Đánh giá độ tin cậy phát công suất của nguồn điện bằng phương pháp monte carlo

Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................................5
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................6
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...............................................7
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................................8
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ..................................................................9
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................12
0.1 Lý do chọn đề tài ...............................................................................................12
0.2 Lịch sử nghiên cứu ............................................................................................12
0.3 Mục đích nghiên cứu luận văn, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ..................12
0.4 Các luận điểm cơ bản........................................................................................13
0.5 Phƣơng pháp nghiên cứu..................................................................................13
NỘI DUNG ..............................................................................................................14
CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO VÀ PHẦN MỀM
MODELRISK ..........................................................................................................14
1.1 Khái niệm về phƣơng pháp Monte Carlo ........................................................14
1.1.1 Sự hình thành và khái niệm về phƣơng pháp Monte Carlo .....................14
1.1.2 Số ngẫu nhiên ...........................................................................................19
1.1.2.1 Khái niệm về số ngẫu nhiên ..............................................................19
1.1.2.2 Cách tạo ra số ngẫu nhiên (giả ngẫu nhiên) ......................................20
1.1.2.2.1 Phƣơng pháp nửa bình phƣơng ..................................................21
1.1.2.2.2 Phƣơng pháp đồng dƣ bậc hai ....................................................22
1.1.2.2.3 Phƣơng pháp đồng dƣ tuyến tính ...............................................22
1.1.2.2.4 Phƣơng pháp đồng dƣ cộng .......................................................25
1.1.2.3 Các dãy số ngẫu nhiên có phân bố xác suất khác nhau ....................26
1.1.2.3.1 Số thực ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng [0,1). ................26
1.1.2.3.2 Phân bố nhị phân ........................................................................26

1.1.2.3.3 Số ngẫu nhiên với hàm phân bố xác suất F(x) cho trƣớc...........27
1.2 Giới thiệu phần mềm ModelRisk ....................................................................28

Đàm Trọng Nam

1


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

1.2.1 Nội dung của phần mềm ModelRisk .......................................................28
1.2.2 Các phân phối...........................................................................................29
1.2.3 Các bƣớc sử dụng phần mềm ...................................................................38
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1: ....................................................................................41
CHƢƠNG 2 - KHÁI NIỆM VỀ ĐỘ TIN CẬY VÀ YÊU CẦU ĐẢM BẢO ĐỘ
TIN CẬY CÔNG SUẤT NGUỒN PHÁT TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN ............42
2.1 Khái niệm độ tin cậy .......................................................................................42
2.1.1 Độ tin cậy phần tử ....................................................................................42
2.1.2 Độ tin cậy của hệ thống............................................................................46
2.1.2.1 Hỏng hóc hệ thống ............................................................................46
2.1.2.2 Sơ đồ logic ĐTC ...............................................................................46
2.1.2.3 Độ tin cậy của hệ thống đơn giản......................................................48
2.1.2.3.1 Sơ đồ nối tiếp .............................................................................48
2.1.2.3.2 Sơ đồ song song .........................................................................48
2.1.2.3.3 Các phƣơng pháp tính toán ĐTC của hệ thống có sơ đồ phức tạp
...................................................................................................................49
2.2 Độ tin cậy của hệ thống điện ...........................................................................51
2.2.1 Các chỉ tiêu ĐTC liên quan đến độ đảm bảo CCĐ cho khách hàng ........51

2.2.2 Các chỉ tiêu ĐTC liên quan đến độ đảm bảo hoạt động bình thƣờng của
HTĐ...................................................................................................................54
2.2.2.1 Xác suất thiếu hụt công suất LOLP (Loss Of Load Probability) ......54
2.2.2.2 Kỳ vọng điện năng thiếu hụt với toàn hệ thống ................................56
2.2.2.3 Dự trữ công suất và điện năng trong HTĐ........................................57
2.2.3 Trạng thái và hỏng hóc của hệ thống điện ...............................................58
2.2.4 Ảnh hƣởng của độ tin cậy đến cấu trúc của hệ thống điện ......................59
2.2.5 Đặc điểm của hệ thống điện về mặt độ tin cậy và các biện pháp nâng cao
độ tin cậy của hệ thống điện..............................................................................60
2.2.6 Các bài toán về độ tin cậy ........................................................................61
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2......................................................................................61

Đàm Trọng Nam

2


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

CHƢƠNG 3 - MÔ PHỎNG VÀ TÍNH TOÁN ĐỘ TIN CẬY PHÁT CÔNG
SUẤT CỦA NGUỒN ĐIỆN THEO PHƢƠNG PHÁP MONTE-CARLO ........62
3.1 Đánh giá ĐTC nguồn điện xét đến ảnh hƣởng của các phần tử trọng yếu kết
nối với lƣới điện ....................................................................................................62
3.2 Mô hình các phần tử và sơ đồ logic tính toán ĐTC nguồn điện .....................64
3.2.1 Mô hình máy phát nhiệt điện ...................................................................64
3.2.2 Mô hình máy phát thủy điện ....................................................................65
3.2.3 Máy biến áp ..............................................................................................66
3.2.4 Đƣờng dây tải điện ...................................................................................67

3.2.5 Sơ đồ lƣới phức tạp ..................................................................................68
3.3 Tính toán khả năng thông qua của sơ đồ (giới hạn truyền tải) .......................69
3.3.1 Sơ đồ nối tiếp, song song .........................................................................69
3.3.2 Sơ đồ phức tạp có nhánh ngang ...............................................................70
3.2 Ví dụ tính toán bằng phần mềm ModelRisk ...................................................80
3.2.2 Kết quả tính toán ......................................................................................84
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3: ....................................................................................85
CHƢƠNG 4 - VÍ DỤ ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO ĐỂ
TÍNH TOÁN ĐỘ TIN CẬY PHÁT CÔNG SUẤT CỦA NGUỒN ĐIỆN..........86
4.1 Nhà máy thủy điện Hòa Bình ..........................................................................86
4.1.1 Thông số nhà máy và nhập dữ liệu vào phần mềm..................................86
4.1.2 Kết quả tính toán ......................................................................................91
4.2 Nhiệt điện Phả Lại 1,2.....................................................................................93
4.2.1 Thông số nhà máy và nhập dữ liệu vào phần mềm..................................93
4.2.2 Kết quả tính toán ......................................................................................96
4.3 Nhà máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1 ...............................................................97
4.3.1 Thông số nhà máy và nhập dữ liệu vào phần mềm..................................97
4.3.2 Kết quả tính toán ......................................................................................99
4.4 Đánh giá công suất phát của 3 nhà máy ........................................................100
KẾT LUẬN CHƢƠNG 4: ..................................................................................101

Đàm Trọng Nam

3


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

KẾT LUẬN ............................................................................................................102
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................103

Đàm Trọng Nam

4


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, những vấn đề đƣợc trình bày trong luận văn này là những nghiên
cứu của riêng cá nhân tôi, có tham khảo một số tài liệu và bài báo của các tác giả
trong và ngoài nƣớc đã xuất bản. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu sử dụng
kết quả của ngƣời khác.
Tác giả

Đàm Trọng Nam

Đàm Trọng Nam

5


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này, tôi nhận đƣợc sự giúp đỡ,
động viên của thầy cô, bạn bè.
Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành tới GS.TS Lã Văn Út, ngƣời đã hƣớng dẫn tôi rất
nhiều trong quá trình thực hiện luận văn. Xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn hệ
thống điện – Viện Điện – Trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội đã giúp đỡ, góp ý để
tôi hoàn thiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã
trao đổi và giúp đỡ giải quyết những vấn đề vƣớng mắc trong quá trình thực hiện.

Đàm Trọng Nam

6


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Kí hiệu và chữ viết tắt

Nội dung

HTĐ

Hệ thống điện

ĐTC

Độ tin cậy

NMTĐ

Nhà máy thủy điện

CCĐ

Cung cấp điện

KH

Khách hàng

ĐTCCCĐ

Độ tin cậy cung cấp điện

HTCCĐ

Hệ thống cung cấp điện

LĐTT

Lƣới điện truyền tải

TĐ

Thủy điện

NĐ

Nhiệt điện

KNTQ

Khả năng truyền qua

CS

Công suất

Đàm Trọng Nam

7


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1: Bảng thể hiện kết quả tạo số ngẫu nhiên bằng phƣơng pháp đồng dƣ
tuyến tính ...................................................................................................................25
Bảng 1.2: Các phân phối trong phần mềm ModelRisk .............................................38
Bảng 3.1: Bảng thống kê các trạng thái xảy ra để tính độ tin cậy của sơ đồ cầu......79
Bảng 3.2: Bảng ví dụ số liệu của thiết bị của nhà máy thủy điện .............................81
Bảng 3.3: Bảng ví dụ số liệu lƣu lƣợng nƣớc của nhà máy thủy điện ......................81
Bảng 3.3: Bảng đánh giá độ tin cậy phát công suất của nhà máy. ............................85
Bảng 4.1: Bảng số liệu thiết bị của nhà máy thủy điện Hòa Bình ............................88
Bảng 4.2: Bảng số liệu lƣu lƣợng nƣớc của máy thủy điện Hòa Bình năm 2013 ....89

Bảng 4.3: Bảng số liệu thiết bị của nhà máy nhiệt điện Phả Lại 1 & 2 ....................95
Bảng 4.4: Bảng số liệu thiết bị nhà máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1 ........................98

Đàm Trọng Nam

8


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1: Mô phỏng thí nghiệm bài toán Buffon ......................................................15
Hình 1.2: Đồ thị thể hiện xác suất của bài toán Buffon ............................................17
Hình 1.3: Hình vẽ thể hiện ứng dụng của phƣơng pháp Monte-Carlo trong việc tính
toán diện tích các hình đặc biệt .................................................................................19
Hình 1.4: Các phân bố rời rạc trong phần mềm ModelRisk .....................................29
Hình 1.5: Các phân bố liên tục trong phần mềm ModelRisk....................................30
Hình 1.6: Đồ thị của phân phối Bernoulli .................................................................31
Hình 1.7: Đồ thị của phân phối Binomial .................................................................32
Hình 1.8: Đồ thị của phân phối Discrete ...................................................................33
Hình 1.9: Đồ thị của phân phối Histogram ...............................................................33
Hình 1.10: Đồ thị của phân phối Ogive ....................................................................34
Hình 1.11: Đồ thị của phân phối PERT ....................................................................35
Hình 2.1: Đồ thị hàm p(t) và q(t) ..............................................................................43
Hình 2.2: Sơ đồ vật lý và sơ đồ logic ........................................................................46
Hình 2.3: Ví dụ về sơ đồ mạch của bảo vệ rơle ........................................................47
Hình 2.4: Cấu trúc cầu ..............................................................................................49
Hình 2.5: Đồ thị phụ tải đỉnh kéo dài lập trên cơ sở phụ tải ngày đêm ....................54

Hình 2.6: Đồ thị thiếu hụt công suất của phụ tải.......................................................57
Hình 3.1: Đƣờng cong xác suất đảm bảo công suất phát của nhà máy ....................62
Hình 3.2: Bài toán độ tin cậy cung cấp của nguồn điện ...........................................63
Hình 3.3: Sơ đồ lƣới sau khi đơn giản hóa ...............................................................64
Hình 3.4: Mô hình máy phát nhiệt điện ....................................................................64
Hình 3.5: Mô hình máy phát thủy điện .....................................................................65
Hình 3.6: Mô hình nhà máy thủy điện có nhiều tổ máy phát điện ............................66
Hình 3.7: Mô hình máy biến áp ................................................................................67
Hình 3.8: Mô hình đƣờng dây ...................................................................................67
Hình 3.9: Sơ đồ lƣới điện ..........................................................................................68
Hình 3.10: Sơ đồ thay thế đơn giản và phức tạp .......................................................70

Đàm Trọng Nam

9


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

Hình 3.12: Bảng nhập số liệu thiết bị của nhà máy vào Excel .................................83
Hình 3.13: Công suất thủy điện theo tháng ...............................................................83
Hình 3.14: Kết quả tính toán công suất của thiết bị, công suất phát bằng phần mềm
ModelRisk chạy trên Excel .......................................................................................84
Hình 3.15: Đƣờng cong xác suất đảm bảo công suất phát của nhà máy thủy điện. .84
Hình 4.1: Sơ đồ nhà máy thủy điện Hòa Bình ..........................................................87
Hình 4.2: Sơ đồ thay thế nhà máy thủy điện Hòa Bình ............................................87
Hình 4.3: Bảng nhập số liệu thiết bị của nhà máy thủy điện Hòa Bình vào Excel ...89
Hình 4.4: Bảng nhập số liệu vào Excel lƣu lƣợng nƣớc năm 2013 của nhà máy thủy

điện Hòa Bình ...........................................................................................................90
Hình 4.5: Bảng tính toán công suất thủy điện ...........................................................90
Hình 4.6: Kết quả mô phỏng để tính công suất làm việc của các thiết bị của nhà máy
thủy điện Hòa Bình ...................................................................................................91
Hình 4.7: Đƣờng cong xác suất đảm bảo công suất phát của nhà máy thủy điện Hòa
Bình ...........................................................................................................................92
Hình 4.8: Sơ đồ nhà máy nhiệt điện Phả Lại 1&2 ....................................................93
Hình 4.9: Sơ đồ thay thế nhà máy nhiệt điện Phả Lại 1&2 ......................................94
Hình 4.10: Bảng nhập số liệu các thiết bị của nhà máy nhiệt điện Phả Lại 1&2 vào
Excel ..........................................................................................................................95
Hình 4.11: Kết quả mô phỏng để tính công suất làm việc của các thiết bị của nhà
máy nhiệt điện Phả Lại 1&2 .....................................................................................96
Hình 4.12: Đƣờng cong xác suất đảm bảo công suất phát của nhà máy nhiệt điện
Phả Lại 1&2 ..............................................................................................................97
Hình 4.13: Sơ đồ nhà máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1 ..............................................98
Hình 4.14: Sơ đồ thay thế nhà máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1 ................................98
Hình 4.15: Bảng nhập số liệu các thiết bị của nhà máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1
vào Excel ...................................................................................................................98
Hình 4.16: Kết quả mô phỏng để tính công suất làm việc của các thiết bị của nhà
máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1 .................................................................................99

Đàm Trọng Nam

10


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

Hình 4.17: Đƣờng cong xác suất đảm bảo công suất điện của nhà máy nhiệt điện
Mông Dƣơng 1 ........................................................................................................100
Hình 4.18: Đƣờng cong xác suất đảm bảo công suất phát của 3 nhà máy phát điện
bằng phần mềm ModelRisk ....................................................................................101

Đàm Trọng Nam

11


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

MỞ ĐẦU
0.1 Lý do chọn đề tài
Sự phát triển mạnh của phụ tải kéo theo hệ thống điện cũng đƣợc phát triển để đáp
ứng nhu cầu điện năng của phụ tải. Một trong những thành phần quan trọng của hệ
thống điện là nguồn điện cũng đƣợc xây dựng rất nhiều. Nhằm mục đích quy hoạch
thiết kế hệ thống điện phù hợp và các nguồn điện đƣợc bố trí hợp lý thì việc đánh
giá độ tin cậy phát công suất của nguồn điện là một trong những yếu tố quan trọng.
0.2 Lịch sử nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu độ tin cậy phát công suất nguồn điện không phải là một đề tài
mới, tuy nhiên do tính phức tạp của bài toán vấn đề đƣợc giải quyết theo những
mức độ đầy đủ khác nhau trên cơ sở các giả thiết đơn giản hóa. Luận văn này sẽ đi
sâu nghiên cứu ảnh hưởng phân bố lưu lượng nước của các nhà máy thủy điện,
đồng thời nghiên cứu ảnh hưởng của sơ đồ đấu nối nhà máy với hệ thống xét đến
sự cố các phần tử của sơ đồ.
0.3 Mục đích nghiên cứu luận văn, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu luận văn là đánh giá độ tin cậy cung cấp công suất phát của

nhà máy đến hệ thống xét đến đặc điểm của HTĐ có tỉ lệ lớn là thủy năng. Đó cũng
là đặc điểm của HTĐ Việt Nam, cần xét đến trong công tác qui hoạch, thiết kế và
vận hành.
Đối tƣợng nghiên cứu của luận văn: Có rất nhiều thành phần trong nguồn điện
ảnh hƣởng đến độ tin cậy, nhƣng có những thành phần ảnh hƣởng trực tiếp đến độ
tin cậy phát công suất nguồn điện nhƣ lƣợng nƣớc về nhà máy thủy điện, sự cố của
các tổ máy phát điện, sự cố máy biến áp và sự cố các đƣờng dây truyền tải điện nối
trực tiếp với nhà máy. Các yếu tố này quyết định độ tin cậy phát công suất của các
nguồn đối với hệ thống.
Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá độ tin cậy phần nguồn trong HTĐ: từ nguồn cung
cấp năng lƣợng sơ cấp (lƣợng nƣớc ở NMTĐ), sự cố các ttổ máy phát, hỏng hóc

Đàm Trọng Nam

12


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

trên sơ đồ đấu nối nhà máy với hệ thống. Trong khi nghiên cứu các nội dung trên
không đi sâu vào độ tin cậy riêng của phần điều khiển, bảo vệ, độ tin cậy hoạt động
của hệ thống (tính ổn định), cũng nhƣ thao tác vận hành...
0.4 Các luận điểm cơ bản
 Giới thiệu phƣơng pháp Monte Carlo và phần mềm ModelRisk.
 Đánh giá độ tin cậy của phần tử và nguồn điện theo phƣơng pháp Monte
Carlo.
 Áp dụng tính toán độ tin cậy phát công suất của 3 nhà máy điện ở khu vực
miền Bắc gồm nhà máy thủy điện Hòa Bình, nhà máy nhiệt điện Phả Lại

1&2, nhà máy nhiệt điện Mông Dƣơng 1.
0.5 Phƣơng pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu phƣơng pháp Monte Carlo dùng để mô phỏng các phần tử trong
lƣới điện.


Nghiên cứu, khai thác phần mềm ModelRisk để tính toán, vẽ đƣờng cong xác
suất phát công suất của nguồn điện.



Đánh giá độ tin cậy phát công suất của nguồn điện dựa trên đƣờng cong xác
suất phát công suất của nguồn điện.

Đàm Trọng Nam

13


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO VÀ PHẦN MỀM
MODELRISK
1.1 Khái niệm về phƣơng pháp Monte Carlo
1.1.1 Sự hình thành và khái niệm về phương pháp Monte Carlo
Vào đầu những năm 40 của thế kỷ 20, sự ra đời của máy tính điện tử giúp con
ngƣời tính toán các phép tính có khối lƣợng lớn khi sử dụng tính toán bằng tay và

bằng máy tính quay tay (hay điện cơ). Máy tính điện tử diễn đạt các phép tính bằng
những thuật toán đơn giản với ít lệnh logic và tiết kiệm bộ nhớ trong khi thảo
chƣơng (nhƣ các phƣơng pháp tính lặp). Vì vậy, khối lƣợng tính toán sẽ tăng lên đôi
chút (so với các phƣơng pháp trƣớc đây) khi giải một bài toán. Tuy nhiên, với sự cải
tiến của cá thế hệ máy tính có tốc độ ngày càng cao thì khó khán về mặt khối lƣợng
tính toán có thể khắc phục đƣợc. Bởi vậy, nếu chọn đƣợc những phƣơng pháp số
thích hợp với máy tính điện tử thì cái lợi do thuật toán đơn giản sẽ lấn án cái hại do
tăng khối lƣợng tính toán. Một trong những phƣơng pháp nhƣ vậy là “phƣơng pháp
Monte Carlo”.
Về bản chất, phương pháp Monte Carlo là dạng đặc biệt của phương pháp thử
nghiệm thống kê, trong đó các phép thử được tạo ra trên máy tính thông qua việc sử
dụng các "số ngẫu nhiên”.


Ví dụ về phƣơng pháp thử nghiệm thống kê: Bài toán Buffon

Xác định số π vốn là một bải toán khó đối với các phƣơng pháp giải tích. Tuy nhiên
nếu áp dụng phƣơng pháp thử nghiệm thống kê ta có rất nhiều cách khác nhau để
tính giá trị gần đúng của nó. Một trong những cách nhƣ vậy đƣợc mô tả theo bài
toán Buffon.
Trên mặt phẳng của một chiếc bàn ta kẻ các đƣờng thẳng song song cách đều, cự ly
giữa chúng là 1 đơn vị (dài). Ở một vị trí khá cao so với mặt bàn, ta tung hú họa 1
chiếc kim AB có độ dài đã cho là h < 1. Từ vị trí cao rơi xuống mắt bàn có thể coi

Đàm Trọng Nam

14


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

xác xuất vị trí trung điểm O của thanh khi tiếp mặt bàn có phân bố đều (tính theo
khoảng cách a từ tâm O đến đƣờng thảng song song gấn nhất). Cũng thế có thể coi
góc lệch b của thanh tính so với một trục cố định có xác suất phân bố đều. Sau
nhiều phép thử (tung thanh cho rơi xuống), quan sát vị trí tâm O và góc lệch ta có
thể tính đƣợc gần đúng số π theo giá trị thống kê khoảng cách a và góc lệch b.
Thật vậy, theo số liệu thống kê ta có thể tính gần đúng xác suất P(Ω) của biến cố Ω
để cho chiếc kim AB cắt một trong các đƣờng kẻ trên mặt bàn. Với số phép thử đủ
lớn ta có:
P() 

k
N

(1.1)

Trong đó:
 k là số phép thử mà thanh AB cắt đƣờng song song.
 N là số phép thử tổng cộng.
Từ trị số P(Ω) ta có thể suy ra số π.

A'
A"
1

A
1/2

O

B

Hình 1.1: Mô phỏng thí nghiệm bài toán Buffon
Để biểu diễn biến cố Ω ta gọi:
a - là khoảng cách từ trung điểm O của chiếc kim AB (đã rơi trên mặt bàn, sau khi
tung hú họa) đến đƣờng thẳng gần nhất trong các đƣờng đã kẻ.

Đàm Trọng Nam

15


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

b - là góc nhỏ nhất trong các góc lập bởi kim AB với hƣớng trực giao đối với các
đƣờng thẳng song song.
Từ hình vẽ (1.1) ta có:
a = OA" , b = A OA' , Ω = { OA"  OA' }
Vì OA'  OA .cos b =

h
.cos b , nên từ (1.1) ta có:
2

P(Ω) = P{a 

Ta biết rằng 0  a  1/2, 0  b 

h
.cos b}
2

(1.2)


và chiếc kim cũng đƣợc tung hú họa từ 1 vị trí
2

khá cao (so với mặt bàn), nên a, b là các đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập. a nhận giá trị
ngẫu nhiên phân bố dều trong khoảng [0,1/2] còn b nhận giá trị phân bố dều trong

khoảng [0, ]. Hàm mật độ xác suất của b có dạng:
2

2
 
  khi x  0, 2 



p(x)  
0 khi x  0,  
 2 


(1.3)

Tƣơng tự, đại lƣợng ngẫu nhiên a có phân bố đều trên đoạn [0; 1/2] với hàm mật độ
có dạng:


 1
2 khi y  0, 2 



(y)  
0 khi y  0, 1 
 2 


(1.4)

Từ tính độc lập của a,b và từ (1.1.3) (1.1.4) ta suy ra hàm mật độ đồng thời của véc
tơ ngẫu nhiên (b,a) có dạng:

Đàm Trọng Nam

16


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

4

 khi (x, y)  G
f (x, y)  p(x).(y)   

0 khi (x, y)  G

(1.5)


Trong đó: G = {(x,y), 0≤ x ≤ , 0  y  1/2 }.
2

Trên mặt phẳng hệ trục tọa độ vuông góc xOy tạ gọi S là hình giới hạn bởi trụ
hoành và cung đƣờng cong y =

h

cos x, từ x = 0 đến x = . Nghĩa là:
2
2
h

cos x; 0≤ x ≤ }  G
2
2

S = {(x,y): y ≤

y
1
2

h

G

2
y= h cos x
2

S
x
o
2

Hình 1.2: Đồ thị thể hiện xác suất của bài toán Buffon
Khi đó từ (1.1.2) (1.1.5) ta suy ra:
P(Ω) = P{(b,a)  S} =  f (x, y)dxdy =
S


0

Hay là:

Đàm Trọng Nam

 /2

17

 (h.cosx)/2 4 
dy dx
 

 0



Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

 /2

P(Ω) =


0

2h
cos xdx


=

2h
.


(1.6)

Từ (1.1) và (1.6) ta suy ra:


2hN
(với h đã cho)
k

(1.7)

Nhƣ vậy, từ lời giải của bài toán Buffon ta suy ra có thể tính gần đúng số π một
cách đơn giản bằng cách thực hiện N (đủ lớn) lần gieo chiếc kim AB một cách hú
họa và dựa vào luật số lớn tính xấp xỉ xác suất P(Ω).
G.P.Bojew đã tiến hành N = 5000 thí nghiệm nêu trên và thu đƣợc π ≈ 3,159.
Chúng ta đã biết số π ≈ 3,141593 thì sai số lệch không quá lớn.
Từ bài toán ta thấy phép thử nghiệm thống kê rất đơn giản (tung thanh AB và quan
sát) nhƣng có thể giải rất hiệu quả bài toán phức tạp. Vấn đề là phải tạo ra một số
lƣợng lớn phép thử với xác xuất xuất hiện các đại lƣợng tƣơng ứng với phân bố xác
suất đã cho. Trong ví dụ trên trị số a và b phải có phân bố đều sau chuỗi N các phép
thử.
Việc sử dụng chiếc que với nhiều đƣờng thẳng song song là để dễ tạo ra các số a, b
có phân bố đều. Trong trƣờng hợp có cách nào đó ta "rắc hạt" đảm bảo đƣợc nó rải
đều trên diện tích (phân bố đều theo 2 trục x,y) thì hàng loạt các bài toán sẽ đƣợc
giải theo phép thử nghiệm thống kê. Chẳng hạn, nếu ta thực hiện đƣợc N phép gieo
hạt ngẫu nhiên phân bổ đều trên diện tích hình vuông có cạnh là a (hình 1.3 a). Khi
đó vẽ đƣờng tròn nội tiếp bên trong hình vuông và thống kê số hạt bên trong hình
tròn (giả thiết đƣợc m điểm), ta có tỉ lệ diện tích hình tròn trên diện tích hình vuông
gần đúng bằng:
a 2
Stron

m

  42 
Svuong N
4
a

Đàm Trọng Nam

Suy ra:  

18

4m
.
N


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

Dễ thấy, dựa vào phép thử gieo hạt nhƣ trên có thể tính đƣợc gần đúng diện tích của
hình bất kỳ, kể cả tính tích phân số các hàm phức tạp không thực hiện đƣợc bằng
giải tích (hình 1.3 b và c).
a
a

a)

y

b)
y  f (x)

x2

S   f ( x )dx
x1

x

x1

x2

c)

Hình 1.3: Hình vẽ thể hiện ứng dụng của phƣơng pháp Monte-Carlo trong việc tính
toán diện tích các hình đặc biệt
Ý tƣởng của phƣơng pháp Monte- Carlo là sử dụng máy tính tạo ra chuỗi giá trị cho
a và b có phân bố ngẫu nhiên (trong các bài toán trên cần phân bố đều).
1.1.2 Số ngẫu nhiên
1.1.2.1 Khái niệm về số ngẫu nhiên
Số ngẫu nhiên có quy luật phân bố đều đƣợc quan tâm nhiều nhất, đó là một dãy số
với khả năng xuất hiện các trị số (trong một khoảng cho trƣớc) tƣơng đƣơng nhau.
Về lý thuyết dãy số ngẫu nhiên phải tạo ra đƣợc với độ dài tùy ý sao cho trong mỗi
khoảng bất kỳ xác suất xuất hiện các trị số là nhƣ nhau, nghĩa là không đƣợc phép
lặp lại.
Tuy nhiên, các phƣơng pháp thực tế thƣờng chỉ đảm bảo đƣợc yêu cầu trong một

mức độ (gọi là giả ngẫu nhiên). Đó là vì trong những khoảng ngắn dãy số khó đảm

Đàm Trọng Nam

19


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

bảo đƣợc phân bố đều trị số. Từ dãy số ngẫu nghiên phân bố đều, kết hợp với các
biến đổi giải tích có thể tạo ra các dãy số có quy luật phân bố khác nhau, miền giá
trị khác nhau... để ứng dụng cho các bài toán theo phƣơng pháp Monte-Carlo.
1.1.2.2 Cách tạo ra số ngẫu nhiên (giả ngẫu nhiên)
Có rất nhiều phƣơng pháp để sinh ra các số ngẫu nhiên cho việc mô phỏng ngẫu
nhiên thông qua các bộ sinh số ngẫu nhiên với cơ sở toán học. Dƣới đây là một số
phƣơng pháp tạo số ngẫu nhiên quan trọng.
Một phƣơng pháp chấp nhận đƣợc để tạo số giả ngẫu nhiên phải đạt các yêu cầu
sau:
 Các số đƣợc tạo ra phải tuân theo phân phối đều, bởi vì thực sự các sự kiện
ngẫu nhiên đều tuân theo phân phối này. Các dạng phân bố khác chỉ là kết quả
của sự biến đổi quan hệ hay cách biểu diễn.
 Các số đƣợc tạo ra cần phải độc lập, nghĩa là giá trị của một số trong dãy số
ngẫu nhiên không ảnh hƣởng đến giá trị của số kế tiếp.
 Dãy số ngẫu nhiên đƣợc tạo ra cần phải tái tạo lại đƣợc. Điều này cho phép
lặp lại thí nghiệm mô phỏng.
 Dãy số không đƣợc lặp lại đối với bất cứ chiều dài nào. Theo lý thuyết thì
không thể có, nhƣng vì mục đích thực tế thì khả năng lặp lại của một chu kỳ
dài là phù hợp. Chu kỳ lặp lại của một bộ số ngẫu nhiên đƣợc gọi là giai đoạn

của nó.
 Việc tạo các số ngẫu nhiên cần phải nhanh chóng vì trong các nghiên cứu mô
phỏng, đòi hỏi cần có nhiều số ngẫu nhiên, nếu việc tạo các số diễn ra chậm
thì có thể mất nhiều thời gian và tăng giá thành các nghiên cứu mô phỏng.
 Trong việc tạo số ngẫu nhiên nên sử dụng càng ít bộ nhớ càng tốt. Mô hình
mô phỏng thƣờng đòi hỏi bộ nhớ lớn, do bộ nhớ thƣờng có hạn nên việc giảm
tối đa việc chiếm dụng bố nhớ trở nên rất cần thiết trong việc tạo ra các số
ngẫu nhiên.

Đàm Trọng Nam

20


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

Các số ngẫu nhiên phân bố dều có thể đƣợc tạo ra là dẫy các số thực nằm trong
phạm vi nào đó, ví dụ trong khoảng [0,1). Tuy nhiên, trên máy tính ngƣời ta thƣờng
sử dụng các thuật toán tạo dãy các số nguyên ngẫu nhiên (trong toàn bộ khoảng
biểu diễn số của máy), sau đó biến đổi về số thực với các phạm vi khác nhau.
Nguyên tắc chung của các thuật toán là xuất phát từ một (hay vài) số đầu tiên tùy
chọn X0 nào đó tạo nối tiếp các số ngẫu nhiên theo thuật toán:
Xk+1 =f(Xk, Xk-1,...).
Không có những chứng minh chặt chẽ cho tính ngẫu nhiên của kết quả, tuy nhiên
nhiều thuật toán cho thấy sự phù hợp khá cao các yêu cầu nêu trên. Sau đây là một
số phƣơng pháp tạo số ngẫu nhiên cơ bản:
1.1.2.2.1 Phƣơng pháp nửa bình phƣơng
Phƣơng pháp nửa bình phƣơng do John von Neuman phát triển vào nhƣng năm

1940. Bắt đầu từ số đầu tiên cho trƣớc, ta bình phƣơng nó lên và số giữa của số bình
phƣơng này đƣợc dùng làm số thứ hai của dãy số. Kế tiếp, bình phƣơng số thứ hai
và lấy số giữa của số bình phƣơng làm số thứ ba cho dãy số. Quá trình cứ lặp lại
tiếp tục nhƣ vậy.
Ví dụ: Giả sử số đầu X0 =25, khi đó cá số ngẫu nhiên có 2 chữ số gồm:
(25)2 = 0625 => X1 = 62
(62)2 = 3844 => X2 = 84
(84)2 = 7056 => X3 = 05
(05)2 = 0025 => X4 = 02
(02)2 = 0004 => X5 = 00
(00)2 = 0000 => X6 = 00
Phƣơng pháp nửa bình phƣơng có 1 số tính chất sau:

Đàm Trọng Nam

21


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

 Các dãy số đƣợc tạo ra có chu kỳ ngắn.
 Bất cứ lúc nào số 0 đều tạo ra các số bằng 0. (nhƣ ví dụ trên)
1.1.2.2.2 Phƣơng pháp đồng dƣ bậc hai
Phƣơng pháp này gần nhƣ tƣơng đƣơng với phƣơng pháp nửa bình phƣơng nhƣng
có chu kỳ dài hơn. Mối quan hệ phép đệ quy cho phƣơng pháp này đƣợc xác định
bởi:
Xn+1 = (Xn(Xn + 1)) mod m, với n ≥ 0, X0 mod 4 = 2, m = 2k
Ví dụ:

Với X0 = 2, m = 16 và tạo dãy số ngẫu nhiên sử dụng phƣơng pháp đồng dƣ bậc
hai.
X0 = 2
X1 = (X0(X0 + 1)) mod 16 = (2(2+1) mod 16 = 6
X2 = (X1(X1 + 1)) mod 16 = (6(6+1) mod 16 = 10
X3 = (X2(X2 + 1)) mod 16 = (10(10+1) mod 16 = 14
X4 = (X3(X3 + 1)) mod 16 = (14(14+1) mod 16 = 2
X5 = (X4(X4 + 1)) mod 16 = (2(2+1) mod 16 = 6
Tƣơng tự ta có đƣợc một dãy số ngẫu nhiên bằng phƣơng pháp đồng dƣ bậc hai.
1.1.2.2.3 Phƣơng pháp đồng dƣ tuyến tính
Phƣơng pháp đồng dƣ tuyến tính là phƣơng pháp đƣợc sử dụng thông dụng nhất,
đƣợc đƣa ra đầu tiên bởi Lehmer. Trạng thái tại bƣớc thứ n là một số nguyên Xn và
hàm chuyển T đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Xn = (a Xn-1 + c) mod m, n ≥ 0
Trong đó:

Đàm Trọng Nam

22


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

 X0 là giá trị khởi đầu cho trƣớc (0 ≤ X0 ≤ m)
 a là hằng số nhân (0 ≤ a ≤ m)
 c là gia số (0 ≤ c ≤ m)
 m là modul (m > 0)
Chú ý:

 Nếu a = 1, phƣơng pháp đƣợc gọi là phƣơng pháp cộng.
 Nếu c = 0, phƣơng pháp đƣợc gọi là phƣơng pháp nhân.
 Nếu c ≠ 0, phƣơng pháp đƣợc gọi là phƣơng pháp đồng dƣ hỗn tạp.
 Phƣơng pháp nhân nhanh hơn phƣơng pháp đồng dƣ hỗn tạp do chúng có ít
phép cộng hơn.
 Trong thực tế phƣơng pháp nhân đƣợc dùng nhiều hơn phƣơng pháp cộng.
Bởi vì theo phƣơng pháp này Xi+1 đƣợc xác định bởi Xi. Do(m+1) giá trị X0,
X1,…, Xm không thể phân biệt, nên có ít nhất một giá trị xuất hiện 2 lần, ví
dụ nhƣ Xi và Xi+k khi đó Xi+k, … , Xi+k-1 đƣợc lặp lại nhƣ Xi+k, … , Xi+2k-1 và
nhƣ vậy dãy số Xi tuần hoàn với chu kỳ k ≤ m. Toàn bộ chu kì m luôn có thể
đạt đƣợc với a = c = 1. Bên cạnh đó, sự lựa chọn các tham số a, c, m, X0 rất
quan trọng đối với chất lƣợng của bộ sinh. Nếu chúng không đƣợc chọn
chính xác, bộ sinh có thể sẽ không có chu kỳ lớn nhất, hay cá số đƣợc sinh
ra có thể không thể hiện tính ngẫu nhiên tốt hay thậm chí bộ sinh có thể
không thực hiện hiệu quả. Đối với bộ số nhân lớn là m-1 và nếu khi 0 xảy ra
thì nó sẽ lặp lại không xác định.
 Thông thƣờng, ta nên chọn m để làm cho toán tử modul có hiệu lực và sau
đó chọn a và c để làm cho chu kỳ càng dài càng tốt.
 Một chu kỳ đầy đủ (có độ dài m) có thể đạt đƣợc khi một số của điều kiện
đƣợc thỏa mạn nhƣ trong định lý sau:
o Định lý: Một bộ sinh đệ quy có chu kỳ đầy đủ m khi và chỉ khi nó thỏa
mãn các điều kiện sau:
 Ƣớc số chung lớn nhất của c và m bằng 1.

Đàm Trọng Nam

23


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

 a ≡ 1 mod p đối với mỗi ƣớc nguyên tố p của m (nghĩa là mỗi ƣớc số
chung của m cũng là ƣớc số chung của a-1).
 a ≡ mod 4 nếu 4 chia hết cho m ( nghĩa là, nếu m có bậc 4 thì 4 cũng là
ƣớc số của a – 1)
o Định nghĩa: Nếu m là số nguyên tố thì à là số nguyên thủy đầu tiên của
modul m nếu và chỉ nếu an mod m ≠ 1 với n = 1, 2, 3,… m-2.
o Chú ý:
 Nếu m là số nguyên tố thì chu kỳ đủ đạt đƣợc chỉ khi a = 1.
 Ngay cả khi bộ sinh là chu kỳ đầy đủ vẫn không chắc chắn rằng các số
đƣợc tạo ra là số ngẫu nhiên.
 Việc lựa chọn hằng số nhân a ảnh hƣởng đến độ lớn của chu kỳ và tính
ngẫu nhiên của chuỗi đƣợc sinh ra.
 Khi m = 2n và c > 0: chu kỳ tối đa là m có thể đạt đƣợc khi và chỉ khi a
mod 4 ≡ 1 và c là số lẻ (thƣờng đƣợc chọn bằng 1). Ví dụ, xét bộ sinh
(a, 1, 16, X0): chu kỳ tối đa là 16 có thể đạt đƣợc nếu và chỉ nếu a = 1,
5, 9 hay 13. Khi a = 3, hay 11 thì chu kỳ là 8; khi a = 7 thì chu kỳ là 4;
và khi a = 5 thì chu kỳ là 2.
 Khi m = 2n và c = 0: chu kỳ tối đa là m/4 đạt đƣợc nếu và chỉ nếu a
mod 8 ≡ 1 hay a mod 8 ≡ 5 và giá trị khởi đầu là số lẻ. Ví dụ, với bộ
sinh (a, 0, 16, X0), chu kỳ tối đa là 4 đạt đƣợc nếu và chỉ nếu a = 3, 5,
11 hay 13.
 Khi m là số nguyên tố và a > 1 (không quan tâm đến c = 0 hay không):
chu kỳ tối đa là m-1 đạt đƣợc khi và chi khi a là số nguyên thủy đầu
tiên của modul m.
Nhƣ vậy, tham số quan trọng nhất của phƣơng pháp đông dƣ sinh tuyến là modul
m. Kích thƣớc của nó ràng buộc chu kỳ (m thƣờng đƣợc chọn là số nguyên tố hoặc
là lũy thừa của 2). Đối với cá đồng dƣ tuyến tính với modul là số nguyên tố, việc sử

dụng gia số c≠ không tăng chu kỳ ngoại trừ khi a = 1. Thông thƣờng, a phải lớn hơn
1 để chuỗi sinh ra có tính ngẫu nhiên.

Đàm Trọng Nam

24


Luận văn cao học

GVHD: GS.TS Lã Văn Út

Ví dụ: Xét bộ sinh (a, 0, 13, 1), xét về tính ngẫu nhiên của chuỗi đƣợc sinh ra, a =
6 hoặc a = 11 tốt hơn a = 2 hay a = 7 mặc dù chúng sinh ra chu kỳ đầy đủ. Ngƣời ta
thƣờng mong muốn các bộ sinh có chu kỳ đầy đủ hơn là các bộ sinh có chu kỳ
ngắn.
Nhƣ vậy ta có các dãy số:
a

Chuỗi kết quả

Số chu kỳ

0

0, 0, …

1

1

1, 1, …

1

2

1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1, …

12

3

1, 3, 9, 1, …

3

4

1, 4, 3, 12, 9, 10, 1, …

6

5

1, 5, 12, 8, 1, …

4

6

1, 6, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1, …

12

7

1, 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1, …

12

8

1, 8, 12, 5, 1, …

4

9

1, 9, 3, 1, …

3

10

1, 10, 9, 12, 3, 4, 1, …

6

11

1, 11, 4, 5, 3, 7, 12, 2, 9, 8, 10, 6, 1, …

12

12

1, 12, 1, …

2

Bảng 1.1: Bảng thể hiện kết quả tạo số ngẫu nhiên bằng phƣơng pháp đồng dƣ
tuyến tính
Đối với chu kỳ đầy đủ, các sự lựa chọn khác nhau của giá trị khởi đầu chỉ nhằm để
chuyến sang điểm khởi đầu trong chuỗi đã xác định a, c, m.
1.1.2.2.4 Phƣơng pháp đồng dƣ cộng
Phƣơng pháp đồng dƣ cộng cũng tƣơng tự phƣơng pháp đồng dƣ tuyến tính, tuy
nhiên ở đây phép toán trong công thức đƣợc thay thế bằng phép toán cộng:

Đàm Trọng Nam

25