Nghiên cứu sự ổn định của hệ khung dàn siêu tĩnh dưới tác dụng của các dạng tải trọng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------

NGÔ MẠNH HÀ

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ KHUNG DÀN SIÊU TĨNH
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA CÁC DẠNG TẢI TRỌNG KHÁC NHAU

CHUYÊN NGÀNH: CƠ HỌC VẬT LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nhữ Phương Mai

HÀ NỘI - 2010


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu luận văn khoa học của tôi. Các
kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và chưa được công
bố ở bất kỳ công trình nghiên cứu nào.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Người thực hiện

Ngô Mạnh Hà

1

Mục lục
Lời cam đoan ....................................................................................................... 1
Danh mục các bảng biểu ............................................................................... 4
Danh mục các hình vẽ, đồ thị ..................................................................... 4
Mở đầu..................................................................................................................... 7
Chơng 1: tổng quan về lý thuyết ổn định của thanh ................. 10
1.1. Các khái niệm cơ bản ......................................................................................... 10
1.2. Phân loại hiện tợng mất ổn định................................................................... 10
1.2.1. Mất ổn định về vị trí..................................................................... 10
1.2.2. Mất ổn định về dạng cân bằng. ............................................................ 12
1.3. Các tiêu chuẩn về sự cân bằng ổn định . ............................................................ 16
1.3.1. Tiêu chuẩn dới dạng tĩnh học ............................................................ 16
1.3.2 Tiêu chuẩn dới dạng năng lợng ......................................................... 18
1.3.3 Tiêu chuẩn dới dạng động lực học ...................................................... 21
1.4. Các phơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 22
1.4.1. Khái niệm về các phơng pháp nghiên cứu ......................................... 22
1.4.2 Phơng pháp tĩnh học............................................................................ 22
1.4.3 Phơng pháp năng lợng. ...................................................................... 23
1.4.4 Phơng pháp động lực học. ................................................................... 23
Kết luận chơng 1. .................................................................................................... 24
Chơng 2 : ổn định của thanh chịu nén................................................... 25
2.1 Các phơng trình chuyển vị và nội lực trong thanh chịu uốn cùng với nén hoặc
kéo. ............................................................................................................................ 25
2.2 ổn định của thanh thẳng, tiết diện không đổi có liên kết khác nhau ở hai đầu
chịu nén đúng tâm ..................................................................................................... 28
2.3 ổn định của thanh thẳng tiết diện không đổi, chịu lực đặt bất kì dọc theo chiều
dài thanh. ................................................................................................................... 32
2.3.1 Phơng pháp tính chính xác .................................................................. 32
2.3.2 Phơng pháp tính gần đúng.................................................................. 36

2


2.4. ổn định của thanh thẳng tiết diện không đổi, chịu tác dụng của trọng lợng bản
thân. ........................................................................................................................... 37
2.5. ổn định của thanh thẳng có tiết diện thay đổi.................................................... 40
2.6. ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của thanh thẳng................................................ 43
2.7 ổn định của thanh chịu nén lệch tâm.................................................................. 46
Kết luận chơng 2 ..................................................................................................... 48
Chơng 3: ổn định của hệ khung chịu tải trọng phức tạp............ 49
3.1 Các giả thiết khi tính toán. .................................................................................. 49
3.2 Cách tính ổn định của khung theo phơng pháp lực . ......................................... 51
3.2.1 Chuyển vị trong thanh thẳng chịu uốn cùng với nén hoặc kéo. ............ 51
3.2.2 Phơng pháp lực để tính ổn định........................................................... 54
3.3 Cách tính ổn định của khung theo phơng pháp chuyển vị................................. 57
3.3.1 Phản lực và nội lực trong thanh thẳng chịu nén hoặc kéo
khi liên kết chuyển vị cỡng bức................................................................... 57
3.3.2 Phơng pháp chuyển vị để tính ổn định ................................................ 62
3.4 Cách sử dụng tính đối xứng khi tính ổn định hệ thanh. ...................................... 64
Kết luận chơng 3. .................................................................................................... 67
Chơng 4: ứng dụng tin học để tính toán về ổn định. ..................... 68
4.1 Phơng pháp phần tử hữu hạn trong tính toán cơ học......................................... 68
4.1.1 Bài toán cơ học. ............................................................................................... 68
4.1.2 Các bớc giải bằng phơng pháp phần tử hữu hạn. ......................................... 69
4.2 Tổng quan về các phần mềm phân tích kết cấu. ................................................. 69
4.3 Sử dụng phần mềm RDM tính toán và mô phỏng một số bài tính ổn định của kết
cấu. ............................................................................................................................ 70
Kết luận chơng 4 ..................................................................................................... 82
Kết luận ............................................................................................................... 83
Tài liệu tham khảo. ...84

Phụ lục......85

3


danh mục các bảng biểu
Bảng 2.1 : Phơng trình ổn định cho một số bài toán cụ thể.
Bảng 2.2 : Hệ số K2 .
Bảng 3.1: Phản lực tại các đầu thanh cho một số trờng hợp cụ thể.
Bảng 4.1: Bảng kết quả thí nghiệm tìm Pth theo d1.
danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1.1: Hiện tợng mất ổn định về vị trí.
Hình 1.2: Dạng cân bằng của mất ổn định loại 1.
Hình 1.3: Một số ví dụ về mất ổn định dạng nén đúng tâm.
Hình 1.4: Mất ổn định của khung chịu tải trọng đối xứng.
Hình 1.5: Mất ổn định dạng uốn phẳng.
Hình 1.6: Mất ổn định của dàn Mises.
Hình 1.7 : Mất ổn định của thanh có liên kết ngàm đàn hồi.
Hình 2.1: Chuyển vị và nội lực của thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo đúng tâm.
Hình 2.2: ổn định của thanh thẳng tiết diện không đổi có liên kết bất kỳ ở hai đầu.
Hình 2.3: ổn định của thanh thẳng có liên kết khớp tựa hai đầu, chịu lực tập trung
đặt ở trong nhịp.
Hình 2.4: ổn định của thanh có một đầu tự do một đầu ngàm chịu một số lực tập
trung.
Hình 2.5: ổn định của thanh có một đầu ngàm và một đầu tự do chịu tác dụng của
nhiều lực nén dọc theo trục thanh.
Hình 2.6: ổn định của thanh có một đầu ngàm và một đầu tự do chịu tác dụng của n
lực nén dọc theo trục thanh.
Hình 2.7: ổn định của thanh thẳng tiết diện không đổi, chịu tác dụng của trọng
lợng bản thân.

Hình 2.8: ổn định của thanh thẳng có tiết diện thay đổi.
Hình 2.9 : Mất ổn định của thanh tiết diện thay đổi chịu lực P1 đặt ở đỉnh và lực P2
đặt chỗ tiếp giáp giữa hai đoạn.
Hình 2.10 : Mất ổn định thanh chịu lực nén ở hai đầu.

4


Hình 2.11: ổn định ngoài giới hạn đàn hồi.
Hình 2.12: ổn định của thanh chịu nén lệch tâm.
Hình 3.1 : ổn định của khung phẳng.
Hình 3.2 : Chuyển vị trong thanh thẳng chịu uốn cùng với nén hoặc kéo.
Hình 3.3: Thanh có khớp tựa ở hai đầu.
Hình 3.4: Thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do.
Hình 3.5 : hệ cơ bản trong phơng pháp lực.
Hình 3.6 : Phần tử mẫu tổng quát.
Hình 3.7: hệ cơ bản trong phơng pháp chuyển vị.
Hình 3.8: hệ đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng.
Hình 4.1a: Dạng mất ổn định thanh thẳng một đầu ngàm một đầu tự do.
Hình 4.1b: Biểu đồ ứng suất thanh thẳng một đầu ngàm một đầu tự do chịu nén
Hình 4.1c: Chuyển vị mặt cắt ngang theo phơng y .
Hình 4.1d: Dạng mất ổn định thanh thẳng liên kết khớp ở hai đầu
Hình 4.1e: Dạng mất ổn định thanh thẳng một đầu ngàm một đầu liên kết khớp.
Hình 4.2a: Mô hình thanh măt cắt ngang thay đổi chịu nén đúng tâm.
Hình 4.2c: Chuyển vị theo phơng y của phần tử 1
Hình 4.2d: Chuyển vị theo phơng y của phần tử 2
Hình 4.2e: ứng suất trên mặt cắt ngang của phần tử 1.
Hình 4.2f: ứng suất trên mặt cắt ngang của phần tử 2.
Hình 4.3a: Mô hình thanh thẳng chịu tải trọng phân bố dọc trục.
Hình 4.3b: Dạng mất ổn định của thanh thẳng chịu tải trọng phân bố dọc trục

Hình 4.3c: Biểu đồ ứng suất của thanh thẳng chịu tải trọng phân bố dọc trục.
Hình 4.3d: Chuyển vị theo phơng y của thanh thẳng chịu tải trọng phân bố dọc
trục.
Hình 4.4: Đồ thị biểu diễn quan hệ Pth và a2 .
Hình 4.5a: Mô hình khung phẳng chịu tải trọng phức tạp
Hình 4.5b: Mô phỏng dạng mất ổn định của khung phẳng chịu tải trọng phức tạp
Hình 4.5c: Chuyển vị theo theo y của thanh số 2

5


H×nh 4.5d: øng suÊt trªn mÆt c¾t ngang ®Ønh thanh sè 1

6


Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài.
Khi thiết kế kết cấu công trình, nếu chỉ kiểm tra điều kiện bền và điều kiện
cứng không thôi thì cha đủ để phán đoán khả năng làm việc của công trình. Trong
nhiều trờng hợp, đặc biêt là các kết cấu chịu nén hoặc nén cùng với uốn, tuy tải
trọng cha đạt đến giá trị phá hủy và có khi còn nhỏ hơn giá trị cho phép về điều
kiện bền và điều kiện cứng nhng kết cấu vẫn có thể mất khả năng bảo toàn hình
dáng ban đầu ở trạng thái biến dạng và chuyển sang dạng cân bằng khác. Nội lực
trong dạng cân bằng mới sẽ phát triển rất nhanh và làm cho công trình bị phá hủy.
Đó là hiện tợng mất ổn định.
Vào cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, đã xảy ra nhiều tai nạn do kết cấu công
trình bị mất ổn định và dẫn đến phá hủy. Ví dụ :
- Cầu đờng sắt Kevđa ở Nga là cầu dàn hở, đã bị phá hủy năm 1875 do hệ
thanh biên trên bị mất ổn định.

- Cầu Menkhienxtein ở Thụy Sĩ bị phá hủy năm 1891 do mất ổn định.
- Cầu dàn Quebecở Canada bị phá hủy năm 1907 do thanh ghép chịu nén bị
mất ổn định
Riêng ở Pháp. theo số liêu của kỹ s Girard, trong khoảng thời gian 1955 1965 đã có 24 cầu bị phá hủy, phần lớn do nguyên nhân mất ổn định.
ở Liên Xô cũ, trong khoảng thời gian 1951 - 1967 đã có 39 công trình kết cấu thép
bị phá hủy, trong số đó có 17 trờng hợp ( 44%) là do nguyên nhân mất ổn định.
Điển hình là trờng hợp cầu Tacoma Narrows ở Mĩ vào ngày 7/11/1940 khi
chịu ảnh hởng của những cơn gió thổi mạnh liên tục gây ra hiện tợng mất ổn định
và cuối cùng đã bị phá hủy.

7


Hình ảnh cầu Tacoma đang dao động và bị phá hủy
Hiện nay, yêu cầu phát triển kinh tế đòi hỏi phải xây dựng các công trình lớn
và nhẹ, trong đó thờng dùng các thanh chịu nén có chiều dài lớn, dễ mất ổn định.
Do đó việc nghiên cứu ổn định công trình là cần thiết và có ý nghĩa thực tế.
2. Mục đích của đề tài.
- Tính lực tới hạn, ứng suất và chuyển vị chuyển vị của hệ khung dàn siêu tĩnh
dới tác động của các dạng tải trọng khác nhau.
- ảnh hởng của điều kiện liên kết đến lực tới hạn, ứng suất và chuyển vị.
3. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài.
- Hệ khung dàn siêu tĩnh có ứng dụng rộng rãi trong xây dựng, công nghiệp.. Do tác
động của nhiều dạng tải trọng khác nhau ( áp lực của gió, sóng biển, nhiệt độ,..) kết
cấu có thể bị mất ổn định gây nên sự phá hủy hoặc ảnh hởng đến hoạt động của
công trình, do đó việc nghiên cứu bài toán ổn định của kết cấu khung siêu tĩnh là rất
cần thiết.
- Việc tìm ra sự liên hệ giữa hệ số liên kết với lực tới hạn, ứng suất tới hạn sẽ góp
phần dự đoán và phòng tránh sự mất ổn định của công trình .
4. Nội dung luận văn

- M u
- Chng 1: Tng quan v lý thuyt n nh ca thanh
+ Khái niệm

8


+ Các dạng mất ổn định
+ Các tiêu chí về sự cân bằng ổn định
+ Các phơng pháp nghiên cứu
- Chng 2: n nh ca thanh chu nộn
+ Bài toán Euler
+ Các điều kiện liên kết khác
+ Vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi
+ ổn định của thanh chịu nén lệch tâm
- Chng 3: n nh ca h khung chu ti trng phc tp
+ Các hệ số liên kết của khung
+ Tính lực tới hạn
+ iu kin an ton v n nh
- Chng 4: ng dng tin hc tớnh toỏn v n nh
+ Gii thiu v phn mm
+ Các kết quả tính toán cụ thể
- Kt lun chung
Với sự quan tâm, chỉ bảo và hớng dẫn tận tình của PGS .TS Nhữ Phơng
Mai và sự cố gắng của bản thân, tôi đã hoàn thành đề tài này. Nội dung trình bày
của đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót, những hạn chế. Rất mong
đợc các thầy cô và các bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để đề tài đạt chất
lợng cao hơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 10 năm 2010
Học viên

Ngô Mạnh Hà

9


Chơng 1: tổng quan về lý thuyết ổn định của thanh
1.1. Các khái niệm cơ bản.
ổn định là một khái niệm có liên quan đến nhiều lĩnh vực. Trong mỗi lĩnh vực có
một định nghĩa tơng ứng phù hợp với đối tợng nghiên cứu. Định nghĩa toán học
của A.M.Liapunop về ổn định chuyển động đợc xem là tổng quát và bao trùm cho
mọi lĩnh vực. Trong nội dung nghiên cứu của luận văn chỉ đề cập đến ổn định kết
cấu công trình nên chỉ đề cập đến định nghĩa thuộc lĩnh vực công trình theo quan
điểm của Euler - Lagrange cũng đủ để giải quyết phần lớn các bài toán ổn định
trong lĩnh vực công trình:
Trong lĩnh vực công trình, ổn định là tính chất của công trình có khả năng giữ đợc
vị trí ban đầu hoặc giữ đợc dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng
tơng ứng với các tải trọng tác dụng.
- Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng của
công trình đợc gọi là ổn định dới tác dụng của tải trọng nếu nh sau khi gây cho
công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị trí cân bằng ban đầu hoặc dạng cân bằng ban
đầu bằng một nguyên nhân bất kỳ nào đó ngoài tải trọng đã có rồi bỏ nguyên nhân
đó đi thì công trình sẽ có khuynh hớng quay trở về trạng thái ban đầu.
- Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng của
công trình đợc gọi là không ổn định dới tác dụng của tải trọng nếu nh sau khi
gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị trí cân bằng ban đầu hoặc dạng cân
bằng ban đầu bằng một nguyên nhân bất kỳ nào đó ngoài tải trọng đã có rồi bỏ
nguyên nhân đó đi thì công trình sẽ không quay trở về trạng thái ban đầu. Lúc này
độ lệch của công trình không có khuynh hớng giảm dần mà có thể tiếp tục phát
triển cho đến khi công trình có vị trí mới hoặc dạng cân bằng mới.

- Bớc quá độ của công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định gọi
là mất ổn định.
- Giới hạn đầu của bớc quá độ của công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái
không ổn định gọi là trạng thái tới hạn.
- Tải trọng tơng ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải trọng tới hạn.

10


1.2. Phân loại hiện tợng mất ổn định
Từ khái niệm về ổn định nêu trên, ta phân biệt hai trờng hợp: mất ổn định về vị trí
và mất ổn định và dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng.
1.2.1. Mất ổn định về vị trí.
Hiện tợng mất ổn định về vị trí xảy ra khi công trình đợc coi là tuyệt đối cứng,
không giữ nguyên đợc vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí khác. Trong
trờng hợp này, các ngoại lực tác dụng lên công trình không thể cân bằng ở vị trí
ban đầu của công trình mà chỉ có thể cân bằng ở vị trí mới khác vị trí ban đầu.
Vị trí của các vật thể tuyệt đối cứng có thể là ổn định, không ổn định hoặc phiếm
định.
Xét một ví dụ đơn giản về hiện tợng ổn định và mất ổn định về vị trí là trờng hợp
viên bi ở các vị trí khác nhau nh trên hình 1.1.

Hình 1.1
Mặc dù viên bi đều cân bằng ở cả ba vị trí, song có sự khác nhau cơ bản giữa ba
trờng hợp này khi có một nguyên nhân nào đó đa viên bi lệch khỏi vị trí cân bằng
ban đầu với một lợng vô cùng bé rồi thả ra ta thấy:
+ Trờng hợp thứ nhất, viên bi dặt trên mặt cầu lõm (hình1.1a): viên bi dao động
quanh vị trí ban đầu rồi cuối cùng trở về vị trí cũ. Vị trí này là vị trí cân bằng ổn
định.
+ Trờng hợp thứ hai, hòn bi đặt trên mặt cầu lồi (hình 1.1b): hòn bi không trở về vị

trí ban đầu mà tiếp tục lăn xuống phía dới. Vị trí này là vị trí cân bằng không ổn
định.

11


+ Trờng hợp thứ ba, hòn bi đặt trên mặt phẳng (hình 1.1c): hòn bi không quay trở
về vị trí ban đầu và cũng không chuyển động tiếp tục. Vị trí này là vị trí cân bằng
phiếm định.
Bài toán ổn định về vị trí thờng đơn giản, trên cơ sở vận dụng các điều kiện cân
bằng quen biết trong Cơ học cơ sở cũng đủ để giải bài toán nên không nằm trong nội
dung nghiên cứu của luận văn.
1.2.2. Mất ổn định về dạng cân bằng.
Hiện tợng mất ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng xảy ra khi biến
dạng ban đầu của vật thể biến dạng tơng ứng với tải trọng còn nhỏ, buộc phải
chuyển sang dạng biến dạng mới khác trớc về tính chất nếu tải trọng đạt đến một
giá trị nào đó hoặc xảy ra khi biến dạng của vật thể phát triển nhanh mà không xuất
hiện biến dạng mới khác trớc về tính chất nếu tải trọng đạt đến một giá trị nào đó.
Trong những trờng hợp này, sự cân bằng giữa các ngoại lực và nội lực không thể
thực hiện đợc tơng ứng với dạng biến dạng mới khác dạng ban đầu về tính chất
hoặc chỉ có thể thực hiện đợc khi giảm tải trọng.
Phân loại các dạng mất ổn định về dạng cân bằng:
Có nhiều cách phân loại bài toán mất ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến
dạng. ở đây chỉ giới thiệu cách phân loại đơn giản nhất tơng đối phù hợp với các
bài toán ổn định đàn hồi. Xuất phát từ hai quan niệm khác nhau về trạng thái tới hạn
của Euler và của Poincarre, có thể chia thành hai loại mất ổn định với các đặc trng
nh sau:
* Mất ổn định loại một:
Các đặc trng của hiện tợng mất ổn định loại một hay mất ổn định Euler:
+ Dạng cân bằng có khả năng phân nhánh

+ Phát sinh dạng cân bằng mới khác dạng cân bằng ban đầu về tính chất
+ Trớc trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định; sau
trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định.
Để minh họa ta xét một ví dụ đơn giản là trờng hợp thanh thẳng chịu nén đúng tâm
nh trên hình 1.2:

12


Hỡnh 1.2
- Khi lực P còn nhỏ, thanh vẫn thẳng, trạng thái chịu nén của thanh là trạng thái ban
đầu và duy nhất. Nếu đa hệ ra khỏi dạng ban đầu bằng một nguyên nhân nào đó rồi
bỏ nguyên nhân đó đi thì hệ sẽ dao động rồi trở về dạng ban đầu nh cũ. Do đó,
dạng cân bằng này là ổn định.
Trạng thái cân bằng ổn định này đợc mô tả bởi đoạn OA trên đồ thị liên hệ giữa
chuyển vị và tải trọng P ( hình 1.2c).
- Khi tăng lực P đến một giá trị gọi là lực tới hạn Pth , thanh ở trạng thái tới hạn. Lúc
này, ngoài trạng thái cân bằng chịu nén còn có khả năng phát sinh đồng thời trạng
thái cân bằng uốn dọc, nghĩa là thanh ở trạng thái cân bằng phiếm định. Nh vậy,
dạng cân bằng bị phân nhánh thành hai dạng biến dạng. Trạng thái này tơng ứng
với điểm phân nhánh A trên đồ thị.
- Khi P > Pth , trạng thái cân bằng chịu nén vẫn có khả năng tiếp tục tồn tại song
không ổn định vì nếu đa hệ ra khỏi dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân
nào đó rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì hệ sẽ không có khả năng trở về dạng thẳng ban
đầu. Dạng cân bằng không ổn định này tơng ứng với nhánh AB trên đồ thị. Trong
hệ cũng phát sinh đồng thời trạng thái cân bằng uốn dọc khi biến dạng của thanh là
hữu hạn. Dạng cân bằng này là ổn định và đợc mô tả bởi nhánh AC hoặc AD trên
đồ thị.

13

Nếu tiếp tục tăng lực P thì về mặt lý thuyết trong thanh sẽ phát sinh những dạng cân
bằng mới dới dạng uốn dọc tơng ứng với những lực tới hạn bậc cao. Tuy nhiên,
ngoài dạng cân bằng thứ nhất tơng ứng với lực tới hạn nhỏ nhất, những dạng cân
bằng tơng ứng với lực tới hạn bậc cao đều là không ổn định, hiếm khi xảy ra và
không có ý nghĩa thực tế. Bởi vậy trong thực tế ta chỉ cần tìm lực tới hạn nhỏ nhất.
Hiện tợng mất ổn định loại một có thể xảy ra tơng ứng với các dạng sau:
1. Mất ổn định dạng nén đúng tâm. Ngoài ví dụ vừa xét, trên hình 3 giới thiệu một
số ví dụ khác về mất ổn định dạng nén đúng tâm nh: vành tròn kín ( hình 1.3a)
chịu áp lực phân bố đều hớng tâm; vòm parabol chịu tải trọng phân bố đều theo
phơng ngang (hình 1.3b). Đó là những hệ chỉ chịu nén đúng tâm nếu bỏ qua ảnh
hởng của biến dạng nén đàn hồi khi hệ còn ổn định. Nếu tải trọng q vợt quá giá trị
qth thì trong hệ sẽ phát sinh dạng cân bằng mới theo đờng đứt nét. Trong trờng
hợp khung chịu tải trọng nh trên hình 1.3c: khi P < Pth , khung có dạng cân bằng
chịu nén; khi P > Pth , dạng cân bằng chịu nén không ổn định và khung có dạng cân
bằng mới chịu nén cùng với uốn theo đờng đứt nét trên hình vẽ 1.3.

Hình 1.3
2. Mất ổn định dạng biến dạng đối xứng. Ta xét khung đối xứng chịu tải trọng tác
dụng đối xứng nh trên hình 1.4
Khi P < Pth khung có dạng cân bằng ổn định là dạng đối xứng ( đờng liền nét)
Khi P > Pth dạng cân bằng đối xứng không ổn định và khung có dạng cân bằng mới
không đối xứng ( đờng đứt nét)

14


3. Mất ổn định dạng uốn phẳng. Ta xét dầm chữ I chịu uốn phẳng do tải trọng P nh
trên hình 1.5

Khi P < Pth , dầm có dạng cân bằng ổn định là dạng uốn phẳng
Khi P > Pth , dạng uốn phẳng không ổn định và dầm có dạng cân bằng mới là dạng
uốn cùng với xoắn ( đờng đứt nét)

Hình 1.4

Hình 1.5

* Mất ổn định loại hai:
Các đặc trng của hiện tợng mất ổn định loại hai nh sau:
+ Dạng cân bằng không phân nhánh
+ Biến dạng và dạng cân bằng của hệ không thay đổi về tính chất
Xét trờng hợp dàn Mises có ba khớp A, B, C chịu lực P đặt tại khớp C nh trên
hình 1.6a. Đồ thị liên hệ giữa lực P và chuyển vị thẳng đứng f tại C nh trên hình
1.6b.

Hình 1.6

15


Để dựng đồ thị này ta cần tìm tọa độ các điểm trên đờng cong P = P(f), ứng với
mỗi điểm ta thực hiện nh sau:tơng ứng với mỗi giá trị chuyển vị f1 ta dễ dàng tìm
đợc biến dạng dọc trục của thanh AC, BC; tiếp đó từ biến dạng đã biết tìm đợc giá
trị lực dọc N1 trong các thanh và suy ra giá trị P1 tơng ứng theo tổng hình học của
các lực N1. Ta nhận thấy ở giai đoạn đầu lực P tăng lên cùng với độ võng f nhng
khi f = h tức là ba khớp A, B, C nằm trên một đờng thẳng thì P = 0. Sự liên hệ giữa
lực P và chuyển vị f là liên tục nên đờng cong P = P(f) phải có dạng nh trên hình
1.6b.
Giá trị của lực P tơng ứng với khi độ võng tăng mà không cần tăng tải trọng gọi là

lực tới hạn. Khi P = Pth , sự cân bằng giữ nội lực và ngoại lực đạt tới trạng thái giới
hạn. Khi P >Pth , sự cân bằng chỉ có thể xảy ra khi giảm tải trọng P. Trạng thái giới
hạn đợc xác định từ điều kiện dP/ df = 0.
Đó là hiện tợng mất ổn định loại hai hay hiện tợng mất khả năng chịu lực theo
trạng thái giới hạn thứ nhất. Trong trờng hợp này ta thấy biến dạng của hệ phát
triển nhng không thay đổi về tính chất, không phân nhánh. Sự mất ổn định loại hai
có thể xảy ra khi vật liệu làm việc trông giới hạn đàn hồi cũng nh ngoài giới hạn
đàn hồi.
Trong thực tế, các cấu kiện của công trình thờng không đơn thuần chịu nén mà
chịu uốn cùng với nén nên các cấu kiện này thờng bị mất ổn định loại hai với tải
trọng nhỏ hơn tải trọng tới hạn loại một. Tuy vậy, khi xác định khả năng chịu lực
của các kết cấu chịu uốn cùng với nén ta vẫn cần biết giá trị tới hạn của lực dọc
trong các cấu kiện đó tơng ứng với sự mất ổn định loại một. Do đó, sự nghiên cứu
hiện tợng mất ổn định loại một không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa
thực tế.
1.3. Các tiêu chuẩn về sự cân bằng ổn định
1.3.1. Tiêu chuẩn dới dạng tĩnh học
Trong tĩnh học, sự cân bằng đợc mô tả dới dạng các phơng trình cân bằng tĩnh
học song các điều kiện cân bằng này cha nói lên đợc dạng cân bằng đó là ổn định
hay không ổn định. Để khẳng định vấn đề này ta cần khảo sát hệ ở trạng thái lệch
khỏi dạng cân bằng đang nghiên cứu. Giả sử ở trạng thái lệch này sự cân bằng có thể

16


thực hiện đợc về nguyên tắc thì ta cần tìm giá trị P* của lực từ các điều kiện cân
bằng tĩnh học của hệ ở trạng thái lệch để đối chiếu với giá trị P của lực đã cho ở
trạng thái ban đầu.
+ Nếu P* > P: lực cần thiết để giữ cho hệ cân bằng ở trạng thái lệch lớn hơn lực đã
cho thì lực đã cho không thể giữ hệ ở trạng thái lệch đợc và hệ phải trở lại trạng

thái ban đầu, nghĩa là cân bằng ổn định.
+ Nếu P* < P: lực cần thiết để giữ cho hệ cân bằng ở trạng thái lệch nhỏ hơn lực đã
cho thì lực đã cho không những có thể giữ hệ ở trạng thái lệch mà còn làm tăng độ
lệch, hệ không trở lại trạng thái ban đầu, nghĩa là cân bằng không ổn định.
+ Nếu P* = P: lực cần thiết để giữ cho hệ cân bằng ở trạng thái lệch bằng lực đã cho
thì sự cân bằng là phiếm định.
Trong trờng hợp khi sự cân bằng ở trạng thái lệch không thể thực hiện đợc về
nguyên tắc thì ta cần căn cứ vào lực tác dụng trên hệ để phán đoán cách thức chuyển
động của hệ. Nếu độ lệch tăng thì sự cân bằng là không ổn định còn nếu độ lệch
giảm thì sự cân bằng là ổn định.
Ví dụ 1:
Xét thanh tuyệt đối cứng không trọng
lợng, một đầu tự do, một đầu có liên
kết ngàm đàn hồi nh trên hình 1.7a
Gọi k là độ cứng của liên kết ngàm đàn
hồi (giá trị của mô men phát sinh trong
liên kết ngàm đàn hồi khi tiết diện ở
liên kết xoay một góc bằng đơn vị).
Khảo sát sự cân bằng khi Pvà P>k/l

Hình 1.7

Khảo sát hệ ở trạng thái cân bằng lệch lân cận với trạng thái cân bằng ban đầu (hình
1.7b): thanh bị nghiêng một góc , trong liên kết ngàm đàn hồi phát sinh phản lực
mômen k. Thiết lập điều kiện cân bằng để tìm lực P* cần thiết để giữ hệ ở trạng
thái lệch:

17

M

0

= P* k = P*l sin k = 0

Vì rất nhỏ nên sin , do đó : P*l k = 0 . Suy ra : P* = k / l
Ta thấy :

Khi P < k / l tức là P < P* , hệ ở trạng thái cân bằng ổn định.
Khi P = k / l tức là P = P* , hệ ở trạng thái cân bằng phiếm định.
Khi P > k / l tức là P > P* , hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định.

1.3.2 Tiêu chuẩn dới dạng năng lợng .
Nguyên lý công khả dĩ và nguyên lý cực trị của thế năng toàn phần chỉ nói lên sự
cân bằng của hệ mà cha nói lên đợc trạng thái cân bằng đó là ổn định hay không
ổn định. Để khẳng định vấn đề này ta cần vận dụng nguyên lý Lejeune- Dirichlet:
Nếu hệ ở trạng thái cân bằng ổn định thì thế năng toàn phần đạt giá trị cực tiểu so
với tất cả các vị trí của hệ ở lân cận vị trí ban đầu với những chuyển vị vô cùng bé.
Nếu hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định thì thế năng toàn phần đạt giá trị cực
đại. Nếu hệ ở trạng thái cân bằng phiếm định thì thế năng toàn phần không đổi.
Thế năng toàn phần U* của hệ ở trạng thái biến dạng bao gồm thế năng biến dạng U
( thế năng của các nội lực) và thế năng của các ngoại lực UP. Nh đã biết, thế năng
của các ngoại lực UP đợc đo bằng công T của các ngoại lực nhng trái dấu, do đó
ta có:
U* = U + UP = U- T.
Độ biến thiên U* của thế năng toàn phần của hệ khi chuyển từ trạng thái đang xét
sang trạng thái lân cận sẽ là:

U* = U - T
Trong đó:

U- độ biến thiên của thế năng biến dạng.
T- độ biến thiên của công các ngoại lực.

Nh vậy, theo nguyên lý Lejeune- Dirichlet:
+ Nếu U > T hệ ở trạng thái cân bằng ổn định.
+ Nếu U < T hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định.
+ Nếu U = T hệ ở trạng thái cân bằng phiếm định.
Cũng có thể giải thích các tiêu chuẩn trên nh sau: ngoại lực có khuynh hớng sinh
công dơng, do đó nếu ở trạng thái lệch, thế năng biến dạng của hệ đợc tích lũy lớn

18


hơn công của ngoại lực thì phần năng lợng tích lũy đó có khả năng vợt qua sự cản
trở của ngoại lực để đa hệ về trạng thái ban đầu, tức là hệ ổn định. Ngợc lại, khi
phần năng lợng tích lũy đó nhỏ hơn công của ngoại lực thì chúng không có khả
năng vợt qua sự cản trở của ngoại lực để đa hệ về trạng thái ban đầu tức là hệ mất
ổn định.
Tiêu chuẩn dới dạng năng lợng cũng có thể diễn đạt theo điều kiện cực trị của thế
năng toàn phần. Muốn vậy ta cần lập biểu thức của thế năng toàn phần ở trạng thái
lệch với các chuyển vị hữu hạn theo thông số tơng ứng với bậc tự do của hệ rồi
nghiên cứu điều kiện cực trị của thế năng toàn phần:
Trờng hợp hệ có bậc tự do bằng một: lập biểu thức thế năng toàn phần ở
trạng thái lệch theo một thông số q, ta có điều kiện cực trị :
Cân bằng ổn định
dU *
= 0 nếu

dq

Cân bằng không ổn định

Cân bằng phiếm định

Trong đó :

n - bậc đạo hàm chẵn thấp nhất và khác không (thờng là n = 2);
m - bậc đạo hàm bất kỳ.

Trờng hợp hệ có bậc tự do bằng hai: lập biểu thức thế năng toàn phần ở
trạng thái lệch theo hai thông số q1, q2 ta có: U * = f ( q1 , q2 )
Điều kiện cực trị:
U *
=0;
q1

U *
=0
q2

+ Nếu các nghiệm q1, q2 của hệ phơng trình (4) thỏa mãn bất đẳng thức :
D=

C11 C12
= C11C22 C122 > 0
C21 C22

19

Với : C11 =

2U *
;
q12

C12 =

2U *
2U *
; C22 =
q1q2
q22

Thì khi C11 > 0 hay C22 > 0 thế năng cực tiểu, cân bằng ổn định.
khi C11 < 0 hay C22 < 0 thế năng cực đại, cân bằng không ổn định.
+ Nếu các nghiệm q1, q2 của hệ phơng trình (4) không thỏa mãn bất đẳng thức (5)
nghĩa là khi D < 0 thì thế năng toàn phần không có cực trị.
+ Nếu các nghiệm q1, q2 của hệ phơng trình (4) thỏa mãn đẳng thức D = 0 thì ta cần
nghiên cứu các đạo hàm bậc cao hơn, bài toán sẽ khá phức tạp.
Trờng hợp hệ có bậc tự do bằng n: Lập biểu thức thế năng toàn phần ở trạng
thái lệch theo n thông số q1, q2,..,qn ta có : U * = f ( q1 , q2 ,..., qn )
Điều kiện cực tiểu:

C11 > 0 ;

C11 C12
> 0 ; ;

C21 C22

Với Cik = Cki =

2U *
qi qk

C11 C12
C21 C22
...
...
Cn1 Cn 2

... C1n
... C2 n
>0
... ...
... Cnn

Nếu một trong các điều kiện (6) không thỏa mãn thì ta cần nghiên cứu bổ sung các
điều kiện phức tạp hơn.
Ví dụ 2: Thực hiện lại ví dụ 1 theo các tiêu chí dới dạng năng lợng.
Thực hiện theo tiêu chí (2):
Độ biến thiên của công ngoại lực:
2



T = P. = Pl (1 cos ) = 2 Pl sin Pl
2

2

2

Độ biến thiên của thế năng biến dạng tích lũy trong liên kết ngàm đàn hồi:
U = M


2

=

k 2
2

Ta thấy:
+ Khi P < k / l : U > T hệ ở trạng thái cân bằng ổn định
+ Khi P = k / l : U = T hệ ở trạng thái cân bằng phiếm định

20


+ Khi P > k / l : U < T hệ ở trạng thái cân bằng không ổn định
Thực hiện theo tiêu chí (3):
Biểu thức của thế năng toàn phần:
U * = U 0 + U T = U0 +

k 2 Pl 2

2

2

Với U 0 - thế năng toàn phần ở trạng thái ban đầu.
Lấy đạo hàm theo thông số , ta có:
dU *
d k 2 Pl 2
=


= ( k Pl ) ;
d
d 2
2

d 2U *
= k Pl
d 2

Ta thấy: khi = 0 thì đạo hàm cấp một của U * bằng không, có cực trị.
+ Khi P < k / l : đạo hàm cấp hai của U * dơng, cân bằng ổn định.
+ Khi P = k / l : đạo hàm cấp hai của U * bằng không, cân bằng phiếm định.
+ Khi P > k / l : đạo hàm cấp hai của U * âm, cân bằng không ổn định.
1.3.3 Tiêu chuẩn dới dạng động lực học
Tiêu chuẩn của sự cân bằng ổn định dới dạng động lực học đợc xây dựng trên cơ
sở nghiên cứu khuynh hớng chuyển động của hệ sau khi bị lệch khỏi dạng ban đầu
bằng một nhiễu loạn nào đó rồi loại bỏ nhiễu loạn đó đi. Nếu sau khi nhiễu loạn mất
đi, hệ dao động tắt dần hay trở về trạng thái ban đầu mà không dao động thì sự cân
bằng là ổn định.
Để thực hiện ta cần khảo sát chuyển động bé của hệ ở lân cận vị trí cân bằng:
+ Nếu chuyển động tắt dần hoặc điều hòa( khi không kể đến lực cản) thì cân

bằng là ổn định.
+ Nếu chuyển động không tuần hoàn ( xa dần trạng thái ban đầu), mang đặc
trng dẫn đến sự tăng dần của biên độ chuyển động thì cân bằng là không ổn định.
Ví dụ 3: thực hiện ví dụ 1 theo các tiêu chuẩn dới dạng động lực học.
Gọi là góc xoay của thanh tuyệt đối cứng quanh gối O; I 0 là mô men quán tính
của khối lợng thanh quanh trục quay tại O. Từ điều kiện cân bằng mô men đối với
điểm O với chú ý kể đến lực quán tính, ta đợc phơng trình vi phân đối với chuyển
động quay của thanh nh sau:

I 0&& + ( k Pl ) = 0

21


Phơng trình đặc trng:

I 0 r 2 + ( k Pl ) = 0

Nghiệm của phơng trình đặc trng: r1,2 =

Pl k
I0

+ Khi P < k / l : (b) cho nghiệm ảo nên nghiệm của (a) sẽ là hàm điều hòa:
= a sin rt + b cos rt , cân ằng ổn định.

+ Khi P > k / l : (b) cho nghiệm thực nên nghiệm của (a) sẽ là hàm:
= ae r t + be r t với r1 > 0 nên mang đặc trng tăng biên độ, cân bằng không ổn
1

2

định.
1.4. Các phơng pháp nghiên cứu
1.4.1. Khái niệm về các phơng pháp nghiên cứu.
Để giải bài toán ổn định của hệ thanh có thể vận dụng nhiều phơng pháp khác nhau
đợc xây dựng trên cơ sở các tiêu chí về sự cân bằng ổn định đã trình bày trong
phần 1.3.
Các phơng pháp vận dụng tiêu chí cân bằng ổn định dới dạng tĩnh học đợc gọi là
phơng pháp tĩnh học. Các phơng pháp vận dụng tiêu chí cân bằng ổn định dới
dạng năng lợng đợc gọi là phơng pháp năng lợng. Các phơng pháp vận dụng
tiêu chí cân bằng ổn định dới dạng động lực học đợc gọi là phơng pháp động lực
học.
1.4.2 Phơng pháp tĩnh học
Nội dung phơng pháp tĩnh học: Tạo cho hệ nghiên cứu một dạng cân bằng lệch
khỏi dạng cân bằng ban đầu; xác định giá trị của lực ( lực tới hạn) có khả năng giữ
cho hệ ở trạng thái cân bằng mới lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. Lực tới hạn
đợc xác định từ phơng trình đặc trng hay còn gọi là phơng trình ổn định biểu
thị điều kiện tồn tại dạng cân bằng mới.
Có thể vận dụng nội dung nói trên dới nhiều hình thức khác nhau, do đó tồn tại
nhiều thể loại phơng pháp tĩnh học nh:
1) Phơng pháp thiết lập và giải phơng trình vi phân
2) Phơng pháp thông số ban đầu
3) Phơng pháp lực
4) Phơng pháp chuyển vị

22


5) Phơng pháp hỗn hợp

6) Phơng pháp phần tử hữu hạn
7) Phơng pháp thiết lập và giải hệ phơng trình đại số
8) Phơng pháp sai phân hữu hạn
9) Phơng pháp dây xích
10) Phơng pháp nghiệm đúng tại từng điểm
11) Phơng pháp Bubnov- Galerkin
12) Phơng pháp giải đúng dần
1.4.3 Phơng pháp năng lợng
Nội dung của phơng pháp năng lợng: giả thiết cho trớc dạng biến dạng của hệ ở
trạng thái lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu; căn cứ vào dạng biến dạng đã giả thiết,
lập các biểu thức thế năng biến dạng và công của ngoại lực để viết điều kiện tới hạn
của hệ theo tiêu chí dới dạng năng lợng đã nêu trong mục III; từ điều kiện tới hạn
sẽ xác định giá trị của lực tới hạn.
Nếu dạng biến dạng giả thiết chọn đúng thì kết quả tìm đợc là chính xác. Trong
thực hành nói chung ta cha biết đợc chính xác dạng biến dạng của hệ nên kết quả
tìm đợc theo phơng pháp năng lợng thờng là gần đúng và cho giá trị lực tới hạn
lớn hơn giá trị chinh xác. Nh vậy, mức độ chính xác của kết quả tìm đợc theo
phơng pháp năng lợng phụ thuộc khả năng phán đoán dạng biến dạng của hệ ở
trạng thái lệch.
Có thể kể đến các phơng pháp năng lợng sau:
1) Phơng pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Lejeune- Dirichlet
2) Phơng pháp Rayleigh- Ritz
3) Phơng pháp Timoshenko
1.4.4. Phơng pháp động lực học
Nội dung phơng pháp động lực học lập và giải phơng trình dao động riêng của hệ
chịu lực; xác định giá trị lực tới hạn bằng cách biện luận tính chất của nghiệm của
chuyển động.
Cũng có thể vận dụng nội dung nói trên dới nhiều hình thức khác nhau tơng tự
nh trong phơng pháp tĩnh học.

23


Kết luận chơng 1
Trong chơng 1 của luận văn đã trình bày một số vấn đề sau:
-

Những khái niệm cơ bản trong trong lý thuyết ổn định của thanh.

-

Phân loại các hiện tợng mất ổn định: mất ổn định về vị trí và mất ổn định về
dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng

-

Các tiêu chí đánh giá về sự cân bằng ổn định

-

Các phơng pháp nghiên cứu sự cân bằng ổn định của hệ

Đó là cơ sở lý thuyết để có thể thiết lập đợc các phơng trình ổn định và tìm
đợc lực tới hạn cho các thanh thẳng, cho hệ khung dàn siêu tĩnh chịu tác dụng
của các dạng tải trọng khác nhau đợc đề cập đến trong chơng 2 và chơng 3
của luận văn.

24