Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số

BẢN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Tên Sáng kiến: "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình

chứa ẩn trong dấu căn"
2. Mô tả ý tưởng:
a) Hiện trạng và nguyên nhân của hiện trạng:
Tiến hành khảo sát thực tế ở đối với học sinh lớp 12 (mỗi trường thực
hiện khảo sát 50 học sinh) của 4 trường THPT: trường PTDTNT THPT, trường
THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên.
Kết quả: 80 % học sinh lớp 12 chưa biết các phương pháp giải phương
trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa đúng phương trình vô tỷ và 95% học
sinh không biết giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp Hàm số.
Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THPT năm học 2011- 2012, có 90 bài
của thí sinh thi môn Toán trong đó chỉ có 30 bài (chiếm tỷ lệ 33,3 %) học sinh
giải được bài phương trình vô tỷ.
Trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và Cao đẳng hàng năm, hầu hết cấu
trúc đề có bài giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ nhưng học sinh lại
bỏ qua hoặc lời giải không đầy đủ, chính xác.
Nguyên Nhân: Giáo viên chưa có sự hế thống hoá nhận dạng các phương
trình vô tỷ, kỹ năng giải phương trình có chứa ẩn trong dấu căn còn yếu.
Bài toán giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi tuyển học sinh chuyên Toán, thi học
sinh giỏi và rất nhiều năm được ra trong đề bài của kỳ thi tuyển sinh đại học và
cao đẳng. Tuy nhiên, trên thực tế đa số học sinh chưa nắm được đặc trưng và
phương pháp tối ưu để giải, do đó học sinh thường mắc phải sai lầm trong quá
trình biến đổi hoặc chưa biết sử dụng phương pháp giải ngắn gọn, phù hợp.
Ở các năm học trước tôi đã đưa ra một số phương pháp giải phương trình
vô tỷ như: Chuyển một phương trình vô tỷ về hệ phương trình hữu tỷ (hệ tạm),
chuyển một phương trình vô tỷ về phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối,
phương pháp đặt ẩn phụ,...Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục bộ môn Toán ở
trường trung học, đặc biệt là đào tạo học sinh mũi nhọn cấp THPT, học sinh

tham gia thi tuyển sinh các khối A, B, D các trường Đại học, Cao đẳng, để giúp
học sinh có cách nhận dạng dễ dàng hơn về cách giải phương trình vô tỷ, bất
phương trình vô tỷ giúp các bạn đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo ôn
luyện cho học sinh, trong bài viết này tôi đưa ra phương pháp "Dùng phương
pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ có chứa ẩn trong dấu căn".Qua đó
học sinh có thể rèn luyện được rất nhiều kiến thức toán học có liên quan.
b) Ý tưởng:
Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là
nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên Toán bậc THCS, THPT. Như chúng
1


ta đã biết, Toán là khoa hoc suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang
tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành
những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo
cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán
học còn có tính thực tiễn. Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi
mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học
toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh
làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các
kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và
kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học
toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy
tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán.
Xuất phát từ thực tế trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa
học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh
những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm
tra và giảng dạy học sinh ở trường THPT, công tác chỉ đạo chuyên môn ở cơ
quan quản lý giáo dục, tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng
mới trong "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô có chứa ẩn

trong dấu căn", vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc
học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của
người giáo viên. Trong phạm vi đề tài này, tôi xin được đưa ra kỹ thuật "Dùng
phương pháp Hàm số để giải phương trình vô có chứa ẩn trong dấu căn", để
giáo viên và học sinh tham khảo.
3. Nội dung công việc.
Bước 1: Khảo sát thực tế:
Tôi đã tiến hành khảo sát thực tế ở đối với học sinh lớp 12 của một số
trường THPT: PTDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT
Nguyễn Văn Huyên.
Kết quả: 80 % học sinh lớp 12 chưa biết các phương pháp giải phương
trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa đúng phương trình vô tỷ và 95% học
sinh không biết giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp Hàm số.
Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THPT năm học 2011- 2012, có 90 bài
của thí sinh thi môn Toán trong đó chỉ có 30 bài (chiếm tỷ lệ 33,3 %) học sinh
giải được bài phương trình vô tỷ.
Trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và Cao đẳng hàng năm, hầu hết cấu
trúc đề có bài giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ nhưng học sinh lại
bỏ qua hoặc lời giải không đầy đủ, chính xác.
Trao đổi với Lãnh đạo, Tổ trường chuyên môn Tổ Toán các trường trường
THPT: PTDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn
Huyên.

2


Bước 2: Cung cấp tài liệu cho giáo viên tài liệu tham khảo về giải phương
trình vô tỷ.
Hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong đó có
phương pháp "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ, bất

phương trình vô tỷ".
Đưa sáng kiến kinh nghiệm để các trường triển khai thực hiện.
Bước 3: Trao đổi với Lãnh đạo, Tổ trưởng chuyên môn về kết quả triển
khai sáng kiến.
4. Triển khai thực hiện.
4.1. Nội dung sáng kiến:
Ta nhận thấy việc giải phương trình vô tỷ khá phức tạp, nhất là đố với các
bài toán có chứa tham số. Đứng trước bài toán này thì phương pháp đạo hàm tỏ
ra khá hiệu quả hơn các phương pháp khác. Thực chất của phương pháp đạo
hàm là sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (tính bằng đạo ham) để giải và
biện luận phương trinh.
Các bước giải theo phương pháp đạo hàm:
- Chuyển phương trình về dạng f ( x) = g (m)
- Xét hàm số f(x) trên D (D là tập xác định của bài toán)
- Tính f’(x) và lập bảng biến thiên.
- Dựa vào bảng biến thiên để xác định yêu cầu của bài toán.
4.1. Cơ sở để giải và biện luận phương trình
Phương trình f ( x) = α có nghiệm x ∈ D ⇔ m = min Df ( x) ≤ α ≤ maxDf ( x) = M
4.2. Ví dụ minh họa
* Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 x 2 − 2(m + 4) x + 5m + 10 + 3 − x = 0

(1)

Hướng dẫn giải:
x ≥ 3

Phương trình (1) ⇔ 

2

2
2 x − 2(m + 4) x + 5m + 10 = ( x − 3)

x ≥ 3

⇔  x2 − 2x + 1
=m

 2x − 5
x2 − 2x + 1
Bây giở ta đi xét hàm số ⇔ f ( x) =
trên tập xác định D = [3; +∞)
2x − 5

Ta có: f ' ( x) =

2 x 2 − 10 x + 8
(2 x − 5) 2

3


x = 1
⇔
x = 4

f ' ( x) = 0 ⇔ 2 x 2 − 10 x + 8 = 0

Ta có bảng biến thiên sau:
x

-∞

3

+∞

4

f’

-

0

+
+∞

4
f
3
min f ( x) = f (4) = 3

Từ bảng biến thiên ta thấy:

lim f ( x) = +∞
x →+∞

Vậy phương trình có nghiệm khi m ≥ 3
* Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(2)

2 x2 − 4x − 2 3 + 2 x − x2 + 1 − m = 0

Hướng dẫn giải:
Đặt t = 3 + 2 x − x 2 = 4 − ( x − 1) 2
⇒ Điều kiện của t:

0≤t ≤2

(2) ⇔ 6 − 2t 2 − 2t + 1 − m = 0

(*)

⇔ 2t 2 + 2t = 7 − m

Xét hàm số f (t ) = 2t 2 + 2t

trên [0; 2] Ta có f ' (t ) = 4t + 2 = 2(2t + 1)

Bài toán trở thành: tìm m để pương trình (*) có nghiệm ∈ [0; 2]
Ta thấy f ' (t ) > 0∀t ∈ [0; 2]
Ta có bảng biến thiên sau:
t

0

f’(t)

2

+

f(t)

12
0
4


Từ bảng biến thiên suy ra:
min f (t ) = f (0) = 0
t∈[0;2]

max f (t ) = f (2) = 12

t∈[0;2]

Vậy phương trình có nghiệm khi 0 ≤ 7 − m ≤ 12 ⇔ −5 ≤ m ≤ 7
Nhận xét cách giải: bài toán trên chưa thể áp dụng ngay phương pháp hàm số mà
phải sử dụng phương pháp đổi biến số. Khi đổi biến số cần lưu ý việc tìm điều
kiện của ẩn phụ.
* Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(3)

x − x −5 = m

Hướng dẫn giải:
x≥5

Điều kiện:

Xét hàm số: f ( x) = x − x − 5
5

⇒ f ( x) =

Ta có: f ' ( x) =

1
2 x

−

x + x+5

> 0 với ∀x ≥ 5

1
x −5 − x
=
< 0 với
2 x −5 2 x x −5

∀x > 5

Lập bảng biến thiên:
x

+∞

5

f’(x)
f(x)

5

0
Từ bảng biến thiên suy ra:

max f ( x) = f (5) = 5
x ≥5

lim f ( x) = 0
x →∞

Vậy phương trình có nghiệm khi: 0 < m ≤ 5
• Chú ý: Khi giải theo phương pháp đạo hàm cân lưu ý tính chất các điểm
tới hạn của hàm số chia miền xác định thành những khoảng ma trên đó
hàm số đồng biến hoặc nghịch biến và quan trọng hơn hết là học sinh phải
xét được dấu của f’(x) trên D. Có nhiều bài toán việc tính nghiệm f’(x) =
0 khá khó khăn, vì vậy để xét dấu của f’(x) ta có thẻ dùng phương pháp
đánh giá.

5


• Một điều chú ý nữa là học sinh hay mắc phải sai lầm trong bài toán (như
VD3) là từ bảng biến thiên học sinh lấy cả giá trị m = 0 mà ở đây 0
khpông phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số mà là giá trị chặn dưới của tập

giá trị.
* Ví dụ 4: Biện luận tho m số nghiệm của phương trình sau
(4)

x + 3 = m x2 + 1

Hướng dẫn giải:
(4) ⇔ m =

x+3
x2 + 1

x2 + 1 −

Hàm số xác định với ∀ ∈ ¡

2 x( x + 3)

1 − 3x
2 x2 + 1 =
2
x +1
( x 2 + 1) x 2 + 1

f ' ( x) =

Ta có bảng biến thiên:
x

1

3

−∞

f’(x)

+

+∞

0

f(x)

-

10

-1
Ta có:

lim f ( x) = lim

x →−∞

x →−∞

lim f ( x) = lim

x →+∞

x →+∞

1
x+3
x +1
2

x+3
x2 + 1

= lim

x →−∞

= lim

x →+∞

x+3
1
x 1+ 2
x
x+3
1
x 1+ 2
x

= −1

=1

Đồ thị của hàm số có 2 tiệm cận ngang y = 1 và y = - 1.
Ta có kết luận sau:
+ m ≤ −1 hoặc m > 10 : Phương trình (4) vô nghiệm
+ −1 ≤ m ≤ 1 hoặc m = 10 Phương trình (4) có 1 nghiệm
+ 1 ≤ m ≤ 10 Phương trình (4) có 2 nghiệm
Chú ý: Trong quá trình biện luận bằng bảng biến thiên, cần kết hợp các tiệm cận
của hàm số. Trong ví dục 4, học sinh dễ mắc sai lầm m = - 1 phương trình có
nghiệm.

6


Tuy nhiên trong thực tế không phải lúc nào ta cũng chuyển được ngay phương
trình về dạng f(x) = g(m), có những bài toán sẽ gặp phải khó khăn trong việc
tính f’(x), tìm nghiệm f’(x) = 0, ....Chẳng hạn ta xét bài tập sau;
* Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x )
0≤ x≤4

Hướng dẫn giải: Điều kiện

Nhận xét: nếu ta biến đổi: (5) ⇔ m =
Và xét hàm số f ( x) =

(5)

x x + x + 12
5− x + 4− x

x x + x + 12
trên [0; 4] thì việc tính đạo hàm và xét dấu
5− x + 4− x

của đạo hàm khá phức tạp, vì vậy ta biến đổi như sau:
Vì

( 5 − x + 4 − x )( 5 − x − 4 − x ) = 5 − x + 4 + x = 1

Nên (5) ⇔ ( x x + x + 12)( 5 − x − 4 − x ) = m
Ta xét hàm số: f ( x) = ( x x + x + 12)( 5 − x − 4 − x ) trên [0; 4]
đặt h( x) = ( x x + x + 12)
và g ( x) = ( 5 − x − 4 − x )
'
+ Ta có: h ( x) = x +

x
2 x

+

1
> 0 với ∀x ∈ (0; 4]
2 x + 12

⇒ h(x) đồng biến và h(x) > 0 với ∀x ∈ [0; 4]
'
+ g ( x) =

−1
1
1
1
1
+
= (
−
)
2 5− x 2 4− x 2 4− x
5− x
=

1 5− x − 4− x
(
)>0
2
4 − x. 5 − x

với ∀x ∈ (0; 4]

⇒ g(x) đồng biến và g(x) > 0 với ∀x ∈ [0; 4]

Vậy f(x) = h(x).g(x) đồng biến trên [0; 4] và có tập giá trị
f (0) ≤ f ( x) ≤ f (4)
⇔ 12( 5 − 4) ≤ f ( x) ≤ 12

Do đó để phương trình f(x) = m có nghiệm thì: 12( 5 − 4) ≤ m ≤ 12
Vậy với 12( 5 − 4) ≤ m ≤ 12 thì phương trình (5) có nghiệm.
4.3. Kết luận:

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số sẽ cho ta lời giải
dễ hiểu, ngắn gọn, từ đó giúp học sinh củng cố sâu về kiến thức sự biến thiên
của hàm số.
7


Khi sử dụng phương pháp hàm số học sinh cần phân biệt giữa giá trị lơn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với các giá trị bị chặn trên, chặn dưới của tập
giá trị.
Chẳng hạn từ bảng biến thiên:
x

+∞

5

f’(x)

-

f(x)

5

0
f ( x ) = 5 . Còn 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số giá trị chặn
Thì max
[5; +∞ 0

của tập giá trị. Tuy nhiên phương pháp này chi áp dụng cho học sinh lớp 12.

4.4. Bài tập luyện tập. Giải các phương trình sau:
Bài 4.1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a) 1 + 2 cos x + 1 + 2s inx = m
b) x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m
Bài 4.2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x4 + 4x + m + 4 x4 + 4 x + m = 6

Gợi ý cách giải:
Bài 4.1.
π
6

a) xét hàm số f ( x) = 1 + 2 cos x + 1 + 2s inx trên TXĐ: − + k 2π ≤ x ≤

2π
+ k 2π
3

Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm ta được kết quả: 1 + 3 ≤ m ≤ 2 1 + 2
b) Xét f ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có TXĐ ¡
Đáp sô: -1 < m < 1
Bài 4.2. đặt t = 4 x 4 + 4 x + m ; t ≥ 0
Thay vào phương trình đã cho ⇒ t = 2
4

x 4 + 4 x + m = 2 ⇔ x 4 + 4 x = 16 − m

Xét hàm số: f ( x) = x 4 + 4 x
Lập bảng biến thiên ta có kết quả:
m > 19 Phương trình vô nghiệm

8


m = 19 Phương trình có 1 nghiệm
m < 19 Phương trình có 2 nghiệm
5. Thời gian thực hiện:
Từ tháng 9/2012 đến hết tháng 4/2013
6. Triển khai phối hợp: Phổi hợp với Hiệu trưởng, tổ trưởng chuyên môn các
trường THPT đã tiến hành khảo sát để hoàn thành sáng kiến.
7. Kết quả đạt được:
Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện
pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đã
đạt được một số kết quả cụ thể như sau:
1. Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa
ngay sau đó, sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các thầy, cô giáo và với các em
học sinh sẽ dễ hiểu và biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo
các kiến thức đã học làm cơ sở cho việc tiếp thu bài mới một cách thuận lợi,
vững chắc.
2. Đặc biệt là nội dung phần nhận xét sau một vài bài tập ví dụ sẽ giúp các
em học sinh củng cố những hiểu biết chưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn
nhận vấn đề đặt ra cho các em học sinh, để trả lời một cách thỏa đáng cấu hỏi “
Tại sao lại nghĩ và làm như vậy?”
3. Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học
sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy
độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng
nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán.
4. Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp
các em học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải.
5. Với phong cách trình bày như vậy, bộ tài liệu này còn nhằm giúp cho
các em học sinh rèn luyện năng lực vận dụng lý thuyết được học .Tạo không khí

sôi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh bằng các bài toán sinh động, hấp dẫn
thực sự biến giờ học, lớp học luôn là không gian toán học cho học sinh.
Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn
các tài liệu sách hiện nay để viết, cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của
các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện bộ tài liệu này, nhưng khó tránh khỏi
những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận
được những đóng góp quý báu của quý thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp
và các bạn đọc gần xa./.
Người thực hiện

9


Hoàng Thị Kim Ngân

10