Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi dẻo dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------

NGUYỄN HỮU TÚ

NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG CỦA
TẤM ĐÀN HỒI – DẺO DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI
TRỌNG KHÁC NHAU
CHUYÊN NGÀNH: CƠ HỌC VẬT LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nhữ Phương Mai

HÀ NỘI - 2010


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi. Các kết quả nghiên cứu trong
luận văn là trung thực và có nguồn gốc cụ thể, rõ ràng. Các kết quả của luận văn
chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào.

Hà Nội, tháng 10 năm 2010.
Người cam đoan

Nguyễn Hữu Tú

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

1


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo,
PGS.TS Nhữ Phương Mai đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận
văn tốt nghiệp.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Sức bền
vật liệu cũng như các thầy cô, các cán bộ phòng thí nghiệm trực thuộc các khoa,
bộ môn của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện tốt nhất cho em
trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này.
Em chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 10 năm 2010.
Học viên

Nguyễn Hữu Tú

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

2


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

MỤC LỤC
Lời cam đoan.........................................................................................................1
Lời cảm ơn.............................................................................................................2
Mở đầu ...................................................................................................................7
Danh mục bảng .....................................................................................................5
Danh mục hình vẽ .................................................................................................5
Chương 1: Cơ sở lý thuyết ...................................................................................9
I Trường ứng suất.................................................................................................9
1.1 Ứng suất ...................................................................................................9
1.2 Ten xơ ứng suất lệch ..............................................................................11
1.3. Phương trình cân bằng và điều kiện biên..............................................14
II Trường biến dạng ...........................................................................................15
2.1. Ten xơ biến dạng...................................................................................15
2.2. Biến dạng nhỏ .......................................................................................16
2.3. Các bất biến...........................................................................................17
III Tốc độ biến dạng ...........................................................................................20
3.1. Ten xơ tốc độ biến dạng........................................................................20
3.2. Bất biến của ten xơ vận tốc biến dạng ..................................................22
3.3. Biến dạng và tốc độ biến dạng ..............................................................22
IV Tính chất cơ học của vật rắn khi có biến dạng dẻo....................................23
4.1. Biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo .....................................................23

4.2. Biến cứng của vật liệu...........................................................................25
4.3. Điều kiện chảy dẻo và điều kiện biến cứng ..........................................25
4.4. Tiêu chuẩn dẻo ứng suất tiếp lớn nhất
(Tiêu chuẩn Tresca-Saint Venant) .......................................................27

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

3


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

4.5. Tiêu chuẩn dẻo Misses (Điều kiện cường độ ứng suất tiếp không đổi)29
4.6. Điều kiện đặt tải và cất tải. Giả thiết đường cong
biến dạng là duy nhất ............................................................................29
V Các lí thuyết dẻo hiện nay và ứng dụng........................................................32
5.1. Lý thuyết chảy dẻo................................................................................33
5.2. Một số dạng của lí thuyết chảy dẻo ......................................................35
5.3. Lý thuyết biến dạng đàn dẻo .................................................................37
Chương 2: Phương pháp giải tích tính toán tấm đàn dẻo...............................42
I. Định lý tổng quát và phương pháp giải bài toán tấm đàn dẻo....................43
1.1. Nguyên tắc biến phân và phương pháp Ritz,
phương pháp Bobnov-Galekin.............................................................43
1.2. Nguyên lí cực tiểu công bù. Phương pháp Philonhenko – Borodish....45
1.3. Phương trình cân bằng theo dịch chuyển.
Phương pháp nghiệm đàn hồi ...............................................................46
1.4. Phương pháp tham số đàn hồi thay đổi.................................................49

II. Uốn tấm mỏng ................................................................................................51
III. Uốn đàn dẻo tấm mỏng................................................................................55
3.1. Đặt bài toán ...........................................................................................56
3.2. Uốn thuần túy bản đàn dẻo ...................................................................59
3.3. Khả năng chịu lực của bản ...................................................................69
Chương 3: Phương pháp số giải bài toán tấm đàn dẻo ...................................72
I. Giới thiệu phần mềm ......................................................................................73
II. Giải một số bài toán.......................................................................................74
2.1. Xét ảnh hưởng kích thước các cạnh đến biến dạng dẻo trong tấm .......74
2.2. Bài toán tấm chịu lực tập trung.............................................................83
Kết luận và kiến nghị..........................................................................................93

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

4


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Tài liệu tham khảo ..............................................................................................94
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1: Bảng số liệu về biến dạng nút lớn nhất trong tấm với các tỉ lệ kích
thước khác nhau và giá trị lực tác dụng khác nhau
Bảng 2: Bảng số liệu về chuyển vị lớn nhất trong tấm với các tỉ lệ kích thước
khác nhau và giá trị lực tác dụng khác nhau
Bảng 3: Bảng số liệu về ứng suất và biến dạng của tấm chữ nhật chịu lực tập
trung với các điều kiện biên khác nhau

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐÒ THỊ
Hình 1.1: Biểu diễn véc tơ ứng suất tại một điểm
Hình 1.2: Quan hệ ứng suất và biến dạng trong trường hợp kéo nén đơn của
thép và của đồng.
Hình 1.3: Đồ thị quan hệ ứng suất và biến dạng ứng với quá trình đặt tải và
cất tải
Hình 1.4: Đồ thị phụ thuộc của biến dạng trượt vào ứng suất tiếp với mẫu
trượt thuần túy
Hình 1.5: Đồ thị biểu diễn đường cong dẻo
Hình 2.1: Tấm chịu mô men uốn phân bố trên các cạnh
Hình 2.2: Hai trạng thái biến dạng lân cận của tấm
Hình 2.3: Biểu diễn miền biến dạng trên một mặt cắt của tấm
Hình 3.1: Biểu diễn tấm chịu lực phân bố trên bề mặt
Hình 3.2: Đồ thị phụ thuộc của biến dạng dẻo nút lớn nhất của tấm và tỉ lệ
kích thước giữa các cạnh của tám chịu lực phân bố
Hình 3.2: Đồ thị phụ thuộc của độ võng lớn nhất của tấm vào tỉ lệ kích thước
giữa các cạnh của tấm chịu lực phân bố
Hình 3.3a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1667x600x10
theo các phương x và y.

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

5


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Hình 3.4a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1429x700x10
theo các phương x và y.
Hình 3.5a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1250x800x10
theo các phương x và y.
Hình 3.6a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1111x900x10
theo các phương x và y.
Hình 3.7a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1250x800x10
theo các phương x và y.
Hình 3.8a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước
1000x1000x10 theo các phương x và y.
Hình 3.9: Biểu diễn tấm chữ nhật chịu lực tập trung
Hình 3.10: Biểu diễn chuyển vị theo phương z trên tấm chữ nhật chịu lực tập
trong với trường hơp ngàm cả 4 cạnh.
Hình 3.11 a,b: Biểu diễn trường ứng suất của tấm ngàm 4 cạnh chịu lực tập
trung ở giữa tấm.
Hình 3.12: Biểu diễn ứng chuyển vị theo phương z của tấm chữ nhật với các
cạnh tựa tự do chịu lực tập trung.
Hình 3.13a,b: Biểu diễn trường ứng suất của tấm với các cạnh tựa tự do
Hình 3.14: Biểu diễn chuyển vị nút trong trường hợp tâm ngàm hai cạnh dài
và 2 cạnh ngắn để tự do
Hình 3.15a,b: Biểu diễn trường ứng suất của tấm ngàm 2 cạnh dài và 2 cạnh
ngắn tự do
Hình 3.16: Biểu diễn chuyển vị nút theo phương z của tấm ngàm cạnh dài, 3
cạnh còn lại tựa tự do
Hình 3.17a, b: Biểu diễn ứng suất của tấm trong trường hợp ngàm một cạnh
dài, 3 cạnh còn lại để tựa tự do.

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

6


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

MỞ ĐẦU

Tấm và vỏ là những phần tử kết cấu cơ bản trong cấu trúc không gian, ô tô,
máy bay, máy công cụ, kết cấu nhà ở, nhà thi đấu, cầu đường, tàu thuyền, và nhiều
kết cấu khác; chúng ta thấy các kết cấu này thường có kích thước và khối lượng rất
lớn. Do đó việc tính toán, phân tích, thiết kết tối ưu để lựa chọn vật liệu, kết cấu của
tấm và vỏ là hết sức cần thiết trong mọi phân tích và thiết kế cấu trúc. Đã có rất
nhiều công trình khoa học nghiên cứu và tính toán về tấm và vỏ, các công trình đều
có kết quả phù hợp và có thể sử dụng trong tính toán và thiết kế. Khi nghiên cứu về
tấm vỏ có thể nghiên cứu theo hai hướng chính: Một là nghiên cứu tấm và vỏ trong
miền đàn hồi (biến dạng nhỏ); hai là nghiên cứu tấm và vỏ vượt qua giới hạn đàn
hồi (biến dạng lớn). Cả hai hướng lí thuyết trên đều nghiên cứu để đưa ra công thức
chính xác nhất về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong tấm và vỏ. Tuy nhiên
khi tính toán tấm trong miền đàn hồi (biến dạng nhỏ) thì kết cấu đưa ra nhiều khi
khối lượng quá lớn có thể gây ra lãng phí. Để tăng công suất và tăng tốc độ động
cơ, phát triển kĩ thuật áp lực cao, giảm nhẹ kết cấu trong quá trình làm việc …
chúng ta cần đưa ra được quan hệ chính xác về biến dạng và đàn hồi; quan hệ này
trong thực tế là một quan hệ phức tạp chứ không đơn thuần là tuyến tính như trong
phần đàn hồi do đó việc nghiên cứu tính toán trong miền không đàn hồi là hết sức
cần thiết. Ta biết rằng vật rắn chỉ biến dạng đàn hồi khi nó biến dạng là rất nhỏ, đến
một chừng mực nào đó thì quá trình biến dạng xảy ra hiện tượng không đàn hồi đó
là hiện tượng biến dạng dư hay hiện tượng biến dạng dẻo.
Lí thuyết dẻo dùng công cụ toán học để mô tả quan hệ ứng suất và biến dạng

trong vật thể biến dạng dẻo. Nó mở ra triển vọng sử dụng đầy đủ khả năng bền
vững của vật liệu. Lí thuyết dẻo áp dụng và thừa kế những kiến thức của lí thuyết
đàn hồi, các công thức trong phần lí thuyết đàn hồi phần lớn đều áp dụng được
trong lí thuyết dẻo. Đối tượng nghiên cứu của lí thuyết dẻo là khá rộng: lí thuyết
biến dạng dẻo nhỏ, quá trình từ biến, biến dạng dẻo nhớt, biến dạng dẻo lớn…

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

7


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Một đặc điểm đáng chú ý của các bài toán dẻo đó là tính chất phi tuyến của
các định luật cơ bản trong lí thuyết dẻo. Cho nên việc tính toán thường gặp khó
khăn mà nhiều khi chúng ta không thể giải quyết được. Tuy nhiên ngày nay với sự
trợ giúp của máy tính và các lí thuyết số rất phát triển cho nên việc giải gần đúng
hoặc dùng phương pháp số để giải bài toán lí thuyết dẻo là hết sức cần thiết.
Phạm vi ứng dụng của lí thuyết dẻo. Lý thuyết dẻo là sức quan trọng với
người kĩ sư và nhà nghiên cứu vật lí. Dùng để giải quyết một số vấn đề về độ bền
của vật liệu và của các cấu trúc, công trình dựa trên lí thuyết dẻo. Nó mở ra triển
vọng về sử dụng đầy đủ khả năng về độ bền của vật liệu, và cần thiết trong tính toán
về máy móc và cấu trúc như dưới tác dụng của các dạng chịu tải chính. Chỉ tiêu của
phương pháp là đơn giản, dễ dàng áp dụng cho các bài toán trong quá trình thiết kế
tối ưu hoá của cấu trúc. Sử dụng hợp lí và kinh tế vật liệu trong quá trình biến dạng
dẻo dưới điều kiện nhiệt độ hay không nhiệt độ là hết sức cần thiết (rèn, dập, cán,
hay cắt gọt…); phân tích lực là hết sức cần thiết để hoàn thành quá trình gia công và

sự phân bố biến dạng tương ứng là hết sức quan trọng trong ứng dụng lí thuyết dẻo.
Trong khuôn khổ luận văn cao học của mình tôi xin trình bày vấn đề áp dụng
lí thuyết dẻo để tính toán cho kết cấu tấm chịu tải trọng và biến dạng dẻo; cụ thể
nghiên cứu biến dạng dẻo của tấm dưới tác dụng của các tải trọng khác nhau. Trong
luận văn của mình tôi đề cặp đến các vấn đề chính sau: 1) Giới thiệu lí thuyết về
trường ứng suất phẳng, và biến dạng phẳng đây là hai trường hợp cơ bản chịu lực
của tấm. 2) Giới thiệu về lí thuyết dẻo cơ bản, trong phần này đưa ra những công
thức về biến dạng dẻo nói chung. 3) Áp dụng lí thuyết dẻo vào một số bài toán cụ
thể về tấm đưa ra kết quả để đánh giá lí thuyết (dùng phần mền để tính toán). Nội
dung chính của luận văn gồm:Chương 1: Trạng thái ứng suất và trạng thái biến
dạng:Trong chương này sẽ giới thiệu về trường ứng suất và trường biến dạng. Lí
thuyết dẻo hiện nay đang sử dụng. Chương 2: Tấm đàn dẻo. Chương 3: Mô phỏng
bài toán bằng phần mền số.

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

8


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. Trường ứng suất
1.1. Ứng suất
Như ta đã biết tại một điểm bất kì trong môi trường liên tục luôn tồn tại một
trạng thái ứng suất, đó là một ten xơ đối sứng hạng hai và cho bởi công thức sau:

σ x τ xy τ xz
Tσ = τ yx σ y τ yz

(1.1)

τ zx τ zy σ z
Trong

đó

:

σ x ,σ y ,σ z

là

các

thành

phần

ứng

suất

τ xy = τ yx ,τ xz = τ zx ,τ yz = τ zy là các thành phần ứng suất tiếp trong hệ toạ độ
r

pháp;

Oxyz .

r

Một véc tơ ứng suất p trên mặt phẳng với véc tơ pháp tuyến n được cho
bởi công thức sau:

px = σ x nx + τ xy ny + τ xz nz
p y = τ xy nx + σ y ny + τ yz nz

(1.2)

pz = τ xz nx + τ yz ny + σ z nz
Trong

n

z

σn

đó: nx = cos ( n, x ) , n y = cos ( n, y ) , nz = cos ( n, z )

p

là các cô sin chỉ phương.

M

Véc tơ ứng suất ở trên có thể tách thành hai

τn

thành phần chính đó là thành phần ứng suất pháp

O
y

và thành phần ứng suất tiếp cho bởi công thức sau:
x

Nguyễn Hữu Tú

Hình 1

CHKT 2008-2010

9


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

σ n = σ x nx2 + σ y ny2 + σ z nz2 + 2τ xy nx ny + 2τ xz nx nz + 2τ yz ny nz
τ n = p 2 − σ n2 = px2 + p 2y + pz2 − σ n2

(1.3)
(1.4)

Tại một điểm của vật thể biến dạng luôn tồn tại ba mặt phẳng trục giao nhau
mà tại đó ứng suất tiếp bằng 0, hướng pháp tuyến của các mặt đó gọi là các hướng
chính của ten xơ ứng suất. Các hướng chính không phụ thuộc vào việc chọn hệ trục
tạo độ x,y,z. Ứng suất pháp tương ứng với các phương chính gọi là ứng suất chính,
ta kí hiệu là:

σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3

(1.5)

Ten xơ ứng suất đối với trục chính là:

σ1 0 0
Tσ = 0 σ 2 0
0 0 σ3
Trên các tiết diện chia đôi góc giữa các mặt chính có ứng suất tiếp chính với
giá trị như sau:

τ1 =

1
1
1
(σ 2 − σ 3 ) ,τ 2 = (σ 3 − σ1 ) ,τ 3 = (σ 1 − σ 2 )
2
2
2

(1.6)

Với điều kiện (1.5) chúng ta thấy được rằng ứng suất tiếp lớn nhất là:

τ max = −τ 2 =

1
(σ 1 − σ 3 )
2

Khi cho trạng thái ứng suất ở một điểm thì ta có thể tìm được các ứng suất
chính của nó chính là nghiệm của phương trình

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

10


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

σ x -λ τ xy τ xz
τ yx σ y -λ τ yz = 0
τ zx τ zy σ z − λ
hay

−λ 3 + I1 (Tσ ) λ 2 + I 2 (Tσ ) λ + I 3 (Tσ ) = 0

(1.7)

Rõ ràng rằng ứng suất pháp trên một mặt không phụ thuộc vào việc ta chọn
hệ trục toạ độ và nó thay đổi theo góc của mặt phẳng đó. Ứng suất chính

σ 1 , σ 2 , σ 3 là cực trị của ứng suất σ n và đường nhiên là nó không phụ thuộc vào việc
chúng ta chọn hệ trục tạo độ. Công thức (1.7) có thể thu được như là các điều kiện
cựu trị của ưng suất pháp σ n . Các hệ số trong công thức (1.7) không thay đổi khi ta
đổi từ một hệ trục toạ độ này sang hệ trục toạ độ khác tương ứng và do đó gọi là các
bất biến. Các bất biến đó có giá trị như sau:

I1 (Tσ ) = σ 1 + σ 2 + σ 3
I 2 (Tσ ) = − (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 )

(1.8)

I 3 (Tσ ) = σ 1σ 2σ 3
Để ngắn gọn chúng ta viết cho hệ toạ độ chính, và gọi là các bất biến bậc
nhất, bậc 2 và bậc 3 của ten sơ ứng suất; điều này rất thuận tiện để chúng ta làm
việc, bởi vì khi ta biểu diễn các bất biến dưới dạng hàm của các thành phần ứng suất
thì nó phức tạp
1.2. Ten xơ ứng suất lệch
Khi cho một ten xơ ứng suất (1.1) chúng ta có thể đặt

σ=

1
(σ x + σ y + σ z )
3

Và gọi là giá trị áp suất trung bình hay ( áp suất thuỷ tĩnh).
Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

11


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Với vật liệu có các đặc trưng cơ học khác nhau và nó phân ra làm hai thành
phần là thành phần trượt và thành phần khối nở theo 3 phương, do đó chúng ta có
thể tách ten xơ ứng suất thành 2 ten xơ như sau:

Tσ = σ T1 + Dσ

(1.9)

trong đó σ T1 gọi là ten xơ cầu ứng suất và Dσ gọi là ten xơ lệch ứng suất.

σ x -σ τ xy τ xz
Dσ = τ yx σ y -σ τ yz

(1.10)

τ zx τ zy σ z − σ
Khi đó các thành phần ứng suất pháp của ten xơ lệch ứng suất là

(σ

x

− σ ,σ y − σ ,σ z − σ ) có lúc chúng ta kí hiệu là sx , s y , sz . Hướng chính của ten

xơ lệch ứng suất và của ten xơ ứng suất là trùng nhau, nhưng giá trị ứng suất chính
là khác nhau. Giá trị ứng suất chính của ten xơ lệch ứng suất là nghiệm của phương
trình sau

−λ 3 + I 2 ( Dσ ) λ + I 3 ( Dσ ) = 0

(1.11)

Các bất biến của ten xơ lệch ứng suất thu được bằng cách thay

σ 1 , σ 2 , σ 3 trong (1.8) bằng sx , s y , sz và ta thu được

I1 ( Dσ ) = 0
1
2
2
2
I 2 ( Dσ ) = ⎡(σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤
⎦
6⎣
I3 ( Dσ ) = sx s y sz

(1.12)

Ta thấy rằng ten xơ lệch ứng suất có 5 thành phần độc lập.
Đặt hệ số không âm:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

12


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

T = + I 2 ( Dσ ) =
1
=
6

(σ

− σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ + τ + τ
2

x

2

2

2
xy

2

xz

2
yz

)

(1.13)

Và được gọi là cường độ ứng suất tiếp. Cường độ ứng suất tiếp bằng 0 khi
ứng suất là áp suất thuỷ tĩnh.
Với trượt thuần tuý

σ 1 = τ ,σ 2 = 0,σ 3 = −τ
trong đó τ là ứng suất tiếp. Và theo đó ta có: T = τ
Trong trường hợp chịu kéo hoặc nén đơn theo trục x thì chúng ta có:

σ x = σ 1,σ y = σ z = τ xy = τ yz = τ zx = 0
theo đó:

T = σ1 / 3

(1.14)

Gọi

σu =

2
2

(σ

− σ y ) + ( σ y − σ z ) + ( σ z − σ x ) + 6 ( τ xy2 + τ xz2 + τ yz2 )
2

x

2

2

(1.15)

là cường độ ứng suất.
Trong phương trình bậc 3 (1.11) có nghiệm thực, chúng ta có thể biểu diễn
nghiệm dưới dạng hàm số lượng giác. Chúng ta biểu diễn các thành phần ứng suất
chính của ten xơ lêch ứng suất dưới dạng lượng giác như sau:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

13


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

2

1 ⎞
⎛
T cos ⎜ ωσ − π ⎟
3 ⎠
3
⎝
2
1 ⎞
⎛
s2 =
T cos ⎜ ωσ + π ⎟
3 ⎠
3
⎝
2
s3 =
T cos (ωσ )
3
s1 =

(1.16)

Trong đó góc ωσ được cho bởi công thức:

− cos ( 2ωσ ) =

3 3I 3 ( Dσ )
2T 3

(1.17)

Theo đó chúng ta có thể tìm được các ứng suất tiếp chính như sau:

1 ⎞
⎛
⎝
⎠
1 ⎞
⎛
τ 2 = T cos ⎜ ωσ + π ⎟
3 ⎠
⎝
τ 3 = T cos (ωσ )

τ 1 = T cos ⎜ ωσ − π ⎟
3

(1.18)

⎛
⎝

1 ⎞
3 ⎠

Với góc ωσ có giá trị trong khoảng ⎜ 0 ÷ π ⎟ . Theo các kí hiệu ở trên chúng
ta có τ max = −τ 2 và do đó chúng ta có bất đẳng thức sau:

1≤

T

τ max

≤

2
3

(1.19)

1.3. Phương trình cân bằng và điều kiện biên
Nếu tác dụng vào vật thể lực khối và lực mặt K j ,

∑

j

thì vật thể sẽ ở trong

trạng thái chuyển động hoặc cân bằng. Khi vật thể ở trạng thái cân bằng chúng ta có
phương trình như sau:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

14

Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

∂σ ij
∂xi

+ ρK j = 0

(1.20)

Điều kiện biên
+ trên biên S u cho trước chuyển dịch tức là:

u j = ubj

(1.21)

+ Trên biên S σ cho trước lực mặt

∑ j , tức là:

σ ijni = ∑ j

(1.22)

II. Trường biến dạng
2.1. Ten xơ biến dạng
Biến dạng của vật thể được xác định hoàn toàn khi chúng ta biết được
chuyển vị

u

của nó. Chuyển vị

u có thể biểu điễn thành 3 thành phần ux , u y , uz .

Biến dạng được đặc trưng bởi ten xơ biến dạng

εx
Tε =

1
γ xy
2

1
γ xz
2
1
γ yz
2

1
γ yx ε y
2
1
1
γ zx
γ zy ε z
2

2

Các thành phần của ten xơ biến dạng được xác định như sau:
2
2
2
∂u x 1 ⎡⎛ ∂u x ⎞ ⎛ ∂u y ⎞ ⎛ ∂u z ⎞ ⎤
+ ⎢⎜
εx =
⎟ +⎜
⎟ ⎥
⎟ +⎜
∂x 2 ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎥
⎣
⎦
∂u ∂u ⎡ ∂u ∂u ∂u ∂u
∂u ∂u ⎤
γ xy = x + y + ⎢ x x + y y + z z ⎥
∂y
∂x ⎣ ∂x ∂y
∂x ∂y
∂x ∂y ⎦

Nguyễn Hữu Tú

(1.23)

CHKT 2008-2010

15

Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Biểu diễn các thành phần khác tương tự.
Ten xơ biến dạng là một ten xơ đối xứng, và chúng ta có thể phân tích
chuyển về dạng một ma trận đường chéo như sau:

ε1 0 0
Tε = 0 ε 2 0
0 0 ε3
Trong đó ε 1 , ε 2 , ε 3 được gọi là thành phần biến dạng chính, có nghĩa một biến
dạng bất kì đều tương ứng với sự nở ra hay co vào theo 3 phương vuông góc nhau.
Theo cách khác ta có:

γ 1 = ε 2 − ε 3 , γ 2 = ε 3 − ε1 , γ 3 = ε1 − ε 2

(1.24)

Và chúng ta gọi đó là các biến dạng trượt chính. Giá trị lớn nhất của biến
dạng trượt cho tại một điểm gọi là biến dạng trượt lớn nhất γ max .
2.2. Biến dạng nhỏ
Trong trường hợp biến dạng nhỏ các thành phần biến dạng là nhỏ hơn so với
một giá trị nào đó, và hơn thế nữa góc xoay cũng phải nhỏ và do đó chúng ta có thể
bỏ qua các thành phần bậc cao trong công thức xác định biến dạng (1.23). Theo đó

∂u
∂u x
∂u

,ε y = y ,ε z = z
∂x
∂y
∂z
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u ∂u
= x + y , γ yz = y + z , γ zx = z + x
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
∂z

εx =
γ xy

(1.25)

Công thức (1.25) không đủ để miêu tả biến dạng thực tế của vật thể nó chỉ
phù hợp với vật thể có biến dạng nhỏ (tuyến tính). Do đó rất cần thiết để chúng ta
nghiên cứu, tính toán dùng công thức (1.23). Công thức (1.25) đã được chứng minh

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

16


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

là không phù hợp với biến dạng và ổn định của vật thể mền dẻo, dễ uốn (Mái, tấm,
vỏ). Bởi vì các phần tử này thường có biến dạng và góc xoay đáng kể.
2.3. Các bất biến
Các bất biến của ten xơ biến dạng được xác định giống như bất biến của ten
xơ ứng suất, ta có các bất biến biến dạng là:

I1 (Tε ) = ε1 + ε 2 + ε 3
I 2 (Tε ) = − ( ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1 )

(1.26)

I 3 (Tε ) = ε1ε 2ε 3
Chúng ta có thể phân tích ten xơ biến dạng thành hai thành phần như sau:

1
Tε = ε T1 + Dε
3
Trong đó

(1.27)

1
ε T1 gọi là ten sơ cầu biến dạng nó đặc trưng cho biến dạng thể
3

tích , và Dε gọi là ten sơ lệch biến dạng

1
3

1
1
γ xy
γ xz
2
2
1
1
εy − ε
γ yz
3
2
1
1
γ zy ε z − ε
2
3

εx − ε
Dε =

1
γ yx
2

1
γ zx
2

nó đặc trưng cho sự thay đổi hình dáng của vật thể bởi biến dạng trượt. Bất
biến của ten xơ lệch biến dạng là:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

17


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

I1 ( Dε ) = 0
1
2
2
2
I 2 ( Dε ) = ⎡( ε1 − ε 2 ) + ( ε 2 − ε 3 ) + ( ε 3 − ε1 ) ⎤
⎣
⎦
6
1 ⎞⎛
1 ⎞⎛
1 ⎞
⎛

I 3 ( Dε ) = ⎜ ε1 − ε ⎟⎜ ε 2 − ε ⎟⎜ ε 3 − ε ⎟
3 ⎠⎝
3 ⎠⎝
3 ⎠
⎝

(1.28)

Trong lý thuyết dẻo thì bất biến bậc 2 có vai trò hết sức quan trọng, chúng ta
xem nó như là tính chất chung của biến dạng của phần tử trong môi trường liên tục.
Chúng ta gọi giá trị không âm

Γ = +2 I 2 ( Dε ) =
2
=
3

(ε

− ε y ) + (ε y − ε z ) + (ε z − ε x )
2

x

2

2

3
+ ( γ xy2 + γ yz2 + γ zx2 )

2

(1.29)

là cường độ biến dạng trượt.
Trong trường hợp trượt thuần tuý

ε x = ε y = ε z = γ yz = γ xz = 0, γ xy = γ
Thay các giá trị vào (2.1) chúng ta có:

Γ= γ
Gọi

eu =

2
3

(ε

x − ε y ) + ( ε y − εz ) + ( εz − εx ) +
2

2

2

3 2
γxy + γ yz2 + γzx2 )
(

2

(1.30)

là cường độ biến dạng.
Sau khi giải nghiệm của (1.29) chúng ta có thể chọn trường hợp trượt thuần
tuý và do đó chúng ta thu được:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

18


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

1
3

ε ij = εδ ij + eij

(1.31)

Trong đó eij là thành phần ten xơ lệch biến dạng
* Biểu diễn lượng giác
Tương tự như ứng suất thì biến dạng chính chúng ta cũng có thể biểu diễn
nghiệm dưới dạng lượng giác, ta có

1
1 ⎞
⎛
Γ cos ⎜ ωe − π ⎟
3 ⎠
3
⎝
1
1 ⎞
⎛
Γ cos ⎜ ω e + π ⎟
ε2 =
3 ⎠
3
⎝
1
Γ cos (ωe )
ε3 =
3

ε1 =

(1.32)

Trong đó

− cos ( 3ωe ) =

12 3I 3 ( De )
Γ3

(1.33)

Với

1
0 ≤ ωe ≤ π
3
Chúng ta có thể tìm được xấp xỉ như sau:

Γ = 1.08γ max

(1.34)

* Phương trình tương thích biến dạng
Các thành phần biến dạng phải phù hợp với sáu phương trình tương thích
biến dạng của Saint Venant:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

19


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau
2
2
∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy

+ 2 =
∂y 2
∂x
∂x∂y

∂ 2ε x ∂ 2ε z ∂ 2γ xz
+ 2 =
∂z 2
∂x
∂x∂z
2
2
∂ 2ε z ∂ ε y ∂ γ yz
+ 2 =
∂y 2
∂z
∂y∂z

(1.35)

∂ 2ε x ∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞
= ⎜−
+
+
2
⎟
∂y∂z ∂x ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞

−
+
⎜
⎟
∂x∂z ∂x ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
∂γ ⎞
∂ 2ε z
∂ ⎛ ∂γ
∂γ
= ⎜ yz + xz − xy ⎟
2
∂x∂y ∂x ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
2

∂ 2ε y

=

III. Tốc độ biến dạng
Tính chất nhớt dẻo có thể xuất hiện trong vật thể khi có hiện tượng biến dạng
lớn, vì vậy người ta thường đặc trưng quá trình biến dạng bằng các đại lượng tốc độ
biến dạng. Nhận xét theo bản chất của nó, biến dạng dẻo là một trạng thái chuyển
động. Hiện tượng chảy dẻo được xem như một chuyển động nào đấy của môi
trường liên tục.
3.1. Ten xơ tốc độ biến dạng
Giả thiết phần tử môi trường liên tục chuyển động với vận tốc

v , gồm các

thành phần

v x = v x ( x, y , z , t ) , v y = v y ( x, y , z , t ) , v z = v z ( x, y , z , t )
Trong khoảng thời gian dt môi trường liên tục biến dạng một lượng được
xác định là u x dt ; u y dt ; u z dt . Các thành phần biến dạng tính theo công thức (1.25),
chúng đều có thừa số dt , và theo đó chúng ta có phần tử của ten xơ tốc độ biến
dạng đối xứng như sau:

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

20


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

ξx
Tξ =

1
η xy
2

1
η xz

2
1
η yz
2

1
η yx ξ y
2
1
1
η zx
η zy ξ z
2
2

trong đó

∂v
∂vx
∂v
,ξ y = y ,ξ z = z
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v ∂v
∂v ∂v
∂v
η xy = x + y ,η xz = x + z ,η yz = y + z
∂y ∂x

∂z ∂x
∂z
∂y

ξx =

(1.36)

Các thành phần ξ x ,ξ y ,ξ z thể hiện tốc độ biến dạng dọc theo các trục toạ độ,
còn η xy ,η yz ,η xz thể hiện tốc độ biến dạng góc . Tốc độ giãn nở của vật thể là:

ξ = ξ x + ξ y + ξ z = div ( v )

(1.37)

Chúng ta có thể phân tích tốc độ biến dạng thành hai thành phần, đó là thành
phần tốc độ biến dạng thể tích đặc trưng bởi véc tơ biến đổi
tốc độ thay đổi góc lệch đặc trưng bởi véc tơ góc ω =

v

và một thành phần

1
curlv .
2

Gia tốc biến dạng thu được bằng việc lấy tổng đạo hàm

∂vx

∂v
∂v
∂v
+ vx x + v y x + vz x
dt
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
∂v
w y = y + vx y + v y y + vz y
dt
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
∂v
w z = z + vx z + v y z + vz z
dt
∂x
∂y
∂z
wx =

Nguyễn Hữu Tú

(1.38)

CHKT 2008-2010

21


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

3.2 Bất biến của ten xơ vận tốc biến dạng
Bất biến của ten xơ tốc độ biến dạng Tξ và của ten xơ độ lệch tốc độ biến
dạng Dξ có thể thu được từ công thức (1.26) và (1.28) bằng cách thay ε x ,..., γ xz
bằng ξ x ,...,η xz .
Trong đó chúng ta đặt:

H = +2 I 2 ( Dξ ) =

=

2
3

(ξ

− ξ y ) + (ξ y − ξ z ) + ( ξ z − ξ x ) +
2

x

2

2

3 2
η xy + η yz2 + η zx2 )
(
2

Gọi là cường độ tốc độ biến dạng trượt.
3.3. Biến dạng và tốc độ biến dạng
Chúng ta có tốc độ biến dạng là đạo hàm toàn phần của chuyển vị theo thời
gian vi =

dui
, còn tốc độ biến dạng thì được tính như sau:
dt
∂ du j
1 ⎛ ∂ dui
+
2 ⎝ ∂x j dt ∂xi dt

ξ ij = ⎜
⎜

⎞
⎟⎟
⎠

(1.39)

Rõ ràng rằng

ξij ≠

d
ε ij
dt

Trong trường hợp biến dạng nhỏ chúng ta coi vi =

∂
∂
ui và do đó ξij = ε ij
∂t
∂t

IV. Tính chất cơ học của vật rắn khi có biến dạng dẻo

Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

22


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Để nhận được liên hệ giữa ứng suất và biến dạng ngoài giới hạn đàn hồi

trong trường hợp tổng quát chúng ta cần biết được tính chất cơ học của vật liệu liên
quan đến tính đàn hồi và tính dẻo của vật liệu
Đồ thị kéo-nén đơn giản vật thể cho ta liên hệ thực tế giữa ứng suất σ 1 và
biến dạng ε 1 trong trường hợp ứng suất một chiều. Nó cho phép ta phát hiện nhiều
tính chất cơ học của vật liệu
4.1 Biến dạng đàn

P
F0

hồi và biến dạng dẻo
Khi

chúng

30

ta

thí

20

nghiệm kéo-nén một mẫu

B

D

Thép

C

A

Đồng

10

hình trụ bằng đồng và thép

0

bởi một thay đổi P chúng ta

0.01 0.02 0.03

thu được đồ thị liên hệ giữa

-10

ứng suất và biến dạng. Đồ
thì hình 1.2 là đồ thị kéo nén
đơn giản của thép và đồng

Kéo

C’
D’

Nén

trong điều kiện nhiệt độ

A’

-20

B’

-30

∆l
l0

Hình 1.2

phòng

Trên đồ thị thị chúng ta có: A là điểm giới hạn tuyến tính, B giới hạn đàn hồi
nếu cất tải tại điểm B thì trong mẫu có biến dạng dư, ra ngoài điểm B thì chúng ta
thấy biến dạng tăng trong khi tải trọng không tăng; tiếp theo đến C tăng ứng suất thì
biến dạng tăng và đây gọi là giai đoạn biến cứng. Đồ thị phần nén mẫu thu được
cũng tương tự như đồ thị của phần nén như trên đồ thị tuy nhiên các giá trị tương
ứng tại các điểm A’, B’, C’, D’ có thể lớn hơn ở các điểm A,B,C,D. Ứng suất tương
ứng với đoạn BC gọi là giới hạn chảy.
Một số vật liệu (như Đồng, nhôm, thép hợp kim cao…) trên đồ thị không có
giới hạn chảy.
Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

23


Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi - dẻo
dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Nếu bỏ lực, ta thu được đường cong ABC
(hình 1.3) tương tự như một đường thẳng, đường này

P
F0

A

giống như đường thẳng đàn hồi tuyến tính, độ lớn của

E

đoạn biến dạng dư bằng đoạn OC.
Mẫu với hiện tượng trượt thuần tuý (xoắn của
ống) kết quả thí nghiệm tương tự như đường cong

D

kéo.

O
C

Trong lí thuyết dẻo đường cong biến dạng

Hình1. 3

thường cho như trong (hình 1.4) chúng ta có đồ thị
phụ thuộc của biến dạng trượt γ và ứng suất tiếp

τ

B
∆l
l0

với mẫu trượt thuần tuý. Khi

τ < τ s vật liệu tuân theo định luật Hook
τ = Gγ

(1.40)

Đoạn AB có tính chất biến dạng trượt tăng khi mà ứng suất tiếp không tăng

τ = τ s = const

(1.41)

Biến dạng của đoạn này tiếp

τ

tục tăng đến giá trị γ s gọi là giới hạn

C

chảy. Sau đoạn này biến dạng tăng

τs

khi ứng suất tăng theo một đường

A

B
D

công bởi công thức:

τ = g (γ ) γ

O
γ0

Hàm g ( γ ) gọi là mô đul dẻo,

γs

Hình1. 4

theo kinh nghiệm thì 0 ≤ g ( γ ) ≤ G . Nếu không có hiện tượng chảy AB thì quá

trình biến cứng BC được nối với đoạn đàn hồi tuyến tính OA.
4.2 Biến cứng của vật liệu
Nguyễn Hữu Tú

CHKT 2008-2010

24

γ