TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
———–o0o———–

PHẠM NGỌC HÙNG

TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU
CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO HIỂM NHÂN THỌ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
———–o0o———–

PHẠM NGỌC HÙNG

TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU
CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO HIỂM NHÂN THỌ

Chuyên ngành: Toán Tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH: TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. HÀ BÌNH MINH

Hà Nội - 2013


Mục lục
Lời cảm ơn

iv

Lời mở đầu

v

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Bảo hiểm nhân thọ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii
1
2

1.1.1

Khái quát về Bảo hiểm nhân thọ . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Luật số lớn trong Bảo hiểm nhân thọ . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Các loại hình bảo hiểm nhân thọ . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Tỉ lệ sinh tồn và tử vong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Khái niệm về Tỉ lệ tử vong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Các hàm nhân thọ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Hiệu suất tính tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.4

Bảng tỷ lệ tử vong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Tính toán lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Khái niệm về tiền lãi và lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Giá trị hiện tại và Giá trị đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Niên kim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Nguyên lý cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Tính phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.3

Tính phí thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.4

Phí bảo hiểm thuần đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

i


1.4.5

Phí bảo hiểm thuần năm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5 Tối ưu danh mục đầu tư với mô hình MV . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5.1

Lợi nhuận và Rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.2

Danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.3

Lợi nhuận và rủi ro của danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . .

21

1.5.4

Chọn danh mục đầu tư với rủi ro thấp nhất . . . . . . . . . . .

22

1.6 Value-at-Risk và Conditional Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.1

Value-at-Risk (VaR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.2

Độ đo rủi ro chặc chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.3

Conditional Value-at-Risk (CVaR) . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2 BÀI TOÁN TÍNH TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM
BẢO HIỂM NHÂN THỌ

26

2.1 Danh mục sản phẩm bảo hiểm nhân thọ . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.1

Tính phí thuần giả định cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ .

28

2.1.2

Tính phí thuần thực tế cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ . .

29

2.1.3

Tính tỷ suất lợi nhuận biên cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ 30

2.1.4

Lợi nhuận và rủi ro của danh mục bảo hiểm nhân thọ . . . . . .

30

2.2 Tính trọng phần tối ưu danh mục BHNT theo mô hình MV . . . . . .

32

2.3 Tính trọng phần tối ưu danh mục BHNT theo mô hình MV với ràng
buộc CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3 TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO
HIỂM NHÂN THỌ BẰNG R

37

3.1 Lập trình phân tích thống kê với ngôn ngữ R . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.1

Giới thiệu khái quát về ngôn ngữ R . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.2

Các gói thư viện hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2 Giới thiệu về phần mềm sẽ xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2.1

Về tên gọi và chức năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3 Tính toán tỷ lệ tử vong dự đoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3.1

Chuẩn bị dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3.2

Dự đoán tỷ lệ tử vong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

ii


3.4 Tính toán lợi nhuận và rủi ro của danh mục BHNT . . . . . . . . . . .
3.4.1

42

Lập trình tính toán Phí thuần đơn . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.5 Tính toán trọng phần tối ưu danh mục BHNT . . . . . . . . . . . . . .

45

Tài liệu tham khảo

49

Thuật ngữ Anh - Việt

53

iii


Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Hà Bình Minh,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi để luận văn này được hoàn thành, cũng như
giúp tôi tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại
học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi xin được cảm ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo
và quan tâm của các thầy cô của Viện Toán ứng dụng và Tin học trong suốt thời gian
tôi theo học và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè và đồng nghiệp,

những người luôn động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành
cảm ơn.

Học viên: Phạm Ngọc Hùng
Lớp: 11BTT-KH

iv


Lời mở đầu
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương. Cụ thể:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương này dành để giới thiệu một số
khái niệm toán học dùng trong tính phí và quản lý rủi ro bảo hiểm nhân thọ: các khái
niệm cơ bản về các loại sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, tỷ lệ tử vong/bảng tỷ lệ tử vong,
nguyên tắc tính phí bảo hiểm, cách thức tính phí cho các loại sản phẩm khác nhau.
Ngoài ra, chương trình còn trình bày về quản lý danh mục đầu tư dựa trên bài toán
tối ưu theo mô hình Mean-Variance và hai thước đo rủi ro phổ dụng là Value-at-Risk
(VaR), Conditional Value-at-Risk (CVaR).
Chương 2: Bài toán tính trọng phần tối ưu cho các sản phẩm bảo hiểm
nhân thọ Mục đích của chương này là tính toán trọng phần tối ưu của danh mục các
sản phẩm bảo hiểm nhân thọ sao cho lợi nhuận kỳ vọng đạt được giá trị như mong
muốn trong khi rủi ro của danh mục là thấp nhất. Bằng cách tính tỷ suất lợi nhuận của
các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ trong danh mục, áp dụng mô hình Mean-Variance
với ràng buộc CVaR, ta sẽ tìm được trọng phần sản phẩm tối ưu đáp ứng mục đích
trên.
Chương 3: Tính toán trọng phần tối ưu cho các sản phẩm bảo hiểm nhân
thọ bằng ngôn ngữ R Chương này trình bày việc xây dựng phần mềm để tính toán
trọng phần tối ưu cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ đã được trình bày trong chương
2. Chương trình giải bài toán được xây dựng bằng ngôn ngữ lập trình R, là ngôn ngữ
lập trình mã nguồn mở mạnh mẽ và phổ biến hàng đầu trên thế giới hiện nay.

Phụ lục A trình bày lại chứng minh định lý hỗ trợ chuyển đổi ràng buộc CVaR
trong bài toán tối ưu thành ràng buộc tuyến tính do Rockafellar và Uryasev phát biểu
([9 - Rockafellar and Uryasev]) để tiện theo dõi.
Phụ lục B giới thiệu về cái tính tỷ lệ tử vong dự đoán và gói phần mềm "Demography" trong R hỗ trợ công cụ toán học cho Ngành dân số học.
Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, trường Đại học
Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hà Bình Minh. Mặc dù đã
v


rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý
của các thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 09 năm 2013

vi


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
R

tập số thực

∅

tập rỗng

x∈M

x thuộc tập M

x∈

/M

x không thuộc tập M

∀x ∈ M

với mọi x thuộc tập M

BHN T

Bảo hiểm nhân thọ

θx

Hiệu suất tính tử

ν

Tỉ lệ chiết khấu

lx

số người sống tại độ tuổi x

dx

số người tử vong tại độ tuổi x

px

Tỷ lệ sinh tồn ở độ tuổi x

qx

Tỷ lệ tử vong ở độ tuổi x

n px

Xác suất một người ở độ tuổi x sống tiếp được n năm

n qx

Xác suất một người ở độ tuổi x chết trong vòng n năm

Atk:1
x:n

phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳ

Asktt:1
x:n

phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy

Ask:1
x:n

phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ

A1x

phí thuần đơn cho Bảo hiểm trọn đời

a
¨1x:n

phí thuần đơn cho niên kim nhân thọ có kỳ hạn

a
¨1x

phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ trọn đời

V aR

Value-at-Risk

CV aR

Conditional Value-at-Risk

β

mức tin cậy

µ
ˆ

Kỳ vọng mẫu

σ
ˆ2

Phương sai mẫu

vii


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số khái niệm toán học dùng trong bảo hiểm nhân thọ
cần sử dụng trong các chương tiếp theo của luận văn. Nội dung chính của chương được
tham khảo trong [7 - Nhóm Actuary OLICD].
Mục 1.1 giới thiệu tổng quan về Bảo hiểm nhân thọ, vai trò của Luật số lớn thống
kê trong kinh doanh bảo hiểm nhân thọ, các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ thông dụng
được đề cập trong luận văn này.
Mục 1.2 trình bày về tỉ lệ sinh tồn, tỉ lệ tử vong, các hàm nhân thọ cơ bản. Mục
này cũng giới thiệu về Bảng tỉ lệ tử vong được xây dựng từ dữ liệu thống kê dân số và
được dùng làm dữ liệu cơ sở cho các tính toán phí và rủi ro trong Bảo hiểm nhân thọ.
Mục 1.3 trình bày khái niệm về tiền lãi, lãi suất và công thức tính các loại lãi suất
khác nhau. Ngoài ra, khái niệm về giá trị hiện tại, giá trị đáo hạn và các loại niên kim
cũng được giải thích trong mục này.
Mục 1.4 trình bày về Nguyên lý cân bằng áp dụng trong việc tính phí cho các sản
phẩm bảo hiểm nhân thọ và các công thức tính phí bảo hiểm của các sản phẩm này.
Mục 1.5 giới thiệu mô hình toán học của danh mục đầu tư, định nghĩa về lợi nhuận
và rủi ro của danh mục đầu tư cũng như cách thức tính những chỉ số này.
Cuối cùng, mục 1.6 trình bày về khái niệm VaR và CVaR và ứng dụng của hai khái
niệm này trong quản lý rủi ro đầu tư.

1


1.1
1.1.1

Bảo hiểm nhân thọ
Khái quát về Bảo hiểm nhân thọ

Bảo hiểm nhân thọ ([11 - Wikipedia]) là một hợp đồng giữa một cá nhân hoặc tổ
chức (chủ hợp đồng bảo hiểm) và một công ty bảo hiểm nhân thọ, trong đó công ty
bảo hiểm cam kết sẽ trả cho người được hưởng bảo hiểm một khoản tiền (gọi là "trợ
cấp") khi một sự kiện nằm trong hợp đồng bảo hiểm (thường là cái chết) có liên quan
đến người được bảo hiểm xảy ra. Chủ hợp đồng bảo hiểm phải trả một khoản tiền gọi
là phí bảo hiểm, trọn gói một lần hoặc rải đều ra nhiều lần. Khi sự kiện bảo hiểm xảy
ra, Công ty bảo hiểm nhân thọ sẽ căn cứ vào điều khoản hợp đồng tương ứng của sản
phẩm mà khách hàng tham gia để chi trả quyền lợi bảo hiểm. Quyền lợi bảo hiểm mà
khách hàng sẽ nhận được ghi rõ trong Hợp đồng bảo hiểm nhân thọ.
Bảo hiểm nhân thọ dựa trên cơ chế chuyển giao và chia sẻ rủi ro (tài chính). Bằng
việc tham gia bảo hiểm nhân thọ, các tổ chức, cá nhân đã chuyển giao thiệt hại về
mặt tài chính phát sinh khi gặp rủi ro cho công ty bảo hiểm. Bằng việc lập ra một quỹ
tài chính dài hạn để các cá nhân tham gia bảo hiểm đóng góp vào nhằm chia sẻ rủi ro
cho một số ít người không may, công ty bảo hiểm san sẻ rủi ro của số ít người cho tất
cả những người tham gia. Đối với công ty bảo hiểm, quá trình này thực chất là kinh
doanh, trong đó công ty bảo hiểm sẽ dùng tiền quỹ (tạm thời chưa sử dụng) để đầu
tư lấy lãi, đồng thời trích tiền vốn và một phần lãi để chi trả dần khi có sự kiện bảo
hiểm phát sinh. Tuy nhiên, việc lập và điều hành quỹ bảo hiểm cũng gặp nhiều rủi ro
nếu việc tính toán phí bảo hiểm không chính xác hoặc số người tham gia quá ít, thu
không đủ chi, dẫn đến thâm hụt quỹ. Do đó, công ty bảo hiểm nhân thọ cần dựa trên
thống kê toán học để tính toán phí (gọi là định phí bảo hiểm) với hai cơ sở nền tảng:

• Luật số lớn trong xác suất - thống kê.
• Tỷ lệ tử vong của dân số và của người tham gia bảo hiểm.

2


1.1.2

Luật số lớn trong Bảo hiểm nhân thọ

Phát biểu Luật số lớn

Luật số lớn đóng vai trò hết sức quan trọng và là nguyên lý nền tảng cho định phí
bảo hiểm cũng như quản lý rủi ro trong kinh doanh bảo hiểm nhân thọ.
Về mặt toán học, Luật số lớn được phát biểu như sau:
Gọi x là biến số thể hiện số lần thành công trong n phép thử Bernoulli. Khi đó

x
n

là tỷ lệ số lần thành công. Gọi P là xác suất thành công và ϵ là một số dương bất kỳ.
Khi đó:

lim P (|

n→∞

x
− p| ≥ ϵ) = 0
n

(1.1)

Vai trò của Luật số lớn trong Bảo hiểm nhân thọ

Việc tính Phí bảo hiểm mà những người tham gia bảo hiểm cần đóng vào quỹ phụ
thuộc vào tỷ lệ người tham gia bảo hiểm sẽ chết trong tương lai. Làm thế nào để biết
trước được tỷ lệ chết của những người này trong tương lai để sử dụng trong quá trình
định phí? Luật số lớn trong xác suất thống kê cho biết: với mỗi lần thực hiện một phép
thử giống nhau và số lượng phép thử càng lớn, thì tỉ lệ số lần thành công trên tổng số
lược thực hiện phép thử sẽ càng gần đến một tỉ lệ nhất định. Như vậy, nếu công ty bảo
hiểm tập hợp một nhóm bao gồm những thành viên đồng nhất về giới tính, độ tuổi,
tình trạng sức khỏe (thậm chí điều kiện sinh hoạt), tại mỗi thời điểm nhất định, nếu
số lượng thành viên của nhóm mà ta quan sát càng nhiều thì tỷ lệ thành viên bị chết
(hiểu như là phép thử thành viên X có chết hay không?) thu được càng gần đến một
tỉ lệ nhất định - được gọi là tỷ lệ tử vong - sẽ được trình bày trong mục 1.2, trang 5.
Như vậy, để đảm bảo xác định được chính xác tỷ lệ tử vong phục vụ cho việc định
phí bảo hiểm (thông qua Luật số lớn), công ty bảo hiểm nhân thọ phải duy trì một số
lượng đủ lớn các hợp đồng bảo hiểm với các đối tượng tham gia phải được lựa chọn
thông qua giám định y khoa để đảm bảo tính đồng nhất của các thành viên trong tập
hợp những người tham gia bảo hiểm. Mỗi hợp đồng bảo hiểm cho một nhóm đồng nhất
những người tham gia bảo hiểm tạo nên một sản phẩm bảo hiểm nhân thọ.

3


1.1.3

Các loại hình bảo hiểm nhân thọ

Nhằm đáp ứng những nhu cầu dự phòng trong các tình huống phát sinh rủi ro khác
nhau, công ty bảo hiểm nhân thọ đã xây dựng nhiều loại hình bảo hiểm để tạo ra các
sản phẩm bảo hiểm đa dạng, phong phú cho người tham gia lựa chọn.
Bảo hiểm tử kỳ

Bảo hiểm tử kỳ là loại hình bảo hiểm tử vong có kỳ hạn xác định. Số tiền bảo hiểm
sẽ được trả một lần khi người được bảo hiểm chết trong thời hạn bảo hiểm.
Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy

Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy là loại hình bảo hiểm sinh tồn có kỳ hạn xác định. Số
tiền bảo hiểm được trả một lần khi người được bảo hiểm sống đến hết thời hạn bảo
hiểm. Loại hình này được hiểu như một hình thức gửi tiết kiệm có sinh lãi cho đến
một thời điểm nhất định thì người tham gia sẽ được nhận lại.
Bảo hiểm sinh kỳ

Bảo hiểm sinh kỳ là loại hình bảo hiểm sinh tồn có kỳ hạn xác định, trong thời hạn
bảo hiểm, người mua bảo hiểm còn được hưởng chính sách bảo hiểm tử vong trong kỳ
hạn đó. Số tiền bảo hiểm được trả một lần khi người được bảo hiểm sống đến cuối thời
hạn bảo hiểm, hoặc chết trong thời hạn bảo hiểm.
Nói đơn giản là: Bảo hiểm sinh kỳ = Bảo hiểm tử kỳ + Bảo hiểm sinh kỳ thuần
túy.
Bảo hiểm trọn đời

Bảo hiểm trọn đời là loại hình bảo hiểm tử vong vô thời hạn, tức là thời hạn bảo
hiểm kéo dài trong suốt cuộc đời của người được bảo hiểm. Số tiền bảo hiểm sẽ được
trả một lần khi người được bảo hiểm chết.
Niên kim nhân thọ

Niên kim nhân thọ là việc thanh toán các khoản tiền đều đặn hàng năm cho một
người trong một khoảng thời gian xác định (thời hạn bảo hiểm) mà việc thanh toán

4


đó phụ thuộc vào việc người đó còn sống trong thời hạn bảo hiểm. Các khái niệm đầy
đủ hơn về Niên kim được trình bày trong mục 1.3.3, trang 8.
Nhận xét: Bảo hiểm tử kỳ hoặc Bảo hiểm trọn đời nhắm đến việc bù đắp mất mát,
còn Bảo hiểm sinh kỳ và Niên kim nhân thọ nhắm đến việc đảm bảo an sinh cho người
tham gia bảo hiểm về sau.

1.2
1.2.1

Tỉ lệ sinh tồn và tử vong
Khái niệm về Tỉ lệ tử vong

Gọi lx,t là số người sống tại độ tuổi x, xét tại năm thứ t.
Gọi dx,t là số người tử vong giữa độ tuổi x và x + 1, xét tại năm thứ t. Khi đó số
tử vong (số người chết) giữa độ tuổi x và x + 1: dx,t = lx,t − lx+1,t+1
Tỷ lệ sinh tồn (còn gọi là tỷ lệ sống) là tỷ lệ giữa số người còn sống sau một khoảng
thời gian nhất định trên tổng số người sống vào lúc khởi đầu thời gian đó. Gọi px,t là
tỷ lệ sinh tồn ở độ tuổi x, xét tại năm thứ t. Khi đó ta có: px,t =

lx+1,t+1
lx,t

Tỷ lệ tử vong (còn gọi là tỷ lệ chết) là tỷ lệ giữa số người chết trong một khoảng
thời gian nhất định trên tổng số người sống vào lúc khởi đầu thời gian đó. Gọi qx,t là
tỷ lệ tử vong ở độ tuổi x, xét tại năm thứ t. Khi đó ta có: qx,t =

dx,t

lx,t

Ta có mối quan hệ giữa Tỷ lệ sinh tồn và Tỷ lệ tử vong: px,t + qx,t = 1.
1.2.2

Các hàm nhân thọ

Các hàm nhân thọ là các hàm số của độ tuổi và khoảng thời gian. Giá trị của các
hàm này được xác định từ tỷ lệ sinh tồn và tỷ lệ tử vong. Các hàm nhân thọ được sử
dụng trong mục 1.4.2 (trang 10) để tính phí bảo hiểm thuần.
Hàm n px : Xác suất một người ở độ tuổi x sống tiếp được n năm. Ta có:

n px

=

lx+n lx+n−1 lx+1
lx+n
=
...
= px+n−1 px+n−2 ...px
lx
lx+n−1 lx+n−2
lx

(1.2)

Hàm n qx : Xác suất một người ở độ tuổi x chết trong vòng n năm. Ta có:

n qx

=

lx − lx+n
= 1 − n px
lx

5

(1.3)


Hàm m |qx : Xác suất một người ở độ tuổi x sống tiếp được n năm và chết trong năm
tiếp theo. Ta có:
m |qx

1.2.3

=

dx+m
lx+m − lx+m+1
=
= m |qx − m+1 |qx
lx
lx

(1.4)

Hiệu suất tính tử

Hiệu suất tính tử là xác suất một người chết ngay sau khi đạt tới độ tuổi x. Hiệu
suất tính tử được ký hiệu là θx và được tính theo công thức toán học: θx = − l1x dldxx .
1.2.4

Bảng tỷ lệ tử vong

Bảng tỉ lệ tử vong dân số

Bảng này cho biết mức tử vong của dân số của một nước hay một vùng cụ thể nào
đó, được xây dựng thông qua điều tra thống kê dân số.
Bảng tỉ lệ tử vong kinh nghiệm

Bảng này cho biết tình hình tử vong của những người được bảo hiểm tại các công
ty bảo hiểm nhân thọ, phản ánh mức tử vong thực tế đã xảy ra. Bảng kinh nghiệm
này được sử dụng để tính phí bảo hiểm và dự phòng phí bảo hiểm.

1.3

Tính toán lãi suất

1.3.1

Khái niệm về tiền lãi và lãi suất

Tính toán tiền lãi

Trong đầu tư, việc tính toán kết quả thu được sau một khoảng thời gian nhất định
được gọi là tính toán tiền lãi. Liên quan đến công việc này, ta có các khái niệm:
• Tiền gốc: là số tiền bỏ ra đầu tư kinh doanh để thu lãi.

• Tiền lãi: là số tiền thu nhập từ quá trình đầu tư.
• Lãi suất: là tỉ lệ phần trăm tiền lãi thu được trên tổng quỹ đầu tư sau những
quãng thời gian đều đặn nhất định, thường là một tháng hoặc một năm.
6


Để thuận tiện cho việc minh họa tiền lãi và lãi suất dưới dạng công thức trong
những nội dung bên dưới, ta ký hiệu P là tiền gốc, n là số lượng lần quay vòng vốn
(còn gọi là thời kỳ đầu tư), i là lãi suất.
Tính tiền lãi đơn

Tính tiền lãi đơn là phương pháp tính tiền lãi sinh lợi trực tiếp từ tiền gốc mà tiền
lãi này không được tái đầu tư qua các quãng thời gian đầu tư.
Công thức tính phần tiền lãi đơn: I = P × n × i
Công thức tính tổng tiền gốc lẫn lãi: S = P × {1 + n × i}
Tính tiền lãi gộp

Tính tiền lãi gộp là phương pháp tính tiền lãi trong đó Tiền lãi sinh ra được tái
đầu tư và sinh lợi giống như tiền gốc (tiền lãi được gộp vào tiền gốc).
Công thức tính phần tiền lãi gộp: I = P × in
Công thức tính tổng tiền gốc lẫn lãi: S = P × {1 + in }
Lưu ý : Trong kinh doanh dài hạn như Bảo hiểm Nhân thọ, hầu hết đều sử dụng
phương pháp tính tiền lãi gộp.
Lãi suất và tần suất gộp lãi

Giả sử trong khoảng thời gian một năm được chia thành các quãng thời gian bằng
nhau và tiền lãi thu được trong mỗi quãng thời gian đó được gộp vào tiền gốc để tái
đầu tư sinh lãi trong các quãng thời gian tiếp theo. Số lượng các quãng thời gian - cũng
chính là số lần tiền lãi được tính nhập vào tiền gốc để tái đầu tư trong năm - được gọi
là Tần suất gộp lãi.

Khoản tiền lãi thực tế mà nhà đầu tư thu được trên một đơn vị tiền gốc được gọi
là Lãi suất thực.
Khi thông báo lãi suất của một kênh đầu tư, người ta thường đưa ra một lãi suất
chuẩn mực hàng năm, gọi là Lãi suất danh nghĩa. Qua đó, tùy theo tần suất gộp lãi
của từng kênh đầu tư khác nhau mà nhà đầu tư có thể tính được lãi suất trong từng
phân đoạn gộp lãi.

7


1.3.2

Giá trị hiện tại và Giá trị đáo hạn

Giá trị hiện tại

Giá trị hiện tại là giá trị (khoản tiền) cần được đầu tư tại thời điểm hiện tại để thu
được một giá trị (khoản tiền) mong đợi tại một thời điểm nhất định trong tương lai.
Như đã giải thích trong mục 1.3.1 (trang 7), phương pháp tính lãi gộp được sử dụng
trong các tính toán Bảo hiểm nhân thọ.
Ví dụ 1.1. Tính số tiền đầu tư cần thiết ở thời điểm hiện tại để thu được 10.000.000
đồng sau thời gian 10 năm đầu tư. Biết lãi suất hằng năm là 8%.
Số tiền đầu tư ban đầu sẽ là:
10.000.000 ×

1
= 10.000.000 × 0, 463193488 = 4.631.934
(1 + 0, 08)10

Giá trị đáo hạn

Giá trị đáo hạn là giá trị thu được tại một thời điểm nào đó trong tương lai từ
khoản tiền đầu tư tại thời điểm hiện tại.
Ví dụ 1.2. Tính giá trị đáo hạn của 10.000.000 đồng sau mười năm đầu tư với lãi
suất 8% một năm.
Giá trị đáo hạn sẽ bằng:
10.000.000 × (1 + 0, 08)10 = 10.000.000 × 2.158924997 = 21.589.250
1.3.3

Niên kim

Niên kim là một chuỗi các khoản tiền được công ty bảo hiểm chi trả sau những
khoảng thời gian đều đặn.
Các loại niên kim

Khi các khoản thanh toán được trả cho một người mà không phụ thuộc vào việc
người đó sống hay chết, niên kim được gọi là Niên kim xác định.
Khi việc thanh toán cho một người phụ thuộc vào việc sống hay chết của người đó,
niên kim được gọi là Niên kim nhân thọ.

8


Ở đây ta chỉ xét đến niên kim xác định. Niên kim xác định còn được phân nhỏ
thành các loại sau:
• Niên kim đầu kỳ và niên kim cuối kỳ : Niên kim được trả ở đầu kỳ thanh toán
được gọi là niên kim đầu kỳ, ngược lại được gọi là niên kim cuối kỳ.
• Niên kim tạm thời và niên kim vĩnh viễn: Niên kim được thanh toán trong một
khoảng thời gian giới hạn được gọi là Niên kim tạm thời. Khi niên kim được
thanh toán vĩnh viễn, được gọi là Niên kim vĩnh viễn.

• Niên kim trả ngay và niên kim trả chậm: Niên kim có khoản thanh toán đầu tiên
được thực hiện ngay (thường vào cuối năm được gọi là Niên kim trả ngay). Niên
kim có khoản thanh toán đầu tiên được thực hiện sau một số năm được gọi là
Niên kim trả chậm.
• Niên kim cố định và niên kim biến đổi: Niên kim có số tiền thanh toán không đổi
được gọi là Niên kim cố định, ngược lại được gọi là niên kim thay đổi.
Trong toàn bộ nội dung luận văn này, khái niệm niên kim được hiểu là niên kim
đầu kỳ, tạm thời, trả ngay và cố định.

1.4
1.4.1

Phí bảo hiểm
Nguyên lý cân bằng

Trong bảo hiểm nhân thọ, nếu nhóm người được bảo hiểm (khách hàng bảo hiểm)
có số lượng lớn và mỗi thành viên của nhóm có rủi ro tử vong đồng nhất thì Luật số
lớn đúng và ta có thể tính được mức tử vong một cách chắc chắn, từ đó có thể xác
định được tiền bảo hiểm và các chi phí khác.
Chính vì vậy, khi tạo ra một sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, công ty bảo hiểm sẽ
xác định độ tuổi và áp dụng các quy định để những người mua sản phẩm bảo hiểm
đó có độ rủi ro tử vong đồng nhất, loại trừ các trường hợp có độ rủi ro bất thường (ví
dụ: ốm đau bệnh tật, có hành vi dễ gây ra tử vong cao,...). Sản phẩm tạo ra sẽ được
bán cho một lượng người mua càng lớn càng tốt, miễn là phù hợp với quy định của sản
phẩm. Kết quả là, ta có thể giữ được sự cân bằng giữa số thu (phí bảo hiểm) và số chi
(tiền bảo hiểm và các chi phí) của nhóm khách hàng trong suốt thời hạn bảo hiểm.
9


Nguyên tắc trong đó sản phẩm bảo hiểm có số lượng khách hàng lớn, các thành

viên của nhóm có rủi ro tử vong đồng nhất và luôn giữ được sự cân bằng giữa số thu
và số chi được gọi là Nguyên lý cân bằng trong bảo hiểm nhân thọ.
1.4.2

Tính phí bảo hiểm

Nguyên tắc tính phí bảo hiểm

Phí bảo hiểm cần phải được tính sao cho khách hàng không phải mất chi phí quá
cao cho một sản phẩm, nhưng cũng không thấp hơn tổng chi phí chi trả tiền bảo hiểm
cũng như chi phí khác, đảm bảo để công ty bảo hiểm không bị lỗ. Việc tính toán chi
phí luôn phải đảm bảo nguyên lý cân bằng trình bày ở trên.
Để đảm bảo nguyên lý cân bằng, trước hết cần phải chọn một thời điểm cụ thể để
quy số thu và số chi về thời điểm này để làm cân bằng, tiếp đến sử dụng lãi gộp để
tính toán giá trị hiện tại. Có thể sử dụng bất kỳ thời điểm nào, nhưng thông thường
người ta sử dụng thời điểm tham gia hoặc mãn kỳ. Giả sử, thu nhập chỉ bao gồm phí
bảo hiểm, còn chi phí chỉ tính bao gồm tiền bảo hiểm, nếu tính tại thời điểm tham gia
bảo hiểm, thì ta phải đảm bảo:
(Giá trị hiện tại của tổng thu phí bảo hiểm) = (Giá trị hiện tại của tổng chi trả
bảo hiểm)
Nếu chọn thời điểm tính là thời điểm mãn kỳ, ta có:
(Giá trị đáo hạn của tổng thu phí bảo hiểm) = (Giá trị đáo hạn của tổng chi trả
bảo hiểm)
Phí tự nhiên

Phí tự nhiên là phí được xác định sao cho số phí thu được và số tiền bảo hiểm phải
trả trong mỗi năm cân bằng với nhau. Bằng cách áp dụng Nguyên lý cân bằng ta có
thể xác định phí tự nhiên cho mỗi độ tuổi.
Phí tự nhiên là phí công bằng vì nó được tính dựa trên tỷ lệ tử vong cũng từng độ
tuổi. Tuy nhiên, trong thực tế khó áp dụng theo cách tính phí tự nhiên vì:

• Mức phí tính theo cách này thay đổi theo từng năm, do đó việc thu phí gặp khó
khăn (rất khó giải thích cho người tham gia bảo hiểm về việc thay đổi phí).

10


• Người được bảo hiểm ở độ tuổi càng cao thì mức phí càng cao, do đó tạo ra một
gánh nặng lớn về tài chính đối với người tham gia bảo hiểm.
Phí quân bình

Phí quân bình là phí bảo hiểm được xác định không thay đổi qua các năm nhưng
vẫn đảm bảo Nguyên lý cân bằng trong toàn bộ thời hạn bảo hiểm và do đó loại bỏ
được các nhược điểm của phí tự nhiên.
1.4.3

Tính phí thuần

Các giả định tính phí

Phí thuần là phí bảo hiểm được tính theo Nguyên lý cân bằng mà số chi chỉ bao
gồm tiền bảo hiểm mà không bao gồm các chi phí nào khác (ví dụ chi phí quản lý, chi
phí rủi ro,...). Phí thuần cũng là một dạng Phí quân bình.
Để xác định được mức phí này cần phải dự tính được Tỷ lệ tử vong (mục 1.2.1,
trang 5) và suất thu lợi đầu tư trong tương lai, gọi là Tỉ lệ tử vong giả định và Lãi
suất giả định - gọi chung là các giả định tính phí.
Các hàm thay thế

Trong các phép tính phí bảo hiểm, ta thường sử dụng một số phép tính tổng lặp đi
lặp lại, với các số hạng là số lượng tử vong, số lượng sinh tồn và lãi suất giả định. Để
thuận tiện cho tính toán, ta định nghĩa các tổng này dưới hình thức là các hàm, gọi là

hàm thay thế như sau:
Dx = lx ν x , Nx =

∞
∑

Dx+t

(1.5)

t=0

Cx = dx ν

x+1

, Mx =

∞
∑

Cx+t

(1.6)

t=0

Các Hàm thay thế Dx , Nx , Cx , Mx cùng với Bảng giá trị hàm thay thế được tính
toán sẵn sẽ giúp cho tính toán định phí bảo hiểm trở nên dễ dàng hơn.

11


1.4.4

Phí bảo hiểm thuần đơn

Phí thuần đơn là phí bảo hiểm trong đó người tham gia chỉ đóng một lần vào lúc
ký kết hợp đồng. Phần này trình bày các công thức tính phí thuần đơn cho các loại
hình sản phẩm bảo hiểm tiêu biểu (xem mục 1.1.3, trang 4).
Phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳ

Ký hiệu Atk:1
x:n là phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳ (Số tiền bảo hiểm là 1, độ tuổi
x, thời hạn bảo hiểm n).
Theo Nguyên lý cân bằng, đặt số thu bằng số chi, ta có:
2
n
Atk:1
x:n lx = dx ν + dx+1 ν + ... + dx+n−1 ν

(1.7)

Từ công thức 1.7 trên, cộng với công thức 1.5 và 1.6, phí thuần đơn cho bảo hiểm
tử kỳ được tính từ Bảng giá trị hàm thay thế dựa trên công thức:
)
1(
dx ν + dx+1 ν 2 + ... + dx+n−1 ν n
lx
)

1 ( x+1
x+2
x+n
=
d
ν
+
d
ν
+
...
+
d
ν
x
x+1
x+n−1
lx ν x
1
Mx − Mx+n
=
(Cx + Cx+1 + ... + Cx+n−1 ) =
Dx
Dx

Atk:1
x:n =

(1.8)

Ngoài ra, phí thuần đơn Atk:1
x:n có thể được tính từ tỷ lệ tử vong và hàm nhân thọ
như sau:
)
1(
dx ν + dx+1 ν 2 + ... + dx+n−1 ν n
lx
n−1
n−1
∑1
∑
lx+i dx+i i+1
lx+1 lx+2
i+1
=
dx+i ν
=
...
ν
l
lx lx+1 lx+i−1 lx+i
i=0 x
i=0

Atk:1
x:n =

=

n−1

∑

i px qx+i ν

(1.9)

i+1

i=0

Phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy

là phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy (Số tiền bảo hiểm
Ký hiệu Asktt:1
x:n
là 1, độ tuổi x, thời hạn bảo hiểm n).
12


Theo Nguyên lý cân bằng, đặt số thu bằng số chi, ta có:
n
Asktt:1
x:n lx = lx+n ν

(1.10)

Từ đó, ta có công thức tính phí thuần đơn cho bảo hiểm sinh kỳ thuần túy dựa
trên các hàm thay thế như sau:
=
Asktt:1

x:n

lx+n n lx+n ν x+n
Dx+n
ν =
=
x
lx
lx ν
Dx

(1.11)

hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:
Asktt:1
=
x:n

lx+n
lx+2 lx+1 n
lx+n n
ν =
...
ν = n px ν n
lx
lx+n−1 lx+1 lx

(1.12)

Phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ

Ký hiệu Ask:1
x:n là phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ (Số tiền bảo hiểm là 1, độ
tuổi x, thời hạn bảo hiểm n).
Vì Bảo hiểm sinh kỳ = Bảo hiểm tử kỳ + Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy, do đó ta có
công thức tính dựa trên hàm thay thế như sau:
tk:1
sktt:1
Ask:1
=
x:n = Ax:n + Ax:n

Mx − Mx+n + Dx+n
Dx

(1.13)

hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:

Ask:1
x:n

=

n−1
∑

i px qx+i ν

i+1

+ n px ν n

(1.14)

i=0

Phí thuần đơn cho Bảo hiểm trọn đời

Ký hiệu A1x là phí thuần đơn cho Bảo hiểm trọn đời (Số tiền bảo hiểm là 1, độ tuổi
x).
Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:
A1x lx

2

= dx ν + dx+1 ν + ... =

∞
∑

dx+i ν i+1

(1.15)

i=0

Từ đó ta có công thức tính phí thuần đơn cho bảo hiểm trọn đời tính dựa trên hàm
thay thế:
13

1
A1x =
lx

(

∞
∑

)
dx+i ν i+1

1
=
lx ν x

(i=0∞
)
1 ∑
Mx
=
Cx+i =
Dx i=0
Dx

(

∞

∑

)
dx+i ν x+i+1

i=0

(1.16)

hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:
1
A1x =
lx
=

(∞
∑

)
dx+i ν

i+1

i=0

∞
∑
1
=
dx+i ν i+1

l
x
i=0

∞
∑
lx+1 lx+2
i=0

lx

lx+i dx+i i+1 ∑
i+1
...
ν
=
i px qx+i ν
lx+1 lx+i−1 lx+i
i=0
∞

(1.17)

Phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ có kỳ hạn

Ký hiệu a
¨1x:n là phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ có kỳ hạn trả niên kim trong
n năm (Số tiền hàng năm là 1, trả trong n năm, bắt đầu từ độ tuổi x, niên kim đầu
kỳ).
Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:

a
¨1x:n lx

2

= lx + lx+1 ν + lx+2 ν + ... + lx+n−1 ν

n−1

=

n−1
∑

lx+i ν i

(1.18)

i=0

Từ đó ta có công thức tính phí thuần đơn cho niên kim nhân thọ có kỳ hạn tính
dựa trên hàm thay thế:
)
1(
lx + lx+1 ν + lx+2 ν 2 + ... + lx+n−1 ν n−1
lx
)
1 ( x
x+1

x+2
x+n−1
=
l
ν
+
l
ν
+
l
ν
+
...
+
l
ν
x
x+1
x+2
x+n−1
lx ν x
Nx − Nx+n
1
(Dx + Dx+1 + Dx+2 + ... + Dx+n−1 ) =
=
Dx
Dx

a
¨1x:n =

(1.19)

hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:

a
¨1x:n

n−1
n−1
n−1
∑
1∑
lx+i i
lx+i i ∑ lx+1 lx+2
i
=
lx+i ν =
ν =
...
ν
lx i=0
lx
lx lx+1 lx+i−1
i=0
i=0

=

n−1

∑

px px+1 ...px+i−1 ν i =

i=0

n−1
∑
i=0

14

i px ν

i

(1.20)


Phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ trọn đời

Ký hiệu a
¨1x là phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ trọn đời (Số tiền hàng năm là
1, trả trọn đời, bắt đầu từ độ tuổi x, niên kim đầu kỳ).
Cách tính phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ trọn đời cũng giống như Niên kim
nhân thọ có kỳ hạn, chỉ khác là thay đổi thời hạn niên kim từ n trong công thức 1.19
thành trọn đời, tức là:
)
1(
lx + lx+1 ν + lx+2 ν 2 + ...

lx
)
1 ( x
x+1
x+2
=
l
ν
+
l
ν
+
l
ν
+
...
x
x+1
x+2
lx ν x
1
Nx
=
(Dx + Dx+1 + Dx+2 + ...) =
Dx
Dx

a
¨1x =

(1.21)

hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:
a
¨1x =

∞
∑

i px ν

i

(1.22)

i=0

1.4.5

Phí bảo hiểm thuần năm

Phí thuần (hàng) năm là phí bảo hiểm thuần được chia nhỏ và đóng theo từng năm.
Lưu ý là nếu thời hạn đóng phí là tháng, thì khi đó ta có phí bảo hiểm thuần tháng. Ở
đây ta chỉ xét các công thức tính với phí thuần (hàng) năm, phí thuần (hàng) tháng
được tính tương tự.
Phí thuần năm cho Bảo hiểm tử kỳ

Ký hiệu

tk:1

m Px:n

là phí thuần năm cho Bảo hiểm tử kỳ (số tiền bảo hiểm là 1, tuổi

tham gia x, thời hạn bảo hiểm n, thời hạn đóng phí m).
Tổng giá trị hiện tại của số thu từ phí bảo hiểm (thuần) do người tham gia bảo
hiểm đóng sau m năm:
)
(
tk:1
lx + lx+1 ν + ... + lx+m−1 ν m−1
SoT hu = m Px:n

(1.23)

Tổng giá trị hiện tại của số chi cho tiền trả bảo hiểm sau n năm (tính tương tự
cách tính Số chi trong phần tính Phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳ - xem công thức
15


1.7 p.12):
(
)
SoChi = dx ν + dx+1 ν 2 + ... + dx+n−1 ν n

(1.24)

Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:

tk:1

m Px:n

(
) (
)
lx + lx+1 ν + ... + lx+m−1 ν m−1 = dx ν + dx+1 ν 2 + ... + dx+n−1 ν n

(1.25)

Từ đó, ta tính được phí thuần năm cho Bảo hiểm tử kỳ như sau:

dx ν + dx+1 ν 2 + ... + dx+n−1 ν n
lx + lx+1 ν + ... + lx+m−1 ν m−1
(dx ν x+1 + dx+1 ν x+2 + ... + dx+n−1 ν x+n )
=
(lx ν x + lx+1 ν x+1 + ... + lx+m−1 ν x+m−1 )
(Cx + Cx+1 + ... + Cx+n−1 )
=
(Dx + Dx+1 + ... + Dx+m−1 )
Mx − Mx+n
=
Nx − Nx+m

tk:1
m Px:n =

(1.26)

Phí thuần năm cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy

Ký hiệu

sktt:1
m Px:n

là phí thuần năm cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy (số tiền bảo

hiểm là 1, tuổi tham gia x, thời hạn bảo hiểm n, thời hạn đóng phí m).
Tổng giá trị hiện tại của số thu từ phí bảo hiểm (thuần) do người tham gia bảo
hiểm đóng sau m năm:
(
)
sktt:1
SoT hu = m Px:n
lx + lx+1 ν + ... + lx+m−1 ν m−1

(1.27)

Tổng giá trị hiện tại của số chi cho tiền trả bảo hiểm cho những người tham gia bảo
hiểm còn sống sau n năm (tính tương tự cách tính Số chi trong phần tính Phí thuần
đơn cho bảo hiểm sinh kỳ thuần túy - xem công thức 1.10 trang 13):
SoChi = lx+n ν n
Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:

16

(1.28)