9) coi biến đổi ngược là biến đổi Fourier và ngược lại.
∞

(ii) fˆ = F [f ](ξ) =

(1.10)

f (x)e−ixξ dx.

−∞

Công thức (1.10) sai khác hệ số

√

2π.

Chú ý 1.7. Với cách định nghĩa biến đổi Fourier (1.7), ta có ngay quan hệ giữa
biến đổi Fourier và biến đổi ngược của nó
F −1 [f (x)](ξ) = F [f (−x)](ξ).
Ví dụ 1.2. (Hạch Dirichlet) Cho hàm số

 0, (|x| > r)
f (x) =
 1, (|x| ≤ r).

Khi đó biến đổi Fourier của hàm f được tính bởi công thức
1
fˆ(ξ) = √
2π

∞

2 sin(rξ)
π ξ

f (x)e−ixξ dx =

−∞

(ξ = 0).

Ví dụ 1.3. (Hạch Possion) Cho hàm số
f (x) = e−a|x| .

Biến đổi Fourier của hàm f (x) là
1
fˆ(ξ) = √
2π
2
=√
2π

∞

f (x)e
−∞
∞

−ixξ

∞

dx =

e−a|x| (cos(−xξ) + i sin(−xξ))dx

−∞

e−ax cos(−xξ)dx =

0

7

a
2
.
2
pi ξ + a2


Định lý 1.6. (Đẳng thức Parseval) Cho hàm số f (x) ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Khi đó
∞

−∞

∞

2

|f (x)| dx =

2

fˆ(ξ) dξ.

(1.11)

−∞

Chứng minh. Ta có
∞

−∞

∞

2

|f (x)| dx =

∞

f (x)f (x)dx =
−∞
∞

=
−∞

1
fˆ(ξ) √
2π

∞

−∞

1
√
2π

∞

fˆ(ξ)eixξ dξf (x)dx

−∞

f (x)eixξ dxdξ =

∞

fˆ(ξ)fˆ(ξ)dξ =

−∞

−∞

∞

2

fˆ(ξ) dξ.

−∞

Hệ quả 1.2. (Đẳng thức Parseval suy rộng) Cho hàm f, g ∈ L1 (R) và |f (x)| <
M, |g(x)| < M. Khi đó
∞

∞

f (x)g(x)dx =

g (ξ)dξ.
fˆ(ξ)ˆ

−∞

−∞

Mệnh đề 1.2. Ta có các tính chất sau:
(i) F [f (x − a)] = eiaξ F [f (x)](ξ);
√
(ii) F [f ∗ g] = 2πF [f ]F [g];
(iii) F [D α f ] = (−iξ)α F [f ];

(iv) Nếu xα f (x) ∈ L1 (R) thì F [(ix)α f (x)](ξ) = Dξα F [f ](ξ).
∧

Định lý 1.7. Cho hàm f (x) ∈ C k (R). Nếu hàm ξ k f (ξ) ∈ L2 thì f (k) (x) ∈ L2
và ta có đẳng thức
∞

−∞

∞

2

f (k) (x) dx =

2

(iξ)k fˆ(ξ) dξ.

(1.12)

−∞

Kết luận: Như vậy Chương 1 đã giới thiệu một số các khái niệm và tính
chất của không gian Sobolev cũng như giải tích Fourier. Đó là các kiến thức cơ
bản để nghiên cứu các vấn đề của phương trình hyperbolic cũng như hàm năng
lượng của phương trình.
8


Chương 2

Phương trình hyperbolic
Chương này dành để giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về phương
trình hyperbolic, là phương trình mà ta quan tâm.

2.1
2.1.1

Phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Cho n ≥ 2 và k là số nguyên dương. Phương trình đạo hàm
riêng là phương trình có dạng
F (x1 , x2 , ...., xn , u, x1 , ...., uxn , ...., D k u) = 0,

(2.1)

trong đó u là hàm chưa biết và toán tử D được cho bởi
∂ku
D u = α1
với α1 + α2 + ... + αn = k.
∂x1 ...∂xαnn
k

Phương trình (2.1) được gọi là phương trình đạo hàm riêng cấp k của n biến.
Định nghĩa 2.2. (i) Phương trình (2.1) gọi là tuyến tính nếu hàm F là bậc một
với u và các đạo hàm của nó.

9


Ta có thể mô tả phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bởi
aα (x)D α u = f (x).

(2.2)

|α|≤k

Nếu giá trị f (x) = 0 thì phương trình (2.2) được gọi là thuần nhất.
(ii) Phương trình (2.1) gọi là á tuyến nếu hàm F là bậc một với các đạo hàm
cấp cao nhất của nó.
Ta có thể mô tả phương trình đạo hàm riêng á tuyến bởi
aα (x)D α u + F (D k−1 u, ..., Du, u, x) = 0.
|α|=k

(iii) Phương trình (2.1) gọi là phi tuyến nếu hàm F không phụ thuộc tuyến

tính với đạo hàm bậc cao nhất.

2.1.2

Các phương trình cơ bản

Ba phương trình đạo hàm riêng cơ bản nhất là:
(1) Phương trình Possion: Là phương trình có dạng
∆u = f (x, t),
trong đó ∆ =

∂
∂x21

+ .... +

∂
∂x2n

là ký hiệu toán tử Laplace.

Nếu f = 0 thì phương trình Possion trở thành phương trình Laplace.
Các phương trình Laplace và Possion mô tả các hiện tượng vật lý như điện
từ trường, cơ học chất lỏng,....
(2) Phương trình sóng: Là phương trình có dạng
utt − ∆u = f (x, t).
Phương trình sóng mô tả các hiện tượng truyền sóng với nguồn sóng là f (x, t).
(3) Phương trình nhiệt: Là phương trình có dạng
ut − ∆u = f (x, t).
Phương trình nhiệt mô tả các hiện tượng truyền nhiệt với nguồn nhiệt là f (x, t).

10


2.1.3

Phân loại phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng thành ba loại cơ bản là: Phương trình eliptic,
Phương trình hyperbolic, Phương trình parabolic.
a. Trường hợp 2 biến
Xét phương trình
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0.

(2.3)

(i) Nếu b2 − ac > 0 với mọi (x, y) thì phương trình (2.3) là hyperbolic.

(ii) Nếu b2 − ac = 0 với mọi (x, y) thì phương trình (2.3) là parabolic.

(ii) Nếu b2 − ac < 0 với mọi (x, y) thì phương trình (2.3) là eliptic.

b. Trường hợp n biến
Phương trình
n

aij uxi xj + F (x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0

(2.4)

i,j=1

là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tổng quát của biến x = (x1 , ..., xn ).
Ta chuyển dạng tổng quát về dạng toàn phương
A1 (x)ux1 x1 + ... + An (x)uxn xn + F (x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0.

(2.5)

Khi đó:
(i) Nếu n − 1 hệ số Ai là khác không và cùng dấu, hệ số còn lại khác dấu thì
phương trình (2.6) là hyperbolic.
(ii) Nếu n − 1 hệ số Ai là khác không và cùng dấu, hệ số còn lại bằng không
thì phương trình (2.6) là parabolic.
(ii) Nếu tất cả các hệ số Ai khác không và cùng dấu thì phương trình (2.6)
là eliptic.
Theo phân chia phương trình đạo hàm riêng, ta dễ dàng nhận thấy phương trình
Poission là phương trình eliptic, phương trình sóng là phương trình hyperbolic,
phương trình nhiệt là parabolic.

11


2.1.4

Các vấn cơ bản trong phương trình đạo hàm riêng

Vấn đề quan trọng trong phương trình đạo hàm riêng là tìm tính chất và đánh
giá nghiệm của phương trình.
a. Bài toán đặt chỉnh
Bài toán phương trình đạo hàm riêng được gọi là đặt chỉnh nếu thỏa mãn ba
điều kiện sau:

(i) Phương trình có nghiệm;
(ii) Nghiệm phương trình là duy nhất;
(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện bài toán.
Việc nghiên cứu tính chỉnh của bài toán là rất quan trọng trong việc xem
xét các tính chất của nghiệm cũng như đánh giá tiệm cận nghiệm của phương
trình đạo hàm riêng.
b. Đánh giá tiệm cận nghiệm của bài toán
Có những bài toán ta không thể tìm nghiệm tường minh và ta phải đánh
giá tiệm cận nghiệm của bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. Chương
3 của luận văn sẽ trình bày đánh giá tiệm cận nghiệm của bài toán thông qua
đánh giá hàm năng lượng.

2.2

Phương trình hyperbolic

Trong phần này ta xét phương trình hyperbolic với hai bài toán là Bài toán
Cauchy và Bài toán hỗn hợp.

2.2.1

Bài toán Cauchy

Xét bài toán




utt − a2 ∆u = 0, x ∈ Rn , t ∈ (0, ∞)




u(x, 0) = f (x), x ∈ Rn





ut (x, 0) = g(x), x ∈ Rn .
12

(2.6)


Phương trình trên là phương trình thuần nhất. Nếu vế phải của phương trình
(2.6) thay thế bởi hàm F (x, t) thì ta có phương trình không thuần nhất. Sau
đây là một số kết quả của bài toán này trong trường hợp riêng.

13


(a) Trường hợp n=1
Định lý 2.1. Xét bài toán Cauchy thuần nhất. Khi đó của bài toán được cho
bởi công thức
1
1
u(x, t) = [f (x + at) + f (x − at)] +
2
2a

x+at

g(ξ)dξ.

(2.7)

x−at

Định lý 2.2. Xét bài toán không thuần nhất có vế phải bằng F (x, t). Ta có công
thức nghiệm của bài toán là
1
1
u(x, t) = [f (x + at) + f (x − at)] +
2
2a

+

1
2

x+at

g(ξ)dξ+
x−at
′
t x+a(t−t )

(2.8)

F (x′ , t′ )dx′ dt′ .
0 x−a(t−t′ )

Chứng minh. Để có nghiệm của bài toán không thuần nhất ta tách bài toán
(2.8) ra làm 2 bài toán đơn giản hơn. Bài toán thuần nhất




wtt − a2 wxx = 0, x ∈ R, t ∈ (0, ∞)



w(x, 0) = f (x),
x∈R





wt (x, 0) = g(x), x ∈ R

và bài toán có vế phải nhưng điều kiện ban đầu bằng 0




vtt − a2 vxx = F (x, t), x ∈ R, t ∈ (0, ∞)




v(x, 0) = 0,
x∈R





vt (x, 0) = 0,
x ∈ R.

Nghiệm của bài toán (2.8) là u = w + v.

Gọi α(x, t, τ ) là nghiệm của phương trình




αtt − a2 αxx = 0,
x ∈ R, t ∈ (0, ∞)



α(x, τ ) = 0,
x∈R






αt (x, τ ) = F (x, τ ), x ∈ R.
14


Khi đó nghiệm v của bài toán (2.8) được cho bởi công thức
t

α(x, t, τ )dτ .

v(x, t) =
0

Hay giá trị v là
v(x, t) =

1
2

′
t x+a(t−t )

F (x′ , t′ )dx′ dt′ .
0 x−a(t−t′ )

b.Trường hợp n=3
Xét bài toán Cauchy thuần nhất trong R3





utt − ∆u = 0,
x ∈ R3 , t ∈ (0, ∞)



u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ R3





ut (x, 0) = ψ(x), x ∈ R3 .

(2.9)

Nếu ϕ ∈ C k (R3 ) và ψ ∈ C k−1 (R3 ) thì phương trình (2.9) có nghiệm u ∈
C k−1 ([0, ∞] × R3 ) cho dưới dạng (Công thức Kirchhop)


u(x, t) =

1
4πt

St (x)


ψ(y)dσy + ∂t 

St (x)


ϕ(y)dσy  .

Với bài toán không thuần nhất




utt − ∆u = F (x, t). x ∈ R3 , t ∈ (0, ∞)



u(x, 0) = 0,
x ∈ R3





ut (x, 0) = 0,
x ∈ R3 ,

(2.10)

ta có kết quả tương tự như trong trường hợp n = 1. Tức là nghiệm của bài toán
này là
t

w(x, t, τ )dτ,

u(x, t) =
0

15


trong đó w = w(x, t, τ ) là nghiệm của bài toán Cauchy thuần nhất:




utt − ∆u = 0,
x ∈ R3 , t ∈ (0, ∞)



u(x, 0) = 0,
x ∈ R3





ut (x, 0) = F (x, t), x ∈ R3 .
c. Trường hợp n lẻ

Xét bài toán Cauchy





utt − ∆u = 0,
x ∈ R2n+1 , t ∈ (0, ∞)



u(x, 0) = ϕ(x),
x ∈ R2n+1





ut (x, 0) = ψ (x) , x ∈ R2n+1 .

(2.11)

Định lý 2.3. Nếu hàm ϕ ∈ C k (R2n+1 ) và ψ ∈ C k−1 (R2n+1 ), n ≥ 1 thì bài toán
Cauchy (2.11) có nghiệm u ∈ C k−n ([0, ∞) × R2n+1 . Nghiệm được biểu diễn dưới
dạng
n−1

(j + 1)aj tj ∂tj + aj tj+1 ∂tj+1

u(x, t) =
j=1

aj tj+1 ∂tj
j=1

ϕ(x + ty)dσy

ω2n+1
|y|=1

n−1

+

1

1

(2.12)

ψ(x + ty)dσy ,

ω2n+1
|y|=1

trong đó aj = aj (n) là hằng số, an−1 = 0 và ω2n+1 là diện tích bề mặt của cầu
trong R2n+1 .
(c) Trường hợp n chẵn
Xét bài toán Cauchy




utt − ∆u = 0,

x ∈ R2n , t ∈ (0, ∞)



u(x, 0) = ϕ(x),
x ∈ R2n





ut (x, 0) = ψ (x) , x ∈ R2n .
16

(2.13)


Định lý 2.4. Nếu hàm ϕ ∈ C k (R2n ) và ψ ∈ C k−1 (R2n ), n ≥ 1, k ≥ n + 2, thì bài
toán Cauchy (2.13) có nghiệm u ∈ C k−n ([0, ∞) × R2n . Nghiệm được biểu diễn
dưới dạng
n−1

u(x, t) =
j=1
t

×

0

2Γ 2n+1
2
(j + 1)bj tj ∂tj + bj tj+1 ∂tj+1 √
πΓ(n)t2n−1

r 2n−1
ω2n(t2 − r 2 )1/2

ϕ(x + ty)dσy dr
|y|=1

t

n−1

2Γ 2n+1
1
2
+
bj tj+1 ∂tj √
πΓ(n)t2n−1 ω2n+1
j=1

0

r 2n−1
ω2n (t2 − r 2 )1/2

ψ(x + ty)dσy dr,
|y|=1

trong đó bj = aj (n) là hằng số, bn−1 = 0 và ω2n là diện tích bề mặt của cầu
trong R2n .

2.2.2

Bài toán hỗn hợp

Xét bài toán hỗn hợp



utt − a2 uxx = 0,






u(x, 0) = f (x),

x ∈ (0, L), t ∈ (0, ∞)
x ∈ [0, L]




ut (x, 0) = F (x),
x ∈ [0, L]






u(0, t) = u(L, t) = 0, t ∈ [0, ∞).

(2.14)

Bằng phương pháp tách biến, ta được nghiệm của bài toán (2.14) cho dưới dạng
chuỗi
∞
kπx
kπa
kπa
u(x, t) =
sin
ak cos
t + bk sin
t
L
L
L
k=0

trong đó
L

2
ak =
L

f (x) sin

kπx
dx,
L

0
L

2
bk =
kπa

F (x) sin
0

17

kπx
dx.
L


Xét bài toán không thuần nhất



utt − a2 uxx = g(x, t), x ∈ (0, L), t ∈ (0, ∞)







u(x, 0) = f (x),
x ∈ [0, L]



ut (x, 0) = F (x),





u(0, t) = u(L, t) = 0,

x ∈ [0, L]

t ∈ [0, ∞)

Ta chia bài toán thành hai bài toán đơn giản hơn, đó là:
Bài toán thuần nhất



wtt − a2 wxx = 0,







w(x, 0) = f (x),

x ∈ (0, L), t ∈ (0, ∞)
x ∈ [0, L]




wt (x, 0) = F (x),
x ∈ [0, L]





w(0, t) = w(L, t) = 0, t ∈ [0, ∞)

và bài toán có điều kiện ban đầu bằng 0



vtt − a2 vxx = g(x, t), x ∈ (0, L), t ∈ (0, ∞)







w(x, 0) = 0,
x ∈ [0, L]



wt (x, 0) = 0,
x ∈ [0, L]





w(0, t) = w(L, t) = 0, t ∈ [0, ∞).

Kết luận: Chương 2 đã giới thiệu đại cương chung về phương trình đạo hàm
riêng cấp hai. Đồng thời một số kết quả và công thức nghiệm của phương trình
hyperbolic cũng được trình bày trong chương này.

18


Chương 3

Phương pháp hàm năng
lượng cho phương trình
hyperbolic
Chương này trình bày một số kết quả về đánh giá hàm năng lượng của phương
trình hyperbolic cho bài toán Cauchy trong miền bị chặn và trong toàn không

gian. Các kết quả này được tham khảo từ [1], [2], [3], [5] và [6].

3.1

Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 3.1. Xét phương trình sóng




utt − a2 (t)∆u = 0, x ∈ Rn , t ∈ (0, ∞)



u(x, 0) = ϕ(x),
x ∈ Rn





ut (x, 0) = ψ (x) ,
x ∈ Rn .

19

(3.1)